（应用数学专业论文）非线性反应扩散方程的解的熄灭和支集收缩等性质.pdf

摘要 摘要 非线性反应扩散方程的解的熄灭和支集收缩等性质 应用数学专业 研究生：田娅指导教师：穆春来 反应扩散方程作为一类重要的抛物方程，来源于自然界中广泛存在的扩 散现象渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体动力学等理论都提出 了此类方程四十多年来，这类方程吸引了国内外众多的数学工作者，并且取 得了巨大的成就在适当的初边值条件下，许多学者对方程的解的性质作了 大量的研究特别地，对于由扩散项、吸收项、对流项、边界项，及其经由 他们所形成的各种不同的耦合关系产生的非线性所导致的问题的解的奇性引 起了众多学者的兴趣本文将研究应用科学中提出的几类重要的非线性扩散 方程的解的有限时间熄灭、支集瞬间收缩以及自由边界的整体存在等性质。 第二章中，我们将研究发展的p - l a p l a c e 方程的几类初边值问题的解的 熄灭。对于具有非局部源或者局部源项的扩散方程的齐次d i r i c h l e t 边值问 题，我们运用能量方法和新建立的比较原理，证明问题的解在有限时刻熄灭 的充要条件我们证明在快速扩散的情形下。如果扩散作用强于源的作用， 那么在初值较小的情况下问题的解会在有限时间熄灭。并且在证明过程中， 我们将得出熄灭时刻的上界估计对于具有非局部源项的问题，我们还将建 立解的局部存在性理论。最后我们研究发展的p - l a p l a c e 方程的在空间冗上 的c a u c h y 问题的解的熄灭。运用比较原理和构造上下解，证明问题的解熄 灭的充要条件，揭示在h a r n a c k 不等式不成立时熄灭现象发生的一个临界指 数，它表明了初值在远距离处的衰减性态对解的熄灭的影响。 在第三章中，我们将考察几类具有非局部源项和吸收项的抛物方程的 n e u m a n n 边值问题。首先，对于具有内部吸收和边界源的情况，运用新建立 的比较原理，我们将改进已有的关于熄灭的充分条件的结论，证明在源作用 较强的情况下熄灭仍可能发生。其次，对吸收项分别在内部或者边界的情 况，通过与己有的关于解的爆破的结论相比较，方面，在具有内部吸收项 的情况下，我们将证明，吸收比内部源的作用强时，问题的解可能会在有限 时间熄灭。然而，在具有边界吸收项情况下，根据熄灭的定义，用检验函数 法，我们将证明，解不会在有限时间熄灭，但是若边界吸收比边界源的作用 四川大学博上学位论文 强时。问题的解在边界上的取值将在有限时刻恒为零 第四章中，我们考虑一类具有对流项和交化系数的抛物方程，并研究它 的解的支集的瞬间收缩性质，即不管初值的支集如何，问题的解的支集可能 在任何时刻都是紧的这类具有对流项的非线性扩散方程，类似于著名的统 计力学方程，具有重要的物理意义我们先证明问题解的局部存在性和唯一 性，并建立两个比较引理其次，运用比较引理，通过构造上下解证明解的 支集具有瞬间收缩性质的充要条件依赖于变化系数的性态 第五章，我们考虑一类具有吸引项和变化系数的非线性扩散方程，这一 方程描述了扩散过程中扩散系数依赖于未知量及其自身梯度它是多孔介质 方程与发展的p - l a p l a r z 方程的推广由于依赖于空间变量的变化系数的作 用，将出现与具有齐次系数的方程完全不同的性质。我们将运用能量方法以 及一个迭代引理证明在紧初值的情况下自由边界的整体存在性，并且给出自 由边界的估计。 关键词非线性扩散方程，局部源非局部源，吸收项，有限时间熄灭，正 性，临界指数，对流项，变化系数，支集的瞬间收缩，自由边界 a b s t r a c t p r o p e r t i e so f e x t i n c t i o na n ds h r i n k i n go fs u p p o r t sf o rs o l u t i o n st o n o n l i n e a rr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s m a j o r * a p p l i e dm a t h e m a t i c s d o c l o r a t es t u d e n t ：y a 币a n d i r e c t o r ：c h u n l a im u d i f f u s i o ne q u a t i o n s a sa l li m p o r t a n tc l a s so fp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，c o m ef r o ma , a f i e t yo f d i f f u s i o np h e n o m e n aa p p e a r e dw i d e l yi nn a t u r e t h e y 玑s u g g e s t e d a sm a t h 一 , r n a t i c a 】m o d e l so f p h y s i c a lp r o b l e mi nm a n yf i e l d ss u c ha sf i l t r a t i o n ，p h a s et r a n s i t i o n ， f i o c h e m i s t r ya n dd y n a m i c so fb i o l o g i c a lg r o u p s i nt h el a s tf o u rd e c a d e s ，t h es t i l d yi n h i sd i r e c t i o na t t r a c t sl a r g en u m b e ro fm a t h 啪a t i c i a nb o t hi nc h i n aa n da b r o a d r e - x m r k a b l ep r o g r e s sh a sb e e na c h i e v e d u n d e rt h ep r o p e ri n i d a l - b o u n d a r yc o n d i t i o n s ， a m n ya u t h o r sh a v eg i v e nc o n s i d e r a b l ei n v e s t i g a t i o n so nt h es o l u t i o n st oe q u a t i o n s ，e s p e c i a l l y ，t h es i n g u l a r i t i e so fs o ) u t i o n sw h i c hc a u s e db yt h en o n l i n e a r i t i e so fd i f f u s i o n 哪n s 。a b s o r p t i o nt 盯l n s c o n v e c t i o nt c n i l s a n dv a r i o u sc o u p l i n ga m o n gt h e m i nt h i s t h e s i s ，w ew i l lg i v es o m eq u a l i t a t i v ea n a l y s i s ，s u c ha se x t i n c t i o ni nf i n i t et i m e ，i n s t a n t a n e o u ss h r i n k i n go fs u p p o r ta n dt h eg l o b a le x i s t e n c eo ff r e eb o u n d a r i e s ，f o rs e v e r a l d i f f u s i o ne q u a t i o n sa r o 趾i na p p l i e ds c i e n c e s 。 i nc h a p t e r2 w ew i l li n v e s t i g a t et h ee x t i n e t i o no fs o l u t i o n st os e v e r a li n i t i a l b o u n d a r yp r o b l e m so fe v o l u t i o np - l a p l a c i a ne q u a t i o n f o rt h ed i f f u s i o ne q u a t i o n w i mh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n b yu s i n ge n e r g ym e t h o d sa n dm o d i f i e dc o m p a r i s o np n c i p i e w ew i l lg i v es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h e e x t i n c t i o no f s o l u t i o n s w ew i l ls h o wt h a t , i nt h ec a s eo f f a s td i f f u s i o n i f d i f f u s i o ni s s t r o n g e rt h a ns o u r c ea n dt h ei n i t i a ld a t ai ss m a l le n o u g h ，t h es o l u t i o n so f p r o b l e mw i l l b e c o m ee x t i n c ti nf i n i t et i m e 。m o r e o v e r , d a r i n gt h ep r o o f , w ew i l lo b t a i nt h eu p p e re s t i m a t eo ft h ee x t i n c t i o nt i m e f o rt h ep r o b l e mw i t hn o n l o c a ls o u r c e ，w ew i l le s t a b l i s h l o e a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n a tl a s t , w ew i l ic o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e mo fe v o l u t i o n p - l a p l a c e e q u a t i o n i n r “a t t h ea i d o f c o m p a r i s o n p r i n c i p l e a n d c o n s t r u c t i n gs u p e r - a n ds u b s o l u t i o n s w ep r o v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h ee x t i n c t i o no f s o l u t i o n w h e nh a r n a c ki n e q u a l i t yi sf a i l e d ，w ew i l lg i v eac r i t i c a le x p o n e n t ，w h i c h s h o w st h ee f f e c to ft h ed e c a yb e h a v i o r so fi n i t i a ld a t aa tl a r g ed i s t a n c eo nt h ee x t i n c 一i i i 四川大学博上学位论文 t i o no fs o l u t i o n s i n c h a p t e r 3 ，w e w i l l c o n s i d e r t h e n e u m a n n p r o b l e m s o f s e v e r a lp a r a b o l i ce q u a - t i o n sw i t hn o n l o c a ls o u r o t sa n da b s o r p t i o nt e r m s a tf i r s t , f o rt 1 1 ep r o b l e mw i t hi n t e r i o ra b s o r p t i o na n db o u n d a r ys o u r 。b yu s i n gm o d i f i e dc o m p a r i s o np n 。n c i p l e w ew i l l i m p r o v et h ek n o w nr e s u l t so ns u 伍c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x t i n c t i o no fs o l u t i o n s a n d p r o v et h a t 。i nt h ec a s eo fs t r o n g9 m 】m t h ep h e n o m e n ao f e x f i n e t i o ns h o u l do c c u ri n f i n i t et i m e a l s o n e x t , w i t lt h ea b s o r p t i o ni nt h ei n t e r i o rd o m a i no ro nt h eb o u n d a l - y r e s p e c t i v e l y , b yc o m p a r i n gw i t ht h es t a n d a r dr e s u l t so nb l o w u po fs o l u t i o n s ，o nt h e o n eh a n d ，f o rt h ec 啦o fi n t e r i o ra b s o r p t i o n ，w ew i l ls e c ，i fa b s o r p t i o ni ss t r o n g e r t h a l li n t e r i o rs o u r c o 。t h es o l u t i o nm a yv a n i s hi nf i n i t et i m e o nt h eo t h e rh a n d f o rt h e c a s eo f b o u n d a r ya b s o r p t i o n ，a c c o r d i n gt ot h ed e f i m t i o no f e x t i n c t i o n ，b yu s i n gt e s t i n g f u n c t i o nm e t h o d s ，w ew i l lp r o v et h es o l u t i o nc a n n o tv a n i s hj nf i n i t et i m e w h l i et h e b o u n d a r ya b s o r p t i o ni ss 打o n g e rt h a nt h es o u r c e so nt h eb o u n d a r y , t h es o l u t i o nm a y v a n i s ho nt h eb o u n d a r yi nf i n i t et i m e i nc h a p t e r4 。w ec o n s i d e rap a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hc o n v e c t i o nt e r ma n dv a r i a d o n a 】c o e f f i c i e n ta n di n v e s t i g a t et h ep r o p e r t yo fi n s t a n t a n e o u ss h r i n k i n go fs u p p o r to f s o l u t i o n ，t h a ti s ，a ta n yp o s i t i v et i m e ，t h es u p p o r to fs o l u t i o ni sc o m p a c t , i r r e s p e c t i v e o f t h es u p p o r t o f i n i t i a ld a t a t h i sc l a s s o f n o n l i n e a r d i f l u s i o ne q u a t i o n w i t h c o n v e c t i o nt e r m r e s e m b l et ot i l ec e l e b r a t e de q u a t i o na r i s i n gi ns t a t i s t i c a lm e c h a n i c sa n dh a v e i m p o r t a n tp h y s i c a ls c n a tf i r s t , w ew i l lp r o v et h el o c a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o ft 1 1 es o l u t i o n a n de s t a b l i s ht w oc o m p a r i s o nl e r a h a s t h e l l a tt h ea i do fc o m p a r i s o n l e m m a s ，w ew i l lp r o v et h ep r o p e r t yo f i n s t a n t a n e o u ss h r i n k i n go f s u p p o r td e p e n d so n t h eb e h a v i o r so fv a r i a t i o n a lc 0 e 佑c i e n t i nc h a p t e r5 w ew i l lc o n s i d e ran o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t ha b s o r p t i o n t e n ma n dv a r i a t i o n a lc o e f f i c i e n t 1 1 1 i se q u a t i o nd e s c r i b e st h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n td e p e n d so naq u a n t i t ya n di t sg r a d i e n ti nad i f f u s i o np r o c e d u r e i t sag e n e r a l t yo f t h ep o r o u sm e d i u me q u a t i o na n de v o l u t i o np - l a p l a c ee q u a t i o n n ev a r i a t i o n a lc o e f f i c i e n tw h i c hd e p e n d so ns p a c ev a r i a b l e n e wp r o p e r t i e sa p p e a r a p p l y i n ge n e r g y m e t h o d sa n dai t e r a t i o nl e m m ac o n v e r g e n c eo fs e q u e n c e so fn u m b e r s ，w ew i l lp r o v e t h eg l o b a le x i s t e n c eo ff r e eb o u n d a r i e sa n dg i v es o m ee s t i m a t e st ot h e m k e y w o r d s n o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n s ，l o c a ls o u r c e n o n l o c a ls o u r c e ，a b s o r p t i o n t e r m e x t i n c t i o ni n f i n i t et i m e ，p o s i t i v i t y , c r i t i c a le x p o n e n t , c o n v e c t i o nt e r m ，v a r i a b l e c o e f f i c i e n t ，i n s t a n t a n e o u ss h r i n k i n go fs u p p o a ，f r e eb o u n d a r y 一j v 四川大学博士学位论文原创性声明 本人声明；此次所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工 作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在四川大学读书期问在导师指导下取得的，论文 成果归四川大学所有，特此声明 作者签名：1 刃窟互 导师叛笱绰 日期：弦p 7 年月叫日 醐：叩锄7 爿日 第1 章绪论 非线性科学是现代科学中重要而活跃的研究领域，只要是涉及到自然界 任何质变现象的讨论，或者需要在大范围( 空间或者时间) 考虑问题时，就 往往需要与非线性模型，特别是非线性偏微分方程打交道。反应扩散方程作 为一类重要的非线性抛物方程，来源于自然界中广泛存在的扩散现象渗流 理论、相变理论、生物化学以及生物群体动力学等理论都提出了此类方程。 四十多年来，这类方程吸引了国内外众多的数学工作者。并且取得了巨大的成 就。这些涉及到扩散现象的自然定律都可用如下形式的抛物方程来描述： t t = v f ( u ，v u ；z ，t ) + g ( t ；z ，t ) ，( z ，t ) f l ( 0 ，+ ) ( 1 1 ) 其中nc 或者q = 表示物质所占据的空间，u ( x ，t ) 通常用来表示物 质在( z ，t ) 点处的浓度，f 描述了扩散，g 表示扩散过程中伴随的反应( g 0 ) 或吸收( g 0 为上线性函数时( 即f 。高矗d s + o 。) ，由于非线性积累的结果， 即使初始值充分光滑，方程( 1 2 ) 的解在有限时刻也可能趋于无穷大，即存在 t o + 使得l i m 扣t oj l u l l o o = + o 。我们称解的这种奇性为有限时刻爆破。 爆破解描述的自然现象比较少。但还是存在，如宇宙中的黑洞现象等等。对 爆破解的研究更重要的是它的数学价值，从它我们能知道存在整体解的方程 类范围和特征。 另一方面，当g ( s ) 0 时，由比较原理可知方程( 1 2 ) 的解不会在有 限时刻爆破，它出现了一些与热方程完全不同的情形。1 9 7 4 年，k a l a s h n i k o v 四川大学博上学位论文 【5 3 】在对问题 u t ，= a 、u - , 、：= 、u p( z 暑( 0 ，佃) ， ( 1 3 ) lt ( ，0 ) = 如( z ) ， z r ， ”“ 的研究中发现了一个有趣的现象，若0 p 1 ，与方程的一个显式解 枷，= 渺呻h t h v 。p t 0 使得对所有的t t 都有让( z ，t ) 三0 ，这一现象我们称之为解在 有限时间熄灭( e x t i n c t i o ni nf i n i mt i m e ) 这一现象是由强吸收( 0 0 都有乜( z ，t ) 0 ，我们称解的这一性质为正性( p o s i t i v i t y ) ( 参 见【1 6 4 8 ，6 h 等) 同爆破一样，熄灭也是非线性方程的解所特有的性质。在理论研究上， 爆破问题研究中的丰硕的成果和许许多多的方法、技巧在熄灭问题的研究中 同样可得以应用和改进。f r i e d m a n 和h e n e ：r o 【3 3 】曾经说过“虽然熄灭和爆破 是完全相反的现象。但它们可以用相似的方法来分析。”在实际应用中熄灭 对应于诸如种群灭绝、反应物质耗尽等自然现象因此无论从数学理论还是 应用科学的角度来看，此类性质的研究都具有极其重要的意义。 由于非线性扩散项、吸收项、对流项、边界项的存在，它们对熄灭现象 的发生都会起着促进或者阻碍作用，我们希望能刻画所有这些非线性指数之 间的相互作用，揭示临界指数。下面我们就带不同初边值条件的反应扩散问 题简单介绍一下熄灭现象发生的条件。 1 1 具有齐次d i r i c h l e t 边值条件的问题 自最近的三十多年里，许多人都对抛物方程的解是否具有熄灭性质产生 了兴趣1 9 7 9 年，d i a z 和d i a z 【2 8 考虑了如下不带吸收项的齐次d i r i c h l e t 边 值问题 i u t = f ( 札) ，扛，t ) q ( o ，+ o o ) ， u ( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) a n ( 0 ，+ o 。) ， ( 1 4 ) iu ( x ，0 ) = u o ( z ) ， z q ， 第1 章绪论 这儿f ( s ) 为非负非单减函数，且f ( 0 ) = 0 这类方程来自于渗流问题等 自然现象通过试验函数的方法他们得出方程( 1 4 ) 的解具有熄灭性质的充 要条件为：对某个e 0 ，f ( s ) 满足岳高 这表明，快速扩散项能促 使问题( 1 4 ) 的解在有限时间熄灭此结论具有较强的现实意义，例如。若 f ( 8 ) = 扩，当0 0 ，扩散项f ( t ) 和吸收项g ( t ) 满足 z 。南 且，狐或者r 雨d s 后来，l a i r 和o x l c y 【7 3 1 改进了此结论，他们证明了熄灭发生的必要条件为 ，。d 5 他们的结论说明在快速扩散或强吸收或是二者耦合的强作用下，熄灭现象也 会发生。 顾永耕 4 5 1 用模估计的方法对带有吸收项的方程啦= a u 一舻的初边值 问题的解的熄灭现象进行了再一次的研究。进一步证明了在初值不恒为o 的 情形下，问题的解具有熄灭性质的充要条件为0 p 1 这里所采用的模 估计方法适用范围比较广，特别是它适用于那些极值原理不成立的方程。在 本文第二章节的证明中也会多次用到这种方法。 上述类型的扩散方程均可称为n e w t o n 渗流方程，下面我们来看看非 n e w t o n 渗流方程，又称发展的p - l a p l a c e 方程 u t = d i v ( i v u l p 一2 v u ) ( 1 5 ) 此方程具有较强的物理背景，被广泛地用来描述诸如非n e w t o n 流在多孔介 质中的扩散过程等等。对于此方程，当f v u f = 0 时。它具有奇性( 1 p 2 ) ，则它的古典解一般不存在，我们所说到方程( 1 5 ) 的解，一 般都是广义解。对于此类非线性扩散方程的研究，已有的文献浩瀚如烟，特 一3 一 别是在d i b e n e d e t t o 的著作【2 4 】和伍卓群等的著作 1 0 1 1 中都系统的论述了发展 的p - l a p l a c e 方程的理论，对其解的存在性、正则性、唯一性、自由边界等 理论以及论证方法都做了较为全面的介绍 对于带吸收项的发展的p - l a p l a c e 方程毗= d i v ( 1 v u l v - 2 v u ) 一牡口的初边 值问题，t s u t s u m i 【9 9 和顾永耕【4 5 】曾先后用模估计方法简要的证明了问题的 解发生熄灭的充要条件为】 p 2 或0 q 1 ，即快速扩散或者强吸收都 可能导致熄灭现象发生对于不带吸收项的非n e w t o n 渗流方程( 1 5 ) ，袁洪 君等利用上下解方法分别对在初值为不恒为零的非负连续函数和初值为属于 l 1 ( n ) 且在边界取零值的函数这两种情况下问题的解的熄灭性和正性作了完 整的论证，证明了此问题熄灭现象的发生也是来源于快速扩散，即当且仅当 l p 2 时，问题的解才可能在有限时间熄灭( 见 1 0 2 1 0 4 ) 对于其他的带齐次d i r i c h l e t 边界条件的非线性扩散方程的熄灭问题，在 诸多文献中也做了研究，如 6 3 。7 5 等等。 上面所提到的导致非线性扩散问题的熄灭现象发生的因素归纳起来为快 速扩散、强吸收以及二者的耦合所产生的强作用。在方程( 1 1 ) 中，我们也 可把非线性项g ( 让；z ，t ) 看作是描述扩散过程中的非线性源。当g ( “；z ，t ) 0 时为“热源”放到热量传播的 自然现象中讨论，“冷源”存在时，其所产生的作用我们在上面的论述中已 看到了，它是促使温度降低的因素。当存在“热源”时，情况正好相反，由 于热量的不断提供，以维持温度在“热源”很强的情况下，可能会有爆破 现象发生，即温度在某一时刻可能达到无穷大在这里，我们对“热源”存 在的情况下解是否也会有熄灭现象发生产生了兴趣。在非线性源不存在的扩 散问题中，导致解熄灭的原因是快速扩散项的存在。现在，由于“热源”的 存在，必定要在扩散和源之间产生相互“较量”在 7 1 】中，李玉祥等对带 非线性源的问题锄= u m + 矿的解的熄灭作了研究，他们运用能量方法及 比较原理给出了一些临界指数。但是对于此问题，当p 1 时，由于缸p 不是 l i p s c h i t z 连续的，解的唯一性及比较原理一般不能成立，我们将给出一个作 了修改的比较原理，以它作为讨论解的熄灭性质的有力工具。本文我们也要 借助于模估计方法和比较原理来分别论证具有局部性或非局部性热源的发展 的p - l a p l a c e 方程的解的熄灭条件 1 2 非线性反应扩散方程的c a u c h y 问题 不难看出，在有界区域上的齐次d i r i c h l e t 问题中，平凡的边界值是促使 第1 章绪论 解在有限时间熄灭的个因素，因而在全空间r 。的c a u c h y 问题中，区域 的无界对解的熄灭可能起着阻碍作用。例如，吸收项为梯度项的h a m i l t o n j a c o b i 方程 t i t = u l v u l ，扛，t ) q ( 0 ，+ ) ( 1 6 ) 当q 有界时，对( 1 6 ) 的齐次d i f i c h l c t 问题，由模估计易知其解在强吸 收( 0 p 1 ) 时解的熄灭不发生 ( 见【4 5 】等) 当n = 时，在弱吸收的情况下，熄灭同样也不会发生， 但是当0 p 1 时，b c n a c h o u r 等证明了当且仅当有界连续的初值如( 2 ) 在 z 很大的侍况下满足某种急减性对( 1 彤的c a u c h y 问题的解具有熄灭性质， 即仅当t 0 ( z ) 满足 i ：m s u p i z l 4 。l x p ( 1 呻) t o ( z ) o 。时，问题的解才能熄灭， 而在| i r a i 。1 + 。i x t p ( 1 - p ) u o ( x ) = 的情况下，解具有正性这样我们可把 士看作是一个新的临界指数。联系爆破问题中的临界指数闯题，自1 9 6 6 年 f u j i t a 对半线性抛物方程锄= 咎+ 妒的爆破问题研究取德关于临界指数的 开创性成果以来，许多学者对方程的f u j i t a 临界指数进行了大量的研究。特 别地对c a u c h y 问题 u t ，= a 、u + _ u p扛! 焉x ( o 佃) ，( 1 7 ) i1 ( 毛0 ) = 伽( z ) ， z f ， 。 文献【3 8 ，3 9 ，8 0 ，8 1 】等已证明了问题的f u j i t a 指数为p = m + 斋，当1 矿整体解和非整体解同时存在之 后，m u k a i 等【8 2 】和郭忠胜【4 7 】分别就1 m p 和( 1 2 n ) + m 鲈时的另一个临界指数：口= 击他们证 明了若初值满足l i m s u p i ；i + 。r 咖( 士) = 时，问题的解爆破，但是 当l i m l x i + 。o 伽( 2 ) 0 时，表示临近q 边界的区域，外界粒子的浓度比内部粒子的浓度 大，由于粒子总是由高浓度区域向低浓度区域扩散，这时粒子将由外向内流 一5 一 四川大学博j 一学位论文 入：而当日 o ，雨d s ，问题( 1 8 ) 的解才有可能在有限时刻熄灭 对于非齐次n e u m a n n 边界问题，非线性边界条件的存在必定会对解的性 质产生作用。在 s 4 1 中，宁苏考虑了发展的p - l a p l a c e 方程的非齐次n e u m a n n 边值问题 f 铆= d i v ( i w l p 一2 v 牡) 一g ) ， 扛，t ) q ( 0 ，+ o 。) ， 赛= 一日( t ) ， ( z ，t ) a n ( o ，+ ) 【u ( x ，0 ) = t l o ( z ) ，z q ， 利用试验函数方法及比较原理证明了问题的解熄灭的必要条件为詹两刁d 8 雨 且片研 1 时，我们己知道方程( 1 3 ) 的解具有正性，这时区域q ( t ) + 是无界的当q ( t ) + 有界时，我们把它的边 界a q ( t ) + 称为自由边界( f r e eb o u n d a r y ) 或者分界面( i n t e r f a c e ) 关于非线性 扩散方程的自由边界的诸如单调性、h 6 1 d e r 连续、l i p s c h i t z 连续等性质，在 许多文献里面都做了详尽的研究，可参阅 2 4 ，4 3 ，1 0 i 等，这里我们不再作介 绍。 我们定义问题的解u ( z ，t ) 在时刻t 的支集为s u p 础“) = 缸月。 u ( ，t ) o ) 。显然，n c t ) + = s u p l r u ( t ) ，支集有界时，其边界就是自由边界。 我们感兴趣的是解的支集性态的演变，那么我们得思考一个问题：假如物 质在初始时刻充满了整个空间，郎s u p p u ( 0 ) = 兄川，那么在某些小于熄灭时 间的时刻时，是否也有s u p p u ( t ) = r 。或者对任意的时刻t 0 是否都有 s u p p u ( t ) r ? 显然，如果初始值如( ) 兰c o n s t ，则解的变化不依赖于z ， 那么第一种假设成立。但是对于h o 。时咖( z ) 一0 的情形，问题( 1 3 ) 在 0 p 0 ，s u p p u ( t ) 都有界，我们称解乱( z ，t 】支集瞬间收缩( i n s t a n t a n e o u ss h r i n k i n g ) 。 四川大学博上学位论文 据我们所知。【2 9 应该被看作是第一篇较为系统的研究支集瞬间收缩性 质的文献，文中利用极大值原理通过构造具有埘= a ( t ) + b ( o ) 形式的比较 函数证明了方程 毗= 乜一b ( x ) a ( u ) 【1 9 ) 的c a u c h y 问题在初值钧( z ) 对川一o o 一致趋于零，且吸收项g 0 ) 满足 辟陋g ( 3 ) ) 】- 1 2 d s 0 0 的情况下解的支集具有瞬间收缩性质接下来，同样 借助于极值原理，对于不同形式的6 ( z ) ，方程( 1 9 ) 的解的支集瞬间收缩现象 产生的条件，以及在支集瞬间收缩的情形下对自由边界的估计不断得到了论 证。例如k a l a s h n i k o v l 5 4 在一维空间中考虑了6 p ) = ( 1 + ) 一l 2 ，a ( s ) = 妒， p ( 0 ，1 ) 的情形，【5 6 和【5 8 】考虑了6 ( 。) 的更一般的情形文献 5 7 】和 6 6 1 中 基于比较原理，利用不同的方法构造上下解，在一维空间中研究了形如 t t = ( 乱“) 。一6 ( z ) 扩的带吸收项的扩散方程，提出了使解的支集具有瞬间收 缩性质的一些条件，比如强吸收性、小初值以及变化的系数的作用等等。而 且从所构造的上解支集的球形结构，得出自由边界的一些估计，【l ，1 8 】等文 献中也作过类似的讨论不难看出上述两类问题中，解的支集瞬间收缩的性 态产生的根源主要在强吸收项 另外，文献 s g ，6 7 ，6 8 运用比较原理证明了对于铷( z ) 在无穷远处时呈指 数阶增长时，解的支集仍可能具有瞬时收缩的性质，他们是通过加强吸收作 用来实现的而对于初值属于铲( r ) 的情形，k c r s n c r 和s h i s h k o v 6 4 1 运用 由线性椭圆抛物方程演化而来的能量方法，漂亮的证明了强吸收下解的支集 的瞬间收缩性态。 这种有趣现象同样会发生在其他一些具有重要物理意义的模型中，如带 有对流项的方程 毗= ( t ”) 。；+ b ( 互) ( u p ) ； 文献 3 7 】己证明了在6 ( o ) 三1 ，0 1 ) 的情况下，c a u c h y 问题( 1 3 ) 的解具 有正性，即对任意的t 0 都有s u p p u ( t ) = r n 但是在实际应用中，扩散系 数可能依赖于某个未知量及其自身的梯度，介质的密度也可能不是均匀的， 吸收项的系数也可能非齐次，在这些因素的影响下，解的性质将可能会发生 较大的改变观察如下问题 他采蝴,m-1iop 。1 k 却似 。鬟紫肌+ 删( i j o )l ( ，) = 如( 。) ，霉兄 这类抛物方程的意义不仅来自于它的数学结构，而且来自于他在一些工程及 物理问题方面的应用例如，当m 1 ，土 1 时，它描述了切向应力指数 解依赖于速度的流体在多孔介质中的非稳定多变流：m = 1 时，则为发展的 ( a 1 ) l a p l a c e 方程：a = 1 时则为多孔介质方程同时，这类方程也与一维情 形下的非n e w t o n 多方渗流方程毗= v ( 1 v 俨p _ 1 v 俨)