游龙板运动分析.doc

二轮滑板的最佳运动方式 2014年数学建模论文第九套 题 目： 二轮滑板的最佳运动方式 专业、姓名： 仪126 关姗 专业、姓名： 自122 牛佳伟 专业、姓名： 机124 赵茜 二轮滑板的最佳运动方式摘要游龙板是一项新型体育运动，他利用了巧妙的力学原理，借助于两轮的摆动产生前进的动力。本文主要研究人体扭动角度与平底滑板前进速度的关系模型；针对问题，由于游龙板有两个特殊的轮子，可以将板的横向摆动转化成向前的推动力。首先我们通过分析其中一个轮子的结构得出推动力产生的原因：一是支持力对转轴产生的转矩L,二是静摩擦力F对转轴的转矩L；其次令L=L，得到静摩擦力F与旋转角度的关系，进而推出水平方向的分力（推动力）与旋转角度的关系；接着我们得出加速度a与旋转角度（=sin(t)）的关系，即加速度a与时间t的关系，画图并截取一个周期，通过多元线性回归和残差检验，得出加速度a与时间t的一元二次方程，加速度a对时间t求积分得到前进速度v与t的关系；最后我们把t=12arcsin()代回得到前进速度v与旋转角度的关系：v=-0.14045arcsin+0.675arcsin2-0.1421arcsin3画出图像得到：当=57.3时，前进速度v最大为0.898m/s。 关键词：二轮滑板的最佳运动方式 推动力 多元线性回归和残差检验一、问题重述“二轮滑板”又称作为“两轮滑板”、“陆地冲浪板”是一种新型的滑板，和普通的四轮滑板不一样，它只有两个轮。因其运动起来像龙和蛇一样扭动，所以国内多大称为“游龙板”或“活力板”。它以人体运动理论和巧妙的力学原理，主要利用身体(腰部及臀部)、双脚扭动及手的摆动来驱动活力板前进。使滑板运动得到淋漓尽致的发挥。现请建立人身体扭动角度与平底滑板前进速度的关系模型，并找到最佳扭动角度。二、符号说明 静摩擦力 F旋转角度支持力对转轴产生的转矩L加速度a时间t静摩擦力对转轴的转矩L转轴与竖直方向的夹角周期T三、问题假设1. 游龙板前后两轮机构相同，人体用力均匀。2. 轮子的旋转角度与时间t成正弦函数。3. 滑板及轮子的质量完好不会随外界的影响而损坏。四、问题分析本文主要研究人体扭动角度与平底滑板前进速度的关系模型；针对问题，由于游龙板有两个特殊的轮子，可以将板的横向摆动转化成向前的推动力。首先我们通过分析其中一个轮子的结构得出推动力产生的原因：一是支持力对转轴产生的转矩L,二是静摩擦力F对转轴的转矩L；其次令L=L，得到静摩擦力F与旋转角度的关系，进而推出水平方向的分力（推动力）与旋转角度的关系；接着我们假设支持力N=12mg,=30，轮子的旋转角速度=2，得出加速度a与旋转角度（=sin(t)）的关系，即加速度a与时间t的关系，画图并截取一个周期T=0-1.6，通过多元线性回归和残差检验，得出加速度a与时间t的一元二次方程，加速度a对时间t求积分得到前进速度v与t的关系；最后我们把t=12arcsin()代回得到前进速度v与旋转角度的关系，并得出结果。五、模型建立与求解5.1建立推动力与旋转角度的关系模型5.1.1 轮子的结构分析由于游龙板前后两个轮子结构相同，只分析其一即可。轮子是通过轮架和一倾斜的转轴安装在板上，轮子和轮架可以绕转轴的轴线pp自由转动。如图1示：图1中用线段AB和BO代表转轴和轮架，O点为轮子的圆心，D点为轮子的触地点，C点为AB的延长线与地面的交点。轮子的特殊结构体现在两个地方：一是转轴AB是倾斜的，设与竖直方向的夹角为；二是C点与D点是不重合的。且落在D点前面。当人站在板上时，地面对后轮D点的支持力设为N。人的双脚在板面上与前进方向相垂直的的方向摆动，轮子和轮架就会绕转轴PP摆动进而产生向前的推动力。5.1.2推动力产生原因分析如图2所示：设轮架绕转轴PP摆过任意角度，轮子摆过一定角度后，C,D两点的位置也发生了变化，设为C和D。轮子受地面支持力N的方向竖直向上，D点与地面间静摩擦力设为F，与水平前进方向夹角为（90-），做直线DT/pp，DS与滑板前进方向一致。（1）支持力N对转轴PP的转矩产生转矩的力的计算支持力N产生使轮子绕转轴PP回摆的转矩。N在垂直于DT方向的分力N(也垂直于pp)是使轮子绕pp转动的有效力，其大小为Nsin。产生转矩的力臂的计算将图2对应的局部放大如图3所示。做DH垂直于滑板前进方向的水平线CH与H点，则DH垂直于面BCH。由于两平面TDN和BCH平行，所以DN/平面BCH，那么分力N所在直线到转轴pp的距离就等于D点到平面BCH的距离。即DH的长度。由图可知：DH=CDsin即为N对转轴pp的力臂。则，支持力N对转轴pp的转矩L为：L=NsinDH=NsinCDsin(2)静摩擦力F对转轴pp的转矩产生转矩的力的计算如图4，静摩擦力F产生阻止轮子回摆的力矩，F在垂直于DT的方向的分力F（也垂直于pp）为产生转矩的有效力。做辅助线TSDS于S点，TRDF于R点，连接SR，可证明：SRDF.从而可以求出F与DT的夹角TDR的大小，设为，可求出：cos=DRDT=DScos(90-)DT=DTsincos(90-)DT=sinsin所以sin=1-cos2=1-sin2sin2则F=Fsin=F1-sin2sin2产生转矩的力臂的计算如图4，转轴pp平行于平面TDF，所以，F对pp传动力臂为pp到平面TDF的距离、过C点做平面TDF的垂线交平面TDF于点G，连接G、D两点，CG即为力臂。可以证明：CDG=SRT,设为，由图知：tg=TRRS=TDsinTDSSDsinSDR=TDcosTDcoscos=cossinsin所以 sin=coscos2+sin2cos2则CG=CDsin=CDcoscos2+sin2cos2可以导出F阻止轮架回摆的力矩L:L=FCG=CDF1-sin2sin21+tg2cos2(3)推动力大小令（1）（2）中的L=L,可求出：F=Nsinsin1-sin2sin21+tg2cos2在轮子绕转轴摆过任意角度时，滑板受到推动力实际上是F在水平前进方向上的分力。F水平=Fsin=Nsinsin21-sin2sin21+tg2cos25.2 前进速度v与轮子旋转角度关系模型5.1.1 加速度与旋转角度关系假设支持力N=12mg, 转轴与竖直方向夹角=30，轮子的旋转角速度=2，得出加速度a与旋转角度（=sin(2t)）的关系： a=2.5sin21-0.25sin21+13cos2得到加速度a与时间t的关系式：a=2.5sin2(sin(2t)1-0.25sin2sin(2t)1+13cos2sin(2t)根据加速度a与时间t的关系式，我们画出图5：图5加速度a与时间t的关系由图可知：加速度a与时间t呈周期性变换，我们取时间的一个周期T=0-1.6；得到图6:；由于加速度a与时间t的关系式过于复杂，我们进行线性回归分析，并对其进行残差分析，如图7，图8；得出系数b1的置信区间为-0.5819 0.0202，系数b2的置信区间为4.5273 6.2727,系数b3的置信区间为-3.9392 -2.8867；r2=0.9326,接近于1，说明回归方程显著，F= 96.9017,F越大，方程越显著，p= 0.0467,小于0.05，说明回归模型成立。回归方程为：a=-0.2809+5.4t-3.413t2对加速度关于时间t积分可得：v=-0.2809+2.7t2-1.137t3最后，由=sin2t得t=12arcsin,将其代回上式，得：v=-0.14045arcsin+0.675arcsin2-0.1421arcsin3用matlab画出图9由图可看出，当=57.3时，v最大为0.898m/s.。即在轮子旋转了一个周期T内，前进速度v随旋转角度的增大而增大，当=57.3时，v最大为0.898m/s.，随后速度几乎不变；（若考虑旋转角度为0时，即，轮子停止旋转时，前进速度会随时间的增大而减小，此时的阻力F=12mg）六、模型评价1. 使游龙板前进的推动力来源于轮子与地面间的静摩擦力。轮子的结构决定了只要轮子绕转轴转过一个角度，轮子与地面间就会有静摩擦力F,F沿运动方向的水平方向驱动游龙板前进，所以在光滑的路面上，静摩擦力不存在，游龙板无法前进。2. 擦作者的双脚在板面上要不断的用力前后摆动，目的是保持一直存在，所以必须依靠外力才能够保持，即F脚。如图2，F脚=Fcos所以，系统的动能还是来源于人做功。3. 轮子的结构使变化时，会牵扯到系统重心高低变化。=0时，系统重心最低，处于稳定平衡状态，=180时，系统重心最高，处于不稳定平衡状态。所以，游龙板只能朝一个方向运动，不能倒滑。4未考虑到游龙板停止摆动时，前进速度会随时间的增大而减小。我们仅考虑的是轮子在一个周期内速度随旋转角度的变化关系。七、参考文献【1】钱明 创新教材丰富教学资源“游龙板”案例分析期刊论文中国科教创新导刊2010（33）【2】王占军 一种大众的“极限”运动项目活动板期刊论文运动2009（9）【3】苗英恺 活力板推动力来源分析期刊论文科教文汇2008（25） 附录加速度a与时间t的关系t=0:0.1:5;a1=2.5*sin(sin(2*t).2;a2=(1-0.25*(sin(sin(2*t).2)/(1+(cos(sin(2*t).2)/3)(0.5);a=a1./a2plot(t,a)一个周期内加速度a与时间t的关系t=0:0.1:1.6;a1=2.5*sin(sin(2*t).2;a2=(1-0.25*(sin(sin(2*t).2)/(1+(cos(sin(2*t).2)/3)(0.5);a=a1./a2plot(t,a)回归分析与残差检验t=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6;a=0 0.1124 0.4161 0.8266 1.2476 1.6049 1.8606 2.0056 2.0429 1.9746 1.7974 1.5100 1.1286 0.7015 0.3120