（凝聚态物理专业论文）一维自旋链中的纠缠动力学特性.pdf

l i j 学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 既：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献信 息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、中 国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子文 档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在年月解密后适用本规定。 非涉密论文西 论文作者签名： 导师签名： 日期： 日期：兰 维自旋链中的纠缠动力学特性中文摘要 一维自旋链中的纠缠动力学特性 中文摘要 量子纠缠是基于量子理论的不可分离态的非经典非定域的强相关联，鉴于量子纠 缠这一特殊性质，它在量子计算、量子隐形传态、量子加密以及量子信息等领域有着 广泛的应用。一直以来，科学家们不断寻找并尝试各种能够实现量子计算和量子信息 操作及传输的物理系统，其中量子自旋链系统无论是在实验上还是在理论上都是非常 有研究价值的系统之一，如自旋链有可能成为量子信息传输的通道，因此研究自旋链 中纠缠特性是非常有意义的。本文主要研究了一维自旋链中纠缠的动力学特性，包括 如何制备出纠缠态以及纠缠的保持等主要内容。 我们首次研究了自旋z 分量之间的三体相互作用对一维自旋链中纠缠动力学特 性的影响。随着实验技术的快速发展，实验上量子调控操作的精度越来越高，有效的 三体相互作用可以通过由激光束操控并经冷原子技术冷却的超冷原子而得到，也可以 在考虑最近邻自旋耦合的基础上结合核磁共振中的横场脉冲来模拟有效三体相互作 用。我们从直积态和部分最大纠缠态两种初态出发，分别对一维伊辛链及一维海森堡 链中纠缠动力学性质进行了研究。研究得到：当初态为非纠缠态，三体相互作用对一 维闭合伊辛自旋链中纠缠有明显的加强作用，尤其是当三体相互作用与两体相互作用 符号相反时，一维伊辛闭合自旋链中的远程纠缠会有很大幅度的增强。而当初态为部 分最大纠缠态时，引入三体相互作用后，一维闭合伊辛自旋链中纠缠随时间衰退得更 慢，这表明三体相互作用有利于纠缠的保持。在一维伊辛自旋开链中，三体相互作用 对纠缠动力学的影响表现出与一维伊辛闭合自旋链基本类似的行为，只是在相同相互 作用强度下，选非纠缠态为初态，开链中产生的纠缠值比闭合链中的要略大。然而三 体相互作用对一维海森堡自旋链中纠缠动力学影响与一维伊辛自旋链的情况差异较 大，当初态为非纠缠态时，三体相互作用不利于一维海森堡自旋链中纠缠的产生，当 初态为部分最大纠缠态时，引入三体相互作用后，一维海森堡自旋链中纠缠随时间衰 减会更快，即三体相互作用不利于海森堡自旋链中纠缠的保持。总之，三体相互作用 对一维伊辛自旋链中纠缠的产生及保持有积极的影响，但不利于一维海森堡自旋链中 中文摘要一维自旋链中的纠缠动力学特性 纠缠的产生和保持。 其次，我们在有限温度下研究了一维受控x y 自旋链中纠缠的动力学特性。主要 分析了自旋链中纠缠在有限温度下随驱动频率、各向异性参量及链长的变化的动力学 特性。我们这里的受控是指自旋链中最近邻自旋间的相互作用可以随系统外部调节而 随时间呈周期性变化，且考虑自旋链处于均匀外磁场中。在选取系统在有限温度t 时的热平衡态为初态时，我们发现，零温下，当驱动频率国为磁场强度b 两倍时， 首末自旋间纠缠可以达到最大值1 ，但随温度升高，首末自旋间的纠缠可达到的最大 值越来越小并逐步降为零，如果定义纠缠降为零时的温度为临界温度，则链长越长， 临界温度越低。在温度不变的情况下，自旋链中首末自旋间的纠缠最大值随链长增长 而减小。调节各向异性参量可以发现，在各向异性x y 链中纠缠出现共振现象最明显， 而在各项同性x y 链中，改变驱动频率纠缠不会出现共振现象。虽然量子纠缠现象在 零温时比较明显，但实用的量子系统一般不处于零温环境，而是处于热平衡态，所以 研究和利用有限温度下热纠缠是非常重要的。 总之，在本论文中我们首次研究了三体相互作用在一维自旋链中对纠缠的制备和 纠缠的保持的影响。分别考虑了一维伊辛自旋链和海森堡自旋链系统，研究发现三体 相互作用对这两类自旋链系统中纠缠动力学的影响并不相同。同时我们还研究了有限 温度下受控x y 自旋链中的纠缠共振现象，得到了链长，温度，各向异性参量等对热 纠缠的影响，受控自旋链中的纠缠动力学的研究将是量子调控的一个非常有意义的课 题。 关键词：量子纠缠；自旋链；动力学性质；三体相互作用；受控自旋链 作者：施翠华 指导教师：吴银忠 d y n a m i c so fe n t a n g l e m e n t i ns p i nc h a i ns y s t e m s a b s t r a c t e n t a n g l e m e n ti san o n l o c a lc o r r e l a t i o nb e t w e e nq u a n t u ms y s t e m st h a td on o te x i s t c l a s s i c a l l y q u a n t u me n t a n g l e m e n th a sb e e nr e c o g n i z e da sac r u c i a lr e s o u r c ei n v a r i o u s f i e l d so fq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，s u c ha sq u a n t u mc r y p t o g r a p h y , t e l e p o r t a t i o n ，a n d c o m p u t a t i o n m a n yp h y s i c a ls y s t e m sh a v eb e e np r o p o s e d i nt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g , s p i nc h a i ns y s t e mi ss u c h as o l i ds y s t e mt h a te a s yt ob ee x t e n d e da n di n t e g r a t e d ， a n di tc a nb eu s e da sq u a n t u mw i r e i nt h i sp a p e r , w ef o c u so nt h es t u d yo fe n t a n g l e m e n t d y n a m i c si ns p i nc h a i n s ，a n dt h ep r e p a r a t i o na n dp r e s e r v a t i o no fq u a n t u me n t a n g l e m e n t a r ed i s c u s s e d t h ee f f e c to ft h r e e b o d yi n t e r a c t i o n so nt h ed y n a m i c so fe n t a n g l e m e n ti ss t u d i e df o r t h ef i r s tt i m ei nt h i sp a p e r w i t ht h ed e v e l o p m e n to fe x p e r i m e n t a lt e c h n i q u e ，e f f e c t i v e t h r e e s p i ni n t e r a c t i o n sh a v eb e e nr e a l i z e di n c o l dp o l a rm o l e c u l e sa n da t o m si no p t i c a l l a t t i c e s a n di tc a na l s ob es i m u l a t e db yt h ec o m b i n a t i o no ft w os p i i li n t e r a c t i o n sa n dr f p u l s e si nn m r t h ee n t a n g l e m e n td y n a m i c so fi s o t r o p i ch e i s e n b e r gc h a i n sa n di s i n g c h a i n sa r es i m u l a t e df o rt w ot y p e so fi n i t i a ls t a t e s f o rc l o s e di s i n gc h a i n s ，i ti sf o u n dt h a t t h r e e b o d yi n t e r a c t i o n sw i l l h a v eg r e a te f f e c t so nt h eg e n e r a t i o na n dp r e s e r v a t i o no f e n t a n g l e m e n t al a r g er e m o t ee n t a n g l e m e n tc a nb eo b t a i n e dt h r o u g h f r e ee v o l u t i o nf r o ma n i n i t i a ls e p a r a b l es t a t ew h e nt h r e e b o d yi n t e r a c t i o n sa r ei n v o l v e d f o ra ni n i t i a l l ym a x i m a l p a i r - e n t a n g l e d s t a t e ，t h ee n t a n g l e m e n tw i l l d e c r e a s em o r es l o w l yw i t h t i m eu p o n c o n s i d e r a t i o no ft h r e e b o d yi n t e r a c t i o n s e f f e c t so ft h r e e - b o d yi n t e r a c t i o n s o nt h e d y n a m i c so fe n t a n g l e m e n ti na no p e ni s i n gc h a i n a r es i m i l a rt ot h a ti nac l o s e di s i n gc h a i n u n d e rt h es a m es p i nc o u p l i n g s ，as l i g h t l yl a r g e re n t a n g l e m e n tc a nb eo b t a i n e di nt h eo p e n c h a i nc o m p a r i n gw i t ht h ec l o s e dc l l a i l lf r o mas e p a r a b l ei n i t i a ls t a t e f o ra ni s o t r o p i c h e i s e n b e r gc h a i n , t h ee f f e c to ft h r e e b o d yi n t e r a c t i o no nt h ed y n a m i c so fe n t a n g l e m e n ti s d i f f e r e n tf r o mt h a tf o r t h ei s i n gc h a i n f o ras e p a r a b l e i n i t i a ls t a t e ，t h et h r e e b o d y i n t e r a c t i o n sa r en o ti nf a v o u ro fp r e p a r i n ge n t a n g l e m e n ti nah e i s e n b e r gc h a i n f o ra n i n i t i a l l ym a x i m a lp a i r - e n t a n g l e ds t a t e ，t h e c o n c u r r e n c e sf l u c t u a t ew i t hr e l a t i v e l ys m a l l i i i a m p l i t u d e sw h e nt h et h r e e b o d yi n t e r a c t i o n sa l ec o n c e m e d i naw o r d ，t h r e e b o d v i n t e r a c t i o n sw i l lg i v er i s et o g r e a ti n f l u e n c eo nt h ed y n a m i c so fe n t a n g l e m e n ti ns p i n c h a i n s ，a n di ti su n f a v o r a b l ef o rt h ep r e p a r i n ga n dp r e s e r v a t i o no fe n t a n g l e m e n ti nt h e h e i s e n b e r gc h a i n s e c o n d l y ，w ed i s c u s st h ed y n a m i c so ft h e r m a le n t a n g l e m e n ti nad r i v e nx y s p i nc h a i n , i nw h i c ht h es p i n c o u p l i n gc a nb ec o n t r o l l e de x t e m a l l y e f f e c t so fd r i v i n gf r e q u e n c y , c h a i n sl e n g t h ，t e m p e r a t u r e ，a n da n i s o t r o p i cp a r a m e t e r 7o nt h ee v o l u t i o no fc o n c u r r e n c e b e t w e e nt w oe n d ss p i n sa r es t u d i e d w ef i n dt h a tt h ec o n c u r r e n c ea p p r o a c h e s u n i t yw h e n t h ed r i v e n f r e q u e n c ys a t i s f i e s 锄= 2 ba tz e r ot e m p e r a t u r e w i t ht h ei n c r e a s eo f t e m p e r a t u r e ，t h em a x i m u mv a l u eo fc o n c u r r e n c eb e t w e e nt h ee n d s s p i n sc 斧w i l l d e c r e a s et oz e r oa tac r i t i c a lt e m p e r a t u r e t c ，a n d 瓦w i l ld e c r e a s ew i t ht h ei n c r e a s eo ft h e c h a i n sl e n g t h f o rag i v e nt e m p e r a t u r e ，钟d e c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo ft h ec h a i n s l e n g t h f u r t h e r m o r e ，w i t ht h ei n c r e a s i n go ft h ea n i s o t r o p i cp a r a m e t e r , t h em a x i m a l c o n c u r r e n c ew i l ld e c r e a s et oz e r o i nt h e i s o t r o p i cx ys p i nc h a i n ，t h er e s o n a n c eo f e n t a n g l e m e n tc a nn o tb eo b s e r v e d i ns u m m a r y , e f f e c t so ft h r e e - b o d yi n t e r a c t i o n so nt h ep r e p a r a t i o na n d p r e s e r v a t i o no f q u a n t u me n t a n g l e m e n td y n a m i c a l l yi ns p i nc h a i n sa r ei n v e s t i g a t e df o rt h ef i r s tt i m e i ti s f o u n dt h a tt h ee f f e c t so ft h r e e b o d yi n t e r a c t i o n so nt h ee v o l u t i o no f e n t a n g l e m e n ti nt h e i s i n gc h a i na n di nt h eh e i s e n b e r gc h a i na r ed i f f e r e n t e n t a n g l e m e n tr e s o n a n c ei nad r i v e n x y s p i nc h a i na taf i n i t et e m p e r a t u r ei si n v e s t i g a t e di nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r , a n d t h ee f f e c t so fc h a i n s l e n g t h ，t e m p e r a t u r e ，a n da n i s o t r o p i cp a r a m e t e ro nt h et h e r m a l e n t a n g l e m e n ti so b t a i n e d w eh o p eo u rs t u d yc a ns h e dl i g h to nt h ec o n t r o lo ft h et h e r m a l e n t a n g l e m e n ti ns p i nc h a i ns y s t e m s ，a n di ti ss i g n i f i c a n ti nt h ef i e l do fq u a n t u mc o n t r o l l i n g k e y w o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；s p i n d r i v e ns p i nc h a i n s i v 目录 第一章引言1 1 1 量子纠缠的发展史1 1 2 量子纠缠的应用4 1 3 量子纠缠的定义8 1 4 量子纠缠的度量8 参考文献：1 2 第二章三体相互作用对一维自旋链中纠缠动力学的影响1 4 2 1 三体相互作用的物理实现1 4 2 2 自旋链系统1 6 2 2 1 伊辛自旋链16 2 2 2 海森堡自旋链l 6 2 3 含三体相互作用的一维自旋链系统1 7 2 4 结果与讨论一2 0 2 4 1 三体作用对一维伊辛自旋链中纠缠动力学的影响2 1 2 4 2 三体作用对一维海森堡自旋链中纠缠动力学的影响2 5 2 5 本章小结2 7 参考文献2 9 第三章有限温度下受控自旋链中的纠缠动力学3 0 3 1 自旋链系统中的热纠缠3 0 3 2 受控自旋链3 0 3 3 我们的工作3 3 3 3 1 有限温度下自旋相互作用受控的自旋链中的纠缠3 3 3 3 2 数值模拟结果及讨论3 4 3 3 3 小结3 7 参考文献3 8 第四章工作总结及展望4 0 攻读硕士学位期间公开发表的论文4 2 致谢4 3 一维自旋链中的纠缠动力学特性第章引言 1 1 量子纠缠的发展史 第一章引言 1 1 1 纠缠的发现 量子力学诞生于2 0 世纪2 0 年代，我们知道世界本质上是量子的，经典物理只是 量子物理在宏观条件下的近似理论。量子力学揭示了完全不同于经典物理的物质运动 图像，成功解释了黑体辐射，光电效应等实验现象。但在1 9 3 5 年，爱因斯坦、波多 斯基和罗森对量子力学提出了质疑，认为量子力学描述是不完备的。 e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ( e p r ) 1 】和s e h r o d i n g e r 2 在物理评论上发了一篇题目为“论证 量子力学描述是不完备的”文章，这就是著名的e p r 佯谬。e p r 认为：一、系统在不 受干扰的情况下，如果我们能确定地预言一个物理量的值，那么这个物理量就必定是 客观实在，且对应着一个物理实在元素；二、一个完备的物理理论应该包括所有的物 理实在元素。对于两个分离的并且没有相互作用的系统，对其中一个进行测量，必定 不能修改关于另一个的描述，即自然界不存在超距相互作用，这个又被称为“定域实 在论”。在这一前提下，e p r 严格按照量子力学理论分析了由两粒子组成的一维系统。 由量子力学可知，每个粒子的坐标和动量算符是不对易的，但是两粒子的坐标算符差 毫一圣：与动量算符之和霞+ 丘对易，且这两个算符都是线性厄米算符，我们知道两个 相互对易的线性厄米算符有共同完备的本征函数集。那么必然存在一个两粒子态l 少) ， 是算符袁一是和算符丘+ 息的共同本征态。 假设两粒子初始状态满足下列方程组 皖一是) l 妙) = 口i ) ， ( 1 ) 幢+ 息】y ) = o ( 2 ) 若对态l y ) 测得粒子1 的坐标为x ，那么粒子2 的坐标即为x a ；同样如果测得粒 子l 的动量为p ，那么粒子2 的动量必为p 。又由测不准关系可知，这个系统只能有 第一章引言 一维自旋链中的纠缠动力学特性 两个物理实在元素。然而按照e p r 的观点，这个两粒子系统在a 值足够大的时候可 以有4 个独立的物理实在元素，而量子力学只包括了两个物理实在元素，所以e p r 认为量子力学是不完备的。为什么会这样呢，其实上面讨论的两粒子态j y ) 是一个两 粒子纠缠态。在两个分离且没有相互作用的系统中，对其中一个子系的测量会瞬时地 改变另一个子系状态的描述，我们把这种现象称为量子纠缠现象。e p r 对量子力学的 质疑使得量子纠缠现象给人们留下了深刻的印象，越来越多的学者开始关注量子纠缠 这一课题。 最早给量子纠缠理论解释的是b o h m ，他提出了隐参数理论，即把测量结果表现 为概率的事实归结为更深层次的隐参数，他认为只是目前实验技术中还没发现、认识 和控制隐参数，但是这种隐参数在起作用，所以对测量结果表现出相关性【3 】 4 】。然 而，如果这个隐变量理论是正确的，那么就应该解释隐参量的来源并预言一些新的与 量子理论不符的结论。1 9 6 5 年，b e l l 进一步分析了这一问题，他从定域隐变量理论 出发，推出了著名的b e l l 不等式，而量子力学预言却不符合b e l l 不等式【5 】。为了检 验哪种观点是正确的，人们曾经做了很多实验，其中最著名的是1 9 8 2 年a s p e c t 的实 验 6 】，通过对两光子偏振态的测量证实了它们的相关程度，确实超过了b e l l 不等式 所容许的范围，这一结果证实了量子非局域纠缠的存在，同时也说明量子力学理论是 正确的。然而隐参数理论并没有被实验完全否定，只是定域隐参数理论被否定了，非 定域隐参数理论仍然有效。 1 1 2 纠缠的研究进展 量子纠缠是基于量子理论的关于不可分离态的非经典非定域的强相关联，量子纠 缠现象是量子力学不同于经典物理最奇特、最不可思议的特征。这个性质具有深远的 意义，量子纠缠所有令人欣喜的应用都是基于此特性。2 0 世纪末，随着量子信息这 一新兴的交叉学科的蓬勃发展，纠缠作为种新的物理资源，寻求、驾驭它的规律和 用途迅速成为一个新兴的研究方向。对量子纠缠的研究内容主要包括：( a ) 如何定义、 制备、控制及度量纠缠；( b ) 如何在环境中保持、恢复纠缠；( c ) 如何在实验上探测纠缠等 等。 1 9 9 4 年，p e t e rs h o r 发现了第一个具体的量子算法大数的质因子分解，这一 2 一维自旋链中的纠缠动力学特性第一章引言 发现推动了量子信息科学的发展，关于量子计算机的研究由原来的仅局限于对量子力 学原理，信息物理，复杂算法理论等感兴趣的人的小圈子扩展到对量子计算实用价值 感兴趣的人的大圈子。量子信息及量子计算都是物理的，要实现真实的量子计算，首 先得选好物理系统，且此系统要满足量子比特的可扩展性。固态系统有很好的可扩展 性及易集成性，如固态自旋系统就是一个非常有潜力的系统，因此研究自旋链中纠缠 的特性显得极其重要。 由于纠缠是基于量子态的非局域的强相关联，那么对纠缠的研究实质是对量子态 的研究。对于给定的系统，我们可以求出它的本征态和基态。根据已有的纠缠计算公 式可以计算出基态所对应的纠缠值，当系统中的一些控制参量发生改变时，系统的态 会发生变化，进而纠缠值会相应改变。这种基于系统基态的纠缠一般称为静态纠缠。 静态纠缠已经得到了广泛而深入的研究，从较早的怎样描述纠缠到关于纠缠制备【7 】 的研究。接着是大量关于各种具体模型的纠缠静态性质研究，如在一维海森堡模型的 框架下，牛津大学的m c a m e s e n 教授及s b o s e 教授考虑了纠缠在受周围环境( 磁 场，温度) 影响是如何变化的【8 】。浙江大学的王晓光教授研究了x y 模型中纠缠随外 加磁场和温度的变化规律，研究发现当温度接近绝对零度时，纠缠随磁场强度的改变 出现了跃变，伴随着系统的基态由反铁磁相转变为铁磁相【9 】。在此基础上c t l a g m a g o k a m t a 和a n t h o n ye s t a r a c e 对海森堡x y 链中纠缠的性质进行了进一步的研究，发现 在温度为绝对零度时，纠缠随磁场的变化受各向异性参量的影响 1 0 】。同一阶段， s b o s e 等人对一维伊辛模型中热纠缠做了详细充分的研究，研究发现，当温度一定时， 对作用在闭合自旋链上的磁场进行翻转并保持磁场大小不变，当磁场指向最优方向 时，自旋链中的最近邻两体纠缠可以达到最大值【1 1 】。 量子纠缠动力学性质的研究是量子纠缠的新兴的热门研究方向。2 0 0 4 年l a m i g o 对一维伊辛自旋系统中的两体纠缠动力学特性进行了研究，以b e l l 态为初态，研究 发现对于四个b e l l 态两体纠缠的动力学性质受两自旋间的相互作用强度影响。在此 基础上他对各向同性及各向异性自旋链中纠缠动力学做了详细的研究，在此之后，三 粒子系统中的纠缠动力学特性也得到了充分研究 1 2 1 。最近这方面的研究涉及到自旋 开链中的纠缠输运特性，以及用这种自旋链作为量子光纤的可能性【1 3 1 6 】。2 0 0 8 年 n i k o l ab u r i e 研究了温度对自旋链中纠缠动力学性质的影响，并从自旋链长、自旋间 第一章引言一维自旋链中的纠缠动力学特性 相互作用形式、自旋间耦合强度、不同的初态等多个角度分析了自旋链中纠缠随时间 的演化规律，发现与海森堡自旋链相比或以纠缠态为初态的自旋链相比，以直积态为 初态的伊辛自旋链中的纠缠随时间的演化受温度的影响比较小 1 7 】。最近文献报道了 在一维伊辛自旋链中，发现在仅考虑最近邻相互作用的情况下，远程自旋间也可以产 生纠缠，自旋间纠缠的大小随自旋间距离增大而减小，产生远程纠缠的时间也越长 【1 8 。由量子力学知道态随时间演化是通过薛定谔方程描述的，不同时刻就有不同的 态，纠缠是关于量子态的非经典的强关联，所以纠缠随时间的演化可以通过量子态来 体现。根据纠缠随时间的演化规律，我们只要选择适当的演化时间，就能得到所需要 的纠缠量子态，所以我们可以利用纠缠的动力学性质来制备纠缠态，如典型的两粒子 最大纠缠态b e l l 态，以及三粒子g h z 态和w 态。研究纠缠的动力学性质的意义远 不止这些，掌握纠缠的演化规律有助于我们在量子计算及量子信息等多个领域中更好 地应用量子纠缠。科学家们一直在尝试各种能够实现量子信息处理过程的系统，而满 足这一功能的系统必须具备可扩展性及易集成性，研究发现量子自旋系统是其中一种 非常有潜力的备选系统。本论文正是围绕自旋链中纠缠动力学展开的，纠缠动力学性 质的研究涉及到很多系统模型，包括一维伊辛模型，一维海森堡x y 模型，一维海森 堡模型等等。关于这些模型将在以下的章节做简要的介绍。 1 2 量子纠缠的应用 量子信息学是物理学与信息学交叉融合产生的新兴领域，其研究涉及物理、计算 机、通信、数学等多个学科，为信息科学的发展提供新的原理和方法。量子信息技术 有望在运算速度、信息安全、信道容量等方面突破传统信息系统的极限，而量子纠缠 作为重要的信息资源在这些方面起到了至关重要的作用。下面分别对纠缠在稠密编码 1 9 2 0 1 、量子密码术，量子隐形传态中应用作简单介绍。 1 2 1 量子稠密编码 量子位可以用来存储、传输经典信息。例如为了传输一个经典位串( 1 0 0 1 0 ) ， a l i c e 可以发送5 个q u b i t 给b o b ，但是利用量子纠缠现象可以实现只传送一个量子 4 一维自旋链中的纠缠动力学特性 第一章引言 位，而传输两个比特的经典信息。首先假设灿i c e 和b o b 各拥有。一个处在最大纠缠态 l + ) = 1 互0 0 0 ) + 1 1 1 ) ) 中的量子位。由于从l + ) 出发，a l i c e 可以通过对她的量子位做 四个不同的操作： 刮矽+ ) = ， ( 3 ) 刮+ ) = ， ( 4 ) f 子纠+ ) = 文1 协f 1 ) i 矽+ ) = 硝1 i 矿) = l 伊一) ， ( 5 ) 巾+ - - i 矽+ ) ， ( 6 ) 所以a l i c e 可以对她的量子位实施操作p ，反，6 - 2 ，岛) 中之一，产生出b e l l 基中的 任何一个。由于存在四种可能，她对操作的选择代表了两个比特的经典信息。a l i c e 只要把她的那个量子位发给b o b ，而b o b 只要做b e l l 基的测量就可以知道a l i c e 要传 送的信息。 1 2 2 量子隐形传态 假设砧i c e 和b o b 各拥有一个处在纠缠态i + ) 中的量子位，a l i c e 希望发送一个 量子位的未知i 口) 态， i a ) = a 1 0 ) + b 1 ) ， ( 7 ) 其中a b 是未知的系数。全部三量子位的初态是 = 忡+ ) = 万1 愀o o ) + | 1 1 ) ) = 击( 口f 0 0 0 ) + 6 1 1 0 0 ) + 口| 0 1 1 ) + 6 f l l l ) ) ， ( 8 ) v 二吖二 、7 现在a l i c e 对l 口) 态和她拥有的那个纠缠量子位实施控制非门操作，得到态 l ) = - 岳( o l o o o + b i l l 0 + 口1 0 1 1 ) + b 1 1 0 a ) ， ( 9 ) ，一 接着再对第一量子门实施h 门操作，得到 i ) = 丢【口o ) + l , l o o + 6 0 0 ) 一1 1 ) 1 1 0 ) + 口o ) + 1 1 i i ) + 6 0 0 ) 一1 1 ) i o i 1 第一章引言 一维自旋链中的纠缠动力学特性 = 吾t o , o o o + 口1 1 0 0 ) + b 1 0 1 0 一5 1 1 1 0 + 口i o l l ) + 口1 1 1 1 ) + b 0 0 1 ) 一6 1 1 0 1 ) 】 = 去0 0 0 ) g i o ) + 6 1 1 ) ) + 1 1 0 ) ( 口l o ) 一6 1 1 ) ) + 1 0 1 ) ( a 1 ) + 6 l o ) ) + 1 1 1 ) g 1 1 ) 一6 i o ) ) 】， ( 1 0 ) 然后a l i c e 对i y ：) 中前两个量子位实施测量，l ) 态将等概率的塌缩到式( 1 0 ) 中 四个叠加态之一上，并给出了a l i c e 拥有的前两个量子位的态的信息。a l i c e 把这两个 量子位态的经典信息通过经典通道传给b o b ，b o b 就知道他通过什么样的操作可以 使他拥有的量子位转变为a l i c e 想要发送给他的态i 口) 。整个传输过程中真正传输的 并不是量子位本身，而是量子位态中包含的信息。 1 2 3 量子计算 从物理上看，计算机实际上是一个物理系统，计算过程是一个物理过程。量子计 算机是一个量子力学系统，那么量子计算就是这个量子力学系统的量子态的演化过 程，而量子态具有量子干涉，量子纠缠等特殊性质，使得量子计算有许多不同于经典 计算的新特点，如利用纠缠可以在不同的量子位之间建立量子“信道”，使量子计算可 以沿着经典上许多不同的路径进行并行计算，从而大大提高了计算速度。巧妙的利用 量子计算机这些特点，可以完成经典计算机不可能完成的事情。如1 9 9 4 年，p e t e rs h o r 发现了分解大数质因子的算法 21 】，而这对经典计算机是个难题，以至于现在广泛使 用的公开钥密码系统p s a 就是以这个问题的难解为基础的。s h o r 算法的提出使量子 计算的研究有了实际应用背景，因而获得了新的推动力。1 9 9 6 年，g r o v e r 2 2 2 3 又 发现了未加整理数据库搜索的g r o v e r 迭代算法。 1 2 4 量子密码术 量子密码通信产品有其独特的性能，因其无法破译，量子通信加密与传统密码相 比具有明显的优越性，所以其具备广泛的应用前景。最早在1 9 8 4 年，c h b e n n e t t 和 g b r a s s a r d 提出第一个量子密钥分配的b b 8 4 方案，1 9 9 2 年，b e n n e t t 又提出利用更 简单但效率减半的b 9 2 方案 2 4 】。这两种方案都是基于两个非对易可观测的量子态。 1 9 9 1 年，e k e r t 提出了一种基于两粒子最大纠缠态( e p r 对) 的量子密钥分配方案，称 为e k e r t 9 1 方案 2 5 】，具体可以描述为： 6 一维自旋链中的纠缠动力学特性 第一章引言 假定制备了一批处于最大纠缠态 = 忑10 卅) 一1 1 0 ) 0 ( 2 ) ) ) ， ( 1 1 ) 的量子位，a l i c e 和b o b 各拥有处于i 缈一) 中的量子位对中的一个。a l i c e 对她的 ， 量子位随机的选择测量酋或彦，将分别制备出b o b 的量子位处在反或彦，的本征态。 b o b 也随机的选择测量基，当b o b 测量的某个量子位与a l i c e 测量这个量子位选的是 同一个基，他们两个得到的结果完全相关。当他选用不同的基进行测量时，得到的结 果不相关。a l i c e 和b o b 对他们拥有的每个量子位进行随机的选择测量反，d - ，测量 结束后，他们公布对每个量子位选择了什么观测量，但是并不公布他们各自的测量结 果。对大约一半的量子位他们选用了不同的观测量，得到了不相关的结果，这些结果 可以去掉不要。对另外一半量子位，他们使用了相同的观测量，得到了相关的结果， 从而他们分享了一串随机密钥串。一种实用的量子密码术将利用类似光子这样的粒子 “被纠缠上”的方式，令其进入一种特殊的状态，在这种状态下，一个粒子特性的任何 变化都会影响到别的粒子，甚至是很远地方的粒子。现在已经有几十种量子密钥分配 方案，分别适应不同的通讯环境。 近十几年来，量子密钥分配在实验上也取得了很大进展，同时也将走向实用化。 由英国国防部资助的实验室于1 9 9 3 年首次在光纤中用相位编码的方式实现了b b 8 4 方案 2 6 1 ；瑞士日内瓦大学在1 9 9 3 年用偏振光子实现了b b 8 4 方案 2 7 1 ；2 0 0 0 年，美 国洛斯阿拉莫斯国家实验室实现了1 6 k m 的自由空间进行的量子密钥传输实验。2 0 0 2 年，欧洲小组实现了量子密钥在2 3 k m 自由空间上的传输 2 8 】：2 0 0 4 年，郭光灿领导 的小组用实际通信光纤实现了1 2 5 k m 的量子密钥分配 2 9 】。奥地利维也纳大学的安 顿泽林格( a n t o nz e i l i n g e r ) 领导的小组实现了1 4 4 公里的纠缠光子的传输。该小组现 在希望通过国际空间站携带量子信号的来源，将密码信息传递数千公里的范围，从而 打破1 4 4 公里的记录。2 0 0 9 年，由郭光灿院士领导的研究小组在芜湖市建成了世界 上第一个“量子政务网”，并投入试运行。这标志着量子通信从实验室走进了日常生活。 7 第一章引言一维自旋链中的纠缠动力学特性 1 3 量子纠缠的定义 量子纠缠作为量子信息中一重要的资源，有广泛的应用前景。那在研究的过程中 我们是怎么判断一个量子态是否是纠缠态呢，即纠缠态的判据是什么? 由于多体纠缠 的量化描述仍是个难题，而两体纠缠的量化已经得到确切的描述。所以本小节主要介 绍两体情况。 1 3 1 两体纯态系统 当由两个子系统构成的复合系统处于纯态i 伊) ，若i 力的对偶基展开中含有两项或 两项以上，换句话说，即描述子系统的密度算符有两个或两个以上的非零本征值，则 称i 伊) 是一个纠缠态。反之，如果展开项数等于1 ，即 l 伊) = 俐矽2 ) ， ( 1 2 ) 就称i 缈) 是非纠缠态或可分离态，非纠缠态是两个子系统的纯态的直积态，所以 我们也可以这样定义纠缠态，复合系统的一个纯态，如果不能写成两个子系统纯态的 直积态，这个态就是纠缠态。 1 3 2 两体混合态系统 这里用纠缠态或可分离态的补集来描述，即对于两个子系统构成的复合系统混合 态，当且仅当其密度矩阵不能表示成 p 。，b ) = 军i 仍。，b ) ) 瓴。，b ) i ，0 。，军= 1 ( 3 ) 形式，其中每个成份态l 仍0 ，b ) ) 都是非纠缠态或可分离态，否则它就是一个混合 纠缠态。 1 4 量子纠缠的度量 量子纠缠描述的是处在一个大系统中的几个部分态之间的量子力学特性，因此只 8 一维自旋链中的纠缠动力学特性 第一章引言 对由两个或两个以上子系统构成的复合系统才有意义。对于一个由a ，b ，c 等几个子 系统构成的复合系统，其一般态用密度矩阵p 描写。纠缠具有非局域非经典的特殊性 质，那么一个合理的纠缠度量应该满足哪些条件呢? 通过前人的研究总结，我们可以 大概概括为以下几点 3 0 3 5 】： ( 1 ) 如果p 描述的态是非纠缠态，即可以表示为以下形式： 声= e p 群o ， ( 1 4 ) j 其中，钟是分别描述单个子系统的密度算符，0 。，军只= 1 。用e ) 描述声所描述的复合态的纠缠，那么纠缠度e 够) = o ，即对非纠缠态，纠缠度为零。 ( 2 ) 在相对各部分局域的么正变换下总系的纠缠度e p ) 保持不变。 e 够) = e 。弼o ) ， ( 1 5 ) 即各部分局域的么正变换不会改变总系的纠缠度。这是因为局域的么正变换仅表 示局部基的改变，不应当改变各部分间的纠缠性质。 ( 3 ) 在相对各部分的局域操作( 这些操作可以是各部分基的么正变换、执行的