（应用数学专业论文）微分方程边值问题正解的存在性和多重性.pdf

摘要 本文研究几类微分方程边值问题正解的存在性及多重性全文分五章 第一章介缓微分方程边值问题的物理背景，给出所需要的不动点定理，并介 绍本文所做的主要工作 第二章。第三章分别研究二阶，三阶常微分方程组的边值问题，从g r e e n 函 数的性质入手。通过将原边值问题转化为相应的积分方程，运用多重不动点存在 定理，在合适的条件下相应获得多重难解的存在性，并构造相应的例子说明所得 结果的应用、 第四章讨论了一类p l a p l a c i a n 算子型泛函微分方程的奇异边值问题正解的 存在性在合适的条件下，利用抽象的不动点定理，证明了该边值问题至少存在兰 个正解 第五章讨论了一类二阶常微分方程三点边值同题对称正解的存在性和多重性 利用l e g g e 亡j t w i l l i a m s 不动点定理，我们给出了这类问题至少三个正解的充分条 件 关键词边值问题；常微分方程；泛函微分方程；正解；对称正解；p l a p l a c i a n 算子；锥；不动点定理 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo f p o s i t i v es o l u t i o n s o fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e v e r a lc l n s s o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et h e s i s c o n t a i n sf i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 , t h eb a c k g r o u n d so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q t m - t i o n s ，t h e o r e m sf o rf i x e dp o i n t sa n dm a i nr e s u l t sa r eg i w n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fs e c o n d t h i r do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a r ec o n s i d e r e di nc h a p t e r2 , 3 ，r e s p e c t i v e l y b yu s i n gp r o p e r t i e so fg r e e nf u n c t i o n s , o r i g i n a lp r o b l e m sa r et r a n s f e r r e di n t oi n t e g r a le q u a t i o n s b yr e s o r t i n gt of i x e d p o i n tt h e o r e m s t h ee x i s 七e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n sa r eo b t a i n e d u n d e rt h es u i t a b l ec o n d i t i o n s i nc h a p t e r4 t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h em g u l a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp - l a p l a c i a ni sd i 8 c 1 】8 8 e d u n d e r t h es u i t a b l ec o n d i t i o n s 。t h ee x i 或e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n si 8e s t a b l i s h e db y u s i n ga l la b s t r a c tf i x e dp o i n tt h e o r e m 。 i nc h a p t e r5 w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee 。( i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t y s y m m e t - t i cp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h es e c o n d - o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e b y u s i n gl e g g e t t - w i l l i a m s ，f i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ep r o v i d es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e l l c eo fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n st ot h ep r o b l e n 峰 k e yw o r d s ：b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；p o s i t i v es o l u t i o n s ；s y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n ；p - l a p l a c i a n o p e r a t o r ；c o n e ；f i x e dp o i n tt h e o r e m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得嚣诺瞄够或其他教育机构 的学位或证书面使耀过的材料。与我一同工作的弼志对本研究所敛的任何黄献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 灶 签字日期：。l 。1 年口月，多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解肇缀大彦有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阌。本人授权墨；垂穴垂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 捡索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：衣d 口7 年 学位论文于# 者毕业去向 曩正 导师签名： 月汐霉签字日期： 劬缛肱季以 尹私吾 彦刃年乒月莎日 ，| 工作单位：解否貉毖乒亏9 缸电话：驴f f 卜芗7 j 7 2 7 君 黼妣解役缈岳杉咖1 7 鞴舻衫f 第一覃绪论 第一章绪论 本章主要介绍微分方程边值同题的物理背景，然后给出了所用到的不动点定 1 1 物理背景 微分方程边值问题在理论与应用方面都有着非常重要的意义很多物理现象 都可以用微分方程边值问题来刻画对微分方程边值问题的研究有着很长的历史 在这里，我们主要介绍一下常微分方程对物理现象的刻画我们简单介绍一 些物理方面的背景知识由于边值问题有很多应用，现在我们仅关注一种常微分 方程边值问题，称作梁方程 许多建筑物的框架都是由粱构造的。这些梁在自身的重力及外力的影响下会 发生侦斜及变形这种倾斜瓠z ) 可以描述成相对简单的四阶常微分方程t e l y t m ( x ) = ( z ) ， e 与f 均为常数，e 为梁的材料的弹性模，j 为梁的惯性大小，e 丁称为粱的刚 度，w ( $ ) 为在点的每单位长度的负载 ( l 1 ) 的边值条件依赖于梁末端的支撑悬梁是一端被固定而另一端是自由的 在悬梁的自由端，我们有 矿( 甸= 0 ) = 0 ， 1 昊正一微分方程边值问压正解的存在性和多重性 在固定端有 ”( 功= 矿( z ) = 0 有时粱可被简单的支撑( 钉子，支点或铰链等) ，这种梁的每一端都有 口( z ) = 矿( z ) = 0 在上述粱方程的研究中。我们遇到了一些边值的形式。例如， ie i z ( = ) = 如) ，0 $ 工，( 1 2 ) 口( 0 ) = 旷( o ) = 0 ，( 1 3 ) i f ( l ) = 矿( 二) = 0 ( 1 4 ) 假设”( 。) 在【0 ，工j 是对称的( 指( 司= w ( l - x ) ，$ 【o ，上4 ) ，o ( z ) 是( t 2 ) o 3 ) ( 1 4 ) 的对称解，那么在区间f o ，工j 的中点有 | ，0 ) = 如) = 0 还有另一种方式阐述这个问题，当一个均匀梁被有弹性的基点支撵时，对于 它的倾斜( z ) 有下列微分方程- e 巧0 ) + 幻( ) = 叫。) ，0 。 l ，( 1 5 ) 其中为基点的模 从梁方程中可以看到常微分方程边值问题的普遍应用，本论文第二章第三 章是将单个方程耦合成方程组的形式，来探讨它的边值问题，所以具有更为广泛 2 第一章绪论 的意义文【3 0 l 就研究了下列方程组的边值问题 一m - ，仁，口) ， 一= 9 扛，u ) ， u ( 0 ) = t ( 1 ) = 0 ， v ( 0 ) = v ( 1 ) = 0 受此启发，本文二三两章将二阶，三阶方程耦合成方程组的形式，给出了解的多重 性结论 本论文在第四章研究了的是一类p 一工o p l a e i a n 算子型泛函微分方程奇异边值 问题泛函微分方程在航空工程，化工系统，经济系统等领域都有很广泛的应用， p l a p l a e i a n 算子型微分方程在解决工程问题都有大量应用，在这里我们就不一 叙述了 1 2 不动点定理 定义1 设e 是实b s n a e h 空间，如果p 是e 中非空凸闭集，并且满足下面 两个条件， ( 1 ) t p 口0 净“p ； ( 2 ) t p 一p 兮u = 0 则称p 是e 中的个锥 定义2 称映射。为e 上非负连续凹泛函，如果满足to t ：p i o ，) 连续， 且 a ( t z + ( 1 一t ) u ) a ( 茹) + ( 1 一t ) a ( ) ，托，可p 0 t s l 定义3 设o 口 b ，q 为e 上非负连续凹泛函。定义 耳= 幻p ：i l f 0 r p ( o ，o ，= 妇p ：口a c u ) ，i b 0 6 ) 定理a 1 3 2 】设a ：一p c 一只全连续，且存在p 上非负连续凹泛函o t ，满足 a ( ) - - 1 i zh ( 忱瓦) 又设存在0 d 口； ( c 2 ) 当z 或时，恒有l 缸0sd ( c 3 ) 当g p 国，口，c ) 且f i a x l l 6 恒有口( a z ) d 那么a 至少存在三个不动点。l ，z 2 和印满足慨0 d ，口 d 且 a ( x s ) a 1 3 本文所做的工作 近年来，常微分方程边值问题解的存在性与多重性在数学与工程科学方面引 起了人们极大的兴趣。国内外许多学者使用了多种方法对二阶，三阶乃至高阶的 方程进行了研究，得出了大量有价值的结果，参见文献【1 2 5 】对于初值问题的正 解，见文【2 6 】【2 7 】，面对初值问题和边值同题的解及其迭代，参见文【2 8 】【2 9 】 如文p 1 】就应用不动点定理给出了下列常微分方程边值同题的正解存在条 件， 燕。 应用度理论。得出了解的存在性与多重性 受到文 s o l 的启发，我们在第二章、第三章通过l e g g e t w i l l i a n m a 不动点定 理，对于更复杂的边值条件得出了二阶，三阶的常微分方程组边值问题的解的存 4 础础卸乩 ，g“ 刮 叫 叫 跏 以儿垆驴q 印州 第一章绪论 在性和多重性 文【勰】利用双锥不动点定理得到了p l a p l a c i a n 算子型奇异边值问题 l 如( ( t ) ) ”一r ( t ) ，( z t ) = 0 ，0 t 1 ， x ( t ) = o 一f s t 0 ， iz ( o ) = x ( 1 ) = ”( 0 ) = z ”( 1 ) = 0 ， 其中规- z t ( o ) = z o + 口) ，0 【一一0 1 ，0 1 _ l ，( 如) - 1 ( u ) = 如( ) ，；1 + ：= 1 的正解存在性受此启发，第四章通过构造合适的序锥和g r e e n 函数，利用抽象 的不动点定理，获得上述边值边值同题存在三个正解的充分条件 文 5 9 】利用k r a s o n s e l s k i i s 不动点定理研究如下二阶非线性常微分方程三点 边值问题的对称正解的存在性和个数 u ”( t ) + a ( t ) f ( t ，u ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， “( t ) 等t ( 1 一t ) ，一( o ) 一t ，( 1 ) = t ( 妻) ， - 受此启发，第五章通过l e g g e t w i u i a n r t ”不动点定理，获得上述常微分方程三点 边值问题的至少存在三个对称正解的充分条件 5 吴正，微分方程边值问题正解的存在性和多重性 第二章二阶非线性常微分方程组边值问题的多重正解 2 1 引言 隧圣 ， ( 研) 存在p ( o ，+ o 。) ，使得甚8 婶呜掣 0 ，使得 m ，；f 咖 d ) 啦z 他川 2 2预备知识和引理 显然，( ，口) e 2 【o ，l l x 俨【0 ，1 i 为边僵同题( 2 1 ) 的解，等价于扣， ) g 【o 1 】x o o ，1 】为下列非线性积分方程组的解 “( z ) = 君g 扛，y ) f ( u ，口( f ) ) 由，( 2 j 2 ) i 口( $ ) = 詹g ( z ，y ) g ( u ，u ( u ) ) d y ， 、。 其中g ( x ，f ) 为g r e e n 函数 g ( z ，f ) ： y ( 1 - z ) t o f 。s 1 ； 因此，非线性积分方程组( 2 2 ) 可以化为下列非线性积分方程 u ( z ) = j 0 0 1g ( z ，彬( 口，上1g ( 舭) 比州z ) ) d z ) d 1 1 ( 2 3 ) 令e = c ( 【0 ，1 1 ，置) ，l2 畦m 。a s x 。i ( z ) , p f f i u e i u ( z ) o ，$ 【0 ，1 1 ，则怛，i i ) 为 实b a n a c h 空间，p 为e 的个正锥定义 a u ( 。) = f 0 1 g ( z ，f ) ，( p ，f 0 1 g ( v ，：) 9 ( ：，u ( z ) ) d z ) d y ，( 2 4 ) 7 吴正t 教分方程边值问题正解的存在性和多重性 于是边值问题( 2 1 ) 的正解的存在性及个数问题归结为算子a 的正不动点的存在 性及个数问题 直接计算可得下面的引理2 1 引理2 1 函数g ( z ，p ) 关于z ，连续，0 g ( z ，p ) 曼 ，且有 g 。，) ；，删虽争2 由假设条件( z b ) 易证下面的引理2 互 引理2 2 在假设( 凰) 下，如上所定义的算子a ：p p 是全连续的 5 2 3主要结果 定理2 1 对边值问题( 2 1 ) ，假设条件( 凰) ( 凰) ( 日2 ) ( 凰) 成立，那么边值问题 ( 2 1 ) 至少存在三个不同的正解 证明令口( u ) = m i n ，u ( z ) ，显然a ( ) 是p 上个非负连续凹泛函，且a 0 ) 口，则t o “p c a ，n ，6 ) ：a ( t ) o 则 伽p ( a ，d ，b ) ：a ( u ) 口) o ( 2 5 ) 由( 凰) 知，对v u 瓦，a u ( z ) o ，$ f o 1 】，并且a u ( z ) 关于i o ，1 l 连续，又根 据( t i l ) ，存在o l o ，p o ，7 0 ，使得 ，o ，) m p + 口， g ( x ，t ) ( ：) ；+ 7 ， o ，u ) 【0 ，l 】矿 8 第- j t 二阶非线性常徽分方程组遗值问题的多重正并 取c m a x f g ，口( i ) ，则对任意的“c ，任意的z f o 1 1 有 i a u ( z ) l = i g 0 ，v ) ( v ，e ( v , t o d o ，：) 9 ( 毛u ( # ) ) 出) 咖i- ：l z l 陋( z 1 g 臼，z ) 9 ( = ，u ( ：) ) d z ) ，+ f q a v l ；j ( i 【万o t 【五1 9 ( 毛u ( 。) ) 出) ，+ 用由 南z 1 【瓜：) 刊叫，由+ ： s 嘉f ( ：) ；+ 俨+ ： 南f 4 ( 辨，+ ； i + ；曼c 所以0 舭| l c ，即a u - c ，因此 a ：p c p c ( 2 6 ) 根据( 飓) 第一式知，存在b = s u “毪芦：( z ，t ) 【o 1 1 ( o 1 1 ) 0 再根据( 岛) 第二式知，存在d ( o ，口) ，使得 9 眩黜，( z ，【o ，l 】x 【o ，司从而当瓦时， i a u ( z ) i = i f l g ( 。，p ) ，( 玑f o i g ( ”，= ) g ( ；，u ( ；) ) 出) 由l 圭l f og ( 啪) 日( z 1g ( 舭) 出，心) ) t 圳 s i 0 1a ( 1g ( ，“z ，n 。) ) 如) t 由i s 聪0 “4 i 1 0 ；， 吴正t 微分方程边值何题正解的存在性和多重性 于是i i a u l i m( 2 8 ) 再由引理2 2 ，定理a 及( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 知，算子a 在瓦上至少有三个不动点， 定理证毕 定理2 2 对于边值问题( 2 1 ) ，假设条件( 凰) ( 日1 ) ( 日2 ) ( 凰) 成立，那么边值问 题( 2 1 ) 至少存在三个不同的正解。 证明当t p 且a ( t ) 口时，有 。( a “) 2 窭i ( 删扛) 第二章二阶非线性常镦分方程组边值问题的多重正解 即有 2 郧r a i n i og ( 删) m ，上g ( 舭) 9 ( 舭( 2 ) ) 出胁 i，i 扭m i n ；f g 彬f g 协曲 ；fm ，；f 出蛇哪 a u ( x 1 d ( 2 8 ) 再由引理2 2 ，定理a 及( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 知，算子a 在- c 上至少有三个不动 点，定理证毕 2 4举例 下面举饲说明本文定理的简单应用 例2 1 在边值问题( 2 1 ) 中令a 22 7 删= 融z h 垆悖窆 在( 皿) ( 日2 ) 中，令p = t = ，则由定理2 1 知边值问题至少有三个正解 例2 2 在边值问题( 2 1 ) 中令 f ( z , 0 = 2 4 3 v 2 , 如= 僻9 u 2 , 薯 在( 日1 ) ( 日2 ) ( 风) 中，令p = 2 ，t = 1 ，口= 1 ，则由定理2 2 知边值问题至少有三个 正解 吴正t 教分方程边值问题正解的存在性和多重性 第三章三阶非线性常微分方程组边值问题的多重正解 3 1 引言 滕器二。 - ， ( 皿) 存在p ( o ，+ * ) ，使得。粤唧毪掣 + m ，。驾s 婶专尹2o 关于 ( 飓) 存在t ( o ，+ m ) ，使得。里孕s 印豇 + o 。，。墨孕s 婶2 字20 关于 ，( ；石5 9 ( 玑a ) d 们2 2 7 砒。【0 ，1 】 第三章兰阶非线性常徽分方程组边值问囊的多重正鼻 3 2预备知识和引理 我们先介绍有关概念和几个引理 显然，( “，口) c 3 o ，1 】x c 3 o ，1 】为边值问题( 3 1 ) 的解，等价于( 口) c o ，1 】x c o ，1 】为下列非线性积分方程组的解 t 扛) 2j i g 瓴们“玑砥咖) 由，( 3 2 ) l ( z ) = 口g ( 。，f ) 9 ( y ，u ( v ) ) 咖， 、。 其中g ( z ，f ) 为g r e e n 函数 g 扛，口) ： 。( 1 一咖一；( 。一) 2 ， o 。z 1 1 ( 1 一p ) ，0 o 口1 因此，非线性积分方程组( 3 2 ) 可以化为下列非线性积分方程 u ( z ) = f 0 1g ( z ，f ) ，( 口，f o zg ( ，：) 9 ( z ，“( z ) ) d ：) 吨， ( 3 3 ) 令窨= e ( f o ，1 1 ，固，枷8 2 跫誉 u i ，p = u 昱 。扛) o ，z 牡1 j ，则陋，”1 1 ) 为 实b a r m c h 空问，p 为e 的个正锥定义 a u 如) = 上lc ( z ，口) ，( ，j ( 1g ( 玑z ) 9 ( u ( z ) ) 如) 由 ( 3 4 ) 于是边值问题( 3 1 ) 的正解的存在性及个数问题归结为算子a 的正不动点的存在 性及个数问题 直接计算可得下面的引理3 1 引理3 1 函数g ( 毛) 关于$ ，连续，0 g ( 2 ，p ) 曼坠乒 ，且有 ；，础的。 吴芷t 教分方程边值问题正解的存在性和多重性 由假设条件( 凰) 易证下面的引理3 2 引理3 2 在假设( 凰) 下，如上所定义的算子a ：p p 是全连续的 3 3主要结果 定理3 1 对边值问题( 3 1 ) ，假设条件( 凰) ( 玩) ( 飓) ( 日3 ) 成立。那么边值问题 ( 3 1 ) 至少存在三个不同的正解 证明令o ( “) = m i n 。u ( $ ) ，显然a ( ) 是p 上个非负连续凹泛函，且a ( u ) - 1 1 口，则 t p ( 口，口，b ) ：n ( ) 口 o ( 3 5 ) 由( u o ) 知，对札_ c ，a u ( x ) 2o ，z i o ，1 】，并且a ( 功关于【0 ，1 】连续，又根 据( 风) ，存在a o 卢 0 ，7 0 ，使得 ，( ，u ) s n 矿+ 晟9 ( z ，) 蔓( ：) ；+ 1 ，扛，u ) 【o ，1 】矿 取c m 反o ( i ) p ，6 ) ，则对任意的u _ c ，任意的z 1 0 ，1 】有 i a u ( 。) l = i j 0 1g ( z ，p ) ，( ，j ，0 1g ( g ，：) g ( 毛u ( z ) ) d = ) 由i 曼；l j ( 1 陋( z 1 g ( ，= ) 9 ( ：，u ( ：) ) d = ) ，+ 明d 9 i 狮善( 小砒) ) 钟+ 明咖 南z 1 【瓜删钟曲+ ； 南【( ：) + 州，+ ； s 历鬲a1 4 【三cj ，! j ，十互 第三章 三阶非线性常微分方程组边值问题的多重正解 冬；+ ；c ， 所以i i a u l i c ，即a u - p , ，因此 a ：p c _ p p( 3 6 ) 根据( 飓) 第一式知，存在b = s u “铲：( z ，1 ) 【o ，1 】( o ，1 1 0 再根据( 飓) 第二式知，存在d ( o ，d ) ，使得 g ( x ，u ) 墨岛u ，扛，) 【0 ，1 】 0 ，a 1 从而当u 死时， i a u ( z ) i = i f o x g ( z ，) ，( ，f 0 1 g ( ，：) 9 ( = ，“( z ) ) d z ) d ” s z 1g ( z b ( z 1 g ( ) 出川纠酬剖 s i 上g ( 。，口) b ( 上g ( ) 9 ( 孙( 。) ) 出) 剖 l z 1b ( j ( 1 铀一心，心) ) 硝蚓 s b 刚训扣训；， 于是i i a u0 口蚓；焉 从而 a ( a u ) = ，m m ( a u ) ( z ) s s i = 虹r a i n f o xg ( z ，洲f ，f o lg 如俐出胁 1 5 吴正，教分方程边值问题正解的存在性和多重性 即有 9 1 拇r a i n 鬈m ，z g ( 舭) 出，俐由 q 1 扭m i ；n f z 触狐 a ( a u l 口( 3 8 ) 再由引理3 2 ，定理a 及( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 知，算子a 在或上至少有三个不动点， 定理证毕 定理3 2 对于边值问题( 3 1 ) ，假设条件( 凰) ( 匝) ( 胁) ( 凰) 成立，那么边值问 题( 3 , 1 ) 至少存在三个不同的正解 即有 证明当t p 且a ( ) o 时，有 。( 胤) 2 塑p ) ( 。) = 扭m m s if og ( 础) m ，z 1 g ( ) 出，u ( 砌咖 扭i 1 1 1 ；1 1 岔g 伍彬伽舭m 础由 ；f m ，三9 j t 协啦胁q a u ( z 1 o ( 3 8 ，) 再由引理3 2 ，定理a 及( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ，) 知，算子a 在_ c 上至少有三个不动 点，定理证毕 1 6 t g - - 章 三阶非线性常徽分方程组边值问题的多重正解 3 4举例 下面举例说明本文定理的简单应用 例3 1 在边值问题( 3 1 ) 中令o 2 7 f ( z , v ) = 2 7 a v ；( 2 + s i n v ) , 如= 饽塞 在( 皿) ( 凰) 中，令p = t = ；，则由定理3 1 知边值问题至少有三个正解 例3 2 在边值问题( 3 1 ) 中令 f ( x , v ) = 2 4 3 0 2 , 如= 1 ：瓮 在( 日1 ) ( 日2 ) ( 风) 中，令p = 2 ，t = 1 ，口= 1 ，则由定理3 2 知边值问题至少有三个 1 7 吴正t 徽分方程边值问题正解的存在性和多重性 第四章具p l a p l a c i a n 算子型奇异边值问题的多重正解 5 4 1 引言 考虑p l a l 以a c i a n 算子型奇异边值问题 ( 4 1 ) 其中研_ 她( 口) = z p + 口) ，口【- r , 0 ，0 s r 1 ，( 如) 一1 ( “) = 如( u ) ，；1 + i 1 = 1 奇异边值问题具有广泛的数学与物理应用背景如文献【3 3 - 蚰】，近年来，已引起 了人们的广泛注意对于系统( 4 1 ) ，特别是当p = 2 或如( u ) = u 是线性的，四阶 常微分方程的奇异边值问题正解的存在性已有很多结果 3 3 - 3 0 ；当p 2 或如( ”) 是非线性情形时，文| 3 7 】对一类常微分方程的奇异边值问题利用双锥不动点定理 得到了其正解存在的充分条件而对p 2 或如( u ) 是非线性情形时的泛函微分方 程的奇异边值回题解的存在性研究的文献不多见，对三解存在性的研究则更少 文【3 8 】利用双锥不动点定理得到了( 4 1 ) 其正解存在性受此启发，本文通过 构造合适的序锥和g r e e - n 函数，和用抽象的不动点定理，获得边值问题的( 4 1 ) 的 存在三个正解的充分条件 l t v i r 仉 0 一 = 乩 以 0 = 呲 堋 r = 一 w 乩哪w 啪喇 第四章 具p l a p l a c i a n 算子蛩奇异边值问题的多童正解 4 2预备知识和引理 我们先介绍有关概念和引理 设c = e ( 【r ，0 】，r ) 是个b a n a c h 空间，其范数定义为 l i 妒1 1 0 = s u pi 妒( p ) i - ，- 0 s 0 令c 十= p c ：妒妒) o ，0 【一l0 】) ，f i t = b 1 1 假设 ( 皿) ，是定义在c + 上的非负连续泛函 ( 日2 ) r ( t ) 是定义在【o ，1 1 上的非负可测函数，容许r ( t ) 在【0 ，1 1 的某个别点处 具有适当的奇性且满足 。 f s t ( 1 一t ) r ( tf 0 1 t ( 1 一t ) 出 o ，t ( o ，1 ) 容易验证，边值问题( 1 ) 等价于下面的积分方程， 雄，= 烈t ，曲如嵋g ( “曲，) 酬缸一：i ：! ： c 4 埘 曩正一徽分方程边值问囊正孵的存在性和多重性 其中g ( 。，u ) 是边值问题，= o ，：( o ) = = ( 1 ) = 0 的格林函数，即 g 。，) = ( 1 一! ) ， o u j 1 ； 【s ( 1 一口) 0 s 。b l 取定( m a x 字，；) ，1 ) ，定义 五0 = 【1 一叮+ f ，川，( 芦= p ? + ：0 印8 妒i i c 妒p ) ，一【一r ，0 】) 其中0 0 = m i n t 口( 1 一口) ，曲( 1 一f ) 詹陋( 1 5 ) 卜出) ，在b a n a c h 空间c 【- r 1 1 中构造 个锥p 如下， p = ( u - r ，1 】：x ( t ) g ( o i i x l l ，t 【o ，1 】，。( t ) = o ，t 卜r ，0 】 ， 其中i i x l i = s u pi z c t ) 1 且 g ( t ) = 6 t ( 1 - t ) f o l s ( 1 - s ) l q d a , 0 _ t _ 1 , 在假设( 凰) ，( 2 ) 下，定义算子圣：p c 【- r 1 】为 ( 酬归 詹g ( 如) 如咐渺( ) ，( 酬幽， o t ( 1 ， 1 0 ，- - t 曼t 0 设z p 易知在假设( 匝) ，( 凰) 下，。是边值问题( 1 ) 的解充要条件是缸= z 于是边值问题( i ) 的正解同题存在性及解的个数问题归结为算子a 的正不动点问 题 令l l z 1 o 。1 1 = s u p ，i x ( t ) l ，显然有1 1 血1 1 = i i a x l l l o a l o 。 定理4 1 对边值问题( 4 1 ) ，假设条件( 凰) ( 凰) 成立，如果下列条件被满足， ( 日3 ) i i 船。御斋跨 矿1 ，兽n 佃卿矗净 0 ，对i p ：i i p i l c o o a ，有，( 妒) ( 9 6 a f - 1 那么边值问题他1 ) 至 少存在三个不同的正解 证明令n ( z ) = ，m i n ，z c t ) ，显然a ( ) 是尸上个非负连续凹泛函。且口( 。) - 1 l 寺蔓t ；。一， 知( t ) ； 雠( 1 - t ) 。，o s 。 6 啦叫。南= 骂而b g ( 圳 i , t e 【0 1 1 1 ， 所以z o f z p ( 口，口，b ) ：o ( o ) 口，所以 忙p ( a ，o ，6 ) ：a ( z ) n ) o ( 4 4 ) 2 1 昊正赣分方程边值同题正解的存在性和多重性 由( h 3 ) 的前半部分知，存在d 0 且d ( o ，当妒c + ，0 s “c d 时。有 ，( s ( n l l 妒l l c ) - 1 ，对任意p 1 1 = 1 1 d 有i i = , , l l c d ，t 【0 ，1 】，和 从而 i， o 曼( a z ) ( t ) s o8 c i s ) 如【上“( i - 7 “) ，( 。) 酬d 8 曼；九【上1 ( 1 一u ) r “) ，扛u ) 酬 ； q i 0 1 心叫m ) ( 口i i ：r u l l c r l 酬 扣【z 1 绯叫巾) ( ”i i z i i ) - 1 酬 = b 【如( 口i i z i i ) f 0 1 u ( 1 一咖( “) 酬 = ；如【如( 口i i 训) 1 如【z 1u ( 1 一u ) r ) 删 扣i i = i i 如 f 0 1u ( 1 一咖( u ) 酬 ；i i = l l d ，0 t s l ， 1 1 , 4 = 1 1 = i i x = l l l o 1 1 1 1 = 1 1 d v z 瓦 ( 4 5 ) 由( b ) 的后半部分知，存在| b ，使得当l l 妒l ! c 时有，( 妒) ( , 7 1 1 p 1 1 c y 。1 ，p 矿所以取 c 一 ( 南) 卜，旷1 ) ， 这里m = m a , x f c l p ) ：o l l 。n ) 于是对_ c 有 。s ( 血m ) j ( 1m 叫州z 1 “( 1 叫r ( u ) f ( z 。) d u d s 釉小1 一州u ) f c w u ) d u 第西章 具p l a p l a c i a n 算子童奇异边值问题的多童正解 s ；如【丘洲洲m 一咖( u ) f ( x + a ) d u + j ( 仆洲c s m 叫小) m 汕】 ；如【( ( 口l i z , , i i c 广1 + m ) j ( 1 u ( 1 一u ) r ( u ) d 埘 ：如f ( 目c ) ”1 + m 旺1 u ( 1 一“) r ( u ) 酬 詈如【1 + 而：m f - j 如i 五1 u ( 1 一”) r ( “) d q ：。业堂l i z 蜡f t 妒i ，f 晶g 扣，“) r ( u ) ，。) 酬出 缸鬈如【厶g u ) r ( , , ) d u l d e - o 昊正t 赦分方程进值问题正解的存在性和多重性 即有 a ( a z ) o ( 4 7 ) 再由引理4 2 ，定理a 不动点定理及( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 知，算予a 在_ c 上至少有 三个不动点，定理证毕 推论4 1对边值问题( 4 1 ) ，假设条件( 甄) ( 日2 ) 成立，如果下列条件被潢足： 珥) ，j 0 s u p 矗净_ o 兽佃卿斋跨= o 、日二) 存在o 0 ，对妒：i i l p i l c 2 印n ，有，( 妒) ( 0 6 , f - 1 那么边值问题( 4 1 ) 至少存在三个不同的正解 4 4举例 下面举例说明本文定理的简单应用 例4 1 考虑边值问题 l 如( ( ) ) ”一r ( x t ) = 0 ，0 t 1 ， z ( t ) = o 一 s t 曼0 ， iz ( o ) = z ( 1 ) = ，( 0 ) = 矿( 1 ) = 0 其中r 为常数，r ( o ，1 ) ，r = ，e = 晦1 】，p = 2 m ) ： 秒。各，o 俐“o 0 0 i 9 她，l i 妒l l c o - o a 则由定理4 1 易证知边值问题至少有三个正解 第五章二阶非线性常镦分方程兰点边值同题的对称正解的存在性和多重性 第五章二阶非线性常微分方程三点边值问题对称正解的多 重性 5 1 引言 本章研究如下二阶非线性常微分方程三点边值问题的对称正解的存在性和个 数 t ”( t ) + a ( o f ( t ，u ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， ( 5 1 ) t ( t ) = 口( 1 一t ) ，( o ) 一t ，( 1 ) = u ( ；) ， ( 5 2 ) 其中口：( 0 ，1 ) 一1 0 ，) 是对称的，且可在t = 0 和t ；1 处具有奇异性，： 【0 ，1 】【o ，o 。) 一【0 ，) 连续，且，( ，) 对任意u 【o ，o o ) 关于t 【o ，1 】对称 对于二阶非线性常微分方程三点边值问题的正解存在性和多重性已经有很多 结果，如文【4 2 - 剐文f 5 4 | ，1 5 5 研究了二阶常微分方程对称正解的多重性，文阳】 研究了一类奇异两点边值问题对称正解的存在性文( 5 7 ，5 8 】研究了m 点边值问题 正解存在性最近文【5 9 1 利用弛s e l 8 k 搿b 不动点定理研究了b v p ( 5 1 ) ( 5 2 ) 对 称正解的存在性，给出了存在两解存在的充分条件，受以上文献的启发，本文通过 构造合适的序锥，利用抽象的不动点定理，获得b v p ( 5 1 ) ( 5 2 ) 至少存在三个正解 的充分条件 吴正，徽分方程边值问题正解的存在性和多重性 5 2预备知识和引理 b a n a c h 空间o o ，i i 其范数定义为l l u l l2 o m s 掣a x l u ( t ) l 令 c + 【0 ，1 l = u c o ，1 】：u ( t ) o ，t 【0 ，1 】) 引理5 1 1 1 9 令f e 【0 ，1 】在f 0 ，1 j 对称那么三点边值问题 t ，( t ) + ”( t ) = ，o ，0 t o , t 【0 ，i i 引理5 4 1 1 9 令f c + 【o ，1 】，那么边值问题( 5 2 ) ( 5 3 ) 的唯一对称解u ( f ) 满足 部墨孤i ( 5 5 ) 第五章二阶非线性常徽分方程三点边值问曩的对称正解的存在性和多重性 假设 ( 风) d ：( 0 ，1 ) 一【o ，+ ) 在( 0 , 1 ) 上连续对称，且 o f o i g ( s ，s ) 。( s ) 幽 - i - o 。 ( j b ) ，：【o ，1 】【o ，o o ) 一【0 ，) 连续，且对v u 【0 ，o o ) ，有，( ，t ) 在【0 ，1 】上对 称令p = t u 伊【0 l 】：“( t ) 在【o ，1 l 上是对称凸函数且t m | o f i n u “( 。) i l l n l l 显