（应用数学专业论文）时标动态方程的定性和稳定性分析.pdf

中文摘要 论文题目： 专业： 博士生： 指导教师： 时标动态方程的定性和稳定性分析 应用数学 刘爱莲 朱思铭教授 中文摘要 本篇博士论文对时标上动态系统的定性结构及稳定性态进行了分析，全面讨论了一类 典型周期时标上一阶动态方程的解的定性结构问题，统一并推广了连续和离散动力系统在 解的有界性、指数稳定性及振动性方面的一些结果，同时对时标理论本身定义中存在的多 样性也进行了探讨 第一章为综述，在总结和比较微分方程和差分方程中的一些比较重要的结论基础上， 简单回顾了时标理论发展的历史和现状，并对时标上的微积分理论及其应用做了简要的介 绍，同时概括了本文的主要工作 第二章采用时标上的l y a p u n o v 稳定性定理，研究了一般时标上一阶线性和非线性动 态方程零解的稳定性，其中指出对一阶常系数动态方程的结论是对原有结论的纠正、补充 和推广；而后通过研究一般的周期时标上动态方程的特点，对一类有实际应用背景的周期 时标，系统全面地分析了一阶动态自然增长方程由系数及尺度函数确定的稳定性同时还 对平面和高维线性动态系统的定性结构进行了分析 j 第三章通过定义时标上的l y a p u n o v 函数及时标上的指数稳定性，详细讨论了一般动态 系统的解的有界性和指数稳定性，所得结论是对现有结论的统一和推广 第四章分析了现有的时标上的各种指数函数及相应的指数稳定性，利用时标指数函数 的特点，分别得到了各种指数稳定的充要条件，用间接的方式证明了在适当的条件下，各种 指数稳定性之间存在等价关系 第五章利用r i c c a t i 变换及积分平均技巧，讨论了时标上两类动态方程的解的振动性， 同时利用压缩映像原理，得到了正解存在的充分条件 第六章讨论了时标上矩阵指数函数的计算问题，得到了两种多项式表达的形式，最后 比较了现有各种算法之间的内在联系 第i 页，共0 5 页博士学位论文 中文摘要 关键词：稳定性，指数稳定性，振动性，正解存在性，时标上的l y a p u n o v 函数，时标 指数函数，时标矩阵指数函数 第i i 页，共n 5 页 博士学位论文 t i t l e ： m a j o r ： n a j t l e ： q u a l i t a t i v ep r o p e r t i e sa n ds t a b i l i t ya n a l y s i s f o rd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s a p p l i e dm a t h e m a t i c s l i ua i l i a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h us i m i n g a b s t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t ya n ds t a b i l i t ya n a l y s i st o d y n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e s t h eq u a l i t a t i v ec h a r a c t e r i s t i co fs o l u t i o n sf o rf i r s t - o r d e r d y n a m i ce q u a t i o n si sd i s c u s s e dt h o r o u g h l y s o m er e s u l t so nt h eb o u n d e d n e s s ，e x p o n e n t i a l s t a b i l i t ya n do s c i l l a t i o no fc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t es y s t e m sa r eu n i f i e d g e n a r a l i z e da n d i m p r o v e d m e a n w h i l e ，t h ed i v e r s i t yo fd i f i n i t i o n so nt i m es c a l e st h e o r yi t s e l fi sa l s oa n a l y z e d i nc h a p t e ri ，o nt h eb a s i so fs u m m a r i z i n gt h ei m p o r t a n tr e s u l t so fd i f f e r e n t i a la n dd i f - f e r e n c ee q u a t i o n s ，t h eh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n ta n ds t a t u si nq u oo ft i m es c a l e sa r ei n t r o d u c e d s o m ep r e l i m i n a r yt h e o r yo nt i m es c a l e sa n di t sa p p l i c a t i o n sa r eb r i e f l ye x t r a c t e dt o om a i n r e s u l t si nt h ed i s s e r t a t i o na r eo u t l i n e da tt h ee n d i nc h a p t e ri i ，b yu s eo fl y a p u n o vd i r e c tm e t h o do nt i m es c a l e s ，t h es t a b i l i t yf o rt h e f i r s t o r d e rl i n e a ra n dn o n l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n si sd i s c u s s e d ，s o m er e s u l t so fw h i c ha r e c o r r e c t i o na n ds u p p l e m e n o ft h ep r e s e n tf o rt h ef i r s t o r d e rc o n s t a n tc o e f f i c i e n td y n a m i c e q u a t i o n s b ya n a l y z i n gt h ed y n a m i ce q u a t i o no np e r i o d i ct i m es c a l e s ，t h ed y n a m i cn a t u r a l g r o w t he q u a t i o ni sm a d eat h o r o u g hd i s c u s s i o no nas p e c i f i cb u tp r a c t i c a lp e r i o d i ct i m e s c a l e s ，a n ds o m es t a b i l i t yc r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e di nt e r m so ft h ec o e f f i c i e n ta n dt h eg r a i n i n e s s a tl a s t ，t h el i n e a rd y n a m i cs y s t e m so np l a n ea n dn d i m e n s i o n a ls p a c ea r ed i s c u s s e d q u a l i t a t i v e l y i nc h a p t e ri i i ，m a k i n gu s eo ft h en e wd e f i n i t i o n so fl y a p n n o vf u n c t i o na n dt h ee x p o - n e n t i a is t a b i l i t yo nt i m es c a l e s ，w em a k ed e t a i l e da n a l y s i so nt h eb o u n d e d n e s sa n de x p o - n e n t i a ls t a b i l i t yo fd y n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e s ，t h er e s u l t so fw h i c hi st h eu n i f i c a t i o n a n dg e n e r a l i z a t i o no ft h ee x i s t i n g 第i i i 页，共9 5 页博士学位论文 苤茎塑墨 i nc h a p t e ri v ，t h ev a r i o u se x p o n e n t i a lf u n c t i o n sa n dt h ec o r r e s p o n d i n ge x p o n e n t i a l s t a b i l i t i e sa r es t u d i e do nt i m es c a l e s d u et ot h ec h a r a c t e r i s t i co fe x p o n e n t i a lf u n c t i o n s ，t h e e q u i v a l e n c eo ft h ev a r i o u se x p o n e n t i a ls t a b i l i t i e sf o rs e v e r a lk i n d so fd y n a m i ce q u a t i o n si s e s t a b l i s h e di n d i r e c t l y i nc h a p t e rv t h eo s c i l l a t i o no t w o d y n a m i ee q u a t i o n si sd i s c u s s e da n dn e wo s c i l l a t i o n c r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e d ，w h i c hi m p r o v ea n de x t e n dt h ee x i s t i n gr e s u l t s t h et o o l su s e da r e t h eg e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o ns a dt h ei n t e g r a la v e r a g i n gt e c h n i q u e t h ec o n t r a c t i o n m a p p i n gp r i n c i p l eg i v e st h es u f f i c i e n c yf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s i nc h a p t e rv i ，t h ec a l c u l a t i o no ft h em a t r i xe x p o n e n t i a lf u n c t i o ni sd i s c u s s e d ，a n d t w op o l y n o m i a le x p r e s s i o n sa r eo b t a i n e d 。a n dt h er e l a t i o na m o n gt h ev a r i o u sa l g o r i t h m si s c o m p a r e da tl a s t k e yw o r d s ：s t a b i l i t y ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ，o s c i l l a t i o n ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o n ，l y a p u n o vf u n c t i o no nt i m es c a l e s ，t i m es c a l e se x p o n e n t i a lf u n c t i o n ，t i m es c a l e s m a t r i xe x p o n e n t i a lf u n c t i o n 第i v 页，共9 5 页 博士学位论文 第一章综述 第一章综述弟一早际怂 1 1 微分方程和差分方程理论 自从牛顿和莱布尼兹建立微积分理论以来，许多研究领域应运而生，微分方程( 【2 】) 是其中一门历史悠久的学科h p o i n c a r e 在1 8 8 1 1 8 8 6 年间发表了关于“微分方程 所定义的积分曲线”的四篇论文，为微分方程定性理论作了奠基性的贡献；另外a m l y a p u n o v 于1 8 9 2 年在莫斯科大学获得博士学位的”运动稳定性的一般问题”的论文，开创 了稳定性理论的研究领域它们都为非线性微分方程提供了极其强有力的思想方法，从而 奠定了今天的非线性微分方程的理论基础，特别是在数学方法逐渐渗透到其他自然科学领 域中去的今天，更是如此 微分方程从诞生之日起很快就显示出它在应用上的重要作用( 【3 1 ，【4 1 ) ，特别是作为牛顿 力学的得力助手，在天体力学和其它力学领域显示出巨大的价值( 【5 】， 6 】) 随着科学技术 的迅猛发展，不仅在无线电技术、自动控制、及卫星通讯等尖端领域中有重要的应用，而 且在生物、化学、现代物理以及经济等领域也已成为不可缺少的数学工具 随着理论的发展和实际的需要，微分方程研究的问题也从经典的解的存在唯一性，到 分析方程解的局部与全局结构；结合运动稳定性理论，判断极限环的存在唯一性、稳定 性，以及中心、焦点判断一度成为研究的热点，其中闻名世界的h i l b e r t 第1 6 问题就和极限 环有关( 【7 】，【8 1 ) 近几十年来，计算机技术的飞速发展为微分方程数值计算提供了先进的 工具，使得动力系统分支和混沌理论及其应用的研究再次成为热潮( 【9 卜 1 i d 随着微分方 程的应用不断扩大和深入，新理论生长点不断涌现，它的发展至今仍充满生机和活力 差分方程是与微分方程相平行的一个数学分支，它的建立与完善可以追溯到很早年代 ( 【1 2 1 ) 历史上许多著名数学家，女h e u l e r 、p o i n c a r e 等都对这个理论作出过大量贡献，在数 值分析、概率统计、运筹学、电力系统网络、编码及计算机软件等应用科学中广泛的被 利用( 【1 3 ，【1 4 ) 计算机技术的飞速发展，也给差分理论带来了新的机遇，使微分方程和著 分方程的联系更加紧密并且在理论研究中发现，它们中的有些结果从形式上看来是非常 相似的 令r ”表示n 一维欧氏向量空间；r 才表示所有非负实数构成的集合；r + 表示所有正实 第1 页，共0 5 页博士学位论文 1 1 微分方程和差分方程理论 数构成的集合；忙j | 指x r 在欧氏空间中的范数则对于连续系统 x 7 = f ( t ，z )z ( t o ) = x ot r ，z r “( i - 1 ) 及离散系统 x ( t + 1 ) = f ( t ，z ( t ) ) x ( o ) = x 0 t n ，z r ” ( 1 - 2 ) 设f ( t ，0 ) = 0 ，且满足解的存在唯一性的条件显然。= 0 是两系统的平凡解一般情 况下( i - 1 ) ，( i - 2 ) 的解无法用初等函数表达出来，因此，为了判断方程解的未来发展趋 势，a ml i a p u n u v 在他的经典著作“稳定性的一般问题”中提出了两种方法、第一种 方法称为l y a p u n o v 第一方法，归结为把一般解表示成某种级数的一般形式另一种称 为l y a p u n o v n 接法( 也称为l y a p u n o v 第二方法) ，这个方法的特点是可以不用显示地得到 解的表达式，而是借助于一个适当选择的函数v ( t ，z ) ( 称为y 函数) ，通过观察函数v ( t ，z ) 沿系统( 1 一1 ) ( 系统( 1 2 ) ) 的轨线的走势，从而确定零解的稳定性下面对连续系统( i - i ) ：r 绍几个定义，对于离散系统( 1 2 ) ，由【1 4 1 ，是完全类似的、 定义1 1 ( l y a p u n o v 意义下的稳定性) 若对任意的e 0 和t o r ，存在5 ( t o ，) 0 ，使得 当i l 。o | | t ) p ( t ) = s u p s t ：s t ；称t 为左稠密点，如 果p ( t ) = t ；称t 为左发散点，如果p ( t ) 0 ，存在t 的一个小邻域uct ，使 得 l ，( a ( t ) ) 一，( s ) 一，6 ( t ) p 0 ) 一s 】i e l o ( t ) 一s l vs u 则称f 6 ( t ) 是函数，在t t 处的导数，此时称，在t 点可微 当= r 时，( t ) = ，心) ( 通常的导数) ；当可= z 时，( t ) = a f ( t ) ( 前差分算子) 定理1 8 设函数f ：t 一酞，t t ( i ) 如果函数，在t 点可微，那么，在t 点是连续的； ( i i ) 如果，在点是连续的，且t 是右发散点，那么，在t 点是可微的，且，( t ) = ，( 盯( t ) ) 一，( t ) ( t ) ( i i i ) 如果t 是右稠密的，那么，在t 点可微，当且仅当极限l i 理丛掣存在，且此 帅) ：磐等掣； ”一。 ( i v ) 若函数，在t 点可微，贝m j f ( a ( t ) ) = f ( t ) + p ( t ) ，6 ( t ) ； ( v ) 若f ( t ) 0 ，贝, t j f ( t ) 是非递减的 定理1 9 ( 链式法则) 设，：r r 是连续可微的，g ：t 一酞是可微的，那么复合函 数f0 9 ：t 一豫是可微的，且 r1 1、 ( ，。9 ) 6 ( t ) = ，( 9 ( t ) + 缸( ) 9 6 ( t ) ) 矾 9 ( t ) l j 0 j 定义1 如 设函数，：面一r ，a ，b t 如果存在一个函数f ：t r ，使得对所有 的t ，都有f 6 ( ) = ，( t ) ，那么称e ( t ) 是，( t ) 的一个原函数，( t ) 从a 到6 的c a u c h y 积分 第5 页，共9 5 页 博士学位论文 ! ：! 堕堑里堡墨苎生旦 或定积分定义为 一 ，( r ) r = f ( b ) 一f ( a ) j o 此时称，( t ) 在t 上是可积的若s u p t = 0 0 ，那么t 上的无穷限积分定义为 f ( t ) a t = ，l i mf ( t ) l ： j n d _ 。 定义1 11 函数，：可一豫称为右稠连续的，如果它在t 的所有右稠密点处是连续的，而 在霹的所有左稠密点处左侧极限存在t 上所有右稠连续的函数构成的集合记作 口d = c ，d ( t ) = g d ( t ，r ) 称函数f ：t r “一黔是右稠连续的，如果对于任意的连续函数七：t 一础，9 ( t ) = f ( t ，z ( ) ) 在t 上是右稠连续的，记作，g d = g d 口础，p ) 定理11 2 ( i ) 右稠连续函数都存在原函数特别的，若t o t ，则 f ( t ) = ，( r ) r t t 是，的一个原函数； ( i i ) 若，g d ，ti f ：t ，那么 ，( f ) r = p ( t ) ，( t ) ； ( i i i ) 设n ，b t ，f g d ，那么 a ) 如果t = 酞，则f ( t ) a t = ，( t ) d t ( 通常的黎曼积分) ； b ) 如果区间 o ，b 只含有孤立点( 既左发散又右发散的点) ，则 z6，。，：、。：陋6)p。，。 霎：三： 卜删如) p ( t ) 坤) 若口 b 定理l1 3 设函数p ：t r 是严格递增的，且贡= p ( t ) 是一个时标若，：可一败是右 稠连续的，是a 可微的且其导数是右稠连续的函数，那么对任意的8 ，b t 小砂邙瑚= 原加1 厶s 时标上积分的其他详细的性质可见文献 5 5 ， 5 6 定义l1 4 称函数f ：t r 是：r e g r e s s i v e ，如果对任意的t t ，都有 1 + t t ( t ) f ( t ) 0 第6 页，共0 5 页 博士学位论文 第一章综述 所有的r e g r e s s i v e 且右稠连续的函数构成的集合记为亿= r 佃) = 佗( 面，豫) 亿上所有 正的r e g r e s 8 i v e 的函数构成的集合记为 冗+ = 冗+ ( t ，r ) = ，冗：1 + “( t ) ，( t ) 0v t 面) 注1 1 集合咒在。运算f 是一个a b e l 群其中对于任葸的p ，q 冗，运算。定义为 ( p og ) 0 ) = p ( t ) + 口( t ) + p ( t ) p ( t ) g ) vt t 有时也称冗为r e g r e s s l v e 群且运算。的逆运算。为：e p2 r 再- 石p 两。定义e 为 p o q = p o ( e g ) 2 丽p - q 对任意的0 l r ，定义。运算为 口。p ；l i 。i ! 塑2 ：二1 8 _ p 5 那么( 冗+ ，o ，o ) 构成了r 中的一个一维线性空间( 【6 5 1 ) 下面介绍时标上指数函数的定义，及在本文将要用到的几个性质 矗( z ) = ；l o g ( 1 + 圳 其中茁r ，。一；这里工。9 是主对数函数，即 靠c z ，= j 1 。【。l 。o 。g ( i ，1 + + 。x h 1 ) + 。茎： 当 = 0 时，定义如( z ) = $ 定义1 1 6 若p ( t ) 佗，定义时标上的指数函数为 ，扣( ，。孙，删酬= ( ( 。燮群r ) t , s etep(t e x pe x p aj ，s ) = ( 矗( r ) 仞( r ) ) r ) =( 竺生焉 ! 兰业f ) j 0op o ， 注1 2考虑时标上的动态方程初值问题 。= p ( t ) 茹z ( t o ) = o( 1 - 3 ) 这里o 可，z o r ，p ( t ) 冗那么指数函数z ( ) = x o ( t ，t o ) 是( - 3 ) 的存在唯一的解 定理1 1 7 若p ，口冗，则对vt ，8 ，时标上的指数函数有下列性质： ( i ) e o ( t ，8 ) i1 ，e a t ，t ) = 1 ； ( i i ) 8 ( 口( ) ，5 ) = ( 1 十p 0 ) p ( t ) ) 。 p ，s ) ； 第7 页，共9 5 页博士学位论文 1 3 时标理论及其应用 ( i i i ) ( 半群性质) e p ( t ，s ) e p ( s ，r ) = 印( t ，r ) ； ( 1 v ) 唧( 如) 2 南2 8 。，( 5 ，。) ； ( v ) 任意的实数a ，有e 口。p ( t ，t o ) = e g ( t ，t o ) ； ( v i ) 如果p 冗+ ，刃v ：- , e p ( t ，s ) o ； ( v i i ) 如果p 冗冗+ ，那么印( 口( ) ，s ) 印( t ，s ) o ) ，且a 为常数矩阵，那么圣 ( t ，t o ) = e a ( t ，t o ) = ( i + a ) ( t - t o ) “ 定理1 2 4 设a 冗是一个n n 矩阵值函数，：t r n 是右稠连续的，若t o t ，。o r n ，那么初值问题 x 6 = a ( t ) x + f ( t ) x ( t o ) = x o 存在唯一的向量值解：t 一种为 一 x ( t ) = 垂 0 ，t o ) x o + 垂 0 ，j ( r ) ) ，( _ r ) r j t o 考虑时标上的动态系统 z ( t ) = ，( t ，z ) x ( t o ) = x 0 t 面，z l 殴，( 1 - 5 ) 设，( t ，0 ) = 0 ，则系统( 1 5 ) 存在零解并且假设，( t ，z ) 满足系统( 1 5 ) 在t t o ( ，t o t ) 上存在唯一解的条件，类似于( 1 - 1 ) ，( i - 2 ) ，对于系统( 1 - 5 ) 的零解的稳定性的定义如定义 1l 一定义1 3 所示对( 1 5 ) 的稳定性分析，也有相应的l y a p u n o v 赢接方法，参见文献 4 2 1 一 4 s l 下面证明一个条件要求更为严格的稳定性判据， 定理1 2 5 设nc 是包含原点的某一邻域，如果存在函数v ( t ，z ) ：t n r 关 于变量t 是可微的，而关于变量z 连续可微且满足a ( 忙“) y ( t ，z ) b ( 1 1 3 c 1 1 ) ，这里函 数o ，b ：骢 一r 古是严格单调递增的，且o ( o ) = 6 ( o ) = 0 记y ( t ，。) 为y ( t ，z ) 沿( 1 5 ) 的 解x ( t ) 的导数那么 ( i ) 若对任意的( t ，x ) t xn ，v ( ，。) 0 ，则零解是稳定的； ( i i ) 若存在正常数7 ，使得y ( ，z ) 一- w ( t ，嚣) ，则零解是渐近稳定的； ( i i i ) 若对任意的( e ，) t n 0 ) ，v 6 ( t ，。) 0 ，则零解是不稳定的 证明( i ) 若y 6 ( t ，z ) 0 ，则从如到t 在t 上积分此不等式可得 v 旷忡咿0 ) _ f 皑邮( s ) ) s 。 第9 页，共9 5 页博士学位论文 1 3 时标理论及其应用 i 批a ( 1 l x l l ) 茎v ( t ，z ) v ( t o ，x o ) b ( 1 l x o l l ) 由函数a 6 的性质及稳定性的定义知，对任意 的e ，令6 = b - l ( o ( ) ) ，当| i z o l i 0 ，则当t t o ( t t ) 时，b ( 1 l z l l ) v ( t ，。) v ( t o ，x o ) a ( 1 l x o i i ) 取= a - 1 ( b ( 1 l z o l l ) ) ，则对任意的6 ，对于任意满足l l z o l i 所以零解是不 稳定的证毕 时标理论从产生，经过一段时间的沉寂，之后又重新展现了它的发展活力，充分说明这 一理论巨大的应用潜力正在逐渐被认识到它不仅把微分和差分结合在一起，而且还解决 了把停止开始行为和连续行为结合在一起的问题，为进一步探索自然提供了更有力的工 具这就使得我们在以后的研究问题中，可以在更广泛的集合上去研究问题比方，当h 0 时 t = h z = h z ：z z ) = ，一3 h ，- 2 h ，- h ，0 ，h ，2 h ，3 h ) 具有任意步长，含盖了在信息科学中经常使用的一大类集合对va ，b 0 ，定义时标只6 为 只，6 = u 陋( o + 6 ) ，( o + 6 ) + 0 ( 1 - 6 ) k = o 只6 在生物学领域有广阔的应用价值比方，当一类种群在一个季节是连续变化的，而在另 一个季节由于各种原因却会全部灭亡，它们的卵这时处于休眠状态，在新的季节来临时，就 会被孵化变成新的生命，形成一个不交叠的昆虫数量关系描述这类具有冬眠( 或蛰伏) 特 性的种群数量随季节变化的规律时，在时标只，6 上建立模型会更能反应实际情况( f 2 3 1 ， 【3 9 ) 目前这是时标理论应用最多的一个领域u p p e rm o n t e l a i r l ，| 立大学的应用数学家d r d i a n at h o m a s ( 【57 】一 6 0 】) ，在研究西尼罗河病毒中( 【6 1 ) ，发现她的差分方程组模型无法准 确的预测实际发生的现象，她在2 0 0 0 年r h o d ei s l u n d 召开的国际会议中，接触到了时标理 论，并意识到这正是她所需要的目前，t h o m a s 正在建立时标上包含多个变量的模型，其 中甚至包含了地域的影响，阶段性的结果充分认可了这一理论的应用前景，并且她坚信一 第1 0 页，共9 5 页 博士学位论文 第一章综述 旦模型完全建立，必将能够正确地指导健康政策( 【2 1 】，【5 7 】) 另外，现在时标理论已经被引入到控制和同步当中( 6 2 1 ) ，并且在电力系统网络中 也投入了使用( 6 3 1 ) g e o r g i a 南部大学的j o a nh o f f a c k e r ( 【4 0 】) 正在和她的同事b i l l u r k a y m a k q a l a n 一起，用时标理论来研究人体心脏中的电磁反应；h o f f a c k e r 的另一位同 事t o mg a r d 也正在试图运用这一理论改进股票市场模型；d a y t o n 大学的计算机科学 家q i ns h e n g 发现利用时标理论可以对发动机的内燃机做更精确的仿真( 2 1 】， 5 3 1 ) 时标理论的研究，即是数学理论自身发展的需要，也是实际问题的需要，目前这一理论 发展的时间还不长，在我国刚刚起步不久，同微分方程和差分方程相对比较系统完善的理 论相比，时标动态方程的基本理论上尚未完全建立，因此有许多十分有意义的课题有待我 们去研究发现，并把这一理论广泛应用于实际问题中 1 4 本文工作 本文在现有时标理论的基础上，对时标上几类动态系统的定性结构及稳定性态进行了 分析，统一并推广了连续和离散动力系统在解的有界性、指数稳定性及振动性方面的一些 结果，同时对时标理论本身定义中存在的多样性也进行了探讨 第二章首先指出了文献 4 0 】中出现的问题，在参考 6 4 】，【6 5 】的基础上，通过引进另一种 函数的大小关系，利用v 函数的方法系统地讨论了任意时标上一阶动态方程 z 6 0 ) = p ( t ) z 0 )( 1 - 7 ) 。6 ( t ) = p 0 ) z ( ) + ，0 ，z ( t ) )( 1 - 8 ) 的解的稳定性，并继而得到了用尺度函数p ( t ) 表示的判断方程稳定性的标准；在2 2 节，分 析了一般时标上，当p ( t ) = p ( 非零常数) 时，非线性动态方程( 1 8 ) 与其相应的线性动态方 程( 1 7 ) 的解之间的关系，证明了时标上的p e r r o n 定理；在第2 3 节中，在一般的周期时标 上，讨论了动态方程( 1 7 ) 存在周期解的情况下解的一些性质，并得到了零解稳定性的判别 式；2 4 节中，在一个特殊的有丰富实际应用背景的周期时标( 1 - 6 ) 上，系统全面地讨论了对 于任意的非零实常数p ，常系数一阶线性齐次动态方程( 1 7 ) 解的渐近行为，并针对其尺度 函数p ( ) 进行了完整的分析，同时利用前面几节的结论，得出了非齐次方程( 1 - s ) 的解的渐 近行为这里通过把所讨论的问题转化为曲线之间的位置关系，得到了在2 1 节和2 2 节中 无法分析的部分解的渐近稳定性；在后面两节中，对平面线性动态系统以及n ( n 3 ) 维线 性动态系统进行了定性分析 第1 1 页，共9 5 页 博士学位论文 1 ，4 本文工作 第三章中，利用定义在时标 - 的l y a p u n o v 类型函数，得到了动态系统 霉= f ( t ，茁) z ( t o ) = o t o ，z o r p ( 1 - 9 ) 解有界的充分条件，理论上放宽y 7 2 】l y a p n o v t y p ei 函数的限制；在3 3 节，借助于时 标上的广义指数函数，定义了新的指数稳定性，利用时标上的l y a p u n o v 类型函数及其微 积分理论，得到了在某些适当的充分条件下，在尺度函数肛( t ) 有上界的时标上，初值问题 ( 1 - 9 ) 的解是指数稳定的；最后利用y y o u n 9 7 s 不等式举例说明了本章中的结论本章的结 论是对现有微分和差分方程中的结论的统一和推广 第四章中，分析了现有的时标上用到的指数类型的函数，以及相应的各种指数稳定性 之间的关系首先得到了三种指数函数之间的大小关系，而后利用不同的指数函数，定义了 时标上解的不同的指数稳定性，并指出大小关系无法判断稳定性之间的关系是否存在等价 因此在后面几节中，对于一阶纯量动态方程、常系数动态系统、及变系数动态系统，分别 得到它们各种指数稳定性的充分必要条件，间接的证明各种指数稳定性之间是等价的，从 而统一了时标理论自身定义的差别 第五章讨论了两类方程的解的振动性在5 1 节中，利用r i c c a t i 变换以及积分平均技 巧，讨论了时标上二阶动态方程 ( r ( t ) x ( t ) ) + q 0 ) f ( z 0 ) ) = 0 ，t t( 1 - 1 0 ) 的振动性，同时考虑t h ( t ，s ) ，k ( s ) 型函数，得到了系统( 1 1 0 ) 振动的几个充分条件，并举 例说明了得到的结论是对原有结论的统一在5 2 中，考虑一阶非自治中立型滞后动态方程 ( 。( t ) 一p ( t ) z b ( t ) 】) + 日( t ，z i h ( t ) 1 ) + g 0 ，茁【r ( t ) 】) = 0 t 可 ( 1 - t 1 ) 通过对系数和滞后项给出合适的条件，尤其是对函数9 ( t ) 采用定义在区间上的限制条件， 利用【9 4 中引理1 的结论的推广，解决了方程( 1 - 1 1 ) 的所有解振动的问题，得到了儿个 振动的充分条件；最后利用压缩映像原理，讨论了方程( 1 1 1 ) 的正解的存在性，这也推广 了【9 3 1 中定理l 的结论 第六章讨论了任意时标上，线性动态系统初值问题： x a ( t ) = a z ( t ) x ( t o ) = it ，t o t( 1 - 1 2 ) 的矩阵值解。 ( t ，t o ) 的计算问题，把微分和差分中相应的理论推广到时标上，得到 t e ( ，t o ) 的两种关于a 的多项式表达的形式；最后结合已有的p u t z e r 算法，分析了现有各 种算法间的关系 第1 2 页，共9 5 页博士学位论文 第二章一类周期时标上的动态方程 第二章一类周期时标上的动态方程 2 1 一阶线性动态方程 考虑一阶线性齐次动态方程 一( t ) = p ( t ) x ( t ) ( 2 - 1 ) 这里p ( t ) n ( v ，r ) ( 定义1 1 4 ) 显然z = 0 为其平凡解当p 是非零常数时，g a r d 和h o f f a c k e r ( 【4 0 】) 对( 2 一1 ) 进行了详细的讨论，其中令 ，、f 掣当肛 0 时 0 p ( 弘) = 肛 。旷” ip当p = 0 时 并且指s a p ( t l ) 有以下性质： 当p 0 时，( p ) ( 0 ) 关于弘在区间i o ，+ o o ) 上是单调递减的； 当p 一2 p ，郇( ，4 ) ( 0 ) 从。首先单调递增到其最大值p = 矿一4 5 9 l p ，然 后当芦一时，单调递减并趋于。由此得到比较重要的一个结论( 【4 0 】，c o r o l l a r y41 ) 引理2 1令 r t2 吧。i n f ( 绯) ) l + 。 。 b = l i ms