（应用数学专业论文）非线性双曲组脉冲波解的渐近分析.pdf

上海交通大学博士学位论文 半线性双曲组脉冲波解的渐近分析 摘要 本论文主要利用多尺度分析、渐近分析、余法分布空间理论、非线性几 何光学方法等研究半线陛双曲型偏微分方程组的脉冲型波的传播、干扰的 数学理论问题 在第一部分，我们考察了多个空间变量的一阶常系数半线性方程组脉冲 波传播和干扰问题，建立了一个具有三个不同特征的方程组的两个脉冲波 干扰后将产生新的脉冲波的理论，从而也说明对于一般的半线性双曲方程 组的带脉冲波初值的c a u c h y 问题，如果初值不满足极化条件时，初始脉冲波 一般而言，将沿各个特征方向传播对此问题我们通过引入平均值算子等 非线性几何光学的方法，构造了该问题的渐近解，并在余法分布空间中得 到了原问题精确解的存在性以及相应的渐近展开式，其主项满足半线性运 输方程组，低阶项满足带非局部项的线性的运输方程，从中观察到新的脉 冲波首先出现在一阶的展开项中，其主项中只含有原始的两个脉冲波，这 主要是由脉冲波干扰时其相交的支集的小性来决定的 在第二部分中，我们将研究多个空间变量中一阶常系数半线性双曲方程 组脉冲波的长期性态，对于两个脉冲波的传播问题，通过引入慢变量、快变 量和普通物理变量等三个不同测度的p r o f i l e s ，得到其形式展开主项满足半线 性的s c h r i k i l n g e r 型方程，其他各项的p r o f i l e s 满足相应的线性问题，从中观察 到，在二阶的展开项中将出现同时有两个位相函数的非线性函数，这是由 干扰产生的最后通过引入截断函数和扰动方法，在w i e n e r 代数的框架中建 立了精确解的存在性，并严格论证了它的渐近展开式 在第三部分中，我们主要研究三维空间中半线性波动方程组球对称脉冲 波的传播和干扰的数学问题类似于高频振荡波的传播理论，我们得到， 在离开脉冲波聚焦点的地方，小振幅的脉冲波将主要以线性规律传播，大 振幅的脉冲波按照非线性规律传播，其渐近展开的首项满足由非线性几何 中文摘要 光学方法导出的半线性运输方程组，进而我们分别在非线性函数满足次临 界，超临界和临界增长条件时考察了这些球对称脉冲波在聚焦点附近的性 态，在次临界情况下，脉冲波在聚焦点附近的主要性态可以用线性波动方 程进行刻画；在超临界情况下，当方程具有一定的耗散结构时，脉冲波将在 聚焦点附近被吸收，否则，脉冲波在聚焦点附近将是无界的在非线性函 数满足临界的增长条件时，对于小振幅的脉冲波，我们刻画了它越过聚焦 点时的散射理论，依赖于方程组的耗散性，大振幅的脉冲波在聚焦点附近 将被吸收或产生b l o w u p 关键词t 脉冲波，半线性双曲方程组，初值问题，干扰，衍射 a b s t r a c t a s y m p t o t i ca n a l y s i s0 fp u l s el i k es o l u t i o n s f o rs e m i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s a b s t r a c t t h i sp a p a ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h ep r o p a g a t i o na n di n t e r - a c t i o no fp u l s e st os e m i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sb yu s i n gt h em u l t i p l e s c a l ea n a l y s i s ，a s y m p t o t i ca n a l y s i s ，t h et h e o r yo fs p a c e so fc o n o r m a l d i s t r i b u t i o n sa n dn o n l i n e a rg e o m e t r i co p t i c s i np a r to n e ，w es t u d yt h ep r o p a g a t i o na n di n t e r a c t i o no fp u l s e st o af i r s to r d e rs e m i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e mw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t si n s e v e r a ls p a c ev a r i a b l e s w es h o wt h a tt w op u l s e st oa3 3s t r i c t l yh y p e r - b o i l cs y s t e my i e l d san e wp u l s ea f t e ri n t e r a c t i o no ft h e m ，w h i c hi n d i c a t e s t h a tf o rt h ec a u c h yp r o b l e m so fg e n e r a ls e m i l i n a rh y p e r b o l i ce q u a i t o n s w i t hp u l s el i k ei n i t i a ld a t a ，i ft h ed a t ad on o ts a t i s f yp o l a r i z a t i o nc o n d i - t i o n ，t h ei n i t i a lp u l s e sw i l lp r o p a g a t ea l o n ga l lc h a r a c t e r i s t i cd i r e c t i o n s i ng e n e r a l b yi n t r o d u c i n ga v e r a g i n go p e r a t o r s ，w ec o n s t r u c tap u l s e l i k ea p p r o x i m a t es o l u t i o na n do b t a i nt h ee x i s t e n c eo fa ne x a c ts o l u t i o n t ot h ep r o b l e ma n di t sa s y m p t o t i ce x p a n s i o n ，w h i l et h el e a d i n gt e r m i nt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o ns a t i s f i e ss e m i l i n e a rt r a n s p o r te q u a t i o n sa n d t h el o w e ro r d e rt e r m ss a t i s f yl i n e a rt r a n s p o r te q u a t i o n sw i t hn o n - l o c a l t e r m s i ti ss h o w nt h a tan e wp u l s ea p p e a r si nt h ef i r s to r d e rt e r mi nt h e e x p a n s i o n ，w h i l et h el e a d i n gt e r mo n l yh a st h et w oo r g i n a lp u l s e s ，w h i c h i sm a i n l yd u et ot h es m a l li n t e r s e c t i o no ft h es u p p o r t st ot h ep u l s e s i i i 尘璺竺型望竺竺丝垡竺垡坠兰型竺! ! 竺! ! 堕望型翌翌生 i np a r tt w o ，w es t u d yt h el o n gt i m eb e h a v i o ro fp u l s e sf o raf i r s t o r d e r2 2s e m i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e mw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t si n s e v e r a ls p a c ev a r i a b l e s f o rt h ep r o p a g a t i o no ft w op u l s e s ，w eg e tt h e f o r m a la s y m p t o t i ce x p a n s i o nb yi n t r o d u c i n gt h ep r o f i l e so fs l o w ，f a s t a n dm o d u l a t e dv a r i a b l e s ，i nw h i c ht h el e a d i n gt e r ms a t i s f i e ss e m i l i n e a r s c h r 5 d i n g e re q u a t i o n sa n dt h eo t h e r ss a t i s f yc o r r e s p o n d i n gl i n e a rp r o b - l e m s i ti ss h o w nt h a tan o n l i n e a rf u n c t i o no ft h et w op h a s e sa p p p e a r s i nt h es e c o n do r d e rt e r mi nt h ee x p a n s i o n ，w h i c hc o m e sf r o mt h ei n t e r - a c t i o no fp u l s e s f i n a l l y , b yu s i n ga no u t o f ff u n c t i o na n dp e r t u r b a t i o n m e t h o dw ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fa ne x a c ts o l u t i o na n dr i g o r o u s l y j u s t i f yt h ef o r m a la n a l y s i sf o rt h i sp r o b l e m i np a r tt h r e e ，w es t u d yt h em a t h e m a t i c a lp r o b l e mf o rt h ep r o p - a g a t i o na n di n t e r a c t i o no fs p h e r i c a l l ys y m m e t r i cp u l s e sf o rs e m i l i n e a r w a v ee q u a t i o n si nt h r e es p a c ev a r i a b l e s s i m i l a rt ot h ep r o p a g a t i o nt h e - o r yo fh i g hf r e q u e n c yo s c i l l a t o r yw a v e s ，w eo b t a i nt h a tb e f o r ea n da f t e r t h ec a u s t i c ，t h ep u l s e sw i t hs m a l la m p l i t u d e sa r ep r o p a t a t e di nal i n e a r w a y a n dt h o s ew i t hl a r g ea m p l i t u d e sa r ep r o p a t a t e di nan o n l i n e a rw a y i ng e n e r a l ，a n dt h el e a d i n gp r o f i l e ss a t i s f ys e m i l i n e a rt r a n s p o r ts y s t e m s d e r i v e db yn o n l i n e a rg e o m e t r i co p t i c s f u r t h e r m o r e ，w ec o f f c l u d et h a t w h e nt h en o n l i n e a rf u n c t i o n ss a t i s f yc e r t a i ns u b c r i t i c a lg r o w t hc o n d i t i o n ， t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro ft h ep u l s e sn e a rt h ec a u s t i cc a nb ed e s c r i b e d b yl i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，a n dw h e nt h en o n l i n e a rf u n c t i o n s a r eo fs u p e r - c r i t i c a l t h ep u l s e sa r ee i t h e ro b s o r b e do rb l o wu pa st h es e m i l i n e a rw a v e e q u a t i o n sa r ee i t h e rd i s s i p a t i v eo ra c c r e t i v e w h e nt h eg r o w t hr a t e so f i v t a b s t r a c 丁 t h en o n l i n e a rf u n c t i o n sa r ec r i t i c a l ，t h ep u l s e sw i t hl a r g ea m p l i t u d e sa r e a l s oo b s o r b e do rb l o wu pd e p e n d i n go nt h ed i s s i p a t i v ep r o p e r t yo ft h e s e m i l i n e a re q u a i t o n s ，a n dw eh a v ea l s od e s c r i b e dt h es c a t t e r i n gp r o p e r - t i e so ft h ep u l s e sw i t hs m a l la m p l i t u d e sa f t e rt h ec a u s t i c k e y w o r d s ：p u l s e s ，s e m i h n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，i n i t i a lv a l u e p r o b l e m ，i n t e r a c t i o n ，d i f f r a c t i o n 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集， 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：袁啁宝 日期：占年华月占日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密试 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：袁j f 值 日期：2 0 为年华月孕日 指导教师签啦乞 日期：如以薛肘日， 第一章绪论 在这一章中，我们先简单介绍研究非线性双曲组脉冲波的历史背景和意义，然后 介绍本文的主要工作，研究的问题，使用的方法和得到的主要结果 1 1历史背景与意义 非线性脉冲波是物理，力学等应用领域中出现的一类重要的非线性波( 【1 7 】) ，对 它的传播性态的理论研究，在数学上可通过研究非线性双曲型偏微分方程( 组) 下述类 型的c a u c h y 问题( 或高阶方程组的c a u c h y 问题，以及相应的初边值问题) r 、 蹦。p o 以0 ( 1 1 1 ) l 扩i t = o = 8 j c ，( 霉，盟，也竽) ，j 0 解矿的渐近性态来研究，其中u ( 为卫学，卫学) 是脉冲型的，即 l i r a u ( z ，o l ，钆) = 0 ( 1 1 2 ) l o l l ，i o _ i - 4 c o 、j 。 由于初值具有多重尺度，对此问题的研究往往采用多尺度的分析方法一般而言， 人们寄希望于问题( 1 1 1 ) 的解旷具有下述渐近展开形式， t s ( 啦) 。一d j u j ( t 掣，至掣) ，m ( 1 1 3 ) l o 。 对此问题主要有 1 如臬旷具有形式( 1 1 3 ) 的渐近展开，那么位相函数机，1 七m 应满足什么规 律( 或方程) ； 2 ( t ，z ，0 1 ，) ，j20 满足何问题，如何求解这些问题； 3 对问题( 1 1 1 ) ，在何条件下能得到解矿在个不依赖于e ( o ，e o 】的区域中存在； 4 对渐近展开式( 1 1 3 ) 给予严格的理论证明， 当问题( 1 1 1 ) 中的初值矿关于靠= 譬，七= 1 ，是周期、拟周期等，或概 周期时，即它是一种高频的振荡初值，问题( 1 1 1 ) 的解扩反映了双曲方程( 组) 的 第一章绪论 高频振荡波的传播，干扰现象对此问题的研究至今已有较完备的工作，这最早是由 p d l a x 在1 9 5 7 年在【8 】中应用多尺度进行分析，及能量分析等方法，建立了线性高 频振荡波的传播理论，并由此应用于研究双曲方程( 组) 的奇性分析和基本解理论 在1 9 6 9 年，c h o q u e t - b r u h a t 在【9 】中对拟线性双蓝方程的高频振荡波进行了渐近分 析上世纪八十年代左右，m a j d a ( 1 0 - - 1 8 ) ，h u n t e r ( j 1 9 - 2 8 ) 等对非线性几何光学方 法的形式分析进行了系统的研究，显示出它在激波的传播、反射和稳定性研究方面起 到的巨大作用近些年，以j o l y , m e t i v e r ，p l a u c h ( 2 9 - 5 2 ) 以及他们的研究群体为代表 的一些数学家，应用非线性几何光学方法建立了非线性高频振荡波的传播、干扰，反 射，共振等问题的数学理论，其主要工作说明，当问题( 1 1 1 ) 中的初值是高频振荡形 式时，为保证解矿具有形式( i i 3 ) 的渐近展开，初值需要满足一定的极化条件展开 式( 1 1 3 ) 中的位相函数机，1 七s 掰满足光程方程，即 机= g ( 常数) 是( 1 1 1 ) 中方程相应的特征面，也就是说，高频振荡波是沿特征传播的( 1 1 3 ) 中的振荡函数 满足一些运输方程为了得到问题( 1 1 1 ) 的解矿具有一定的非线性现象，振幅一 的选取相当重要一般而言，当( 1 1 1 ) 中方程为半线性双睦型方程时，应取t ，= 0 而 当( 1 1 1 ) 中方程为拟线性双曲型时，应取j = 1 ，此时，( 1 1 3 ) 中满足比( 1 1 1 ) 中方程简单的非线性方程；当( 1 1 1 ) 为一般的拟线性时，砺的方程为b u r g e r s 型。 而以，j 1 满足相应的线性问题 这些工作请参考文献 8 8 8 】等以及那里所引用的参考文献 。 当问题( 1 1 1 ) 中的初值是脉冲形式，即满足条件( 1 1 2 ) 时，我们也希望解的 渐近展开式( 1 1 3 ) 中的巧也满足类似于( 1 1 2 ) 的条件 随着非线性几何光学的发展，近几年对非线性脉冲波的理论研究也有了一些很有 意义的工作2 0 0 2 年，a l t e r m a n 和r a u c h 在【8 9 】中利用非线性几何光学研究了多 个空间变量一阶半线性双曲方程组单个脉冲波的传播问题在初值满足极化条件下， 得到渐近展开主项满足半线性运输方程，并在余法分布空间中严格证明了原问题精确 解的存在性及它的渐近展开式2 0 0 3 年，a l t e r m a n 和r a u c h 在【9 0 】中研究了多个 2 上海交通大学博士学位论文 空问变量的一阶半线性双曲方程组单个脉冲波的衍射传播问题的长时同性态，在初值 满足极化条件下导出了渐近展开的主项满足s c h r s d i n g e r 型方程，并在w i e n e r 代数框 架中使用扰动方法证明了精确解存在性及它的渐近展开式2 0 0 1 - 2 0 0 4 年，c a r i e s 和 r a u c h 在【9 1 9 5 】中利用非线性几何光学方法研究了三维空间中单个半线性波动方程 球对称脉冲波的传播性态，特别是它们在聚焦点附近的传播问题，以及脉冲波在聚焦 点附近的散射问题，得到了当非线性函数满足次临界增长条件时，脉冲波在聚焦点附 近主要以线性规律传播，而当非线性函数满足超临界增长条件时，如果方程具有一定 ； 的耗散性，那么脉冲波将在聚焦点之前被吸收，反之，一般在聚焦点附近会b l o wu p 当非线性函数满足临界增长条件时，小振幅脉冲波在聚焦点附近以非线性规律传播。 还研究了脉冲波越过聚焦点的散射问题，并且得到，在离开聚焦点时，小振幅脉冲波 r 以线性规律传播。大振幅脉冲波以非线性规律传播，并在聚焦点前被吸收或b l o wu p ， 这依赖于方程的耗散性 以上工作主要研究了单个脉冲波的传播问题，对几个脉冲波的干扰问题以及经干 扰后能否产生新的脉冲波的研究，显然是有意义和十分必要的 本文主要是来研究非线性脉冲波的干扰问题的数学理论 1 2 本文主要工作概述 我们将主要利用非线性几何光学方法，多尺度分析，渐近分析，余法分布空间理 论等来研究非线性双曲方程组的脉冲波的传播和干扰问题，我们考虑以下三方面的问 题： 第一，研究以下多维的3x3 的一阶严格双曲组具有2 个初始脉冲波而产生第兰 3 第一章绪论 个脉冲波的问题 f 矿1 c ( 讹 ( “。，口) j t 0 = ( u 5 ( t ，z ) ，蛎( t ，z ) ) ，i t o = 0 ， ( 1 2 1 ) 这里，( t ，z ) r 1 钠，一阶微分算子 c c a ，如，= a + 砉( 山q ) 如，。c 1 2 z ， c ( a ，如) = a + l 一l 如， ( 2 ) j = 1i n ， 其中， 如) 釜l 是2 2 常数矩阵， q ) l 是实的常数，而其中的9 r 2 及f r 是光滑的，有界的，且对充分大的h 为零在 r m n l 。( ( 一e o 【l p ) ，m n 范数 下，( “5 ，垢) 有渐近展开 卜柚卜j 品- 幽水 掣掣+ 酬萨l ( 1 2 3 ) 【蛎( 啦) - j ，如( 和，掣，掣) + d ( s 2 ) ， 其中”是余法分布空间( 将在2 3 节中定义) ，而p r o f i l e s ( 哟，码) ，j = 0 ，1 是光滑的， 有界的，且其支集在 l e l f 万，如r ) u l 如l 予，p l r ) 确，如) 内 一 我们首先引入平均值算子，构造出直到d ( e ) 的近似解，得到其存在性，然后引入 余法分布空间，利用扰动方法证明了原问题精确解的存在性并得到其渐近展开式我 们得到新的脉冲波将首先出现在一阶展开项中，从而得到一般的一阶常系数半线性双 曲型方程组具有几个初始脉冲波干扰后产生新的脉冲波的理论 第二，我们研究以下高维的2x2 的严格双曲组具有2 个脉冲波的长期性态 工( 如) 矿+ 圣( 旷) = 0 ，t ，( o ，z ) = 矿，扛，兰；堕) ， ( 1 2 4 ) 其中，一阶算子 二( 屯) = a + 山， ( 1 2 5 ) 、l 勺 u 吒蚂 心以 为 以 ， g ，il-一， = 上海交通大学博士学位论文 而 ) 暑- 为2 x2 常数矩阵，伽r 4 o ) 固定。使得( t ( 町0 ) ，珈) ( i = 1 ，2 ) 是工 的特征簇中的正则点函数垂在o c 2 的邻域内光滑，且在以下定义下为，次的 对于任意的蚓，一1 ，j 2 ，有矿西( o ) = 0 ( 1 2 6 ) 初值中的函数，满足： 对任何s r ， 0 ，z r 3 ，中考虑以下c a u c h y 问题： i ( a 2 一i 2 。) 西：+ 只( i a 圣1 5 i “一1 夙圣i ，l 侥西i 粕一1 a 西) = 0 ， 蚓删一( r 宇) 坤耠沌。( r ，宰) 一z ，w 其中r = m 声= 0 i ，勋，x 3 ) l 护，r o 0 ，1 0 使得对所 有r 0 ， s u p p ( r ) c 知j ( 1 洲) s u p p 岛( r ) cf - - a z o ，口匈】， 歹= 0 ，1 容易知道，( 岛r ) = ( 7 0 ，0 ) 是聚焦点。 5 苎= 主竺堡 引入 p ；t n i n p l ，p 2 ，口l ，啦 ，口= m a x p l ，伽，d ，日2 ， 啦= 慨一1 ) 正反= ( q t 1 ) 正l = i ，2 ，口= q 一1 ) 正卢= 匆一1 ) z 我们讨论脉冲波在聚焦点附近及离开聚焦点的性态我们在以下六种情况卞讨论： ， ( _ r ) o 0 ，口+ 2 口；( i i ) 口 0 ，b + 2 = g ( x h ) o t 0 ，o t + 2 g ；( y ) 口= 0 ，o t - 4 - 2 = q ；( v x ) 口= 0 ，o t 4 - 2 q ， 当( j ) ，( j 叼满足时，我们称非线性项冠，i = 1 ，2 满足次临界增长，当( 玎) ，( 矿) 满足时称非线性项满足临界增长，而当( ，n ( ) 满足时，称非线性项满足超临界增 长 ； 首先讨论情形( ，矿) 下脉冲波的传播与干扰利用非线性几何光学的方法找出脉 冲波渐近展开主项所满足的方程，得到其存在性我们得到在聚焦点附近脉冲波是以 线性规律传播的，在离开聚焦点时脉冲波以非线性规律传播接着讨论情形( 盯) 下脉 冲波的传播与干扰我们先证明原问题解的局部，整体存在性，然后证明在离开聚焦点 时脉冲波以线性规律传播，并用散射算子刻画脉冲波越过聚焦点的散射理论最后， 我们讨论余下情形( j - ) ，( 矿) ，( 1 1 1 ) ，( y ，) 下的脉冲波的传播与干扰我们得到情形( d 下脉冲波在全局范围内以线性规律传播( 这是较明显的事实) ，而在( y ) ，( ，) ，( w ) 条 件下得到，当方程具有一定耗散结构时脉冲波在聚焦点附近被吸收，否则，脉冲波在 聚焦点附近趋于无界 ， 6 第二章脉冲波的干扰和新的脉冲波的形成 本章中，我们研究多个空间变量的一阶3 3 的常系数半线性严格双曲组两个脉 冲波干扰问题的渐近性态，利用多尺度分析、非线性几何光学，余法分布空间理论， 得到了两个脉冲波干扰后产生第三个脉冲波的理论结果 2 1 引言 随着非线性几何光学方法理论研究的发展，以及一些近代分析工具的发展，近几 年对非线性双曲型方程脉冲型波的数学理论问题有了一些研究，并得到了一些有意义 的理论结果 由于数个脉冲波的干扰问题在物理、力学等领域中经常出现，因此有必要从数学 雌 上来研究它的理论问题 非线性几何光学理论中对高频振荡波研究的结果表明，如果干扰前波的传播方向 不包含方程组的所有特征方向，则经过干扰后一般将有新的波产生( 4 2 - 4 3 1 ，【4 6 j ) 本章 中我们将主要对脉冲波来研究此类干扰问题a l t e r m a n 和r a u c h 利用非线性几何光 豢 学方法和余法分布空间理论在【8 9 】中研究了多个空间变量的一阶半线性双曲组单个脉 冲波的传播问题，在初始值满足极化条件时( 从初始脉冲只可能产生单个脉冲波) 脉冲 波在传播中不会产生干扰现象这儿，我们研究高维空间中一个3 3 的一阶常系数 半线性严格双曲方程组两个脉冲波的传播与干扰问题，我们利用非线性几何光学，通 过g l 入平均值算子构造了该问题的渐近解，并在余法分布空间中严格证明了原问题精 确解的存在性及它的渐近展开式需要指出的是，利用【8 9 】中的方法讨论单个脉冲波 的传播问题时，只能得到原问题脉冲波展开式的首项，而用本章使用的方法可得到具 有任意阶p r o f i l e s 的脉冲波的渐近展开 本章剩下的部分安排如下在2 2 节，陈述本章的问题及主要结果；在2 3 节中， 构造所需的近似解；在2 4 节中，利用余法分布空间理论严格证明本章的主要结果 7 第二章脉冲波的干扰和新的脉冲波的形成 拦j 量i 瞄葛：耄 ( 2 21 i ) i ( 2 2 1 2 ) s u 卯u ( x + t ，) c 【- - c 1 ，c l 】，s u p p v ( x t ，) c 【- o z ，c 2 1 ， ( 2 2 1 3 ) 其中c l ，c 2 为常数 我们看到，方程组( 2 2 1 1 ) 两个脉冲波牡。，矿在d = o 产生干扰，我们考察这 两个脉冲波干扰后会不会产生第三个脉冲波，以及如果有新的脉冲波产生，它会怎样 出现 由( 2 , 2 1 3 ) 有 s u ；p p ( u e ) e - 学，学】 ( 2 z 工t ) 于是有， 毗z ) = 0 m i 啪“均川m - - 1 - 8 ，字) y ( x - - 8 ) 下x - - s ) 幽2 ( 2 2 1 5 ) 令s 。= ；，则有 、 吖( ) ：s 厂掣矿( ：r - - s s l , x 。托) y ( z - - e 8 1 ) 詈咄) d s i ( 2 2 1 6 i 上海交通大学博士学位论文 记w i ( z ，；) ：上掣u ( z ，；+ s 。) y ( z ，；一s 。) d s 。，则对以y 关于第一个变量用t a y l 。r 定理。我们得到，对任意给定的0 a i ，当t o ( e o ) 时有 u 。c t ，。) = 1 b ，冬) + d ( 一) ， ( 2 2 1 7 ) 这说明u e ( z ，岔) 的展开式主项没有干扰，而干扰出现在o ( e ) 项中，且干扰后产生的脉 冲波沿着方程( 2 2 1 1 ) 的第三个特征线传播 我们欲考察此现象会不会出项在更般的问题中为简单起见，我们考虑一个3 x 3 严格双曲组 ， 记一阶微分算子 z；ca,川讲意(q卜眨22j=l ，以) = a + | i 屯， ( 2 1 ) t口i ， 其中 a j 釜。是2x2 常数矩阵。 j ，t 为实常数 考虑3 3 严格双蓝方程组 粥川- ( ( ，口) i t o = ( 钍6 0 ，茁) ， 5 0 ，。) ) ，u 8 f t 0 ， 使得和以在上存在令 邢忍卟一f ( t , x , u e , v e , w e ) 妊哎鼍 以下我们给出本章的主要结果，其中使用的余法分布空间”( 听) 和”( 1 p ) 以 及集合c 矿( q ) 的定义将在2 3 节中给出记q 一为集合j 一正0 x r 。 定理2 2 2 1 假设f ( y ，是光滑的，( u 3 ( y ，0 1 ，如) ，( 可，0 1 ，0 2 ) ) c 铲( q x 硝，m ) ) ，j = o ，1 ，而初值( u 5 ，u 5 ) 满足( 2 2 2 3 ) 那么，存在一个te 1 0 ，矗】及一个 o o ，使得问题( 2 2 1 1 ) 有唯一精确解v 伊( f 埘，0 e e o ，且满足 俨一f i l * ( 哟= o ( e 2 ) g _ + o ) ， 这里，近似解口由( 2 2 1 8 ) 给出，而t o 是通过解主项满足的问题( 2 3 1 2 ) 。( 2 3 1 4 ) 所得到的( 参见命题2 3 1 ) 1 1 第二章脉冲波的干扰和新的脉冲波的形成 2 3近似解的构造 这一节中，我们将构造问题( 2 2 1 1 ) 的一个近似解 为了获得证明定理2 2 2 1 关于近似解的误差估计，我们需要二阶校正，我们假设 有二阶校正项的近似解为， 啪) ：= 2 嘲，了妒1 c y ) ，掣，掣) ， (231)j-o 。c 其中当0 1 ，如及0 3 同时趋向于无穷时，( 可，0 1 ，0 2 ，0 s ) 趋于零0 = 0 ，1 ，2 ) ，且位相函 数以，惫= 1 ，2 ，3 由( 2 2 2 5 ) 和( 2 2 2 6 ) 给出 我们将看到，位相l 和也干扰后在一阶和二阶p r o f i l e 巩和巩中产生第三个 位相加，这类似于高频振荡波干扰产生共振的现象( 1 0 - 1 1 ，f 4 0 】及文中所列文献) 对 任何向量= ( u l ，坳，坳) 及向量函数g ( “) ，记g ( u ) 在u o 的t a y l o r 展开式为 g 咖籼 2 薹拶t o 掣。( 2 3 2 ) 将( 2 3 1 ) 插入( 2 2 2 2 ) 中的方程组得到 c ( 也) ( 昵) + f ( 贬) = ：e j w j ( 1 , ，0 1 ，0 2 ，0 3 ) , k - 舢掣， ( 2 3 3 ) ，= 一 j k = l 。2 这里，? 3 ； ； 。 肌l ( ，8 l ，0 2 ，0 3 ) 2 暑c ( 陬) 饥v o ， ， w o ( y ，巩，如，0 3 ) = c ( 岛) 砺+ k = lc ( ) 西- 巩+ f ( 砺) ， m ( 掣，口l ，如，0 3 ) = c ( 岛) 巩+ j 壹c ( 仇) 国u 2 + f ( u o ) ( u d ， ( 可，0 l ，0 2 ，如) = c ( 如) 巩+ f ( 1 ( 砺) ( 巩) + 日0 ，砺，e 巩+ 矿巩) ( 巩+ e 巩，巩+ e 巩) ( 2 3 4 ) 其中。日是一个光滑函数，它是由f 在砺处的t a y l o r 展式得到的 为了研究( 2 3 3 ) ，我们引入下面几个记号 上海交通大学博士学位论文 对任何向量u k = 巩( ，0 1 ，0 2 ，0 3 ) ，我们记 巩憾篡兰 ，( 吼：卜 总儿1 + ( 2 3 5 )， 慨) ，= i1 ( ) 魄( ! ，0 1 ，如，0 3 ) 注意到机，女= 1 ，2 ，3 中任何一个都可以被其余两个线性表示，这可以从以下事实 中看出 ( 乃一r 3 ) 庐, c u ) + ( 乃一n ) 也+ ( n 一乃) 妒3 白) = 0 ( 2 3 6 ) 记c 和一，l = l ，2 分别是矩阵一暑n 叫坳0 的左，右特征向量，且满足标准化条件 f ：= 屯，t ，j = 1 ，2 令z l = ( f i ，o ) ，1 2 = ( 艺，o ) ，i s = ( o ，0 ，1 ) 及r l = ( r i ，o ) t ，r 2 = c 厶。n r a = c 。，o ，一显然，k 和n 分别是矩阵一j 萎f f i l ( 如) 田的左，右特征” 向量，七= 1 ，2 ，3 一以k ，后= 1 ，2 ，3 分别乘以方程w - 1 = 0 ，然后沿特征线积分，并由事实( 2 3 6 ) 得 到 砺0 ，口1 ，如，o s ) = u l o ( y ，0 1 ) r l + u 2 0 ( y ，0 2 ) r 2 + u s o ( u ，o s ) r s ，( 2 3 7 ) 4 其中，当以趋向于无穷时u o ( y ，以) ，k = 1 ，2 ，3 分别趋于零 为了从( 2 3 3 ) 中研究巩和巩，我们分解任何向量v ( u ，0 1 ，0 2 ，o s ) 如下； u ( g ，0 1 ，0 2 ，0 3 ) = ( u ) i ，艮) + ( u ) 舢b ，0 k ，钆) + ( b h 2 s ( y ，0 1 ，0 2 ，0 3 ) ，( 2 3 8 ) k = l l s 七 p 5 3 7 其中 ( 矿h 扫，o k ) = f 叭l i i r a + u ( u ，0 1 ，0 2 ，如) ，k ，a ，p 1 ，2 ，3 ，a p 七， 巩p ( 可，以，钆) 2 卅l i m 。u ( y ，0 l ，0 2 ，0 3 ) ，p 1 2 ，3 ) ， 0 及问题( 2 3 1 2 ) ，( 2 3 1 4 ) 的唯一解 仉o ( ，以) 俨( x 耽) ，七= 1 ，2 ，它们的支集也在j 民ls 万，j = l ，2 内，且存在由 1 8 上海交通大学博士学位论文 ( 2 3 1 9 ) 一( 2 3 2 3 ) 唯一确定的u i c ”8 玩砩。，d ：，如) ) ，其支集在 i o l l 石，( 0 2 ，0 3 ) b p ) u 1 0 2 i 石，( 0 1 ，日3 ) i 铲) u 引如is 予，( 0 1 ，0 2 ) i 妒) r 函。池舢) 内，而其中的 澎1 ) i ( 可，o k ) = 1 ) i ( ，o k ) 】n g ”( q 码r ) ，七= 1 ，2 ，3 是问题( 2 3 2 2 ) ，( 2 3 2 4 ) 的唯一解( 其中e ( 玑o k ) ，七= l ，2 ，3 由( 2 3 2 3 ) 给出) ，其支集分别在