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四川大学硕士学位论文 双同心圆光栅二维平面位移测量术 光学专业 研究生朱海军指导老师苏显渝 摘要 测量技术与国民经济的各个部门、科学技术各个领域的发展都有着十分 密切的联系。高精度的平面位移测量一直是精密测量领域研究的热点。现代 科学技术的飞速发展，特别是信息技术、m e m s 技术、纳米技术、航空航天技 术的发展，对测量技术提出愈来愈高的要求。在微位移测量方法中，光栅测 量技术具有精度高、量程大、对测量环境要求相对较低等优点而广泛应用， 特别是近年来光栅测量系统向纳米级精度发展，为光栅在高精度测量应用中 提供了广阔的应用前景。现代精密测量技术是一门集光学、电子、传感器、 图像、制造及计算机技术为一体的综合性交叉学科，涉及广泛的学科领域， 它的发展需要众多相关学科的支持。综合当前精密测量技术的发展状况，精 密测量技术普遍向着测量速度高、系统化、结构更为紧凑稳定、操作性和自 动化水平进一步提高的方向发展。 目前国内外能具有纳米级测量精度的方法中以隧道显微术( s t m ) 、原子 力显微术( a f m ) 技术的分辨率( o 1 n m ) 与测量精度最高。用来探测纳米尺 度的空间变化，这两种技术代表了现代测量进入分子与原子时代，但是目前 这种仪器的测量范围较小，一般为几十微米且对测量环境要求苛刻，需要采 取良好的隔振措施和配备复杂的传感器运动伺服控制系统，仪器价格昂贵。 四川大学硕士学位论文 1 9 6 0 年激光器问世以来，由于激光具有单色性、相干性和方向性好、光强度 高等特点，很快成为精密光学测量的理想光源，各种类型的激光干涉仪均以 真空中的激光波长作为长度测量基准，不仅能实现高精度的快速非接触测 量，而且系统结构简单、成本低，因此在超精密测量领域得到了迅速发展。 二维同心圆光栅测量技术具有一维光栅测量的优点，又可同时对两个方 向的平面微位移进行测量，为高精度二维平面位移测量提供了一种解决的方 法，因此对同心圆光栅在精密测量应用中的研究具有现实意义。 本论文主要对同心圆光栅平面位移测量系统及其关键技术进行了理论 和试验研究，论文的主要研究内容和结果如下： 1 建立了两个同心圆光栅的数学模型，对两个同心圆光栅干涉产生莫尔 条纹过程进行了分析，提出了一种测量二维平面位移的方法。 2 通过对莫尔条纹图进行低通滤波，提取出纯莫尔条纹。然后，利用傅 里叶级数变换，相位分析计算出两同心圆圆心之间的偏心角和偏心， 距。 3 讨论了噪声以及圈数差对测量精度的影响。计算机模拟实验结果证明 该方法具有较高的测量精度。当偏心距在2 0 个像素以内时，偏心角 测量最大误差小于0 0 0 2 弧度，偏心距测量最大误差小于0 0 4 个像 素，且有较好的抗噪性。 关键词：同心圆光栅：莫尔条纹；位移测量：t a l b o t 自成像 四川大学硕士学位论文 m e a s u r e m e n to ft w o d i m e n s i o n a lp l a n a rd i s p l a c e m e n tb y d o u b l ec o n c e n t r i c - c i r c l eg r a t i n g s a b s 仃a c t m e a s u r e m e n tt e c h n i q u eh a sc l o s er e l a t i o n s h i pt oe v e r yd e p a r t m e n to ft h e n a t i o n a le c o n o m ya n dt h ed e v e l o p m e n to f t h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g yi na l lf i e l d s h i g hp r e c i s i o np l a n a rd i s p l a c e m e n tm e a s u r e m e n th a sb e e nah o ti na r e ao f p r e c i s i o nm e a s u r e m e n tr e s e a r c h t h er a p i dd e v e l o p m e n to fm o d e m s c i e n c ea n d t e c h n o l o g y , p a r t i c u l a r l y i n f o r m a t i o n t e c h n o l o g y , m e m s t e c h n o l o g y , l l a n o t e c h n o l o g y , a e r o s p a c et e c h n o l o g y , h a v e t h e g r o w i n g d e m a n d sf o r m e a s u r e m e n tt e c h n o l o g y i nm i c r o - d i s p l a c e m e n tm e a s u r e m e n tm e t h o d ，g r a t i n g t e c h n o l o g y 谢mh i 曲a c c u r a c y , l a r g er a n g eo fm e a s u r e m e n t ，r e l a t i v e l yl o w e n v i r o n m e n t a lr e q u i r e m e n t sa n dt h ea d v a n t a g e so fw i d ea p p l i c a t i o n i np a r t i c u l a r , i nr e c e n ty e a r s ，g r a t i n gm e a s u r e m e n ts y s t e m sd e v e l o pt ot h en a n o p r e c i s i o n g r a t i n gf o rt h eh i g h p r e c i s i o nm e a s u r e m e n ta p p l i c a t i o n sh a sab r o a da p p l i c a t i o n p r o s p e c t s m o d e mp r e c i s i o nm e a s u r e m e n tt e c h n o l o g yi sas e to fo p t i c a l 、 e l e c t r o n i c 、s e n s o r s 、 i m a g e 、m a n u f a c t u r i n ga n dc o m p u t e rt e c h n o l o g y i t i n v o l v e saw i d er a n g eo fs u b j e c ta r e a s ，s ot h ed e v e l o p m e n to fi tn e e d sal a r g e n u m b e ro fr e l a t e ds u b j e c t sf o rt h e i r s u p p o r t i n t e g r a t e dc u r r e n tp r e c i s i o n m e a s u r e m e n tt e c h n o l o g y d e v e l o p m e n t ，p r e c i s i o n m e a s u r e m e n tt e c h n o l o g y g e n e r a l l yt o w a r d st h em e a s u r e m e n to fh i g h - s p e e d ，s y s t e m a t i c ，m o r ec o m p a c t s t r u c t u r es t a b i l i t y , m a n e u v e r a b i l i t ya n df u r t h e ri m p r o v et h el e v e lo f a u t o m a t i o ni n t h ed i r e c t i o no f d e v e l o p m e n t a th o m ea n da b r o a d ，t h em e t h o dw i t ht h en a n o m e t e rl e v e l m e a s u r i n g a c c u r a c yb yt h et u n n e l i n gm i c r o s c o p y ( s t m ) ，a t o m i cf o r c em i c r o s c o p y ( a f m ) o f i i i 四川大学硕士学位论文 t h et e c h n i c a lr e s o l u t i o n ( 0 1 m m ) a n dt h em e a s u r i n ga c c u r a c yi sh i 曲e s t u s e dt o d e t e c tn a n o s c a l es p a t i a lv a r i a b i l i t y , t h i st w ok i n d so ft e c h n i c a lr e p r e s e n t a t i v eo f t h em o d e ms u r v e ye n t e r e dm o l e c u l a r a n da t o m i ce r a h o w e v e r , t h ec u r r e n ts c o p e o ft h em e a s u r e m e n te q u i p m e n ts m a l l e r , u s u a l l yd o z e n so fm i c r o nm e a s u r e m e n t a n dh a r s he n v i r o n m e n t a lr e q u i r e m e n t s ，n e e dt ot a k em e a s u r e st oi m p r o v et h e i s o l a t i o na n de q u i p p e dw i t hs o p h i s t i c a t e ds e n s o rm o v e m e n ts e r v oc o n t r o ls y s t e m ， t h eh i g hc o s to fe q u i p m e n t t h el a s e rh a sb e e np u b l i s h e ds i n c e1 9 6 0 ，b e c a u s et h e l a s e rh a sm o n o c h r o m a t i c ，t h ec o h e r e n c ea n dt h ed i r e c t i v i t yg o o d ，t h el i g h t i n t e n s i t yh i g h e rc b a r a c t e r i s t i c ，v e r yq u i c k l yb e c o m e st h ep r e c i s eo p t i c a l m e a s u r e m e n tt h ei d e a ll i g h ts o u r c e ，e a c hk i n do ft y p el a s e ri n t e r f e r o m e t e rt a k e s t h el i n e a rm e a s u r ed a t u mb yt h ev a o u u n li nl a s e rw a v el e n g t h ，n o to n l yc a l lr e a l i z e t h eh i 曲a c c u r a c yf a s tn o n - c o n t a c ts u r v e y , m o r e o v e rt h es y s t e ms t r u c t u r ei s s i m p l e ，t h ei n g r e d i e n ti sl o w , t h e r e f o r eo b t a i n e dt h er a p i dd e v e l o p m e n ti nt h e u l t r ap r e c i s i o nm e a s u r e m e n td o m a i n c o n c e n t r i c2 dg r a t i n gt e c h n o l o g yh a st h em e r i to fo n e d i m e n s i o n a lg r a t i n g m e a s u r e m e n t , s i m u l t a n e o u s l yo nt w o p l a n ed i r e c t i o no ft h ed i s p l a c e m e n t m e a s u r e m e n t s ，p r o v i d i n gas o l u t i o nt ot h eh i g hp r e c i s i o n2 dm e a s u r e m e n t s o t h ec o n c e n t r i cc i r c l e sg r a t i n gp r e c i s i o nm e a s u r e m e n ta p p l i c a t i o n si nt h es t u d y h a v ep r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i n t h i sp a p e r , w em a k ea l li n v e s t i g a t i o nt ot h er i n g sg r a t i n gd i s p l a c e m e n t m e a s u r e m e n ts y s t e ma n di t sk e yt e c h n o l o g yf o rat h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a l s t u d y , t h em a i nc o n t e n t sa n dw o r k i n c l u d e ： ( 1 )w ee s t a b l i s h e dt h em a t h e m a t i cm o d e lo ft w oc o n c e n t r i c c i r c l e g r a t i n g s b ya n a l y z i n gt h em o i r df r i n g eo ft w oc o n c e n t r i cc i r c l e g r a t i n g s ，w ep r o p o s e da m e a s u r em e t h o do ft w o d i m e n s i o n a lp l a n e d i s p l a c e m e n t i v 四川大学硕士学位论文 ( ”b yu s i n gal o w - p a s st om o i r df r i n g ew eo b t a i nt h er e a lm o i r df r i n g e t h e nw eu s e dt h ef o u r i e rs e r i e st r a n s f o r m a t i o nt e c h n i q u ea n dt h e p h a s ea n a l y z e ，c a l c u l a t e d o u tt h e e c c e n t r i c i t ym a g n i t u d ea n d d i r e c t i o n 。 ( 3 ) w ed i s c u s s e dt h e i n f l u e n c eo fn o i s e t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n e x p e r i m e n td e m o n s t r a t e st h a t t h i sm e t h o dh a sh i 曲p r e c i s i o n t h e m e a s u r i n ga c c u r a c yo fa n g l ei sl e s st h a n0 0 0 2r a d i a n ，t h em e a s u r i n g a c c u r a c yo fe c c e n t r i c i t yi sl e s st h a no 0 4p i x e lw h e ne c c e n t r i c i t y w i t h i n2 0p i x e l s a n dm o r e o v e r , t h i sm e a s u r em e t h o dh a st h eb e t t e r a n t i - n o i s ep r o p e r t y k e yw o r d s ：c o n c e n t r i c - c i r c l eg r a t i n g ，m o i r df r i n g e ，m e a s u r e m e n to fd i m e n s i o n a l ， t a l b o ts e l f - i m a g i n g 四川大学硕士学位论文声明 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方步 ，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成 果归四川大学所有，特此声明。 硕士研 导师： 究生：车海军 苏嘶 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 二维精密测量概述 近年来，精密测量技术发展迅速。例如在线测量技术，已可进行加工状态 的实时显示，及时检测是否出现异常状况，从而可大幅度提高生产效率。利用 莫尔计量术0 1 ，在长度、角度、偏心、振动、以及应力变形测量方面都有广泛 的应用。对于机床控制装置，则要求高精度化、低成本和小型化。在高精度加 工和质量管理过程中，随着光机电一体化、系统化的进展，光学测量技术有了 迅速的发展，相应的测量机产品大量涌现，测量软件的开发也日益受到重视。 利用光学原理开发的非接触测量机及各种装置非常多。随着非接触、高效 率测量机的大量出现，专家们预计，z l 世纪测量技术的发展方向大致如下：测 量精度由um 级向n l t l 级发展，进一步提高测量分辨力；由点测量向面测量过渡， 提高整体测量精度( 即由长度的精密测量扩展至形状的精密测量) ：随着图像处 理等新技术的应用，遥感技术在精密测量工程中将得到推广和普及；随着标准 化体制的确立和测量不确定度的数值化，将有效提高测量的可靠性。测量技术 必须实现高精度化，同时也要求实现高速化和高效率化，因此，非接触测量和 高效率测量也就必然成为新世纪精密测量技术的重要发展方向。 在现代精密工业生产实践中，基于二维微位移测量的需要，有很多测量方 法和测量仪器可以满足实际的需要，例如常用的干涉仪、精度较高的x 射线干 涉仪1 以及f - p 干涉仪时1 等等。激光干涉测量方法是位移精密测量中最成熟的 技术，具有纳米精度测量阻不确定度的潜质，并且可以追溯到米的定义。激光 干涉测长仪有单频激光干涉传感器和双频激光干涉传感器。单频激光干涉传感 器是利用迈克尔逊干涉原理，而双频激光干涉传感器是综合运用光学塞曼效应、 多普勒效应和光学拍频原理研制而成。 迈克尔逊干涉仪是一种基于迈克尔逊干涉原理的典型单频激光干涉仪，这 类单频激光干涉仪虽然可以达到较高精度，但这种仪器光电探测器后的前置放 大器一般只能用直流放大器，而不能用交流放大器。另外，在测量时对环境有 较高要求，不允许干涉仪两臂的光强有较大变化，干涉条纹光强的变化总要以 四川大学硕士学位论文 计数器平均触发电平为中心对等分布。如果光强由于外界环境干扰引起变动， 则干涉信号强度就可能落于触发电平之下，从而使仪器停止工作，必须重新调 整触发电平值。所以这种干涉仪抗外界干扰因素的能力差，一般只能在恒温、 防震的条件下工作。为克服以上缺点，在干涉仪的参考光路中引入一定频率的 载波，被测信号通过这一载波来传递，并被光电探测器接收，使前置放大可采 用交流放大，这样就可以隔绝由于外界环境干扰引起的直流电平漂移，使仪器 能在车间现场的环境下稳定工作。利用这种外差技术设计的干涉仪称为外差干 涉仪，这种外差干涉技术解决了单频干涉仪的核心问题，滤掉了干涉背景和直 流放大器的噪声。 双频激光干涉仪是目前使用最为广泛的高精度测量仪器，对于用于进行高 精度位移测量的干涉仪来讲，目前还需要解决许多技术上的关键问题。如干涉 仪的结构稳定性和热稳定性、非线性误差的分离与补偿、条纹信号细分以及倍 频技术、振动和声音的隔离等。国内外现有同类仪器都不同程度地存在一个共 同的问题，即测量对环境条件要求高，很容易受到环境温度、仪器本身的温度 梯度、大地振动、外部的机械变形、电子和机械噪声或不匹配的仪器设计的影 响，其结果造成了对误差补偿技术的过分依赖，而补偿本身也有一定的精度限 制，这就影响了精密位移测量技术向纳米级乃至亚纳米级精度的发展。因此， 在进行机械结构设计、光学元件布局时必须仔细考虑，尽量使影响测量精度的 各项误差由干涉仪自身予以抵消或补偿，以提高测量精度，这是向亚纳米级测 量精度发展的有效途径。 1 2 莫尔( m o ir 6 ) 现象。1 所谓“莫尔”一词，在法文里m o i r 是水波纹或云纹花样的意思。2 0 0 年 前法国丝绸工人发现，当薄的两层丝绸在一起并作相对运动时，则形成一种飘 动的水波纹花样，当时就把这种有趣的花样叫做莫尔条纹( m o i r 4f r i n g e ) 。这 种现象在日常生活中也经常看到，例如两层窗纱或两层帐子布重叠时，就能看 到这种现象。现在一般用来表示两个( 或两个以上) 几何图案叠加而成的透光 图案。1 8 7 4 年l o r dr a y l e i g h 提出了m o i r 6 条纹的科学概念。他认为，m o i r 6 条纹是“二个周期性的直线簇重合而成的图案”。当然，曲线簇也能形成m o i r 4 条纹。无论是直线簇还是曲线簇，都应该是透明和不透明相问的光栅结构，m o l t 4 2 ， 四川大学硕士学位论文 一词有时音译为莫阿，意译为云文。 莫尔技术得到广泛应用是在6 0 年代中期以后，主要有两个原因：1 是采用 照相工艺制造黑白相间的计量光栅，突破了精密光栅的廉价和成批制造这个关 键技术。2 是发展了莫尔信号的电子细分技术，使分辨率及精度能够适应现代 精密计量的要求。从7 0 年代开始，莫尔条纹又广泛用于三位物体的表面轮廓测 量。现在莫尔条纹已广泛应用于科学研究和工程技术之中，莫尔条纹作为精密 计量手段可用于测角、测长、测振等领域。 如图1 1 所示的就是一组直线簇莫尔条纹。 圈1 1 直线簇莫尔条纹 如图1 2 所示的是一幅两组圆心不同的同心圆所产生的莫尔条纹。 图1 2 两组同心圆产生的莫尔条纹 随着近几十年来数字计算机技术的飞速发展，科学研究与计算机联系越来 越紧密。但由于数字计算机的离散化处理，使科学研究的数据图样在计算机离 四川大学硕士学位论文 散化过程中采样不足的情况下，同样会出现莫尔现象，如图1 3 所示。原本该 信号是一模拟正弦信号，但由于计算机在离散化过程中抽样不足，抽样点不足 以体现原模拟信号的基本特征，于是出现了如图所示的莫尔条纹。我们可以称 之为数字莫尔现象。在科研活动中，要意识到这种莫尔条纹的存在有可能导致 我们得出错误的结论，应当给予必要的重视。其实，在利用数码产品拍摄周期 性线条状物体时，在分辨率较低的情况下，这种莫尔条纹是经常遇到的。 图1 3 离散化形成的莫尔条纹 莫尔条纹的应用十分的广泛，利用莫尔条纹可以测量角度位移和用来调整 准直光路。这是莫尔条纹位移放大功能。m o i r 6 条纹有等位移线的性质。m o i r 6 条纹的第二个功能是流场显示及测量相位物体，它所形成的m o i r 6 条纹具有等 密度线、等温度线的性质，这就是m o i r 6 干涉和m o i r 6 偏折测量。它和阴影法、 纹影法、干涉法等流场显示技术相比，有着装置简单、调整灵活的优点，易于 定性的显示和定量的测量。m o i r 6 条纹的第三个功能是进行立体测量，只要受 物体形貌信息所调制的变形光栅和标准光栅叠加，所形成的m o i r 6 条纹具有等 高线性质，这就是m o i r 6 形貌测量。b l o i r 6 形貌测量自2 0 世纪7 0 年代以来， 得到了飞速的发展。 所谓m o i r 6 原理，是指当两光栅叠加所形成的m o i r 6 条纹，能放大待测物 理量；两个光栅中至少要有一个光栅受到物理量的作用和调制，这种作用和调 制的结果是使这块光栅运动或者形成变形光栅。m o i r 6 原理在激光测量领域得 4 四川大学硕士学位论文 到了愈来愈广泛的应用。 1 3 莫尔计量术叫 将两块相近的光栅重叠时，能产生莫尔条纹。由于莫尔条纹的特殊性质， 莫尔计量方法在长度、角度、振动、变形等测量中得到广泛的应用，成为现代 光学计量领域中的一种重要方法。 1 3 1 长度和角度测量 在长度测量中，通常采用两块栅距相等，栅线夹角为。的光栅重叠，其中 一块是固定的，另一块是可移动的。当一块光栅移动一个栅距时，莫尔条纹移 动一个节距。设两块光栅栅距为d ，夹角。很小时，莫尔条纹的节距 d 。： 不。i d ( 1 1 ) 九2 硝百 。_ 由于光栅的移动与莫尔条纹的移动是同步的，如果测出莫尔条纹的数量为 n ，被测长度l 就等于光栅的移动量，即 o 狭缝 e 三三三三三三三三三三三三三三三三三j 长光橱 e 三三三三 指示光橱 二 光电探铡器 图i 4 光栅读数头原理图 计量光栅的栅距一般都很小，因此测量精度可以达到很高。在对莫尔条纹 计数时，利用电子处理技术中对条纹的细分处理，可以准确到一个条纹的若干 分之一，这又进一步提高了测量精度。 四川大学硕士学位论文 计量光栅在长度测量中主要是采用一种名叫光栅读数头的结构，如图l4 所示。这种读数头与信号处理和数字显示装置一起使用。可以安装在机床或仪 器上，作为精密长度计量的一种手段。 在角度测量中主要采用径向圆盘光栅或切向圆盘光栅。 所谓径向圆盘光栅，其刻线是以圆心为中心的辐射状光栅，刻线数通常为 3 6 0 的倍数，相邻两刻线之间的夹角称为栅角y ，若两个径向光栅相互重叠， 并保持一个不大的偏心量时，便形成莫尔条纹。在光栅的不同位置，局部的莫 尔条纹的形状和节距并不相同，但是，当其中一个光栅转动一个栅角时，莫尔 条纹同步地移动一个节距，因此可用于精密角度测量。 对于切向圆盘光栅，其刻线相切于一个小圆，小圆半径为r ，称为刻线偏 心。切向圆盘光栅的栅线是切于一个小圆的等栅角的离心切线。莫尔条纹也产 生位移，当光栅转动一个栅角时，莫尔条纹移动一个节距，因此可以用切向圆 盘光栅测量角度。 1 3 2 偏心量及振动的测量 若将两组圆环光栅( 栅线是等距同心圆) 进行叠合，两组光栅的栅线栅距 相等，记为d ，两个同心圆圆心距为2 c ，则形成以圆心连线中点为中心对称分 布的放射状莫尔条纹。在转动其中一块光栅时，这种放射状莫尔条纹是不动的， 但当沿两光栅圆心连线方向移动其中一块光栅时，莫尔条纹数将随2 c 的增大而 增多。奠尔条纹总数k ，环形光栅栅距d 与两环形光栅中心距2 c 之间存在如下 关系 2 c ：生d (13)4 、， 如果已知光栅栅距和所观察到的莫尔条纹总数，就可以求出中心距2 c ，从 而达到测量偏心量或振动的目的。 1 4 双螺旋莫尔条纹检测光束准直性“ 使用两个螺旋型光栅，利用泰伯自成像效应可产生双螺旋莫尔条纹。这种 双螺旋莫尔条纹是一种较为特殊的莫尔条纹，可运用于检测光束的准直程度， 进而为光学测量等相关应用领域提供高质量的准直光束。双螺旋莫尔条纹的特 6 四川大学硕士学位论文 征参数( 例如：条纹周期) 直接反映光束准直精度。对双螺旋莫尔条纹进行分 板时，首先采用频域低通滤波提取纯莫尔条纹，然后提取纯莫尔条纹的特征参 数。特征参数的提取有两种方法，一种是在0 方向上依次进行傅里叶变换计算 相位信息的傅里叶变换方法，另一种是受传统时间相移算法启发提出的在若干 个不同的o 方向上插值获取径向插值数据进行相移计算的空间相移算法。 1 4 1 傅里叶变换方法 在纯莫尔条纹图中，如图1 5 所示，我们从某一个0 。方向开始，分别在点 ( r ，0 ) 处插值，其中，r = r 。( i = l ，2 ，n ) ，e = 0 0 ，e o + a o ，8 0 + 2 7 c 一 0 ，使得这些插值点( r ，e ) 均匀分布在条纹图中，得到n 组长度为2 n a o 的 韵电f i ( e ) 。 z ( 口) = 4 + 垦c o s ( 2 9 + 依) i = 1 ，2 ，摊 ( 1 4 ) 图1 5 傅立叶变换方法插值点选 再分别对f t ( 0 ) 作一维离散傅立叶变换，在频域中检测出其基频分量( 模 最大的频率分量) 的相位，得到长度为n 的相位序列铆，经相位展开后，得到 q o ( r ) 随r 的变化关系。计算出币( r ) 随r 的变化率2 兀p ，从而计算出差频条纹 周期p 。由于进行离散傅立叶变换的每一组f i ( e ) 序列都是具有整数个周期，并 且是首尾相接的，因此离散傅立叶变换的准确度是很高的。进而，周期p 的计 算同样是十分精确的。利用傅立叶变换方法还可直接对原始莫尔条纹进行相位 四川大学硕士学位论文 计算，从而直接计算出条纹周期p 。 1 4 2 空间相移算法 将不同0 方向上的一维正弦条纹看作是投影到相同一维物体上的不同相位 的一维正弦条纹。因此，可以在空间极坐标中以0 为一空间变量，将二维螺旋 莫尔条纹分解成随e 变化的一系列的一维正弦条纹，如图1 6 所示。选取一簇 初相位在2 7 【内均匀分布的径向条纹，从效果上看，相当于得到了时间相移算 法中不同时刻的变形条纹图。 空间相移采样插值 图1 6 空间相移原理示意图 在纯莫尔条纹图中，分别在某几个特定的等间距的o i 方向上，在r = l ， 2 ，r 。处插值，得到n 帧一维条纹g ( r ) 。 g ( ，) = a j + 墨c o s e , ( r ) 一2 n o , 】 i = 1 , 2 ，珂 ( 1 5 ) 其中，口= 谚+ a o f = 1 , 2 ，n l 为使总相位( r ，0 ) = 甲。( r ) - - 2 n 0 。，在v 。到+ 2 兀上均匀增加，所以0 转动 量h 0 - - - ( n n ) 为一负值。当然，由于螺旋状莫尔条纹具有中心对称性，因此 可先取几处对称位置上的平均值g 。( r ，再参与相位计算。 利用相位测量剖面术( p m p ) 中的截断相位计算公式： 四川大学硕士学位论文 卅一删姐塑 n 。， 纵力一一荔菇 n 6 酗( ，) c o s ( 等) ，l l ， 计算出初始方向o - 上的相位信息( r ) ，经相位展开后，得到 ( r ) 随r 的 变化关系。计算出、i ，- ( r ) 随r 的变化率2 兀p ，从而计算出周期p 。 1 5 同心圆光栅莫尔条纹测量平面位移过程概述 莫尔条纹在精密测量中有广泛的应用，可以用于测量三维面形“”，光学 系统焦距“”，测量微小角度“7 ”1 、精确测量位移“刎、在线高精度检测。”、机械 加工。1 和其他领域有着非常重要的应用，莫尔条纹技术具有位移高倍率放大的 光学特性，可对位移量进行准确的测量和控制，随着光刻技术和光电子技术水 平的提高，莫尔条纹技术获得了较快的发展。 目前研究的采用同心圆光栅莫尔条纹测量二维平面位移的方法潞，主要 利用莫尔条纹对微位移的放大作用，通过对同心圆光栅莫尔条纹的分析计算二 维平面位移量和角度位移量。在此，我们通过对两个同心圆光栅进行数学建模， 研究两个同心圆光栅莫尔条纹图的特点，对条纹图进行数学分析。然后根据莫 尔条纹图形的性质，利用低通滤波，傅里叶分析实现了对偏心角和偏心距的测 量，确定了二维位移。最后，通过计算机模拟试验证明了这种方法的有效性。 本文还讨论了噪声对测量精度的影响，计算机模拟试验证明，通过设计适当的 低通滤波器，这种方法具有较强的抑制噪声性能。在精密测量领域中，利用同 心圆光栅进行叠合形成莫尔条纹，并通过c c d 接受器件田。龃1 可以获得莫尔条纹 图像，对获得的莫尔条纹图像进行处理，可以分离出其蕴含的二位平面位移信 息，从而实现精密测量。 1 6 本文的主要内容 第一章本章主要介绍了莫尔现象的起源及应用。重点介绍了莫尔条纹在精密 测量领域的发展及应用，并且简单介绍了利用同心圆光栅进行位移测 量的原理。 第二章本章主要分析了同心圆光栅莫尔条纹的形成机理。比较了两个相同同 9 四川大学硕士学位论文 心圆光栅与两个圈数相差为1 的同心圆光栅成像的差别。最后对莫尔 条纹的成像系统进行了分析和设计。 第三章着重讨论了利用莫尔条纹进行测量时所用到的处理方法，并对频域滤 波，插值运算，线性拟合进行了细致分析，最后利用傅里叶变换实现 了二维平面位移信息的测量。 第四章对计算机仿真试验和测量结果进行了分析，并讨论了噪声以及实验参 数对测量结果的影响。 第五章本文的总结与展望。 1 0 四川大学硕士学位论文 第二章同心圆光栅莫尔条纹产生原理 2 1 莫尔条纹的形成机理 光栅测量系统的基础是利用两块光栅叠合时所形成的莫尔条纹。关于莫尔 条纹形成的原理，有几种不同的解释方法，概括起来有以下几种观点：一种观 点是基于遮光阴影原理，这是按照光栅重叠线条交点的轨迹来表示莫尔条纹的 亮度分布。认为莫尔图案起因于一块光栅的不透光线纹对于另一光栅透光缝隙 的遮挡作用。据此，或应用几何光学原理求解莫尔条纹的节距和方位，或应用 序数方程建立莫尔条纹代数方程式。如果讨论的光栅是栅距较大的黑白光栅， 则可以用此方法推导出光栅副结构参数和莫尔条纹几何图案之间的关系。另一 种是应用衍射干涉原理，认为由条纹构成的新的亮度分布，可按衍射波之间的 干涉结果来描述。应用复指数函数方法，获得各衍射级的光强分布公式。因为 几何光学原理本身是波动光学理论在某些条件下的近似，单纯利用几何光学原 理，不能说明光栅用于测量时所出现的各种现象。比如用以产生莫尔条纹的相 位光栅就难以用栅线韵遮光作用加以说明。又如通常应用的栅距为0 0 4 0 1 m m 的光栅衍射现象很显著。这样的两块光栅叠合时衍射现象对莫尔条纹的形成起 重要作用，因此必须用衍射干涉原理进行分析。第三种观点用傅里叶变换原理 作解释，莫尔条纹起因于两光栅透射光场的差频花样，因而可按傅里叶变换原 理把光栅副透射光场分解为不同空间频率的分量，形成的莫尔条纹由低于光栅 频率的空间频率项所组成。本文是应用第三种观点讨论两块同心圆光栅叠合时 莫尔条纹的形成情况。 2 2l 司心圆光栅莫尔条纹的形成原理 为简明起见，先考虑两块一维的余弦光栅相叠合的情况。假设两块光栅在x 方向上的周期分别为d 。和d ：，或空间频率为e 。= 1 d 和e ：= 1 d 2 ，其透射率可记为： 正o ) = 三 ( 1 s 2 硝枷 ( 2 ) 1 五( x ) = 去【( 1 + c o s 2 刀参工) 】 ( 2 2 ) 四川大学硕士学位论文 = 三【1 + c o s 2 硝x + c o s 2 呜x + c o s 2 鸠x c o s 2 磋x 】 ：水咖z 硝x + e o s 2 鸸x + 扣陆g + 岛) 】+ 圭。【2 万暖一枷化3 式中：第一项是均匀的透过率；第二三项保持了原有的两块光栅的周期结 构；第四项是和频项，其空间频率是相叠合的两块光栅空间频率之和；第五项 是差频项，其空间频率是相叠合的两块光栅空间频率之差。在大多数应用中， 相叠合的两块光栅具有较接近的空间频率，所以在上述各项中，第二、三、四 项具有较高的空间频率，而第五项具有明显较低的空间频率，因此，采用空间 频率域滤波或空间域卷积的办法，很容易将差频从其它各项中分离出来。而差 频项常常携带了我们所感兴趣的信息，这也是人们广泛应用莫尔现象的重要原 因之一。 2 2 1 两块相同的同心圆光栅叠合的莫尔条纹 同心圆光栅是由大量同心环形狭缝组成的，其透射系数是按余弦规律变化的 正弦( 振幅) 光栅。如图2 1 所示： 图2 1n , o 圆光栅透射系数 在光栅面上的变化 图2 2 同心圆光栅g 记同一1 5 , 圆光栅为g ，光栅g 的最大半径为r ，在g 上有n 个同心圆。如图2 2 所 四川大学硕士学位论文 即 由余弦定理，我们可以看到r ：满足 ，2 2 = ，2 + 占2 2 0 c o s ( o 一彩 t 2 = 6 _ 一6 c o s ( 8 一) 】2 + 2s i n 2 ( 口一) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 通常，我们所要测量的偏心距e 非常小，这样在方程( 4 ) 中c2 可以被忽略 不计。即 屹- - - - - - r c o s ( o 一) ，( 2 7 ) 两块相同的同心圆光栅重叠产生莫尔条纹，用光强为i 。的平行光照明光栅g ， 使光栅g 的泰伯自成像g ，刚好和另一块相同的同心圆光栅g 重叠，则在第二块光栅 g 上两光栅干涉时的光强为下式 四川大学硕士学位论文 i ( r ，口) = l o s s i o 4 + 扣譬h 坤一哪 + b 4 r r 扮 li + i 。0c o s 謦【2 r - 占c o s ( o 刊】 专c o s 肛一s ) 】) ( 2 8 ) 图2 4 是依据上述分析所得到的莫尔条纹仿真图，可见傅里叶分析的结果与 遮光阴影原理分析的结果是一致的。 图2 4 两块相同的同心圆光栅叠合的莫尔条纹图像 由上面的分析可见，当两块相同的同心圆光栅叠合，并保持不大的偏心量 时形成辐射状的莫尔条纹，莫尔条纹有如下特点：两光栅圆心之间的距离每变 化一个栅距，莫尔条纹的数目就增加一条，莫尔条纹的数目及条纹的位置仅与 偏心量的大小和两光栅圆心连线方向有关，任一光栅旋转时条纹数和角位置都 不会变动。莫尔条纹总数k ，栅距d 与偏心距e 之间的关系式。”为e = k d 4 。根据 这一特点，可以利用一对同心圆光栅来测量主轴的偏移。 2 2 2 圈数相差1 的两片同心圆光栅叠合时的奠尔条纹 记圈数相差1 的两同心圆光栅分别为g 。和g ：，光栅g 。和g ：的最大半径均为r ， 在g 上有n 一1 个同心圆，g 。上有n 个同心圆，如图2 5 中a 、b 所示。设光栅g ，的振 四川大学硕士学位论文 幅透过函数为正弦曲线，以极坐标的方式表示如下 讹班1 ：。( 1 + c o s2 f f ( n r - 1 ) ， 。， a 光栅g 图2 5 两同心圆光栅 b 光栅g 。 = 如c o s 孕吃) 眨 用光强为i 。的平行光照明光栅g 。，使光栅g 的泰伯自成像g ，刚好和光栅g ：重 叠，则在光栅g 2 上两光栅干涉时的光强为下式 ( ，口) 。i 。s i s 2 ( 2 1 1 ) 将方程( 2 7 ) ，( 2 9 ) 和方程( 2 1 0 ) 代入方程( 2 1 1 ) ，我们可以得到 m ，口) = 1 4 0 + 萼c o s 譬h 砷一椰 + 扣降( _ l 川 + c 。s 警 ( 2 一- p 一c 。s p 一庐) 】 + 扣肛一胍坤一哪( 2 1 2 ， 四川大学硕士学位论文 了原有的两块光栅的周期结构；第四项是和频项，其空间频率是相叠合的两光 栅空间频率之和；第五项是差频项，其空间频率是相叠合的两块光栅空间频率 之差，即莫尔条纹项。 两个半径相同，圈数相差为1 的同心圆光栅重叠产生莫尔条纹，几种不同偏 心距和偏心角情况下的莫尔条纹图如图2 6 所示。偏心距e 和偏心角m 是影响莫 尔条纹形态的特征参数。偏心距e 和偏心角m 的微小变化将导致莫尔条纹图形的 剧烈变化。正是利用同心圆莫尔条纹对偏心距和偏心角的放大作用，进行二维 平面的位移测量。 ae = 0 b 2 r n ，伽 cg = 2 r n ，m 图2 。6 不同偏心距和偏心角情形下的莫尔条绞图 根据公式( 2 1 2 ) 可以单独提取出差频项，即纯莫尔条纹项，并用计算机 仿真出纯莫尔条纹图。对图2 6 中的各莫尔条纹中的纯莫尔条纹计算机仿真结 果如图2 7 所示： 图2 7 图2 6 中的各莫尔条纹图对应的纯莫尔条纹 四川大学硕士学位论文 2 3 基于泰伯( t ai b o t ) 自成像效应的二维测量系统 ： i 叶!； ： ； _ !； 一! ； 叶!i 。： ； 三 _ - = 二_ 厂rz 一； 4 一； i 一： ； 当被光栅调制的光场传播到菲涅耳衍射区并离光栅的