（光学专业论文）双层散射介质中的光传播理论和实验研究.pdf

摘要 摘要 生物组织是一种高散射随机介质，研究光在这种高散射随机介质中的传播 过程并且从中提取有关组织内部的特征信息，是近年来光学技术研究较为活跃的 前沿领域之一。通常在研究光在生物组织中的传播过程中，均假设生物组织是一 种均匀介质。但是大多数情况下，生物组织都是非均匀的或者即使是均匀的在生 物组织内部不同的部位发生的生理变化也是不同的。因此，本文将主要研究的光 在双层随机散射介质中传输规律。 本论文初衷是构建研究光在双层介质中的传输规律的基础框架，提出具有 研究价值的创新内容，并初步给出研究问题的方案和简单的分析方法。但是由于 本人的水平有限，因此仅作出以下几方面的内容：( 1 ) 总结研究光在双层介质中 的传输规律的格点理论、漫射近似理论和蒙特卡罗模拟方法：( 2 ) 通过分析光予 路径分布函数。引入了一个深度探测几率函数a ( z ，p ) ，用这个函数描述探测光子 与散射介质空间面的相互作用，在此基础上，提出了一种研究光在双层散射介质 中传输规律的新的理论模型：( 3 ) 从均匀介质的漫射方程出发，研究光源近似对 均匀介质漫射方程解的影响，提出光源近似对双层介质漫射方程解的影响问题： ( 4 ) 初步尝试双层介质模拟样品的制备方法，主要是上层介质厚度较薄情况的 样品制备方法，实验研究上层介质厚度对漫射近似方程解的影响。 关键宇：双层散射介质、探测函数、光源近似、理论模型、模拟样品制备 a b s t r a c t a b s t r a c t i n v e s t i g a t i n gu g h tp r o p a g a t i o ni nh i g hs c a t t e r i n gm e d i u ms u c ha s t i s s u ea n d a c q u i r i n gd i a g n o s t i ci n f o r m a t i o no nt i s s u ei so n e o ft h em o s ta c t i v ef l o u t sf o ro p t i c a l t e c h n i q u e u s u a l l y , i nt h er e s e a r c ho fl i g h tt r a n s p o r t a t i o ni nt i s s u e ，ah o m o g e n e o u s s c a t t e r i n gm e d i u mi ss u p p o s e d h o w e v e r , i nm a n y e a s e st i s s u ei si n h o m o g e n e o u so r e v e ni fr e g a r d e da sh o m o g e n e o u s ，b i o l o g i c a lc h a n g e si nd i f f e r e n tp a r tv a r y h e n c e w e m a i n l ys t u d y t h et h e o r yo f l i g h tt r a n s p o r t a t i o nd i s t r i b u t i o ni nt w o - l a y e r e dr a n d o m s c a t t e r i n gm e d i u ma n dc o r r e s p o n d i n gf u n d a m e n t a le x p e r i m e n t si nt h i sp a p e r o u r o r i g i n a li n t e n t i o ni st oc o n s t r u c ta b a s i cf r a m eo f l i l g h tt r a n s p o r t a t i o nt h e o r y i nt w o l a y e r e dm e d i u m ，a n dt op u tf o r w a r ds o m ev a l u a b l ep o i n t s ，a sw e l la st og i v e s o m es i m p l es o l u t i o n sa n ds c h e m e s t h i sp a p e rm a i n l yi n c l u d e s ：( 1 ) s u m m a r i z i n g t h e o r i e sa p p l i e di nr e s e a r c ho f l i g h tt r a n s p o r t a t i o ni nt w o - l a y e r e dm e d i u mc o n t a i n i n g g r i dt h e o r y , d i f f u s i o nt h e o r ya n dm o n t ec a r l os i m u l a t i o n ；a n d ( 2 ) d e s c r i b i n gt h e p r o b a b i l i t y o fp h o t o ni n t e r a c t i o n sa t p a r t i c u l a rp o i n t i n s c a t t e r i n gm e d i u m ，b y a n a l y z i n gp h o t o np a t h _ l e n g t hf u n c t i o na n di n t r o d u c i n gd e p t hd e t e c t i n gp r o b a b i l i t y f u n c t i o n u p o nt h eb a s i sa b o v e ，w ep u tf o r w a r dan e wt h e o r e t i c a lm o d e lf o rl i g h t t r a n s p o r t a t i o ni nt w o l a y e r e ds c a t t e r i n gm e d i u m ；( 3 ) s t a r tf r o md i f f u s i o ne q u a i o ni n h o m o g e n e o u sm e d i u m ，s t u d yt h ei n f l u e n c eo fl i g h ts o u r c ea p p r o x i m a t i o no ns o l u t i o n t od i f f u s i o ne q u a t i o n ，a n dt h e nd i s c u s st h ee f f e c to fl i g h ts o u r c ea p p r o x i m a t i o no i l s o l u t i o nt od i f f u s i o n e q u a t i o n i n t w o l a y e r e dm e d i u m ；( 4 ) a t t e m p t t o p r e p a r e t w o l a y e r e dp h a n t o m s ，m a i n l yf o c u s i n go np h a n t o m sw i t ht h i n u p p e rl a y e r , a n d u n d e a a k e e x p e r i m e n t s t o i n v e s t i g a t e t h ee f f e c to ft h i c k n e s so fu p p e r l a y e r o n d i f f u s i o nr e f l e c t a n c e k e yw o r d s ：t w o l a y e r e dm e d i u m ，d e t e c t e df u n c t i o n ，l i g h ts o u r c ea p p r o x i m a t i o n ， t h e o r e t i c a lm o d e l ，p h a n t o m 独创性声明 本人声明所早交的学位论文是本人在导师指导 、进行的研究工作和圾得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致埘之处外，论文r l i 不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位沦文作者签名： f b 纽譬签字日期：2 妒。鲜月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盔盗盘堂州以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行榆 索，并采用影印、缩印或扫描等复制于段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文f 勺复印件和磁盘。 ( 保密的学位沦文在解密后适用本授权晚明) 学位沦文作者签名：熬 l 耳 导师签名： 支k 巴 签字目期：一2 3 年幽府日签字门_ ! l j 】：0 d d 年6 月f d 口 笙二兰堑笙一一 第一章绪论 c l 物组织是一种高散射随机介质，研究光在这种高散射随机介质中的传播过 程并且从中提取有关组织内部的特征信息，是近年来光学技术研究较为活跃的前 沿领域之一。该研究足光学与生物学的交叉学科，具有很强的学术价值和广阔的 应用前景，对于生物医学诊断和治疗，如肿瘤的早期无损诊断，具有重要的意义。 考虑到实际生物组织均具有层状结构，本文将主要研究的光在双层随机散射 介质中传输的理论和实验基础。这一章介绍了近年来有关理论和实验研究的成 就，以及本论文的主要工作。 1 1 光在分层组织中传播的实验研究 光在生物介质中传播时将产生散射和吸收，光散射和吸收的性质与生物组织 的性质和光源的波长有关。通常在研究光在生物组织中的传播过程中，均假设生 物组织是一种均匀介质，即在生物介质内，各处的散射系数、吸收系数和各项异 性因子均相同。但是大多数情况下，生物组织都足非均匀的或者即使足均匀的在 生物组织内部不同的部位发生的生理变化也是不同的“。r a w e e r s i n k 等通过 实验测量在探测距离在1 1 0 m m 范围内的漫反射率，测量光敏性染料在兔子皮肤 内的分布情况【1 1 。实验样品的分析结果表明：皮肤表层的光子分布差不多比脂 肪和肌肉大一个数量级。另外，tj f a r r e l l 等同样研究皮肤的光学性质【2 】，研究 结果表明：真皮的光学性质与肌肉和脂肪的光学性质完全不同。这一光学性质的 不同导致：用均匀介质的光传播模型分析皮肤表面光的反射率，从而获得生物组 织中的内部信息是不合理的。e i j io k a d a 等利用模拟样品制备脑组织模型，研究 光在脑组织中的传输过程及不同层的组织对探测信号的影响 3 1 。研究结果表明： 光子在脑组织中传输时，光子程氏大约6 5 分布在脑骨和脑皮，3 5 分布在脑脊 髓液，5 分布在灰组织，其余很小一部分分布在白组织。另外虽然探测光了只 有一小部分经过灰组织和白组织，但是由于探测光的改变受程长分布和吸收系数 的共同影响，因此当灰组织或白组织的脑内部深度充血时，探测信号仍能检测到。 k o h r i 等的研究结果还表明【4 】，灰组织的吸收系数的改变对探测信号的影响大约 可以达到2 0 3 0 。上面的研究结果表明，对于脑组织同样应利用分层介质模 型研究光在其中的传输规律。另外其他一些生物组织如肝脏、胃等也都是由具有 不同吸收和散射特性的分层生物组织共同构成。 里二兰堑笙 _ _ 一 一 1 2 光在分层组织中传播的理论研究 由于分层介质的复杂结构，研究光在其中的传播理论非常困难。近些年来 的研究成果主要包括：b o n n e r 和n o s s a l 等首次引入格点随机迁移模型，模拟 光子在生物组织中的随机散射过程，并获得漫反射率、平均程长等的模拟计算 结果 7 、8 】；t a i t e l b a u m 等通过近步分析这种模型，给出漫反射率、平均程长 等的解析表达式【钔。但是由于格点随机迁移模型从介质的内部结构出发，因此 漫反射率等的表达式具有一定的近似性，不适用于准确分析光在分层介质中的 传播规律。更严格的分析方法应该从分层介质的漫射方法出发，求解漫射方程 的解。其中包括k e i j e r 等利用有限元方法求解双层介质的漫射方程u | ：k i e n l e 等利用空间傅立叶变换求解双层介质的漫射方程解 ；t u a l l e 【12 】和m a r t e l l i i i 3 等利用格林函数方法求解分层介质的漫射方程解。但是无论用哪一种方法获得 的漫射方程的解，其数学形式都很复杂，因而很难近一步用于获得生物组织的 内部信息。近年来的大量的研究工作主要是致力于研究双层介质的漫反射率与 散射介质内部结构间的关系，以及如何简化分层介质漫射方程解 1 4 埽时寸论 如何利用漫射方程解和实验测量结果获得生物组织内部信息的方法7 “。其 中包括h i e l s c h e r 利用实验和m o n t e c a r l o 模拟方法，提出在一定条件下可以忽 略的分层结构影响，从而使漫反射率对介质光学参数的依赖关系变得相对简堆 ”4 l ；f r a n c e s e h i n i 等利用半无限介质的漫射方程解，从实验测量的双层介质的 漫反射光强反演，获得双层介质的表观吸收系数和表观散射系数，并比较表观 吸收系数和表观散射系数与实际双层介质的每层的散射系数、吸收系数的关 系，研究上层介质厚度对光传输规律的影响 1 6 1 。f a r r e l l 等从双层介质的漫射方 程解出发，研究双层介质的漫反射率的改变对每层介质的吸收系数和上层介质 厚度改变的敏感性 i5 j 等。另外除了上述解析方法外，m o n t ec a r l o 模拟方法作 为解析方法的补充，也常常被用于研究光在分层介质中的传播规律2 ”2 引。 1 3 本论文的主要工作与创新 本论文初衷是构建研究光在双层介质中的传输规律的基础框架，提出具有研 究价值的创新内容，并仞步给出研究问题的方案和分析方法。但是由于本人的水 平有限，因此仅给出以下儿方面的内容：总结研究光在双层介质中的传输规律的 格点理论、漫射近似理论和蒙特卡罗模拟方法：提出了深度探测几率的概念描述 光子与介质相互作用，在此基础上，提出了一种研究光在双层散射介质中传输规 律的新的理论模型；提出光源近似的影响；利用m o n t ec a r l o 模拟方法系统分析 第章绪论 了双层介质的每层的散射系数、吸收系数及上层介质厚度对漫反射率的影响；利 用实验方法尝试性的研究特殊的双层介质模拟样品的制备和利用实验方法研究 光在这种模拟样品中的传播舰律。具体如下： 1 根据生物组织的双层散射介质模型，分别阐述了格点随机迁移理论和漫射近 似理论，并给出漫射方程的格林函数解和空间傅立叶变换解。在阐述格点随 机迁移理论的过程中，我们给出其解决问题的思想及其利用浚种方法处理实 际问题过程中遇到的困难，评价该种方法的优点及不足之处。在讨论漫射方 程的格林函数解的过程中，从半无限均匀散射介质丌始，系统地研究了不同 边界条件的镜像光源的意义及其对漫射方程解的贡献。 2 利用m o n t e c a r l o 模拟方法研究光在双层散射介质中传输规律，着重讨论了关 于边界条件的处理和关于跟踪单个光子和跟踪光子包时，随机事件的不同处 理方式：然后利用这种模拟方法研究了每层的散射系数、吸收系数及上层介 质厚度对漫反射率的影响，给出直观的比较图形和具体分析，作为今后分析 问题和指导实验的基础。 3 通过分析光子路径分布函数( p h o t o np a t hd i s t r i b u t i o n ) ，考虑光子在散射介质中 经历不同的深度到达探测器的概率，引入点探测几率函数和面探铡几率函数， 描述探测光子与散射介质的空问点和空间面相互作用。在此基础上，提出了 一种新的理论研究模型，研究光在双层散射介质中的传输规律，并利用这种 模型研究了双层散射介质的空间分辨漫反射率。 4 从均匀介质的漫射方程出发，提出双层介质漫射方程解的适用性问题。首先 研究光源近似对不同探测距离的漫射光强的影响；然后研究平板介质在不同 介质厚度的条件下，探测距离对漫射光强的影响；最后提出光源近似对双层 介质漫射方程解的影响问题。 5 利用实验的方法，研究光在双层散射介质中的传输规律。主要是研究双层散 射介质的空间分辨漫反射率与半无限均匀介质的空问分辨漫反射率的关系。 以及上层介质的厚度对双层介质漫射方程准确性的影响。 本论文的创新点主要有： 1 通过分析光子路径分枢函数，引入深度探测几率函数，描述探测光子与敞射 介质空| 日j 面相互作用。在此基础上，提出了一种研究光在双层散射介质巾传 输规律的新的理论模型。 第一章绪论 2 从均匀介质的漫射方程出发，研究光源近似对均匀介质漫射方程解的影响， 提出光源近似对双层介质漫射方程解的影响问题。 3 利用m o n t e c a r l o 模拟方法系统的分析了双层介质的每层的散射系数、吸收系 数及上层介质厚度对漫反射率的影响。 4 初步尝试双层介质模拟样品的制备方法，主要是上层介质厚度较薄情况的样 品制备方法。实验研究上层介质厚度对漫射近似方程解的影响。 第二章光在双层散射介质中传输的理论基础 第二章光在双层散射介质中传输的理论基础 这一章我们主要阐述光在双层散射介质中传输的理论基础。首先给出了生 物组织的双层散射介质模型。然后分别阐述了格点随机迁移理论和漫射近似理 论，并给出漫射方程的格林函数解和空间傅立叶变换解。 另外，由于在很多情况下，双层散射介质可以看作是由半无限介质和平板 介质共同组成。因此，在每一部分的讨论中，我们首先简单的阐述均匀介质的情 况，然后再讨论双层介质的情况。其中在阐述格点随机迁移理论的过程中，我们 给出其解决问题的思想及其利用该种方法处理实际问题过程中遇到的困难，评价 该种方法的优点及不足之处。在讨论漫射方程的格林函数解的过程中，从半无限 均匀散射介质开始，系统的研究了不同边界条件的镜像光源的意义及其对漫射方 程解的贡献。 2 1 生物组织的双层散射介质模型 在前言中我们已经提到过，由于大多数生物组织 并不是均匀分布平板介质或是半无限介质，而是由不 问厚度、不同光学特性的生物组织共同构成卜一。凶此， 必须建立一种分层介质模型模拟实际生物组织。如图 2 1 1 所示，双层散射介质模型，其上层为有限厚度的 平板介质，下层为半无限均匀介质。两层介质的吸收 系数、散射系数和各项异性因子分别为以、，g l 和 以：、麒：、g ：，上层介质的厚度为f 。 2 2 格点随机迂移理论 i 当鎏堡型一i i f ，lg l t 工k 3 岸，2g j f 图2 1 - 1 双层散射介质模型 f i 9 2 1 1 m o d e lo f t w o - l a y e r e d m e d i a 格点随机迁移理论首先于1 9 8 8 年由r fb o n n e r 等人引入【7 1 ，用于分析光 在均匀散射介质中的传播问题。1 9 8 9 年n o s s a l 和h a i mt a i t e l b a u m 等将它应用于 双层散射介质8 9 1 , 并在两种介质的分界面处采用一定的近似条件，获得了光在 双层散射介质中的传播规律。 笙三空堂鱼型星墼塾坌堕! 堡塑塑堡堡茎堕 2 2 1 格点随机迁移理论 如图2 2 一i 所示，格点随机迁移理论首先 将整个双层散射介质空间等间隔的划分为空洲 格，将咒子在散射介质中的漫射看作光子在格 点f 哪的随机迁移运动。通过分析介质的结构特 性和光子的随机迁移运动，得到光子在空间格 点中行走n 步到达散射介质表面、探i 9 1 | i 距离肚 处的发射概率为f 其中p 为整数，三为格点问的 距离) ： r ( n l ，玎2 ，p l 卢1 ，p 2 ) = f ( n ，p ) e x p ( 一l h l 一2 n 2 ) m 卅。羔万“一却( 叫n ) 陆( 一等) 2 r 2 删、7 2 z ” 幽2 2 1 格点随机迁移过桴 f i g 2 2 1l a t t i c er a n d o mw a l k ( 2 2 一1 ) ( 2 2 2 ) 其中n l 和n 2 分别为光子在上层介质和f 层介质行走的步数，n = 月十n ：，一为 有光子在介质中每行走一步而没有被介质吸收的幸存几率。i = l ，2 分别对应上 层介质和下层介质。从( 2 2 1 】式可以看出格点随机迁移理论将表面出射光子的概 率分解为两部分的作用，即仅考虑介质的漫散射部分影响的f ( n ，p ) 项和仅考虑 吸收部分影响的e x p ( 一“n 一：r t ：) 项。对r ( ”，n ：，p k ，：) 的所有行走步数h 求 和，获得探测距离p 处，光子总的出射概率为： 三 r ( p ) = r 0 ，n 2 ，p f ，2 ) ( 2 2 3 ) 考虑实际光子迁移过程，将r ( h ，n ：，到“，：) 分为光予仪在上层介质行走的概率 和同时经过两层介质的概率，( 2 2 3 ) 式可以分解为两项： 1 1 ( p ) z r ( n ，0 ，咖、，o ) + r ( m ，n 一，咖、，：) ( 2 2 4 ) ，= 1 i f = 一i 其中m 为光子仅仅经历上层介质到达介质表面的最大迁移步数。通过分析和大 量的验算得到脚的半经验表达式 m ：5 2 - q 瓯 进一步计算( 2 2 4 ) 式，得到 6 ( 2 2 5 ) 篁三皇堂垄翌星墼塑坌星! 箜塑盟堡堡苎型一一 脚) * 去阿脚( - p 4 9 u 1 ) + 瓜聃p 厩叫“l - 9 2 ) ) ( 2 2 - 6 ) 用r ( h ，”：，p i ，：) 乘以n 并对所有行走步数求和，获得散射介质表面探测距离 础处的平均步数为： 矧小啬 埤驴 亿z 川 却，= 层卸【- p 嘛一瓜) 吡氆) 】 ( 2 z 固 我们可以更直观的理解( 2 2 1 ) 式，了解格点随机迁移理论的解题思路。即 n 1 和月2 分别为光子在上层介质和下层介质中的程长，e x p ( - 月。一胁n ：) 为探测 距离础处，吸收系数和散射系数对表面出射光子概率的影响项，f ( n ，p ) 为光子 总的程长为n 的概率。 利用式( 2 2 5 ) ( 2 2 8 ) 计算双层介质的空间分辨漫反射率、迁移步数统计平均 值，得到图2 2 2 和图2 2 3 。其中两层介质的，分别为“= 0 2 ，他= o o l 。标 号l 6 分别对应上层介质厚度为0 r n m 、il t t l z t 、3 m t i i 、5 u u l l 、7 r a m 、9 m m 。 飞 盘 图2 2 2 双层介质空问分辨坦反射率 f i g2 2 - 2s p a t i a lr e f l e c t a n c eo ft w o - l a y e r e d m e d i a 2 2 2 格点随机迁移理论的局限性 幽2 2 3 烈层介质步数统计平均值 f i g 2 2 3 e x p e c t e d n u m b e ro f s t e p s o f t w o l a y e r e dm e d i a 格点模型理论给出了双层介质漫射反射率和平均程长等的简单解析形式，对 粗略描述双层介质的光传播规律具有很好的近似效果，但是由于该理论从漫射介 质的内部结构出发，求解过程具有一定的经验算法，所以准确度不高，且只适合 部分散射介质。另外，在实际的计算过程中应注意，格点随机迁移理论的解析表 笙三里堂童型垦塑壁垒堕! 堡堕塑堡堡至堕一 达式只是用于分析上层介质的吸收系数大于下层介质的吸收系数；相反情况不适 用。 2 3 漫射近似理论 光波在粒子随机分布介质中的传播规律按介质中粒子数密度不同，可以划分 为三种情况：当粒子数密度较小时，光波在散射介质中的传播，只与几个粒子发 生相互作用，这时光波在散射介质中的传播规律可以按照单粒子近似或一级多次 散射近似理论处理；当粒子数密度较大时，光波将与散射介质中的大量粒子相勺： 作用，这时光波在散射介质中的传播规律服从漫射近似理论；当粒子数密度介于 两种条件之间时，光波在散射介质中的传播规律服从多次散射近似理论。对于大 多数生物组织，散射介质中的粒子数密度属于第二种情况。因此，f 面的讨论中 我们主要讨论漫射近似理论，首先从普通的传输方程开始，讲述各物理量的意义， 然后讨论漫射近似理论。 2 ，3 1 光在散射介质中传播的漫射近似方程 当一束光波射入散射介质时，介质中的光通量可分为两部分：其l | 一部分出 入射光波产生，并由于介质的散射和吸收而不断衰减直至消失，称之为约化入射 强度，。；另一部分由于介质内的散射面严生并在介质中继续传播直全离开散射 介质，称之为漫射强度，。按照上述定义，。和i 。的传输方程分别为2 9 埘1 挈叫 抗如) ( 2 3 - 1 ) ! 掣廿v j 。( i ： ”o s ( 2 3 2 ) 一，d ( 尹，j ，t ) + a ，j 4 。，d ( i ，j ，) p ( ；，j ) c 娩+ ( i ，；，f ) + s 。( i ，；，f ) 其中s 为单位方向；上传输距离，4 = 纵+ 从为消光系数，致、以为介质的散 射系数、吸收系数，v 为光在介质中的传播速度，p ( ；，；。) 为散射相函数，表示； 方向传输的光子被散射到；方向的几率，s ( i ，；，f ) 是由于介质内存在光源时的源 函数，s 。( i ，j ，f ) 是由于约化入射强度。引起的等效的源函数， 篁= 兰堂堡塑星墼堑坌堕堡笪塑望笙量墅一一一一一 “嵇 f ) = 笔t 。“帮，彻( 筇盥 ( 2 3 3 ) 由于严格的传输方程( 2 3 2 ) 式很难求解，因此，在实际讨论中应对( 2 3 2 ) 式 采用不同的近似得到较简单的传输方程。这里我们应用漫射近似，假设漫射强度 同许多粒子相互作用，凶而在各个方向的散射几乎是均匀的，但应注意漫射强度 的角分布不能是常数，这是由于假如角分布是常数，那么传输通量将为零，从而 使传输的净功率为零。用漫射近似将漫射强度用泰勒级数展开，并忽略阶数大于 2 的其他项 1 一 ，d ( i ，；，t ) z 中d ( i ) + 壬( i ) j ( 2 3 - 4 ) 其中。力= 去以硝力艘为平均漫射强度，瓦( 和) 2 甜，f ) j 地为 漫射通量密度。在下面的讨论中，我们将主要讨论漫射强度历，因此将所有下表 d 省略。将( 2 3 4 ) 式带入传输方程( 2 3 2 ) ，并将散射相函数j d ( ；，；) 同样用泰勒级 数展开，得到漫射方程 三掣掣一d v ：中( i ， ) + 以中( i ，f ) ：s ( i ，幻+ s 积f )5 ) vo t 其中d = 3 以+ ( 1 一g ) v ：】1 l 为介质的扩散常数。 跗，f ) - 去j ：i ，彬，如盥 ( 2 3 - 6 ) 蹦和) = 击。“，f 脚 ( 2 _ 3 - 7 ) 在源函数s ( f ，f ) 和等效源函数s 。( i ，t ) 不随时间变化时，( 2 3 5 ) 式右边第一 项可以忽略，得到稳态的漫射方程 d v 2 中( i ) 一芦。中( i ) = s ( i ) + s ，( i )( 2 3 - 8 ) 方程( 2 1 3 5 ) 弓磊2 3 8 ) 与一定的边界条件组合，就是成为完整的渑射：i 厅似疗稃。 对于双层散射介质，漫射近似方程除了两层介质的漫射方程和与均匀介质 条件相同的边界条件外，还包括两层介质分界面处的边界条件。双层介质的漫射 方程为f 1 3 】 9 笙三兰堂垄翌星墼堑坌垦! 堡塑盟望笙茎型 d l v2 西( i ，f ) 一i - t 。l 巾( i ，t ) = 5 ( i ，f ) + s ，。( i ，f ) z f d 1 v2 中2 ( 尹，t ) 一。2 m 2 ( f ，t ) = 0 ， z f ( 2 3 9 ) f 2 3 1 0 ) d 。、d ：和熊：分别为上层介质和下层介质的扩散常数和吸收系数t f 为t 层介质的厚度。双层介质的边界条 ：为 m 2 ( p ，o 。) = 0 m l ( b ，) 】2 m 2 ( 肛f ) n 2 2 。掣l = d 2 掣l 出 l ：。也j ：。 ( 2 3 一1 1 ) ( 2 3 - 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) n l 和n 2 为两层介质的折射率。z 。为外推边界，我们将在下面详细讨论。 2 3 2 均匀散射介质的漫射方程解 ( 2 3 1 4 ) 对于均匀散射介质的漫射方程，主要是利用格林函数的方法求解。求解的 思想是从漫射方程满足的边界条件出发，通过研究光在边界处的传输过程，将边 界条件转化为服从一定分布的光源函数s ( a 乙f ) ，再通过求解s ( n z ，f ) 与自由 边界条件下漫射方程的格林函数解西。( 肛z ，f ) 的卷积【1 2 3 3 1 中( p ，z ，f ) = s ( p ，z ，t ) o 中o ( p ，z ，t )( 2 3 1 5 ) 得到需要的边界条件的漫射方程解。其中 为卷积符号，m 。( a z ，r ) 形式为3 4 吣蜊，= 志e 砸他卅唧 _ 去 b ，舶， ( 4 船9 c f b l4 “j 下面我们就来讨论零边界条件、部分流边界条件和外推边界条件下的漫射 方程解。讨论中假设点光源位于介质表面以下z = 处。因此对十脉冲点光源的 初始的光源函数为s ( i ，f ) = a ( z 一7 - 0 ) 占( p ) 万( f ) ，s 。( i ，f ) = 0 ：连续光源的光源函数 第二章光在双层散射介质中传输的理论基础 为s ( f ) = 8 ( z 一：。) 6 ( p ) ，s r i ( i ) = 0 。 2 3 21 零边界条件的格林函数解 如图2 3 1 所示，零边界条件是假设在介质的 物理界砸上，平均漫射强度m ( p ，z ) 等于零，即、 3 6 1 中0 ，z ，f 】= 0 ( 2 3 1 7 ) 因此，为了满足( 2 3 一1 5 ) 式边界条件的限制，必须引 入一个与实光源点( 0 0 ，z 。) 对称的镜像光源点 ( 0 0 ，一z 。) ，且符号与实光源相反，如图2 3 1 所示。 零边界条件下的光源函数为 s ( p ，z ，f ) = 8 ( o ，z o ) 万( ，) 一8 ( 0 ，一z 。) 占( f ) u n a g es o b c e - ioz = 一z o f i g23 - l s o u r c ed i s t r i b u t i o nf o r z e r o - b o u n d a r yc o n d i t i o n 图2 3 - 1 零边界条件的光源分布 ( 2 3 18 ) 将光源分布函数( 2 3 1 6 ) 式与中。( p ，2 ，f ) 取卷积得到时变漫射方程的解为【3 53 7 ： 中矗班_嘉脚卜”叫却-基一印_生(23-19)(4刃dct o c t j 4 d c t j) - 【l l j 其中= 了i 二i f ，- ：山了干瓦f 。稳态漫射方程的解为 3 5 3 7 ： 中( p ，：) = 上q 加u 。 z 1 e x p ( _ i t ：f i ) _ 1 e x p ( 一田， ( 2 3 - 2 0 ) r i 和r 2 与( 2 3 一1 7 ) 式中相同。 2 32 2 部分流边界条件的格林函数解 部分流边界条件是考虑散射介质与空气分界面处的折射率不匹配。由于菲 涅尔反射使到达介质表丽的部分光子将被重新反射回散射介质内。因此这部分光 子可以看作位于介质外的镜像光源。部分流边界条件的形式为：在介质表面：0 处满足【3 5 3 6 】 第二章光在双层散射介质中传输的理论基础 岍，= 酉1 + r t r 掣s 圳， 其中= 怒为有效反射系数，r 桃 分别为辐射反射率( f l u xr a t e ) i i 能流反射率( f l u e n c e r a t e ) r 。= r 2 s i n o c 。s o r ( 0 ) d 0 r ，= 盱3 s i n o c o s 2o r ，( o ) d o f 2 3 2 2 ) f 2 3 2 3 ) 式中a f ，e s 。，p ) 是菲涅尔反射系数，对于非偏振光， i s i f l k s 一2 i if ， i m a g e + 1 - - l z “ f i g 2 3 - 2 s o u r c ed i s t i l b u t i o nf o r p a r t i a l - c u r r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n 幽2 3 - 2 部分流边界条件的光源分布 月“( 目) = 乏1 ( n c o s 秽o 十- 。n 。o , c o 。s 玎0 ) + 互1l ( n c o s 帆o - n o 。, , ，, c o 。s 玎o 。口眭 = 1 ， 臼一0 一7 1 - 。 ( 2 3 2 4 ) 其中e + 为反射角，纯2 s i n - l 等为全反射的临界角，n 和。分别对应散射介质 和外界媒质的折射率。 为了满足( 2 3 1 9 ) 式的边界条件限制，必须引入两项镜像光源，其中第项 是位于：= 一z 。处的点光源，其大小和符号与实点源相同；第二项是由一列的点 组成，一 x l - i 点从z = - - z 0 处开始直至无穷远处，并且大小按指数规律妇( - ，：。) 衰 减，且第二项的总强度是实点源的两倍，符号与之相反，如图2 , 3 2 所示。部分 流边界条件下的光源函数为 1， s ( p ，z ，) = j ( o ，z 。) 艿f + 占( o ，一z 。) 占( f ) 一甲( ) 6 ( o 一( + 伪j ( f ) ( 2 3 2 s ) 。bb 将光源分和函数( 2 3 2 3 ) 式与o o ( nz ，f ) 取卷积，得到部分流边界条件的时变漫 射方程的格林函数解为【珍。3 7 1 ： 中沁，牡石高；脚c 讹c f 却 一生乏 + 脚 ( z + i z o 五) 2 石+ p2 第二章光在双层散射介质中传输的理论基础 一昙f 脚却 - 也孝攀 亿s 瑙， 其中z e = 1 1 + 一r 尺帮g f f2 。，是从衰减的镜像光源上的某点到z = - - z 0 点的距离。稳态 漫射方程的解为”3 7 】： 中( n z ) ：1 ” 7 4 m 9 云f 脚( 一丢 印 2 3 2 3 外推边界条件的格林函数解 外推边界条件是假设介质的物理界面上的辐射强 度并不为零，辐射强度的零点实际上位于介质表面外 z 。2 可l + r e gj 2 气处。外推边界条件的形式为撕，3 8 】 中，2 = 一，f ) = 0 ( 2 ，3 2 8 ) ( 2 3 2 7 ) i m a g e - 10 一( 2 z a + ) e x l r a p o l a t e d b o m d a r y 一2 。一z b 为了满足( 2 3 2 2 ) 式的边界条件限制，必须在介质外f i g 2 3 3 s o u r c ed i s t r i b u t i o nf o 。 z = 一( 2 2 6 + z 0 ) 处引入镜像光源，光源的大小与实光源 “t r a p o l a t e d b o u n d a r yc o n d i t i o n z = 点处的相同，符号相反，如图2 3 3 所示。外推边 圈2 3 3 外推边界条件的光源分 界条件下的光源函数为 s ( p ，z ，f ) = 艿( o ，z o ) j o ) 一5 ( 0 ，一( 2 z 。+ z o ) ) 万( f ) f 2 3 2 9 ) 将光源分卸函数( 2 3 - 2 7 ) 式与中。( p ，z ，f ) 取卷积得到时变漫射方程的解为3 7 巾 忙石荔脚c 他c 叫脚卜志卜脚 _ 去 c z i s 。， 斟一 型洲 k 一型k州厂堕型k 叫 、l， i f 2 p + 一i医 咿一 + 一 + 一咿 + + i 旷一 一 十 叫昭 兰兰童堂垄翌堡垫塾! ! 垦! 堡塑塑堡笙堑型一 其中：后可i 孑 质解为“”】： ：x - p2 + ( z + z o + 2 2 0 2 。稳态漫射方程的半无限介 中c 舻，= 。扰1 1 1 脚c 一够_ ，一毒脚c 一物吒， ( 2 3 - 3 1 ) 2 3 2 双层散射介质的漫射方程解 这一部分我们主要讨论双层散射介质漫射方程的解，包括格林函数解和空 间傅立叶变换解。 2 3 2 1 浸射方程的格林函数解1 1 2 l 利用格林函数求解双层散射介质的漫射方程，与上 述求解半无限均匀散射介质漫射方程解的思想相同。首 先，双层散射介质能流密度在边界处满足下列边界条件 ( 注：图中所示为脉冲点光源入射的光源分布情况，且此 处建立的坐标系与前面三组的坐标系不同，具体如图 2 3 4 所示1 ： 昙中( p ，o + ，f ) ：拿巾( p ，o 一，f ) 叱 o z o ( p ，o + ，f ) = b o ( o , o 一，f ) ( p ，d + 气，f ) = 0 9 。垫坚! ! ) e x 打a p o i a t e d b o u n d a r y -f 骂蹬d + 函 瓣藤糕黧麟 7 - 一f 牟；o j ，一彤o t ，o 珂嬲吖 22 蓦嬲o j 鬃筑戮参芳簇磐獯澎篓 f i g23 - 4 s o u r c ed i s t r i b u t i o nf o r t w o l a y e r e dm e d i a 幽2 3 4 双层散射介质的光源分布 其中a = d 2 o l ，b = n ? n ；。j e a n m i c h e lt u a l l e 等研究符合上述边界条件的具 有s ( p ，z ，t ) 实光源分靠的漫射方程，具有下面的光源分布函数形式 蹦p z ，f ) ： l + ( 1 州，) 妻( 是属 ( 1 + 蠢r ) s b 纠) ( 2 3 - 3 5 ) l ldjj 其中克，和竟。分别为使( 2 3 3 0 ) 条件和( 2 3 3 1 ) 条件满足的作用算符， 关系： k j ( z ) = 一f ( 2 ( d + z 。) 一z ) 矗。d = f d z s r ( p ，z ，z7 ，f ) 孬盯( p ，z ，f ) 有下列作用 r 23 3 6 ) f 2 3 3 7 ) 封 柳 抛 磁 粥 亿 2 q 笙三垩垄垒坚星墼塾尘垦! 堡塑塑堡堡茎型 一 其中( ：) 为任意关于自变量z 的函数，d ( p ，z 7 ，f ) 为任意实光源的分布函数，面符 号为一维卷积符号，岛( p ，z ，z ，f ) 和岛( p ：，z ，f ) 具有如下形式 s r ( p ，z ，z ，f ) = 占( p ) 占( z + z ) 占( f ) 一4 a d 2 p ( 一z z ) g 1 2 ( p ，a ( ：+ z ) ，f ) ( 2 3 _ 3 8 ) 从f 2 3 3 5 ) 式可以看出，位于z = d + ：处的脉冲点光n i , ( r e a l ) 的镜像光源为： 为满足边界条件( 2 3 3 4 ) 的限制的镜像光源i m a g e l ：为满足边界条件( 2 3 3 2 ) 和 ( 2 3 3 3 ) 的限制的镜像光源i m a g e 2 。同时由于引入镜像光源i m a g e 2 ，为满足( 2 3 - 3 4 ) 的限制引入的镜像光源i m a g e 3 。 将光源分布函数( 2 3 3 5 ) 式与半无限均匀介质的格林函数的解取卷积，得到 双层散射介质漫射方程的解 q b ( r ，f ) = g l s 口( 2 3 - 3 9 ) 进一步计算上式，得到 m ( p ，z ，f ) = m o ( p ，z ，f ) + 巾。( p ，= ，z ，f ) 一m 。( p ，2 ( a + z 6 ) 一z ，z ，f ) 巾。( p ，z ，2 ( a - i - z 6 ) 一z ，t ) + m 。( p ，2 ( d + z 6 ) 一z , 2 ( d + z b ) 一z ，f ) ( 2 3 4 0 ) 其中o 。为半无限均匀散射介质自由边界条件