（应用数学专业论文）混沌系统的同步及其在保密通讯中的应用(1).pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 混沌是自然界及人类社会中的一种普遍现象，它是在一个确定的系统中出现 的一种貌似不规则的、内在的随机性运动，展示了事物的复杂性。近年来，混沌 系统的控制与同步的研究得到了飞速发展，并与其它许多学科领域相互渗透，成 为非线性学科领域的一大研究热点，有着巨大的应用前景。本文作者的工作是围 绕混沌系统的同步展开的，并与保密通信相结合，实现了信号的有效传送。本文 主要包括以下几方面内容： 1 对混沌系统的同步研究背景与研究现状发展思路进行了较为全面的介绍 和总结。 2 对于r u c k l i d g e 系统，分析它的稳定性，接着采用非线性反馈的方法构 造了一个同步系统。进一步用l y a p u n o v 方法从理论上证明了误差系统的零点稳 定性，表明两个系统的同步，在m a t l a b 上进行了数值仿真，给出了系统的同步 误差图，结果表明驱动系统和响应系统能够很好的达到同步。对系统的第二变量 y ( t 1 进行扰动，数值仿真表面在扰动下系统仍能很好的同步，表面同步系统具有 抗干扰性。 3 针对r u c k l i d g e 系统，修改其第二分量从而得到个新的混沌系统。根据 参数d ，b ，c 的不同取值，用m a t l a b 画出混沌吸引子，并分析了系统平衡点的稳定 性。接着采用自适应的方法设计同步系统，在参数已知和未知的情况下采用不同 的控制律，实现了混沌系统的同步。采用李雅普诺夫函数的方法在理论上证明了 同步方法的有效性，进一步在m a t l a b 上进行仿真，仿真结果表明这种同步方法也 是快速有效的。 4 在前两章研究混沌系统同步的基础上，讨论y g j 用混沌系统的同步进行 保密通讯的问题。 关键字：混沌；混沌同步；r u c k l i d g e 系统；自适应同步；r o u t h h u r w i t z 判据； 新的混沌系统：保密通信 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t c h a o si sak i n do f w i d e s p r e a dp h e n o m e n o nb e t w e e nn a t u r ea n dh u m a n s o c i e t y i ta p p e a r sak i n do fi r r e g u l a ra n dr a n d o mc i t ym o v e m e n ti nt h ec e r t a i ns y s t e m ， d i s p l a y i n gt h ec o m p l e x i t yo ft h i n g r e c e n t l y ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o nh a sb e e na n a c t i v er e s e a r c ho ft h en o n l i n e a rs t l b j e c t t h i sn e wt e c h n o l o g yp r o m i s e st oh a v ea s i g n i f i c a n ti m p a c to nm a n yn o v e le n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s t h ec h a l l e n g i n gr e s e a r c h f i e l dh a sb e c o m eas c i e n t i f i ci n t e r d i s c i p l i n ei n v o l v i n gm a n yo t h e rf i e l d s ，i nt h i sp a p e r m yd i s s e r t a t i o nm a i n l y f o c u s e so nt h ec h a o s s y n c h r o n i z a t i o n a n ds e c u r e c o m m u n i c a t i o n t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ： 1 t ot h es y n c h r o n i z a t i o no fc h a o ss y s t e mi nt h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n ds t u d y c o n d i t i o n sa r ep r o c e e d e dv e r yf u l l s c a l ei n t r o d u c t i o na n ds u m m a r i e s 2 t or u c k l i g es y s t e m ，a n a l y s i st h es t a b i l i t yo fr n c k l i d g es y s t e ma n dp r e s e n t s n o n l i n e a rf e e d b a c ks y n c h r o n i z a t i o na p p r o a c hf o rt h ec h a o t i cr u c k l i d g es y s t e m p r o v e dt h ev a l i d i t yo ft h i ss y n c h r o n o u sm e t h o dt h e o r e t i c a l l yw i t hl y a p u n o vs e c o n d m e t h o d t h e nw i t hm a t l a bc a r r yo ne m u l a t i o np r o v es y n c h r o n o u sv a l i d i t ya n d a n t i n t e r f e r e n e ea b i l i t yo fm e t h o d e m u l a t i o np r o v e sv a l i d i t ya n da n t i i n t e r f e r e n c e a b i l i t yo f t h em e t h o d 3 t or u c k l i d g es y s t e m ，c h a n g et h es e c o n dv a r i a b l eo f t h es y s t e m 。f o rt h ev a l u eo f a , b ，c ，d r a wt h ec h a o sa t t r a c t o ro ft h es y s t e mt h r o u g hm a t l a b ，t h e na n a l y s i st h es t a b i l i t y o ft h es y s t e m f o l l o wd e s i g ns y n c h r o n i z a t i o ns y s t e mt h r o u g ha d a p t i v em e t h o d w i t h t h ek n o w na n di l n k n o w nv a l u eo ft h ev a r i a b l ea c h i e v et h es y n c h r o n i z a t i o no ft h e s y s t e mv i ad i f f e rc o n t r o l l e r 。p r o v et h ev a l i d i t yo ft h em e t h o dv i al y a p u n o vi nt h e o r y m o r ee m u l a t ei nt h em a t l a b t h ec o n c l u s i o no ft h ee m u l a t i o ni n d i c a t e st h a tt h e m e t h o di ss p e e d i n e s sa n de f f i c i e n c y 4 o nt h ef o u n d a t i o no ft h ef i r s tt w oc h a p t e ro fr e s e a r c hc h a o ss y s t e ms y n c h r o n i z a t i o n ， d i s c u s s e dt h eu s ec h a o s s y s t e ms y n c h r o n i z a t i o n t o c a r r y o nt h e s e c u r i t y c o m m u n i c a t i o n k e yw o r d s ：c h a o s ；c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ；r u c k l i d g es y s t e m ；a d a p t i v e s y n c h r o n i z a t i o n ；r o u t h h u r w i t zc r i t e r i a ；n e wc h a o t i cs y s t e m ；s e c u r ec o m m u n i c a t i o n 学位论文版权使用授权书 y 9 3 8 0 4 1 本学谯论文接袭完全了解学校袁关保黧、使赁学搜论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门绒机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被鬯阅和借阅。本人授权、江苏大学可以将本学位论文的全部内容或 部分内容编入有关数据库进行检索，可敬采雳影印、缩印或扫攒等复制 手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后逶艏本授权书。 不保密酣 学位论文作者签名：弘龋、 铆簿；冀 ，墨 指导教师签名：彦每乒学 矽；年月莎曩 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 强谚 日期：加6 年c 月日 江苏大学硕士学位论文 1 1 混沌的概述 1 1 1 混沌的定义 第一章绪论 从现代科学文献中，首次提出“混沌”词的是华人数学家李天岩及其导师 美国数学物理学家y o r k e ，对混沌概念给予了数学描述，他们在1 9 7 5 年共同发 表了一篇著名论文；“周期3 蕴含着混沌，或用李天岩的通俗说祛：“周期3 即乱 七八糟”。 在“混沌”一词命名之前，混沌的行为特性很容易与随机性和不确定性二词 相混淆。通常的随机性或不确定性是由系统外部因素引起的不规则行为，诸如环 境噪声、涨落、手段导致的不确定性、不精确性等，这是一种外在随机性，而混 沌则与它们截然不同，它是在确定性系统中产生的一种内在随机性，是由于内在 的非线性相互作用所致，并非由外部随机因素所造成；这种内在随机性也不向于 本身就是随机系统产生的随机性，如布朗运动等那样的随机行为：因此，“混沌” 是一种非线性动力学现象，是确定性系统产生的内在随机性。值得注意的是：内 在随机性与常见的外在随机性在描述方式有本质上的区别对于外在随机性，必 须在所研究的方程中外加随机项，而出现随机性的初值区域在相空间中的测度为 零。对于内在随机性在一个完全确定性的非线性方程，不仅无需加人外加随机 项，就可产生随机性，即混沌行为。而且出现随机性的初始范围在相空间中具有 非零测度，出现随机性的参数范围在参数空间中同样具有非零测度。是一种局限 于有限相空间内的高度不稳定性的运动，行为特性对初值具有高度的敏感性。 迄今，学术界对“混沌”尚缺乏统一的普遍接受的一般定义，但是至少有以 下几种不同的定义基本上勾画了“混沌”的庐山真面目，它们具有互补效果，较 好地概括了混沌的定性行为。 第一种定义：基于混沌的“蝴蝶效应”。即倘若一个非线性系统的行为对初 始条件的微小变化具有高度敏感的依赖性，则称混沌运动。该特性可以打一个形 象而夸张的比喻，例如，在昆明植物园内一只蝴蝶翅膀的轻轻煽动，可能最终导 江苏大学硕士学位论文 致地中海甚至非洲地区天气的剧烈变化，可能从艳阳高照变为狂风暴雨。这就是 说，一个系统的混沌行为对初始条件发生的“差之毫厘”的变化。导致最终系统 长期行为“失之于罩”的高度敏感性变化，表现出极端的不稳定性。这种高度不 稳定性，是指在相空间内初始极其邻近的两条轨道随着时间的推进两轨道的距 离彼此以指数形式迅速分离而不相遇，它们的行为具有局部稳定性，而系统的混 沌奇怪吸引子整体是稳定的，系统的长时间行为显示出混乱性和不可预测性。因 此，这是一种确定性系统本身表现出的内在随机性。 混沌系统内包含无数的不稳定周期轨道和非周期轨道，它们极其稠密地集中 在混沌奇怪吸引子中。既然它们对初始条件有如此高度的“敏感性”，因此只要 对系统施加非常小的微扰，就可能把系统从一个不稳定的周期运动转变到另一个 不稳定周期运动上去：也可能转变到一个稳定流形上，透彻理解这一特性，对于 控制混沌极为重要。不难认识到，希望与失望并存，挑战与机遇共有。“失望” 的是“敏感性”给重构一个完全相同的混沌行为带来了很大的困难，使人觉得“混 沌”是不可控的、不稳定的，因而是不可靠的有害约怪物。但是事物总是一分为 二的，在失望背面隐藏着希望；“希望”就在于可以利用这种“敏感性”来实现 对混沌的跟踪控制，而较快地达到对所期望的某个不稳定周期轨道的稳定控制。 第二种混沌定义是，基于l i y o r k e 定理，从数学上严格定义。 l i y o r k e 定理：设厂( x ) 是k ，6 】上的连续自映射，若f ( x ) 有3 周期点，则对任 何正整数h ，( x ) 有n 周期点。混沌定义如下：闭区间f 上的这续自映射f ( x ) ， 倘若满足下列条件，则一定出现混沌现象： ( 1 ) ，周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足： ( a ) 对任意z ，y s ，当x y 时，则有 1 i m s u p l f 。( x ) 一 ( y ) l 0 ( b ) 对任意x ，y s ，则有 1 i m i f l l ( x ) 一六( y ) | = 0 ( c ) 对任意x ，y s 和的任一周期点y ，则有 江苏大学硕士学位论文 1 i m s u p f ( x ) 一厶( y ) l 0 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数f ( x ) ，如果存在一个周期为 3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天 岩的话来说只要有周期三就“乱七八糟”的，什么周期都有。 该定义准确地刻画了混沌运动的几个重要特征： ( 1 ) 系统存在可数无穷多个稳定的周期轨道； ( 2 ) 系统存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道； ( 3 ) 系统至少存在一个不稳定的非周期轨道，即混沌运动。 ( 4 ) 系统在混沌区域内，存在一个逆分岔序列，其中出现非周期带。 第三种定义混沌的方法是采用排除法，即与现有已知的运动类型相比较来确 认的办法。这时混沌定义为：除了通常己知的三种典型运动类型，即平衡点( 静 点) 、周期及准周期运动以外的一种貌似随机的运动形态，就是混沌运动它的 特点是局部极不稳定而整体稳定。这种定义只反映了混沌是自然界中一种新的运 动形态，显得比较笼统，具体有什么特性需要进一步具体刻画。 第四种定义混沌是哈肯提出的，他干脆就把混沌定义为：来源于确定论性方 程的无规运动：这里主要的困难是如何恰当地定义“无规运动”，而不同周期运 动的迭加在某种程度上也可以模拟无规行为。所以，难怪迪托( d i t t o ) 把混沌定义 为非常多数目的不稳定周期运动的叠加。这与哈肯提出的定义不谋而合。 1 1 2 混沌的基本特征 既然混沌作为一种自然界与人类社会中普遍存在的运动形态，它在不同学科 范畴和领域中可能有各自适合的定义和内涵，既有共性又有特殊性。以上几种定 义主要是从非线性动力学角度、从数学、物理的观点提出来的。无疑，混沌是 种更高级的有序态，即所谓的“混沌序”，概括地说混沌系统的复杂动力学具 有如下基本特性： ( 1 1 对初始条件的微小变化具有高度的敏感依赖性； ( 2 ) 用最大的李雅普诺( l y a p u n o v ) 指数大于零表征； ( 3 ) 混沌吸引子在相空间内整体上是有界的。但是在吸引子内相轨迹具有高 度不稳定性，除了最大的李雅普诺夫指数大于零外，还具有有限值的拓扑熵和测 江苏大学硕士学位论文 度熵； ( 4 ) 混沌吸引子的几何特征是具有分形( 分数维数) 和自相似嵌套结构；具有连 续功率谱： ( 5 ) 混沌吸引子具有遍历性； ( 6 ) 经常与分佾、分形和多种奇怪吸引子其至排斥子等复杂动力现象共存， 等等。 1 1 3 通向混沌的道路 ( 1 ) 从倍周期分岔通向混沌 这条道路是由分形理论创始人b bm a n d e l b r o t 则和p m y b r e g 等一批科学 家共同努力而发现的。 1 9 7 6 年， m y r b e r g 在一篇对混沌理论的研究起了很大作用的综述性文章中 指出，生态学中的一些非常简单的数学模型具有极为复杂的动力学行为，包括 分岔系列和混沌。随后，m f e 发现倍周期分岔中的标度性和普适常数。由于 m f e i g e n b a u m 的出色贡献，有时也称倍周期分俞为f e i g e n b u m 道路，即从周 期不断加倍而产生混蚀，其基本特点是；不动点斗两周期点斗四周期点斗 无限倍周期凝聚( 极限点) _ 奇怪吸引子。 ( 2 ) 通过阵发性通向混沌的切分分道路 这是由法同科学家y p o m e a u 和pm a n n e v i l l e 于1 9 8 0 年提出的一条通向混 沌的道路，故又称p m 类间歇道路。 阵发混沌的产生机制与切分岔密切相关。阵发混沌发生于切分岔起点之前， 表现在时间行为的忽而周期、忽而混沌，随机地在二者之间跳跃。当系统的某一 参数r 低于( 或高于) 某一值月。时，系统呈现规则的周期运动；而当参数r 逐渐增 d h ( 或减少) 时，系统在长时间内仍然表现出明显的近似周期运动形式，但这种近 似的周期运动形式将被短暂的突发混沌运动所打乱，突发之后又是周期远动，这 种情况不断重复，显示出一阵周期、一阵混沌的阵发运动；随着r 的进一步增加 f 或减少) ，突发现象出现得越来越频繁，近似的周期运动几乎完全消失，最后系 统完全进入混沌状态。 ( 3 ) 准周期通向混沌的道路 江苏大学硕士学位论文 2 0 世纪4 0 年代，d l a n d a u 和h o p f 先后独立提出了一种湍流发生的机制， 其基本思想是：当雷诺数r e 极小时，流体处于与时间无关的层流状态，对应相 空间的稳定不动点；当r e 超过某临界值时，出现h o p f 分岔，即出现频率为w ，的 振荡而使流体失稳；当r e 进一步加大到另一 临界值时发生二次h o p f 分岔出 现新的频率为w ，的振荡，运动用相空间的二维环面表示，通常w 。w ：为无理数， 这种准周期运动使流体运动进一步复杂；当r e 进一步加大将出现更多频率的 准周期运动，最后这种极复杂的准周期运动便是湍流。即湍流是无数次h o p f 分 岔形成的无数频率的准周期振荡的结果。然而，试验证明该湍流理论并不符合实 际。 1 9 7 1 年，法国科学家r u e l l e 和荷兰学者f t a k e n s 指出混沌可以看做具有无穷 多个频率耦合而成的振动现象，但并不像朗道所说的那样要经过无数次分岔出现 无穷多频率才能出现混沌，而是只要4 次甚至3 次分岔即可。其特点是不动点( 平 衡态) 斗极限环( 周期运动) 斗二维环面( 准周期运动) j 奇怪吸引子( 混沌运 动) 。 1 2 本课题研究背景 混沌的同步现象是在九十年代初期发现的。由于混沌对初值的极端敏感性， 人们一度认为混沌同步不可能。但p e c o r a 和c a r r o l 在专门设计的电子学天地， 并带来诱人的应用发展前景。混沌同步随后成功的应用于保密通讯，导致混沌同 步的理论及应用研究引起了全球混沌研究者广泛的关注。 混沌同步的研究，对于研制新一代的保密通讯技术，具有极其重要的意义。 随着社会的发展和现代科学技术的进步，全球的国际化程度越来越高，信息在我 们的生活中扮演着越来越重要的角色，信息的保密也越来越受到人们的重视。由 于混沌信号频谱很宽，又极其像噪声，且非常难以预测，这些特征正适合作为信 息源加密。混沌同步的发现，为混沌用于保密通讯提供了可能。混沌信号具有快 速衰减的关联函数和宽带功率谱，就其自身而言是遍历的、非周期的，它可以成 为伪随机码的极佳替代者。混沌由于对初值的极端敏感性而具有高度的随机性， 可以用来对信号进行调制。又因为它是确定性的，完全由非线性系统方程参数及 江苏大学硕士学位论文 初始条件决定，可以很好的复制出来。 传统的伪随机码扩频通讯技术存在着三个缺点：一接收机中去扩频用的码 信号必须与发送机的扩频码完全同步，但由于传播环境产生的同步误差劣化了通 讯性能。二扩频和去扩频所需的额外的特种线路。三由于使用特种线路造成价 格和功耗不能低于某一极限以下。而混沌通讯则具有克服这些缺点的优越性，混 沌波形是宽频带信号，用很简单的电路就能产生任何频带的混沌宽频带信号，且 具有任意的功率电平，要传输的数字信息可直接映射。到一个混沌波形的样本函 数中。混沌调制器输出为宽带信号，扩频和去扩频处理所需的同步可以省去。混 沌调制中任一传输符号将产生个不同的非周期波形段节，混沌波形片段之间的 互相关性很低，故混沌调制的个固有的特点是对多径传播不敏感。 混沌保密通讯主要包括混沌同步调制和混沌密码两种方式。混淹同步调制通 讯的方案主要有混沌模拟调制和混沌数字调制两种。混沌的同步不仅用于保密通 讯中，而且在激光系统中被用来改善和提高激光器的性能。在生命科学中，同步 现象更是普遍，人脑中的神经网络系统及神经元的同步开放，脑电图中的混沌及 其同步协作现象。都引起研究者的极大注意，这些都是混沌同步潜在的的应用方 向。并且，混沌神经网络的同步研究已经广泛兴起，这些将推动混沌同步在生命 科学中的应用研究。 由于混沌现象的奇异性和复杂性至今尚未被人们所彻底了解。如何控制、诱 导和进一步利用这类现象，还是一个有待深入研究的问题。国内外科学家已经注 意到了开展混沌系统控制与同步方面的理论及应用研究的重要性。 1 3 本课题研究的内容 本论文主要研究了混沌系统的同步及其在保密通信中的应用。论文内容总体 上分为五章。 第一章前言主要介绍了混沌同步的研究背景以及研究现状。 第二章主要介绍了本论文中涉及的一些概念与理论，如混沌同步的概念， 同步的方法，同步的原理以及混沌同步的些判定定理等等。 第三章主要研究了混沌系统的自适应的同步问题。 第四章主要研究了混沌系统的非线性反馈同步问题。 6 江苏大学硕士学位论文 第五章主要讨论了在混沌系统同步的基础上保密通信的问题。 江苏大学硕士学位论文 第二章混沌同步的理论及方法 本章主要概述了混沌同步的基础知识和相关理论 2 1 重要概念及定理 2 1 il y a p u n o v 函数 考虑非线性系统 t = f ( x 、 ( 2 1 ) 其中x = 三c 工，= 二三j i 二： ，假设- 厂c 。，= 。c 即x = 。是此系统的平 衡点) ，j l f ( x ) 删g = b 。，x ：，k ) i i x l i 口 内有连续的偏导数。则平衡点0 ( 1 ) 若0 是双曲平衡点，则由d 0 ) 的特征值 的实部的符号可确定其稳定 性。一个双曲平衡点0 是渐进稳定的，当且仅当对所有的j = 1 , 2 ，h ，r e ( 五) 0 ， 进一步假设瞰) 关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程( 2 1 ) 的解代入， v ( x ) = 争里o x , 生d t 。o 。v 。，( x l ， x n ) 江苏大学硕士学位论文 这样求得的导数矿( x ) 称为陬) 关于方程( 2 1 ) 的全导数。 定理1 ：对于方程( 2 1 ) 的平衡点0 ，设e 是包含0 的r ”的一个开子集，假定 f c 1 ( e ) ，厂( o ) = 0 ，若有函数v c 1 ( e ) 满足：v ( o ) = 0 ，x = 0 时，m ) o ，则 ( 1 ) 若对所有的x e ，旷( x ) 0 ，则方程( 2 1 ) 的0 解是稳定的 ( 2 ) 若对所有的z e 一 o t 矿( z ) 0 ，则方程( 2 1 ) 的0 解是不稳定的。 此定理中的函数矿 ) 称为l y a p u n o v 函数。寻找和建立这样的函数瞰) ，实际上 需要高度的技巧。l y a p u n o v 和他的后继者已经提供了一些建立l y a p u n o v 函数的 方法，他们可以成功的解决许多具体问题，常用的方法有：类比法、能量函数法、 变量分离法、变梯度法、广义能量法、首次积分线性组合和加权法等。 2 1 2 稳定性判据定理 定理2 ：设有非线性系统： 量= a ( t ) x + o ( x ，f ) ( 2 - 2 ) 对所有的t ，有o ( o ，f ) = 0 ，如果 ( 1 ) h l i h r a o ( x , ，) | | | | x | | = 0 ，对所有的，都一致成立； ( 2 ) 对于所有的r ，a 都是有界的； ( 3 ) 线性系统戈= a ( t ) x 的0 解是一致渐进稳定的。 则式子( 2 2 ) 的0 解是一致渐进稳定的。上述定理中的条件( 1 ) 与条件( 2 ) 对参数相 同的大多数系统是成立的；条件( 3 ) 保证了条件l y a p u n o v 指数全为负。 这个定理把通常检验稳定性的方法( j a c o b i n 本征值方法) 推广到任意驱动 都能用的l y a p u n o v 指数方法。 定理3 ( r o u t h h u r w i t z 判据) 1 7 ：设有一个实系数的”次方程 p ( z ) = a o z ”+ 。i z 肿1 + - t + a n - 1 z + a 。= 0 ( 2 - 3 ) 其中a o 0 ，作r o u t h h u r w i t z 行列式： 9 江苏大学硕士学位论文 。= d 。，：= l ：! ，= 墨i ；耋l ，一， q口o 0000 d 3n 2 d l口o 00 a 。= ld 5口4口3口2口1 0 |口：22。口：。：，口：! 。d ：i ，：j = a n a ， 其中若果i ”，规定a ，= 0 ；则方程( 2 - 3 ) 的一切根之实部为负的充要条件是 y y f j 不等式同时成立：a 1 o ，a2 o a 3 0 ，a o ，a 。 0 。 2 1 3 稳定流形定理 考虑非线性系统( 2 1 ) 在平衡点x 。= 0 的渐进稳定性，在某种程度上由系统在 = 。的线性近似矩阵f2 矧。的特征值决定。由上面的l y a p u n o v 函数法可看 出，如果f 的特征值全部位于左半平面，则平衡点为渐进稳定的；如果f 至少 有一个特征值位于右半平面，则平衡点不稳定。但当f 的特征值具有0 实部时， 我们就不能用这种近似来判断系统的稳定性。下面我们给出用稳定流形的方法来 分析系统的稳定性。 定理4 ( 稳定流形定理) ：设有非线性系统如( 2 一1 ) ，如果e 是包含原点的月”中的 一个开子集，c 1 ( e ) ，仍是非线性系统( 2 - 1 ) 的流，d o ) = o ，d d 0 ) 有k 个具有负 实部的特征根和”一k 个具有正实部的特征根，则存在一个k 维中，1 1 , 流形s ，它在 0 处相切于线性系统士= a ( x ) 的稳定子空间e8 ，使得对于所有的r 0 ，竹( s ) c s 和所有的x 。s l i m 纪( ) = 0 且存在一个m k 维微分流形u ，它在0 处相切于式i = a ( x ) 的不稳定子空间e “ 使得对所有的，0 ，仍( u ) c u 和所有的x 。u 江苏大学硕士学位论文 2 。2 混沌同步的概念 ，1 i m 。( ) = 0 就物理意义而言，混沌同步应属于混沌控制的范畴，由于混沌自身的特点， 同步方法不完全和传统的以抑制混沌的控制方法相同，传统的控制方法一般把混 沌系统稳定在不稳定的周期轨道上，混沌同步则实现两个系统的完全重构。 定义2 , 2 1 考虑两个系统，一个混沌系统为： j = ，( ，) ( 2 4 ) 其中= b 。( f ) ，x ：( f ) ，z 。( f ) ) 7 ，该系统可以成为驱动系统，或者在通讯中称为 发射系统。 另一个混沌系统为： y = f ( j ，) + g ( 2 5 ) 其中y = ( 乃( ，) ，y ：，只( ，) ) 7 ，为时间，g 为任意一个控制器，通常该系统 称为响应系统，或者在通讯中称为接收系统。这罩，矢量j ，y r ”，他们分别 具有n 维分量。上面两个系统可以是完全相同的，也可以是不同的，但是它们的 初始条件都不同。 如果两个系统通过控制器g 的某种方式联系，令盖( r ；“；z 。) 和y ( f ；，。，k ) 分 别为( 2 4 ) 及( 2 5 ) 的解，并满足l i p s c h i z 条件 1 1 f ( x ，f ) 一f 。( y ，) | | k l j y | | ( 2 - 6 ) 其中为范数，k 为有限的常数矩阵。当存在r ”的一个子集d ( f 。) 时，使得初始 值x o ，k d ( t 。) ，当f 哼。时，若存在： f 2 1 i m t l x ( t , t 。，x 。) y ( t ；t 。，v o ) jj 斗0 ( 2 7 ) 则称响应系统( 2 5 ) 与驱动系统( 2 4 ) 达到同步。 显然，控制器g 起关键作用，人们可以设计各种不同的控制器g ，于是就 有各种同步的方法。 江苏大学硕士学位论文 混沌同步可以分为两大类型：( 1 ) 恒等同步( i s ) ：对于参数和变量完全相 同的两个或多个非线性混沌系统，即f ( x ，t ) = f ( y ，t ) ，当它们系统相应的信号 不仅幅度大小而且相位大小都完全相同时，这时达到的混沌同步，称为恒等同步。 ( 2 ) 广义同步( g s ) ：对于两个或多个完全不同的混沌系统，即f ( x ，t ) f ( 】，) ， 当它们相应的信号或者只是相位同步，或者只是频率同步，或者只是它们的幅度 之间或两个系统变量之间存在一定的函数关系，这种同步则称为广义同步。 2 3 混沌同步的方法 自p e c o r a 和c a r r o l l 提出混沌同步效应以后，相继出现了许多实现混沌同步 的方法，但目前大多数方法都是基于p e c o r a 和c a r r o l l 的理论。目前已经被提出 的混沌同步方法大约有十几种，而且还有一些新的同步方法正在被发现和发展 中。本节将集中介绍几种主要的同步方法，并将对这些方法进行分析，指出其中 的问题和缺陷。 2 3 1 驱动响应同步法 p c 同步方法的基本思想是用一个混沌系统的输出作为信号去驱动另外一个 混沌系统来实现这两个混沌系统的同步。用其中一个混沌系统夫驱动另一个混沌 系统的含义是指两个系统是单向耦合的第一个系统决定第二个系统的行为而第 1 个系统的行为则不受第二个系统的影响。其基本原理如下： 设混沌系统为n 维复合动力学系统u = f 渺) ，将其分解为两个子系统： 1 矿= z ( 矿，缈) o = 止( 矿，) ( 2 8 ) 式中y 为驱动系统，为响应子系统，利用y 作为驱动信号，复制一个与响应 子系统完全相同的的系统作为响应系统： w ：l ( v ，w ) ( 2 9 ) p a c o r a 和c a r o l l 对响应系统的稳定性及同步原理进行了分析，发展了混沌信 号驱动系统的稳定性分析理论，即所谓的条件l y a p u a o v 指数稳定性判据，给出如 江苏大学硕士学位论文 下同步定理：只有当响应系统( 2 9 ) 的所有条件l y a p u n o v 指数都是负值时，才能达 到响应系统和驱动系统的同步。即： 口( r ) = i i m l l w ( f ) 一矽( 圳= 0 ( 2 1 0 ) i ； p a c o r a - - c a r o l l 以马里兰大学的r o b e r tn e w c o m b 设计的电路为基础，运用该 同步方法，首次现实了两个混沌系统的同步。后来c u o m o 和o p p e n 也成功地用电 子线路模拟了l o r e n z 系统的混沌同步。c a m l l 和p e c o r a 在后来的研究工作中，进 一步将驱动响应的混沌同步方法推广到高阶级联混沌系统。对于某些实际 的非线性系统，由于物理本质或天然特性等原因，系统无法分解为两个子系统，这 时，驱动响应的同步方法也就无能为力了。 2 3 2 主动一被动的同步方法。 由于驱动一响应同步在实际应用中受到特定分解的限制，所以有一定的局限 性。1 9 9 5 年，l k o c a r e v 和v p a r l i t o z 提出了一种改进方法：主动被动分解法。 假设一个自治的非线性动力学系统为： z = f ( z ) 可以把它写作非自治系统形式： x = f ( x ，s ( ，) ) ( 2 1 1 ) 式中s ( t ) 为所选的某种驱动变量，复制一个与式( 2 1 1 ) 相同的系统。 y = f ( r ，s ( f ) ) ( 2 1 2 ) 式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 受s ( t ) 相同的信号驱动。由式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 可得到误差 状态方程。 e = f ( x ，s ( r ) ) 一f ( x 一8 ) ，s ( f ) ) ( 2 1 3 ) 式中e = x y 。在小值下应用线性化稳定性分析或李亚普诺夫函数方法，证明和 达到稳定同步。在很多情况下，s ( t ) 可以是一般函数，它不仅依赖于系统的状态， 而且可以与信息信号砸) 有关，即：s ( f ) = h ( x ，i ) 或s ( f ) = h ( x ，i ，f ) 。这个特点使主动 一被动同步方法特别适合与保密通讯方面的应用。另外，上述方法可以推广到高维 江苏大学硕士学位论文 系统及具有超混沌的发射信号，可应用于实现超混沌同步通信，因此该法有很大的 应用发展潜力。 2 3 3 耦合同步方法。 y = 石一y + = o z = 一陟 rx = 口 y x 一厂( x ) + t ( x 1 一x ) 电路1 y = x y + z + 8 y ( y i y ) 。z = 一f l y + 占：( 毛一z ) rx l = d y l x 1 一f ( x 1 ) 】+ j ，( x x 1 ) 电路2 y l = x 1 一y l + z + 8 y ( y y 1 ) 江苏大学硕士学位论文 到目前为止尚无一般的普适性理论。但相互耦合的非线性系统在自然界中普遍存 在，因此，对这种同步方法的理论和实验研究具有重要意义。 2 3 4 自适应同步方法。 1 9 9 4 年j o h ni 阳a m r i t k a r 给出了一种采用自适应控制实现混沌同步的方法， 对可得到的系统参数进行控制，使系统的所有变量可自由演化。受控参数的变化 依赖于两个因素：一为系统输出变量与期望轨道的相应变量之差；二是受控参数 的值与期望轨道相应的参数值之间的差别，运用自适应方法l o r e n z 和r o s s l e r 系 统可达到同步，也可实现高阶混沌系统和超混沌系统的同步，超混沌系统与混沌 系统的不同之处在于存在两个正的李亚普诺夫指数，实现超混沌同步控制并不 定要求组合系统的条件指数必须小于零；在都能实现同步控制的控制参数下，控 制能量越大，同步暂态过程越短。在相同的控制能量下，混沌系统较之超混沌系 统更易于控制。 2 3 5 神经网络同步方法。 神经网络本身就是非线性系统，而在某些参数空间内能产生混沌特性。神经 网络同步的基本思想是对于两个离散的混沌系统a 、b ，在接收方复制一b 的预测 神经网络，利用这个b 的复制系统及反馈控制常数来修正同步的神经网络系统及 状态，这相似于连续混沌系统中的外力及延迟反馈控制方法。 2 3 6 其它同步控制方法 关于混沌同步的方法有很多种，如d b 方法、外部噪声法和脉冲同步法等等 而且随着同步研究的不断深入，更多的方法会不断出现。实际上，混沌同步的热点 就在于它是实现混沌通信的关键，所以尽管目前同步的方法很多，但基本上都是和 混沌通信紧密联系在一起的。 江苏大学硕士学位论文 2 4 混沌同步的应用 2 4 1 混沌同步在通信中的应用介绍 由于混沌同步在工程技术上的重大研究价值和极其诱人的应用前景，近年来 引起科研工作者的极大兴趣。而混沌同步在保密通信中的应用尤其令人关注。是 近年来研究得最多，竞争最为激烈的应用研究领域。大部分保密系统要求对信号 进行调制，使其尽可能是无规的并具有较强的抗干扰抗破译能力，这样通常是引 入决定性伪随机信号与需要传送的信息信号调制形成隐蔽的合成信号传送。对保 密通讯的保密传输很重要的一点是引入什么样的决定性伪随机噪声讯号，而非线 性系统的混沌输出由于具有快速衰减的关联函数和宽带功率谱，无疑是这种决定 性伪随机噪声讯号的极佳候选者。混沌对初始条件的极端敏感性，而且有高度的 随机性，同时它又是决定性的，由非线性系统的方程，参数和初始条件所完全决 定，所以只要系统参数和初始条件相同，则信号的接受方完全可以从调制形成的 隐蔽合成信号中恢复要求传输的信号。故我们可以把混沌和混沌同步技术应用在 保密通讯中。 9 0 年代初p e c o r a 和c a r r o l l 发现混沌同步后，首先设想利用电子线路来达到 混沌通讯的目的，主要依据是：只有秘密通讯双方具有完全相同的混沌电路时， 才能达到混沌同步。利用混沌信号作为载体传输信号能更有效的进行编码，从而 提高通讯效率及增加通讯量，自然也更有利于保密通讯，从调制角度看系统可以 分为遮掩式，开关式，模拟制式，数字调制式以及相位调制式。利用混沌系统的 同步进行通讯，主要有以下几种方式： ( 1 ) 混沌遮掩。 混沌遮掩又称混沌掩盖或混沌隐藏。基本思想是利用具有逼近与高斯白噪声 统计特性的混沌信号作为一种载体来隐藏信号或遮掩所要传送的信息，在接收端 则利用同步后的混沌信号进行掩盖，从而恢复出有用信息。遮掩方式主要有相乘、 相加或加乘结合这几种方式。以相加为例，设y 为发送机的输出信号( 传输信号) ， s 要传送的信息信号，则混沌掩盖后，y + s 为新的传输信号，接收端与y 同步的 输出为y ，y + s y 即可恢复信息信号。最早提出的驱动一响应同步法与变型及 江苏大学硕士学位论文 随后的主动一被动法都属于混沌遮掩方案，其他的有串联法混沌掩盖方案及改进 方案和单向耦合法混沌掩盖方案等。近几年研究得较多的是基于状态观测器的混 沌同步及混沌掩盖。国内赵耿等研究得较多，提出了一些利用混沌同步的混沌遮 掩方案。 ( 2 ) 混沌调制。 混沌调制的基本思想是将一个信息信号加密后注入到发送机，由此改变了原 混沌系统的动态特性，因而信息信号被调制。在接收端用相应的解调和解密方法 恢复信息信号。该方法有几个优点：首先它把混沌信号谱的整个范围都用来隐藏 信息i 其次，它增加了对参数变化的敏感性，从而增强了保密性。 随着混沌调制技术研究的进一步深入，学者们把信息信号与混沌信号相乘的 直接混沌频谱扩展技术也作为混沌调制技术，所以，混沌调制又叫宽谱发射。从理 论上讲，混沌序列是非周期序列，具有逼近于高斯白噪声的统计特性，并且混沌序 列数目众多，更适合于作扩频通信的扩频码。近几年，人们对混沌调制也作了不少 研究，提出了些新的方法。 ( 3 ) 混沌丌关技术。 混沌开关技术又称混沌键控或混沌参数调制。它是把混沌系统用于密码发射 的最简单技术。其基本思想是根据在不同的系统参数下具有不同的吸引子来编制 二进制信息代码s ( f ) ，如用“1 ”表示参数“下所对应的一个吸引子，用“0 ”表 示：下所对应的另一个混沌吸引子坞，混沌系统的行为在一，与a 。之间转换，应 用欧氏空间距离来检测重构的混沌吸引子和接收到的混沌吸引子的差别，由参数 变化来调制系统的响应时间。现已提出的混沌开关数字通信制式主要包 括：c s k ( c h a o ss h i f tk e y i n g ) ，c o o k ( c h a o t i c0 n o f f k e y i n g ) ，d c s k ( d i f f e r e n t i a lc h a o ss h i f tk e y i n g ) 和f m d c s k ( f r e q u e n c ym o d u l a t i o n d i f f e r e n t i a lc h a o ss h i f tk e y i n g ) 。各种开关技术的区别表现在所选择的混 沌系统，是同步开关还是非同步开关，是相关检测还是非相关检测。这几年，已提 出了一些混沌同步开关方法。 2 4 2 混沌同步在通讯的应用存在的问题 混沌同步还不等同于混沌通信。一方面，研究混沌同步是混沌通信的基础 1 7 江苏大学硕士学位论文 混沌同步研究始终是必不可少的。另一方面，混沌同步能够实现，