（理论物理专业论文）标量和矢量介子的相对论束缚态研究.pdf

摘要 摘要 在量子场论呈相对论两体束缚态问题出b e t l e s a 羔p e t e r ( b s ) 方程来攒 述，关于b e t h e s a l p e t e r ( b s ) 方程的求解问题一直是因际上关注的，至今没 有得到很好解决的重要困难问题。囱从g e l l 一m a n n 和z w e i g 提出夸克假设，大 量强子的性质得到了穰成功的解释。七十年代，g 疆t h 用睢象势研究了相对论形 式的等质量夸克一反夸克束缚态，分析了束缚态的对称性并数值求解了它的 b e t h e s a l p e t e r ( b s ) 方程。九十年代，g u p t a ，m i t r a ，s i n g h 提出夸克一反 夸克系统的束缚态应该是矢量一矢量型，并解释了这样做的三个优点。 在本论文中，我们酋先琴| 雳唯象的矢量矢量耦合的强子相互作篇势模型 ( 平底势模型) 在b e t h e s a l p e t e r ( b s ) 方程的框架下对标量介子和矢量介子 的相对论束缚念进行了深入的研究，所得的结果与其它理论和实验结果符合的 很好；然后角修f 的平底势模型在彩虹近似下的s c 1 w i n g e r d y s o n ( s 功方程 与阶梯近似下的8 e 乞h e s 鑫l p e 乞e r ( 8 s ) 方程耦合的框架下研究标量介子，锝到 它的波函数和电磁形状因子的解析表达式。 在第二章中，我们在旋量一旋量b e t h e s a l p e t e r ( b s ) 方程框架下用矢量 一矢量型平底势模型来研究标量介子，得到它的波函数和电磁形状因子。首先 对b s 方程执行w i c l _ 掰和厨一 im 的积分： p 扣x 1 。x 3 ) p ( x 2 一x a ) p 1 “) p 一揣( 岛一 ( 1 1 4 ) 在上式中乘上来自波函数矶( x 3 f ，x 4 f ) 的因子： 8 掰( 。】。一) “e 一鼬 完成对x 3 、x 4 的积分和极限运算，我们得到下面的万函数的限制 ( 1 1 5 ) 。k = p + p ，= + p j ( 1 1 6 ) 对于大于肼的吖p 、埘，与质壳的约束七2 ：一时2 ( 厨一2 聊) 相矛盾，所 以( 1 ，2 ) = 一d 4 鼍d 4 d 4 而d 4 掣( 1 ，5 ) s 夕( 2 ，6 ) g ( 5 ，6 ；7 ，8 ) 厄( 7 ，8 ) ， 厄( 1 ，2 ) = 一j d 4 鼍d 4 矗4 而矗4 黾厄( 5 ，6 ) 否( 5 ，6 ；7 ，8 ) 掣( 7 ，3 ) $ ( 8 ，4 ) 根据时空的平移不变性，我们引入，、 x = _ 一恐，工= _ 一_ ，= ( 五+ 而) 2 ，x = ( 为十_ ) 2 ( 1 1 8 ) m 而小南p 4 砒七 ( 1 1 e ) e x p ( 访( x x7 ) ) e x p ( p x ) e x p ( 一幻x ) k ( p ，g ，詹) ， p 4 p 陬p ，p ，露) + 召( 肛p ，七) k ( p ，譬，七) = 占p ( p g ) ， 。p 。g 乏( p ，碍，后) ，( 吁，g ，七) + 昙( 9 ，鼋，是) ：万( 。( p 一鸟) ， l2 。 ，e p ，g ，七，= 艿( 4 c p 一哼， s ( p 十圭) 一 s 芦( 一p + 喜) 一。 c ，z t ， 束缚态给出经过傅立叶变换的k 的在= q 处的一个极点： 4 笙! 童堕笙 一一 一 m 序铲裔去i 焘础) 砒) ：。， + 在= 处正则的项 最后我们得到动量空间的齐次b s 方程： p 4 ，p ，尼) 十否( 舢，七) 砒( p ) = 0 ( 12 3 ) p 4 q 瓦( q ) m ，q ，膏) + 8 ( q 7 ，q ，七) = o - 下面给出波函数的归一化条件，这早我们采用a 1 1 0 c o c k 【1 8 】，c u k 0 3 k y 【。9 j l u r i e 【7 】的方法。 首先我们引入辅助量， q ( 删，缸) = 胎( k 飞垮( m ，七) 麦瞰删+ 百( 9 州 ，( l 2 4 它在t 以及质壳= 吼上都有定义a 菇了方猹起见，我们把p ，q 看成指标，将q ( p ，譬，后) 写成更简洁的算子形 式， ， q = ( 氏叫) & ( 七) 杀沁) + 亏( 后) 5 则( 1 2 0 1 2 2 ) 式可化简为： k ( 七) f 小) + 召( 后) = 1 ， f m ) + 舀( 七) 瓜= o ，( = q ) ， ( 1 _ 2 6 2 觋( 也) k ( 七) 一裔索胍 * o + 饥i 厶巧j “0 把辅助量的形式作一下变形， q ( 七) = 杀陪蛾) k ( 唧七) + 召( 忌) ) 一咖铲州是巾q 觅) ( 1 2 7 ) - l - 咖铲酬m ) 坷尼) 把它作用在肌上，得到下面的方程 第1 章绪论 q ( 七) 以= 厄( = q ) ( 1 2 8 ) 另一方西，在= 哦处我们得到， q 以一南去觚杀+ 舀( 蝴苁 ( 1 z 。) 比较上述结果，我们导池归化条件， 一南厄杀+ g ( 七) k 2 岛( 2 峨) ( 1 。) 下面给出完整指标下的b s 方程的归一化条件， 一南p 4 删厄( g ) 杀川+ 君( 9 刺 础) = 2 ( = ) f 13 1 ) 1 3s c h 锋in g e r d y s o n ，亨程 我们知道，在理论上从量子场论的场方程结合格林函数可以得到一系列的 耦合方程。这些无穷缴方程不时会被作为d y s o n s c h w i n g e r 方程( s d e ) 的复杂之 处被提及es d e s 的详细介绍包括它们的推导可以参考b j o r k e n 和d r e l l ( 1 9 6 5 年) 以及i t z y k s o n 和z u b e r ( 1 9 8 0 年) 编写的教材。 这晕我们给出在完全的顶角情况下夸克传播子的d s e 的形式： ( p ) 2 m 一廊+ 赤p 4 p s ( p 7 ) r y 吒。( p 一p ) ， ( 13 2 ) 其中 s 一( p ) = 爿( p 2 ) y p b ( p 2 ) ；彳( p 2 ) ，p m ( p 2 ) ， 引p p l 等弦2 ) ， 这取聊代表明显的质量破缺项，1r 代表完全的顶角。我们耿郎道规范来消除发 散。 d s e 方程将场论中的托f 挖2 点格林函数与斥+ l 点格林函数相联系。因 此只要解出d s e 的解，则有关场论的结构就全清楚，从而可严格地研究有关物 6 第l 章绪论 理f 司题，比如手征对称性的动力学破缺、夸克禁闭及其它强子问题 2 0 】。至今都 是采取近似方法来解决如何截断无穷系列的d s e 方程组的这一难题。比如将顶 角横向分量忽略不计或人为的引入某些形式，其纵向分量满足w i r d t 酞a h a s h i 恒等式：求顶角函数与传播子间的s d e 时，对顶角函数作简化处理。 下面我们给出对项角函数作简化处理的过程和可行性分析。根据可重整化 的一般原理，如果圈图修f 后的等效拉氏量能保持原有拉氏量的对称性，比如 c p t 等，就可以引入抵消项把费曼积分中的无穷大消去。( w e i n b e 唱量子场论卷 二) 其中关键的条就是满足s l a v n o v t a y l o r 等式( s t i ) ，在q c d 中夸克一胶子顶 点函数的s t i 可以写成【2 0 】： 七一r 4 ( p7 ，p ) 1 十6 ( 七2 ) ( 1 3 3 ) = i b ( 七，p ) s “( p ) 一- 5 “( p ) 1 一b ( 七，p ) ， 这里p 毫p + 后。6 ( 七2 ) ，口( 七，p ) 分别是鬼粒子的自能和鬼粒子一夸克的散射 核。在郎道规范下，仅考虑微扰论的最低阶，b ( 七，p ) 在重整化点 ( p “= p 2 = j 2 = 一2 ) 约为零。如果忽略掉鬼粒子上式就对应于量子电动力学 中的w t i ，根据电动力学中的顶角分析得到的结果 2 l ，2 2 ，2 3 】， r 4 ( p 7 ，p ) = r 。c 。( p 7 ，p ) + r 。，4 ( p 7 ，p ) ， ( 1 3 4 ) 其中 珞纠：华门辫 爿( p 2 ) + 爿( p 旧) 掣一 b ( p 2 ) + 层( p 砣) ， r：，(p7，p)=兰二i里二二兰上!螽三j竽4(p砬)一一(p2)， m 7 纠= 南2 ) 2 + 端一鬻 2 这罩，r 8 r 是b a l l c h i u 顶角【2 1 ，r f p 是c u r t i s 和p e i l l l i n 舒o n 后来发现并加上 去的 2 2 】。显然还应该根掘具体情况加入横向部分。通常取r b c 部分就可以了。 7 第l 章绪论 我们可以通过分析发现上述完全顶角不但满足w t i 且没有动力学奇异性， 因此当没有相互作用时，可退化成裸顶角，即通常所说的彩虹近似。 下蕊我们来解彩虹近似下的s d e 。在这晕我们假设s d e 方程中豹积分变量 可以从阂氏空间中解析地转动到欧氏空闻【2 4 】。事实上由于可能会遇到奇点所以 会有麻烦。由于夸克囚禁在类时轴上不会遇到奇点，对类时轴上方的复数区域可 能的奇点我们可阻把积分变量转动到接近它的地方来求解一个复的s d e ，这样 更符合物理。我们也可瞄用欧氏空间的路径积分宣接缮判欧氏空闯的s d e ，这 样可以避免维克转动可能遇到的麻烦，详细分析见第四章。我们把动力学变量 p ，p 解析的转到欧几罩德空问并用芦，芦7 来表示，再把欧氏空间中的s d e 巾2 ) - + 南胁黼 卜+ 煎茅| ， 曰( 歹2 ) 讲南如 ( 1 3 5 ) 求解s d e 前很重要的一步是g l 入个质量栎度参数a 。c d 把嚣( 哥2 ) ，芦和芦 啦夸掣一= 去， n 。， 屋 = l = 于p ；，p i ，p ：， 此积分方程组， 其中 ，” “：一 a 。c d 当对( 1 3 5 ) 式执嚣l 截断，我们可以简亿 和2 ) - t + 嘉f 审两筹啦2 ) ， 曰(芦2)=()+昙f咖i面器畅(芦“，芦2)，c，sz， 8 功一p黼 第1 章绪论 引矿，等r b 肌等寿一 g ( 万7 ，矽，c o s 秒) s i n 2 甜秒， 髟( 万“，万2 ) = 嚣j c r g ( 瓦珊岫2 伽， g ( 万7 ，如础) 兰人如g ( 万一万，) 2 这罩歹= 例。 现在我们讨论b s 方程中的唯象势。夸克在强子内部是自由的，对于轻夸克 来说其质量可以近似认为是零。如g u p t a ，m i t r a ，s i n 曲在文献【1 3 】中所论证，当 我们考虑一共唯象势时，必须满足规范不变性、手征不变性、相对论协变性。在 这罩我们假设一个唯象的平底势 1 2 ，1 4 1 7 】，不但能够满足上面三个条件而且 避免了汤川势在尸= o 处的奇点。它由一系列汤川势叠加而成，这相当于交换了 系列不同质量的粒子。而且我们假定这些粒子的质量并不是独立的，他们满足 一定的关系。唯像矢量一矢量型平底势可以写成： 吣) _ _ 罱萎南， 3 8 ， 这罩代表所交换最小粒子的质量，p 是所交换粒子的质量差，口，是不同立 足问的相对耦合常数；它的值决定每一个交换粒子的相对强度；它的符号表示项 的特性。 在三维的情况下，平底势可以对应的表示成如下形式， y ( 尸) = 一g 2 日，笠：_ ( 1 3 9 ) 为了消除r = o 处的奇点。我们取如下的平底性条件： 忡) - c o n s t a n t ，掣= 掣一= 掣- o 删 、7 d 厂d 尸d r 从上述平底性条件可以推导出下面的方程，解之可得相对耦合常数。 9 第1 章绪论 q = o ， ，- o 掰，( + 弦) = y ( o ) g 2 ， ，= o 哆( + 印) 2 = o ， ，：o 哆( + 弦) ”= o ， ( 1 4 1 ) ，：0 在这罩我们取雅= 9 ，矿( o ) g 2 = o 5 。这种取法跑较符合物理实际，完老师 和涯老师以的的工作取得了很好的结果 1 2 ，1 4 1 7 】。 1 5 数学准备 1 只，= 4 2 y h 4 y 。