（应用数学专业论文）用径向基方法求解椭圆及抛物方程边界确定反问题.pdfVIP

摘要 在生产实践及工程技术中，经常要确定物体的无法观测到的部分边界的位置和 形状等。例如在高炉炼铁过程中，炉壁受到腐蚀而随着时间不断变化，我们希望知道 腐蚀的情况。现有的很多对于这类问题的研究都是针对某一时刻的静态情况进行的。 本文给出了具有n e u m a n n 边界条件热传导方程的随时间变化的边界确定反 问题模型以及椭圆方程边界确定反问题模型，用拟牛顿方法分别进行求解，并对几种 不同情况给出了的数值计算结果。 对正问题的计算以及目标函数梯度的计算我们采用径向基的配置法，它是一 种无网格方法，是近几十年才发展起来的，它只需节点信息，不需网格剖分。 通过本文，我们发现运用径向基函数配置法求解偏微分方程及其反问题效率 很高，而且计算结果也非常精确。 分方程 关键词：径向基，配置法，反问题，拟牛顿方法，n e u m a n n 边界条件，偏微 2 a b s t r a c t i np r o d u c i n g p r o c e s sa n de n g i n e e r i n gm e c h a n i c s ，w e o f t e nw a n tt ok n o wt h es h a p e o rl o c a t i o no fa ni n a c c e s s i b l ep a r to ft h eb o u n d a r yo fa no b j e c t f o re x a m p l e ，d u r i n g t h ep r o c e s so fp r o d u c i n gi r o nf o r ma ni n d u s t r i a lf u r n a c e ，t h ei n s i d eb o u n d a r yo ft h e f u r n a c ei s c h a n g i n gc o n t i n u o u s l yb yc o r r o s i o n ，a n dw ew a n tt o k n o wt h ec o n d i t i o n o fc o r r o s i o n m o s tr e s e a r c h m e n t sa b o u tt h i sp r o b l e mh a v ef o c u s e da ts t a t i o n a r yh e a t c o n d u c t i o n i nt h i sa r t i c l e ，w e l lp r o v i d et h eb o u d a r yd e t e r m i n a t i o ni n v e r s ep r o b l e mm o d e l so fh e a t c o n d u c te q u a t i o n sw h i c hb o u d a r yc h a n g e sa st i m eg o e sb ya n de l l i p t i c e q u a t i o n sb o t ho fw h i c hs a t i s f vt h en e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n w e l l lu s eq u a s i n e w t o nm e t h o dt os o l v et h e s et w ok i n d so fi n v e r s ep r o b l e m st h e ns o m en u m e r i c a l e x a m p l e sa r ep r o v i d e da b o u tan u m b e ro fd i f i e r e n tc a s e s w eu s er a d i a lb a s i sf u n c t i o nc o l l o c a t i o nm e t h o dt os o l v et h e s et w ok i n d so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dc o m p u t et h eg r a d i e n to f o b j e c tf u n c t i o n s r a d i a lb a s i s f u n c t i o nc o l l o c a t i o nm e t h o di so n eo ft h em e s h l e s sm e t h o d s ，i th a sb e e nd e v e l o p e d d u r i n gt h er e c e n td e c a d e s t h i sm e t h o dn e e d so n l yt h ei n f o r m a t i o no fp o i n t sw i t h o u t p r o d u c i n gm e s h f r o mt h i sa r t i c l e ，w e l lf i n dt h a tr a d i a lb a s i sf u n c t i o nc o l l o c a t i n gm e t h o di s a v e r ye f f i c i e n ta n da c c u r a t em e t h o df o rs o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di n v e r s ep r o b l e m s k e y w o r d s ：r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，c o l l o c a t i n gm e t h o d ，i n v e r s ep r o b l e m ，q u a s i n e w t o nm e t h o d ，n e u m a n nb o u d a r yc o n d i t i o n 3 l引言 在实际生活以及生产实践中，经常要确定物体的内部信息或是无法观测到的 部分边界的位置和形状等，无论从经济上还是从安全性上考虑，这些信息对于生活 及生产都是非常重要的。比如在生产零件时，由于技术和设备的原因，内部可能会产 生裂缝，如果有裂缝，这个零件就是次品，但这个裂缝是无法看到的；再比如在高炉 炼铁过程中，由于化学反应以及热一机械压力，炉壁会受到一定程度的腐蚀，在整个 过程中我们希望知道腐蚀的情况，以防炉壁洞穿。但是炉内温度很高，我们无法观测 到炉壁的位置和形状，在实际生产中，通常是在炉内的某些位置放上热电偶，通过测 量出的温度值来推测腐蚀的情况。 为了解决这类问题，m c i v e r 1 4 和m i c h a e le ta 1 【15 发明了非破坏性试验 方法( n o n d e s t r u c t i v ee v a l u a t i o nt e c h n i q u e ) ，在已知边界通上交流电，通过观测输 出电流来确定腐蚀的边界。这种方法被广泛应用于工业生产中。g e s a v r o u l a k i s 和 h a n t e s 发明了过滤迭代方法( f i l t e r d r i v e ni t e r a i v et e c h n i q u e ) ，并将之应用于工程 机械的单侧裂缝确定问题( 参见( 1 0 ) 。热图像法( t h e r m a li m a g i n g ) 也是解决这类 问题的一种方法，将规定的热流加在物体的表面，然后测量表面的温度，从这个信 息就可以决定物体的内部热学性质以及部分未知边界的形状。热图象法是检测飞行 器内部侵蚀的一个有效工具，并且在医学及工业中也有着广泛应用( 参见 1 1 】 1 2 ) 。 k u r tb r y a n 和l e s t e rf c a u d i l l ，j r 对这个问题的唯一性进行了研究1 3 1 。 这些问题的求解大多可以归结为一类偏微分方程的反问题。目前对这个问题 的研究多集中于椭圆问题，即未知边界是固定的情况，而对于抛物型方程未知边界 随时间变化的情况研究较少。例如，对高炉炉壁变化情况的研究多是针对某一时刻 的静态热传导情况进行的。常用的数值方法，例如有限元法和有限差分法，有限元法 需要对区域进行网格剖分，当区域比较复杂，尤其是在三维空间中生成高质量的网 格是很困难的；差分法用于处理不规则区域时误差很大。而且由于这类反问题对初值 的极端敏感性，初始离散化区域时的极小误差都会对结果产生很大影响。 本文主要是采用径向基函数配置法( m 3 f ) ，对具有n e u m a n n 边界条件的椭圆 方程的边界确定问题以及边界随时间变化的一维热传导方程进行研究，并给出了一 些数值实验结果。径向基函数配置方法是一种无网格法，是近几十年才开始研究的一 种方法。它的应用是从径向基插值开始的渗见 7 ，径向基插值的来源最早可能是 k i r g e ，他在1 9 5 1 年把矿藏沉积看成是一个各向同性的稳定的随机函数的实现，从而 导出了广泛应用于矿藏分析的k r i g i n g 方法。在这一方面的进一步深入的理论工作的 研究主要是由m a t h r o n 完成的，1 9 7 1 年，h a r d y 用多二次径向基函数m u l t i q u a d r i c 来处理飞机外形设计曲面拟合问题，取得了非常好的结果， 1 9 7 5 年d u c h o n 1 6 ，1 7 1 从样条弯曲能最小的理论出发导出了多元问题的薄板样条。这些从不同领域产生的 方法，事实上都是径向基函数的插值方法。 除了径向基函数的插值可以直接并且已经大量地应用于地质勘探、外形设 计等作为散乱数据插值或者逼近的领域外，在偏微分方程数值解以及神经网络的构 造方面也有着很好的应用。关于径向基函数配置法的应用可参见 3 】，f 4 ， 2 7 1 ， 2 8 。有 关使用径向基函数配置法解偏微分方程的唯一性、稳定性等方面的证明可参见 8 】， 9 本文第一部分我们讨论了正问题模型，分别对具有n e u m a n n 边界条件的椭圆 方程及热传导方程进行了数值求解，从中可见径向基函数配置法是一种效率高而且 精度很高的方法。第二部分给出了反问题的数学模型，并用拟牛顿法对多种情况进 行求解，对目标函数的计算我们也采用径向基函数配置法，从中可以看出径向基函 数配置法对于求解反问题也是非常有效的方法。 2 2用径向基方法求解椭圆方程边值及抛物方程的初边值问题 2 1 径向基函数擂值 用径向基的配置法求解偏微分方程的主要思想就是首先选定一个函数空间 v = 妒( q ) ，勺= | | z x jj | 表示x 和节点q 之间的径向距离，用一组径向基函数 妒( r ，) 的线性组合来逼近所求函数，最终归结为一个求解线性方程组的问题，我们只 需知道节点的信息，而不需要进行复杂的剖分。 几种常用的径向基函数： g a u s s 分布函数： e ” 立方( c u b i c ) 分布函数r 3 m u l t i - q u a d r i c 函数：f c 2 + r 2 ) i n v e r s em u l t i q u a d r i c 函数：f c 2 + r 2 ) 一j t 薄板样条( t h i np l a t es p l i n ) ：r 2l n ( r ) ，r 2 n + 1 f r a n k 曾做了大量各种散乱数据插值方法的实例比较，得到的结论是：径向基函 数插值的结果最能令人满意( 参见 2 9 ) 2 2求解椭圆型方程边值问题 2 2 1 正问题模型及计算方法 考虑椭圆方程： f u = ，( z ) z qcr ” ( 2 2 1 1 ) u h = 0 r lca q ( 2 2 1 2 ) 【器l r ，= 0 r 2ca q ，r lu r 2 = o a ( 2 2 ，1 3 ) 问题的计算： 在区域q 的闭包孬插入个点z l ，z 2 ，z _ v ，其中，。l ，。2 ，茁p r l ， x q + 1 ，3 9 q + 2 ，x n r 2 ，2 7 p + l ，x p + 2 ，z q 为内部节点， 设径向基函数为叻( 。) ，令“( 。) = ( z ) ，代入上面的方程( 2 2 1 i 一22 1 3 ) j = l 得： 3 m 妒j ( x i ) = ，( 甄) i = p + 1 ，p + 2 ，q ( x i ) = 0i = l ，2 ，尸 刍岩= 0 1 = q + 1 ，q + 2 ，一， 妒1 ( 茁1 )妒2 ( z 1 ) 妒_ ( z 1 ) i妒，。! 尸，妒。：p ， ： 妒：z p ， 记：g = f a 饥( z q ) 筹( z ) 警( z v ) 妒1 ( z 1 ) ；f 妒。( z 。) 炉i ； i 妒。( 。) a 妒2 ( x q ) 鲁( x q + i ) 等( 茁) f ，o l l 、i 吉：l 啦i 4 a 咿n ( z q ) 警( + - ) ( 221 4 ) f 2 215 1 ( 221 6 ) u 一 聊 鲥 嘶 学君赳 十 o o：o印， 叼o o o ， 、，八=_川l 1 2 v 吼现 啊 ，；， 小小出 蛳m 蛐茏蜥 所以 那么，由上面的离散方程( 2 2 1 4 ) 一( 2 2 1 6 ) 有 g 古：f 从而求得 古= g - t f u = 击召 ( 22 1 7 ) ( 221 8 ) ( 2 2 19 ) 即求得“。( i = 1 ，2 ，) 2 2 2 数值结果 例1 ：一维椭圆问题： ly ”= 一s i n ( z ) ( 0 z j 1 f ) y ( o ) = 0 iy l ( i ) = 0 此问题的真解为y = 鲥n ( z ) ，在 0 ，i l r 内配置9 个节点，下面( 表2 1 ) 给出选用 径向基函数( 茁) = 0 一码) 5 计算所得的结果： 位置精确值计算值相对误差( 1 0 3 ) o0oi n f 0 1 9 6 30 1 9 5 1o 1 9 5 20 3 5 5 1 0 3 9 2 60 3 8 2 70 3 8 2 70 2 4 5 4 0 5 8 9 00 5 5 5 60 5 5 5 60 1 5 9 0 0 7 8 5 30 7 0 7 10 7 0 7 20 1 4 4 2 0 9 8 1 70 8 3 1 40 8 3 1 60 1 9 4 7 11 7 8 00 9 2 3 90 9 2 4 10 2 6 8 0 1 3 7 4 40 9 8 0 70 9 8 1 00 3 1 1 8 1 5 7 0 711 0 0 0 3o 3 1 1 9 表( 2 1 ) 5 例z ：二维椭圆问题： 誊v u 三= i - - ! y ：呱司( o z 暑。1 ) 其精确解为：“= y s i n x ，我们在区域 o ，j 】 0 ，1 内配置4 3 个节点，下面( 表2 2 ) 是我们选用径向基函数【l v j ( z ) = e z p ( ；( ( z x j ) 2 + ( y y j ) 2 ) ) 计算所得的结果： 6 节点坐标精确值计算值相对误差( 1 0 4 ) ( 丽 t r ，0 ) 00i n f ( 警，0 ) o0i n f ( 器，0 ) o0i n f ( ；，0 ) 0oi n f ( 鼍，0 ) 00i n f ( j ，0 ) 0oi n f ( 最，0 ) o0i n f ( 0 ，0 ) 0oi n f ( 0 ，o 2 5 ) 00i a f ( 0 ，0 5 j 00i n f ( 0 ，0 7 5 ) 0oi n f ( 0 ，1 ) o0i n f ( 焉，1 ) 0 1 9 5 00 1 9 5 0 0 0 9 1 5 ( 吾，1 ) 03 8 2 603 8 2 60 0 9 3 2 ( 嚣，1 ) 05 5 5 505 5 5 5 0 0 4 1 3 ( 晋，1 ) 0 7 0 7 10 ，7 0 7 1 0 0 2 4 9 ( 罴，1 ) 0 8 3 1 40 8 3 1 4 0 0 3 3 1 ( 警，1 ) 0 9 2 3 80 9 2 3 8 0 0 3 8 8 ( 等，1 ) 0 9 8 0 70 9 8 0 70 0 3 4 9 ( 景，0 ，2 5 ) 0 0 4 8 70 0 4 8 70 7 6 8 4 ( 景，o 5 ) 0 0 9 7 50 0 9 7 5 06 1 8 5 ( 器，0 7 5 ) 0 1 4 6 30 1 4 6 30 1 3 0 9 ( j ，0 2 5 ) 0 0 9 5 60 0 9 5 6 02 2 9 5 ( ；，o5 ) 0 1 9 1 30 1 9 1 30 1 9 9 9 ( 吾，0 7 5 ) 0 2 8 7 00 2 8 7 0 0 1 6 0 5 ( 器，0 2 5 ) 0 i 3 8 80 1 3 8 8 0 0 9 6 3 ( t ”e ，o 5 ) 0 2 7 7 70 2 7 7 7 0 1 4 0 8 ( 嚣，o7 5 ) 0 4 1 6 60 4 1 6 6 0 0 4 3 0 ( i 7 r ，o 2 5 ) 0 1 7 6 70 1 7 6 7 0 2 6 5 3 ( j ，0 5 ) 0 3 5 3 50 3 5 3 50 0 9 4 5 ( 吾，o7 5 ) 0 5 3 0 30 5 3 0 30 1 7 4 8 ( 器，o2 5 ) 0 2 0 7 80 2 0 7 8 0 1 2 2 7 ( 杀，o 5 ) 0 4 1 5 70 4 1 5 7 0 0 0 1 6 ( 案，o 7 5 ) 0 6 2 3 60 6 2 3 6 0 1 4 3 1 ( 警，o 2 5 ) 0 2 3 0 90 2 3 0 9 0 0 8 0 3 ( 警，o 5 ) 0 4 6 1 90 4 6 1 9 0 0 2 1 3 ( 箐，o 7 5 ) 0 6 9 2 90 6 9 2 9 0 0 5 6 4 ( 籍，o 2 5 ) 0 2 4 5 1o 2 4 5 1 0 0 9 7 5 ( 朵，o 5 ) 0 4 9 0 30 4 9 0 3 0 0 7 4 7 ( 篆，o 7 5 ) 0 7 3 5 5 0 7 3 5 50 0 7 6 4 ( ；，0 2 5 ) o0 i n f ( ；，o5 ) 0 50 4 9 9 9 0 0 4 9 1 ( ；7 r ，1 ) 1 1 0 0 0 00 0 2 8 0 表( 2 2 ) 2 3求解抛物型方程初边值问题 2 3 1 正问题模型及计算方法 f 瓦o u 一“= f ( x ，t ) q ( t ) ) 0 ) 的值 2 3 2 数值结果 例：考察如下的一维热传导方程 其中l ( t ) 为右边界，工( ) = 2 + l o t 其精确解为：u = 譬一( 1 0 t + 2 ) z 每一步配置儿个节点， a t = 0 0 0 1 ，下面( 表2 3 ) 是我们选取径向基函数 1 0 o o o 蹴瑞 u 叶 一u 抖 啦九 哼 闰 | | 叶 以昕 丁 n 一 “吖 z 叫 一 一 眦幺 r 。划 辔舻舻一 舰一眦呱“抛丽 ( z ) = ( z 一巧) 5 计算所得的结果 位置精确值计算值相对误差( 1 0 一1 2 ) o00i n f 020 4 3 0 004 3 0 000 0 1 6 0 408 2 0 00 8 2 0 00 0 0 2 8 0 61 1 7 0 01 1 7 0 00 0 0 0 3 0 814 8 0 014 8 0 00 0 0 0 4 11 7 5 0 01 7 5 0 0o 1 21 ，9 8 0 01 ，9 8 0 00 0 0 0 2 1 421 7 0 02 1 7 0 00 0 0 1 1 62 3 2 0 02 3 2 0 000 0 0 2 182 4 3 0 02 4 2 9 90 0 0 2 7 2 2 525 3 1 22 5 3 1 200 5 6 1 表( 2 3 ) 2 4 小结 在本章中，我们给出了椭圆边值及抛物型方程初边值问题的模型，并给出了用 径向基配置法求解的详细推导过程，通过三个具体实例的计算，我们可以看出：用径 向基的配置法求解偏微分方程，结果非常精确，具有很好的可行性 3 用径向基方法求解椭圆及抛物方程边界确定反问题 3 1问题的提出 在数学物理中，常需要研究数理方程的正问题，然而，在实际中常常会遇到与 求解正问题相反的情况，作为代表某种物理场的微分方程，我们不仅知道它应取的 初、边值，而且还可以观测到解( 场) 的某些其他附加信息但是反映场源结构的某 些物理参数和几何参数却作为未知量出现在微分方程中，要求我们利用解的附加信 息去反求未知参数，这就是数理方程反问题。 反问题的研究范围很广，不仅包括对椭圆、抛物方程的研究，近年来对双曲、混 合反问题的研究也日益活跃起来反问题研究的类别主要包括参数识别问题，源的 反问题，拟时间过程反问题，即确定初始条件的反问题，边界控制反问题和几何反问 题。对抛物方程的研究主要集中在确定非线性热源或边界域问题上。这些问题最终 可以转化为求解最优化问题。 近年来，对于椭圆方程部分边界的反演问题已经取得了一定的进展，对高炉炉 壁的位置及形状确定的反问题也多归结为静态情况( 即椭圆型方程) ，但用径向基函 数配置法求解的研究还不多；而对于抛物型方程边界的反演问题的研究就更少了。 这部分就是讨论用径向基函数配置法求解这两类方程的边界确定反问题，对于热传 导方程我们根据客观实际，考察边界随时间变化的情况。 3 2 拟牛顿法 最优化问题的一般形式为 m m ( q ( p ) ) s t p x 其中p i v 是决策变量，q ( p ) 为目标函数，xc 舻为约束集或可行域。 几乎所有的解优化问题的数值方法都是迭代方法，即给出目标函数q ( p ) 最优 值p + 的一个初始估计p o ，迭代出一个数列p 。使得在某些有关矿及q 的条件的约 束下，矿收敛于p + 。而大部分迭代方法是下降算法，即在几乎每一个迭代中都有 q ( p 1 ) sq ( 矿) 。为了说明下降算法，我们先定义下降方向：d 为函数q 在点万 的下降方向( d o w m h i l l ) ，当且仅当v q ( 芦) 。 0 一般的下降算法可以写成下面的形 1 2 式 1 给定p + 的一个初始估计p o 令k = 0 2 计算下降方向d 女使得v q ( p ) 巩 0 3 计算。k 使得q ( p + 矿d k ) q ( p ) 4 计算p “：p a + 1 = p 2 + 0 ：k d k 5 若p 1 满足给定的收敛准则，即停止； 6 令k = + 1 ，转至2 通常算法的收敛准则( 或称停止法则) 是由下面的一些条件组成 p ( + 1 ) 一p ( 七) i l e l i q ( p ) 一q ( p ( ) l i e 2 或 j | v q ( p ( + 1 ) l e 3 有关停止法则方面的详细说明可见 3 7 ，3 8 】等。 显然最直接的一种下降方向可选为d = 一口q ( p k ) ，以此为基础的迭代算法即 所谓的最速下降法( s t e e p e s td e s c e n tm e t h o d ) 实践证明这一算法通常收敛较慢， 而比较有效而简单的一种算法是拟牛顿( q u a s i n e w t o n ) 算法 设p k + 1 = p + d t 由t a y l o r 展开得： q ( 矿+ 1 ) zq ( 矿) + t t q ( p 。) d t 十；d ：日( 矿) 血( 3 2 1 ) 若呶使q ( p k “) 最小，则v q ( p 1 ) = 0 。假设h e s s e 矩阵日( 矿) 非奇异，由( 3 ，2 ，1 ) ，我们有呶= 一日( 矿) _ 1vq ( p ) 建立在下述下降方向基础上的算法称为牛顿算 法。在牛顿算法中，计算h e s s e 矩阵需要计算目标函数的二次偏导，在实际应用中 这种计算通常很复杂，而且计算量很大，加上h e s s e 矩阵可能出现奇异性和病态， 所以牛顿算法的可行性较差。 拟牛顿法引入了计算h e s s e 矩阵( 或其逆矩阵) 的近似矩阵碍。的一些简单易行 的迭代公式，为了避免大量复杂的二次偏导的计算，我们用p j ，q ( p j ) 及口q ) 0 = 1 3 ，4 - 1 ) 来构造一列矩阵日，使得若p ( 。) 趋向于问题的解p 4 ，则日。zh 。( 矿) 构造日。的方法一般用d f p 公式或者b f g s 公式： d a v i d o n f l e t c h e r p o w e l l ( d f p ) 公式： h k + l = m 第一两h k y k ( y ) h k s 矿( o ) 日2 扩 b r o y d e n f l e t c h e r s h n n n d ( b f g s ) 公式： 胪1 纠”+ 筹，筹一熊铲 其中8 2 = p 1 一矿，y 2 = v q ( p 蚪1 ) 一v q ( p k ) 用拟牛顿法求解最优化问题的步骤： 1 初始化：选取适当的p o 研，令h o = i ，= 0 计算q ( p o ) ，v q ( 矿) 2 搜索方向的计算：计算搜索方向向量d k = 一h 。vq ( p o ) ( 如果v q ( 矿) = 0 ，则说明p = p 2 时取到最小值，结束计算) 3 一维搜索：解一维最优化问题 咖q ( p 。+ t d 。) 求出t = t 令p 2 + 1 = p k4 - t k d 4 矩阵日。的更新：由h 2 及妒到一+ 1 的梯度向量的变化决定出，可利用d f p 或b f g s 公式 5 回到( 2 ) 3 3 一维搜索方法 所谓一维搜索，又称线性搜索，就是指单变量函数的最优化。它是多变量函数最 优化的基础。如前所述，在多变量函数最优化中，迭代格式为： p + 1 = p 2 + “出 1 4 其关键就是构造搜索方向血和步长因子t t 。设 妒( t ) = q ( p k + t d k ) 这样，从p 。出发，沿搜索方向d k ，确定步长因子t b ，使 妒( “) o l q ( p + t d , ) q ( p ) )( 3 3 1 ) 是一个区间为了保证目标函数单调下降，同时要求，的下降不是太小( 如果f 的 下降太小，可能导致序列 q ( 矿) ) 的极限值不是最小值) ，必须避免所选择的t 太靠 近区间，的端点一个合理的要求是： q ( p + 乳) s q ( p 2 ) + p g k s kf 3 3 2 1 1 5 其中0 p 1 令a o = 0 ，b o = + 。( 或k 。，k ：0 ) 2 检验准则( 3 3 2 )：计算妒( 如) ，若 妒( “) s 妒( o ) + p 靠妒( 0 ) 转步3 ；否则，令a k + l = a * ，b + l = t k ，转步4 。 3 检验准则( 3 3 3 ) 若 妒( “) 2 妒( o ) + ( 1 一p ) t k 妒( o ) 停止迭代，输出“；否则，令a l e + l = ，以+ ! = 巩若k + i + o 。，转步4 ；否 则，令t k + l = c t k ，女= 女+ l ，转步2 4 。选取新的探索点，取 k + l 5 a k + li + b k + l 令k = + 1 ，转步2 2 ：简单准则和后退方法 在实际中有时仅采用( 3 3 2 ) ，并要求t 不太小，我们把这种仅利用准则f 3 3 2 1 的做法叫做简单准则。后退方法就是利用这种简单准则的不精确一维搜索方法。 1 6 其思想为：开始时令t = 1 如果矿十t d t 不可接受，则减少t ( 即后退) ，一直 到p + t d k 可接受为止。 具体算法如下： 给出p ( 0 ，05 ) ，0 f u l 1 取t = 1 2 试验 q ( p + t d ) q ( p ) + p t g ：d k 3 如果( 3 3 2 ) 不满足，取t = w t ，w 【l 】u ，转步2 ；如果( 3 3 2 ) 满足，取“= p 。+ 1 = p 2 + t 以 为了防止t 太小和循环出现，常常在上述算法中增加保险措施，即给出一个最小步 长m i n s t e p ，如果准则( 3 3 2 ) 不满足，但l lt d i i m i n s t e p ，则线性搜索也终止。 3 4求解椭圆型方程边界确定反问题 3 4 1反问翘模型 考察方程( 2 2 1 1 2 2 1 3 ) l “= ，( 茹) z qcr ” 岫。= o r 1c a q i 嚣k = 0 r 2 ca q ，r l u r 2 = 勰 假定边界r 2 未知，而知道u 在内部区域或是已知边界r l 上的几个测量值 钆。，珏。一，u 。、，( 1 m i ，f 珊，m q ) ，要同时求出r 2 和口。 给定不同的r 2 ，求出来的u 不同，如果髓找到b ，使得计算出来的u 和测量到的 u 很接近的话，那么就可以认为r ；及根据e 计算出来的缸+ 就是所要求的解。这样问 题就转化为求解下面的最小二乘问题：记f = ( 性。( 砖一甥，) 2 ( i = l ，2 ，入) ， 1 = l 求m i n ( f ) 其中，u 焉是节点m t 的测量值 1 7 p = ( z 日+ 1 ，z o + 2 ，x n ) t u 。( p ) 为，给定( 即r z 给定) 的情况下计算出来的第m ；个节点的值，可由 ( 22 ) 中的求解正问题的方法求出 3 4 2目标函数梯度的计算 由f 的表达式f 2 至( u 量，( p ) 一“m m 。) 2我们知道骜= 2 妄( u 毛，( p ) 一“：。) 等 其中u 篡，为巳知的，“袅；( p ) 对给定的p 也可以求出来，如果再求出豢，那么对参 数的各个分量的偏导就可以求出，从而求出f 的梯度。这样，计算f 萌梯度的问题 就转化成求解塑a p 叠j 的问题。 由方程( 2 2 1 9 ) u = 咖矗得 a u a 西。a 冒 雨2 丽妒雨 又由方程( 2 2 1 7 ) g 言= f 得 孚吉+ g 孚：o op)dp3 故： 寡= - g - 1c 寡古， 而 盟一 a “一 0 鹄掣0 d o o 0 1 1 9 0 p 2 j ! ! 1 2 0 0 赤( 妒q + j ( x p + i ) ) 0 ( 3 4 2 1 1 f 3 4 2 2 1 ( 342 3 ) o0砉( 妒口+ j ( z o ) ) 0 赤( 磐( z 州) ) 者( 鬻( 。+ 1 ) ) 杀( ( z 。t 1 ) ) 南( 纽o nk v ) )者( 等( 。) ) 1 8 者( 警( z w ) ) o 0 n 老( 妒- ( z 。+ ，) ) o o o 0 0 若( 妒q 十，( z q + j ) ) 0 赤( 妒q + j ( 知 ) ) 0 者( 妒日+ i ( x q + 川) ) 0 0 a 卫p j ( 妒。+ j ( z ) ) 0 再由( 3 4 21 ) 就可以求出呐o c c ，也就可以得出筹，即求出v f 3 4 3 数值结果 例一：一维椭圆问题： l 圹= 一s i n ( z ) ( 0 z d y ( o ) = 0 ly ( l ) = 0 工为待确定右边界，已知y 在z = 蠢，；的测量值，用拟牛顿法求解，结果如下 f 表3 1 ) ； l 精确值初值解相对误差( 1 0 - 5 1 j 三 匹 丌1 5 7 0 75 7 2 2 3 7 r 1 5 7 0 75 ，6 6 f l 24 例二；考察如下的二维椭圆问题 表( 3 1 ) ( 0 z 9 ( 口) ，0 y 5 ) r ：z = 9 ) 为未知边界，挖为r 的外法向。此问题具有真解r ：2 = j ；虹= 1 9 0 o o o 0 1 2 z o j ， + + 口 0 妒妒 旦锄旦 o 0 扛 以 跏o 0 拈 q i i = 1 1 0 = 们= &畎叫呱熟鼽 ，fij、ll 我们假定知道区域的已知边界上的1 0 个点的测量值，在未知边界上配置几个 点，并以折线描绘未知边界，下面给出几种不同情况的算例： 第一种情况：假定已知区域为0sz 1 5 ，0 ys5 , g ( o ) = ，g ( 5 ) = j ，在未 知边界上配置三个点( x - ，1 2 5 ) ，( 卫2 ，2 5 ) ，( z 3 ，37 5 ) ，我们反演。的值，下面给出计算 结果( 表3 2 ，图31 ) 精确值( x )初值解相对误差( 1 0 删2 ) 翌 1 71 5 7 5 10 2 7 3 9 z 1 2 卫 1 7 51 5 7 4 50 2 3 5 7 lz 2 2 卫 171 5 7 8 10 4 6 4 91 茁3 2 表( 3 2 ) 图3 1 实线一表示真实边界； 虚线，_ 表示初始边界； 点线表示反演边界 第二种情况：假定已知区域为0 茎z 1 5 ，o ! y 茎5 ，在未知边界上配置三个点 ( 。，o ) ，( z ：，2 5 ) ，( z 3 ，5 ) ，我们反演z 的值，下面给出计算结果( 表3 3 ，3 4 ) ： 精确值( x )初值解相对误差( 1 0 2 ) 苎 1 71 5 7 7 20 4 0 7 6 z l 2 巴 1 71 5 7 3 60 1 7 8 4 z 2 2 翌 1 、71 5 7 2 60 1 1 4 8 z 3 2 表( 3 3 ) 2 0 【 精确值( x )初值解相对误差( 1 0 - 2 ) z 。 已 1 71 5 8 1 50 6 8 1 4 2 lz 。 世 1 7 515 7 1 7o 0 5 7 5 2 铂 班 1 + 71 5 7 9 10 5 2 8 6 2 表( 3 4 ) 第三种情况：假定已知区域为0sz 曼1 5 ；0 ys5 ，在未知边界上配置五个点 ( x t ，o ) ，( x 2 ，12 5 ) ，( x 3 ，2 5 ) ，( z 4 ，37 5 ) ，( ，5 ) ，我们反演z 的值，下面给出计算结果( 表 3 , 5 ) ： 精确值( x ) 初值解 相对误差( 1 0 - 2 ) 卫 1 71 5 8 7 51 0 6 3 4 z l 2 p i 1 7 51 6 0 3 52 0 8 1 9 茁2 2 墨 1 71 5 5 6 20 9 2 9 2 x 3 2 班 1 7 515 7 1 300 3 2 1 x 4 2 翌 1 6 516 0 1 6l9 6 l o x 5 2 例三：考察如下的二维椭圆问题 表( 3 5 ) a u = 0 ( 0 z 9 ( ) ，0 依次类推，我们可以求出u ；，( i = 1 ，2 ，j 】v ) 在任意时刻n a t ，( 挖 0 ) 关于 厶( z = 1 ，2 ，s ) 的导数值 注：易知，当0 nsr 时， 筹= 0 ( i = 1 ，2 ，一，；l = 2 ，3 ，一，s ) ；当 7 _ ns 2 下时，等= o ；( i ：1 ，2 ，；f = 3 ，4 ，s ) ；依次类推 3 5 3 数值结果 f 象一i 0 2 u = 一l o x 一1 ju ( z ，o ) = 孚一2 x ( o z 2 ) 1u ( o ，t ) = o 【爨l 础( 旷0 此方程具有真解：l ( t ) = 2 + l o t ，u = 0 2 一f 1 0 t + 2 ) z 假定知道u 在点z = o4 ，0 8 ，1 8 的测量值，首先我们考虑以真值作为测量值的 情况： 2 5 第一种情况：s = 2 ；r = l o ( 见表3 8 3 9 ) f 参数精确值迭代初值计算结果相对误差( 1 0 - 4 ) | l 1 212 32 0 9 9 524 2 8 5l l 2 2 22 52 1 9 9 42 7 7 1 2 7 i 表( 3 8 ) l 参数精确值迭代初值计算结果相对误差( 1 0 “) 【l ， 2 12 52 1 0 1 99 3 8 0 9 l 2 2 232 2 0 0 62 7 1 2 2 7 2 表( 3 9 ) 第二种情况：8 = 2 ；r = , 2 0 1 见表3 1 0 3 1 1 ) 参数精确值迭代初值计算结果相对误差( 1 0 3 ) fl 。 2 224 2 2 0 1 2 31 0 4 5 4 l 2 2 428 2 3 8 4 16 6 2 5 0 表( 3 1 0 ) j 参数精确值迭代初值计算结果相对误差( 1 0 叫) 1 il ， 2 22 52 1 9 9 618 6 3 6 j ll 。 2 4324 1 2 75 29 1 6 6 1 表( 31 1 ) 第三种情况：s = 5 ；7 _ = 5 ( 见表3 1 2 3 1 3 ) 参数精确值迭代初值计算结果相对误差( 1 0 叫) 三1 2 0 522 0 5 0 73 4 1 4 6 l 2 2 122 1 0 0 209 5 2 3 三3 2 1 522 1 4 9 04 6 5 1 1 工4 2222 1 9 9 71 3 6 3 6 l 5 2 2 522 2 3 4 46 93 3 3 3 表( 3 1 2 ) 参数精确值迭代初值计算结果相对误差f 1 0 _ 3 ) l 。 2 0 52 12 0 5 1 00 4 8 7 8 l 2 2 12 320 9 8 40 7 6 1 9 如 2 ，1 52 42 1 5 4 11 9 0 6 9 l 4 2 22 62 1 8 8 95 0 4 5 4 三5 2 2 52 82 2 6 1 45 0 6 6 6 表( 3 1 3 ) 2 7 下面我们假定三( t ) 已知，用通过( 2 3 1 ) 中方法计算得到的u 在点t g = 0 4 ，0 , 8 ，1 8 的值作测量值的情况： 第一种情况：s = 2 ；r = l o ( 见表3 1 4 - 3 1 5 ) i 参数精确值迭代初值计算结果相对误差( 1 0 - 3 ) i i工l 212 52 0 9 3 03 3 3 3 3 l il 。 2 232 ，2 1 6 87 6 3 6 3 i 表( 3 1 4 ) f 参数精确值迭代初值计算结果相对误差( 1 0 - 3 ) ll 。 2 1242 0 9 6 71 5 7 1 4 il z 2 232 2 2 0 09 0 9 0 9 表( 3 1 5 ) 第二种情况：s = 5 ；丁= 5 ( 见表31 6 31 7 ) 参数精确值迭代初值计算结果相对误差( 1 0 “) 三l 20 52 12 0 5 0 23 9 0 2 4 l 2 212 22 0 9 9 14 2 8 5 7 _ l 2 1 52 32 1 5 2 61 20 9 3 0 l 2 2 22 42 1 9 4 32 5 9 0 9 0 l 2 2 。2 52 52 ，2 6 5 16 7 1 1 1 1 表( 3 1 6 ) 参数精确值迭代初值计算结果相对误差( 1 0 “) l l 20 52 12 0 5 1 36 3 4 1 4 2 2 12 2 52 0 9 7 51 1 。9 0 4 7 l 3 21 52 32 1 5 4 71 2 0 9 3 0 上4 2 22 4 52 ，1 8 9 02 1 8 6 0 4 l 5 22 5262 ，2 6 6 37 2