（应用数学专业论文）广义模糊群与多值蕴涵.pdf

! 兰兰塑竺兰! 竺苎兰￥6 9 1 0 l - _ - _ _ _ _ - _ 。_ 。_ _ _ - - _ _ - 。_ 。1 。1 - 一一 广义模糊群与多值蕴涵 研究生： 指导教师： 专业：应用数学 刘新 袁学海教授 中文摘要： 通过应用模糊点与模糊集之间的邻属关系和模糊逻辑的蕴涵算子，给出了 ( 万，i ) 圳f uy f f - g t 和开一f u z z y 子群的定义；得到了一种新的模糊子群( 被称之为( 毛， 毛vi ) 一f u z z y 子群) ；讨论了( i ，：) 一f u z z y 子群与r f u z z y 子群之间的关系。我们还给 出了( ， 一f u z z y 子群酌定义，这种f u z = y 子群是r o s e a f & d 的f u z z y 子群，( vq ) 一 f u z z y 子群和( i ，i v 百) 一f u z z y 子群的推广。最后，对( 虿，i v i ) 一正规f u z z y 子群作 了讨论。 关键词：f u ；z y 子群；模栅点；蕴涵算子；( vg ) 一f u z z y 于群；( i ，亏v i ) 一f u z z y 子 群 r f u z z y 子群；( ， 一f u z z y 子群。 g e n e r a l i z e df u z z yg r o u p sa n dm a n y v a l u e d i m p l i c a t i o n s a b s t r a c t ：b yt h ei l s eo ft h en e i g h b o u r h o o dr e l a t i o no fb e t w e e nf u z z yp o i n ta n df u z z ys e t sa n dt h e i m p l i c a t i o no p e r a t o r s ，t h ec o n c e p t so f ( 口，d ) 一f u z z ys u b g r o u pa n dr f u z z ys u b g r o u pa r e g i v e n an e wk i n do ff u z z ys u b g r o u pc a l l e d ( ，vq ) 一f u z z ys u b g r o u pi so b t a i n e d ，a n dt h e 一、 r e l a t i o n so f ( 口，口) 一f u z z ys u b g r o u pa n dr f u z z ys u b g m u pa r ed i s c u s s e d w ea l s og i v et h e d e f i f l i t i o n s u b g r o u p v 口) o f ( x ，“ 一f u z z ys u b g r o u p ，w h i c h i st h e g e n e r a l i z a t i o n o fr o s e n f e l d s f u z z y ( ，vq ) 一f u z z ys u b g r o “pa n d ( e ，i vi ) 一f u z z ys u b g r o u p f i n a l l y ，( g - ， n o r m a lf u z z ys u b g r o u pi sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：f u z z ys u b g r o u p ；f u z z yp o i n t s ；i m p l i c a t i o no p e r a t o r s ；( ，v q ) 一f u z z y s u b g r o u p ；( i ，i v 百) 一f u z 2 ys u b g r o u p ；r f u z 。ys u b g r o u p ；( x ，p 一f u z 2 ys u b g r o “p 广义模糊群与多值蕴涵 第一章引言 自从l a z a d e h 引进模糊子集的概念以来”，很多学者对模糊代数做了系统的研 究”4 1 6 “r o s e n f e l d 首先引人了一个群的模糊子群的概念”1 a n t h o n y 和s h e r w o o d 给出了基 于t 一范上的模糊子群的定义m o r d e s o n 和m a l i k 编著了模糊代数的第一本专著“ 最近， b h a k a t 和d a s 通过使用模糊点与模糊集的“属于”( ) 关系和“重于”( q ) 关系给出了( “， p ) 一f u z z y 子群的概念，并得到了一种新的f u z z y 子群( 称之为( ，evq ) 一f u z z y 子 群) 2 + “ 众所周知，一个群g 的一个子集a 是g 的一个子群当且仅当 ( 1 ) z a ，y a 等x y a ；( i l ) x a = z “a( 1 ) 而b h a k a t 和d a s 的( a ，p ) 一f u z z y 子群恰好是条件( 1 ) 的推广然而条件( 1 ) 还等价于 ( i ) 7 x yea j zea 或y a ；( | i ) z 。1 a j z a( 2 ) 如果我们将条件( 2 ) 推广到模糊情况，则有群g 的一个模糊子集a 是c 的一个模糊子 群当且仅当对所有模糊点瓤，y 。， ( i ) 瓤扎i j 扎ia 或儿ia ；( 1 1 ) ( x 一1 ) ea j 瓤i a ( 3 ) 如果x 。, a a 表示孔a a 不成立，这里口e ( e ，q ， q ，evq ) ，则我们能给出以下定 义： 群g 的一个f u z z y 子集a 称为g 的一个( ，i ) 一f u z z y 子群，如果 ( i ) 托 融j 孔矗或y f i a ；( i i ) 7 ( z “) 。勘；扎j( 4 ) 这里口，p e ，q ，e 口，evq ) 这样便得到了( 口，n ) 一f u z z y 子群的定义 从逻辑的观点看群g 的一个子集a 可以对应一个特征函数 a ( 。) ：1 ，5 三“ t o ，zea 令r 是经典逻辑的蕴涵算子。则 r ( 口，6 ) ：f 1 ，。20 或6 21 l 0 ，否则 则群g 的一个子集a 是g 的一个子群当且仅当 ( 1 ) r ( a ( x ) a ( y ) ，a ( x y ) ) = 1 ；( 2 ) r ( a ( x ) ，a ( z “) ) ：1( 5 ) 通过使用模糊逻辑的蕴涵算子和模糊逻辑中 一重言式的概念，我们可以将条件 ( 5 ) 推广为： ( 1 ) 7 r ( a ( x ) a ( y ) ，a ( x y ) ) ；( 2 ) r ( a ( z ) ，a ( x 。1 ) ) ( 6 ) 在本文第3 章第l 节，我们给出( 石，i ) 一f u z z y 子群的定义，得到了一种新的模糊子群 ( 称之为( i ，一evi ) 一f u z z y 子群) 在第3 章第2 节，给出了r f u ：y 子集的定义，并讨 论了r l u z z y 子群与( 万，i ) 一f u z z y 子群之间的关系在第3 章第3 节，给出了 ( ， 一f u z z y 子群的定义，这一定义推广了r o s e n f e l d 的模糊子群，( ，v 口) 一f u z z y 子 群和( i ，i v i ) 一f u z z y 子群在第4 章，我们给出了( i ，i v 百) 一正规f u z z y 子群定义， 并对它们的性质做了讨论 广义横糊群与多值蕴涵 第二章预备知识 令g 是一个群， ，卢e 0 ，1 ， 、卢垒r a i n ，p 】， vp 垒m a x ，p ， 定义2 t “o映射a ：c - 一 o ，1 叫做g 的一个模糊子集 定义2 2 ”1若g 的一个模糊子集a 满足： a ( v ) ：f 3 ( o ) ，y 3 。 。 l o ，y z 则称a 为一个模糊点，记作 定义2 3 ”1( 1 ) 称q 属于a ( 记作托a ) ，如果a ( x ) ； ( 2 ) 称瓤重于a ( 记作扎卵) ，如果 + a ( x ) 1 由文献 2 ，我们有 称i q a ，如果- a 且取g a ； 称qevq a ，如果i a 或而弘； 称qev 私，如果确ea 或瓤q a ； 称扎 q a ，如果托ea 且瓤q a 定义2 4 【8 1 群g 的一个f u z z y 子集a 被称为g 的一个f u z z y 子群，如果 ( ) a ( x y ) a ( x ) a ( y ) ；( i i ) a ( z _ 1 ) a ( x ) 定义2 5 ”1 群g 的一个f u z z y 子集a 被称为g 的一个( 口，口) 一f u z z y 子群，如果 ( i ) z a a ，y 。a a ( 。y ) ，卢a ； ( | | ) 而d a j ( * “) 肼 这里口，p ，g ， g ，vq ) 且a q 定理21 ”以下是等价的 ( 1 ) a 是g 的一个( ，vq ) 一f u z z y 子群； ( 2 ) ( j ) a ( x y ) r a i n a ( z ) ，a ( y ) ，0 5 ) ；( i i ) ( z “) r a i n ( a ( ) ，0 5 ( 3 ) 对va ( o ，o 5 ，a 。= ；ix g 且 ( x ) ，是g 的一个子群 第三章 ( 石，i ) 一f u z z y 子群，r f u z z y 子群和 ( a ，“ 一f u z z y 子群 3 1 ( 面，i ) 一f u z z y 子群 令c 为个群，e 为g 的单位元，o ，卢c - c - ，q ， q ，vq 定义3 1 群c 的一个模糊子集a 被称为g 的一个( 石，i ) 一 i z 珂子群，如果对所有。 yeg ；a ，p ( 0 ，1 有 ( i ) 蚱卢a j 瓢d 或n 口a ( | | ) ( z 。) 。动j 扎a 显然，当a q 时，g 的一个( 万，i ) 一f u z z y 于群就是g 的一个( “，p ) 一f u z z y 子群 一3 广义模糊群与多值蕴涵 由文献 2 ，我们有下列定理3 1 3 3 定理3 1 设d 为g 的非零( p ，。) 一f u z z y 子群且口aq ，则( 1 ) a ( e ) o ；( 2 ) a 。 = x gla ( x ) 0 l 是g 的一个子群 定理3 2 设a 是g 的一个( p ，a ) 一f u z z y 子群，则当( 卢，。) 为 ( i ) ( ，q ) ； ( ) ( ，aq ) ； ( 1 l i ) ( q ，) ( i v ) ( q ，aq ) ( v ) ( vq ，) ( v 1 ) ( vq ，q ) ； ( v i i ) ( vq ，aq ) 时，a = n 。( a 。的特征函数) 定理3 3 ( 1 ) a 是g 的一个( ，) 一f u z z y 于群姊a 是g 的一个( ，) 一f u z z y 子 群( 即a 是g 的一个r o s e n f e l d 的f u z z y 子群) ( 2 ) 若a 是c 的一个非零( q ，q ) 一f u z z y 子群，则a 在a 。上是一个常数 ( 3 ) 若a 是g 的一个( aq ，q ) 一f u z z y 子群且在a 0 上不是常数，则a ( z ) 0 5 ，vz a 。 ( 4 ) a 是g 的一个( aq ，) 一f u z z y 子群甘a 是g 的一个( ，vq ) 一f u z z y 予群 ( 5 ) 若a 是g 的一个( i 百，i i ) 一f u z z y 子群，则a 是c 的一个( i a q ，i ) 一 f u z z y 于群 定理3 4 令i = 一q 或口= e v q 若 是g 的一个( 面，i vi ) 一f u z z y 子群，则 ( 1 ) 若a ( e ) 0 5 ，则a ( * ) 0 5 ，vx g ； ( 2 ) 若a ( e ) 0 5 ，则( a ( z ) = ( e ) ，vz g ；或( a ( x ) 0 5 ，vz g ) 证 ( 1 ) 若存在x g 使a ( ) o 5 ，则x 。，a 且g q a 由于x 。，( f 1 ) 哥且， i v q a 不成立，所以( i 1 ) 。i v q a 于是 ( 1 ) 若( f 1 ) 。，刁，则( x 1 ) 。i v q a ，则( * “) 。，_ a ，因此有x 。，e v q a ，这与， i v q 不成立矛盾 ( i i ) 若( * 。) 。i a 。即a ( z 1 ) 0 5 ，若存在x a ，使a ( # ) 0 5 且a ( x ) a ( e ) ，则a ( * ) a ( e ) 若a ( * ) a ( e ) ，则存在 ， o ，1 使得 1 一a ( e ) 1 一a ( z ) p a ( e ) ，则存在 0 ，1 使 d 一 广义模糊群与多值蕴涵 1 一a ( ) a ( 1 一a ( e ) o 5 ( a ( z ) 于是有“( ；+ ) 。圈由于扎一ev 动不成立，所以有( z 。1 ) a v q a ，则 ( i ) 若( 。) 。神，则( z 。1 ) 。面于是有轧i v q a 这与札a 且h 一矛盾 ( 1 ) 若( 。t ) 。ea ，则a ( z 。1 ) o 5 ，则瓤a ，斯q a 且乳( f 1 ) 。ea 于是有( z 。1 ) v q a ，则 ( i ) ( f 1 ) ，ia ；扎毛v q a ，矛盾； ( i i ) ( f 1 ) 。积爿a + a ( x 。1 ) l 肆a ( f 1 ) 1 一 0 5 矛盾因此有 a ( z v ) v05 a ( x ) a ( y ) ，v * ，y c ( ) 类似可证 “# ”设* ，y 。毛a ，则a ( x y ) p ，则 ( i ) ，若a ( x y ) a ( ) a ( y ) ，贝4a ( x ) ( y ) 卢，贝0 可推出，a ( z ) 或 a ( y ) 严，则扎亏a 或y ，毛a ，则扎i v q a 或y ，i v q a ； ( | f ) 若a ( x y ) a ( x ) a ( y ) ，则a ( g ) a ( y ) 0 5 令瓤a 且y 。a ，则1 a ( x ) o 5 或p a ( y ) o 5 ，则q a 或y ，弘因此 有嘶e v q a 或扎e v q a 因此a 是一个( 一e ，一ev 百) 一f u z z y 子群 定理3 6a 是g 的一个( e ，i vi ) 一f u z z y 子群va ( o 5 ，1 ，a 。= x gl a ( x ) d 】是g 的一个子群 证明见定理3 9 ， 定理3 7a 是g 的一个( i ；，i v i ) f u z z y 子群 ( 1 ) a ( x y ) a ( * ) a ( y ) 了1 或a ( x y ) v 了1 a ( x ) a ( y ) ； ( 2 ) a ( z 一1 ) a ( x ) i 1 或d ( z 一。) v 百l a ( z ) 证“j ”( 1 ) 若a ( x y ) a ( x ) a ( y ) 不成立，则a ( ) a ( z ) a ( y ) 且 一一 广义模糊群与多值蕴涵 a ( 硝) 丢，则z y i 一q a ，于是z i ev q a 或y 一ev q a 则a ( x ) a ( y ) 号所 以a ( 。y ) v 昙a ( * ) a ( y ) ( 2 ) 若a ( ；一) a ( ，) 百1 不成立，则a ( ，一一) ( x ) 且a ( z 一1 ) 善于是有 ( x 一1 ) i 2i 一q a ，则* 一ev q a ，于是有a ( x ) 且 ( z ) v 告a ( x ) “掌”( i ) 设扎蚱e 一q a ，则 ( x y ) p 且 ( 叫) + a 1 ，则a ( 叫) 寺 且 a ( x y ) a ( 。) ( y ) 或a ( # y ) a ( x ) a ( y ) 百1 ( n ) 若a ( 。y ) a ( x ) a ( y ) ，则e - a 或扎ia ，则有扎一ev q a 或扎ev q a5 ( b ) 若a ( 彬) a ( x ) ( y ) ，则 当# 。ia 或h - ga 时，有扎一ev q a 或扎i v 动； 当af ly , , ea 时，有 a ( z ) 丁1 或p ( y ) 丁1 则有扎私或 刁因 此有h ev q a 或扎ev q a ( i i ) 设( z 1 ) 。i 一q a ，则a ( 一) 且a ( x 1 1 ) + 1 则a ( # 一) i 1 且 ( x - 1 ) ( x ) 或a ( z 一1 ) 0 和，x ：c 使f ( z ) 且a ( z 。) f ( a ) ( = 。) 一a ，a ( # 。) ) f ( a ) ( ：) 一a 则 r ( ，( a ) ( = ) “a ) ( = z ) ，( a ) ( = = 。) ) r ( a ( x 。) a ( z ：) ，( a ) ( 毛：) ) 一e r ( a ( x ，) a ( z ：) ，a ( x 。* 2 ) ) 一e 一e 于是有 r ( f ( a ) ( ：) ，( a ) ( = ：) ，f ( a ) ( ：。：) ( 2 ) 类似可证：n ( f ( a ) ( ；) ，以a ) ( z 。) ) 以下取a = 且r 代表下列蕴涵之一： 对任意的a ，b 0 ，1 ( 1 ) z a d e h 蕴涵算子： r ：( 。，6 ) = ( 1 一o ) v ( n xb ) ( 2 ) l u k a s i e w i c z 蕴涵算子： r u ( ，b ) = ( 1 一a + b ) 1 ( 3 ) m a m d a m i 蕴涵算子： r n ( a ，b ) = o b ( 4 ) g a i n e s r e s c h e r 蕴涵算子： 蹦，= ；： ( 5 ) g 6 d e l 蕴涵算子： 蹦，= i ： ( 6 ) g o g u e n 蕴涵算子： r 1 ，口= 0 r 。( ) 2 1 立，口 o ( 7 ) k l e e n e d i e n e s 蕴涵算子： r n ( a ，b ) = ( 1 一口) vb ( 8 ) r 。蕴涵算子： r 。cn ，。，= ：i 一。，v 。，：；： 广义模糊群与多值蕴涵 ( 9 ) r 蕴涵算子： 面c 。，。，= ：一。，：；： 则有 定理3 8 ( 1 ) a 是c 的一个r 。一f u z z y 子群甘a 是g 的一个r o s e n f e l d 的f u z z v 子群； ( 2 ) 是g 的一个r 。一f u z z y 子群( i ) a ( z y ) 去( a ( z ) a ( y ) ) ；( ) a ( ，一。) 丢a ( 疵v z ，y g ( 3 ) a 是c 的一个r 。u f u z z y 子群铀( 1 ) a ( 叫) a ( ) a ( y ) 或0 a ( x ) a ( y ) 一a ( x y ) 虿1 ；( i a ( x - ) 一a ( 川 ( 4 ) a 是g 的一个r 。一f u z z y 子群甘一( x ) 要，vx g ( 5 ) 是g 的一个尺。一f u z z y 子群甘( i ) ( z y ) a ( z ) a ( y ) i 1 ；( i i ) a ( x - ) a ( x ) i 1 ( 6 ) a 是g 的一个瓦一f u z z y 子群锌( i ) a ( 掣) v 百1 a ( z ) ( y ) ；( 1 1 ) a ( 一1 ) v 妻 ( 。) ( 7 ) a 是c 的一个月。( 或几或凡) 一f u z z y 子群( j ) 4 ( 叫) vi 1 a ( z ) a ( y ) 或a ( z y ) a ( ) ( y ) t 1 ；( i i ) a ( * 1 ) v 丁1 a ( x ) 或a ( x 1 ) a ( x ) i 1 证 ( i ) - - ( 4 ) 是显然的 ( 5 ) “；”由r c ( a ( z ) a ( y ) ，a ( 。y ) ) i 1 有a ( 叫) a ( x ) d ( y ) 或告a ( 町) a ( z ) a ( y ) ，则a ( 。y ) a ( x ) a ( y ) 了1 ( “) 由月c ( a ( ) ，a ( 一) ) i 1 ，我们有a ( x - 1 ) a ( z ) 或了1 a ( x - t ) a ( z ) ， 则a ( x 一1 ) a ( x ) i 1 “# ”显然 ( 6 ) “。” ( i ) 由瓦( 一( z ) a ( y ) ，a ( 叫) ) i 1 ，我们有a ( 掣) a ( x ) a ( y ) 或( ( 珂) a ( z ) a ( y ) 且l a ( z ) a ( y ) i 1 ) ，则a ( 掣) v 虿1 ( z ) ( y ) ( 1 i ) 由i ( a ( x ) ，a ( x - 1 ) ) i l ，有a ( x 一1 ) a ( x ) 或( a ( x - i ) a ( x ) 且1 一a ( z ) ) ，则a ( z 一1 ) v 下1 a ( n 广义模糊群与多值蕴涵 “# ”显然 ( 7 ) 设r 为z a c l e h 蕴涵算子r ： “j ( 1 ) 若a ( x y ) v 丁1 寺，则a ( 叫) a ( x ) a ( y ) 百1 ( i l ) 若 ( z 。) v a ( z ) ，则由r ：( a ( z ) ，a ( z 一) ) = ( 1 一a ( x ) ) v ( a ( x ) a ( x - 1 ) ) = ( 1 一a ( z ) ) va ( x 一) 了1 ，有 ( z 一1 ) 寻则a ( z 一1 ) a ( x ) 百1 “# ”显然 当r 为r 。( 或r 。) 时，证明是类似的 推论3 1 ( 1 ) a 是g 的一个r ：( r 。或r 。) 一f u z z y 子群a 是g 的一个 ( g ，vq ) 一f u z z y 子群 ( 2 ) a 是g 的一个r 。一f u z z y 子群a 是g 的一个( ，vq ) 一f u z z y 子群 ( 3 ) a 是c 的一个万一f u z z y 子群 是g 的一个( i ，i v 百) 一f u z z y 子群 注 推论3 1 说明了月一f u z z y 子群与( 石，i ) 一f u z z y 子群之间的关系， 3 3 ( a 。弘 一f u z z y 子群 众所周知。群的一个f u z z y 子集是一个r o s e n f e l d 模糊子群当且仅当对va ( 0 ，1 ，a 。 = t z gl a ( z ) a ，是g 的一个子群( 为了方便，这里将中视为c 的子群) ；由定理2 1 知：a 是c 的一个( ，vq ) 一f u z z y 子群当且仅当对v 口( 0 ，0 5 ，a 。是g 的一个子 群；由定理3 6 知：a 是g 的个( 芑，i vi ) 一f u z z y 子群当且仅当对va ( o5 ，1 ，a 。 是g 的一个子群 现在令a 是c 的一个f u z z y 子集，则a 可能满足下列条件： 对某些。c - ( 0 ，1 ， 。是c 的子群，而对另一些o ( 0 ，1 ，a 。不是g 的子群令 ，g = aia ( 0 ，1 且a 。是c 的子群 则 当，g = ( 0 ，1 时，a 是r o s e n r e i d 模糊子群 当，g = ( 0 ，0 5 时， 是一个( ，vq ) 一模糊子群 当i g = ( 0 5 ，1 时，a 是一个( i ，i vi ) 一模糊子群 一个自然的问题是：当i g m ，比如i g = ( ，卢 ，( a ，所以a ( z 一) 口，故z1 a 因此， 。为c 的一个子群， “# ”设a ( ，弘 时，a 。为g 的一个子群， ( i ) 若存在# ，r 使 a ( x y ) v n = r a i n a ( x ) ，a ( y ) ，“) 则z a 。，yc - a 。，o ( ，u 且a ( x y ) 口 由于a 。为g 的一个子群，所以由x ，y 。知：x y a 。，则a ( 叫) n ，这与a ( # y ) n 矛盾 因此a ( 叫) v m i n ( a ( x ) ，a ( y ) ，p ) ，v * ，y c ( f ) 若存在xec 使 a ( z “) v p = r a i n a ( z ) ，“) 4 x a 口，pc - ( ，卢 且a ( x - i ) 口 由于山为。的一个子群，而* 山，故x 一a ，于是a ( z 一) 卢这与a ( 。”1 ) ( 口矛盾 因此a ( x 叫) v r n i n a ( x ) ，u ) ，vzc - c 由上边讨论知：a 为g 的一个( ，卢 一f u z z y 子群 例3 1 令g = | ，2l ，0 ，1 ，2 a ( x ) ： 0 为整数加群，a 是g 的一个f u z z y 子集且 z 0 且2 * 0 6 ，2 z 且4 z 0 8 ，4iz 且8 z 0 9 ，8i $ 且z 0 这里ki b 表示t 整除n ，m n 表示 不整除n ，则 这里( n ) = ( ni ec ) ，( n ) + g ， 口= 0 ( 2 ) u ( i ) + ，0 “0 2 ( 2 ) ， 0 2 口0 6 ( 4 ) ， 0 6 a 0 8 ( 8 ) ， o 8 0 5 矛盾故 ( y 。x y ) v0 5 a ( g ) ，vx ，y g “( 2 ) j ( 1 ) ”：设a 为c 的一个( i ，一ev 百) 一f u z z y 子群，vx ，y c ，te ( 0 ，1 。令 ( y x y ) ，ia ，则a ( y 叫) a ( x ) ，从而a ( x ) + 1 ，则毛q a ，因此 i v q a 成立 情况：若t 0 5 ，则 当a ( y 掣) o 5 时，a ( y 叫) vo 5 = o 5 a ( ) ，则 ( x ) 0 5 t 即置ia ， 此时有j ，vq a ， 当0 5 a ( y x y ) f 时，a ( y “x y ) v0 5 = a ( y _ x y ) a ( z ) ，则a ( x ) 1 ， 当f ( 0 5 ，1 时，由a ( * ) t 知：* a ，； 当t ( 0 5 ，1 时，由a ( ) 1 一知：z a h 反之，当te ( o 5 ，1 且zea 。时，a ( z ) t 0 5 i t ，则z 下 一1 l 一 广义模糊群与多值蕴涵 当 ( 0 ，05 且x a 一。时， ( x ) l 一0 5 t ，则 a ( * ) t 且a ( z ) 1 一f ，即x a 。 因此 if a ，l ( o 5 ，1 【a 。，z ( o ，05 定理4 3 设a ，b ，c 为g 的f u z z y 子集，则有 ( 1 ) ( anb ) = a 1ub ； ( 2 ) ( aub ) 。= d nb ； ( 3 ) ( an ( 8uc ) ) = ( a ub ) n ( a ug 。) ； ( 4 ) ( au ( bnc ) ) 。= ( a nb ) u ( a nc ) 证( 1 ) 设z g ，则 * ( anb ) 。甘( anb ) ( z ) t 或( anb ) ( x ) + t l a ( z ) 占( z ) t 或a ( * ) b ( x ) + z 1 甘( ( x ) t 或b ( ) t ) 或( a ( z ) + t 1 或曰( ) + t 1 ) * a 或x b # a ub 因此( an 鳓= a ub ( 2 ) z a nb j g a 且z b j ( a ( x ) 或a ( z ) + i ) 且( b ( x ) t 或 b ( x ) + t 1 ) ，则对 情况i ：a ( * ) i 且b ( z ) t ；a ( z ) vb ( x ) f j ( aub ) ( z ) l j z ( aub ) ； 情况：a ( x ) t 且。日( z ) i 一等a ( x ) + t b ( ) + t 1 j a ( x ) vb ( ) + t l j ( au 剐( ) + t 1 j z ( aub ) ； 情况：a ( * ) 1 一且b ( z ) ( t ，与情况同样可证x ( ub ) ； 情况： ( g ) l t 且t 0 ( z ) l 一j a ( x ) + i i 且b ( z ) + t i j ( aub ) ( ) + t 1 j x ( aub ) 。 故a nb c ( aub ) 。 反之，z ( aub ) ，则有 ( aub ) ( z ) t 或( aub ) ( z ) + t 1 等 ( ) vb ( z ) t 或a ( x ) vb ( x ) + t l 琦( a ( x ) l 或a ( x ) + l 1 错j 口o 1 使垒一( g x g ) t 且口一( g x g ) + l d o 1 甘vgeg ，a ( g _ x g ) t 且a ( g x g ) + t 口o 1 vg c ，g “x gea vg g ，eg a g # e 1 f a g “ 困此( 。口5 ) = 月户“g 。1 定理4 8 设a c = n a 。lg g i 若a 为g 的一个( i ，一ev 百) 一f u n y 子群，则 d 。为g 的( i ，一evi ) 一正规f u z z y 子群 证 由定理4 7 知：a 。为g 的一个( i ，i vi ) 一f u z z y 子群由于了为g 的子群， 故。9 芦“g 是g 的正规子群则v ( o ，1 ，虿为c 的正规子群，因此a 。为g 的 ( ，vq ) 一a z 盯正规模糊子群 广义模糊群与多值蕴涵 致谢：该文是在我的导师袁学海教授的悉心指导下完成的，在此向我的导师袁学海教 授表示感谢 参考文献： 1jma n t h o n y i - 1 s h e r w o o df u z z yg r o u p sv e a l m e a l 】m a t ha n a ) p 一，6 9 ( 1 9 7 9 ) 1 2 4 一1 3 0 2sk b h s k a t pd a so n t h ed e f i n i t i o no fa 细s u b g ”u p j n qs e t sa n ds y s t e m s ，5 1 ( 1 9 9 1 ) 2 3 5 2 4 1 3s kb b a k a t pd a s ( ，vq ) 一瞄ys u b g r o u pf u z z ys e l ba n ds y s t e m s 8 0 ( 1 9 9 6