（计算数学专业论文）jacobi+spectral++with+essential+imposition+of+neumann+boundary+condition.pdf

s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 摘要 近三十年来，针对d i r i c h l e i t 边值问题谱方法的研究已经形成了较为完整的理论体 系。而研究n e u m a n n 边值问题同样具有重要的理论意义和应用价值。在标准的变分形式 中，n e u m a n n 边界条件通常是作为自然边值条件来处理的，然而，这种处理方法往往会导 致刚度矩阵为满阵。 在本篇学位论文中，我们应用精确满足n e u m a n n 边值条件的j a c o i 谱方法研究了一 类n e u m a n n 边值问题该方法与经典谱方法的不同之处在于：每一个基函数都精确满足齐 次n e u m a n n 边界条件，相应的一维问题的刚度矩阵为带状矩阵。 为了分析数值误差，我们针对n e u m a n n 边值问题建立了有关的j a c o b i 拟正交逼近理论， 并针对某些椭圆型问题构造了相应的谱格式，证明了格式的收敛性，数值结果表明了该方 法是有效的 论文由以下三个部分组成： 在第一章中，我们简要地回顾了n e u m a n n 边值问题数值方法的研究进展情况，同时概 述了本文研究的动机和困难。 在第二章中，我们回顾了j a c o b i 多项式的一些基本性质，建立了j a c o b i 拟正交逼近的某些 基本理论。我们将上述理论应用于一维n e u m a n n 边值问题，构造了相应的谱格式证明了 格式的收敛性，数值结果表明了该算法的有效性 在第三章中，我们建立了有关的f o u r i e r - j a c o b i 混合正交逼近理论，并针对二 维n e u m a n n 边值问题，构造了相应的混合谱格式，证明了格式的收敛性，数值结果同 样表明该算法是有效的。 关键词：j a c o b i 谱方法，f o u r i e r - j a c o b i 谱方法，n e u m a n n 边值问题。 s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n a b s t r a c t s p e c t r a lm e t h o d sf o rd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sh a v eb e e nd e v e l o p e de x t e n s i v e l yi n t h ep a s tt h r e ed e c a d e s h o w e v e r i ti sa l s oi n t e r e s t i n ga n d i m p o r t a n tt oc o n s i d e rv a r i o u sp r o b l e m s w i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n i nas t a n d a r dv a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n ，t h i sk i n do fb o u n d a r y c o n d i t i o ni sc o m m o n l yi m p o s e di nan a t u r a lw a y h o w e v e r , t h i sa p p r o a c hu s u a l l yl e a d st oaf u l l s t i f f n e s sm a t r i xf o ra p p r o x i m a t i n gt h es e c o n dd e r i v a t i v e s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ei n v e s t i g a t es o m en e u m a n np r o b l e m s ，u s i n gt h ej a c o b is p e c t r a lm e t h o d w i t he s s e n t i a li m p o s i t i o no fn e u m a n nc o n d i t i o n t h i sm e t h o dd i f f e r sf r o mt h ec l a s s i c a ls p e c t r a l m e t h o d sf o rs u c hp r o b l e m s ，t h eh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o ni ss a t i s f i e de x a c t l y f o re a c hb a s i s t h em a i na d v a n t a g eo fs u c ht r e a t m e n tc o n s i s t si nt h a t ，ab a n ds t i f f n e s sm a t r i xi s e m p l o y e df o ro n e d i m e n s i o n a lp r o b l e m s ，i n s t e a do ft h ef u l ls t i f f n e s sm a t r i xe n c o u n t e r e di nt h e c l a s s i c a lv a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n f o ra n a l y z i n gt h en u m e r i c a le r r o r s ，w ee s t a b l i s hs o m eb a s i cr e s u l t so nj a c o b iq u a s i o r t h o g o n a l a p p r o x i m a t i o n sf o rn e u m a n np r o b l e m s t h ec o n v e r g e n c eo fp r o p o s e ds c h e m e s i sp r o v e d w ea l s o p r e s e n ts o m en u m e r i c a lr e s u l t st od e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h i sa p p r o a c h t h i sw o r kc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lt h eh i s t o r yo fn u m e r i c a lm e t h o d sf o r n e u m a n np r o b l e m s w ea l s od e s c r i b et h e m o t i v a t i o na n dt h ed i f f i c u l t i e s i nc h a p t e r2 ，w er e c a l ls o m eb a s i cp r o p e r t i e so fj a c o b ip o l y n o m i a l s w ee s t a b l i s hs o m e b a s i cr e s u l t so nt h ej a c o b iq u a s i o r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n s a se x a m p l e s ，w ep r o p o s et h es p e c - t r a ls c h e m e sf o ro n e d i m e n s i o n a ln e u m a n np r o b l e m s t h ec o n v e r g e n c eo fp r o p o s e ds c h e m e si s p r o v e d n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h i sa p p r o a c h i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s hs o m eb a s i cr e s u l t so nt h em i x e df o u r i e r - j a c o b ia p p r o x i m a t i o n a s e x a m p l e s ，w ep r o p o s et h em i x e ds p e c t r a ls c h e m e sf o rt w o d i m e n s i o n a ln e u m a n np r o b l e m s t h e c o n v e r g e n c eo fp r o p o s e ds c h e m e si sp r o v e d n u m e r i c a lr e s u l t sa l s os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h i s a p p r o a c h k e yw o r d s ： j a c o b is p e c t r a lm e t h o d ，f o u r i e r - j a c o b is p e c t r a lm e t h o d ，n e u m a n nb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m i i s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加 以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对 本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：础逡 日 3 8 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用 影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：缸逡 e l 期：匈埠珥当虬 导师签名： 日期： s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n s p e c t r a lm e t h o d sf o rd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sh a v eb e e nd e v e l o p e de x t e n s i v e l yi n t h ep a s tt h r e ed e c a d e s ，s e e 【4 6 ，8 - 1 2 ，1 9 1 h o w e v e r i ti sa l s oi n t e r e s t i n ga n di m p o r t a n tt oc o n s i d e r v a r i o u sp r o b l e m sw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n i nas t a n d a r dv a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n ，t h i s k i n do fb o u n d a r yc o n d i t i o ni sc o m m o n l yi m p o s e di nan a t u r a lw a y , s e e ，i e ，b e r n a r d ia n dm a d a y 【4 】s i n c et h ec l a s s i c a la p p r o a c ha d o p t e di nt h ec o n t e x to fag a l e r k i ns p e c t r a la p p r o x i m a t i o n e m p l o y st h eo r t h o g o n a lb a s i sb u i l tu p o no r d i n a r yo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s ，t h i sa p p r o a c hu s u a l l y l e a d st oaf u l ls t i f f n e s sm a t r i xf o ra p p r o x i m a t i n gt h es e c o n dd e r i v a t i v e s r e c e n t l y , a u t e r i ，p a r o l i n ia n dq u a r t a p e l l e 【2 】p r o p o s e dan e wa l g o r i t h mf o rt h en e u m a n n p r o b l e m sa s s o c i a t e dw i t hl a p l a c ea n dh e l m h o l t zo p e r a t o r si nr e c t a n g u l a rd o m a i n s t h i sm e t h o d d i f f e r sf r o mt h ec l a s s i c a ls p e c t r a lm e t h o d sf o rs u c hp r o b l e m s ，t h en e u m a n nc o n d i t i o ni se n f o r c e d a c c o r d i n gt oa ne s s e n t i a lt r e a t m e n t ，n a m e l y , t h eh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o ni s s a t i s f i e de x a c t l yf o re a c hb a s i s t h em a i na d v a n t a g eo fs u c ht r e a t m e n tc o n s i s t si nt h a t ad i a g o n a l m a t r i xi se m p l o y e d ，i n s t e a do ft h ef u l ls t i f f n e s sm a t r i c e se n c o u n t e r e di nt h ec l a s s i c a lv a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o no ft h ep r o b l e mw i t haw e a kn a t u r a li m p o s i t i o no ft h ed e r i v a t i v eb o u n d a r yc o n d i t i o n w a n ga n dw a n g 【2 8 】a l s oa n a l y z e dt h en u m e r i c a le r r o r so ft h i sa l g o r i t h m m e a n w h i l e ，d o h a ， b h r a w ya n da b d e l h a m e e d 【8 】e x t e n d e dt h ep r e v i o u sa l g o r i t h m ，b a s e do nl e g e n d r ep o l y n o m i a l s ， t oj a c o b ip o l y n o m i a l s t h em a i nd i f f e r e n c eb e t w e e n 【2 】a n d 【8 】i st h a tt h el a t t e re n f o r c e st h ej a c o b i w e i g h ti nt h ev a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o ni n s t e a do ft h en a t u r a lw e i g h t b yc h o o s i n ga p p r o p r i a t eb a s i s f u n c t i o n sw i t hz e r os l o p ea tt h ee n d p o i n t s ，t h ea l g o r i t h mi n 【8 】l e a d st os y s t e mw i t hs p a r s em a t r i x f o rt h ed i s c r e t ev a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ef i r s ti n v e s t i g a t eo n e - d i m e n s i o n a ln e u m a n np r o b l e m si n d u c e db yt w o - d i m e n s i o n a le l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hr o t a t i o ni n v a r i a n ts o l u t i o n so nad i s co rac i r c l e ，u s i n gt h e j a c o b is p e c t r a lm e t h o dw i t he s s e n t i a li m p o s i t i o no fn e u m a n nc o n d i t i o n t h em e t h o dp r o p o s e d i nt h i sw o r kd i f f e r sf r o mt h a ti n 【8 】，t h ej a c o b iw e i g h ti nt h ev a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o ni sn a t u r a l f o ra n a l y z i n gt h en u m e r i c a le r r o r s ，w ee s t a b l i s hs o m eb a s i cr e s u l t so nj a c o b iq u a s i - o r t h o g o n a l a p p r o x i m a t i o n sf o rn e u m a n np r o b l e m s ，m o t i v a t e db yg u o a n dw a n g 【1 7 ，1 8 ，a n dw a n ga n dg u o 【2 6 ，2 7 t h ec o n v e r g e n c eo fp r o p o s e ds c h e m e si sp r o v e d i np a r t i c u l a r , b yc h o o s i n ga p p r o p r i a t e b a s i sf u n c t i o n sw i t hz e r os l o p ea tt h ee n d p o i n t s ，ad i a g o n a lo rt r i d i a g o n a lm a t r i xi se m p l o y e d ， i n s t e a do ft h ef u l ls t i f f n e s sm a t r i c e se n c o u n t e r e di nt h ec l a s s i c a ls p e c t r a lm e t h o d w ea l s op r e s e n t s o m en u m e r i c a lr e s u l t st od e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h i sa p p r o a c h 1 t h e nw ec o n s i c i e rat w o d i m e n s i o n a ln e u m a n np r o b l e m i nc h a p t e r3 ，u s i n gt h ef o u r i e r - j a c o b i s p e c t r a lm e t h o dw i t he s s e n t i a li m p o s i t i o no f n e u m a n nc o n d i t i o n w ee s t a b l i s hs o m eb a s i cr e s u l t s o nt h em i x e df o u r i e r - j a c o b ia p p r o x i m a t i o n s t h em i x e ds p e c t r a ls c h e m e i sp r o p o s e d t h ec o n v e r - g e n c ei sp r o v e d n u m e r i c a lr e s u l t sa l s os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h i sa p p r o a c h 2 s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n c h a p t e r2j a c o b is p e c t r a lm e t h o df o ro n e d i m e n s i o n a lp r o b l e m s i nt h i sp a r t ，w ef o c u so no n e d i m e n s i o n a ln e u m a n n p r o b l e m su s i n gt h ej a c o b is p e c t r a lm e t h o d w i t he s s e n t i a li m p o s i t i o no fn e u m a n nc o n d i t i o n 2 1p r e l i m i n a r i e s l e ta = z l 0 ，w ed e f i n e t h es p a c e 收( a ) b ys p a c ei n t e r p o l a t i o na si n 【3 】f u r t h e r m o r e ，t h es p a c eh u i x t ( a ) s t a n d sf o rt h e c l o s u r ei n 域( a ) o ft i l es e t 口( a ) c o n s i s t i n go fa l li n f i n i t e l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n sw i t hc o m p a c t s u p p o r ti na w h e nx ( x ) 兰1 ，w eo m i tt h es u b s c r i p txi nn o t a t i o n sa su s u a l l e tq ，p - - 1 t h ej a c o b ip o l y n o m i a l s 刀绷( z ) ，z 0 ，a r ed e f i n e db y ( s e e 【2 3 ，2 4 ) ( 1 - x ) a ( 1 + z ) 卢z 1 z ) = 可( - 1 ) t 磋( ( 1 一z ) ( 1 + 。) m ) ，z ：1 ，2 ， t h e ya l et h ee i g e n f u n c t i o n so fs t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m 以( ( 1 一z ) a + 1 ( 1 + z ) 卢+ 1 如u ( z ) ) + a n ，p ( 1 一z ) 。( 1 + z ) 卢u ( z ) = 0 ，z a ， ( 2 1 ) w i t ht h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u e sa 产p = z ( 2 + q + 卢+ 1 ) ，2 0 i np a r t i c u l a r , 0 0 o ( z ) = l t ( x ) a n dt h e 厶( z ) ，c 0a r el e g e n d r ep o l y n o m i a l s i ti sn o t e dt h a tt h ec o e f f i c i e n to ft h el e a d i n gt e r m o f0 。卢( z ) i s b e s i d e s ， 研郇= r ( a + p + 2 1 + 1 ) 2 1 l ! r ( a + p + z + 1 ) 。 名郇( 一z ) = ( 一1 ) 妒q ( z ) ， z 。，卢( 1 ) =r ( t + q + 1 ) l ! f ( a + 1 1 ( 2 2 ) w h e r er ( x ) i st h eg a m m af u n c t i o n t h ej a c o b ip o l y n o m i a l sf u l f i l lt h ef o l l o w i n gr e c u r r e n c er e l a t i o n s ( s e e 【l 】) ， a n d 包o n 栅( z ) = 三( z + 口+ p + 1 ) 班 1 斛1 ( z ) ， c 1 ， 2 ( + 1 ) ( z + o + p + 1 ) ( 2 2 + a + 卢) 班，( z ) 3 = ( 2 z + q + p + 1 ) ( q 2 一p 2 ) + 篆争丰专 筹兰嚣司z n 伪( z ) ( 2 3 ) 一2 ( z + q ) ( + p ) ( 2 f + o t + p + 2 ) 班，( z ) a n o t h e rr e c u r r e n c er e l a t i o ni ss t a t e da s ( s e e 【16 】) f 1 以。脚( 可) 咖= 锄( 啦p ( z ) 一j t ( a , a ( 一1 ) ) + 6 f ( z 卵) ( z ) 一。口脚( 一1 ) ) ( 2 4 ) + c 2 ( z 擘，( z ) 一卅苎，( 一1 ) ) ， w h e r e 啦2 两者高等岛可，6 r = 两磊籍丽，啦2 面石再瓦可葛再等丽，现2 面疆i 赢矿羔厕， c ，：二型竺巡盟 u ( 1 + q + 1 3 ) ( 2 1 + q + p ) ( 2 z + o t + p + l j n e x tl e t x ( 。，p ( z ) = ( 1 一z ) a ( 1 + z ) 卢t h es e to fj a c o b ip o l y n o m i a l si st h e l x 2 ( 叩) ( 人) 一o r t h o g o n a ls y s t e m ， ( z ) 珊脚( 呶如= 西册 w h e r e 国，mi st h ek r o n e c k e rf u n c t i o n ，a n d 伊= 哥蔫器薪黑 ( 2 5 ) ( 2 6 ) f o r a n yn n ，w ed e n o t eb y 巩t h es e to fa l la l g e b r a i cp o l y n o m i a l so fd e g r e ea tm o s tn n e x t1 e 口，p ，y ，j 一1 ，w ei n t r o d u c et h e s p a c e 日兰p ，7 ，6 ( a ) ，0 p 1a n d 日a “卢，1 ，6 ( a ) ，0 p 2 ，( c f 2 5 1 ) f o r # 20 ，h 0 ，a ，q ，口，7 ，6 ( a ) = n 。o ，p ，1 ，6 ( 人) = l ：( ，栅( 人) f o rp = l ， 以，聊，6 ( a ) = 秒i i sm e a s u r a b l ea n di l v l l l “脚，6 o 。) ， e q u i p p e dw i t ht h en o r m f o rp = 2 ， 口i j l 印， = ( i v l ；，x ( 郇，+ i ：c 1 棚) 磋抽觚6 ( a ) = i ui sm e a s u r a b l ea n di l v l l 2 m 郇，7 ，6 ) ， e q u i p p e dw i t ht h en o r m 怯，址肌沪( 曜x ( ) + 呲x ( 郇) + 删如) ) 4 s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n t h es p a c e 月兰芦m 6 ( a ) ，0 肛 1a n d n 吼t a a ，口，反1 ，占( 人) ，0 p 2a r ed e f i n e db ys p a c ei n t e r p o l a t i o na si n 【3 】，w i t ht h en o r m s k ，肌5a n d b ，a a 肌占r e s p e c t i v e l y i np a r t i c u l a r , 硬，卢，q ，口，q ，卢( a ) = 力妻( 。棚( a ) a n dn 。1 ，p ，q ，p ( a ) = 哦( 。( 人) a c c o r d i n gt ol e m m a 3 5o f 1 6 1 ，o n ev e r i f i e sr e a d i l yt h a t l e m m a1 驴a 1 ，t h e n f o r a n y 可磁，a ，口，肌6 ( 人) ，o v ( x ) i sc o n t i n u o u so na n ys u b i n t e r v a l a + 。【- 1 ，8 】caw i t h 一1 口 1 ，a n d m ，；a x 。i 以t ，( z ) i c | f 以u | 1 1 , x ( ) 够i na d d i t i o n ，口 1 ， t h e nt h e s er e s u l t s 彻zb ee x t e n 捌f d - “ l e m m a2 t f o n eo f t h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s , o t 0 ，p 6 + 2 ，p 1 ，7 0 ， ( 2 7 ) 口，y 十2 ，p 0 ，6 0 ，( 2 8 ) o t ，y + 1 ，p 占+ 2 ，0 q 1 ，p 1 ，( 2 9 ) t h e n f o ra n yu h y l 郇) ( a ) w i t hv ( - 1 ) = 0 ， ，棚c l v h ，x ( 郇) ( 2 1 0 ) p r o o f w ef i r s tc o n s i d e rt h ec a s e ( 2 7 ) d u et ot h eh a r d yi n e q u a l i t y ( c f 【l9 】) ，f o ra n ym e a s u r a b l e f u n c t i o n ，( z ) ，a ba n dq 1 ， 6 ( 圭小删( 禹( ) g d z ( 2 ，1 1 ) t h e r e f o r e ，i f ( 2 7 ) h o l d sa n d ”( 一1 ) = 0 ， v 2 ( z ) ( 1 一z ) 7 ( 1 + z ) 6 如c 2 ( z ) ( 1 + z ) 口一2 d x j a ，a c ( 反口( z ) ) 2 ( 1 + z ) d x c ( 以u ( z ) ) 2 ( 1 一z ) a ( 1 + x ) a d z j a a t h e r e s u l t s ( 2 8 ) a n d ( 2 9 ) c o m ef r o ml e m m a2 4o f 15 1 _ w i t has l i g h tm o d i f i c a t i o no fl e m m a 2 ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u i t l e m m a3 uo n eo f t h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s , o l 7 + 2 ，口 1 ，p 0 ，6 0 ， ( 2 1 2 ) a 0 ，p j + 2 ，y 0 ，( 2 1 3 ) 乜7 + 2 ，p 万+ 1 ，乜 1 ，0 1 ， ( 2 1 4 ) t h e n f o ，a n y 钞h y l ( 郇) ( a ) w i t hv ( 1 ) = 0 ， ) c l v l l ，x ( 。t 口) ( 2 1 5 ) 5 s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 2 2 j a c o b ia p p r o x i m a t i o n sw i t hz e r os l o p ea to n ee n d p o i n t f o r d e s c r i p t i o no fa p p r o x i m a t i o nr e s u l t s ，w ei n t r o d u c et h ej a c o b i - w e i g h t e ds p a c e ( 郇) ，a ( a ) = 钉iu i sm e a s u r a b l ea n dii v l l r x ( 郇) ，a 。) ， r n ， w i t ht h ef o l l o w i n gw e i g h t e dn o r ma n ds e m i - n o r m ， r u i i r x c 哦a = ( ii 罐u 峨饯m ，) ， w ea l s od e f i n et h es p a c e w h e r e k = 0 i v lr ，x ( a ，口) ，a = ll v i i x ( 晰卅r ) n x r ( 。，钟，+ ( a ) = vi ui sm e a s u r a b l ea n di l v l l r ，x ( a ，口) ，。 ) ， r 1 ，7 n ， r 一1 叽一- = ( k = 0喉2 + 1 x ( 即) ，。，z 1 a n d ，x ( 郇) ，。= ij u i l x ( a + r - - l , 卢+ r - - 1 ) c l e a r l y , w eh a v el a i u i r 一1 ，x ( a 口) ，a = l u lr x ( a ，p ) ，。 l e m m a4 ( o fl e m m a2 2o f h 5 i ) t h p r ee x i s t sam a p p i n g 舟豳p ：h x l ( 哦a ( a ) _ p ns u c ht h 町 爵，a ，p u ( 一1 ) = u ( 一1 ) ，a n d f o ra n y h x l ( 。棚，a ( a ) ， ( 如( 露a 卢 一秒) ，良) x ( 。+ 。，卢+ 一) = 0 ，w t n m o r e o v e r , f o ra n y n x t ( 。，所，a ( 人) ，p ，7 n ，1 7 n + 1a n d0 p r ， 露a 卢 一 li p ，x ( o 口) ，ac n p r 川r i x ( 啪) ，a i nt h ef o r t h c o m i n gd i s c u s s i o n s ，w en e e dau n u s u a lp r o j e c t i o n t od ot h i s ，l e t 入 1a n d ( 2 1 6 ) o 月；a 0 ，p ，1 ，6 ( a ) = “iu 孵，a ，n ，卢m 6 ( a ) ，o $ u ( - 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