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复杂网络博弈模型中的同步 中文摘要 中文摘要 信息技术的飞速发展使我们的社会进入网络的时代，网络的概念已经被普遍应用 于各种学科和社会关系中，所以复杂网络就成为科技界研究的前沿和热点课题之一。 我们研究了演化的雪堆模型( s o 模型) 中博弈演化和网络结构的相互作用，构建的 网络度分布具有明显的无标度特征。我们研究了网络的拓扑特性，如平均路径长度、 聚类系数、度度关联性和网络的同步性能等动力学行为。结果发现，网络的同步性能 随着网络结构的演化而变化，但当网络规模达到一定程度时，网络的同步性将趋于稳 定，增加节点不会使同步性变差。数值模拟发现，节点的初始资本大大影响了网络同 步性能，当所有节点初始资本都相等时，较小的初始资本对应较好的同步性能。当所 有节点初始资本不相等，而是呈一定分布时，网络的同步性能要好于所有节点初始资 本都相等的情况，这样的结论在非全同振子的相位同步中也得到验证。 关键词：雪堆模型；网络结构；同步 作者：黄燕 指导教师：朱士群 复杂网络博弈模型中的同步英文摘要 a b s t r a c t w eh a v ee n t e r e dt h en e t w o r ke r ab e c a u s eo ft h er a p i dd e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o n t e c h n o l o g y s i n c et h ec o n c e p to fn e t w o r kh a sb e e nu s e di nm a n ys c i e n t i f i ca n ds o c i a l f i e l d s ，t h ei n v e s t i g a t i o n so fc o m p l e xn e t w o r k sb e c o m eo n eo ft h ef r o n t i e r si ns c i e n c ea n d t e c h n o l o g y 1 1 1 ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ee v o l u t i o no ft h eg a m ea n dt h eu n d e r l y i n gn e t w o r k s t r u c t u r e 、析t he v o l v i n gs n o w d r i f tg a m em o d e li si n v e s t i g a t e d t h ec o n s t r u c t e dn e t w o r k f o l l o w sap o w e r - l a wd e g r e ed i s t r i b u t i o nt y p i c a l l ys h o w i n gs c a l e f r e ef e a t u r e 1 1 1 e t o p o l o g i c a lf e a t u r e s o fa v e r a g ep a t hl e n g t h , c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t , d e g r e e - d e g r e e c o r r e l a t i o n sa n dt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro fs y n c h r o n i z a b i l i t yo ft h en e t w o r ka r es t u d i e d t h es y n c h r o n i z a b i l i t yo ft h ec o n s t r u c t e dn e t w o r k sc h a n g e sb yt h ei n t e r a c t i o n i tw i l l c o n v e r g et oac e r t a i nv a l u ew h e ns u f f i c i e n tn e wn o d e sa r ea d d e d i ti sf o u n dt h a ti n i t i a l p a y o f f so fn o d e sg r e a t l ya f f e c tt h es y n c h r o n i z a b i l i t y 瞻盈e ni n i t i a lp a y o f f sf o rp l a y e r s a r ee q u a l ，l o wc o m m o ni n i t i a lp a y o f f sm a yl e a dt om o r eh e t e r o g e n e i t yo ft h en e t w o r k a n dg o o ds y n c h r o n i z a b i l i t y w h e nt h ei n i t i a lp a y o f f sa r en o te q u a lb u tf o l l o wc e r t a i n d i s t r i b u t i o n s ，b e t t e rs y n c h r o n i z a b i l i t yi so b t a i n e dc o m p a r e dt ot h a to fe q u a li n i t i a lp a y o f f ，n l er e s u l ti sa l s ot r u ef o rp h a s es y n c h r o n i z a t i o no fn o n i d e n t i c a lo s c i l l a t o r s k e y w o r d s ：s n o w d r i f tg a m em o d e l ；n e t w o r ks t r u c t u r e ；s y n c h r o n i z a b i l i t y i i w r i t t e nb yy a nh u a n g s u p e r v i s e db ys h i q u nz h u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或 其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责 任。 研究生签名：盏盘e t 期： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保存期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 日期：迎灿 日期：纽掣 复杂网络博奔模型中的同步 第一章引言 1 1 复杂网络的研究背景 第一章引言 2 0 世纪6 0 年代，美国哈佛大学的社会心理学家m i l g r a m 对网络结构进行了定量分 析。他通过简单的随机分发信件的社会实验【1 】得出结论，地球上任意两个人的平均距 离是6 ，也就是说地球上任意两个人都可以平均通过5 个熟人联系起来，这种现象被称 为“六度分离 。这个平均值与全球人口数量相比非常小，这就是所谓的“小世界 现象。 近年来，复杂网络的研究处于蓬勃发展之中，w a t t s 和s t r o g t z 于1 9 9 8 年引入了 一个小世界网络的模型【2 】，称为w s 小世界网络，同时还研究了小世界网络里节点 之间的动力学行为。后来，b a r a b a s i 教授和他的博士生a l b e r t 提出了一个无标度网 络模型，现在被称为b a 模型【3 】。这两项工作揭示了不同的网络结构具有相同的某 些特性，掀起了一股研究复杂网络的热潮。目前为止，科学家们对复杂网络的研究 不再仅仅局限于数学领域，也已经涉及到生物、经济、物理、化学等等学科，随之 产生了很多的交叉学科。其中具有代表性而且得到广泛研究的网络有互联网、万维 网、合作网络、电力网、蛋白质相互作用网络、新陈代谢网络、基因网络、疾病传 播网络和神经网络等等【4 。8 】。我们知道互联网上的病毒传播会造成严重的后果，给国 家以及个人带来难以估量的损失，目前人类也正面临越来越多病毒的威胁，如艾滋 病，非典型性肝炎等等，所以抑制和控制病毒的传播变得至关重要。研究生物网络 时可以探究生物系统的整体行为以及不同组成部分之间的相互作用，不受局部研究 的限制，这也为更加深入了解生物系统提供了新的途径。复杂网络主要研究网络的 两大核心问题是网络的拓扑结构和节点的动力学行为。通常复杂网络结构决定节点 的动力学行为，节点的动力学行为反过来也影响网络结构的演化。 在复杂网络的研究中，博弈理论开始引起了人们极大的兴趣。博弈理论是1 9 5 0 年n a s h 提出来的，之后被广泛运用到人类社会中，由开始的经济学领域到以后的 法律、军事、公共选择、外交等领域1 9 1 1 1 。美国的反托拉斯法案就是基于n a s h 的理 复杂网络博弈模型中的同步第一章引言 论提出来的。基于n a s h 理论所抽象出来的著名的“囚徒困境”模型就反映了人与人 之间的竞争合作关系。类似的模型还有很多，如鹰鸽模型、雪堆模型、胆小鬼模型 左盘 ：i 宇。 虽然博弈论以及众多的模型是基于社会经济现象提出来的，但是由于这些模型 所反映的竞争与合作关系也普遍存在于生命体中，所以也吸引了很多生命科学家、 生物学家参与进来对生命物系统进行研究。任何生命体都是自私的存在，为了使自 己在竞争中处于优势地位，每个个体会想尽办法使自己获得更多的益处。博弈模型 正好反映自私的个体间竞争与合作的关系，同时能够很好地描述生物体间的相互关 系以及演化的动力学行为。博弈论告诉我们，自私个体间的博弈，其最终结果是背 叛，但实际上生物体之间的合作也是非常普遍的，即使不是刻意的，友善的伙伴关 系也会时常出现。为什么自私的个体间也会出现合作呢，什么情况下个体才会出现 合作呢? 解决这个问题对于自然界以及人类社会都是具有深远的意义。 1 2 本文的工作 近年来，许多对复杂网络同步性的研究，主要是针对网络结构演化开展的研究， 但是对于网络结构和网络中各节点策略共同演化讨论得不多。本文主要针对雪堆模 型中网络结构的变化和各节点的策略同时演化时，研究这种随时间变化的网络的拓 扑特性以及同步行为。 论文的第二章主要介绍了复杂网络的一些基本概念和基本模型。如网络的图表 示、网络结构的统计特性等等。 论文的第三章简单介绍了博弈论的基本知识，特别介绍了一个著名的模型：囚 徒困境模型。 论文的第四章研究了演化的雪堆模型( s g 模型) 中网络结构和各节点策略的相互 作用。构建的网络度分布具有明显的无标度特征。我们研究了网络的拓扑特性，如平 均路径长度、聚类系数、度度关联性和网络的同步性能。结果发现，网络的同步性能 随着网络结构的演化而变化，当网络规模达到一定程度时，网络的同步性将趋于稳定， 增加节点不会使同步性变差。数值模拟发现，节点的初始资本w 大大影响了网络的同 2 复杂网络博弈模型中的同步第一章引言 步性，当所有节点初始资本都相等时，较小的初始资本对应较好的同步性，w 值越低， 网络同步性越强。当所有节点初始资本不相等，而是呈现一定分布形式时，网络的同 步性能要好于所有节点初始资本都相等的情况，这样的结论在非全同振子的相位同步 中也得到了验证。 论文的第五章是对复杂网络博弈模型中同步研究的总结和进一步工作的展望。 复杂网络博弈模型中的同步第一章引言 参考文献 1 s m i l g r a m ，t h es m a l lw o r l dp r o b l e m ，p s y c h 0 1 t o d a y , ( 1 9 6 7 ) l ( 1 ) ，6 0 2 d j w a t t sa n ds h s t r o g a t z ，c o l l e c t i v ed y n a m i c so f “s m a l l w o r l d n e t w o r k s ， n a t u r e ( 19 9 8 ) 3 9 3 ，4 4 0 3 a l b a r a b a s ia n dr a l b e r t ，e m e r g e n c eo fs c a l i n gi nr a n d o mn e t w o r k s ，s c i e n c e ( 19 9 9 ) 2 8 6 ，5 0 9 4 r a l b e r ta n da l b a r a b 矗s i ，s t a t i s t i c a lm e c h a n i c so fc o m p l e xn e t w o r k s ，r e v m o d p h y s ( 2 0 0 2 ) 7 4 ，4 7 5 m e j n e w m a n , t h es t r u c t u r ea n df u n c t i o no fc o m p l e xn e t w o r k s ，s i a mr e v i e w ( 2 0 0 3 ) 4 5 ，16 7 2 5 6 6 d j w a t t s ，n e t w o r k sd y n a m i c sa n dt h es m a l lw o r l dp h e n o m e n o n ，a n n u r e v s o c i a l ( 2 0 0 4 ) 3 0 ，2 4 3 7 s n d o r o g o v t s e va n dj f m e n d e s ，e v o l u t i o no fn e t w o r k s ：f r o mb i o l o g i c a ln e t st o t h ei n t e r n e ta n dw w w ，o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s ，o x f o r d ，( 2 0 0 3 ) 8 s b o c c a l e t t i ，v l a t o r a , y m o r e n o ，m c h a v e z ，d u h w a n g ，c o m p l e xn e t w o r k s ： s t r u c t u r ea n dd y n a m i c s ，p l a y s r c p ( 2 0 0 6 ) 4 2 4 ，17 5 9 m a n o w a k ，e v o l u t i o n a r yd y n a m i c s ，h a r v a r du n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ， ( 2 0 0 6 ) 1o p b a l l ，c r i t i c a lm a s s ：h o wo n et h i n gl e a d sa n o t h e r , w i l l i a mh e i n e m a n n ，l o n d o n ， ( 2 0 0 4 ) 1 1 k s i g m u i l d ，g a m e so fl i f e ：e x p l o r a t i o ni ne c o l o g y , e v o l u t i o na n db e h a v i o r , o x f o r d u n i v e r s i t yp r e s s ，o x f o r d ，( 19 9 3 ) 4 复杂网络博弈模型中的同步第二章复杂网络模型的研究 第二章复杂网络模型的研究 2 1 网络结构的统计特征 历史上，网络的研究主要属于离散数学的分支之一图论的范畴，任何网络都可 以看成是许多个体以某种关系连接在一起的一个系统，抽象的图表示如图2 1 所示。 节点 图2 1 网络的图表示 节点( n o d e v e r t e x ) 是构成网络的各个个体。在不同网络中有着不同的实际意义， 如在交通网络中代表城市，在社会网络中代表个人，在航空网中代表机场等。 边( e d g e l i n k ) 是连接两个节点的线段。在复杂网络中，边被视为个体间的连接 关系。 社会学家爱好研究单个个体的特性，而物理学家则更关注的是网络中众节点的 统计规律。在复杂网络中，常见的网络结构的统计特性【1 1 有： 平均路径长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) ：网络中任意两个节点i 和j 之间的距离如定 义为连接这两节点的最短路径上的边数，任意两节点之间距离的最大值称为网络的 直径，记为d ，即d = m a x 4 ，。网络的平均路径长度l 定义为任意两个节点之间距 1 j 。 离的平均值，即 三= 上n ( n - 1 ) ， - j 吒 ( 2 一1 ) 聚类系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) ：聚类特性是朋友关系网络的典型属性，在这个网 络中两个人共同的朋友很可能彼此也是认识( 拘t 2 1 。假设网络中一个节点有k i 个节点与 5 复杂网络博弈模型中的同步第二章复杂网络模型的研究 它相连，这k i 个节点就称为节点i 的邻居。这k i 个节点之问最多可能有k i ( k i - 1 ) 条边。而 这k i 个节点之间实际存在的边数e i 和总的可能存在的边数之比就是节点i 的聚类系数 c i g = 磊 整个网络的聚类系数c 就是所有节点i 的聚类系数c i 的平均值。 节点度分布o e 铲e ed i s t r i b u t i o n ) ：节点的度定义为与该节点连接的其他节点的数 目。直观上看，一个节点的度越大，它在网络的地位也就越重要。网络中所有节点的 度值的平均值称为网络的平均度，记为 s ； 1 3 复杂网络博弈模型中的同步 第三章博弈论 ( 2 ) r 丁s + t 这个是两人单次博弈，其唯一的纳什均衡为双方都背叛，也就是双方都认罪。虽 然该模型简单，但是对各个学科形成的冲击却非常大。囚徒的困境会发生在社会科学、 经济领域、法律、生物学等等领域。其实只要有利益冲突的地方，就会有囚徒的困境。 这个思想很简单，但是确有着极大的重要性。 1 4 复杂嘲络博弈模型中的同步 第三章博弈论 参考文献 1 白波，博弈游戏，哈尔滨出版社，( 2 0 0 4 ) 2 肖条军，博弈论及其应用，山海三联书店出版，( 2 0 0 5 ) 3 g s z a b 6a n dg f r i t h ，e v o l u t i o n a r yg a m e so ng r a p h s ，a r x i v c o n d - m a d 0 6 0 7 3 4 4 ( 2 0 0 6 ) 4 j v n e u m a n na n do m o r g e n s t e r n ，t h e o r yo fg a m e sa n de c o n o m i cb e h a v i o r ， p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ，p r i n c e t o n , n j ，( 19 5 3 ) 5 j h o f b a u e ra n dk s i g m u n d ，e v o l u t i o n a r yg a m e sa n dp o p u l m i o nd y n a m i c s ， c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，( 19 9 8 ) 6 r c r e s s m a n ，e v o l u t i o n a r yd y n a m i c sa n de x t e n s i v ef o r mg a m e s ，m i tp r e s s ， c a m b r i d g e ，m a ，( 2 0 0 3 ) 7 l a d u g a t k i n , c o o p e r a t i o na m o n ga n i m a l s ：a ne v o l u t i o n a r yp e r s p e c t i v e ，o x f o r d u n i v e r s i t yp r e s s ，o x f o r d ，( 19 9 7 ) 8 h g i n t i s ，g a m et h e o r ye v o l v i n g ，p r i n c e t o nu n i v e r s i t y ，p r i n c e t o n ，n j ，( 2 0 0 0 ) 9 a m c o l m a n ，g a m et h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n si nt h es o c i a la n db i o l o g i c a l s c i e n c e s ，b u t t e r w o r t h h e i n e m a n n ，o x f o r d ，( 19 9 5 ) l0 b s k y r m s ，t h es t a g h u n ta n dt h ee v o l u t i o no fs o c i a ls t r u c t u r e ，c a m b r i d g e u n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，e n g l a n d ，( 2 0 0 4 ) 1 1 k g b i n m o r e ，p l a y i n gf a i r g a m et h e o r ya n dt h es o c i a lc o n t r a c t , m i tp r e s s ， c a m b r i d g e ，( 1 9 9 4 ) 1 2 r a x e l r o da n dw d h a m i l t o n ，t h ee v o l u t i o no fc o o p e r a t i o n ，s c i e n c e ( 1 9 8 1 ) 2 1 1 ， 1 3 9 0 13 r a x e l r o d ，t h ee v o l u t i o no fc o o p e r a t i o n ，b a s i cb o o k s ，n e wy o r k ，( 19 8 4 ) 1 5 复杂网络博弈模型中的同步第四章演化的雪堆模型中的同步 4 1 背景介绍 第四章演化的雪堆模型中的同步 博弈论已经被广泛应用于生物、物理、社会、经济等等众多的系统中【l j 。如果一 些系统是有许多相互作用的个体组成，那么这些系统就可以称为是网络。近年来，复 杂网络成为人们描述和理解这些复杂系统动力学行为的一种很好的途径。 网络上的动力学过程很丰富，有免疫策略和传播动力学分析、病毒传播、网络上 的信息交通、耦合振子的同步、博弈、雪崩效应、搜索和相继故障分析【3 0 j 等等。在众 多的动力学行为中，虽然个体的合作行为越来越受到人们的关注，但是其他一些集体 行为，例如同步问题，也引起了来自生物【2 】、激光【3 1 、神经网络【4 j 等领域研究人员的极 大兴趣，不同的网络拓扑结构影响着网络的同步性能【l j 。目前，人们已经研究了小世 界网络【5 1 、无标度网络【6 】以及加权网络【7 】等具有不同拓扑结构的网络的同步性能。这些 网络都是按照定义的网络生成规则构建起来的，然而网络结构生成过程中结点的动力 学行为影响则需要更多地考虑进来。 在本文的博弈过程中，演化的雪堆模型( s n o w d r i t tg a m e ，s g ) 在网络结构演化同每 个个体( 或节点) 策略的演化之间相互影响、相互作用。我们讨论了网络的结构参数， 如初始资本收益w 、收益参数r 以及噪声因子r 的影响。在4 2 中，建立网络模型并介 绍网络同步性能；在4 3 中，分析了这个演化模型的一些拓扑特性，如度的幂律分布， 小世界特性等。在4 4 中，通过计算第二大本征值研究了演化模型的同步行为，讨论 了加入的每个节点的初始资本相同和不相同这两种情况下的同步性。 4 2 网络模型的建立和同步性介绍 我们建立的网络模型与雪堆模型相互耦合，可以通过下面两个步骤来分析这个问 题。首先，建立一个不断增长变化的网络，构建的依据是个体间收益的偏好连接。第 二步，研究构建的网络的拓扑特性和动力学行为。 1 6 复杂网络博弈模型中的同步第四章演化的雪堆模型中的同步 雪堆模型是两种策略相互竞争的著名模型，个体可以自由选择策略，即合作或是 背叛，在这样一个社会矛盾中自私的个体之间也会产生合作。雪堆模型是以下情形的 数学抽象。两个开车回家的人，被一个雪堆拦在了两边，只有把雪堆铲掉他们才能回 家，图4 1 是雪堆模型的示意图【2 9 1 。 图4 1 雪堆模型示意图 每个人有两种策略可供选择：铲雪堆( 合作- - c ) 或是坐在车里什么都不做( 背叛 一d ) 等别人把雪堆铲掉。他们采取的策略可以表达为以下的收益矩阵： c 2d 2 c ；( r ，r )( s ，t ) d l ( t ，s ) ( p ，p ) 其中r 表示双方都合作时得到的收益。p 代表双方都背叛时受到的惩罚，这里我们取 p = 0 ，意味着双方在博弈中都是失败的而且都没有收益。如果一方合作，另一方欺骗， 则欺骗方获得收益t ，而合作方获得收益s ，收益的排序是t r s p 。这些收益可以进 一步的数值化r = 1 ，t = l + r ，s = l - r ，r 是双方都合作时付出成本与获得收益的比值【2 】， 是一个可调参数，可以取0 。1 之间的值f 1 2 彤】，这样矩阵就可以简化为： g砬 c l( 1 ，1 ) ( 1 - r ，1 + ，) d l ( 1 + ，1 一，) ( o ，o ) 网络模型以e o = 1 5 条边随机连接到n o = 1 0 个节点上开始，每个节点的初始策略随 机地被赋予合作c 或是背叛一d 。在每一轮博弈里，网络规模增加的同时策略也变更， 这两个演化的过程又是相互影响的，具体的演化细节如下： ( 1 ) 在每一个时间步( 每一轮博弈) 里一个新的节点按照个体收益的偏好连接原则 加入到已有的网络中去，并且连到m 个已存在的节点上，这里m n o ( 本文取m = 3 ) 【1 4 1 6 1 。 这个新节点与一个已经存在的节点i 相连接的概率是： 1 7 复杂网络博弈模型中的同步第四章演化的雪堆模型中的同步 n ，= j y j ( 坐p j + g r l ) ( 4 1 ) 其中，e ，只是i 和j 在博弈过程中的总收益。总收益是在这轮博弈里该节点与其所有的 邻居节点博弈，根据收益矩阵计算所得的收益之和【1 2 1 。w i ，w j 是第i 和第j 个节点加入系 统时的初始资本或叫初始收益，当然个体加入进来时也可以没有初始资本，即初始资 本可以为0 。当一个新节点加入到已存在的网络中时，其策略是随机选取合作c 或者是 背叛d ，其他老的节点在新节点加入的同时更新策略，更新策略的原则如( 2 ) 。 ( 2 ) 在每一轮博弈里任意一个已存在于网络中的节点i 随机选取它的某个邻居节局 来更新自己的策略。节点i 是否要学习邻居节岗的策略呢? 这就与它们各自的收益有 关，策略更新的概率即是： 1 嘞= 雨丽毒西丽 ( 4 2 ) 其中p 。，只是节点i 本身和它的邻居节点j 在博弈中的总收益。总收益也就是在这轮博弈 里该点与其所有的邻居节点博弈所得的收益之和。在策略更改之后，下一轮博弈里， 节点i 的收益仍旧回复到初始收益。r 是噪声影响，包含了一些随机因素，如一些非理 性的反应，错误的决定等等。 演化的雪堆模型和演化的策略( 或叫动力学法则) 结合起来就提供了一个随时间变 化着的网络模型。这个随时间演化的网络结构和普遍存在的策略演化耦合在一起。另 一方面，大家熟知网络的拓扑特性常常大大影响着网络中节点的动力学行为，例如， 小世界特性会使网络中节点的集体行为增强。这为构建时变网络提供了一种研究演化 的网络结构和动力学法则影响网络动力学行为的方法。我们的重点是研究网络的同步 性，因为这是网络重要的动力学行为之一。网络的同步性常常可以用主稳定方程( m s f ) 的方法来研究。考虑一个由n 个相同节点构成的网络，其中第i 个节点的状态方程如下 【9 】： 毫= f ( x i ) + c r a i j h ( x j ) ( 4 3 ) ，= l 其中，五o = 1 ，2 ，3 ，n ) r 是节点i 的状态变量，仃 o 是网络的耦合强度，h 是各个节 1 8 复杂网络博弈模型中的同步第叫章演化的雪堆模型中的同步 点状态变量间的内耦合矩阵，a = ( ) r n n 是外耦合矩阵或叫拓扑矩阵【1 0 1 。 如果拓扑结构是无权无向的简单图，i 和j ( i ) 之间如果有连接，则= = 1 ， 反之，若无连接，则为0 。外耦合矩阵a 的矩阵元是 q ，= 一呖= 一啄= 吨，i = 1 ，2 3 n ( 4 4 ) z 亏!j ：亏! ，i，l 这里，毛是节点i 的度值，我们知道此时a 显然是一个对称矩阵。那么外耦合矩阵a 的 特征根均为实数，可以记为 o = 乞乃k 当卜 0 0 时，有x l ( t ) 一x z ( t ) 专一x n ( t ) 哼j ( f ) ( s ( ，) 是同步状态) ，动态网络如方 程式( 4 3 ) 所示，达到完全( 渐近) 同步。耗散耦合条件得到：叠( ，) = 厂( s ( r ) ) ，同步状态s o ) 就是单个孤立节点的解【1 0 i 1 1 1 1 。 正如文献 9 】【1 1 】所指出，同步状态j ( f ) 由下面的主稳定方程决定 夕= 【上矿o o ) ) + 口册o ( f ) ) 】y ( 4 5 ) 方程中口r ，巧( s o ”以及册( 5 ( f ) ) 是饼口h 关于s ( f ) 的j a e o b i 矩阵。外耦合矩阵a 的第 二大特征值五描述和刻画了网络的同步能力【1 2 1 。五的值越小，网络的同步性越好。 4 3 网络的拓扑特性 刻画网络拓扑结构的统计特性一般有度分布、平均路径长度、聚类系数、以及 度度关联性( 有的文献中把这个量也称为同配性系数) 。 1 9 里量型堑竖笪熊型! 塑! 兰里型至丝些盟要苎堕型主盐旦生 、弋斟弋手博 ：酬 一 1 0 1 k 1 0 2 1 0 31 0 1 k 1 0 2 i o 1 0 1 k 1 0 2 1 0 _ 骊 ( e ) “o h n _ 矗 - 一_ -t 1 图4 2 节点度分布h k ) 以及度分布指数，分别与初始资本w 、收益参数r 以及噪卢因子 r 的函数芰系。其中( d ) 中插入的小图是当w 取2 0 0 0 时网络节点度分布情况。网络规模均是 n - 1 0 0 0 0 。目中每个度分布都是通过1 0 次模拟得到的。 本论文中分析的是与雪堆模型耦台变化的无向无权的网络。为了简便，我们把所 有节点的初始资本w 视为相同。 图42 ( a ) ( d ) 是节点度分布以及度分御指数和初始资本w 的函数关系。网络节点 数是1 0 0 0 0 ，收益参数r - 04 ，噪声田子r = 01 。从图4 2 ( a ) 中可以清楚地看出度分布在 度比较大的区域明显具有幂律特征p ( k ) 虻k ，呈现出无标度网络的性质。而且从图 42 ( d ) 中可阻看出度分布的指数，与w 有关，而且随着初始收益w 的增大而减小。指 数y 是在观对数坐标系中拟和得到的斜率。当w 比较小时指数y 减小的比较快，w 比较人时，指数减小的比较慢。从数值模拟可以得到n - 1 0 0 0 0 时所有节点的平均收 益( 不把竹点的初始资本计算在内) 是6 ，即 = 6 。通过理论计算，也同样可以 得到所有节点平均收益的极限值，l i r ap m 。+ + 6 。m = 6 ，条件是n 比n 。大得多，其中帆是 复杂网络博弈模型中的同步第四章演化的雪堆模型中的同步 初始的节点数，e o = 鼻。这样我们从( 4 1 ) 式进一步分析可以得到：如果初始资本 i = 1 w 越来越大，节点的收益p 在连接几率兀。中占的比重就会越来越小。所以当w 非常 大时，节点的收益p 在连接几率n ，中占的比重就可以忽略不计了，即在连接几率中w 掩盖了结构演化的偏好性动力学行为，此时可以把网络看作是以随机连接几率增长的 网络。我们这里取w = 2 0 0 0 为例，如图4 2 ( d ) 中插入的小图是当w 取2 0 0 0 时网络节 点度分布情况，可以看到在半对数坐标里度分布对应于一条直线，呈指数衰减，这与 随机增长网络的性质是吻合的。 图4 2 ( b ) ( e ) 是度分布以及度分布指数和收益参数r 的关系。网络参数取值如下： 初始资本w = 4 ，噪声因子t c = o 1 ，网络规模n = 1 0 0 0 0 。在4 2 ( b ) 中，度分布对应不同的 r 值都呈出幂律分布。在4 2 ( e ) 中，收益参数r 不同时的度分布，可以看出在r 比较小 时，r 对幂律指数没有大的影响，而对于大的r 值，指数y 的值减小的比较快。 噪声对幂律指数的影响，可以通过图4 2 ( c ) 和4 2 ( 0 看出。噪声的取值范围是 r 0 ，说明嘲络是同配的，也就是 蜕，大度值的节点更倾向丁连接那些大度值的节点。几乎所有社会网络具有正的a 。 a 0 说明网络是异配的，也就是说大度值的节点更倾向于连接那些小度值的节点。 技术网络和生物网络通常表现出负的a 。同配性系数a 被计算出来验证我们的演化模型 是否能够刻画社会网络。从图43 ( c ) 町以看出来随着w 的增加同配性变得越来越明显。 对于相同的w ，网络规模的大小对a 基本没有什么影响。 尽管网络没有停止增长，系统各节点合作的动力学行为能够达到稳定。如图44 ( a ) 和44 ( b ) 描述了合作密度也就是网络中合作者所占的比重与网络规模n 的关系，此时w 和r 都是变化的。从图44 中可以看出，尽管网结一直不断地在增长，但是网络中台作者 的比重会达到一个稳定状巷。 10 0 8 0 6 芷0 4 0 2 0 0 10 0 8 芷0 6 0 4 0 2 0o 黟 w = o r _ 08 滥 。( b ) 。 腾 o2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 n 图4 4 合作密度岛关于阿络大小n 的函数关系( a ) 当闻8 w 取不同值时，n 随n 的变化 情况；( 坼当w = 4 ，诹不同值时，p c 随n 的变化情况 里銎壁垒壁堑堡型! 盐