（应用数学专业论文）带有优先级的多服务台排队系统研究与应用.pdf

d a l i a nm a r i t i m eu n i v e r s i t y i np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e b y l ud a n ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) t h e s i ss u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rl uy u z h e n m a y 2 0 1 1 开发表或未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学 位论文的规定，即：大连海事大学有保留并向国家有关部门或机构送交学位论文 的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学 位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文 数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行 和提供信息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 本学位论文属于：保密口在- 年解密后适用本授权书。 不保密彳( 请在以上方框内打哆，) 论文作者签名：乡强导师签名：予参旋论文作者签名乡吃对导师签名：7 办圾 日期：- - 妒年莎月垅日 系统是在 行研究的 矩阵几何 行服务系 出；最后 要考虑的 系统容量问题。 在带有优先级的多服务台排队系统中，不同优先级的顾客达到系统的过程都 是一马尔科夫过程，同时，服务台的服务时间也服从一具有马氏性的随机分布。 本文主要对带有优先级的多服务台排队系统做了如下两方面研究： 首先，论文的第二章建立了带有优先级的3 个服务台的排队模型，当系统达 到稳定状态时，由于数据繁杂冗长，将其数据组合转化成矩阵形式来表示，应用 n e u t s 的矩阵几何方法，得到了系统中单位时间内所有顾客的总人数，正在接受服 务的顾客总人数，正在队伍中排队的顾客人数，以及具有较高优先级顾客的人数、 正在接受服务的人数和排队等待的顾客人数。并由此推广到c ( c 3 ) 个服务台的情 况，最终得到了，当系统中有c 个服务台时，不同顾客的排队队长。 其次，将带有优先级的m m c 排队系统应用到银行中。从银行网点设定的角 度分析，通过不同类顾客到达的情况与服务台所提供的服务速率，确定出了银行 排队系统中的顾客数量，为银行的建设规模设定提供了重要的参考依据。 带有优先级的多服务台排队系统的研究，在此之前，模型的各项性能指标基 本上处于形式的状态。本文通过m a t l a b 程序编辑，给出了几个重要性能指标的精 确数值解。 关键词：优先级；m m c ；银行排队；系统容量 c u s t o m e ra r r i v a lr a t ea n ds e r v i c er a t ea sk n o w n , s o l v e dt h ep r o b l e ma b o u tt h ed e s i g n i n g c a p a c i t yo ft h es e r v i c es y s t e m i nt h ep r i o r i t ym u l t i s e r v e rq u e u i n gs y s t e m ，t h ep r o c e s so fc u s t o m e ra r r i v a la n d s e r v i c eb o t l lf o l l o wm a r k o vd i s t r i b u t i o n i nt i l i sp a p e r , t h er e s e a r c ho np r i o r i t y m u l t i - s e l v e rq u e u i n gs y s t e mg o e sa sf o l l o w s ： f i r s t l y ，i nt h ec h a p t e rt o ww em o d e l e dp r i o r i t yt h r e e s e r v e rq u e u i n gs y s t e m w h e n t h es y s t e mg o ts t e a d y ，u s i n gm a t r i xg e o m e t r i cm e t h o do fn u e t s ，w eg o tt h eq u a n t i t yo f t h ec u s t o m e ra l li nt h es y s t e m ，c u s t o m e rb e i n gs e r v e da n dc u s t o m e rq u e u i n ga n ds oo n t h e nc h a n g et h en u m b e ro fs e r v e r ，w es u p p o s e dt h a tt h eq u a n t i t yo fs e r v e rw a sc ，a n d a n a l y s i sa b o u tt h er e l a t i o n s h i pa m o n gd i f f e r e n tc u s t o m e r s s e c o n d l y ，w ea p p l yt h ep r i o r i t ym m cq u e u et ob a n ks e r v i c es y s t e m t h i n ka b o u t d e s i g n i n gt h es c a l eo fb a n k , w eg o tt h ec a p a c i t yo ft h eb a n ks e r v i c es y s t e mo nk n o w n d i f f e r e n tc u s t o m e rr a t ea n ds e r v i c er a t e ，w h i c hp r o v i d e st h ei m p o r t a n to p e r a t i o n r e f e r e n c ef o rd e s i g n e r a sf 打，a l lt h es o l u t i o n so fp r i o r i t ym u l t i - s e r v e rq u e u i n gs y s t e ma r ef o r m a l i nt h i s p a p e r , w ec o m p u t e dt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fs e v e r a li m p o r t a n tp e r f o r m a n c ei n d i c a t o r s b y m a t l a b k e y w o r d s ：p r i o r i t y ；m m c ；b a n kq u e u i n g ；c a p a c i t yo fs y s t e m 目录 目录 i ；i言1 第l 章排队论和优先级介绍4 1 1 排队系统的三个基本组成部分4 1 1 1 输入过程4 1 1 2 服务机构5 1 1 - 3 排队规则6 1 2 排队过程的表示方法7 1 3 排队系统的主要性能指标7 1 4 排队规则带有优先级的排队系统9 第2 章带有优先级的m m o 排队模型及其数量指标“1 1 2 1 带有优先级的m m 3 排队模型建立11 2 2 具体参数数据模型19 2 3 系统稳态下的各项数量指标2 5 2 3 1 单位时间内系统中的顾客人数n 2 5 2 3 2 单位时间内系统中在队伍中的顾客人数n q 。2 6 2 3 3 单位时间内系统中正在接受服务的顾客人数n v 2 6 2 3 4 单位时间内系统中i 类顾客的各项性能指标2 7 2 4 带有优先级排队系统模型多服务台的推广2 9 第3 章优先级排队系统在银行服务中的应用3 5 3 1 银行排队系统模型假设3 5 3 2 银行排队系统的性能指标3 6 3 3 银行排队系统容量设置4 0 结论与展望4 7 参考文献。4 9 致 射5 3 带有优先级的多服务台排队系统研究与应用 引言 队论( q u e u i n gt h e o r y ) 又称随机服务系统【l 】，是运筹学和应用概率论发展 的一个分支。它主要是通过研究排队系统中的各项排队对象的概率特征， 研究接受服务与提供服务之间的关系，根据得到的性能参数指标( 排队队 顾客的逗留时间乃等) ，能够使得服务系统设计达到最优，或者系统控制达 队论是一门起源于二十世纪初的数学学科，创始人是丹麦著名的电信业工 程师a k e r l a n g ，一开始是被用于电话服务行业。1 9 0 9 年，e r l a n g 在研究电话服 务作业时，提出了排队论的理论。1 9 3 0 年后，由于把生灭过程的规则引用到排队 论中，使得排队论增添了更多的生机，引起了数学领域和通信领域的广泛关注。 排队论二次世界大战之前，由于只在通信行业被研究，以致于发展的非常慢。二 战之后，随着在金融、生产制造、管理、交通运输、军事等多个行业的应用，从 而进入了一个飞速发展的阶段。现在，排队论已经成为一门比较成熟的理论。再 加上计算机技术的发展与应用，排队论的应用在各领域中发挥着意义深远的作用， 并取得了颇多成果。 在一般的排队问题中，先到先占是一种最自然的排队规则，但是在实际问题 里，有时我们也会利用其他的规律以符合自己的需要，对于紧急的事件，延迟导 致费用较高的事件，或仅仅是比较容易处理的事件，人们往往愿意给予较高的优 先级。比如，在银行排队系统中，近些年来，银行柜台经常是被办理零散业务的 普通顾客所占用，许多银行的管理者会通过分析顾客给银行所带来的利益价值， 细化的区分顾客，为高级顾客提供便捷的通道，实现资源配置优化。 带有优先级的排队系统拥有多个排队队列，并给每个队列赋予不同类别的优 先级。其中，优先级别最高的排队队列首先接受服务，优先等级次一级的第二个 接受服务，依次排列下去。 在早些研究排队论的时期，带有优先级的排队，最早是由c o x 和s i m i t 在1 9 6 1 年编写的排队论专著中提出，在这个时期，也仅仅是些理论工作的概要。到了上 引言 世纪七十年代，j a i s w a l 给出了整体的理论体系，不过都是对单服务台进行的研究， 之后，又将强占优先级与非强占优先级的研究结果充实在理论体系中。 带有优先级的排队服务系统，被广泛应用在各种领域中，如通信行业、计算 机技术行业、金融业等，尤其是在研究网络信息传递过程中经常会被应用。自1 9 9 0 年至今，对单服务台系统，其中，顾客到达系统服从泊松分布，服务台服从一般 分布，这一类排队系统理论研究已经几乎接近完善。最近几年，关于带有优先级 的m m c 系统的研究受到了国内与国外的广泛的关注，关于这一类的文章，国外 的研究偏重于优先级系统在计算机网络传输领域的应用，而国内只是在单个服务 台的层面上进行了论述与说明，很少涉及到两个或两个以上的服务台排队系统。 。带有优先级的排队系统研究具有一定的实际意义： 首先，从顾客自身利益出发，银行通过引用优先级排队，根据顾客需求类型 细化，整体的服务时间可以加以改善，能够使大多数顾客用最短的时间接受完服 务，既可以节省顾客的时间与体力，从而使得顾客的等待成本降低，又能够提高 顾客对银行服务的满意度，同时使得银行在市场竞争中争取到更多效益，实现市 场与社会的双赢，甚至是多赢。建立合适的带有优先权的排队系统，应用于银行 排队系统中，缩短了高优先级顾客的时间，而高优先级顾客代表了更多的社会价 值，使得高优先级的顾客能够充分利用时间，让更多的利润流向社会，也使得银 行能够充分调配资源，得到更多的效益。 其次，从银行经营管理方面来看，顾客的排队是其中比较复杂的问题。通过 引用带优先权的排队服务系统模型，来解决银行的排队服务，不仅能够协调顾客 自身成本和服务成本间的关系，而且使得银行的各类资源得到更合理的配置。 通过引入此模型，系统中的资源设施配置也会随之发生变化。至今还没有一 篇将带有优先级的排队应用到银行服务系统中的论文，来阐述系统中的各项性能 指标。 关于排队论解决的问题大部分都是在系统能达到稳定状态情况下进行的研 究，主要是因为排队系统中瞬时解具有不稳定性，想要得到有效且准确的判断是 比较困难的。文献【1 】一【6 】是对排队论的研究背景与意义进行的说明。文献【6 】- 【1 5 】 2 的多服务台排队系统研究与应用 或双服务台的排队系统，并结合一些特殊的规则 条件分析了不同情况下的排队问题。文献【1 6 】- 【1 9 】研究的是带有优先级的排队系统 能达到稳定状态的各种条件。文献【2 0 】一【3 4 】分析了非强占型优先级排队系统的各项 组成部分，并提出了带有优先级情况下的收敛原则。文献【3 5 】- 【4 0 】讲述了带有优先 级的多服务台排队在不同规则下的应用。文献【4 1 s u 讲述了银行中的排队问题， 并对银行排队应用m a t l a b 进行了仿真实现。文献【5 2 】- 6 0 】从不同角度，通过添加顾 客到达和服务台服务自身所具有的各项实际条件与规则( 启动时间、休假等) ，对 系统中顾客的逗留时间、排队时间以及系统中的平均队长作了进一步的研究。 本论文分为如下几部分： 第一章首先介绍了与优先级排队相关的排队论基础知识，其次根据第二章与 第三章的需要，给出了优先级排队研究的理论与方法。 第二章根据实际需求，建立一个带有优先级的三个服务台的排队模型，通过 应用n e u t s 的矩阵几何方法，在已知顾客到达率与服务台的服务率的情况下，利用 m a t l a b 计算软件编辑程序，求解出了系统达到稳定状态时的各项重要的性能指标。 并研究了将此模型推广到服务台为c 个的情况。 第三章将带有优先级的多服务台排队模型应用到银行排队系统中，要通过不 同顾客的到达率与不同的服务率，确定出银行网点在某地点建设时需要考虑的规 模大小，即求解银行服务系统达到稳态时，系统中顾客的总人数。并且通过m a t l a b 编辑程序，给出了方便快速的求解系统容量的方法，为相关的设计人员提供了精 确的参考依据。 最后一部分为结论与展望，总结了本文的主要研究内容与所得到的结果，并 根据所得到的结果进行了相关展望，最后指出了文章中的不足和需要改进之处。 第1 章排队论和优先级介绍 第1 章排队论和优先级介绍 在排队系统中，并不是所有的“顾客 必须是人，也可以是物，可以是实际 存在的，也可以是形式存在的。比如，在电话系统中，所谓的顾客指的是电话的 呼叫，服务台指的是电话总机，提供的服务是：接通呼叫或取消呼叫：在售票系 统中，顾客指的是前来购票的旅客，服务台是售票窗口，提供的服务为收款和售 票；在设备维修系统中，顾客指的是出故障的设备，服务台是修理工，提供的服 务是排除设备故障；对防空系统而言，顾客是指进入阵地的敌机，服务台是高射 炮，提供的服务为：瞄准、射击，敌机被击落或离开。 排队过程如下图所示： 图1 1 排队系统 f i g 1 1q u e u i n gs y s t e m 1 1 排队系统的三个基本组成部分 尽管存在着各种形式的排队系统，但从决定排队系统进程的主要因素看，主 要由输入过程、服务机构和排队规则三个部分组成。 1 1 1 输入过程 所谓输入过程是指到达排队系统的顾客是按怎样的规律进入系统。 顾客总体数：顾客的来源是有限的，也可能是无限的，像工厂内发生故障待 修的机器是有限的；而到达汽车修理厂的汽车可以看成是无限的( 因为不存在最 大的限制数) 。 4 到 则有 到达的时间间隔序列。 在研究排队论的时候，我们都是假定序列纯，刀1 ) 相互独立，同分布。有定长 输入( 即顾客按等距时间到达) ；泊松流输入( 最简单流输入) ，也就是纯，刀1 ) 相 互独立，同负指数分布；k 阶埃尔朗输入；超指数分布输入；几何分布输入；成 批输入( 到达系统的每一批顾客的个数可以是固定的，也可以是不固定的) ，还有 一些其他形式的输入方式等。 本文顾客到达过程主要考虑顾客的泊松到达情况。满足以下四种条件的输入 流称为泊松流( 泊松过程) 【2 】： 平稳性：在时间区间【t , t + 】内到达聊顾客的概率与既关，只与，有关， 记为忍( 出) ； 夺无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数相互独立； 普通性：在足够短的时间内，到达多于一个顾客的概率可以忽略不计； 夺有限性：任意有限区间内到达有限个顾客的概率等于1 。 1 1 2 服务机构 区分服务机构的主要因素为：服务台的数量，普遍被研究的是单服务台。在 多服务台的情况下，又可分为串联和并联两种情况。顾客所需的服务时间服从什 么样的概率分布，每位顾客所需的服务时间是否相互独立，是成批服务还是单个 服务等。 5 第l 章排队论和优先级介绍 通常系统的服务时间分布有：定长分布、负指数分布、超指数分布、k 阶埃 尔朗分布、几何分布、一般分布等。 经常见到的有一般分布、定长分布和负指数分布，下面给出这三种分布的定 义： 一般分布【3 】 一般分布是指分布函数为f ( f ) = p k f ) = 1 一p 一：嘶的分布，期望与方差分 别是e ( ，) = 三，d o ) = 仃： ，并且下面的概率方程 组有非负解： 陋1 ( s , z s o 一巧) 一( s e - l + h f e l x s 2 墨矿岛一f = e - s o 最硎= 0 ( 2 2 习 陋矿一力一( s t e - + h f e l 墨一e 一最矿+ 力 ( i - i - 1 ) 一k = 1 ( 2 2 田 1 7 第2 章带有优先级的m m c 排队模型及其数量指标 证明：由于 m = e + s + f = 所以，矩阵m 是具有吸收态特征的马尔科夫过程。 从而，由矩阵m 生成的平稳概率向量为 p = ( o ，o ，o ，o ，1 ) 。o 。一 n + i 列 根据引理2 3 ，日的谱半径是小于1 的充分必要条件为： 尸( ，一e ) e 0 把，= ( o ，o ，o ，o ，1 ) 代入2 2 5 式得3 m ， 、- 。v o 。一 + l 列 再根据引理2 2 ，要求k + 丑+ 昱+ b u 一日) - 1 = 1 ， 即求矩阵方程组 根据2 2 9 式，得 b = 一b p + 胛归。1 根据2 3 0 式和2 2 8 式，得 1 8 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 0 0 o o o 一 无。o 一 0 0 0 0 0 见0 o o o如吐一o o o o如以oo o o如以o o o o 乞以o o o o o 如0 0 0 0 0 0 以0 0 0 0 0 0 0 o 0 = i i = 五f 功 加b b 尼 = + + + 郴聃坤 h + + + & e e e r r 毋罡 带有优先级的多服务台排队系统研究与应用 一( b s 2 + p 3 f ) e 以 一 - p 3 ( s + h f ) e 一1 是+ 忍f k l b 陋一s 2 e 1 + h f e s 2 e 一一f e 一) 2 31 式、2 3 0 式和2 2 7 式，得 一亿墨+ p 2 f 2 归q k 妞s ：e 4 + h f e s ：e 一一f e 。h e ，( s + i - i f ) e q 疋k 。1 忍( 砬一1 s 1 e 一s e s 2 e 一1 s 1 e 。一h f e 一1 s 2 e 一1 墨e - 1 + s e 一1 r e 一1 + l i f e 一1e e 一1 ) 3 2 式和2 31 式代入2 2 6 式，得 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 忍陋一1 s i e 一一s e 一1 s 2 e 一1 s l e - 1 _ h f e 一1 s 2 e s l e i + 舾。f , j z 。1 + h f e q v , e h + b 恤d s 2 e 1 + h f e q s 2 e - i - - f e 。1k = o 整理，得 b k 匹卅( s i e s o 一互) 一陋。1 + h f e 。e 。s i e s o f , e s o s 2 e 。1 e ) j = o 从而，2 2 3 式得以证明； 把2 3 0 式、2 3 1 式和2 3 2 式代入引理2 。2 中的条件 纯+ 互+ 曼+ 弓u h ) - 1 = 1 整理，得 k ( ：昭一1 s t e - i _ s e 一1 s 2 e 一1 s l e - 1 _ h f e 一1 e 一1 s , e l + 胚一1 e e l + h f e 一1 最e 一1 ) + 只陋一- s , e 一- + h f e t s 2 e - i - - f e 一- ) 一b 陋一+ h f e t ) + 只( ，一m ) - 1 = 1 整理，得 p e 一- b e 一，) 一p 。e 一- + h f e 一- ：e 一1 s 1 e 一一疋e 一一s 2 e 。1 + ，) + ( ，一n ) - 1 - = 1 从而2 2 4 式得以证明，证明完毕。 2 2 具体参数数据模型 上述模型中，是不受限制的，为了能够得到概率矩阵具体数值，不妨假定 = 1 0 ，在求服务系统稳态时的概率向量，另一个重要的条件是b 的值。下面给 出一个带有两类优先级的m m 3 服务系统的具体例子，假定在单位时间内两类 1 9 顾客进入系统的人数分别为a = 2 、如= 3 2 ，单位时间内系统对两类顾客的完成服 务的人数分别是以：2 、鸬= 2 ，可以把f ，s ，e ，s o ，墨，最，e ，e 分别求出，如下所示： s = = s = 岛= 一1 1 23 2 00 00 0 0 1 1 2 3 20 00 0 00 11 2 3 200 0 0 00 1 1 2 3 2 00 00 00 - 1 1 2 0 0 00 0 00 - 1 1 23 2 00 00 00 - 8 5 23 2 000 01 2 7 23 2 00 0 l 0 49 23 20 0 l 00 611 2 0 0 l l 0 00 0- 11 2 3 21 0 00 0 6 8 1 l x l l 7 7 23 2 0 00 0 1 2 9 23 200 0 l 04 1 3 23 20 0 l 0 041 3 2 0 0 i l 00 00 - 1 3 23 2 i 。0 00 04 1 1 2 凡1 1 1 1 23 20 0 2 1 3 23 2 0 0 21 3 23 2 00 2- 1 3 2 0 000 00 00 00 00 00 00 一1 3 2 2 3 2i l - 1 0 ) l l l l ( 1 l x l i ) h 2 = 一( h 1 2 * f + e ) * i n v ( s ) ： h i = h 2 ： i ，h 2 e n d 经过有限次的迭代，就可以得到比较可观的结果，将运行得到的一部分结果 给出如下： i = 2 5 h 2 = 0 2 0 0 00 0 7 2 7 0 0 3 0 1 0 0 1 3 90 0 0 7 1 0 0 0 3 8 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 00 0 7 2 7 0 0 3 0 1 0 0 1 3 9 0 0 0 7 10 0 0 3 8 00 0 2 0 0 0 0 0 7 2 70 0 3 0 1 0 0 1 3 9 0 0 0 7 1 0 0 00 2 0 0 0 0 0 7 2 70 0 3 0 1 0 0 1 3 9 0 0 00 0 2 0 0 0 0 0 7 2 70 0 3 0 1 0 00 0 00 2 0 0 0 0 0 7 2 7 0 0 00 0 0 0 2 0 0 0 0 00 0 00 0 00 00 0 0 0 0 00 0 00 0 2 1 第2 章带有优先级的m m c 排队模型及其数量指标 0 000 000 0 0 0 1 3 0 0 0 2 2 0 0 0 3 8 0 0 0 7 1 0 0 1 3 9 0 0 3 0 1 0 0 7 2 7 0 2 0 0 0 o 0 o i = 2 6 0 0 0 0 8 0 0 0 1 3 0 0 0 2 2 0 0 0 3 8 0 0 0 7 1 o 0 1 3 9 0 0 3 0 1 0 0 7 2 7 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 8 0 0 0 1 3 0 0 0 2 2 0 0 0 3 8 0 0 0 7 1 0 0 1 3 9 0 0 3 0 1 0 0 7 2 7 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 2 3 0 0 0 3 6 0 0 0 5 8 0 0 0 9 6 0 0 1 6 6 0 0 3 0 6 0 0 6 0 6 0 1 3 3 3 0o 0 3 3 3 3 h 2 = 0 2 0 0 00 0 7 2 70 0 3 0 10 0 1 3 9 0 0 0 7 10 0 0 3 80 0 0 2 2 o0 2 0 0 00 0 7 2 70 0 3 0 10 0 1 3 90 0 0 7 10 0 0 3 8 oo0 2 0 0 0 0 0 7 2 70 0 3 0 10 0 1 3 90 0 0 7 1 0000 2 0 0 00 0 7 2 70 0 3 0 10 0 1 3 9 oooo0 2 0 0 00 0 7 2 70 0 3 0 1 o 0 o 0 0 0 o 0 o o 0 0 o o 0 o o 0 0 0 o 0 o o 0 0 0 1 30 0 0 0 8 0 0 0 0 50 0 0 1 0 0 0 0 2 20 0 0 1 30 0 0 0 80 0 0 1 5 o 0 2 0 0 0 0 0 7 2 7 000 2 0 0 0 o00 o00 000 o0o 带有优先级的多服务台排队系统研究与应用 0 0 0 3 8 0 0 0 7 1 0 0 1 3 9 0 0 3 0 1 0 0 7 2 7 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 3 8 0 0 0 7 1 0 0 1 3 9 0 0 3 0 1 0 0 7 2 7 0 2 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 2 2 0 0 0 3 8 0 0 0 7 1 0 0 1 3 9 0 0 3 0 1 0 0 7 2 7 0 0 0 2 3 0 0 0 3 6 0 0 0 5 8 0 0 0 9 6 0 0 1 6 6 0 0 3 0 6 0 0 6 0 6 000 2 0 0 00 1 3 3 3 oo00 3 3 3 3 所以这里我们不妨设扣2 6 时，得到的结果为日2 f + 册+ e = 0 的非负解h 2 利用所得到的概率矩阵h 2 ，就可以把系统平稳状态下的概率向量只求出，根 据定理2 1 ，写出m a t l a b 程序如下所示： i = e y e ( i i ) e = 1 ：1 ；1 ：1 ：1 ；1 ：1 ：1 ：1 ：1 ：1 g i = ( f * i n v ( e ) 木( s l * i n v ( e ) * s 0 - f i ) 一( s * i n v ( e ) + h * f * i n v ( e ) ) ，i c ( s 2 * i n v ( e ) * s l * i n v ( e ) * s 0 - f 2 * i n v ( e ) * s 0 - s 2 * i n v ( e ) * f 1 ) ) ： g 2 = ( f * i n v ( e ) * ( s l * i n v ( e ) - i ) 一( s l * i n v ( e ) + h * f * i n v ( e ) ) 木( s 2 * i n v ( e ) * s l * i n v ( e ) - f 2 * i n v ( e ) - s 2 * i n v ( e ) + i ) + i n v ( i - h ) ) 木e ： g = c a t ( 2 ，g i ，g 2 ) ： b = 00 0 0 0 0 0 0 0 0 01 ： p 3 = b g 通过运行此程序，得到的结果如下： p 3 = 0 0 0 4 00 0 0 7 0