（应用数学专业论文）天气衍生产品的定价问题研究.pdf

上海师范大学硕士论文 摘要 随着人们对于天气风险认识的更加深刻，特别是在1 9 9 7 年的厄尔尼诺( e i n i n o ) 现象 之后，迫使许多公司需要对冲其天气风险，天气衍生产品市场迅速扩大。与之相应的 是，大气衍生产品的定价理论也在市场的繁荣过程中逐步成熟和完善。虽然经典的b s 公 式已经给出了适用于普通衍生产品的定价公式，但是由于天气衍生产品通常是在场外交 勿，合约的具体内容可以根据签订双方的意愿而定，无具体标准，具有很强的灵活性， 所以在具体问题的定价时往往受到各种假设条件的约束。本文尝试在b s 基本模型的基础 上，基于存在利率风险，随机波动率以及天气指数行为存在不连续跳等假设，对于几种 具体的天气衍生产品合约建立定价模型，并用偏微分方程的方法( 且p p d e 方法) 给出相 应的定价公式。 天气期权是天气风险管理的重要工具，它能够帮助人们规避天气风险，提供投资者、 投机者更多的获利机会，因而受到公众的青睐。伴随着天气衍生产品1 9 9 7 年首次在北美 出现，天气期权的定价理论迅速发展，成为现代金融学的重要研究内容。本文首先在第 章中介绍期权定价理论的产生、发展、现状以及本文要解决的问题。 农作物生长指数期权作为天气期权的一个重要组成部分，主要用于帮助农产品生产 经营者应对不利天气，抵御风险，锁定收益。由于农作物生长指数所对应的农作物通常 在其生长过程中有多个生长阶段，而每个生长阶段都需要一定的热量才能进入到下一个 生k 阶段，否则将造成减产甚至绝收。因此为了维护该期权持有双方的利益，期权内往 往含有障碍条款和重置条款。本文在第二章内，应对农作物生长的阶段性，建立了农作 物生长指数期权的多重障碍模型和复合型( 障碍、重置) 模型，通过分阶段计算，最后 用p d e 的方法得到显式的定价公式。 本文第三章研究的是利差型取暖指数期权。利差型取暖指数期权是基于两个地点间温 差进行赔付的合约，其交易结果是当差值变到支付区域时买者接受赔付。该期权主要应 用于天然气、石油、甲烷等能源行业。本文在二维b s 模型的基本框架下，假设市场利率 服从v a s i c e k 模型，通过转换计价单位的方法，将三维的定解问题转换为两维的偏微分方 程的定解问题，利用p d e 的方法得到了解析解。 在实际情况下，天气指数在其有效期内往往会出现不同程度的跳的情况，而且其波动 率是随机变化的。本文在第四章分别研究了，当波动率行为服从h e s t o n 模型下的重置生长 指数期权，以及天气指数行为服从跳扩散情形下的生长指数鞍式期权，给出了相应的定 价模型和定价公式。 最后总结全文并提出了展望。 关键词：天气期权，随机波动率，随机利率，跳扩散，障碍期权，重置期权，p d e 方法 第1 页 上海，鞲范大学颐圭论文 荽支：警科- w a b s t r a c t w i t hp e o p l e sm o r ea n dm o r ek n o w l e d g et ow e a t h e rr i s k ，e s p e c i a l l yt h ee 1n i n oa p p e a r e di n 1 9 9 7 ，m a n yc o m p a n i e sh a v et oe x p l o r et h em a r k e to fw e a t h e rr i s ka n dw e a t h e rd e r i v a t i v e w i t ht h e c o r r e g p o n d i n g ，t h ep r i c i n gt h e o r yo fw e a t h e rd e r i v a t i v ei sb e c o m i n gm o r em a t u r ea n dp e r f e c ti nt h e p r o s p e r i t yo ft h em a r k e t t h o u g ht h ec l a s s i c a lb sm o d e lh a sg i v e nt h ep o p u l a rp r i c i n gf o r m u l a a st ot h eo r d i n a r yd e r i v a t i v e ，w e a t h e rd e r i v a t i v ei su s u a l l yt r a d e do u t s i d et h em a r k e t ，t h em a t e r i a l c o n t e n to ft h ec o n t r a c tm a yb ed e c i d e db yt h eb o t hs i d e sw i s ha n di th a sm o r ef l e x i b l es t a n d a r d s om ep r i c i n go fw e a t h e rd e r i v a t i v ei sr e s t r i c t e db yv a r i o u sa s s u m i n gc o n d i t i o n s i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h eb sm o d e ls u c ha se x i s t i n gi n t e r e s tr i s k s ，s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ya n dw e a t h e ri n d e x w i t hd i s c o n t i n u o u sj u m p ，w et r yt ob u i l dt h ep r i c i n gm o d e lo fs e v e r a lc e r t a i nw e a t h e rd e r i v a t i v e s c o n t r a c ta n db yu s i n gt h em e t h o do fp d e ，t h ec l o s e df o r ms o l u t i o no ft h em o d e li so b t a i n e d w e a t h e r o p t i o n sa r et h ec o r et o o lo fr i s km a n a g e m e n t i tc a l lh e l pu st oa v o i dw e a t h e rr i s ka n d p r o v i d et h em o r ep r o f i tc h a n c et oi n v e s t o ra n ds oi ti sw e l c o m et ot h ep u b l i c w i t hf i r s ta p p e a r e di n n o r t ha m e r i c ai n19 9 7 ，w e a t h e r o p t i o np r i c i n gt h e o r yh a sd e v e l o p e dq u i c k l ya n dt h e yb e c o m et h e s i g n i f i c a n tc o m p o n e n to fm o d e mf i n a n c et h e o r y i nt h i sp a p e r , w ef i r s ti n t r o d u c et h ee m e r g e n c e ， t h ep r o b l e m sw ew i l ls t u d y , d e v e l o p m e n ta n d a c t u a l i t yo fo p t i o n s p r i c i n gt h e o r y c u m u l a t eg r o w i n gd e g r e ed a yo p t i o n sw h i c ha l ei m p o r t a n tp a r to fw e a t h e ro p t i o nm a i n l y u s e dt oh e l pt h ec r o p p e ro p e r a t o rt od e a lw i t ht h ep o o rw e a t h e r , a v o i dr i s k sa n dl o c kt h ep r o f i t a st ot h ec r o p p e rw i t hg r o w t hi n d e xu s u a l l yh a sm a n yg r o w i n gs t a g e si ni t sg r o w i n g p r o c e s sa n d e v e r yg r o w m gs t a g en e e d sac e r t a i nq u a n t i t yo fh e a tt ot u r ni n t ot h en e x tg r o w i n gs t a g ei n s t e a d o fr e d u c t i o no rz e r of o i s o n ，i no r d e rt om a i n t a i nb o t hp r o f i t so ft h eo p t i o nh o l d e r s ，t h e r em u s tb e o b s t a c l ei t e m sa n dr e s e t t i n gi t e m si nt h eo p t i o n i nc h a p t e r2 ，w ee s t a b l i s h e dt h em u l t i 。o i b s t a c l e m o d e la n dc o m p o u n d i n g ( o b s t a c l e ，r e s e t t i n g ) m o d e la c c o r d i n gt ot h ec u m u l a t e g r o w i n gd e g r e e d a yo p t i o n s b yc a l c u l a t i n gi ts t a g eb ys t a g ea n du s i n gt h em e t h o do fp d e ，t h eo b v i o u sp r i c i n g f o r m u l ai so b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，t h ep r o b l e mc o m e sf r o mt h eo u t e rp e r f o r m a n c eh o td e g r e ed a y o p t i o n s o u t e r p e r f o r m a n c eh o td e g r e ed a yo p t i o n sa r ec o n t r a c t sb a s e do nt h ed i f f e r e n c ei nt e m p e r a t u r eb e t w e e n t w op l a c e sa n di t st r a d e dr e s u l ti st h eh o l d e rc o m p e n s a t e sw h e nt h ed i f f e r e n c ev a l u e c h a n g e di n t o p a y o f fa r e a t h i so p t i o nm a i n l ya p p l i e dt ot h ee n e r g ys o u r c e si n d u s t r i e ss u c ha sn a t u r a lg a s , o i l a n df i r e d a m p a s s u m i n gt h em a r k e ti n t e r e s tr a t eo b e yt h ev a s i c e km o d e l ，t h ep a p e rt r a n s f e 盯e d t h et h r e e d i m e n s i o n a lp r i c i n gp r o b l e mt ot w o d i m e n s i o n a lp d e p r i c i n gp r o b l e mb yt r a n s f b 肌i n g t h ep n c m gn u i t su n d e rt h eb sm o d e lf l a m et h e nu s i n gp d em o t h e d t og e tt h ea n a l y t i cs o l u t i o n i na c t u a 】s i t u a t i o n ，w e a t h e ri n d e xu s u a l l yj u m p sa td i f f e r e n td e g r e ei nt h e p e r i o do fv a l i d i t v 第1 i 页 己海：i 币蕙大学硕圭论文 ，莓。专警翟 a n dt h ew a v i n gr a t ev a r i e dr a n d o m l y i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h er e s e tc u m u l a t eg r o w i n gd e g r e e d a yo p t i o n sw h e nt h ev o l a t i l i t yo b e y st h eh e s t o nm o d e la n ds t r a d d l ec u m u l a t eg r o w i n gd e g r e ed a y o p t i o n sw h e nw e a t h e ri n d e xa c t i o no b e y st h ej u m p d i f f u s i o nm o d e l t h ec o r r e s p o n d i n gp r i c i n g m o d e la n dp r i c i n gf o r m u l aa r ea l s og i v e ni nc h a p t e r4 l a s t l y , as u m m a r yo ft h i sp a p e ri sm a d ea n df u r t h e rr e s e a r c hd i r e c t i o n sa r ep u tf o r w a r d k e yw o r d s ： w e a t h e ro p t i o n s ，s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y , s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ，j u m p d i f f u s i o n ， b a r r i e ro p t i o n s ，r e s e to p t i o n s ，p d em e t h o d 第1 i i 页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名： 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 导师签名： 日期： l ?石 和 洲7 孓 一 筮丛 褰一 上海师范大学硕士论文 铐一事。芝毫 一、天气衍生品市场简介 第一章前言弟一早日i ji 1 1引言 2 0 0 8 年，一场旷日持久的大雪降临在神州大地上，东北、华北、东南、西南全 国大部分地区面临着严峻的挑战，中国民政部2 月13 日公布，截至2 月12 日，低温 雨雪冰冻灾害已造成21 个省( 区、市、兵团) 不同程度受灾，造成11 11 亿元人民 币直接经济损失。因灾死亡l07 人，失踪8 入，紧急转移安置151 2 万人，累计 救助铁路公路滞留人员l92 7 万人；农作物受灾面积1 77 亿亩，绝收253 0 亩；森林受损面积近2 6 亿亩；倒塌房屋35 4 万间，间接损失更是不计其数。的 确，各种各样的不利天气直接或间接地提高经营者的运营成本，降低企业效益，甚至给 社会带来巨大的负面影响。然而不同的企业对于不利天气的判断并不一定相同，比如， 农场经营者担一1 1 , 冬季温度过低造成农作物的减产，甚至颗粒无收，而天然气公司却担心 冬季温度太高，从而降低居民对天然气的消费量，最终影响公司效益。因此，如何将对 于不利天气判断相反的企业结合起来，共同抵御风险，成为处于天气风险中的企业共同 的需求。1 9 9 7 年天气衍生品市场应运而生【1 】，近年来，该市场发展迅速，交易量步步攀 升，交易品种也日趋多样。企业可以在市场中购买天气衍生产品进行套期保值，而投资 者也能够在市场中通过各种交易进行投机活动。由于大多数天气衍生产品是在场外交 易，合约的具体内容可以根据签订双方的意愿而定，无具体标准，因而具有很强的灵活 性。 天气衍生品市场于1 9 9 7 年首次出现在北美，第一个被广为宣传的交易是1 9 9 7 年在科赫 能源和安然公司之间完成的1 1 】。两家公司以美国威斯康星州东南部港市密尔沃基1 9 9 7 一 一1 9 9 8 年冬季气温为参考，基于主要气温指数安排了个交易。到了1 9 9 8 年后期，市场 已经覆盖了欧洲和日本。芝加哥商业交易所( c m e ) 在1 9 9 9 年9 月开始挂牌交易l o 个美国 气温指数的标准期货和期权合约。2 0 0 1 年，伦敦国际金融期货交易所( l i f f e ) 推出了 伦敦、巴黎和柏林三个城市的每日气温汇编指数的合约，并通过其电子交易平台l i f f e c o n n e c t 进行交易。 天气衍生品市场上的交易物是天气指数合约。在2 0 0 1 年，天气风险管理协 会( w l w a ) 一一促进天气风险教育和认知的行业协会一一委托p r i c ew a t e rh o u s e c o o p e r s ( p w c ) 公司对w r m a 会员之间成交的天气风险合约进行调查，结果表明，9 8 的交易是与气温有关的交易，其中取暖指数( h d d s ) 、制冷指数( c d d s ) 、农作物 生长指数( g d d s ) 占据了其中的主要部分。作为常用的温值( d e g r e ed a y ) 取暖指数 第1 页 l 海师范大学顷圭论戈 ( h d d s ) 、制冷指数( c d d s ) 是基于气温的度量值，它们计算每日平均气温( a d t ) 与事先确定的基础气温( 基线) 的偏差。在美国，通常使用的基线是华氏6 5 度一一当气 温低f 这个水平消费者有望打开取暖器，而当气温高于这个水平时他们有望打开冷气 机。因此， 每日h d d s = m a x ( 0 ，( k 一( t m a x + t r a i n ) 2 ) ) 每日c d d s = m a x ( 0 ，( t m a x + t r a i n ) 2 一k ) 其中t m i n 、t m a x 分别表示一天中记录的最高温度和最低温度，k 表示基线气温。在给 定了计算每天温值的方法，确定较长时期的累积取暖指数( c h d d s ) 、累积制冷指数 ( c c d d s ) ( 如每月、每季度、每年的累积值) 就基于简单的求和： nn c h d d s = h d d s i = m a x ( 0 ，( k 一( t m a x + tm i n ) 2 ) ) 】 tl 几n c c d d s = c d d s i = 【m a x ( o ，( t m a x + t m i n ) 2 一k ) 】 t h d d s 、c d d s 普遍的被应用于能源部门，而g d d s 贝i j 在农业部门应用广泛。植物在生长 过程中往往需要一定的热量才能从一个生长阶段发育到下一个生长阶段，例如小麦的基 线气温是华氏4 0 度，向日葵的基线气温是华氏4 5 度，而玉米的基线气温是华氏5 0 度。计 算g d d s 的基本公式类似于c d d s 的计算公式： 每 g d d s = m a x ( 0 ，( t m a x + t m i n ) 2 一k ) 二、文献斟顾 虽然天气衍生产品是一个新生事物，但是在天气期权、天气期货、天气互换等产 品的定价上，许多思想都来源于我们所熟知的期权定价。早在1 9 0 0 年，法国数学家、 经济学家l o u i sb a c h e l i e r 发表了他的学位论文“t h d o r i ed el as p d c u l a t i o n ”( 投机交易理 论) ，提出了最早的期权定价模型。他首次利用随机游动的思想给出了股票价格运行 的随机模型，并提到了期权的定价问题。但该模型存在两方面的不足，一是假设了股 票过程是绝对的b r o w n 运动，因而允许股票价格为负，二是平均预期价格变化为零的 假设，忽略了资金时间价值为正。1 9 6 4 年，著名经济学家p a u ls a m u e l s o n 对l b a c h e l i e r 的 模型进行了修正，以股票的回报代替原模型中的股票价格，这个修正克服了原模型 中股票价格可能出现负值的不合理情况，但他提出的定价公式仍依赖于投资人的个 人偏好。直到1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 发表了关于期权定价的经典论文“n ep r i c i n go f o p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ”( 期权定价和公司负债) 【2 9 1 ，文中他们建立了看涨期 权定价公式，即著名的b l a c k s c h o l e s 公式。这个公式的创新之处在于不依赖于投资人 的偏好，它把所有投资人引向同一个以无风险利率作为投资回报率的风险中性世界。 l 司年，m e r t o n 在“t h e o r yo fr a t i o n a lo p t i o np r i c i n g ”( 合理的期权定价理论) 4 5 文中 对b l a c k s c h o l e s 模型和定价公式进行了推广和完善，并使得期权定价理论得到了突破性的 进展，因此1 9 9 7 年s c h o l e s $ 1 m e r t o n 获得了诺贝尔经济学奖。 第2 页 上海师范大学颐圭论文 随着金融市场迅速发展，以及对于不利天气造成损失的担忧，人们开始意识到应当寻 找一些恰当的工具来抵御天气风险。1 9 9 2 年s t e p h e np d 缸c y 和v i r g i n i a g r a c e f r a n c e 在论 文“c a t a s t r o p h ef u t u r e s ：ab e t t e rh e d g ef o ri n s u r e r s ”( 灾难期货：保险公司有力的对冲工 具) 中提出了使用灾难期货来保障收益【5 0 】，并对9 家保险公司进行了分析，结果表明灾 难期货帮助保险公司减少了收益的波动。但该文仅是做了大量的分析，并没有对某项具 体的衍生产品作出定价。进入1 9 9 9 年，m e l a n i ec a o 和j a s o nw e i 在他们的论文 4 4 】中以 总体红利以及每日平均温度为标的物。假设总体红利服从m a r k o v 过程 l n c ，t = a + t l n s t 一1 l - o 6 t ， 其中e ：是独立同分布标准正态变量，日温度偏差服从自相关系统 严兰，肛卜t + 吩。知加 其中知，t 服从正态分布，并用均衡分析法得到了c d d 和h d d 的定价公式。 2 0 0 1 年d a v i s m a r k 在其论文 3 7 中用几何布朗运动描述h d d s 的过程，即： 警= 弘出+ a s d w , ， 并用影子价格的方法对取暖指数期权进行定价。2 0 0 3 年c l a r e h a r r i s 在硕士论文中【3 2 】，假 设h d d s 服从随机微分方程 d & = 肛出+ 盯s d w t ， 建立了偏微分方程模型，用多种数值方法求出了取暖指数期权的数值解。由于天气期权 的灵活性很强，越来越多新的期权品种层出不穷。在这种情况下，我们还必须结合一些 更为具体的实际情况，使模型更具有实际意义。 ( 一) 利率风险 利率风险指的是由于利率的变动导致证券价格波动，由此给购买 入的收益带来不确定因素。v a s i c e k 于1 9 7 7 年首先提出的具有均值回归性的短期利率模 型一v a s i c e k 利率模型 5 2 】 妣= 分( 胁一r t ) d t + c r d w 该模型结构简单，考虑了均值回复。 但是它存在明显的缺点一一利率可以取得负值。 而c o x 、i n g e r s o l l 和r o s s 提出了一个利率总是为非负值的另一个模型，即c 取模型【3 3 ，在 模型中r 的过程是： d r = a ( b 一? 1 ) 出+ a v f i d w , ：称) - - o c i r 模型，作为v a s i c e k 利率模型和c 取利率模型推广的h u l l w h i t e 利率模型 4 1 】 d r = o ( t ) 一盯 出+ o d 彬 第3 页 l 海师范大学顷圭论文 它不但保持了以速度a 向均值回归的特点，而且与v a s i c e k 利率模型相类似，具有时间相关 回复水平。 ( - - ) 指数风险研究天气指数的行为是研究天气期权的重要前提，在一般情况下我 们总是假设天气指数是在一个连续的范围内连续波动的，但是随着全球环境的恶化，以 及各种不可抗自然因素的影响，往往会出现一些极端天气，使得天气指数发生不连续的 变动，而呈现间断的“跳空”过程。1 9 7 6 年，m e r t o n 提出了一种跳跃过程的模型，即在 原先扩散过程基础上加了p i o s s o n 跳 4 6 】 彳q ；笋= p 一入k ) d t + a d w , + u d q ， ) t 这里d w 是布朗运动，d q 是产生跳跃的泊松过程。 ( 三) 波动率风险通过对历史天气指数的分析，我们发现指数的波动率并不是个常 数，而是具有相当程度的随机性，1 9 8 7 年h u l l 和w h i t e 在论文 4 2 1 中提出了波动率模型 研= p 盯；出+ d d z , 1 9 9 7 年，h e s t o n 在其论文【3 9 】中提出了如下的标准扩散过程 警：弘d t + 何m ， o t 并进一步提出了方差可以用如下的随机过程模拟 d v t = k ( p v t ) d r - 4 - 盯佤d w 气， 这个模型在随机波动率模型中是十分有代表性的。 针对层出不穷的各类天气期权，研究者们使用了各种方法进行了定价研究，例如二 叉树方法，蒙特卡罗方法、概率方法、优化组合方法、主成分分析法和偏微分方程方法 等 1 2 3 1 3 7 1 4 8 - 4 9 ，在这其中以概率方法居多本文将尝试用偏微分方程的方法，结合 实际情况对多种天气期权进行定价，即通过对冲原理导出所求天气期权价格函数满足的 偏微分方程，并根据问题本身的约束条件，将其转化为抛物型方程的定解问题的求解。 1 2 本文要解决的问题 本文要解决的问题主要有以下三个部分： ( 一) 农作物生长累积指数期权是一份基于农作物生长指数的欧式期权，由于农作物 通常在其生长过程中有多个生长阶段，而每个生长阶段都需要一定的热量才能进入到下 一个生长阶段，否则将造成减产甚至绝收。为了能够使该期权真正发挥规避天气风险的 作用，同时也使持有人有更多的获利机会，期权内往往含有障碍条款和重置条款。障碍 条款是指规定期权的收益除了依赖于生长指数到期日的水平，还与生长指数在整个有效 期内是否达到某个水平有关 2 8 4 3 1 ；而重置条款是指当生长指数到达某个事先给定的水 第4 页 上海! j i 范大学硕圭论文 嚣一誓誊芎 平，按合约规定重新设定敲定价，以使持有人有更多的获利机会 3 0 3 4 3 6 1 1 3 8 】。本文在 第二章分别考虑了连续扩散下多重障碍的模型和连续扩散下的复合型模型，并利用偏微 分方程的理论和方法分别得到了的定价公式。， ( 二) 利差型取暖指数期权是基于两个地点间温差进行赔付的合约，其交易结果是 当差值变到支付区域时买者接受赔付。例如某天然气公司向东京和上海供气，在东京是 按照市场价出售，而在上海是按照固定价格出售，通常情况下，东京比上海更冷，因而 天然气公司的风险在于上海是否较往年更冷，是否会以固定的价格卖出比市场价格更多 的天然气。本文在第三章讨论市场利率服从v a s i c e k 模型的利差型取暖指数期权的定解问 题。 ( 三) 由于受极端天气以及不可抗因素的影响，天气指数在其有效期内往往不是连续 的而是会出现不同程度的跳的情况，并且在对历年的数据进行整理的过程中我们进一步 发现，天气指数的波动率是随机变化的，因而为了使得模型更具实际意义，本文在第四 章分别讨论了当农作物生长指数波动率服从h e s t o n 模型以及生长指数服从跳扩散模型时的 期权定解问题。 第5 页 t 海埽范大学颐论文 鸶一誓文2 。均；+ ；琴謦董参! jqj 洚 第二章农作物生长累积指数期权的定价 2 1 连续扩散带有多重障碍的模型 随着人们金融意识的不断增强，单纯的股票市场、债券市场和银行储蓄已不能满足 人们在投资理财方面的需求。针对人们不同的风险偏好和投资回报期望，近年来，天气 期权作为新生的金融衍生产品正逐步得被人们所接受，并不断发展壮大。而规避农作物 生长风险，正是天气期权的重要作用之一。于是，农作物生长指数期权应运而生【1 】，它 不但满足了投资者的风险偏好，更为广大农业生产者提供了保障，这对于我们有9 亿农民 的农业大国来说有着更为重要的意义。由于农作物生长的特性，其生长过程往往分为多 个阶段，每个阶段对于温度都有着不同的要求，对于这样的特性，期权设计者将普通的 天气期权增加了多个障碍条款，形成了多重障碍期权【2 【4 【2 8 4 3 】，受到广大投资者的欢 迎。本节我们主要研究在连续扩散的基础上，含有多重障碍的农作物生长累积指数期权 的定价问题。 2 1 1 基本假设 ( 1 ) 农作物生长指数g d d t = m a ) ( ( 生争一h ) ，o ) ，其中弧为当日最高温 值，l i n 为当日最低温值，h 为有效期内的标准温值。 i ( 2 ) 农作物累计生长指数c g d d = g d 历，i = 0 ，1 ，2 ，3 ，为简便起见，这里 用& 表示农作物累计生长指数。 ( 3 ) 本文以大豆为例，在大豆成熟之前，其生长大致可分为幼苗期、花芽分化期、 开花期、结荚鼓粒期，其中开花期和结荚鼓粒期对于温度特别敏感，一旦累积温度过高 将会造成大豆苗的大面积死亡。因此，针对这一情况，设计如下条款： 将有效期0 ，t 1 分为四个阶段 a ) 在- 阶e o ，丑1 ，满足标准期权的性质； b ) 在第二阶段陬，正】，根据农作物的生长要求， 这个障碍值则期权的价值为o ； c ) 在第三阶段m ，乃】，满足标准期权的性质； d ) 在第四阶段隅，司，根据农作物的生长要求， 这个障碍值则期权的价值为o 。 设置障碍岛1 ，若累积生长指数超过 设置障碍2 ，若累积生长指数超过 ( 4 ) 对于农作物累积生长指数& ：假定其值服从几何b r o w n 运动 _ d s - , ：p d t + a s d w t ， s t p i 第6 页 上海师范大学硕圭论文 第二参发誓钧丧鼍爱警尝爨：麓暇梦：置玲 这里肛，盯s 都是常数。 ( 5 ) 支付差额交易费用：差额交易费用可看作是投资者因买卖合约而产生的直接费 用，一般由多头支付，并以合约在时段陋，t + 5 t 】内交易额差额的固定比例q 来表示，淝是 小量，但不趋于0 ，此时利率r 为常数。为了对冲期权所带来的风险，每隔6 t 时段就要调 整一次用来对冲的合约的份额6 。 ( 6 ) 假设农作物累计生长指数期权( 下称生长指数期权) 的价值g t 是关于时间、农 作物累计生长指数的函数，l l p g t = g ( & ，t ) 。 ( 7 ) 整个市场的各种关于温度的信息都是公开的。 2 1 2 建立方程 在e ，亡+ 卅时段内构造投资组合，它由1 份生长指数期权g 和份有相同到期日，并 且时刻价值为m ( & 一b ) 的合约组成，其中m 表示赔付率，b 表示生长指数的基准值，为 常数。 n t = g t 一x m ( & 一b ) ， 由假设条件，结合i t 6 公式的离散形式有 = 铷+ 三等拶丽o o 肌删+ m 6 b - q m i s s 蛳 其中= 丽1 丽o g 。 因保值调整策略而产生的交易费为e ( 口mj 5 s 6 , x 1 ) ， 先计算沁s 5 a l ， 5 s 6 = 击6 s ( o 拶o s 、s 。+ 6 & ，t + 淝) 一丽o o ( & ，t ) ) = 击疆( 丽0 2 g 6 s + d ( 蚴) = - 击- 5 s ( ( 例t + a s & 删等+ o ( 删) = - 击- 5 s 怖& 西瓶等+ d ( 蚴) 面t 2 。t 2 西2 淝万0 2 g + d ( 响， 其中圣一( 0 ，1 ) 此时，可以计算交易费用的数学期望 砘m 1 6 s 6 z 1 ) = 去e 渺如跏圈也 = 去峨2 剐2 叫等 e 矾善出，2 而筘p 叫丽i 上扩出， 第7 页 e 海；厢苊大学颐圭论文笺二章农唯糯，夸7 。- 摹謦簧数点钣芋。定，锋 g 砖霹& l 丝c 9 s 2 i 由此上述j 的数学期望为 肌) = 瓦o g 出+ 等c o g q e 圣s 2 陶出。 根据无套利原理，此时 e ( d i i i t l = r i i t 6 t = r ( g t a m ( s t b ) ) 6 t 由于d b = r b d t 整理得 誓出+ 丢以s 2 蠹出+ o g q a ；s 2i 丝o s 2l 班= r ( g 一筹s + 筹b 皿 在金融数学中，券称为7 保值因子，对于多头而言，7 为正，而对空头，7 始终为负故 结合貉的值，上述生长指数期权的定价方程为 l g = o _ 疣a + 2 蠹朋筹卅乩 其中盯2 = 盯；一g 盯= ( 1 一g ) 盯 2 1 3 定解问题 为使计算简便，取m = l 。 在【乃，卅时间内，旦累计温度指数大于该阶段的障碍岛2 ，生长指数期权价值为 零。在d 4 ：0 s s b 2 ，t a t t 内定解问题为 ， il g 4 = 0 ， g 4 ( 岛2 ，t ) = 0 ， ( 2 一1 ) lg 4 ( st ) = ( s k ) +( 0 s 2 ) 在m ，死】时间内，不设置障碍，满足一般期权的条件。在d 3 ：0 s + 。，t 2 t 疋内定解问题为 ll g a = 0 ， g 3 ( s ，t a ) = g 4 ( s ，t a + 0 )( 0 s s _ b 2 ) ， 【g 3 ( s ，t a ) = 0( s b 2 s + o o ) 在陬，正】时间内，一旦累计温度指数大于该阶段的障碍& 1 ， 零。在d 2 ：0 s s s l ，丑st 疋内定解问题为 ， il g 2 = 0 ， g 2 ( s b 2 t ) = 0 ， 【g 2 ( s ，正) = g a ( s ，t 2 + 0 ) ( 0 s 岛1 ) ( 2 2 ) 生长指数期权价值为 ( 2 3 ) 第8 页 上海师范大学硕士论文 事亨父j ：0 + ；冀誓蔓謦、，：j ：芝辟- 在 0 ，五】时间内，不设置障碍，满足一般期权的条件。在d 1 ：0 s + 。，0 t 乃内定解问题为 首先在d 4 范围内考虑定解问题( 2 1 ) 令z = i n 争，g 4 = 2 u ，2 = 蠢，可得努= 一垃s 赛，等= 挚象+ 挚爱 由上述变化，可将定解问题( 2 1 ) 转化为如下形式： ( 2 4 ) f 象+ j 0 - 2 象+ ( 盯2 一r ) 爱一r u 二0 ( z 冗，t 3 t t ) ， 让( z ，t ) = ( e 一一k s 2 )( 0 z + o 。) ， ( 2 - 5 ) iu ( o ，亡) = 0 对定解问题( 2 5 ) 做函数代换，令u = e a 4 x + 9 4 ( t t ) ，其中 = 1 u 2 一r ：一至! 二： 盯2 则定解问题( 2 5 ) 转化为如下形式： ，= - r - 土2 0 - 2f 壁2 一r ) 2 f 警+ 扩辔= 0 ， w ( x ，t ) = e - a 4 z ( e 一k i n ) ， 1w ( o ，亡) = 0 为求此方程，做奇延拓妒c z ，= e - , - 4 王( e - x _ k s 2 ) + 竺三最 此时问题( 2 6 ) 转化为 w ( z ，t ) =e 一黼z - 2 妒( ) 。e 一踽妒( ) 然+ j 0 = 丽南o 佃仃丽f _ 万 ( z f ) 2 e 一桷一e 一舞禹】e 姒f ( e f 一。) 牟蟛 ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) 第9 页 盖 崛叫叫 = 力譬叫 一1 2 r + 警叭 ，jl 上海师范大学颐圭论文 笺二誊发乍佝2 7 l 曼零曩誊鼗麓钦曼意傍 加- i n k s 2e 一喀( e t 。) 蜓 一型挚厂。1 晌2e 一盟掣旷一。) 盯、2 丌( t t ) j o 、 一一 2 一( 咩+ r ) ( r t ) = 丢卮孟互舸叫e 一雩妣一硒。 一忑! ! ! 墨堕。壶t - - t ：坠1 2 e2 叫叫均2 令 d l = d s = e 孝r 磊 e - r ( t t ) e 一譬幽一2 e r ( 2 一, ”, 、, 一；2 了、下c r 2 一r ) 霉 一， e 2d u 皆e 气 ，d 3 = d 1 + 盯历，d 4 = d 2 + 盯厕， ，d 7 = d s 一仃、甄，d 8 = d 6 一盯、啊 凶此将变量替换为最初的变量可得在d 4 范围内的g 4 ( s ，t ) 的最终结果： g 4 ( s ，t ) = s n ( d 1 ) 一( d 2 ) 】一k e 一( t 叫) i n ( d 3 ) 一n ( d 4 ) 】 一2 ( 等) 孝”( 蚓一( 酬+ 肛“弘q 警) 。1 睁【州，) 一( d 8 ) 】 接下来考虑定解问题( 2 2 ) ，令z = i n s ，7 = 死一，定解问题转化为如下形式： i 鲁一 盯2 静一( r 一；盯2 ) 鲁+ r g 3 = 0 ( z r ，0 丁正一正) ， g s ( e 卫，0 ) = g 4 ( e 霉，0 )( 一 z i n 岛2 ) ， ( 2 - 8 ) ig s ( e 霉，0 ) ；0( i n 如2 z + 。o ) 令g 3 = u 3 e a 3 霉+ 口3 7 ，其中 则定解问题( 2 - 8 ) 转化为 一三一主肛一譬 j ，鲁一 仃2 学= 0 【u s ( x ，0 ) = e - a 3 x g s ( e z ，0 ) ( z r ，0 丁t 3 一乃) ， ( 一 z k ，则 敲定价不变： b ) 在第二阶段陬，t 】，根据农作物的生长要求，设置障碍，若累积生长指数超过这 个障碍值则期权的价值为0 。 ( 4 ) 对于农作物累积生长指数& ：假定其净值服从几何b r o w n 运动 ，r a 丁p t = # d t + c r s d w t ， ) t 这里肛，盯s 都是常数。 ( 5 ) 支付差额交易费用：差额交易费用可看作是投资者因买卖合约而产生的直接费 用，一般由多头支付，并以合约在时段i t ，t + 6 t 1 内交易额差额的固定比例q 来表示，淝是 小量，但不趋于0 ，此时利率r 为常数。为了对冲期权所带来的风险，每隔& 时段就要调 整一次用来对冲的合约的份额j 。 ( 6 ) 假设复合型农作物累计生长指数期权( 下称生长指数期权) 的价值g 。是关于时 间、农作物累计生长指数的函数，即g 。= g ( & ，t ) 。 ( 7