（应用数学专业论文）一类带有参数的线性拟周期微分方程系统的可约化性.pdf

摘要 本文考虑一类带有参数的拟周期系数线性微分方程系统= ( a ( f ) + q ( t ，f ) ) 霸z j p 的可约化性问题，其中f 为参数，a ( f ) 是常系数矩阵，q ( t ， ) 是依赖于的拟周期矩阵设 拟周期矩阵q ( t ，) 的频率关于参数f 满足r i i s s m a n n 非退化条件，且与a ( f ) 的特征值满 足一定的非共振条件本文首先证明了在q ( t ，f ) 充分小时，如果a ( f ) 有不相同的特征值， 那么在测度意义下对大多数的，微分方程系统是可约化的然后证明了，如果如果a ( f ) 有重特征值，可以得到类似的结论 关键词；扰动小分母条件k a m 迭代测度估计 a b s t r a c t t h i sp a p e rt r e a t st h er e d u d b i l i t yo fs y s t e mo fq u a s i p e r i o d i cl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n = ( 嬉) + q ( t ，f ) ) z ，o j pw i t hap a r a m e t e rf ，w h e r ea ( f ) i sac o n s t a n tm a t r i x ，q ( t ，f ) i sa q u a s i p c r i o d i cm a t r i xd c p e n d i n go nf s u p p o s et h a tt h ef r e q u e n c yp a r a m e t e ro fq c t ，f ) s a t i s 6 e s t h er i i s s m a n nn o n - d e g e n e r a t ec o n d i t i o n a n ds o m en o n - r e s o n a n tc o n d i t i o n sw i t he i g e n v a l u e so f a ( f ) f i r s t ，w ep r o v et h a tw h e nq ( t ，f ) i ss u f f i c i e n ts m a l l 胁m o s tfi nt h es e n s eo fl - m e a s u r e ，i f a ( f ) h a snd i f f e r e n te i g e n v a l u e s ，t h es y s t e mi sr e d u d b h s e c o n d ，w ep r o v et h a ti fa ( ) h a s m u l t i p l ee i g c n v a l u e s ，t h es y s t e mj 8r e d u c i b l e ，t o o k e y w o r d s ：p e r t u r b a t i o n ，s m a l ld i v i s o rc o n d i t i o n ，k a mi t e r a t i o n ，m e u r ee s t i m a t i o n 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一，学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 东南大学，中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。可以公 布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理 签名：堑。导师签名：；垒墨型_ 日期：上蛆 第一章引言 我们首先介绍线性系统和约化有关的一些基本概念，以及研究背景 1 1 历史渊源 线性常微分方程的可约化性问题最早可以追溯到日p o i n c a r $ 的博士论文中化标准形 的理论，该理论给出了微分方程在平衡位置或周期运动附近可能化成的最简单形式以 下的定理就是h p a i n c a r j 在奇点附近做线性化的基本结果： 定理1 1 1 ( p o i n c a r d ) 若矩阵a 的所有特征值足非共振的，则方程 = a x + d ( z 2 ) 可用形式的变量变换z = y + 化为线性方程 口= a y 表示从高于一次的项开始的级数 定理中的“非共振。指的是系数矩阵a 的特征值n = ( o l l ，n 。) 满足； 啦l l a l + + f m 这里m 是变量的维数，h 是任何非负整数且满足銎1 k2 2 由p o i n c a r j 定理我们可以断言，非共振自治的向量场在奇点处的典型特征由其线性 部分决定因此对形式比较简单的线性方程的研究具有基本的重要性 若已知方程有一个周期解，在此周期解附近，如果我们对周期运动的偏差为新的变 元做坐标变换，则一般地，我们将得到一个周期依赖于时间的向量场对这样的向量场 做类似以上过程的线性化则是p o i n c a r d 标准形式方法的一个变体，所得到的线性方程的 系数矩阵一般来说也是周期依赖于时间的所幸的是，对于周期依赖于时间的线性方程， 我们可用以下经典的f l o q u e t 定理来处理； 定理1 1 2 ( f l o q u e t ) 任何个t 一周期的复线性方程都可用一个t 一周期的线性变 塞妻查兰堡圭兰垒篁奎量三塞! ! 童 2 量变换化为常系数的线性方程每一个t 一周期的实线性方程都可用一个2 r 一周期的实 线性变换化为常系数方程 这样p o i n c a r $ 的标准式方法也可应用于周期依赖时间的向量场，即在稍微不同的非 共振条件下，先将系统转化为周期线性方程，再应用f l o q u e t 定理得到自治的线性方程 由此可见，对于非共振的周期依赖时问的向量场依然可以由某个自治的线性向量场来决 定，只不过二者之间相差一个周期依赖时问的形式微分同胚总之p o i n c a r d 的化标准形 式的方法对于处理平衡位置和周期解附近的非共振向量场都足非常有效的 作为p o i n c a r $ 方法的一个直接推广，我们自然要问：如果向量场更一般地依赖于 时间，还有没有类似的结果? 例如我们可以考虑在载有拟周期运动的不变环面的邻域 里，p o i n c a r d 的标准型方法是否依然有效? 特别地，就拟周期的情形，只对一类特殊的拟 周期的向量场，e g m l a g a 得到了以下的线性化结果( 参见 a 】第五章或者口) 定理1 1 3 ( b e l a g a ) 对于方程 岫 i = 缸+ 0 ，妒) 其中妒是r 维环面t r 上的点，是常频率向量且对任意k z 7 o ) 有( ，) 0 a ：口”一c t m 是不依赖于妒的线性算子，f 是一在= 0 处线性部分为0 的向量场如果 a 的特征值a = ( o t l ，a 。) 满足以下所谓的d i o p h a n t i n e 条件t i 一( ( 。，”) + ( 。，。) ) l 旆 扩，1 扩，k + i l i 0 且k 0 ，e 刍2 i 2 , 7 o r 0 为常数，则原方程组可以用解 析的拟周期变换。= y + h ( y ，妒) 化为 嘞 i 口= 衄 该定理只能处理这种特殊的拟周期向量场，即a 不依赖p ( 或者时间t ) ，原因在于我们至 今还没有关于拟周期系数线性方程的完善的理论，即没有类似f l o q u e t 定理那样的方法 将任意拟周期线性方程化为常系数方程，而在任何情况下能做到这一点正是约化理论希 望解决的问题 东南大学硕士学位论衷 第一章引青 3 值得一提的是，对于某些特殊的拟周期依赖时间的偏微分方程，也有类似以上b e b g a 定理的线性化结果具体地讲，分别对于如下给定周期边界条件的拟周期抛物型方程： 饥= a u + + g ( t ，t )( 1 1 ) u ( z 1 ，一，z + 2 丌，一，x n ，t ) = u ( x l ，z k ，z n ，t ) ，k = 1 ，n 以及拟周期s c h r m i n g e r 方程 地= i a u + + g ，t )( 1 2 ) u ( x 1 ，如+ 2 丌，z n ，t ) = u ( x a ，z ，茹n ，t ) ，k = 1 ，竹 以上二方程中z = ( x l ，x n ) f e n ，f l r 是常数，g ( u ，t ) = g ( u ，w i t ，嘶t ) 是解析的且 拟周期依赖于时间的函数，且g = o ( 1 “1 2 ) 当“一0 c h o w ，l u 和s h e n c l s l 得到了以下的 线性化结果： 定理1 1 4 ( c h o w r u s h e n ) ( 1 ) 如果( 1 1 ) 中 是个d i o p h a n t i n e 数，则方程( 1 1 ) 可用解析变换= + 妒( u ，t ) 似= o ( i v l 2 ) ；口一0 ) 化为如下具有相同形式周期边界条件 的线性方程， 仇= 口+ q ( 2 ) 如果( 1 2 ) 中 是一个非零实数，则方程( 1 2 ) 可用解析变换t = 口+ 妒( 口，u t ) = o ( n 2 ) ，口一0 ) 化为如下具有相同形式周期边界条件的线性方程： 仇= i + ，l 口 以上这种线性化的结果仍然是不完善的，我们看到一般拟周期线性偏微分方程的可 约化性同样也是一个留待解决的问题。 j o r b a 和s i m 6 在 2 】中首先考虑如下线性微分方程系统 = ( a + e 口( t ) ) z ，z 酽，( 1 3 ) 其中常数矩阵a 有不同的特征值a l ，沁，k ，记为a = ( a l ， 2 ，a 。) ；q ( t ) 是个t l n 的拟周期矩阵，u 为频率；e 是小扰动参数 东南大学硕士学位论文第一章引言 4 假设，和a 满足下列非共振条件 m ) 厅+ 丸一a j l _ 商浠，i k l + i l j l # o ，w “ ( 1 4 ) 其中a 0 ，r r 一1 条件( 1 4 ) 隐含着丸知，i 即a 有不同的特征值 又假设下列非退化条件成立z 乏( 确一暑( c ) ) l f ：。o ，j ， ( 1 5 ) 其中元( e ) 0 = 1 ，2 ，n ) 是a + 面的特征值文1 2 证明了对充分小的e o 0 ，存在个非 空的c a n t o r 集e c ( 0 ，c 0 ) ，使得v e e ，系统( 1 1 ) 是可约化的 后来，x u 在【5 】中考虑了a 具有重特征值的情形，得到了类似的下列结论 假设a = d i a g ( a x ，a 2 ，k ) 为一个对角矩阵，其中( 1 i 0 是一个小的常数r r 一1 ( 2 ) ( 非退化条件) 对e ( o ，e o ) ，i 勤一磊。i 2 5 o ( x js n 一2 ) ，并且矩阵 啦i q n - l , n - 1 q n - 1 , 1 扯， 有两个不同的特征值一1 ，满足i 一1 一鲰i 2 6 ，l q 一l 一勤i 2 6 ，l q 一勤i 2 6 ，其中 j = 1 ，2 ，一，n 一2 那么，存在一个非空正测度的c a n t o r 集e 岛( o ，f 0 ) ，使得对占矗方程( 1 1 ) 是可 约化的，即，存在一个非奇异的拟周期变换= 垂( t 挎把( 1 1 ) 变成口= b y ，其中b 是常 数矩阵如果e o 足够小，在( o ，e 0 ) 中，e 毛的相对测度趋近于1 并且，拟周期变换圣( t ) 与0 ( t ) 有相同的频率详细情况参见文献【5 】 壅查查耋堡主兰堡丝塞叁三塞! ! 童 5 此外，在【4 】中x u 在一个更弱的非退化条件下证明了类似的结果考虑虑如下线性 微分方程系统 = ( a + e 口( t ) ) o ，$ 舻，( 1 8 ) 中常数矩阵a 有n 个不同的特征值a 1 ，沁，k ，记为a = ( a 1 ，a 2 ，k ) ； e ( t ) = ( ( t ) ) 1 ，捱。= e 埏z r q k e v ：i k 是一个n n 的拟周期矩阵，i = 似，w 2 ，坼) 为频率；其中傅利叶系数仉依赖小扰动参数e 令硎= d i a g ( q l l ，彘2 ，磊。) ，其中勃是 的平均假设若i j ，e 慨一勤) 有下列形式中的一种， p lc l - + o ( j ，) ，抛士+ o ( ，2 ) ，一， p e 0 + 0 ( e i p )( 1 _ 9 ) 其中肚o , i = l ，2 ，一，p ，l f 1 ：2 r 一1 又假设下列非退化条件成立，若e 足够小，q 是k 次连续可微并且 。丢( 鳓i 啡脑，f - j 1 ，知 ( 1 1 1 ) 其中国= 口一q 8 那么，存在1 ，2 ，p ，其中，i 依赖于脑，m 2 ，尬j ，口，一n ，f p ，1 - 1 e j - + d ( 一z ) ，舰e 。2 + o ( d z ) ，脚函+ o ( 函) ( bs l i 一2 ) ，使得如果h i 趣，i = 1 ，2 ，p ，则对足够小的f 0 0 ， 存在一个非空的正测度c a n t o r 集e ( 0 向) ，使得对e e 方程( 1 1 ) 是可约化的，即存 在一个非奇异的拟周期变换c = 圣( t ) f 把( 问魃) 变成口= b y 。其中b 是一个常数矩阵 如果e o 足够小，e 的测度在( 0 ，e o ) 中趋近1 ，并且，拟周期矩阵垂( t ) 与q ( t ) 拥有相同的 频率 上述约化问题均足以e 为小扰动参数最近x j a o p i n gy h a na n da r i an u n e s 在【1 】中提 出将，作为参数考虑类似的约化问题，证明了e 充分小时，对大多数的频率u ，系统( 1 1 ) 足可约化的 塞童查兰塑圭耋垒堡塞篁三童! ! 童 6 令c 耳为一个正测度的紧集，如果q ( t ) 为一个以_ n o 为频率的拟周期矩 阵，在宽度为南的带上是解析的，那么对一个很小的正常数v ，存在一个集合n f 矗 有m e a s ( n ) = m e a s ( f l o ) ( 1 一o ( y 1 加) ) 成立，以及存在个足够小的e i = ，p ) ，使 得对任意( o ，) 一n 系统( 1 1 ) 是可约化的并且，存在一个解析拟周期的变换 $ = p ( t 挎使得( 1 1 ) 变成口= b y ，其中b 为常数矩阵并且有悄一引l ：o ( e ) 1 2 基本概念 1 拟周期 设r 是个正整数，我们用r = 形来表示r 维环面若= ( k l 2 ，k ) 是个r 维整数向量，我们用= j hj + j 乜j 十+ j 爵j 来表示它的模对于欧氏空间彤中 任意一个向量，= ( ，l ，u ，) ，它与整数向量的内积记为( k ，u ) = h 岍+ 如忱+ + k 坼 如果存在函数f ( o - ，如，啡) ，关于每个巩0 = l ，2 ，r ) 周期为2 1 r ，满足 f ( t ) = f 0 1 t ，w 2 t ，坼t ) ， 则称函数，( ) 为关于t 的拟周期函数，其中u 1 ，忱，坼称为频率，简记为= 。，u 2 ，坼) 如果f ( = f ，如，一) 在带形区域 d p = p 矿ii k 毋i p ，j = 1 ，2 ，r 上是解析的，那么称，( t ) 在珥上是解析拟周期的 2 拟周期函数的范数 设，( t ) = k f k e i 埘，定义，在d pi - $ j 衰g 数i p = i l e l k i p 设，( t ，f ) 关 于参数fc 一可微，关于t 是以u 为频率的三0 上的解析拟周期函数，则 ，( t ，) = ( f ) 一( 坤， k e z t 定义i l y l l 。p = k z ru y k ( f ) l l c , , e i 叫p ，其中i l y k l l c = m a x i 。i 0 ，使得当旧 r - l ， 那么 卜( 譬竽廊 ：壅童奎堂堡圭堂篁堡苎篁三塞窒矍! 墼堡里 1 0 由审在b 上解析，有0 仇0 i i q i i o , e 一帅，所以有 i i p i i 茎0 r 心。叫 掣， o # k e z r 一 五南p ( 2 3 ) 其中c 是与k a m 步骤无关的常数类似可得到妒一。s = 奔下旧，其中口= r ( + 1 ) + n + r 一1 注：以下为方便起见，估计中与k a m 步骤无关的常数均用c 来表示 那么，如果l l ( j + p ) “一，2 ，则有 i i q + i j p 一。石n 辜丽1 1 q 知 ( 2 4 ) 注：由于小分母问题，在k a m 迭代中参数在。的康托子集上有意义由w h i t h e y 延拓定理，可以把关于参数f 的定义域扩充到n ，且保持相应的c “范数估计不变所以 为了估计方便起见，我们总可以把看作在n 上都有定义所以在k a m 的迭代的估计 中，我们不用注意关于参数的区域，不妨可认为关于参数的f 的估计总是在n 上成立的 k a m 迭代 利用上述思想，下面考虑完整的k a m 步骤考虑系统 高m = ( 4 。+ q m ( ，o ) x m ，m 0 ( 2 5 ) 其中厶l _ d i a g ( 岬，砑，婿) ，口。在上是解析的拟周期矩阵，频率为u 氍) 令 + l = d i a g ( 婶“， + 1 ，端”1 ) ，其中 r + 1 = 叼+ _ - m ，i = l ，2 ，n ，- - m 为曙的平均 设n 。c n 使v q 。下列非共振条件成立： i 厅，k ) + 彬+ 1 ( f ) 一矽+ 1 ( 啦辞嵛，i k l + l i j l # o ， ( 2 6 ) 其中r n r 一1 ，那么由上面的讨论k n 。，存在d k 一。上解析拟周期矩阵p m ，其频 率为u ( ) ，使得在变换z 。= ( j + p ) 。卅- 下方程( 2 5 ) 变为 童m + 1 = ( j + 1 + q 冲1 ) x m + l 塞室奎耋堑圭兰堡篁塞篁三塞塞堡! 墼堑塑 其中口，。+ l = ( j + p ) 一1 国。只。 令e t ，i = l i q 。| | 。，由上述可知 慨m 一“焘c t | l 。晶 由n e u m a n n 级数易知，如果f | f 圳。h 一。 o ，v m ，j 设m 是附录引理3 2 中的足够大的常数令 矗= f ni 、= i ( u ( f ) ，七) + 凡任) 一九 ) i n r 一1 由引理3 2 ，当k m 时， 所以 因为 m m s ( 砩) c ( 出。m n ) 1 ( 茬每) 古 c ( d l a m n ) 1 糠丽) m 一( up 4 ) 磁 1 k l _ m n f l 。c 矗u ( uu 磙) ”_ | i f 奎童奎耋塑圭堂堡篁塞量三塞室堡! 墼堡堕 1 3 所以 m s ( n n + ) m e 。s ( 矗) + e ：譬。c 。袁 m m s ( 矗) + “才 = o ( 1 )( n 0 一o ) 由k a m 迭代可知只要求e 充分小使c f o ；，从而可取锄= e ”，使得e 充分小时c 而 0 ，使得当ij q i i 。， e o 时，存在c a n t o r 子集皿c h ，使 得当 c 。时系统( 3 1 ) 是可约化的，且 m e a s ( i i i l ) ；o o ) ( e o 一0 ) 3 2 定理2 的证明 定理2 的证明思想与定理l 是基本一致的由于 的特征值有重的，因此k a m 迭代 中的小分母问题要困难一些此时在解同调线性方程( 2 2 ) 时，我们须控制一个带参数矩 1 4 奎童奎耋堡圭堂堡篁圣量三童塞堡! 墼堡塑 1 5 阵的逆，而不是定理1 中的一个参数的倒数本文将利用【6 l 中处理h a m i l t o n i a n 系统的 方法来克服上述困难 假设在m 步后，我们得到一个拟周期线性微分方程 = ( a m + 口。( t ，f )( 3 1 ) 满足 ( 日1 ) m a m = 山+ d ( e ) ， 这里o ( e ) 是一个小的矩阵，满足 i i a m a 0 。c e ( h 2 ) 。 0 q m b e m 令 a m + l = a m + 审m 其中口。= 旧。】 则系统可以写成如下形式 圣= ( a m + 1 + q ( t ，f ) ， 其中q 麓( t ，f ) = q 。( ，f ) 一国。( f ) 由【1 - 5 】我们将寻找一个变量变换 z = ( j + 晶如) ) ，( 3 2 ) 使得系统( 3 1 ) 变成 口= ( a 1 + q 竹h 1 ( t ，f ) ) p 其中，口。+ 1 为的高阶无穷小 塞童奎竺堡圭竺垒丝塞篁三兰室堡! 墼堡矍 引理在拟周期变换( ) 下，方程( 3 1 ) 变成 口= ( a 仇+ 1 + 口1 ( t ，f ) ) 玑 其中p ( t ，f ) 是线性解析拟周期的，周期为u ( ) ，+ 1 iq m + 1 满足( h 1 ) 。+ l ，( h 2 ) 。+ 1 证明：将( 3 1 ) 写成 口= ( a 。+ q 麓( t ) 其中q ；( t ) = q m ( t ) 一口m ，a m = a m 一1 + 囝m 因此我们有下面表达式 口麓( t ，f ) = q 。请膳) e ，= ：7 艚 o = k e z 7 其中，q 础是q 。的f o u r i e r 级数 因为 j q m i i p 。e m 所以 i i 口。k0 hs e i b 设变换 z = ( i + p m ) 把方程 口= ( a m + q 。( t ，f ) 冶 变成 毋= ( ( e + j ，m ) 一1 ( a m 只。一户m + 口m 一口m + a m q m + 只。q m + q m + 1 ) 其中，q 。+ l = ( e + p m ) 一1 j ( q 。一囝。) 我们希望 ( e + ) - l ( 一户m + q m 一囝m + a m 口m + p m q m ) = + 国m 这意味着 p m = p m 一a m + 1 6 东南大学硕士学位论文第三章定理2 的证明 1 7 令 那么得到等式 将上式变成 ( t ，) = k ( ) e 风胁 o # e z 、= i = a m j 一a m + q ( 、= i i a m ) 只础+ 只础a m = 口( 3 3 ) 令 = o 叼) ，q = ( 蚴) 运用引理4 ，矩阵方程( 3 3 ) 变成下面线性方程 ) p = 亩， 其中， 耻( 户= ( p 1 1 ，p l n , p 2 1 ，一，p 2 。，l ，p ，m ，) t 国= ( 吼1 ，q l n , 啦! ，啦n ，一，1 ，。) 7 、j 忙，) + a 1 一0 。供d 100 东南大学硕士学位论文第三章定理2 的证明 1 8 当 d = 西+ d ( e ) ，其中d ( e ) 是由a m 一山确定的矩阵且i i o ( e ) 1 1 。s 令 m 球e l l i i l ( z j + d ) 。1 i i - 警胀z r ) f i k 时有由引理4 7 i f ( v - z j + d ) 1 拯( 警) l + l c l 舻 一一( 1 + i 纠) 2 五+ 1 ，一。1 瓦矿 注，后面我们将估计i i i i m 的测度 因为 户= ( v - c + d ) 一1 0 ， 所以 j 户- i i 。一- i i 川亩e 学e - l k l 一 所以 i i p , , , t i i 剐蹦搿e - i i , i m 所以 i p m i i + 1 i i p , “( ) i i i o # 6 z ，e 御c 最2 f m u mo m 所以得到 l l q m l l 蛾一”最 3 3 迭代的收敛性 现在我们来证明上述k a m 迭代是收敛的在第一步，我们令 4 0 = a ，e o = j i q o l l 。p ，o n ；a ，p o = 办8 0 = p a ，d o = d p o ，f o = ( e o ) ( + 1 s 5 ) 设第m 步，已定义了口。，p m ，e ，i 在第m + l 步定义 + 1 = 2 ，+ l = s m 2 ，加+ l = 胁一，d m = 壅童查兰堡圭兰堡垒窒篁三塞室堡! 丝堡里 坼- 2 袅，t 2 丽c e ”石+ l 令 p m = ( e + p o ) ( e + r ) ( e + p m 1 ) ， z = p 在上述变换下，( 3 1 ) 化为 雪= ( 4 m + 0 m ) 弘 辜e 中a m a m 队e m 一1 ，0 q m 。墨e m 令讲= n 船1 。，比i i + 因为 o p m o 硒一。毛，o p m “。e 何五静琵2 ozwn o 仃l e - m + 1 琏l + i v 所以有 ( g e 。+ 1 ) ( c 只。) 2s ( c f l ) 矿 晶= c 最；c 嘉 ； 因此兀袅1 ( 1 + ) + o 。所圳p m “ 1 2 + a i 。k 1 7 ，1 , m m s 风c 雨a n - - 乎了 当 k 时，有 m e a s j i = i ( ，( f ) ，) + ( f ) 一b ( ) j - 0 ，v i ，坳，垤0 ) = 0 令 矗口o = fl 、j ( ，嬉) ，七) + 九( f ) 一b ( f ) i a o ，v 七0 所以有 m e o s ( 矗) 一o ( 咖一0 ) 所以当 耳时，罹风( 咖) ，有 i i 佰 x + d 一1u 五1 于是，当充分小时，对于v 吲 _ k 所以 1 m e a s ( i i i i 。豆) o 。驴 l m e ( 1 1 0 ) c o i p + m e a s ( 豆) 又因为 所以 r i mc n o t 3u ( n n m h ) m e a s ( i i m ) m e s a ( n n o ) + m s ( ( m 氩) ) m = on = l 嘲加+ m e s n ( 瓦) = o ( 1 ) ( 咖一o ) 第四章附录 4 1 附录 引理4 1 如果g ( x ) 是在f 的闭包，中的m 阶微分方程，其中icr i 为一区间令 厶= 1 9 ( z ) l 0 ，如果1 9 ( $ ) ( ”) i d o ，比i ，d 为常数，那么 m e o s ) s 矾击 其中c = 2 ( 2 + 3 + + m - 4 - d - 1 ) 证明：见【6 】 引理4 2令风= 任nc 舻ii ( k ，u ( ) ) + 知( f ) 一如( ) i 西辛辆) ，如果 九c ( n ) ，1 i n ，并且 r 。n k 似如器i 即缉胪i = n 比n ， ( 4 1 ) 这里 塑：r 堕丝丝、r 硒2o 可两可j ； 其中移= 延名挚徕，那么存在一个足够大的常数m = m ( w ，n ) ，当k m 时， 一”( 0 对v ( f ，) nxs ，有i a ( f ) 口i c l ，这里a ( f 扣的模与 的模相同，其中 奎翼奎篓堡圭兰堡墼塞 墅三塞塞矍：墼! ! 塑 2 3 s = 扣i 口形，m = 川= 1 那么对v ( f ，v ) i i s ，在n 中存在一个f 的邻域n 以 及个s 中v 的邻域，满足对一些i ， l ( u ( f ) ，) i 磊c l ，v ( t ) 啦岛 由于 啦岛i ( ， ) n s ) 是紧集n s 的开覆盖，所以存在有限个覆盖n lx 鼠，晶，满足u 警1 哦岛) q s 以及v ( 口) 嘎韪，有 i ( 磕u ”) 2 磊c l ， 其中磊 r l ，r 2 ，r r ，魂 v l ，v 2 ，v r ，t = l ，2 ，霄 固定k 0 ，假定南岛，那么对 n t ，i 联，( ) ，南f 磬，我们把磊，巩写成心，耽简 化形式，并且1 r n 令，( f ) = 忙，“，馐) ) + ( f ) 一( f ) ，得到 南珥，( ) = i i ( 或( 纠+ i 1 。7 仇( f ) 一( 钏 则存在m 0 满足当i k l2 尬f n 时， 雨1u 。r 儿，石c ! 令 碗= t ri 叭f 伸) i 斋斋，f 锄，f + 切锄) 和 磁= 胙ri 钏苦斋，f 咄) 由于对f + t v 啦，我们有 雨1i 万d r ，【f + + 如) i = 高i 珥，( 钏袅 由引理3 1 ，我们有m e 口8 ( 魂) c 2 ( 而毋可) ，因此 m m s ( 磁) c 2 ( 击。r a n ) 7 。1 面南) 奎童奎竺堡主堂堡垒塞 篁三塞塞翼! 墼堡塑 2 4 由于南至多属于霄个集合研，函，鼢，所以 一s ( 蚴c ( 跏r a n ) ”1 ( 而) 专 引理4 3设有一元函数h c 0 在开区间i = ( 口，b ) 上二阶连续可导，j 有界，冀1 l 当o e 4 笋时 s u ，p t h ( t ) i 1 8 u p i h ( 卅f 8 u p i h ”( 蚍( o ，的 证明：首先，如果t o 【o + e 一一e 1 ，任取一点t j ，使i t t o l = e ，根据泰勒公式有 ( t ) 一h ( t o ) = 7 ( 如j o 一如) + ；( f ) 。一如) 2 ， f ( 幻，t ) ， = 净( t 0 ) = tl - i - 毛( ( t ) 一 ( t 0 ) ) 一：( f ) 一如) ， 昔i h ( t o ) l 2 。s u p i + ；s u p 肌) | ( 4 2 ) 其次，如果t l k 口+ e ) 或( b e 1 耐总可以找到一点t o 陋+ 6b e 使得i t t o l = e ，于 是由中值定理和( 3 4 1 ) 式可得： 0 1 ) 一( t 0 ) = 矿( 日) ( t 1 一t o ) 0 ( t o ，t x ) = 孛i h c t l ) isi h ( t o ) l + l ( 口) ( t l t o ) f ( t o ) l + s u p i h ( t ) i j 2 ( ! s u pi h ( t ) l + e s u pi h ”( t ) i ) e j1 因此，当0 e 譬时， s u f p l h ( 哪2 ( i 1s u p i + c 8 u j ( f ) i ) ( 。，6 ) 引理4 4设有一元函数，( $ ) 在开区间，= ( o ，6 ) 上有n 阶连续导数，是有界区间， 则对于任何低阶导数，( 呻( ，0 m n ，有下述不等式成立 s u pi f ( 州扛) 1 c ( 。1 ，s u j pl f ( z ) i + ，一m u j p f ”) 其中0 e 譬是任意小的常数，c 是跟t r t ，e 无关的常数 一叁童查堂堡圭耋堡垒塞 堡三塞窒堡! 塑堡塑 2 5 证明；由引理2 可得 s u pf ，n - 1 p ) i 2 ( 言s u pi p q 。) f + e u j pf 尸p ) 1 ) ， s u ，pi f ”句。) f 2 ( 1s t ：pi f 删。) | + c 28 u f pi f “( 圳) 号s u ，pi f ”2 2 ( 壶s u pi f ”3 + 鲫( 去s u p 扩2 ( 圳怕s u ，pi p ( 删 ；s u p i p 一2 isi 2s u p i 广一3 ( z ) l + 3 2 磅s u p i f n ( z ) i ， ( 2 ) ，s u p i ，l 。i 三s u p 护一3 ( z ) i + 6 4 s u p i ，竹( 1 ， ( 孙) s u j pi r ( 。) i 2 ( 去8 u pj ，一4 ( 甸j + 咯8 u ，p1 f ”2 0 ) j ) s 丢s u pj ，- 4 扛) j + ( 乏s 1 ，1 pi f ”3 ( 酬+ 6 4 e + u ，pi ，n p ) f ) 令署= 击，则可推得： ( 3 1 s u ，p 扩3 昙s u p 旷“( 刮+ 2 1 6 6 ；s u ，p i f ( 圳， 接下来令警= 击，2 n 一1 ，同样地可以推得： ( 4 ) 8 u j pi i ”4 ( z ) i 云s u p i i 尸“( z ) i + 2 3 0 c 48 u pl ，”( z ) l ， je 4 ”1i ” ( 肼 + u ，pi f ”锄l 咏s u pi p - + - 1 扛) i + 秽2 1 函u ，pip(i ) i ，e t ” “ r 一，” n - 2 1 s u ，pi f ”( z ) is 一4 + ：pi i ( z ) l + 2 2 ( n - 2 ) 2 - - 1 e n n 二2su，p，：n-2 i 叭刮， ， 一r “ ，( n - 1 ) 8 u p l ( 圳石48 u p l ，( 功l + 2 2 ( - - 1 ) 2 - t e n “二1 8 u j p i ，l ( z ) | 将( n - 1 ) 式代入( n - 2 ) 式，然后将( n - m ) 代入( n - 3 ) 式”最后将( 2 ) 式代入( 1 ) 式，就可得 到， 8 u ，p f n ( $ ) f c ( 面18 ：p i f ( a ：) l + ，一“s u p l “如) i ) ，。 m n ，。 i ! 专炉的点的集合记作 剐加悱c r r l i i m - 1 ( 圳l 譬竽) ， 则当充分小的时候，可以找到一个充分大的露和适当小的a o ，使得v i 叫 霞都有 m e s 冗k ( a ) c ( 而吕雨) 。( 棚一 ( 4 3 ) m e s 冗k ( q ) 。i 而= 而厂【d 彻删j 卜7 冀中c 是仅依赖于e ，口的常数 证明；( 一) 设m 是m 的伴随矩阵，m 的元素为m 的一l 阶子式，由于e 是很 小的量且m i i = d ( ) ，故0 m 1 1 ，于是由 ：茄茸i i m - l f l = 丽i i m * i i ， 毒i d e t m i = 揣 c 南， = 净冗k ( a ) m i 这里 h i 。( = f 陋矧 。阡 以上第( 3 ) 个式只要e 充分小，第( 4 ) 个式只要o t 充分小即可于是 其中 m k ( a ) f l 鲧= 矾 爿m k ( a ) l ir - i 吼 ( 三) 将d e t m 记作 ( ，) ，展开行列式得到： d e t m nn 一1n ( 和，) + 毋) + 啦i i ( ，) + 0 ) b j = l l l l = o j = l l = ( 1 l ，1 2 ，t n ) ，0 = o 或1 ，川= l l + f 2 + + i n ，1 j s n a l 是跟p ( f ) 有关的项，0 啦怪e 令 ，( f ，目) = 和( f