（理论物理专业论文）在无标度网络上的zrp凝聚.pdf

_ 乎东师范、学 2 0 0 7 扁坝f j 学位论义 摘要 在非平衡系统中，凝聚是一个十分有意思的现象。在相互作用的粒子系统 中，大部分粒子可能凝聚到一个结点上。之前关于凝聚的研究都是基于无边界的 周期性晶格上的，而真实的网络一般是无标度网络( s c a l ef r e e ，s f ) 。j a ed o n g n o h 等人近来已经研究了无标度网络上面的凝聚现象，研究揭示了无标度网络的结构 不同类性质导致了无标度网络上粒子的完全凝聚。这些结果都是基于复杂网络的 拓扑结构得到的，然而真实的复杂网络不仅仅具有它们的拓扑结构，还有发生在 此结构上的信息和交通动力学，对于社会网络的理解，结点之间连接强度的不同 也是尤为重要的。因此，在交通网中结点连线上的交通量对于这些网络的完全描 述是十分必要的。最近的实验数据表明，在许多真实的复杂网络中，结点度和边 权之间有着很高的关联。鉴于实际网络中边权和结点度的这种可能关联，在本论 文中，我们运用平均场理论，通过结点上粒子数的平均场速率方程来研究了在权 重无标度网络中的零区域作用( z e r or a n g ep r o c e s s ，z r p ) 凝聚及其动力学过程中 的一些相关性质。我们发现权重网络中的结点入度强度分布有着如同无权重网络 中的度分布一样的重要性，在真实网络中强度分布是一个极为重要的物理量。通 过观察结点上的平均占有粒子数随时间的演化，数值模拟表明了系统在动力学的 初始阶段出现了级次动力学过程，这个过程也同样是由强度的分布决定。此外， 数值模拟还展示了z r p 动力学的弛豫时间和稳定时间并不随所加权重的变化而 变化，换句话说，这些物理量仅由网络的拓扑决定，这些结论可应用于无权和权 重无标度网络。 关键词：无标度网络、权重网络、z r p 、强度分布 华东f 师范人学 2 0 0 7 届硕卜学位论文。 一一 a b s t r a c t t h ec o n d e n s a t i o ni s a ni n t r i g u i n gp h e n o m e n o no b s e r v e di n n o n e q u i l i b r i u m s y s t e m s i ni n t e r a c t i n gp a r t i c l e s y s t e m s ，af i n i t ef r a c t i o no fp a r t i c l e sm a yb e c o n d e n s e do n t oas i n g l es i t e ，t h ec o n d e n s a t i o nh a sb e e ns t u d i e dm o s t l yo nd e r i o d i c l a t t i c e s o nt h eo t h e rh a n d ，p a r t i c u l a r l y , m a n yr e a l 。w o r l dn e t w o r k sa r ef o u n dt ob e s c a l e 。f r e e j a ed o n gn o he ta 1 h a ss t u d i e dt h ec o n d e n s a t i o np h e n o m e n o ni na z e r o r a n g ep r o c e s so r ls c a l e f r e en e t w o r k s t h e ys h o wt h a tt h e s t a t i o n a r ys t a t ep r o p e r t v d e p e n d so n l yo nt h ed e g r e ed i s t r i b u t i o no f u n d e r l y i n gn e t w o r k s t h em o d e ld i s p l a v sa s t a t i o n a r ys t a t ep h a s et r a n s i t i o nb e t w e e nac o n d e n s e dp h a s ea n da nu n c o n d e n s e d p h a s e ，a n dt h ep h a s ed i a g r a mi so b t a i n e da n a l y t i c a l l y w es t u d yt h ec o n d e n s a t i o np h e n o m e n o ni naz e r or a n g ep r o c e s so nw e i g h t e d s c a l e 。f r e en e t w o r k si no r d e rt o s h o wh o wt h e w e i g h t e dt r a n s p o r ti n f l u e n c e s t h e p a r t i c l ec o n d e n s a t i o n i n s t e a do ft h ea p p r o a c ho fg r a n dc a n o n i c a le n s e m b l ew h i c hi s g e n e r a l l yu s e di naz e r or a n g ep r o c e s s ，w ei n t r o d u c ea na l t e r n a t e a p p r o a c ho ft 1 1 e m e a n _ f i e l de q u a t i o n st os t u d yt h ed y n a m i c so f p a r t i c l et r a n s p o r t i ti sr e c e n t l vs h o w n t h a tt h ew e i g h t e ds t a t i cn e t w o r km a y s e r i o u s l yi n f l u e n c et h ep a r t i c l ec o n d e n s a t i o no n i t ，w h e r et h ew e i g h t so na ne d g ea r ea s y m m e t r i c h o w e v e r ，m o s to ft h er e a l i s t i c n e t w o r k sa r e w e i g h t e de v o l v i n gn e t w o r k sw h e r et h e w e i g h t s o na n e d g e a r e s y m m e t r i c f o ru n d e r s t a n d i n gh o wt h es t r u c t u r eo ft h e s en e t w o r k si n f l u e n c et h e p a r t i c l ee v o l u t i o nw es t u d yt h ec o n d e n s a t i o np h e n o m e n o no nt w ot y p i c a l w e i g h t e d e v o l v i n gn e t w o r k sw i t hs y m m e t r i cw e i g h t so nt h ee d g e ，w h e r et h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e nt h es t r e n g t ha n dt h ed e g r e eo fan o d ea r el i n e a ra n dp o w e r l a w , r e s p e c t i v e l v b yu s i n go fb o t ht h ea p p r o a c ho fg r a n dc a n o n i c a le n s e m b l ea n dt h ea p p r o a c ho fm e a n f i e l de q u a t i o nt od e s c r i b et h ee v o l u t i o no fp a r t i c l e s o nan o d e ，w ef i n dt h a tt h e s t a t i o n a r ys t a t eo fp a r t i c l ei sd e t e r m i n e db yt h es t r e n g t hd i s t r i b u t i o n ，i nc o n t r a r yt ot h e c a s eo fa s y m m e t r i cw e i g h t so nt h ee d g ew h e r et h es t a t i o n a r ys t a t ei sd e t e r m i n e db y t h ed e g r e ed i s t r i b u t i o n 。m o r e o v e r , w eh a v es h o w nt h a tt h er e l a x a t i o nt i m etf o l i o w sa p o w e rl a ww i t ht h en e t w o r ks i z eli nt h ec o n d e n s e dp h a s e n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s c o n f i r mt h ea n a l y t i cr e s u l t s k e yw o r d s ：s c a l ef r e en e t w o r k s ，w e i g h t e dn e t w o r k ，z e r or a n g ep r o c e s s ，s t r e n g t h d i s t r i b u t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：且 日期：2 0 0 7 5 1 8 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 学位论文作者签名： 霭咽 华东o 茳，、学 2 0 0 7 届坝1 学证论文 前言 近几十年来人们发现大量的复杂系统可以通过某些简单规则自组织演化生 成。复杂网络是描述复杂系统的一个非常重要的工具。所谓复杂网络是由一些结 点及连线组成的集合。结点代表系统的元素，连线代表元素之间的相互作用。复 杂网络可以用来描述自然界及社会中的一系列的系统。它不仅仅指我们常说的因 特网，同时还包含许多其他网络，例如万维网、社会网、科学合作网、引文网、 电话网、商业网、神经网、食物网以及人类语言网等等。m e j n e w m a n 在综 述文献中把如此众多的系统分成四类宽松的网络：社会网、信息网、技术网和生 物网。复杂网络能够呈现出高度的复杂性，可以用来研究复杂系统的拓扑结构及 其动力学性质。人们一般致力于研究复杂网络拓扑结构和功能的形成机制、演化 规律、临界相变和动力学过程等。 在非平衡系统中，凝聚是一个十分有意思的现象。在相互作用的粒子系统中。 大部分粒子可能会凝聚到一个结点上。驱动扩散系统的相变和交通流中的阻塞便 是粒子凝聚现象的实例。s p i t z e r 已经在z r p 的框架下研究了凝聚现象。一些研 究揭示了凝聚是由于粒子之间的吸引或者混乱的破坏引起的。凝聚之前是一个自 发的对称破缺转变之后它类似于理想玻色气体中的玻色一爱因斯坦凝聚。z r p 凝聚的研究大多数是在无边界的周期性晶格上进行的，而真实的网络般是s f 网络。j a ed o n gn o h 等人近来已经研究了s f 网络上面的z r p 凝聚现象，揭示了 无标度网络的结点度的不同类性可以导致无粒子密度大小限制的完全凝聚。他们 的结果都是基于复杂网络的拓扑结构得到的，这些发现只可能对于危险和策略的 决定提供参考。然而真实的复杂网络不仅仅具有它们的拓扑结构，还有发生在此 结构上的信息和交通动力学，对于社会网络的理解，结点之间连接强度的不同也 是非常重要的。因此，对于这些网络的完全描述，交通网中结点连接上的交通量 也是十分必要的，例如因特网上的带宽、航空网络中的有效旅客数。最近的实验 数据表明，在许多真实的复杂网络中，度和边的权重之间有着很高的关联，因而 结点的强度( 结点强度是其所有边的权重之和) 和度展示了一种无标度的性质。例 如，对于科学合作网络( s c n ) ，结点的强度和度为线性关系；而对于全球航空网 ( w a n ) 结点的强度显示了非线性标度。 鉴于实际网络中边的权重和度的这种可能关联，我们在j a ed o n g n o h 等人的 研究基础上讨论了在加权无标度网络上的z r p 凝聚及其相关性质。本论文为我 研究生期间关于这方面的一些工作，主要由四部分组成： 第一章主要对复杂网络的一些基本概念作了简要的介绍，之后还介绍了几种 经典的复杂网络模型。第二章详细论述了加权无标度网络中的z r p 凝聚现象。 啦东帅，、学 2 0 0 7 扁1 9 ：学位论史 第三章详尽讨论了权重演化无标度网络中的z r p 凝聚现象。第四章是对全文的 总结及进一步工作的展望。 # 东帅汜人学 2 0 0 7 届坝j 学位论文 第一章复杂网络及其动力学 复杂网络可以用来描述自然界及社会中的许多系统，它不仅包括我们很熟悉 的因特网( i n t e r n e t ) 1 】、万维网( w o r l dw i d ew e b ) 2 】、电话通讯网( p h o n ec a l l n e t w o r k s ) 3 】、电力网( p o w e r n e t w o r k s ) 4 】、神经网( n e u r a l n e t w o r k s ) j 5 】，而且还有 其他一些如科学合作网( s c i e n c ec o l l a b o r a t i o ng r a p h ) 6 】、引文网( c i t a t i o n n e t w o r k s ) 7 、人类语言网( n e t w o r k si nl i n g u i s t i c s ) 8 、人类性伴侣网( h u m a ns e x u a l c o n t a c t s ) 9 】、生态食物链网( e c o l o g i c a ln e t w o r k s ) 1 0 】、蛋白质折叠网( p r o t e i n f o l d i n g ) 1 1 】、细胞网( c e l l u l a rn e t w o r k s ) 1 2 等为我们所不甚了解的网络。m e j n e w m a n 在综述文献 1 3 中把如此众多的系统分成四类宽松的网络：社会网、信 息网、技术网和生物网。一般说来，网络是结点与连线的集合，其中结点代表复 杂系统中的元素，而结点之间的连线则代表复杂系统中各元素之间的关系。比如 因特网，每一个路由器都可以看作网络中的一个结点，路由器之间的光纤连接则 可以看作网络中两个结点之间的连线；在社会网中，结点可以代表男人或女人以 及不同国籍、年龄、收入等不同的人群，连线可以描述两个人之间的朋友关系， 也可以代表他们之间的商业关系，地理位置关系等等。有了这种抽象类比之后， 科学家们就开始了对于网络的相关属性与应用的广泛研究，研究重点大致包括复 杂网络模型与结构、复杂网络行为与特性、复杂网络的同步与优化控制、复杂网 络的应用等。最早对复杂网络的研究可以追溯到1 8 世纪的柯尼斯堡七桥问题 1 4 ；直到2 0 世纪5 0 年代未，随机图的出现才真f 拉开了复杂网络研究的序幕 1 5 ；1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 发现了小世界网络模型 1 6 】，并对“小世界”予 以严格的数学定义：第二年b a r a b a s i 和a l b e r t 建立了无标度网络模型 1 7 1 ，之后 的许多实证表明了其普适性。从此，轰轰烈烈的复杂网络研究热潮开始了，越来 越多的论文被发表，许多很有价值的成果也更进一步地证明了这次浪潮的重要 性。虽然只有短短的几年时间，但是相关的书籍和论文已经不胜枚举；全部的罗 列必定无法做到，也并非本文的重点，因此只把那些可谓经典的内容作一下简要 介绍，以此作为本论文的基础部分。 1 1 复杂网络概述 随着计算机技术的发展，人们对于复杂网络的研究得到了长足的发展。研究 复杂网络关心的首先是网络的静态拓扑结构性质。所谓拓扑结构，是复杂网络不 依赖于结点的具体位置和连线的具体形态就表现出来的性质，换句话说，结点的 大小和形状、结点在坐标系中的位置、连线的弯曲和距离等都是可以不予考虑的 * 末帅池，。学 2 0 0 7 届坝j + 学位论上 因素，而仅仅关心结点是不是存在，它们之间是不是有联系? 如同图论，便是研 究规则网络或是个数较少的网络。之所以定义其为复杂网络，是因为网络所表现 出来的性质比简单的规则网络要复杂的多，我们不能用任一个参量来刻画它。这 罩我们只是简单地介绍一下一些常见的重要拓扑参量，虽然也许这并不完全，但 随着研究的深入，我们应该相信复杂网络的内容将会更加丰富。 基本概念及重要参量【1 8 】 1 结点( n o d e ) ： 构成复杂网络的基本元素。物理学称之为站点，计算机科学称之结点，社会 学称之参与者，以后无特别说明一律称为结点。 2 连线( 1 i n k ) 或边( e d g e ) ： 为了表达复杂网络中各元素之间的相互作用，抽象为结点之间的连接。 3 结点的度( d e g r e e ) ： 复杂网络中与一元素发生相互作用的其他元素的数目，抽象为某个结点与网 络中其他结点的连线数。本文中，我们不允许存在自连或重连现象。当然，很多 具体情况下这样的现象是可能发生的。所谓自连，自己对于自己存在作用；重连， 两结点之间的相互作用数有两个或两个以上。如此，连线可能回连自己，两个结 点之间也不一定只有一根连线，如此结点的度不一定等于与该结点直接相连的结 点数目。此外，在有向网络中由于连接的方向性每个结点还可分为进度和出度。 进度( i n c o m i n gd e g r e e ) ，流入或指向结点的连接数；出度( o u t g o i n gd e g r e e ) ，流出 结点的连接数。 4 网络总边数( e d g e s ) ： e = - ；x k 。 ( 1 1 1 ) 其中为网络总结点数，k ，是结点i 的度。 s 平均结点度( m e a nd e g r e e ) ： 表征在整个网络中结点相互连接的疏密程度，即平均每个结点拥有的连接 数， 1 ，如图所示1 2 4 。 ( 2 ) 断边重连：对于每个结点来说，顺时针连接的边以几率p 重新连接，将 连线的另一端随机地放到一个新结点上，但要避免与已有的连线重合，同时要避 免自相连，而1 一p 的概率不变。参数p 调节网络的随机性，同时要保持总边数 的平衡。对于p = 0 ，所有的结点都有相同的度2 _ j ，因此度分布是一个6 函数： 当p 不等于0 时，网络的结点度范围增大，在p 呻l ，对于k 1 ，每个结点至 少有k 个度，因此网络中没有孤立结点，该情况并不完全等同于e l 模型。 阳g 曲n 螂帅州瓢，墙d m 00 黹 一- o - 呻p - t 蛔口孽硼哪嘣n f n n 喇 图1 2 4 ：w s 模型演化过程。起初有2 0 个结点，每个结点与其最近邻的4 个结点 相连，对于p = 0 时，原网络模型不发生变化。随着p 的增加，网络逐渐变的不 规则，直到p = l 时所有的边随机重连。 g 东师范夫学 2 0 0 7 届坝! 学位论义 图1 2 5 ：小世界网络的网络平均最短路径工( p ) 及网络的集团系数c ( p ) 与规则网 络的比值随，的变化规律。在“小世界”区域( o 0 1 p o 1 ) ，c ( 力变化很慢， 而( p ) 快速接近( 1 ) 。 4 无标度网络模型( s c a l e f r e en e t w o r k ) 【16 】 统计数据表明许多真实网络的度分布满足幂律分布。b a r a b a s i a l b e r t 首先 提出无标度分布由两个机制决定，网络增长和偏好依附。 网络增长, ( g r o w t h ) ：每一时间步只增加一个新结点和搠条新连线。 偏好依附( p r e f e r e n t i a la t t a c h m e n t ) ：新结点按照n ，七。罗七的概率选择旧结点 与之连接，七，是旧结点i 的度。见图1 2 6 。 图1 2 6 ：m o = 2 n = 2 的b - a 模型演化规则。在产l 时，有m o = 2 个孤立的结点， 在以后的每一时刻，系统将增加一个有m = 2 的一个点。增加的两条边按照一定 的几率连接到网络中已有的结点上，连接的几率为n 一鼻。 华不师托：学 2 0 0 7 届坝j + 学位论文 图1 2 7 ：数值模拟结果：m o = m n = 1 0 0 0 0 的度分布a 其中“圆圈”代表埘= 3 的度分布，“方形”代表脚= 5 时的度分布，“星形”代表m = 7 的度分布。线性 拟合结果y = 2 9 + 0 1 ，理论预测为，= 3 0 。 b a 模型第一次生成了幂律分布的复杂网络，度分布p ( k ) k - r , ，= 3 ，总结 点数n ：f + 脚。，总连线数e ：m o ( t o - o + i ) + m t ，平均度为 = 2 m ( m 。和r 是初 z 始结点数和演化时1 9 ) 。b a 模型展示了“富者更富，穷者更穷”的现象，生成了 幂律分布网络：但是其指数不可调，这与实证不符。之后又有一些新的改进模型 很好的解决这一问题，我们就不介绍了。 此外，在这些经典网络模型的基础上，人们又发展了许多的网络模型，如无 标度随机模型 2 3 2 6 】、层级网络模型【2 7 】、混合模型 2 8 】等。然而，在网络演化 机理和模型建立方面仍有许多问题值得深入研究。例如，生物网络的度分布指数 通常比信息网络和社会网络要小，甚至出现在1 k ，其中 为边权的平均值，反之则具有函数关系s ( k ) z a k ，。 在点权的基础上，还可以引入单位权( u n i tw e i g h t ) ， u ，= ( 1 3 2 ) 庀f 表示结点连接的平均权重。另外，可以定义结点所连接的边上权重分布的差异性 ( d i s p a r i t yi nt h ew e i g h t ) ， r = 引， 3 3 ) e j l ”，j 其中，n j 是结点i 的邻居。这可以描述与结点i 相连的边上权重分布的离散程度。 结点强度分布的p ( s ) 与度分布的p ( 女) 的定义类似，主要是考察结点具有强度s 的 概率。 ( 2 ) 匹配性( a s s o r t a t i v i t y ) ： 以前我们介绍了具有不同度值k 的结点之间的匹配性。实证数据表明，度值 k 的结点与度值k 的结点相连的概率通常与k 有关，可以用条件概率表示。在实 际的统计分析中，可以通过结点f 的最近邻平均度来分析网络的度匹配性。在权 重网络中，可以定义结点的权重最近邻平均度( w e i g h t e da v e r a g en e a r e s tn e i g h b o r s d e g r e e ) ， = _ 1 1 ( 1 3 4 ) d ，t e n t 这是根据归一化的权重w i j s ，计算出局域的权重最近邻平均度。当 1 4 垡东师范，、学 2 0 0 7 届硕士学位论义 蟛。 k ，时，具有较大权重的边倾向于连接度较大的的结点：反之则倾向于连 接度较小的的结点。 ( 3 ) 权重网络的最短路径( s h o r t e s tp a t h ) = 对于位于d 维欧氏空间中的网络，直接相连的两点间的长度可以看作两点阃 的欧氏距离，但是对于一般的权重网络并没有明确的距离概念，每条边的距离可 以看作权重的某种函数。一般认为，两点间所有路径中边权重之和最小的那条为 最短路径。对于这类问题的求解，在图论中已经有不少算法可以计算。 ( 4 ) 权重集团系数( w e i g h t e dc l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) ： 结点的集团系数反映该结点的邻居之间的集团性质，最近邻结点之间联系越 紧密，该结点的集团系数越高。权重网络中，可以定义权重集团系数为 根弘i 南簧叱鳓 ( 1 3 5 ) 除了上述基本网络参量外，人们在权重网络上还推广了其他一些物理量。比 如o n n e | a 等人最近就提出了一个系统的方法，把模体( m o t i f s ) 的分析推广到了权 重网络上 3 0 1 。 2 权重网络模型 正因为权重网络具有不同于无权网络的丰富性质，如何逼近真实地构造权重 网络就成为网络研究的一个重要问题。通常，有两种方法来创建权重网络：加权 网络模型和权重演化网络模型。 ( 1 ) 加权网络模型 按照一定的偏好机制演化形成网络拓扑结构，并对每条边配置一固定的权 重，其不随时间变化。最早的模型( y j b tm o d e l ) 3 1 是一个拓扑演化与b a 模型 相同，当新结点连接到网络时以某一规则对每条边配置一权重仁w j l ) ， k f k 2 丽 ( 1 3 6 ) f ， 表示新点，所要连接的点的集合，因此新点强度j ，= ，坳= l 之后又出现 一些与之机制相似的模型，如z t z h 模型1 3 2 、a k 3 3 模型等，其中a k 模型已 经酝酿着权重演化模型的雏形。每个时间步有一个新点_ ，加入网络，并根据老点 的强度大小来选择连接， 1 - i 川= 若l ( 1 3 7 ) 2 一| s i 这种演化规则采用强度的偏好依附，这在许多实际网络中是十分合理的，例如在 因特网中，新路由器会根据带宽或流量的处理能力连接到中枢路由器上。 华东师范j ：喾 2 0 0 7 届坝士学位论文 ( 2 ) 权重演化网络模型 很多情况下，网络拓扑的增长与权重的变化是同步进行的，这要求建立一种 网络拓扑和权重分布的耦合演化机制。新点的引入会导致边权演化，例如在航空 网中，两个机场间新航线的开通通常影响到两个机场的客流量以及相关的航线客 流量。 b b v 模5 0 3 4 ，3 5 】是这种机制下的最早模型，首先给定一个包含个结点的 小网络，其中每条边都被赋予权重w 0 ：然后在每个时间步，带有加条边的新结 点j 加入到网络中，其中每条边的权重为，并且根据老点的强度大小r i ，。t 来选择连接。新点的加入导致老点i 与邻居，之间的边权重新分配，分配规则如 下 盯9 ：1 4 r ， 中wt 产6 图1 3 1 ：构建规则的演示。新结点聆加入到网络中，其中每条边的权重为， 并且根据老点的强度大小1 7 s 。来选择连接。被连接的结点f 与以前邻居的边 权根据下面的原则被重新配置， 一w + w ，p ( f ) ， w ，；j 塑 ( 1 3 8 ) j ， 其中v ( f ) 表示结点i 的最近邻结点。经过足够长的时间步 分布、强度分布和边权分布，都遵循幂律分布。 度分布： e ( k ) k - yy = ( 4 8 + 3 ) ( 2 8 + 1 ) 强度分布： p ( j ) s - y y = ( 4 3 + 3 ) ( 2 6 + 1 ) 边权分布： p ( w 1 w - a 口= 2 + 1 1 3 结点强度与度的关联： 6 就可以得到稳定的度 ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) ( 1 3 1 1 ) 他东师芜j 、姑 2 0 0 7 届破j j 学位论z 譬 芝 s = ( 2 8 十1 ) k 一2 m 8n 3 1 2 ) 图1 3 2 ：( a ) 结点强度分布。插图中展示了，= ( 4 d + 3 ) ( 2 8 + 1 ) 的关系。( b ) 权重 熬死率分蠢。疆盈中震示了球= 2 + 1 6 靛关系。 b b v 模型在以上所说的特性上都很好地再现了真实网络，但是却不能解释 结纛强度与发之蘑懿菲线经关系。串秘大，l 、缀繇嫠憨豹w w 演耗模鳖 3 6 3 s 】缀 好地解决了这一问蹶。该模裂不仅考虑了新绪点加入网络的影响，网时考虑了边 投隧辩阂豹溪证窃老焦之藏裁逮熬建立。其滚纯秘裂分为： 强度动力 ( s t r e n g t h s d y n a m i c s ) ： k ，”牛晖，斗 e j 图1 3 0 ：演化动力学的演示。在每个时间步，所有可能的连接都会根据下面的规 黧改变边稷， 英串 7 韶麟糊 b 概 吩坳 峥 毕乐忆芷，、晕 2 0 0 7 扁顾i 学位论艾 s | s | 岛2 薪 ( 1 3 1 3 ) 每时间步网络增加的总强度为肜。 。 拓扑增长( t o p o l o g i c a lg r o w t h ) ： 带有m 条边的新结点打加入网络，每条新边的权重是w n ，并根据老点i 的强 度大小选择连接 k ，2 南2 丽s n s i ( 1 3 1 4 ) 此模型不但生成了满足幂律的边权分布、度分布和强度分布，而且结点强度与度 也满足了非线性关系，负匹配性质，密集集团结构以及集团系数与度的反关联。 强度分布： 耶) s - r ! , 产2 + 志 ( 1 3 1 5 ) 边权分布： p ( w ) w - a , c l = 2 + 磊m 矿 结点强度与度的关联： s = 七， 当口 1 时，集团系数c 随的增大而增大。 数值模拟结果： t o 1o ”j 1 0 。1 i c i | a 1 0 ，a s 图1 3 r 4 ：结点强度的分布a 插图中展示了广= 2 + i 的关系。 ( 1 3 1 6 ) n 3 1 7 ) 怕喜 毕享l 师范大学 2 0 0 7 届形：匕学位论文 o 图1 3 4 ：( a ) 结点度的分布；( b ) 边权重分布，n = 5 0 0 0 。 1 4 复杂网络上的动力学 人们研究复杂网络，不仅仅关心真实网络的拓扑或静态性质，更重要的是关 心在这些网络上的动力学行为，例如静态和动态的鲁棒性、网络传播、同步化与 集