流体力学讲义-第五章 相似原理与量纲分析.doc

第五章 相似原理与量纲分析 对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。第一节 流动相似 原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。 水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。 水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。 关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似 1.几何相似 几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。 长度比尺： （5-1）面积比尺： （5-2） 体积比尺： （5-3） 2.运动相似 运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。 速度比尺： （5-4） 加速度比尺： （5-5） 3.动力相似 动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。力的比尺： （5-6） 4.初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。 流动相似的含义： 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。第二节 动力相似准则 动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。 流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。 判断：惯性力是所有外力的矢量和。 你的回答：错 惯性力 则 根据动力相似有F= I 即 （5-7） 若称 牛顿数，即 （5-8） 所以两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则。 完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力给予满足。 想一想：牛顿相似准则说明了完全的动力相似。1.雷诺（粘滞力）准则 （5-9） 式中： L为流场中的特征线性长度。 Re雷诺数 当粘滞力起主要作用时，动力相似有： （5-10） 适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。 算一算：如模型比尺为1:20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中的流速为2.5m/s。 问题： 进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D.其他准则。问题：雷诺数的物理意义表示：A.粘滞力与重力之比； B.重力与惯性力之比； C.惯性力与粘滞力之比； D.压力与粘滞力之比。问题：压力输水管模型实验，长度比尺为8，模型水管的流量应为原型输水管流量的：A.12； B.14； C.18； D.116。 2.弗汝德（重力）准则 （5-11） 一般取 （5-12） 当重力起主要作用时，动力相似有： （5-13） 适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。 问题：进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D. 其它准则。问题：明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的: A.12； B.14； C.18； D. 132。 问题：长度比尺L=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进，测得波浪阻力为0.02N，则原型中需要的功率Np为：A.2.17kW； B.32.4kW； C.17.8kW； D.13.8kW。 问题：设模型比尺为1:100，符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少cm3/s？ A.0.01； B.108； C.10； D.10000。 3.欧拉准则 流体流动以动水总压力为主要作用力的情况： （5-14） 当压力起主要作用时，动力相似有： （5-15）问题1：进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选择的相似准则是：A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则。问题2： 判断：当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足雷诺准则，则欧拉相似准则会自动满足。对 一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗汝德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。 4.韦伯准则 表面张力为主导作用力时的相似准则： （5-16） 当表面张力起主要作用时，动力相似有： （5-17） 想一想：欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？答：欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。5.马赫数 弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）： 柯西数 （5-18） 令 式中： 流体声速 弹性模量 当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速或超音速运动等，动力相似有： （5-20） 6.斯特哈罗数（时间准则） 斯特哈罗数：非恒定流体流动中，当地加速度，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。 判断：对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则。 错 （5-21） f振动频率 对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有： （5-22） 例1 有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18m3/s ,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10（原型中油的运动粘度p= 0.13cm2/s ），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高表示）？ 解（1）因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等 由于dp=dm，故上式可写成 或 将已知条件p= 0.13cm2/s ， m= 0.0131cm2/s代入上式，得 即当模型中流量Qm为0.0181m3/s时，原型与模型相似。 （2）由于已经满足雷诺准则，故两者的欧拉数也会自动满足 已知，则原型输油管的压强差为 也可以写成 这里，引入了Ap=Am(dp=dm)及gp=gm。所以，5m长输油管的压差油柱为 例2 长度比L=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1）原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？ 解 由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等。即 由于 由于gp=gm，故上式可写成 所以 或 例3:设有油罐，直径d为4m，油温t为 20，已知油的运动粘度p=0.74cm2/s ，长度比L采用4左右，试进行下面各项研究：（1）选定何种相似准则？（2）模型流体的选定？（3）各项比例的计算。 解（1）油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗劳德数。 （2） 由于n正好等于0.0925cm2/s的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。现在选用20的59%的甘油溶液，其运动粘度0.0892cm2/s，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20的温度。于是模型液体的运动粘度应为m=0.0892cm2/s，而不再是0.0925cm2/s了。 （3）模型流体选好后，由于所选择的m不再等于0.0925cm2/s ，所以对长度比L应进行修正 即长度比L应为4.1，而不是4。因此模型油罐的直径为 流速比v按弗劳德准则求得（按雷诺准则也能得到同样结果）； 从而知道模型油管内的流速大致为原型中的一半。 时间比t按雷诺准则求得 加速度比a 想一想：马赫数与斯特哈罗数的物理意义是什么？马赫数为弹性力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与弹性力之比，马赫数相等则弹性力相似。斯特哈罗数是在非恒定流体流动中，因当地加速度不为零，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。思 考 题1.为什么每个相似准则都要表征惯性力？ 答案： 作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律.流动的变化就是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。 2.分别举例说明由重力、粘滞力起主要作用的水流。 粘滞力：层流状态下的、管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。重力：堰坝溢流、孔口出流及明槽流动及处于阻力平方区的有压隧洞与管流等。 3.原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？为什么？ 若采用同一种流体，不能。因为：重力相似 粘滞力相似 不采用同一种流体，理论上能。 因为重力相似 又粘滞力相似 但实际上做不到。 第三节 量纲分析一、量纲和单位 单位（unit）：量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。“量”的表征。 想一想：表面张力系数的单位是N/m。 量纲（dimension）：是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和类别。 如长度量纲为L。 “质”的表征。 量纲 基本量纲（fundamental dimension）：具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度、时间、质量，即L-M-T 诱导量纲（derived dimension）:是指由基本量纲导出的量纲。 问题1：运动粘度的量纲是:A. L/T2； B. L/T3； C. L2/T； D. L3/T。 量纲公式: 分类 几何学量纲：0,=0,=0， 运动学量纲：0，0，=0 动力学量纲：0，0，0 无量纲数（纯数，如相似准数）：=0,=0,=0，即x=1。 特点：（1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； （2）具有客观性； （3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。 问题：速度v，长度l，重力加速度g的无量纲集合是： A.； B.； C.； D.；问题：速度v,密度,压强p的无量纲集合是： A.； B.； C.； D.。 问题：速度v,l,时间t的无量纲集合是： A.； B. ； C.； D.。 问题：压强p,密度,长度l,流量Q的无量纲集合是： A.； B. ； C.； D.。二、量纲和谐原理 量纲和谐原理（theory of dimensional homogeneity） ： 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。 量纲和谐原理的重要性： a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。 b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 c.可用来建立物理方程式的结构形式。 判断：只有量纲相同的项才可以相加减。 你的回答：对 三、量纲分析法 1.雷利法 雷利法是量纲和谐原理的直接应用， 雷利法的计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：FD=kDxUyza 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小于等于45个。 例1：确定粘性流体流经竖置的单位长度长直圆柱体时的绕流阻力表达式 解：单位长度所受的阻力FD=F/L（F为柱的整体阻力，L为柱长），影响阻力的因素包括柱的直径D,流体密度,粘度,以及行近流速U： 依据量纲和谐原理，上式可写成量纲方程为 FD=kDxUyza 应用M-L-T制，并代入相应的量纲 ML0T-2=L x LT-1 y ML-3 z ML-1 T -1 a 为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此 M:1=z+a L: 0=x+y-3z-a T:-2=-y-a 得 x=1-a，y=2-a，z=1-a 故 FD=kD1-aU2-a1-aa 或 例2： 确定圆管流动中边壁切应力的表达式0。 解 影响0的独立影响因素有液体的密度，液体的动力粘度，圆管直径D，管壁材料的粗糙度以及管中断面平均流速v0拟定函数关系式为 写出量纲关系式为 排列量纲和谐方程求各指数。 联立以上三式解得b=1-a,c=a-d-1,e=a+1。 将各指数值代入函数关系式中得 整理得 令 式中系数，由实验确定。 所以 2.布金汉（Buckingham）定理 定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即F(x1，x2,xn)=0。而这些变量中含有m个基本量，则可排列这些变量成（n-m）个无量纲数的函数关系 (1，2,n-m)=0，即可合并n个物理量为（n-m）个无量纲数。 定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式: （2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基 本量纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v，三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H，v，。 （3）确定数的个数N（）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理量组成的表达式 （4）确定无量纲参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各项的指数x，y，z，从而定出各无量纲参数。参数分子分母可以相互交换，也可以开方或乘方，而不改变其无因次的性质。 （5）写出描述现象的关系式 或显解一个参数，如： 或求得一个因变量的表达式。 选择基本量时的注意原则： 1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M，L，T）为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须选择两个。 2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 3）不能有任何两个基本变量的因次是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。 例3：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速 ,管径D，重力g，粘度，管壁粗糙度和密度，试用定理分析确定方程的一般形式。 解： 取v，D，为基本变量，则的个数N()=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个，因hf和L量纲都是长度。 1=x1Dy1z1=LT-1x1Ly1ML-3z1ML-1T-1 则 L:x1+y1-3z1-1=0 T:-x1-1=0 M:z1+1 =0 由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。类似有： 2=x2Dy2z2 3=x3Dy3z3g 可得： x2=0， y2=-1， z2=0 x3=-2， y3=1， z3=0 写成数为： 即 解得： 常用沿程损失公式形式为： 称沿程阻力系数，具体由实验决定。例4：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差p与下列变量有关：管径d,l,管壁粗糙度，试求p的表达式。 解：F（d,l,p）=0 基本量d, n=7, m=3, 数n-m=4个 对1： 对2： 同理得 ： 设 则 例5：如图5-1所示，已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落p随流量Q，流体密度，液体粘度，管壁粗糙度，流量计长度L以及大小直径D1,D2变化。试用定律求出的压强降落p表示的流量公式。 解：函数式为： 选取，Q，D1为基本变量，则存在6-3=3个数 图5-1 将数用量纲表示： 类似地： 并解一个参数： 即： 例6：用布金汉定理确定圆管流动中边壁