（应用数学专业论文）若干解析函数族的系数估计及其卷积性质.pdf

摘要 单叶函数的系数估计问题，极值问题研究一直倍受各国数学家高度关注本 文在单叶函数的某些子族上研究这一问题并取得了有意义的成果，这些成果对前 人的研究成果进行了一定的推广，从而从理论上进一步完善了这一问题的研究 本文内容主要分为五个部分 第一章绪论简要介绍了单叶函数的发展历程以及本文中将出现的函数族及 其记号第二部分引进了负系数解析函数的一个子族g 口) ，讨论了函数属于 g ( 五，口) 的必要条件，g ，口) 中函数的系数估计、畸变定理，同时也给出了此函 数族的包含关系和凸性第三章引进了凸函数的两个推广类c n 盯) 和 c n ，口) ，即用r u s c h e w e y h 导数d 。，( z ) 所定义的两个新的函数族，并分别研究 了c ，口) 和c n ，盯) 中函数的系数估计、畸变定理，以及函数属于c q ，口) 和 c + n ，口) 分别应满足的表达形式同时也给出了这两个函数族关于实数五的包 含关系第四章研究了函数族j i f ( 以口) 和( a ，口) ，它们是在s 0 a 和 j n i s h i v a k i 所介绍的函数族肘位) 和位) 的基础上所进行的推广本章给出了 m ( 丑口) 和( 五，口) 中函数的系数估计、卷积结果以及函数族的包含关系等第 五章研究了关于七对称点的复数阶星形函数和凸函数的两个子类”( 6 ) 和 q ”p ) ，得到了所给函数族中函数的系数估计、积分表达和卷积条件 关键词：单叶函数；系数估计；凸性；畸变定理；卷积；包含关系 a b s t r a c t t h ep r o b l e m so fc o e f f i c i e n te s t i m a t e sa n de x t r e m ev a l u e s o f u n i v a l e n tf u n c t i o n s a e - e h i g h l ye m p h a s i z e d a l lt h et i m e b y m a t h e m a t i c i a n sf r o ma n0 v e rt h ew o r l d t h i s p a p e rs t u d i e st h e s e p r o b l e m so ns o m es u b c l a s s e s o fu n i v a l e n tf u n c t i o n sa n dg e t s s o m e m e a n i n g f h lr e s u l t s t h ef e s u l t sp r e s e n t e dh e r ew o u l dp f o v i d ee x t e n s i o n s o ft h o s eg i v e ni ne a r l i e fw o f k s ，w h i c ht h e nd e e p l yc o n s u m m a t e st h e s t u d yo ft h e s ep r o b l e m s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of i v ep a r t s ： t h ef i r s tc h a p t e ri st h ee x o r d i u mw h i c hg i v e sas i m p l ei n t r o d u c t i o n o ft h ep h y l o g e n yo fu n i v a l e n tf u n c t i o n sa n ds o m ec l a s s e sa n dt h e i r n o t a t i o n st h a tw i l la p p e a ra n db eu s e di nt h ep r e s e n tp a p e f i nt h e s e c o n dc h a p t e r ，as u b c l a s s g ( 五，口) o fa n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v e c o e f f i c i e n t si si n t r o d u c e d t h e n e c e s s a r yc o n d i t i o n s ， c o e f f i c i e n t e s t i m a t e sa n dd i s t o r t i o nt h e o r e m sf o ff u n c t i o n sb e l o n g i n gt ot h i sc l a s s a r ep r 0 v i d e d t h ei n c l u s i o r e l a t i o n s h i pa n dt h ec o n v e x i t yf o rt h i sc l a s s a r ea l s od i s c u s s e d t w oe x t e n d e ds u b c l a s s e s c n 仉 a n d f 。u ， o f c o n v e xf u n c t i o n s ， w h i c ha r ed e f i n e db yr u s c h e w e y hd e r i v a t i v ea r e d i s c u s s e di t h et h i r dc h a p t e r i ts t u d i e sc o e f f i c i e n te s t i m a t e s ，d i s t o r t i o n t h e o r e m sa n de x p r e s s i o n sf o rf u n c t i o n sb e l o n g i n gt ot h et w oc l a s s e s a t t h es a m et i m e ，i tg i v e st h ec o n c l u s i o nr e l a t i o n s h i po ft h e mw i t hr e s p e c t t or e a ln u m b e r a t h ef o r t hc h a p t e rs t u d i e st w oc l a s s e s 肘( _ ，口) a n d ( 且，口) w h i c ha r eg e n e r a l i z e df t o m 肘( 口)a n d( 口)i n t r o d u c e db y s 。o w aa n dj n i s h i v a k i t h ec o e f f i c i e n te s t i m a t e s r e s u l t so fc o n v o l u t i o n a n dc o n c l u s i o nr e l a t i o n s h i p sa f ep r o v i d e di nt h i sc h a p t e r t h es i x t h c h a p t e ri n t r o d u c e st h en o t i o n so ff u n c t i o n ss t a r l i k ea n dc o n v e xw i t h r e s p e c tt o 足s y m m e t r i cp o i n t so fc o m p l e xo r d e r t w os u b c l a s s e s 鼙” a n d q ( 6 ) a r ed i s c u s s e d t h ec o e f f i c i e n t i n e q u a l i t i e s ，i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n s a n dc o n v o l u t i o nc o n d i t i o n sf o rt h e s ec l a s s e sa r e p r o v i d e d k e yw o r d s ：u n i v a l e n tf u n c t i o n s ；c o e f f i c i e n te s t i m a t e s ；c o n v e x i t y ； d i s t o r t i o nt h e o r e m s ；c o n v o l u t i o n ；i n c l u s i o nr e l a t i o n s h i p ； m 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名琢也日期啡f 月，7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密囹 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名弛日期砷年j 月j r 日 导师签名高也一日期加刁年岁月7 7 日 第一章绪论 在十七、十八世纪，微积分的产生和巨大发展使得人们开始把实变函数论 推广到复变函数论，并取得了很大成果，获得了一些重要结果十九世纪，复 变函数理论经过法国数学家柯西和德国数学家维尔斯特拉斯分别应用积分和 级数研究复变函数理论，而黎曼则对复变函数映射方面的性质进行了研究他 们的研究为复变函数理论的发展奠定了坚实的基础，使复变函数理论日益成熟 化和系统化随着研究的深入，复变函数理论开始渗透到其他数学分支，譬如 解析数论、微积分方程、代数学、拓扑学、概率论以及计算数学等，并且开始 应用到实际问题中，特别是工程问题的解决与此同时，复变函数理论还广泛 地应用于理论物理、电子技术、热学及空气动力学等方面二十世纪，在经典 的复变函数理论得到了新的发展和应用的同时，数学者又开辟了另外的众多数 学分支，如单叶和多叶解析函数论，拟共形映照，黎曼曲面论，复变函数逼近 论，多复变函数论，广义解析函数论等等，而单叶解析函数论就是其中一个极 为重要的部分而由于单叶函数较之多叶函数相对简单，并且单叶函数许多方 面的性质我们可以推广到多叶的情况，所以单叶解析函数是复解析函数论中最 为重要的一类函数 二十世纪初，h u 朋i t z 对单叶函数进行了深入地研究同时，k o e b e 在进 行代数单值化研究时，发现了在单位圆盘内单叶解析的函数具有很多重要的性 质，并对他进行了深入的研究，获得了一些非常经典的结果他们的研究成果 为复变函数理论开辟了一个崭新的领域，并且提出了一些新的、行之有效的研 究方法，使复变函数理论的研究方向开始逐步从定性向定向发展，吸引了很多 数学工作者投入此方面的研究，取得了很多有意义的成果，亦获得了许多重大 突破比如，二十世纪初著名的b i e b e r b a c h 猜想，而更为震惊世界的则算是 d e b r 柚g e s 了八十年代，他成功而简洁地证明了b i e b e r b a c h 猜想，在数学界 引起巨大轰动 单叶函数理论的发展日益成熟、完善，但是，仍有很多难而有趣的问题等 待有志者去进一步地探索研究，希望本人的一点成果能对此理论的发展作出些 许贡献 本文研究的主要内容是某些特殊解析函数族的系数估计、f e k e t e s z e 9 6 问 题、极值问题、畸变性质、凸性、包含关系及卷积性质等 下面给出本文中将出现的一些函数族及其记号 u 单位圆盘，u = z ：z c ，h 叱删 凸函数族置= ，( z ) ：他风 + 剥川z 删) 近凸函数族c = p “北脚风 等) 叱嘲 数彬= ，：，( 拈批眦，勋 等 。卿，) 2 第二章一类负系数单叶函数推广类的系数性质 2 1 引言 令r ( a ，口) 记r 的满足下面不等式的子类 r e 蒜卜删，黜 磅卜删 其中o s 口 1 ，o 五 l 。令c ( 无口) 记丁的满足如下不等式的子类 k 嘲圳舢xk 隋卜删 同样，o 口 1 ，0 旯 1 这两个函数族由a l t i n t a s 和o w a 0 1 首先提出和研究随 后，a o u f ，h o s s e n 和l a s h i n 2 1 讨论了如下的函数族】【( 名，口) r e 剥圳舢，黜 菇卜 而后由王智刚朔等给出了下面的函数族q ( 五，口) i ( 叮( z ) ) l ，r e 菘卜? 卜 ( 2 1 ) 五，口定义如上其中g ( z ) 定义为g ( z ) = z 一钆z “，瓴o ，z u ) 肛2 2 2 相关定义及引理 定义2 2 1 令g ( 无口) 记满足如下条件的函数族，( z ) q ( a ，口) 且 ( i ) 【( 1 一a 口) n 2 4 。一口( 1 一力) 蛾】l 一口 ( i i ) n 2 4 。一曲。0 对任意的n 三 引理2 2 1 【1 1 令函数，( z ) b ( 名，口) ，则对于l z i r 1 有 r 一：i i ；岩，2s i ，c z ，i r + 篙，2 ， 上述边界是精确的 - 一；麦；：i 三手r l ，c z ， s - + 篙r 2 3 主要结果及其证明 定理2 3 1 若0 s 口 口 j 1 - 【加2 吒+ ( 1 一a ) 蛾】z “l 沿着实轴选择z 的值以使( 矿( z ) ) i g ( z ) 为实数由此让z 寸l - ( 沿着实轴) 即得 4 即等价于 定理得证 注1 不等式 1 一n 2 吒 1 一【知2 q + ( 1 一a ) 曲。】 ，卢2 口 【( 1 一加) n 2 口。一口( 1 一旯) 玎吒】1 一口 肛2 薹也。杀考p 2 。7 、， ( 2 3 ) 将是函数，( z ) g ( a ，口) 的一个必要条件如果在g ( 兄，口) 的定义中去掉条件( i i ) ， 那么取g ( z ) = z 一手，( 2 3 ) 也是充分的 定理2 3 2g ( a ，口) 量置( 五，口) 证明考虑条件( i i ) ，则有 ( 矿( z ) ) ，e ：( 1 一五) ( 九2 口。一吨) l 一二：【砌2 a 。+ ( 1 一五) 蛾】 所以若条件( i ) 成立，则上式不大于( 1 一口) 因此有g ( 厶口) k ( a ，口) 证毕 注2r ( a ，口) g ( a ，睇) 令，( z ) = 矿( z ) ，g ( z ) = z g ( z ) ，再利用函数，( z ) 置( 名，口) 的 必要条件【参见a o u f 等 【( 1 一a 口) 加。一口( t 一名) 吒】1 一口 肛2 即可得 定理2 3 3 令o 茎口 1 ，o 如 1 ，则有 g ( 如，口) cg ( 五，口) 证明假设，( z ) g ( 如，口) ，由定理2 1 知道 5 ( 2 4 ) 【( 1 一弛) n 2 吼一口( 1 一五) 蛾】1 一口 由于0 五 北删， 其中且，口定义如上，( z ) r ( ，1 ) 记置( 1 五，口) = 足( 旯，口) 随后，w a n gp f 口f 嗍 介绍了近凸和拟凸函数的子类c ( a ，口) 和c ，口) w a n gp f d f 详细介绍了函数族 t ( a ，口) 和c 似，口) ，本章中将给出c n ，口) 和研，口) 一些很有意义的性质 定义3 1 1 令c 。，盯) 记满足如下不等式的函数集合 黜 等器蒜鬻 毗咖 - ， 其中 o a 北邶 s ， 这里五，口，g ( z ) 定义如上 3 2 相关引理 引理3 2 1 设，( z ) 丁满足 w ) ( z ) = f m 挚， 这里是标准化实值权函数且f o ) 出= 1 如果 胁挚( 崦圹枷兆jlf 即所谓的k o m a t u 算子，那么 w 心一薹皓卜“ 3 3 主要结果及其证明 定理3 3 1 令o 口 口 l1 一n o ( 1 一a + 加) k z “i 在上式中，沿着实轴令z 寸1 _ 即可得 亦即 1 一n 。“( 1 一a ) 口j a n 。+ 2 口。 竺墨j 兰王一 1 一n o ( 1 一五+ 删吒 肛2 口 n o ( 1 一旯+ 办1 ) ( m 。一掰k ) 1 一口 = 2 反过来，假设( 3 4 ) 成立，则需证明条件( 3 1 ) 满足j ，( z ) c n ( 旯，口) 注 意到对于i z i = 1 有 号笳锗箸斗( 1 一五) d “g ( z ) + a d “g ( z )i n o ( 1 一a + i n ) ( 懈。一吒) z ”1 n ；2 l 一咒o ( 1 一名+ 枷) k z ”1 h = 2 呈2 塑二兰竺些 坠! l 一= l ：n 。( 1 一五+ 砌溉 l 一口 这就是说，皇 墨笔若篙鼍攀鬻的值域包含在中心为1 、半径为l - 口的 圆盘内，所以，( z ) 满足条件( 3 1 ) 定理得证 推论3 3 1 若，( z ) c 矗( 五，口) ，则 郦号器等， “如( 3 2 ) 所定义，且不等式对于函数 北心一半器等 ( 3 5 ) 是准确的 定理3 3 2 令o 口 1 ，o 旯1 及，( z ) r ，那么，( z ) c n ( 尢口) 当且仅当 n “( 1 一a + 知) ( m 。一曲。) l 一口 ；2 推论3 3 2 若，( z ) c o ( a ，口) ，则 哪生等譬譬婴望， ( 3 6 ) s 蕊瓦石矿， ( 3 6 ) 吮如( 3 2 ) 所定义，且不等式对于函数 胁z 一生篙等 是准确的 定理3 3 3 若0 口 1 ，o 如s l ，则有 c n 魄，口) cc n ，口) 证明假定，( z ) c 。，口) ，则由定理1 可知，( z ) ( ，口) 当且仅当 n o 【1 + ( h 1 ) 】( m 。一曲。) l 一口 n ；2 又因o 五2 1 ，由上式可得 铲【1 + 如( 一1 ) 】( 船。一曲。) 铲【1 + 五( n 一1 ) 】( 阳。一哦) s 1 一口 h-2牡2 也即，( z ) c n ( 五，口) 此即表明c n 仉，口) cc n ( 如，口) 同样的有 定理3 3 4 若0 口 l ，0 五a l ，则有 c n ( ，口) cc n ( 五，口) 定理3 3 5 若，( z ) c n ( a ，口) ，则有 r 一互石抵r 2 l ，( z ) | ，+ 五万r 2 ( i z i = r 1 ) ( 3 7 ) 1 2 且对于函数 是精确的 证明由( 3 4 ) 可得 ，( z ) - z _ 而舞南z 2 2 0 ( 1 + a ) ( 眦。一蛾) 铲( 1 一a + 砌) ( 加。一蛾) l 一口 即薹( 加。一曲。) ；云又由于g ( z ) 口) ，则有：钆百若袁丽， 因此 即得 所以对于i z l = r l 有 及 巷薹加。器b 2p 2o 、o o 。“， q s l 一口 歹再面酉面 i 塾几2 薹q 蚋而一胆2肛z_ 、，、一 一， 旧一塾儿2 塾一而篙南，2 5 z n z一， 推论3 3 3 若厂( z ) c 矗( a ，口) ，则 z l | z h 一赫b 眦 z l | z + 定理3 3 6 若，( z ) c n ，口) ，则有 且对于函数 r 一互百万r 2s l ，( z ) i 茎r + 互i 石可r 2 ( s s ) ，( z ) _ z 一万蒜z 2 是准确的 推论3 3 4 若，( z ) c n ( 旯，口) ，则 定理3 3 7 令函数疋( z ) 定义为 e ( z ) = z 一口。j z ”( 口。 o ；t = 1 ，2 ，) ( 3 9 ) 肛2 定义五o 使得二五1 则若疋( z ) c 。( 五，口) ，那么 ，( z ) _ z 一妻佳弛，。l 一 舾2 i = l 亦属于函数族c 矗，口) ( 3 1 0 ) 证明若e ( z ) c n ，口) ，由( 3 4 ) 可得 n o 【1 + a m 一1 ) 】( m 。 一曲。) l 一口 对任意女= l ，2 ，因此有 此即表明 1 一口 ，c z ，= z 一薹( 砉以口。4 c 。c a ，口， ，( z ) = z 一i 以口。j | z 4 q ( a ，口) 肛2 b l 同样地，有 定理3 3 8 令疋( z ) 如( 3 9 ) 所定义， 如定理3 3 7 所定义则若 1 4 蛾 一 t ，m 啪 一n “ + 铲 。m j 动一 m 啦 一 “ + 以 偿临，匹m 孰。帅 疋( z ) c + n ( 九口) ，那么由( 3 1 0 ) 所定义的函数，( z ) 亦属于函数族c + q ，口) 定理3 3 9 设 ( z ) = z 以及无( z ) = z 一生! 杀鲁告警z “m = 2 3 ，一) ，则 ，( z ) c n ，口) 当且仅当它可以表示为，( z ) = e 。以无( z ) 这里。o 且 乏三。以= 1 特别地，c 。 ，口) 的极值点为函数 ( z ) = z 和 驰心一半篙等州h 幽 证明首先把，( z ) 表示为上述形式，亦即可把它写作 由于 ，c z ，= 砉。无c z ，= z 一薹! 二! j ；： ；警二t “= z 一薹。z 。p i2 ， 、1 一 t ，2 薹高等嵩p 扣哨乞1 一口+ 口( 1 一a + 砌) n “吒。 爱。4 。1 所以有，( z ) c 矗( 五口) 反过来，假设，( z ) c n ，口) ，则由推论3 3 。l 可知 ，l 一口+ 口( 1 一a + 加) n n 以 q 可示了乃吾一， 可令。=i二：三；：；揣口。(n=2，3)及，=一：。，则 ，t z ，= z 一薹4 。z 。= z 一薹三二竺：；芸i 等。 = z 一以( z 一无( z ) ) = i1 一以l z + 以正( z ) = 2肛2肛2 = 以丘( z ) 舾j 证毕 同样地有 定理3 3 1 。设 ( z ) = z 以及兀( z ) = z 一生竺专罢笺云警z “( n = 2 3 一) ，则 ，( z ) c + o ( a ，口) 当且仅当它可以表示为，( z ) = e l 以 ( z ) 这里以o 且 ：，以= 1 特别地，c n ，口) 的极值点为函数 ( z ) = z 和 驰) _ z 一生辫警州侧，3 ，) 定理3 3 1 1 若，( z ) c n ( 旯，口) ，则圪( ，) ( z ) c n ( a ，口) 证明若，( z ) c n ( a ，口) ，则由( 3 4 ) 可知，只需证明 扣圳t n ( 兰卜呐吧 另外由定理l 可知，( z ) c 矗( 无口) 当且仅当 n n 【1 + 五( n 1 ) 】( ，l 。 一a 虬) 1 一盯 1 2 很显然f 三旦1 5 l o a s l 易知，当a = o ，则有m ( o 口) = 肘位) 定义4 2 令，口) 记a 中满足如下不等式的函数集合 r e z 盟爷糍铲卜z z ， 其中口 l o a s l 同样地，当名= o ，( o 口) = n 位) 2 0 0 0 年，m k a m a l i 和o r h a n 介绍了有关s a l a n g e 算子q 的函数族 死伽，p ，a ，口) ，即如在本书第三章中所给出的本章将介绍如下的两个推广类 定义4 1 3 令m 。( 五，口) 记a 中满足如下不等式的函数集合 竿器精鬻卜z 删，s ， ( 1 一五) d o ，( z ) + 。a _ d o ，( z )i 。， 其中口 l o a 1 易知，m o ( o ，口) = m ) ，而肘o ，a ) = m ( 五，口) 定义4 1 4 令，口) 记a 中满足如下不等式的函数集合 r c 号器韶筹卜一 4 ， 其中口 1 o 五1 易知，0 ( 0 ，口) = 位) ，而o ( a ，口) = ( a ，口) ， 下面定义 g ( z ) = z + 以z ”( z u ) 给出如下的两个函数族 定义4 1 5 令( 丑，盯) 记a 中满足如下不等式的函数集合 笙盟丝! 坠! ( 1 一旯) g ( z ) + 向( z ) 其中口 1 o 五1 ，窖( z ) 如( 4 5 ) 所定义 定义4 1 6 令y ( a ，盯) 记a 中满足如下不等式的函数集合 其中口 1 ，0 五s 1 ，g ( z ) 如( 4 5 ) 所定义 ( 4 5 ) ( 4 6 ) l 1 ，满足 n 【( n 一七) + l n + ( t 一2 口) 口：口。警2 ( 口一1 ) ( 4 9 ) 则，( z ) 位) 引理4 2 3 若，( z ) m 位) ，则有 k is 紫 引理4 2 4 若，( z ) 缸) 则有 k l 茎掣 引理4 2 5 序列伽。汪。是从属因子序列当且仅当 r c - + 奢 州z 删 r c 1 + 2 6 。z 叶 o ( z u ) l肛lj 4 3 主要结果及其证明 首先讨论函数族( a ，口) 和y ( a ，口) 定理4 3 1 假设o 七1 ，口 1 则若，( z ) e a 满足 ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 1 一a + 砌) i 加。一线i + ；加。+ 一缸) 6 。2 缸一1 ) ( 4 1 2 ) 则，( z ) 降7 ( a ，口) 1 9 证明假定( 4 1 2 ) 成立，则由其几何意义，只需证明 则 矿( z ) + 允2 ，。( z ) 。 ( 1 一a ) g ( z ) + 允g ( z ) “ ( 1 一a ) g ( z ) + 五z g ( z ) 、 矿( z ) + 允2 ，”( z ) (1一a)g(z)+izg(z) (1一五)g(z)+钯(z)、。 1 则若，( z ) a 满足 n o ( 1 一名+ 砌) 【i n 一七；+ i n + ( 七一2 口) ；】1 4 。i 2 ( 口一1 ) ( 4 1 6 ) z 2 则，( z ) j i f n ( 旯，口) # 定理4 3 6 假设0 七l 。口 1 则若，( z ) 满足 n n “( 1 一a + 知) 【l n 一七；+ l 九+ ( 七一2 口) 口l 口。i 2 ( 口一1 ) ( 4 1 7 ) ；2 则，( z ) n ，口) 取t = l 及l 口三，则有如下推论 推论4 3 3 若，( z ) a 满足 n o ( 1 一名+ 知) i n 一口l k 。l 口一1 则，( z ) m n ( a ，口) 推论4 3 4 若，( z ) a 满足 n o ( 1 一a + a n ) i n 一口0 4 。i 口一l j _ = 2 则，( z ) o ( a ，口) 定理4 3 7 若，( z ) m n ( 旯，口) ，则 川朵篇高 定理4 3 8 若，( z ) n m ，口) ，则 k i 糕 定理4 3 9 设o 如l ，则有 肘n “，c f o ( 如，口) 证明由定理4 1 可知若，( z ) m n 似，口) ，则有 ，l o 【l + ( n 1 ) 【；n 一七；+ ；n + ( 一2 口) 圳。i 2 ( 口一1 ) ；2 又0 一l ， o ，则彤，( z ) 膨n ( a ，口) ，其中 彤，( z ) 定义如下 嗍z ) - 焉p o o g y ，( f ) 拙+ 薹嘞 4 4 从属结果及其证明 定理4 4 1 5 令函数，( z ) m n ，且令置记在u 中的凸函数族则有 且有 痞鬻群龋扩烈扯北一2 2 n ( 1 + 五) ( 2 一七) + 1 2 + 七一勉i + 2 一d r “”一” ( z u ；o a s l ；o 七1 ；口 l ；暑置) 晰归一芝畿群嘉裴铲 证明令，( z ) 膨。( a ，口) ，且假设 g ( z ) = z + 吒z “置 肛2 则有 痞蒜黑娄暴b 烈z ， 2 严( 1 + 五) ( 2 一t ) + 1 2 + 七一缸叶2 位一1 ) l ”“” = 而髹等鬻杀b 扣1 = 2 = = 2 l 一iz + ) 厅d 7 2 垆( 1 + a ) ( 2 一七) + 1 2 + 七一缸n + 2 位一1 ) l ”幺、 则由定义，从属关系( 4 1 8 ) 将成立，若如下序列 f2 n ( 1 + a ) 【( 2 一七) + 1 2 + 足一2 口i 】 o ( 1 + a ) 【( 2 一七) + 1 2 + 七一2 口| 】+ 2 ( 盯一1 )l 是一个从属因子序列( 其中d 。= 1 ) 由引理4 2 5 ，上述式子等价于 k 慷高等篙尝等叫州舢4 瑚，舻( 1 + a ) 【( 2 一七) + 1 2 + 七一缸叶2 位一1 ) r i ”一” 因俨( 1 一a + 砌) 【( n 一七) + l n + 七一缸| 】( o 七1 ；o 旯1 ；盯 1 ) 是关于n 的增函数， k 慷赢慕矫端纠 峨 h 斋慕獬裟某b z i2 ( 1 + 五) 【( 2 一七) + 1 2 + 七一2 a | 】+ 2 ( 口一1 ) 。l + r e t _ 葡了丽酉i i 南i j 习丽萎2 n ( 1 + “2 越) + 1 2 + 七一缸峨r 、，2 1 ( 1 + a ) 【( 2 一七) + 1 2 + 七一2 口1 】 2 “( 1 + 五) 【( 2 一七) + 1 2 + 七一2 口口+ 2 ( 口一1 ) 2 i 一t l t l 一r 一而丽面面南五币丽萎铲( 1 。舢训卜聃一缸川， 2 1 ( 1 + a ) 【( 2 一七) + 1 2 + 七一2 口日2 ( 盯一1 ) ”一瓦雨丽甄研瓦盖可南卜瓦瓦丽甄河i 置币丽7 l q z i - r 1 ) ， 司见q ( z ) f n ( 五，口) 由( 4 1 8 ) 可得 蕊蒜等群筠北， 者n2 2 0 ( 1 + 五) 【( 2 一女) + 1 2 + k 一2 口l 】+ 2 ( 口一1 ) 1 l z 、7 另外由函数g ( z ) 亦可得 幽 r e 赤淼篆鬻筹b 心，卜壶 从而定理得证 推论4 4 5 令函数，( z ) m o ( a ，口) ，则式( 4 1 8 ) 、( 4 1 9 ) 成立且常数 2 n ( 1 + a ) 【( 2 一七) + 1 2 + 七一2 口 不能被更大的数替代 若在上述推论中取q ：o ，女：1 ，a ：o 及1 l ；g 置) 及 蝴讲 一掣卷亲蒜掣巩2 2 ， 且式( 4 2 1 ) 中的常数 2 n ( 1 + ) 【( 2 一七) + 1 2 + 七一2 口 不能被更大的数替代 推论4 4 7 令，( z ) n ，盯) ，则表达式( 4 2 1 ) 、( 4 2 2 ) 成立，并且常数 不能被更大的数替代 同样地，在上述推论中取q = o ，七= 1 ，且= o 及l 一警( z u ) ， 常数高不能被更大的数替代 第五章复数阶近凸和拟凸函数推广类的系数估计 5 1 引言及相关定义 a o u f 和n a s r 【1 0 1 曾讨论了b 阶星形函数族s + ) ，其中b 是一个非零复数， s o ) 定义如下 邓，= p r e l + 昙( 等一 ) o ，z u 在文【1 1 】中，k w o n 和0 w a 给出了b 阶近凸函数族置伪) 定义如下，鼢p ) 当且仅当，a 且 r 帖( 等一肛z 以i6 lg ( z )j l 。 其中g ( z ) 是星形函数他们还定义了b 阶拟凸函数族q p ) 定义如下 ，置( 6 ) 当且仅当，a 且 r e + 昙( 等一) ) o ，z u【6 lg ( z ) jj 其中g ( z ) 是凸函数 而在此文中，他们主要研究了用s a l a g a n 算子定义的函数族幺p ) 定义5 1 1 令幺( 6 ) 记a 中的满足如下条件的函数族，a 且 鬻一1 )