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州川人学顺 学位论文 时间序列建模中的随机单位根检验 应用数学专业 研究生：毛瑞华指导教0 i l i ：李竹渝教授 摘要 经典的a d f 检验和p p 检验方法解决了误差为弱平稳或强混合平稳的时间 序列数据的单位根检验，在这些检验中都假设时间序列过程的单位根是确定性 的，但实际的金融时间序列数据分析表明数据的生成过程是否含单位根可能有 一定的随机性。 自1 9 7 6 年d i c k e ya n df u l l e r 提出经典单位根检验方法后，在相当长的时间 内，我们都假定如果数据生成过程是非平稳的单位根过程，则单位根的存在性 是不用讨论的，但是金融数据的实际分析却不完全如此。g r a n g e r 和 s w a n s o n ( 1 9 9 4 ) 1 首先讨论了时间序列分析中的随机单位根过程，指出在金融 时间序列数据中的单位根的在性并非是肯定存在的，而是具有一定的随机性， 提出了随机单位根过程；m c c a b ea n dt r e m a y n e ( 1 9 9 5 ) 2 研究了差分平稳过程 对随机单位根过程的局部最优不变检验，g r a n g e ra n ds w a n s o n ( 1 9 9 7 ) 3 讨论了 误差过程为正态分布下的差分平稳过程对随机单位根过程的假设检验，p a r k w i n gf o n ga n dw a ik e u n gl i ( 2 0 0 3 ) 4 讨论了误差为正态分布的随机单位根和 季节随机单位根的检验。 关于随机单位根及其检验，现有的文献中的模型多是建立在误差为正态分 布的基础上。由于时间序列数据，特别是金融时间序列数据，大多数都是不服 从于正态分布为了使我们所建立的模型具有更好的适用性，我们将时间序列 蚪j i i 太学坝 _ 学位论文 数据的误差过程扩展到广义误差分布过程，并用参数的m l e 估计量构造了相j 、 的统计量，获得了对应的极限分布。当广义误差分布的参数v = 2 时，其分布即是 正态分布：另外，实际的余融数据分析已经发现大多数的金融数据呈现出厚尾 现象，而当广义误差分布的参数满足o v 2 时，其分布正好是比j 下态分布的尾 部更厚的分布，因此我们的分析具有更加重要的意义，适用的范翻也更为广泛。 本文内容安排为：在第一章中引入了随机单位根过程及其模型：第二章列 出了一些预备知识，并回顾了经典单位根过程检验方法：第三章分析了随机单 位根过程及其检验，其主要内容是在广义误差分布条件下讨论随机单位根模型 的检验和估计问题。 关键词弱平稳：鞅差序列；泛函中心极限定理：布朗运动；随机单位根；广义 误差分布 叫川人学硕士学位论文 t h es t o c h a s t i cu n i tr o o tt e s to f t i m es e ri e sm o d e i s a p p l i e dm a t h e m a t i cm a j o r g r a d u a t es t u d e n t ：m a or u i h u a s u p e r v is o t ：l iz h u y u a b s t r a c r i no r d e rt oe x p l o r et h eg e n e r a t i o f to fd a t ap r o c e s s e s ( d g p ) ，w em u s t t r yt om o d e lt h ed 6 pi nh i s t o r i c a ld a t aa n df o r e c a s ti t b yt h ec l a s s i c a l a n a l y s i so fu d i t r o o tt e s t s ，w h e t h e ra i ) ft e s to rp - pt e s t ，t h e yc o n s i d e r t h eu n it - f o o tt e s t so ft h em o d e l s ，w h o s ee r r o r sa r ew e a ks t a t i o n a r yo r s t r o n gm i x e dp r o c e s s e s 0 nt h eo t h e rh a n d t h em o d e l su s e dt ot e s tt h e u n i t - r o o to ft i m es e r i e sd a t aa r ea s s u m e dt h a tt h ee s s e n c eo ft h eu n i t r o o t i sn o tn e e dt os t u d yi nt h ed g p i nf a c t ，t h eu n i t r o o to fr e a ld g pi n f i n a n c ea n de c o n o m i cd o e s n te x i s tc e r t a i n l y s i n c ed i c k e ya n df u l l e r ( 1 9 7 6 ) p r o p o s e dt h ed ft e s ta n de x t e n dt o a d ft e s ti n1 9 7 9 。t h ee s s e n c eo ft h eu n i t r o o to fn o n s t a t i o n a r yt i m e s e r i e sd a t ad o e s n tn e e dt os t u d yi no u rm i n d ，b u tt h ee x p e r i e n c eo f t h ef i n a n c i a la n de c o n o m i cd a t as h o w sw es h o u l ds t u d yt h ee s s e n c eo ft h e u n i t r o o t g r a n g e ra n ds w a n s o n ( 1 9 9 4 ) 1 s t u d yt h es t o c h a s t i cu n it r o o t a tf i r s t t h e ys h o wt h ee s s e n c eo ft h eu n i t r o o to ft i m es e r i e ss b o u l d b es t u d i e d w ec a n tb ed e c l a r et h eu 1 i t - r o o tw e a t h e re x i s to rn o ti n m i n d ，t h eu n i t - r o o to fd g pe x i s t sa ts o m et i m e a n dd o e sn o te x i s ta t s o m et i m e t h i sc h a r a c t e r i s t i ci sc a l l e ds t o c h a s t i cu n i tr o o t 。s t u r m c c a b ea n d t r e m a y n e( 1 9 9 5 ) 2 c o n s i d e rt h el b i ( 1 0 c a l l yb e s t i n v a r i a n t ) t e s tf o rd i f f e r e n c es t a t i o n a r ya g a i n s ts t u ru n d e rl o c a l h e t e r o s c e d a s t i ci n t e g r a t i o n g r a n g e ra n ds w a n s o n ( 1 9 9 7 ) 3 s t u d yau n i t r o o tt e s ta g a i n s tt h ea l t e r n a t i v eo fas t o c h a s t i cu n i tr o o tu n d e rn o r m a l e r r o ri nd e t a il p a r kw i n g f o n ga n dw a ik e u n g l i ( 2 0 0 3 ) 4 s t u d yt h et e s t s i i i 凹川i 大学硕：i ：学位论文 o nt i m es e r i e sw i t hr a n d o m i z e du n i tr o o ta n dr a n d o m i z e ds e a s o n a lu 1 3i t r o o tu n d e rt h en o r m a ld i s t r i b u t i o ne r r o r s t u d y i n gt h ep a p e r sa b o u ts t u rp r o c e s s e s w ef i n dt h a tt h em o d e ls l r e b a s e do nt h ea s s u m p t i o no ft h en o r m a le r r o r h o w e v e r ，w ec a n td e t e r m lr e t h et i m es e r i e sd a t a ，e s p e c i a l l yf i n a n c i a la n de c o n o m i cd a t a ，f o l l o w st h e n o r m a ld i s t r i b u t i o n i nf a c t t h a to u rp r a c t i c a le x p e r i e n c es h o wt h er e a l f i n a n c i a la n de c o n o m i cd a t aa r ef a tt a ild i s t r i b u t i o n 。i ti su n f itt o a s s u m et h a tt h er e a ld a t aa r en o r m a l i t y i no r d e rt 6f i tt h er e a ld g p ， w ea l l o wf o rt h eg e n e r a le r r o rd i s t r i b u t i o n ( g e d ) ，e s t i m a t et h ep a r a m e t o r b ya - m l e ( a p p r o x i m a t em l e ) ，a n ds h o wt h el i m i t i n gd i s t r i b u t i o no ft h e s t a t i s t i c w h e nt h ep a r a m e t e ro fg d ei se q u a lt o2 ，i ti sn o r m a l i t y w h i l e t h ep a r a m e t e ro ft h eg e df o l l o w so v 2 ，i ti st h ed i s t r i b u t i o nw h o s et a i1s a r ef a t t e rt h a nt h en o r m a ld i s t r i b u t i o nt a i l s t h ea n a l y s i so ft h er e a l f i n a n c i a ld a t as h o w st h a tt h ed a t ai sf a tt a i l s o o u rm o d e l sw i l lb e f it t e ra n db eu s e di nl a r g e rf i e l d s t h isp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：c h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h es t o c h a s ti c u n i tr o o tp r o c e s s e sa n dt h e i rm o d e l s c h a p t e r2 ，w eg i v es o m er e a d yk n o w l e d g e w h i c h i su s e dt oa n a l y s i st h eu n i tr o o t m o r e o v e r ，w er e e a l lt h ec l a s s i c a l u n i t - r o o tt e s tt h e o r i e sa n dm e t h o d s ，a n dd e s c r i b et h ep r o c e s s e so ft h e c l a s s i c a lu n i t r o o tt e s t i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h es t o c h a s t i cu n i t - r o o t p r o c e s s e sw i t hs t o c h a s t i cp a r a m e t e r su n d e rt h eg e d ，a n dd e v e l o pt h e 1 i m i t i n gd i s t r i b u t i o no fs t a t i s t i c s k e yw o r d s ：w e a ks t a r i o n a r y ，m a r t i n g a l ed i f f e r e n c e ，f c l t ，b r o w nm o t i o n s t u t ，g e d 蚪川i 大学硕十学位论义 引言 经济学和金融学的许多估计与预测都与动态建模有关，随着理论研究与实 际应用不断发展，时间序列分析方法已经逐渐成为经济学和金融学中建模的主 要数学手段。时间序列数据的生成过程具有很强的时间性，因而我们所获得的时 间序列数据一般地说都是非平稳的数据序列，如我们常见的股票、债券等金融 数据是在不停地变化。为了对未来的时闻序列数据的生成过程进行预测，我们 需要对相应数据的生成过程的进行研究，从而对时间序列数据的未来发展做出 合理的预测。 对时间序列数据的平稳性或单位根过程的检验，多采用经典的检验方法， 如a d f 检验、p p 检验、k p s s 检验。这些检验均是建立在数据生成过程的误差 分布为正态分布或序列弱相关的前提条件下，而且假定如果随机过程是单位根 过程，其单位根的存在性是确定的，即单位根的存在性不具有随机性。对于时 间序列数据的生成过程中的单位根的存在性是否具有随机性，g r a n g e r 和 s w a n s o n ( 1 9 9 4 ) 1 首先讨论了这个问题并在g r a n g e ra n ds w a n s o n ( 1 9 9 7 ) 3 发表的文章中，他们讨论了金融时闻序列数据的生成过程的单位根性质，发现 单位根的存在性是具有一定的随机性的，即从数据的整个生成过程来看，可能 会在一个时期内是一个单位根过程，而在另一个时期又可能是一个平稳过程， 不能简单地把整个数据生成过程看作是或不是单位根过程。m c c a b ea n d t r e m e n s ( 1 9 9 5 ) 2 利用随机单位根的思想，在误差为正态分布下讨论了差分平 稳过程对随机单位根过程的局部最优不变检验( l b i ) ：m c c a b ea n ds m i t h ( 1 9 9 8 ) 5 利用具有随机单位根讨论了文献 2 中的l b i 检验在局部异方差单整 下的单位根检验的势。p a r kw i n g f o n ga n dw a ik e u n g l i ( 2 0 0 3 ) 4 则讨论了备 择假设为随机单位根过程和随机季节单位根过程的检验，他们将数据生成过程 分成非暴发性结构变化和暴发性结构变化两种类型，分别给出了其检验方法。 我们沿着以上文献资料中的研究方法和思路，将模型的误差过程由正态分 布扩展成为广义误差分布，其主要目的是利用广义误差分布在参数满足o v 2 时其尾部分布是比正态分布的尾部更厚的分布的特性，从而更好地反映实际的 金融时间序列数据的厚尾特性。在以上的文献资料中，对于随机单位根过程的 叫川大学颂：l ：学位论文 讨论及检验是建立在误差过程为正态分知的假设下，这在实际应用中有一定的 局限性。例如实际的金融时间序列数据的分析发现，数据的实际分布形状常呈 现出尖峰厚尾的现象，当我们假设数据分布为正态分布时，显然是有定程度 的模型设定误差。我们在误差分布为广义误差分布条件下，利用 a m l e ( a p p r o x i m a t em l e ) 方法获得了模型参数的估计值，并由此得到了相应的 检验统计量发其渐近分布。由于广义误差分布的参数v = 2 时，广义误差分布即 是正态分布，因此我们推广了文献 3 中的结论，使我们的模型具有更广泛的应 用范围。 本文内容安排为：在第一章中引入了随机单位根过程及其模型；第二章首 先列出了单位根检验所需要的预备知识，并回顾了经典单位根过程检验方法。 第三章分析了随机单位根过程及其检验，其主要内容是在广义误差分布条件下 讨论随机单位根模型的检验和估计问题。 2 四川人学顶上学位论文 第一章随机单位根模型 假设x t 是一个金融资产的价格，审。= o x 扎。，x 。，x 。 表示直到时 间t 时的所有信息的集合，它在时间t 的收益率( 不计股息收入) 为 e ( h 。) ；些出虹 x 卜l 设，= x ，一e ( x ，l 中。) ，且d ，= e ( i m 。) ，则 x ，= ( 1 + 6 ，) x ，一l + e 。 ( 1 1 ) 模型( 1 1 ) 是一个随机系数的a r ( 1 ) 过程，并假设s ，和6 ，为独立的，零均值 绝对白噪声过程，方差为盯；和o ；。 ( 1 ) 当仃；= o 时，对任意的f ，巍坚1 + 6 ，；1 ； ( 2 ) 当2 ，0 时，对任意的t ，e ( 魂) = 1 。 因此，模型( 1 1 ) 具有一个随机单位根( s t o c h a s t i cu n i tr o o t ，即s t u r ) ，收 益率为白噪声的假设表明价格水平含有一个随机单位根( 参见米尔斯( 2 0 0 2 ) 6 第1 0 6 页) 。 g r a n g e r 和s w a n s o n ( 1 9 9 7 ) 3 提出的s t u r 过程为 卜f - a t j h + l ； j b ，= e x p ( 口，) ； ( 1 2 ) 【a 。= 肛+ p a ，一l + 叩， 其中，是零均值乎稳过程，噪声序列仇一i 2 a ，( o ，) ，与q 是相互独立的，且 i p lc 1 ，并记乳) 为q 的功率谱函数。 显然，s t u r 过程是一个非线性的时间序列过程，因此对此过程的分析及 相应模型的估计和检验，利用经典的单位根检验方法是无法解决的，我们将在 第三章进行详细的讨论。 四川大学硕士学位论文 第二章经典单位根检验 关于时间序列数据的平稳性或单位根过程的检验，d i c k e y 和f u l l e r ( 1 9 7 6 ) 建立了基于0 l s 估计量的检验统计量d f 一检验，并于 9 7 9 年推广到一般的a r f p l 过程的单位根过程的检验，即a d f - 检验，这个推广的重要思想是用包括出的k 个滞后项使a r ( p ) 过程的误差为白噪声；p h i l l ip s ( 1 9 8 7 ) 7 、p h i l l i p sa n d p e r r o n ( 1 9 8 8 ) 8 使用半参数方法检验了时间序列过程的单位根性质，其主要思 想是首先将模型当作误差为白噪声条件下的模型并用0 l s 方法进行估计，从而 得到初始统计量，然后修正这个初始统计量，使之适应呈自相关的误差所产生 的影响，并且能够使用与a d f 统计量相同的极限分布和临界值；k w i a t k o w s k j 等( 1 9 9 2 ) 9 考虑了原假设为平稳序列而各择假设为单位根过程的时间序列的 检验，提出了k p s s 检验( k w i a t k o w s k i ，p h i l l i p s ，s c h m i d ta n ds h i n ) ( 1 9 9 2 ) 。 下面我们首先给出一些在单位根过程检验中常用的概念和收敛结果，再分 别对以上的经典检验方法进行一些讨论。 2 1预备知识 2 1 1 基本概念和定理 记c 0 ，1 表示定义在区间 0 ，1 上的有界连续函数空间，其距离定义为 d ( f ，g ) = s u pi f ( s ) 一g ( s ) i ，v ，( s ) ，g ( s ) e c o ，1 】 咀0 t l 定义2 1 1 对v6 ，0 ，当r m 时，若随机函数爵e c o ，1 】满足 尸 d ( 导，亭) 6 ) 一0 ， 则称爵一致收敛于亭，记为岛上宇。 定义2 1 2 设 导，t 1 ) 是空间c o ，1 上的随机函数序列，随机函数亭【o ，1 】， 且研和万分别为导和亭的导出概率测度。当且仅当对vf ：c o ，1 卜+ r ，有 l 似t l 弘狂 成立， 则称研依分布收敛于口，记为爵一亭( 见p a r t i c k b i l l i n g s l e y ( 1 9 6 8 ) 1 0 ) 。 不变原理，又称为泛函中心极限定理( f u n c t i o n a lc e n t r a ll i m i tt h e o r e m ， 即f c l m ) ，是将传统的随机变量的中心极限定理推广到随机函数序列( 见 1 0 ) 。 4 赳j i f 大学硕士学位论文 定理2 1 1 不变原理( s t o c k ( 1 9 9 4 ) 1 1 ，t h e o r e m1 ) 设 f 是一个鞅差序列 满足 e i ，扣，) = o ； r 砉嘲中，) _ 。耐； ( n1 1 ) e g ? h ) ck 。，”，t o rvt t 导( r ) 一b ；丁) _ “2 茎+ ( n 一【n 】k ，r 【6 ，1 ， 其中w ( o 是定义在 0 ，1 上的一维标准布朗运动1 。 定理2 i 2 连续映射定理( s t o c k ( 1 9 9 4 ) 1 1 ，t h ec o n t i n u o u sm a p p i n gt h e o r e m ， c m t ) 若泛函h 是c o ，1 到d o ，1 的连续映射，导一亭，则 皤( ，) ) 一 皓( r ) ) ，r 【o ，1 】。 定义2 1 3 设是鞅差序列，满足( 2 1 1 ) ，令 y ，= c ( 曰) 铲c ，b s ， ( 2 ) 其中b 为滞后算子，j i c j ic * 若c ( 1 ) 一o ，则称v f 是零阶整的，记为q - i ( 0 ) a 若序列心满足a u ，- i ( o ) ，则称q 是l 阶整过程，记为“，( 1 ) 。 定义2 1 4 设随机变量e 满足 北2 箭啦叶计c 玎 则称，为服从参数为v ，均值为0 ，方差为l 的广义误差分布( g e n e r a le r r o r d i s t r i b u t i o n ，g e d ) ，记为，g e d ( o ，1 ) 。 若不作特别说明t 本文中的，r ( ) 均表示一维标准布朗运动。 5 心川人学硕士学位论文 广义误差分布有如卜- 的性质： ( 1 ) 当o 0 。p h i l l i p s , p e r r o n ( 1 9 8 8 ) 8 建议选择b a r t l e t t 核权函数， 而且当f ，以适当的速度增大到无穷大( 如肛一o ) 时，娃上m 2 。 ( 2 ) y ，( o ) 的一个一致估计为，( o ) = r 1 砉? 或，( o ) = 口一2 ) “砉蜉2 巧2 。 特别地，如果q 是g 阶序列相关的，七的估计可用 岔吲o ) + 2 砉 1 s l ( g + 1 ) p 巧1 ，- i + 1 叩叫，沪矿d 哦。 过程，此时用o l s 估计回归模型，利用标准的o l s 公式及回归标准差s 来计算庐 及其标准差6 d ，并由样本残差d ，估计凡和穿，从而构造出与a d f 检验统计量 9 四川1 人学坝i 。学位论文 具有相同渐近分布的p - p 统计量，达到最终榆验单位根过程的目的。另外，可 看出p - p 检验方法对于误差序列呈现出异方差的情形时也适用。这是因为若时 间序列数据是异方差分布的，有( “；) = y 。，但若有了。y 。，收敛于某一常数c 则常数c 相当于y 。的作用，因此p - p 检验方法在误差序列呈异方差时也可使用。 2 2 。3k s s p 检验 a d f 和p - p 检验采用的原假设是h 。：p = 1 ，备择假设是h 。：j p l c1 。 k w i a t k o w s k i 等( 1 9 9 2 ) 9 考虑了另一种形式的假设检验，即原假设h 。： p | 1 ， 备择假设h ，：p = 1 ，即k s s p 检验方法。 设序列x ，满足 缸，= o o + a ，一踟，一l ( 2 2 7 ) 当o = l 时模型( 2 2 7 ) 表明数据生成过程是一个趋势平稳过程，因而此限 制设定了趋势平稳原假设的参数，相对应的是0 o ； 另外，若一在原假设下不含趋势成分，则e ，z t i ，由此可得水平值平稳 性的检验统计量砷。的极限分布为 r 。一f i r ( r ) 2 d r ； 其中v ( o w ( r ) 一r w o ) 是消除均值后的布朗运动，即一个布朗桥。 l o 删川人学硕l j 学位论文 ( 2 ) 当误差过程a 可放宽为如_ f 的弱相依条件 对于所有的t ，e ( a ，) = 0 ； 对于某个声，2 ，s u p ，e ( ia ，r ) 瓦) ( f 一瓦) ，d u , * l ( f ) 瓦) ，1 ( ) 为示性函数，z ， a r m a ( p + 1 ，碍) ，满足垂( b ) z f o ( b ) 岛，q i 2 d ( o ，盯2 ) ，e ( 0 ) * a 假设西( 矗) 可分解为中( 曰) 一( 1 一p 8 徊( 口) ，且垂( 口) 与0 ) 的根都在单位 圆外，初值是常数。在h o ：p t l 下，肛= x o ，且4 。m 。) 1 0 ( b ) qa ( 口) q ； 在h 。：l p l ( 1 下，= 垂婶) 一o ( b ) e ，z 妒( 曰k 是一个平稳过程i p e r r o n ( 1 9 9 7 ) 1 4 ，v o g f l s a n ga n dp e r r o n ( 1 9 9 8 ) 1 5 推广了这些模型，他们假 设，。对冲击的反应方式与对任何其它冲击的反应相同，将数据中断点的发生看 作相对于整个时间段而言是更为缓慢的过程，可能会更合理。事实上，由于数 乳 踟 2 2 洲川大学倾士学位论文 据的变化调整路径可能是任何形式，可用以下的模型来捕捉数据的特征。 在日。：p = 1 下，有 m o d e l l ：a x ，= 卢+ 庐( b ) p d ( 瓦) ，+ e t j m o d e l 2 ：缸，= + 声( 占) p d ( 瓦) 。+ y d u + e t j ( 2 2 1 1 ) m o d e l 3 ：a x ，= 卢+ 庐( 口) 【y d u ，+ e ，j 其中d ( t b ) 。= l ( t = 瓦+ 1 ) 。 在h ，：i p i 1 下，有 m o d e l l ：z ，= i t + 肛+ 妒( b ) 旧d ( t b ) ，+ e t j m o d e l 2 ：；肛+ f , t + 妒( 日) 旧d ( t b ) ，+ y d 妒+ e t j ( 2 2 1 2 ) m o d e l 3 ：x ，= + 肛+ 妒( b ) b d u + j 对于( 2 2 1 0 ) 与( 2 2 1 i ) 中的m o d e l l 和m o d e l 2 ，可分别对下面两个模型 用m ) f 检验进行单位根过程的检验： ( 口) x t 一+ f i t + 6 d ( 瓦) ，+ 0 ，d u , + 肛h + 罗c , a x 。+ e r ； 篇 k ( 6 ) x t = 芦+ f i t + 6 d ( 瓦) ，+ 秽d u ，+ r d t , + l a x , 一l + y c ：a t , 一，+ q ； 爿 对于( 2 2 1 0 ) 与( 2 2 1 1 ) 中的m o d e l3 ，则用模型( c ) 进行检验： ( c ) = p + f i t + 0 d u ，+ r - d t + 肛f - 1 + c a x 。+ e t ； 面 对于模型扣) 一 c ) ，在一个单位根的假设下，有p = l ，e = l ，y = o 。同时，对 这三个模型的估计还需要确定五和k ，这可按s e r e n an ga n dp e r r o n ( 1 9 9 5 ) 1 6 或t h i m o t h ya n dp e r r o n ( 1 9 9 8 ) 1 5 中的方法确定。 事实上，在结构性突变有可能存在的情况下，单位根检验的一个主要问题 在突变( 或一组突变) 的时间不太可能是外生选择的。在实际的建模过程中，突 变点的选择有很多人为的因素，当突变点确定了后，还应该对所选择的突变点 进行正式的显著性检验。 两川大学硕士学位论义 第三章随机单位根过程 时间序列数据的单位根过程的经典检验方法，无论是a d f 检验，p - p 检验， k p s s 检验，还是含有趋势成分的单位根过程检验，都有比较强的假设条件，即 如果时间序列数据的生成过程是一个单位根过程，则其单位根只有一个，且其存 在性是不需要进行讨论的，另一方面，经典单位根过程检验所使用的模型都是 线性模型。当我们把线性时间序列模型推广到非线性模型后，时间序列数据的 生成过程的单位根是否存在就具有一定的随机性。 3 1 随机单位根模型 安鸿志和陈敏在非线性时间序列分析( 1 9 9 8 ) 1 7 第1 4 8 页讨论了如下 的非线性模型： p 2 ( 口+ 只儿+ ； ( 3 1 1 ) l 芦，= q ，+ e ，7 卜1 其中假设： ( 1 ) ，为白噪声序列，e e , z 0 ，e e , 2 一仃：m ，且。与扛，s f 独立； ( 2 ) 吼为白噪声序列，e q t ；0 ，e , g 一，e 矿= 0 ，群，。c 。，仇与独立。 特别地，在模型( 3 1 _ 1 ) 中取a 一1 ，0 。0 ，模型( 3 i i ) 可化为： x ，；( 1 + 呷。) t 一1 + 。 ( 3 1 2 ) 当瓯2 = 0 时，1 + r , = 1 ，模型( 3 1 2 ) 表示一个差分平稳过程； 当西) 0 时，e ( 1 + 仇) 一1 ，模型( 3 i 2 ) 系数围绕一个单位变化。 g r a n g e r 和s w a n s o n ( 1 9 9 4 ) 【l 】首先提出时间序列数据生成过程的随机单位根 性质，并在其1 9 9 7 年发表的文章【3 】中详细讨论了随机单位根过程的问题，指出 一个时间序列数据的单位根的存在性是需要进行讨论的，它可能是随机存在的 或者围绕一个单位变动。在某个时间段内数据生成过程是一个差分平稳过程， 而在另一个时间段内则不是一个差分平稳的过程，即相对于数据的整个生成过 程而言，单位根的存在性具有一定的随机性，称数据生成过程的这种性质为随 机单位根( s t o c h a s t i cu n i tr o o t ，s t u r ) 性质，具有此类性质的随机过程称为随机 单位根过程。 旧j i l 大学硕_ i 学位论文 根据b o x 和j e n k i n s 的建模思想，对于给定的时间序列数据进行适当的差 分处理后均能将时间序列数据转换成为平稳的数据，但是如果数据的生成过程 如模型( 3 1 2 ) ，则差分方法是无法消除数据的非平稳性的。 记y ，= 石，一x h ，中，= 盯母。，a ， ，由模型( 3 1 2 ) ，有 v a r ( x ，i 中。) = x 1 2 _ ，盯：+ 仃； 即数据生成过程是条件异方差的，因此差分处理并不能使其平稳化。 g r a n g e r 和s w a n s o n ( 1 9 9 7 ) 3 考虑如下的s 1 、u r 模型： z l = b , x h l + f ，b r ；e x p ( a f ) ( 3 1 3 ) 其中，是零均值平稳过程，a ，n ( m ，o r 。2 ) ，功率谱为g 。 ) 。 设o a r ( 1 ) ： 乜，墨肛+ p a 卜l + 叩， ( 3 1 4 ) 其中l p i c l ，t l , i i d ( o 盯；) 的噪声序列，与q 是相互独立的。因此 卅= 士1 p盯：；鲁1p 一 一 z 由模型( 3 1 3 ) 可得 工r 獬r + 以+ 6 i 以一l s f 2 + + 抚缸一i b t - k + 2 。+ l + b , b t t 以_ k + l x 卜 ( 3 1 5 ) 对于任意整数女，o s ts f ，记_ ，垒e x p 咒，( 川s 。，( j ) 垒曼a 。，k s 。，( o ) - o 。 因此，由模型( 3 1 5 ) 可得 x f 曩r + j l r l 1 卜1 + 玎t 。2 r 一2 + _ + 疗f j i 卜i + 1 + 石，i 工卜i ( 3 1 6 ) 则 e ，= e s 。( 朋；j m _ 。v 盯【s 。( j ) 】盯： j + 菩( ，一r 油。( r ) 其中p 。p ) 一c o r r ( c t ，d 。) 。 当，很大时，有y ，一玉以。( o ) a - j l ( 0 ) 。 记m + 吾厶( o ) 垒目，m + ，口( o ) 垒妒，则e k 。】= e x p