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含周期缺陷的二维光子晶体的理论研究 专业：理工学院光学专业硕士生： 曾隽指导教师：汪河洲教授 摘要 光子晶体是人工制造的可对光子进行控制的周期性结构，它是拥有光子带隙特征的 新型光学材料其丰富的光学特性带来广阔的应用前景 本丈在理论上对含周期缺陷的二维复式光予晶体材抖进行了理论计算，使用平面波 展开法，有限时域差分法对材并的能带结构，先学响应和电场分布等从不同的角度进行 了研究讨论，将各种算法的不同优点相结合，揭示了这种含周期缺陷的二维复式光子晶 体材料的光学规律 把具有宽完全带隙的粗锐复合的周期常数为j 的二维正方格子再与周期常数为玉 的大周期简单正方格子复合，发现大周期正方格子起缺陷作用当m g m 。) ( 2 - 2 1 1 ) 为1 r 保证截断后，方程特征根的精度足够大，必须使截断量远远小于介 电函数。定义【4 】： 口；与一“( 2 - 2 - 1 2 ) 其中，c ( r ) - - - r ( g 矿 卿= f lp 1 2 = 卜( g 】2 ( 2 - 2 - 1 3 ) tc e l l w 正e h g v c e l l 为原胞体积，w s c e l l 表示积分范围为一个原胞。 更严格的定义为： 占【r ) = 孑+ 舭( r ) ；云【1 + ( r ) 】- ( 2 2 1 4 ) 口，；k 生! 竺8( 2 2 - 1 5 ) 肌手= 吉上耕( r ) - - - e ：兰g ( 1 - ) 对f 完全自由的光子，b4 1 。在光f 晶体中，介质介电函数的宅间周期变 化属f j b z 1 的情况。 第二章理论计算基础 研究表明，当平面波展开的个数与介电常数展开的个数相匹配时，截断 误差最小。h o ，c h a r t l 5 1 和s o u k o u l i s 比较了目前对珩r 作傅立叶变换作截断的 两种方法：一种是对g r 作傅立叶变换，然后截断，这会使e 。 e ( s l o w m e t h o d ) ：另一种是对( - ) 作傅立叶变换，截断后再求倒数，这会使。 ( h o , c h a na n ds o u k o u l i sm e t h o d ) 。结果表明：苕每个偏振态展开的平面波个 数为n 。，介电函数g ) 离散后作傅立叶展开的个数为n f f r ，则当n ，= n f f r 时，两种方法所得的结果最接近，即截断误差最小。同时，用第二种方法收 敛得较快。 2 2 2 平面波偏振态的设定 偏振态的讨论对二维的情况尤为重要。波矢为( k + g ) 的平面波，其磁场 的偏振矢量在垂直于( k + g ) 的乎面上，具有两个自由度。若a ，a ：是该平面 上的一组正交单位矢量，则h 可表示为( a + 厅：a ：) 。显然，这样的单位矢量 可以有无数种组合。为了方便计算以及方程组的统一，必须使正交矢量对的 选择满足一定的规律； 存本文的讳算中，用类似球坐标的方法定义a 和a ： 1 建立实验室固定直角坐标系； 2 p 罱p 单位矢量撇析坐繇 3 若( k + g ) = “+ g l ，口，妒) ，其中取向角。是波矢( k + g ) 与z 轴所成的 夹角，方位角叩是( k + g ) 在x y 平面上的投影与x 轴所成的角度： 和( - ，三以妒) = ( ，三，三+ 刁。( 2 - 2 - 1 6 ) 第二章理论计算基础 x 图2 - i 偏振单位矢量的设定 显然，a 是在z 轴与( k + g ) 构成的平面七，垂直于( k + g ) 的单位矢量，a ： 足x y 、f 面上，与( k + g ) 垂直的单位矢量。 故仃 和 s i n 矽c o s 妒= k ，+ g ， 。s i n 0 。s i n 妒= k y + g y c o s 0 = k ：+ g ： 。枷：业二曼丛2 堕 l k + g i c o s 钍尚 ，k r + g ， s i n 矿2 产2 = = = = = = = 兰= = = 2 号 ( 后。+ q ) 2 + ( 七，+ g ) 2 c o s 驴：。! ；兰呈； ( t + g ，) 2 + ( ，+ g ) 2 由t e t x ：= 孟c o s o c o s 口o = - - s i l l 口 = c o s 口 = 0 ( 2 2 1 7 ) ( 2 - 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 - 2 2 0 ) g g g + + + k k k ，j_，、liti_i 困 j y ：h h 第二章理论计算基础 设k + g 。= a ，k + g 。= b ，将( 2 - 2 1 8 ) 一( 2 - 2 2 0 ) 代入( 2 2 1 0 ) ， 则特征矩阵的矩阵元可表示为： q 2 n 2 m = k ( a 曲州i i g ，b y 以狄厅了厅可) ( q 2 n , 2 m + l = - - k ( a 山帆b y b , 鸭 ：狄厅可厅可) 9 2 n + 1 2 m = - - k ( a b b l ( b , a , a , - i o , 掣：狄厅了厅虿) 酬劬山， 孝等+ 厢叫 特殊情况下当( k + g ) 与z 轴的夹角很小时，( 2 - 2 - 2 1 ) 式中各个分母是趋 于零的小量，在计算机数值计算时会产生零溢出，因此，对于这类平面波， 磁场h 的两个偏振矢量方向设为： 诤( t ， ，。) ，( 畸，乏) 2 2 3 介电函数的傅立叶变换 用计算机对介电函数作傅立叶变换，必须作离散化的处理。首先将连续 的介电函数作抽样，在每个方向上取得n 个样本点，然后作离散傅立叶变换 ( d f t ) 。但是，要得到n 个点上的变换值，要进行n 2 次复数乘法和n ( n 1 ) 次复数加法，运算时间很长。因此，可利用快速傅立叶变换1 6 l ( f a s tf o u r i e r t r a n s f o r m ，f f t ) 算法计算茁( g ) 。 f f t 算法的精确度与样本点的数目有关，n 越大，结果越精确，但计算 时间也越长。对于某些二维的结构，可以直接用特殊函数描述介电函数傅立 叶变换的精确解析解。 假设一个二维光子晶体，其介电函数满足： 第二章理论计算基础 1 沿z 方向无限长圆柱，在x y 甲面卜具有一：维周期性r 址= ，l a l + ，2 a2 ， 倒空间周期性为g 。= n b i + m b 2 ； 2 每个周期单元中含有多个圆柱，其中第j 个圆柱的坐标为： u d ，0 2 2 ) = u ，+ 相l + ，2 a 2 ； 3 。圈柱外的相对介电函数为，圆柱内的相对介电函数为，圆柱的半径 艘2 为r ，占空比为f = 。b a l a lx a 2 城0 介电函数及其傅立叶展开为： 南= 去+ ( 去一丧莩蛳：) ) ( 2 2 2 2 ) 赤2 芝x e x p 【f g 一r 】，r = 威+ 一； ( 2 2 - 2 3 ) 其中， 州= 驾 傅最叶变换系数为： ( 2 2 2 4 ) 2 去亚蚴南e x p ( 粕。r ) = 去氐+ 主b 一书莩氍豆动r u 锚) ) 唧( 卅吒r ) q 是周期的重复单元面积，由j 二积分区域在一个q 内，所以七式的求和中 只有，l = o , 1 2 = 0 的一项不为零。因此，上式简化为： 第二章理论计算基础 = 三氐+ 击( 乏一三谆如一毗删e x 小如。o 令r ，= r u ( ，o o ) ，上式中的积分为： 弦抄如一如e x j ( k r ) = e x 一页k 毗pm n e x 一面i 删，) = e x 虮0 ) ) 陋陬r ) e x 一繇r ) ( 2 2 2 7 ) 设1 1 1 = ，( r , g 。) = 妒，则： r2 t 肛确r ) e x f g 删t r ) = p - r e x 西- , 1 g 。岫韵 m - c a 0 0 r2 1 r = p 如，e x 以6 ：，s i 如一互2 ) ) ( 2 - 2 2 8 ) 因为e x p ( i r os i nr p ) ：，0 ) e x p ( f ，缈) ，以( ) 是第，阶贝塞尔( b e s s e l ) i f f i 埘 函数，所以： 脚r ) e x f ( - g ) e x f ( - g 。咖融00 小彭，) e x 扮一劲 肛脚r 。r ) = p 胁小p ( g 搠，) e x 4 f 4 伊一列 ，“ l 、 一，j = k 0 塾吣脑0 e x 桫瑚 = p ，乏山( g 删，) 如e x f f 1 伊一钏 ，一 l 一7 j 因为：了却e x p f ，( 缈一主) ： ：g ：暑 2 - 2 - 2 9 ) 第二章理论计算基础 则仃： 次咖( r ) e x p ( - i g 。r ) = 2 1 ；i d r r g o ( c ，) ( 2 之3 0 ) 又由p 厶一。( x ) 出= 厶( x ) + c 慨! 哎嘶) e x p ( - i g 。r ) = 2 吒n r j 一, , g r ) ( 2 - 2 - 3 1 ) = 三如+ 2 q s r r l ( 乞1 一三) 嶝型手e x 小z g 。u o ，o ，o ) 】 = 娑掌脚帆叱意乙 第二章理论计算基础 o o 。= o od o ：o疆g 手 耋薹耋薹。薹耋薹 耋。 百 图2 - 2 二维六角结构光f 晶体 此时，q = 2 a 工，l = ( 。一l 2 k ：+ 2 似+ d ) ，超原胞内的圆柱位置可表示为： u ( 1 ，j i ) = ( o ，a 2 k + r + d ) u ( 2 ，七) = g 。2 ，口2 + 1 1 2 ) + r + d ) u ( 3 ，七) = ( o ，一a ：| | 一r d ) u ( 4 ，后) = 0 。2 ，一口：o + 1 2 ) 一r d ) ( 2 - 2 3 3 ) 贝 i ：。x 站。u 以o o ) 】：圭窆e x d - 虻。毗，露) 】 ( 2 2 - 3 4 ) ， 令 s i j = lk = 0 ，一i = 艺e x p - f _ g 。u ( ，七) 】 则：墨= 。e x 。p - i m t r ( r + d ) l ! 三量粼二： 最= ( - 1 yc ) p ( - i m a ：7 r 2 l ) s s 3 = s i s 4 = s ： 将似+ d ) = ( m 一1 2 扣2 2 代入( 2 - 2 - 3 4 ) 和( 2 2 - 3 5 ) ，得纠： h 。= 丢+ 半 ( 2 2 3 5 ) ，ij、i-iil 第二章理论计算基础 2 2 一班舳( 警) 搿掣删 一书掣 m 0 掰= 0 蜊= 筹匕 ) - 旷s i 铲巴叼? 裳：留爱= 雹 k 。= 0 其它 当r 和d 取特殊值时，盯( g ) 还能化成史简单的形式。 2 2 4 复厄密矩阵的特征根的求解 由于二介电函数占( r ) 是实数，所以其傅怠叶变换系数盯( g ) 满足： 盯( g ) = r + ( - g ) 从( 2 2 1 0 ) 式可以看出，在这个条件下，特征矩阵满足： k = k + ( 2 2 3 6 ) ( 2 2 3 7 ) 其中，l h + 是l h 的复共轭转置。所以，特征矩阵为复数厄密岳f 阵，算符l h 是肛密算符，其本征值为实数【7 1 。 对于任意n 阶复巳密锋阵a = k 】，若口。= 6 。+ 缸。( b i n , , 、为实数) ， 则b = i k 】，c = k 。1 是实矩阵，a = b + i c 。此时，a + - - - b 7 一i c 7 ( t 表示 转置) 。由f a 是厄密矩阵，a + = a ，所以： b+ic=b1一ic7(2-238) 从而， 第二章理论计算基础 b = b 。 c = o 所以，b 为对称矩阵，c 为反对称矩阵。 假设另喇阶实矩阵a l = ：司，由( 2 - 2 - 3 9 ) 弧 盯= 瞄主林哥a 。 a 。为实对称矩阵。 n 阶复厄密矩阵a 的本征方程为： i a 一例= i b + 圮一俎i = b - a i + 利= o 2 n 阶实对称矩阵a 。的本征方程是： ( 2 2 3 9 ) ( 2 2 - 4 0 ) ( 2 2 - 4 1 ) a i - 刊b ? 1 一- c i c 嚣咖一意f j i b 一五i + f c c f(2-2-42) 1 0 b 一 i 一稠 = l b 一 l + f c 8 b 一 l 一蚓= o 假设i b 一 i + f q = 盯，则i b - l - i q = 口+ ，( 2 2 - 4 2 ) 式可化简为： 口盯+ = 0 ，即口= 0 ，所以ta 的本征值同时也是a 的本征值，反之，a 的 本征值也是a ，的本征值。不难看出，若( u + ) 是复厄密矩阵a 关于名的本 征向量，贝i i a 关于z 的本征方程为： ( 茎：) ( 苫 = 文u ) ，( 三苫 ( 0 - 0 ) ( 2 - 2 - 4 3 ) 因此，复厄密矩阵a 的本征值问题转化为实对称年阵a 的本征值问题。 此后，可用雅可比法同时求出其全部本征值和本征向量，也可先用豪斯 霍尔德变换法将实对称雉阵化为三对角矩阵，然后用q l 法求其本征值和本 3 3 第二章理论计算基础 征向量。 2 3 时域有限差分法( f d t d ) 解本征方程 f d t d 方法1 8 l 是由微分形式的m a x w e l l 旋度方程出发进行差分离散。通 过电场和磁场在时间顺序上的交替抽样，并且抽样时间间隔彼此相差半个时 间步，可使m a x w e l l 旋度方程离散并构成显式差分方程，从而可以在时间上 迭代求解，而不需要进行婚阵求逆运算。由给定相应电磁问题的初始值， f d t d 方法就可以逐步推进地求得以后各个时间空间电磁场的分布。 在二维情况中，对t e 波，h 。= h ，= 芝= 0 ，则由( 2 1 6 ) 一( 2 1 8 ) 豇，得其f d t d 离散式为： 舶砖哆，丽a t 堕塑掣一哆 黜“+ _ j ie 。n 争丽a t 堕塑孥邋一讥三 日：扣争日二屯扣争一而a t i e ( i + ij + 去1 ) - e ( i j + i ) 一竺盐生，觚 1 1 m = 2 + j ，j + j ( 2 3 3 ) 丽对t m 波，b = e = t = 0 ，则由( 2 - 1 9 ) 一( 2 一i i i ) 町得其f d t d 第二章理论计算基础 吲+ 争= 一瓴，+ 争嵩塑学一讥互1 ”1 2 = o + j 1 + 志业半一，十三， 黜咖珊拟，+ 羔箜害孚生 皿哇( f ，+ 丢) 一巩”弓( f 一知 一o 。上j ，册= , j ( 2 3 - 6 ) 缈 可以看到，介质的介电常数和磁感应系数也同时被空间离散化。由此，电磁 场存直角坐标系中的各分量按空间和时间的分离抽样而被离散化，其中，每 个磁场分量被与之空间垂直的四个电场分量环绕，每一个电场分量也被与之 图2 - 3 ，原胞 这种电磁场各分量的空间离散取样方法个仅符合法拉第感应定律和安培 环路定律的自然结构，而f l 电磁场各分量的宅问相对位置也适合于m a x w e l l 第二章理论计算基础 万程的差分计算，能够恰当的描述电磁场的传描特性。存设定好所取的光源 参数，时间步长和空间离散步长等系数后，可以通过计算机编程迭代求出各 电磁场分量的值。对删波，若已知= f o = 刀出时刻各处e 分布及一昙) 舡 空问各处的h 分布，则可计算屯= + 等时刻宅问各处的h 值，再把h 值 代入计算岛= 乞+ 等时刻空间的e 分布，则- 口髓过不断迭代求出某时的空间 电磁场分布。对t e 波也进行相同的处理。实际计算时，还必须考虑剑如离 散的数值稳定性，吸收边界条件以艟激励濒的参数设窑等问顾。 2 3 1 离散的数值稳定性 离散后的差分方程组的解必须是收敛和稳定的，这样用有限的差分方程 组来代替m a x w e l l 旋度方程才有意义。这里的收敛性是指离散间隔趋向零时， 差分方程的解在空间任意一点和任意时刻都一致趋于原方程的解；稳定性是 指j 手找一种离散间隔所满足的条件，在此条件下差分方程的数值解于原方程 的严格解之差为有界。 一时间离散间隔的稳定性要求 考虑时谐场情形： f ( x , y , z , t ) = f o e x p ( i 1 ( 2 3 7 ) 其稳态解是 面阶微分方程的解： 誊：i g o 厂 ( 2 3 8 ) 8 t 。j。j 用差分近似代替t 式的一阶导数，则有：- 三二卫：泐，( 2 - 3 - 9 ) 其中厂”= ，( 五y 矗n & t ) ，f 为时间问隔。当，足够小时，定义数值增长因 第二章理论计算基础 子q 为： 9 2 丁f i 。万f n 则将其代入( 2 - 3 9 ) 式可得9 2 一砌出，叮一l = o ，其解为口= 竽 ( 2 3 1 0 ) 菪要差分方程( 2 - 3 - 9 ) 的解趋向于解析解( 2 3 - 7 ) 式，则厂= f o e x p ( i c a n a t ) ， 于是数值增长因子q 姚。= 等一一( 竽) ( 2 - 3 - 1 1 ) 上式表明数值稳定性要求存时间步玎m ，f 足够小时增长因子l 。满 足l g i 1 的允分条件是警s l ，又由于缈等，则： fst(2-3-12) 二c o u r a a t 稳定性条件 从m a x w e l l 方程可导出电磁场任意直角分量均满足齐次波动方程 警+ 髻+ + 筝= 。 c z 每 考虑平面波的解：( x ，y ，：，f ) = f oo x p 一f ( t ，+ t ，y + i ；：一m ，) ( 2 3 1 4 ) 采用有限差分近似，即( 2 3 1 3 ) 中的二阶导数近似为： 警。一卜眢每 背+ 眢+ 等等岳( 等丁( 笥( 譬) 2 ， 第二章理论计算基础 由f 警 1 ，又町改写( 2 - 3 - 1 6 ) 为 l k 。x 【丁 ( 等) 2 + + 背( 等) 2 = ( 爿t ( 2 - 3 - 1 7 ) 上式对所有k t ，t 均成立的充分条件是：( c a t ) 2 古+ 矿1 + 古 s t ( 2 3 1 8 ) 即：c a t 蔓 ( 2 3 一1 9 ) 上式给出了时间和宅间离散间隔之间应当满足的关系，称为c o u r a n t 稳定性 条件。对二维的情况，可变为：c a t ( 2 3 2 0 ) 若x = 缈= 万，万为窄问离散步长，则有：c 出击 ( 2 - 3 2 1 ) 从减小分差近似带来的数值色散出发，应对空间步长作出限制： 同样对时间步辰有： 缸乏，缈互1 21 2 f 三 1 2 其中五和r 分别为入射光的波长和周期。 ( 2 3 2 2 ) ( 2 3 2 3 ) 2 3 2 吸收边界条件 f d t d 算法中，经常涉及到的边界条件主要有m u r 吸收边界条件、超吸 收边界条件、完全匹配层( p m l ) ，下面将j e 要讨论完全匹配层( p m l ) 。 完全匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r , p m l ) 首先由b e r e n g e r 提出。通 过在f d t d 区域截断边界处设置一种特殊介质层，该层介质的波阻抗与相邻 3 8 竖 第二章理论计算基础 戒指的波阻抗完全匹配，因而入射波将无反射地穿过分解面而进入p m l 层。 并且由于p m l 层为有耗介质，进入p m l 层的入射波将迅速衰减，即使p m l 为有限厚度，它对于入射波仍有很好的吸收作用。 以t e 波为例，b e r e n g e r 将m a x w e l l 方程改写为以下形式： 品( 以+ ) = 岛言e + q e 一昙( 以+ ) 。岛昙髟+ t 髟 ( 2 每：4 ) 一去驴鼍h 。扣。h 。 砒乳h ， 将电磁场各分量的半面波形式代入上式，且在直角坐标系中电场e 与y 轴的 夹角为舻，则可得各场分量的统一表达式为： 甲咄唧一一c g ) 州j o 棚x c o s p x ) e 冲( 一害) ( 2 3 2 5 ) 其中：g = 耻e 。甄g ( 2 3 2 6 ) ! 二! 曼鱼竺c o s 2 妒41 二! ! ! 鱼! = s i n ：p ( 2 3 2 7 ) 1 一i 仃n a o n 1 一i a , a o c o 定义介质的波阻抗为电场与磁场之比 z = 鲁= 吸西1 ( 2 - 3 - 2 8 ) 则当满足关系式旦：垒。生：叠 ( 2 3 2 9 ) s o 胁岛胁 g 对任何频率国均等于i ，于是各场分量的统一表达式变为： 甲叱唧心一型孚型) e x p ( 一半x m 一鼍笋) ( 2 3 3 0 ) 第二章理论计算基础 z = = z o ( 2 - 3 - 3 1 ) 由( 2 3 3 0 ) 式可知，当满足阻抗匹配条件( 2 3 2 9 ) 时，平面波的波振幅沿 x 和y 轴壁指数衰减，衰减速度与p m l 层介质的电导率直接相关。 2 。4 本章总结 本章t 要介绍了本文的理论计算研究中用到的两种解m a x w e l l 方程组的 算法：平面波展开法( p w m ) 和时域有限差分法( f d t d ) 。两种算法各有其 优势所在。由于使用f 周期边界性条件，半面波展开法计算能带结构的收敛 性和准确性史高，同时也进行场分布的计算。但由于结果的精度越高，要求 用于展开波函数的半面波个数越多，因此计算上需要花费很多时间。丽时域 有限差分法存计算能带结构上则稍逊于半面波展开法，史适合于计算介质的 光学响应，能流等，而月，由于使用迭代计算，其计算时间也比半面波展开法 短。本文在理论计算过程中根据两种算法的不同长处，对二：维周期性掺杂的 复式介质结构的小同性质分别采用，小同的算法进行计算。 4 0 第二章理论计算基础 参考文献 i m a xb o r n , e m i lw o l f , 肭哪，幻o ，o p t i c s ，( c a m b r i d g eu n i v e r s i l yp r e s s , 1 9 9 9 ) 【2 1j o h n d j o a n n o p o u l o s , r o b e r td m e a d e , j o s h u an w i n n ，p h o t o n i cc r y s t a l , ( p r i n c e t o n u n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 5 ) f 3 】k a z u a k is a k o d a o p t i c a lp r o p e r t i e so f p h o t o n i cc r y s t a l ，( s 鲥n g e r , 2 0 0 1 ) 【4 】h s s o z u e r , j w h a u s , r i n g u v a , p h y s i c a l r e v i e wb 4 5 ( 1 9 9 2 ) 1 3 9 6 2 1 3 9 7 1 【5 】c h a r tc t y uq l ，a n dh ok m1 9 9 5p h y s r e v b5 11 6 6 3 5 【6 】齐治昌编，数值分析及其应用，围防科技大学出版社，1 9 8 7 ，1 5 7 f 7 】王朝瑞史荣昌编著，矩阵分析，北京理工大学出版社。1 9 8 9 ，1 0 2 【8 】葛德彪，囝玉波编，电磁波时域有限差分 法，西安电i 科技大学出版社2 0 0 2 4 l 第三章含周期缺陷的二二维复式结构光子晶体能带特性 第三章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能 带特性 3 1 引言 光子晶体“2 1 是具有光f 带隙的新型材料，频率处在光子带隙内的电磁波 个能存光予晶体中传播。具有宽的完全带隙的光子晶体具有广泛用途，“”其 中，二维光子晶体由f 其制作方便，并町与电子电路一起集成，因而引起人 们广泛重视。人们提出厂很多增宽二维光子晶体完全带隙的方法删，同时， 也研究_ 光子晶体的缺陷态“。在一个具有完全带隙的理想光子晶体中引 入点缺陷，那么存完全带隙中将会出现一个或者多个缺陷模“”，这使光子 晶体具有更广泛的用途。“”。过l 占人们主要是通过改变原周期结构中某个或 某些的介电体的大小或去除某个介电体来形成缺陷。 复式光子晶体结构是产生完全带隙的有效方法。由于二维光子晶体空间 商对称性的缘故，通常其完全带隙很难打开。通过对群论的分析，人们开始 设想通过破坏其空间对称性以使某蝗布瞪渊区的高对称点上的简并能级分 离，以打开完全带隙。其中粗锐组合的一二维复式结构光子晶体的宽完全带隙 已引起人们的重视。i ll s 。 我们选取具有宽完全带隙的粗锐组合二：维复式j e 方格子结构光二f 晶体， 0 周期常数人的简单正方格子结构再复合，结果在原粗锐组合- 维复式正方 格f 结构光子晶体的宽完全带隙内出现缺陷峰。 3 2 能带结构及带隙特性 第三章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 文中讨论的二维粗锐正方格子复合结构如图3 - 1 ( a ) 所示。其中深色部分 对应硅，介电常数蜀1 = 1 2 0 9 6 旧( 波长1 5 5 a n 时的对应值) ：其余部分对应空 气( o r 电常数岛= 1 o ) ，周期常数为a 。本文采用s f 面波展开法( p 删) “”研究 其带隙特性，并用时域有限差分算法( f d t d ) 嗍加以验证。计算了不同介质 圆柱半径，和锐结构宽度d 与完全带隙宽度的关系，发现当，= 0 3 2 a ，d = 0 0 5 a 时，结构具有很宽的完全带隙，该结构对i 立的频带图如图3 一l ( b ) 所示。 第一完全带隙具有最大值为o 0 7 1 1e a 其位置位于色散曲线的第五到第六 个带之问。 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 j ( b o l r t 一 rx m f ( a ) 差一 f b )c ) 图3 - i ( a ) 粗锐复合二维正力格f - ( b ) 当黑色部分为硅，介电常数4 = 1 2 0 9 6 ， 其余部分为空气，锐结构尺寸为d = o 0 5 a 圆柱半径为r = o 3 2 a 时，计算得的频 带图( 实线为征摸，虚线为删模) ，网格区域为完全带隙。( c ) 对应正入封时的透 射谱和反射谱。 4 3 一u#hb旦h警兰f2山 第三章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 存我们的理论计算中，研究的对象是杯准维光子晶体结构。面非光子 晶体薄片，即认为沿介质柱轴向具有无限长度，而在实际的应用中，只要介质 柱的长度比周期常数口大两个数最级以上，即可近似视为标准的二维光_ f 晶 体结构。因此我们存数值模拟计算中利用= 维f d t d 计算其透射和反射谱图。 计算结果见图3 _ 1 ( c ) 所示，其中实线、虚线、点线和点划线分别表示反射谱 ( t e ) 、透射谱( t e ) 、反射谱( t m ) 和透射谱( t m ) 。 以，l - 述：维粗锐正方格f 复合结构( r = o 3 2 a ，d = o 0 5 a ) 为摹本结构， 再复合进另一套周期常数大的介质圆柱的简单正方格子结构，设此周期常数 ( c ) ( d ) 图3 2 二维粗锐正与格f 复合结构冉与男一套大周期常数的简单正与格了复 合的结构( a ) t t 2 = 3 口( b ) 啦= 5 a ，( c ) 晚= 7 a ；( d ) 为各结构第一布鬯渊区及各高对称 点示意图 4 4 第三章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 大的介质圆柱的简单正方格子结构的周期常数m = 3 a , 5 a 和7 口，其 介质圆柱的半径一= o 3 2 a 即为图3 _ 2 所示的结构。 3 2 1 尼对能带结构的影响 我们首先研究复合进去的大周期正方格子结构的格点大小对能 带结构的影响。当幻= 3 a 时，在o 孙到0 4 a 的数值区阋中，等距地 对厅取2 1 个值，而保持基本结构的复式正方格f 各参数小变，用平 面波展开法计算能带结构对应厅的变化情况，考察正入射方向时的情 形，发现在原来基本机构的硼和t e 模的带隙中陆续出现了缺陷模。 如图3 - 3 ( a ) 所示，纵轴的频率对应原基本结构中的禁带频率。在图 中的斜线阴影部分，带隙中只出现一个t e 偏振的单缺陷模，随着厂f 继续增大，该模逐渐移i 旬禁带下边缘，面原来处在禁带上边缘的其他 偏振模则陆续下移到禁带中，成为缺陷模。通过调节大周期正方格子 o 加o 巧o o 3 50 4 0 t 2 1 a ( a ) 一o-【|毯碍8一知uco：丁也 第三章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 o 加0 筠0 0 3 5o 加 r 2 a ( b ) r 2 ，a 【c ) 图3 3 缺陷峰与大周期常数正力格f 的圆柱体大小的辛日关l l l l 线，( a ) 啦= 3 西 ( b ) a z = 5 口，( c ) 4 2 = 7 口 的圆柱的直径，可欹得单缺陷峰、多缺陷峰、单一偏振( t e 模) 的单缺陷峰， 或t m 模和t e 模重叠( 疋= o 3 7 6 口) 或分开的缺陷峰等。能带图对应如图3 5 所示。町适应小同的应用的所需。当以为o 1 9 a 全0 2 5 a 时，有一条缺陷峰 t e 。；当厅为o 2 5 a 垒o 2 8 a 时，有两条缺陷峰：t e 。和t m 。：当r z 为0 2 8 a 龟 o 3 2 a 时，有：i 条缺陷峰：t e ，t m 和t e ；而当厅为0 3 2 a 垒0 3 5 a 时，有四 条缺陷带：te l ，t 呱，t e 。和t ；在1 2 = 0 3 7 6 a 时，有四条缺陷带：t m ， 艏 甜 舵 柏 鹞 n n n n n o仁n、再8一xocojfok也 一 ，仉 敏 砬 艏 “ 让 加 一oen、懵8一ucofl仃山【u 第二章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 t m 2 ，t e 和t e ，：其中t m ：和t e ：曲线相交于兰：0 4 2 8 处。 三耳c 同样地，对晚= 5 a 和啦= 7 a 的情况，我们也作相同的计算，得出结果 分剐如图3 - 3 ( b ) 和图3 - 3 ( c ) 所示。经过对比可以发现，在三个图中所有 缺陷模的曲线位置和变化基本一致，并日，都在 2 = o 3 7 0 a 处对t b 和t 地 取相同值罢：0 4 3 。为求准确，我们同时也对a 2 = 4 口，口2 = 6 a 和啦= s a 往c 的情况进行了计算，并且得到了与图3 3 所示的基本一致的曲线。 由此可知，把具有宽完全带隙的粗锐复合的周期常数为口的二维正方格 子与周期常数为幻的大周期简单正方格子复合后，大周期正方格子等价于结 构中的缺陷，所产生的缺陷峰的波长和数量与大周期常数的正方格子圆柱体 的正相关。不管大周期正方格子的周期是大还是小，缺陷峰结构与大周期正 方格子的圆柱直径的关系曲线图都相似。即缺陷峰结构与大周期正方格f 的 圆柱直径的关系曲线与口2 基本小相关。 由于新结构的甲均介电常数为s = 毛石+ ( 1 - a ) e 2 ，其中毛，z 分别为硅 的介电常数和填充比，当 i 增大时，z 也随之增大，因此甲均介电常数f 也 一 厶2 一一 增大。另一方面，此时介质色散关系甜= 二；，占增大时，国减小，因此能带 、，占 图中的各缺陷模发生红移，原来存禁带上边缘的一些模也下移垒禁带内成为 缺陷模，使得缺陷模数量增多。从这个解释出发，我们尝试将作为缺陷的简 单正方格f 中的格点从圆柱变为等面积的椭圆柱，考察正入射时口2 = 5 a 的缺 陷能级相对椭圆面积的变化规律，并作出与乃= o 3 8 a 时圆缺陷等面积的椭 圆缺陷的能带图，如图3 _ 4 所示。其中( a ) 为实宅问椭圆缺陷格点结构的示 意图；( b ) 为结构第一布里渊区及各岛对称点示意图；( c ) 为缺陷峰与椭圆 缺陷面积的变化关系图；( d ) 为椭圆面积s = o 4 5 1 ，时机构的能带图。与圆 柱缺陷的情况对比，发现当将椭圆面积换算为圆半径后，图3 - 4 ( b ) 实际上 是丁二图3 - 3 ( b ) 一致的，其中椭圆面积s = o 4 5 1 ，处对应为圆半径如= o 3 8 a 处，可以看到此时椭圆缺陷结构中也出现了t m 和t e 重合的缺陷态，并日缺 第二章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 - - h 卜一卜卜1 h _ - h - h r 卜h _ 1 h _ r 卜 ：x 戳，般数 1 h r 一h 卜1 h 1 卜 _ h - 1 卜1 h _ 嚣x 嚣：x ：嚣x ：n n 1 h 卜p _ h 件一1 h | _ h 1 h 卜1 卜r p 茹款：篱：故 卜 o j 3 8 一 砖 z m f o c y ；k 。 。孑 o 1 0o 1 5 0 2 00 2 5o 3 0 o 3 50 4 00 4 5o 卯0 弱 s ，a 2 rxmzr ( d ) 图3 4 椭圆缺陷结构屯= 5 a 的缺陷态馊化情况：( a ) 为结构卅；意图：( b ) 为结构第一 白掣渊k 及各高对称点示意图；( c ) 为j e 入射时缺陷峰与椭圆缺陷面积的受化关系图： ( d ) 为s = 0 4 5 1 ，处的能带图 拈 呲 耋； m o案童xucm5foj也 哪蛳w嗍：莹眦恤啪哪嘴啷嗡嗡 一u#nw皂oco，fokk 第二章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 陷态的频率值也与圆缺陷的情况相同。由此可以断定，在面积相等的情况下， 圆柱缺陷结构与椭圆柱缺陷结构中出现的缺陷态频率相同。因此，实际上缺 陷模的位置与数量是由缺陷格点的填充比决定的。但要注意的是，由于基本 结构和杂质结构都同为硅，因此正的增大有一定极限，否则将成为均匀的硅 晶体，因而缺陷模的数量也是有限的。 3 2 2 口2 对能带结构的影响 为讨论口2 对能带结构的变化，我们取乃= 0 3 8 a ，针对舰= 3 a ，口2 = 5 a 和啦= 7 a 三个情况，用半面波展开法计算了复合结构的全方向能带图，如图 3 4 所示，其中实线代表t e 模，虚线代表t m 模。对应图3 3 的结论，在原 基本结构的禁带中应该有4 个缺陷模，其中t m ：和t e 2 重叠。而当晚= 3 a 时， 如图4 ( a ) 所示，各缺陷模的频率受方向变化的影响较大，其中靠近禁带下 边缘的t m 模在入射光从正入射向掠入射方向改变时，原来的简并模出现了 解简并现象，而原本重合的t m 2 和t e 2 模也随方向变化出现上下波动而分 覆4 9 o 柏 0 4 1 n 4 6 n 4 5 覆卅 n 4 3 n 4 2 n 4 1 n 4 0 a 3 9 o 3 8 n 3 7 n 3 6 r xmr ( a ) 一。片n，譬uco了叮昱也 第三章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 rxm r ( c ) 图3 - 5 ( a ) 当4 2 = 3 口，在宽完全带隙内出现不平的( 即与方向有关的) 缺陷峰 爿；中选n = 0 3 7 7 口：( b ) 当a 2 = 5 a ，在宽完仝带隙内的缺陷峰冉向色散性变小； ( c ) 当口2 = 7 口，在宽完全带隙内出现平的( 即与方向尤关的) 缺陷峰，其中选 2 = 0 3 7 6 口：。 离。存禁带边缘两侧的通带七，两种偏振模也都氅现较大的方向波动性。当 q 2 = 5 a 时，如图3 5 ( b ) ，各缺陷模随方向改变的色散明显减小，t m 模的解 蝴嘴呲川嘲啷|耋j耋 一ulcn，e旦oc03口2k ! 莹 吣 嘴 耋： 咖 旧 嘴 哪 一up内、西含一oco：fmk 第二章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 简并程度减弱，t m 。和t e ：模也在各入射角度上基本保持重合。当b 2 = 7 a 时， 缺陷模与入射方向的关系己变的很小，具育近零色散的性质，通带中各模的 方向色散也明显减小，如图3 - 5 ( c ) 所示。 我们还对啦= 铀，6 a 和8 l l 时的能带随方向的色散情况进行了计算，对 比图3 - 5 中的结果，发现啦的变化虽与缺陷模的波长和数量不相关，但却对 缺陷模的方向色散性起非常重要的作用。当幻较小时，( 如a z 5 口) ，存宽完 全带隙内出现不平的缺陷态，即随入射方向变化较大。当痒2 ) 5 口时，缺陷态 逐渐变平，与入射方向的关系越来越小，逐渐呈现近零色散的特点。即幻 值越大缺陷模的方向色散性越好。 我们进一步用f d t d 方法计算了这种粗锐复合的周期常数为口的二维正 方格子被周期常数为口2 的大周期简单正方格子掺杂后的结构的透射谱和反 射谱。口2 ；3 a ，a z = 5 a 和晚= 7 a 三个情况的结果见图3 _ 6 所示。其中实线：t m 反射谱，虚线：t m 透射谱，点线：t e 反射谱，点划线：t e 透射谱。入射光为 正入射的高斯平面波。对于毗= 3 a 的情况，原来的频率在 ；翌；0 3 8 4 7 0 4 6 2 2 之问的高反帝彼分割成了若干较小带宽的高反带，透射 2 刀f 峰值较大。其中t m 波在：丝：0 4 0 7 处的透射峰中心值约为4 2 ，对应 f r e q u e n c y ( o a 2 c ) ( a ) 5 l co一曲蚺一e竹c_鼻 第二章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 、 = 兰 u 卫 f r e q u e n c y ( ( o a l 2 z c ) f r e q u e n c y ( o a j 2 h c ) c 旦 协 生 e 竹 c 巴 ( c ) 图3 - 6 ，大小周期正与格于复合结构的透射谱和反射蹭，实线：t m 反射谱虚 线：t m 透射潜，点线：t e 反射谱，点划线：t e 透射谱；( a ) 为a 2 = 3 a 时的透射反 射谱；( b ) 为( 2 = 5 ( 时的透射反射谱；( c ) 为也= 7 a 时的透射反射谱 cois佛一妄竹c芒_ 誊i芑嚣9j 第三章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 图3 5 ( a ) 中的t m 。模：罢：0 4 2 5 处的透射峰中心值约为4 1 0 5 ，对应为t m ： 氕c 模。面对t e 模，中心峰值在：! 生：0 4 3 2 处的t e 。模透射率约为3 7 ，但透射 z 刀c 蜂的半宽较大，即可透过的频率值数目较大，从而使器件的性能有所下降。 另外，能带计算中本来重合的t m ! 和t e ：模的峰值频率也出现错位分离。当 啦增大到5 4 时，可以看到t m 波的两个缺陷峰位置基本没有变化，但t e 波 的两个缺陷峰则都出现红移现象，使得t m 。和t b 模的峰值频率重合；所有缺 陷峰的峰值都明显下降，半宽也明显减小。到啦= 7 a 时，原结构禁带内出现 类趋向于束缚态的缺陷模，即缺陷峰很锐，而峰值又较低，如图3 - 6 ( c ) 所 示。 通过图3 - 6 的对比，可发现随着周期缺陷的周期数减少，更多处在缺陷 能级上的光能透过晶体。我们同时也对口2 = 4 口，口2 = 6 a 和口2 = 8 a 三个情况 进行了计算，得出的结论与图3 - 6 一致，即当啦变小，缺陷峰的透射率迅速 增大；当口2 增大时，缺陷峰的透射率变小，缺陷峰的透射率与口2 的大小成 反比。此处的结论使我们在实际应用中对砚设定时必须考虑一对矛盾体，即 通过增大口2 以获得更好的方向性是要以牺牲器件响应能力为代价的。 3 3 本章小结 本文通过平面波展开法以及f d t d 算法进行数值模拟，发现在其有宽完 全带隙的粗锐复合二维正方格子的基础上，复合人周期的简单正方格子结构， 发现大周期正方格子起缺陷的作用，在原粗锐复合j e 方格子的宽完全带隙内 出现缺陷蜂。本文通过数值模拟给出了反映缺陷谱随大周期正方格子结构参 数变化的规律和各种关系曲线。典型的规律有：( 1 ) 发现当大周期正方格子 结构的周期常数较小时，在宽完全带隙内出现小平的，随入射方向变化的缺 陷态；当大周期正方格子结构的周期常数较大时。这些缺陷态逐渐变平，具 第三章含周期缺陷的二维复式结构光子晶体能带特性 有随入射方向变化较小的，近零色散性质。( 2 ) 小管大周期正方格子的周期 是大还是小，缺陷峰结构与大周期正方格子的格点面积的关系曲线相似。即与 a 2 关系小大。( 3 ) 随着掺杂的格点面积的增大，出现l 至4 条缺陷峰，通过 调1 i 了大周期正方