（应用数学专业论文）孤立子理论及其几何应用.pdf

摘要 本文利用孤立子理论研究三维i v l i n k o w s k i 空间r 2 ，1 中的曲 面，并且对某些孤子方程进行求解 对于三维m i n k o w s k i 空间r 2 ，1 中主曲率k l ，2 满足日= 1 和 一2 m h + m 2 一f 2 = 0 ( 对于类空曲面：日= 一h 睾虹，k = - k 】2 ； 对于类时曲面：日= 鳟2 ，k = k 1 2 ) 的线性w e i n g a r t e n 曲面， 我们得到三类b i i c k l u n d 变换，这些结果一方面推广了常高斯曲率 曲面的有关结论，另一方面又发展了关于常平均曲率曲面方面的理 论 曲面运动作为经典物理学中许多非线性现象的一个重要组成部 分，这些运动可以用表示曲面随时间演化的非线性偏微分方程来刻 画对于三维m i n k o w s k i 空间r 2 ，1 中具有正常高斯曲率( k = 1 ) 的类时曲面，取定特定速度，在以渐近线作为坐标曲线的情况下， 曲面运动满足两个基本方程，即s i n h - g o r d o n 方程和日随时间演化 的方程( 其中口表示两条渐近线之间的夹角) ，同时给出两个基本 方程的b s c k l u n d 变换和单孤子解，并通过规范变换给出相应的正 常高斯曲率曲面的显式表达式 最后讨论了破裂孤子方程和( 2 + 1 ) 一维b u r g e r s 方程，一方 面，给出两个方程的d a r b o u x 变换，另一方面，分别利用积分法得 到破裂孤子方程的新解和对称分析的方法得到( 2 + 1 ) 一维b u r g e r s 方程的群不变解以及对称和( 2 + 1 ) 一维b u r g e r s 方程解之间的关 系 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a k eu s eo fs o l i t o nt h e o r yt os t u d ys u r f a c e si n t h r e e d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c er 2 ，1a n dt os o l v et w o ( 2 + 1 ) 一 d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n s f o rt h el i n e a rw e i n g a r t e ns u r f a c e sw h o s ep r i n c i p a lc u r v a t u r e s k 1 a n dk 2s a t i s f yb o t hk = 1a n dk 一2 m h + m 2 一f 2 = o ( f o r s p a c e l i k es u r f a c e s ：h = 一h 2 k = 一k l k 2 ；f o r t i m e l i k es u r f a c e s ： 日= 业2 ，k = h 如) i n r 2 r ，w eo b t a i nt h r e ek i n d so f b s c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n s ，a n ds h o wh o ws t a r t i n gf r o mag i v e nh = 1 o r k 一2 m h + m 2 一f 2 = 0s u r f a c e i ti s p o s s i b l et oc o n s t r u c ta n e n t i r eh i e r a r c h yo fn e wo n e s ，t h e r e f o r en o to n l yd ot h e s er e s u l t s g e n e r a l i z es o m ep r e v i o u sc o n c l u s i o na b o u tt h ec o n s t a n tc u r v a t u r e s u r f a c e s ，b u td e v e l o pt h et h e o r ya b o u tt h ec o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e s u r f a c e s d y n a m i c so fs u r f a c e si s a ni m p o r t a n ti n g r e d i e n to fn u m e r o u s n o n l i n e a rp h e n o m e n ai nc l a s s i c a lp h y s i c s i ns o m ec a s e s ，m a n yd y n a m i c sc a nb em o d e l l e db yt h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw h i c hd e s c r i b ea ne v o l u t i o no fs u r f a c e si nt i m e f o rt h et i m e l i k es u r f a c e sw i t hc o n s t a n tp o s i t i v eg a u s s i a nc u r v a t u r e ( k = 1 1i n 孵”，w ec o n s t r u c tt h ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nr 2 ra n ds l ( 2 ，r ) ， a n dd e d u c et h ef u n d a m e n t a ie q a a t i o n sf o ras p e c i a ic h o i c eo ft h e v e l o c i t yo fm o t i o no ft i m e l i k es u r f a c e si na s y m p t o t i cc o o r d i n a t e s u n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s ，m e a n w h i l e ，w eg i v et h eb h c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n do n es o l i t o ns o l u t i o no ft h ee v o l u t i o ne q u a t i o n s ，t h e n i nt e r m so fa g a u g e t r a n s f o r m a t i o nw eo b t a i nt h e e x p l i c te x p r e s s i o n o ft h em o t i o no fs u r f a c e s f i n a l l y , w es t u d y t h eb r e a k i n gs o l i t o ne q u a t i o na n d ( 2 - t - 1 ) - d i m e n s i o n a lb u r g e r se q u a t i o n o no n eh a n d ，w eg i v ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n so ft w oe q u a t i o n s ，o nt h eo t h e rh a n d ，w er e s p e c t i v e l y o b t a i ns o m en e ws o l u t i o n sf r o mak n o w ns o l u t i o nb yq u a d r a t u r e f o rt h eb r e a k i n gs o l i t o ne q u a t i o n ，a n dg r o u p - i n v a r i a n ts o l u t i o n sf o r ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lb u r g e r se q u a t i o nb yu s i n gt h es y m m e t r yr e - d u c t i o n sa n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es y m m e t r i e sa n dt h ee x a c t s o l u t i o n st o ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lb u r g e r se q u a t i o n 致谢 值此论文完成之际，我首先衷心感谢我的导师田畴教授三年来对我的辛 勤培育和无微不至的关怀田老师渊博的知识，严谨的治学态度和诲人不倦的 精神都给我留下了深刻的印象同时衷心感谢李翊神教授和陈卿教授，他们开 设讨论班所进行的讨论对我有所启发，对我的研究工作有很大帮助 其次，和贺劲松博士，孙建华博士以及左达峰，缪龙，赵欢喜，欧宜贵， 梁兴，王惠文等经常的讨论和交流，也使作者收益匪浅，同时对他们给予我多 方面的帮助表示深深的谢意 最后感谢我的家人，正是他( 她) 们的支持和理解使我得以完成学业 周扣华 引言 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，它的产生和发 展蕴藏着一系列制作偏微分方程精确解的方法，如反散射方法、d a r b o u x 变 换、b i i c k l u n d 变换、对称分析等等经典分析和泛函分析、李群、李代数和 无限维代数、微分几何、代数几何、拓扑学、动力系统以及计算数学等数学分 支对孤立子的研究都有重要作用而孤立子理论的发展，也促进了相应学科的 发展，并为这些学科提供了新的研究领域和研究方法 十九世纪下半叶，b i a n c h i 和b f c k l u n d 在研究三维欧氏空间r 3 中 负常曲率曲面的过程中发现了s i n e g o r d o n 方程以及b 5 c k l u n d 变换一个 负常曲率曲面对应于s i n e - g o r d o n 方程的一个非零解，而b 5 c k l u n d 变换给 出了从一个负常曲率曲面到另一个负常曲率曲面的构造随着孤立子理论的 发展，b i i c k l u n d 变换已经成为寻找许多孤子方程新解的一种重要的方法之 一与此同时b h c k l u n d 定理也得到了进一步的推广和发展s s c h e r n 和 c l t e r n g 1 8 以及m a n t o n o w i c z 2 提出了在实仿射空间中仿射极小曲面之 间的b a c k l u n d 变换k t e n e n b l a t 和c l t e r n g 5 7 5 8 】将b a c k l u n d 理论 进行了高维推广，并得到了推广的s i n e g o r d o n 方程和波方程随后田畴教授 和曹锡芳以及陈维桓教授f 1 9 ，6 6 】又将b s c k l u n d 理论推广到高斯曲率k 和 平均曲率日满足a k + b h = e ( a 2 + b 2 0 ) 的线性w e i n g a r t e n 曲面，其中a ， b 和c 为任意常数 三维m i n k o w s k i 空间r 2 ，1 【7 3 】是在r 3 中对于两个向量f = ( f l ，f 2 ，f 3 ) ， m = ( m 1 ，m 2 ，m 3 ) 定义内积f - m = l l m l + 1 2 m 2 1 3 m 3 所形成的空间而向量 f 的长度平方f 2 = f + 癌一曙不是正定的根据f 2 的符号，非零向量f 可分为三 类：f 2 0 ，类空；f 2 0 ，则i 正定，所有的切向 量均为类空的，此曲面称为类空曲面如果e 0 ，6 ( “， ) 0 ，k l ( u ，u ) 和2 ( “，u ) ( o ) ， 则有 一厕警，硅一m2x-而_2sinhcos sln， n 吾n * 其中 c o s n 害= 一磊等，s i n h 誓= 丽1 由c o d a z z i 方程( 1 4 3 ) ，可以局部地引入参数u 和v 使得 。= 丽1c 。s h ；1 b = 丽1 s t n h ；， 和 0 j 1 w 1 3 w 1 2 ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) 丽1c o s n 乳地= 而岳s m 轨丽湖“i 咖地2 丽m 曲虿眠 啪- = 一s h 学毗蚴z = s i n h 学帆( 1 4 4 ) u 。- = ；( 。d u + 。( f u ) ， g a u s s 方程为 。一t i i 。= 一s i n h ( 庐一曲o )( 1 ，45 ) ( c o d a z z i 方程为恒等式) 因此我们有 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文2 2 命题1 4 1 设s 是r 2 ，1 上没有脐点的类时w e i n g a r t e n 曲面并且具有主向量 场，其主曲率满足条件( 1 4 1 ) ，则可在s 上选取局部坐标( u ，u ) 使其第一和 第二基本形式分别为 j = 万1 刁( c 。s h 2 矿2 _ s l n h 2 ；舻) ， ( 1 4 6 ) ，= 杀毒( - c o s h 学c o s d u 2 + s i n h 学s i n n 耖， 其中西满足方程 西。一曲。= 一s i n h ( | ( b 一曲o ) 为了方便起见，我们把引进的局部坐标( u ，v ) 称为t s c h e b y s c h e f f 坐标， 曲称为t s c h e b y s c h e f f “角” 定义1 4 2 设s 和酽为冗2 ，1 上两个类时曲面，并且s 和矿之间存在一个 对应使得 ( 1 ) 对应点之间的距离为常数a ( a 0 ) ； ( 2 ) 连结对应点的直线关于曲面s 和9 成等斜，即直线关于曲面s 和p 的失角”为非零常数，y ； ( 3 ) 对应法线之间的“夹角”为常数日， 则由连结s 和p 上对应点的直线所构成的线汇称为( 类空) d a r b o u x 线汇 定理1 4 3 设s 和p 是舻，1 中的两个类时曲面，并且在s 和p 之间存在 对应使得连结对应点的直线构成一个( 类空) d a r b o u x 线汇，则s 和9 同 时满足条件( 1 4 1 ) ，其中m ，f 均为由线汇所确定的常数 证明设 r ；e l ，e 2 ，e 3 ) 为曲面s 上的一个局部正交标架场。e l ，e 2 为切向 量，e s 为法向量( e = 一e ；= e ；= 1 ) ，则有 令t 为沿线汇的类空单位向量，则曲面的位置向量r + 由下式给出 其中a ( 0 ) 为常数 由定义1 4 2 可选取曲面s 。的法向量e ；使得 ( 1 4 7 ) e 3 e ；= c o s h 口，t e 3 te ；= c o s h ，y ，( 1 4 8 ) 其中口和1 均为常数 2 0 0 3 年 中国科学技术大学博士学位论文 2 3 其中 由( 1 4 8 ) ，向量t 可写成 t = s i n h ，y r + c o s h 7 - 8 3 7 - = s i n h 妒c 1 十c o s h 砂0 2 且妒为e 2 与t 在曲面s 的切空间上的投影r 之间的 面s + 的法向量e ；可写成 其中 e ；= x l c l + x 2 e 2 + c o s h o e 3 将( 1 4 9 ) 和( 1 4 1 1 ) 代入( 148 ) ，则有 ( 1 4 9 ) ( 1 4 1 0 ) “夹角”，由( 1 4 8 ) ，曲 ( 1 4 1 2 ) 由( 1 4 7 ) 并利用结构方程得 d r + = w 1 + a s i n h7c o s h 妒( d e + w 1 2 ) 一c o s h u 1 3 】) e 1 + ( u 2 + a 【s i n h 7s i n h 妒( d 母+ 0 3 1 2 ) + c o s h 7 w 2 s e 2( 1 4 1 3 ) + as i n h7 ( s i n h 砂u 1 3 + c o s h c w 2 3 ) e 3 而d r - e ；= 0 ，则 z i w i + a s i n h 7 c o s h 妒( d 妒+ w 1 2 ) 一c o s h 7 w t 3 一x 2 w 2 + a s i n h 7s i n h 妒( d 妒+ w 1 2 ) + c o s h 7 w 2 3 ) + ac o s h 目s i n h 7 ( s i n h 妒u 1 3 + c o s h 砂w 2 3 ) = 0 ( 1 4 1 4 ) y l ：= x lc o s h l 7 一- c o s ho s i n h ，y t s i n h 妒妒, ( 1 4 1 5 y 2x 2 c o s hc o s h o s i n hc o s h ) i = 1 一，y妒 7 茹一7 一一h n一槭 | l u 得 此 d 由 2 0 0 3 年 中国科学技术大学博士学位论文2 4 容易证明 d x l = x 2 d 砂，d x 2 = z l d 砂，d y l = y 2 d 妒，d y 2 = y l d e 对方程( 1 4 1 4 ) 微分得 其中 口b 1 2 = 一“la “2 =二!a呈2二si二n!h；j!型s芸i；h12：!j；1兰辈j；h二黼u。u。2 7 ( 一n口+ f + c o s 日1 2c o t h 2 吖1 w 1n w 2 通过直接计算可得 k + 2 h c o s h 2 忑( 1 忑+ r c o s ho ) + 万s i 丽m 1 2 0 = 。( 1 4 1 6 ) as i n h o 吖。a 2s i n h 2 吖 。 7 由方程( 1 4 1 6 ) 可得到曲面s 为符合条件( 1 4 1 ) 的w e i n g a r t e n 曲面 m = 一警赫产，m 2 - 阽丽s i n h 2 0 ( 1 4 1 7 ) 由于方程( 1 4 7 ) 可被改写为 r = r + + a ( - t 1 所以利用类似的方法，我们可以证明曲面p 同样满足条件( 1 4 1 6 ) 接下来我们将讨论曲面s 的b i c k l u n d 变换 根据( 1 4 1 7 ) ，( 1 4 2 ) 变为 和 u - = 等c o s h 轨妒等s i n h 轨 ( 1 4 1 8 ) u l 2 i i i 万。0 8 “i “u ，“25 ；耐8 1 “h 主d ”， ( 1 4 _ 1 8 ) u 。= 一u 。= 一c 。s h 尘_ = 煎d u 岫讪。= s i n h 学帆( 1 4 1 9 ) u 。2 = u 。= ；( 西。d u + 。d ”) u 1 2 = u 2 1 = 互【驴 d u + 妒“d ”) ( 1 4 2 0 ) 其中 咖h警：等喊如h警：正、-sin匝h20+季(1+cosh0)2 c o t h 2 3 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文 以( e 1 ，e 2 ，e 3 表示对偶标架，则e 1 1e 2 是s 的主方向场且( 1 41 4 ) 变为 摘n h 佃n h n h 竽( 却+ 啪) - 现u 2 一刈l + a y l 啪+ a y 2 比，( 1 4 2 1 ) 其中砂为主方向e 2 与向量t 在曲面s 切空间上的投影r 之间的“夹角”，且 由( 1 4 1 2 ) 和( 1 4 1 5 ) 定义的x l ，x 2 ，y l 和y 2 都是妒的函数 令妒= 一矿2 ，则( 1 4 1 2 ) 和( 1 4 1 5 ) 可表示为 和 一“n n n h 华心划n h o c 。s n 竿， ( 1 a 抛) ”。= s t n h 等咖h 伸s h 汹s i n i n n 华 = s t n h 删h 蹦n h 警c 础笠+ s i n h 7 c o s hs i n h 竺， ”。= “n h t c o s h s h 警+ c o s h 7s i n h s n 尘 ( 1 a ) = “n h t c o s h 觚n h 竽s m 学一s i n h 7 c o s h 警c o s h 学 把( 1 4 1 8 ) 一( 1 42 0 ) 和( 1 4 2 2 ) 一( 142 3 ) 代入( 1 4 2 1 ) ，我们得到： 命题1 4 4 设( t ，u ) 满足方程( 1 4 5 ) ，口( 0 ) 为任意常数，则下列关于矿u ，u ) 的方程完全可积 s i l l h 日华= 一s i n h 学s i n h 学+ c o s h o c o s h 学c o s h 学， 1 s i n h 0 = 一c o s h 牮c o s h 学+ c o s h o s i n h 学s i a h 4 手， 、 f 1 4 2 4 1 并且矿( u ，u ) 满足方程 ：。一曲：。= s i n h ( 咖+ 一毋o ) ( 1 4 2 5 ) 即方程( 1 4 2 4 ) 给出了方程( 1 4 5 ) 和( 1 4 2 5 ) 之间的b d c k l u n d 变换- 进一步，我们将证明矿为曲面s + 的t s c h e b y s c h e f f “角”首先我们注意 到西。具有下列几何意义： 命题1 4 5 假设为关于常数a ，0 和，y 的( 类空) d a r b o u x 线汇若r 为线 汇方向向量t 在曲面s 切空间上正交投影的单位向量，并且上= - - e 3 x r ， 则向量 e 蚓n n 竽r + c o s h 誓r i ( 1 4 2 6 ) 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文 是s 和9 的公共切向量，即警为r 1 与s t 和9 的公共切向量e 之间的。夹 角” 证明由( 1 4 1 0 ) ，( 1 4 1 1 ) 和( 1 42 2 ) 可得e 2 e ；= 一s i n h 0 e ，所以e 为 曲面s 和p 的公共切向量 基于( 1 4 2 6 ) ，曲面s 上有一个局部标架场 r ；e ，e 上，e 3 ) ，和曲面s + 上 的一个局部标架场 r + ；矿，e “，e ；) 并且 以 g ，鸵 表示对偶于p + ；矿，e “，e i 的余标架 由( 1 4 1 3 ) 可得 s i n h 0 e 3 ， ( 1 4 2 7 ) 护= 志馋m 等w l + c o s h 釉- a c o s h 7 c s i 曲等w - a - c o s h 釉h + 等砸c o s h 0 ( s i , n h - 争n - c o s h 警埘r 上+ 面石于面i 虿【s l n h 百哟3 ) 1 和 榭n h 他h 警 c 。s h 霎蚴) e 3 八卜d r e + = 一裟等( s i n h 等s i n h 学d u + c o s h 譬c o s h 学剐， 1 ；= 一d r e + 1 = 一幽s i n h0 ( s i n h 譬c o s h 亚亏虹d 钍+ c o s hs i n h 生詈虹d ) 【1 4 2 8 ) 为了得到：3 和翰的表达式，对方程( 1 4 1 1 ) 进行微分得 蜗= 纛t 盖曲华c o s h 华 一s i n h p c 。t h 7 ( s i n h 生寻鱼。，3 一c 。s h ! ! i _ ；尘u 2 3 ) ) 4 1 4 2 9 ) + 尝( s i n h 生咖一c o s h 车乎) 一 + 面潭n h r “1 3 一咖“广u 2 3 j q 一。i 。h 口( 。i 。h 生：；旦u 。一c 。h 生：；鱼u 。) e 。， m 学 蟛 砌 一一一一 恤舞靠景尝 兰一 2 0 0 3 年 中国科学技术大学博士学位论文 2 7 因此 j 晶= 一d e ；e = s i n h 芷亏纽s i n h 生亏血d u + c o s h 业= 亏赴c o s h 业号盘垒d 口， 【如= 一d r ；e + 1 = 一s i n h t ：亏垃c o s h4 亏垃d u c o s h ：亏血s i n h4 亏虹d ( 1 4 3 0 ) 到目前为止，尚待解决的问题是如何得到u ：，w 2 + ，u ：3 ，u 玉的表达式下 面我们将考虑曲面s + 局部标架场 r + ；e ：，e ；，e ；) 使得 je = c o s h 业手e i s i n h 生手e ；， 【e “= 一s i n h 业手e ：+ c o s h 业手e 玉 fu 卜c o s h 业= 笋g s i n h 尘产= 一瓮等c o s h 譬幽 ju ；= 一s i n h 业亏虹g 十c o s h 业亏血g = 一等舞字s i n h 譬d 仳 l u ：3 = c o s h 生芎拉扎+ s i n h4 亏虹f ；3 = c o s ht ：亏赴d 【u ；3 = s i n h4 亏垃f 孙q - c o s h4 亏虹；3 = 一s i n h 二号赴d u 因此我们有 命题1 4 6 曲面扩的第一和第二基本形式分别为 ，+ i i 砰叫2 = 等( - s i n h 2 - - - 2 d u + c o s h 2 - 扩f d v 2 ) ， w + l w 1 3 + w 2 w 2 。3 等( s m 知h 牮掰一s h 铷h 牮如2 ) 即( u ， ) 是曲面s + 的t s c h e b y s c h 酊坐标并且矿为其t s c h e b y s c h 够“角” 1 4 2 类时d a r b o u x 线汇 令 ，。 t a n h ；= 竿( m 2 - f 2 o ) ； ( 2 ) 对应点的连线关于曲面s 和p 的切平面成类时等斜，即连线关于曲 面s 和p 在对应点切平面的“夹角”为常数7 j ( 3 ) 对应法线之间的央角”为非零常数日， 则由r 2 ，1 中s 和p 对应点的连线所构成的线汇称为( 类时) d a r b o u x 线 汇 2 0 0 3 年 中国科学技术大学博士学位论文 2 9 定理1 4 9 设s 和9 是r 2 ，1 中的两个类时曲面，并且在s 和p 之问存在 对应使得连结对应点的直线构成一个( 类时) d a r b o u x 线汇，则s 和p 同 时满足条件( 1 4 1 ) ，其中m ，f 均为由线汇所确定的常数 证明 设p ；e l ，e 2 ，e 3 ) 为曲面s 上的正交洛仑兹标架场且使e 。，e 。为主方 向上的切向量，e 3 为法向量( e = 一e ；= e ；= 1 ) ，则有 d r = o ) 1 e l + ( _ j 2 c 2 设t 为沿线汇的类时单位向量，则监面9 的位置向量r + 可表示为 其中a ( 0 ) 为常数 由定义1 4 8 ，可选取曲面s + 上的法向量e ；使得 ( 1 4 3 4 ) e 3 e ；= c o s 0 ，t e 3 = t e ；= s i n h 7 ，( 1 4 3 5 ) 其中0 和吖均为常数 基于( 1 4 3 5 ) ，向量t 可写成 z = c o s h ，y t + s i n h ，y e 3 ， 其中 7 - = s i n h 咖e l + c o s h 妒8 2 ， 并且妒为e 2 与t 在曲面s 切平面上的正交投影7 - 之间的夹角，再由( 1 4 3 5 ) 曲面的法向量e ；也可写成 e ；= x l e l + x 2 e 2 + c o s o e 3 ( 1 4 3 8 ) 将( 1 4 3 6 ) 和( 1 4 3 8 ) 代入( 1 4 3 5 ) 得 j z l = ( 一1 + c o s p ) t a n h ，y s i n h e + 、s i n 2 0 + ( 一l + c o s 口) 2 t a n h 2 ，y c o s h e ， 【巩= ( - 1 + c o s 0 ) t a n h t c o s h 妒+ s i n 2 口+ ( 一1 + c o s 口) 2 t a n h 2 7 s i n h 妒， ( 1 4 3 9 ) 由( 1 4 3 4 ) 和结构方程，我们得到 d r = u l + a c o s h 7 c o s h 0 ( d 妒+ ( , 0 1 2 ) 一s i n h y w l 3 e l 十 u 2 + a c o s h 7 s i n h 妒( d 砂+ u 1 2 ) + s i n h 叩j 2 3 】) e 2 ( 1 4 4 0 ) + ac o s h 7 ( s i n h 妒u 1 3 + c o s hc w 2 3 ) e 3 5 ； 盯 4 4 q q 2 0 0 3 年 中国科学技术大学博士学位论文3 0 一_ _ 一 其中 而d r + e ；= 0 ，则 因此有 x i w 1 + a c o s h7c o s h 砂( d 妒+ “j 1 2 ) 一s i n h7 u 1 3 】) 一x 2 w 2 + a c o s h7s i n h 砂( d 砂+ u 1 2 ) + s i n h7 u 2 3 】 + ac o soc o s h 7 ( s i n hc w l , ：1 + c o s h 砂u 2 3 ) = 0 d e + “1 2 = 容易证明 x l w i 十z 2 w 2 + a y l w l 3 + a y 2 w 2 3 a c o s h 7 v s i n 2 口+ ( 一1 + c 。s p ) 2 t a n h 2 7 y l2x ls i n h ，y c o s0 c o s h 7s i n h 砂 y 22x 2s i n h ，y c o s 口c o s h 7 c o s h 妒 d x l = x 2 d 妒，d x 2 = x l d 妒，d y l = y 2 d e ，d y 2 = y l d e 将( 1 4 4 1 ) 微分得 d w l 22 - k w la “2 、= 等兽c o s h 型7 ( s i n 器0 若尝黼t a n h u 川j 1u 。 、 a 2 2 2 + ( 一1 + c o s 口) 22 7 ) 2 ( 1 4 4 1 ) ( 1 4 4 2 ) 根据直接计算，可得 k - 2 h 号掣一丽s i n 蕊2 0 - o ( 1 a 4 3 ) 由( 1 4 4 3 ) ，可知s 为满足条件( 1 4 1 ) 的w e i n g a r t e n 曲面，其中 s i n h 7 ( c o s p 一1 ) m 2 了磊矿 而( 1 4 3 4 ) 可改写为 r = r 4 + a ( - t 1 同理可证明曲面9 也满足条件( 1 4 4 3 ) 一裳黑 ( 1 4 4 4 ) c o s h 2 ，y 、一7 2 0 0 3 年 中国科学技术大学博士学位论文 3 1 利用( 1 4 4 4 ) ，( 1 4 3 1 ) 改写为 u l = 酉a c o s h 7 c 。s ho d u ，u 2 = 面a c o s h 7 s i n ho d u ， ( 1 4 4 5 ) 咖：一岫1 ：s i n h 半毗呦：咖：一c o s h 半幽，( 1 正4 6 ) 和 w 1 2 ：u 2 1 ：；( g d 。+ 曲。d ) ，( 1 4 4 7 ) w 1 2 = u = i 【+ 妒u d ) ，【l - -) 其中 出曲鲁：等t a n 叽n 誓：止竺掣 若以 e l ，e 2 ，e 3 ) 表示对偶标架，则e ，e 2 是曲面s 的主向量场且( 1 4 4 1 ) 变为 a c 。s h 7 s i n 日c 。s h 害( d e + u 1 2 ) = z 2 u 2 一z l u t + a g l w l 3 + a 2 u 2 3 ，( 1 4 4 8 ) 其中妒为主方向e ：与向量t 在曲面s 切平面上的投影r 之间的“夹角”，且 由方程( 1 4 3 9 ) 和( 1 4 4 2 ) 所定义的z l ，z 2 ，y l 和y 2 都为妒的函数 令砂= 咖z ，则( 1 4 3 9 ) 和( 1 4 4 2 ) 变为 铲s t n s h 学，一s t n 觚n h 学， ( 1 a 4 9 ) 和 t = 一s h t c o s 阳n h 等“n h 7s i n s h 学 = 一s h 7 c o s s h 警s m 牮一s n 7 s i n h c o s h 华， f 。= 一c o s h t c o s s h 等“n h 7 s i n 觚n h 譬壹 ( 1 4 - 5 0 ) = 一s h 佃舭。s 鸣c o s h 华一s h 7s t n h 譬s t n h 华 将( 1 4 4 5 ) 一( 1 4 4 7 ) 和( 1 4 4 9 ) 一( 1 4 5 0 ) 代入( 1 4 4 8 ) ，则有 命题1 4 1 0 设咖( u ， ) 满足g a u s s 方程( 1 4 3 2 ) ，p ( 0 ) 为任意常数，则下列 关于矿( “，口) 的方程完全可积 s i n 日0 攀= ：- c o s 牮h 学c o s 学h + - c o s0 s i n 学h s i n s i n hs i n hc o s0c o s hc o s 时h 誉( 1 4 5 1 ) 1日学= 生挚学+ 生挚华， 卜叫 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文3 2 并且矿( u ， ) 满足 西：。一妒：。= s i n h ( 咖。+ 咖o ) ( 1 4 5 2 ) 即方程( 1 4 5 1 ) 给出了( 1 4 3 2 ) 和( 1 4 5 2 ) 之间的b i i c k l u n d 变换 进一步，我们将证明扩为曲面矿的t s c h e b y s c h e f f “角”首先我们注意 到o 有下列几何意义 命题1 4 1 1 设为由常数a ，0 和7 所确定的( 类时) d a r b o u x 线汇，若r 为 线汇方向向量t 在曲面s 切空间上正交投影的单位向量，并且t 上= 一e 3 x t ， 则向量 e l = c 。s h 譬r + s l n h 雩r l ( 1 4 5 3 ) 为曲面s 和p 的公共切向量，即譬为r 与s 和p 的公共切向量e 1 之间 的“夹角” 证明由( 1 4 3 5 ) ，( 1 4 3 6 ) 和( 1 4 4 9 ) 得铂e ；= 一s i n 0 e 1 ，所以e 1 为 曲面s 和p 的公共切向量 基于( 1 4 5 3 ) ，我们得到曲面s 上的局部标架场 r ；e ，e 上，e 3 ) ，以及s + 上的局部标架场 r ；e + ，e “，e ；) f r = r + $ ( c o s h 7s i n h 譬e l + c o s h t c o s h 等e 2 + s i n h t e a ) ， j e = e 1xe 32 c o s h 芷挚e 1 + s i n h 贮笋e 2 ， 1e + = 一e 3 e 4 上= 一c o s o c o s h 生：专纽e l c o s0 s i n h 生：专虹e 2 + s i n o e a ， 【e 上= 一e “= s i n h 芷笋e l + c o s h 芷势e 2 ， ( 1 4 5 4 ) 曲面s 上对偶于 r + ；e + ，e “，e ；) 余标架设为 器，g ) 由( 1 4 4 0 1 得 办+ = 击卜n n 譬w t + c o s h 釉+ a s i n h 7 恤曲警w t a + c o s h 釉) e 1 一等孤c o s o 【s i n h - 扩互- w t 3 + c o s h 5 -铷h 1一百：5 五再“ i 岫j 叮 挑。s h 他h 等岫+ c o s h 警岫) e 。， 和 弱 群 ；哮 芷。豳血q 卜 扎乎 学排 疏等 芷。出 霉 i | 一 矿。+ 扩“ g g 2 0 0 3 年 中国科学技术大学博士学位论文3 3 一 为了给出岛和9 3 的表达式，我们对( 1 43 8 ) 进行微分 撼3 2 忑1 詈 s i n 叫0t | - c o s h 牮卅s i n n 华 + s i a n h 7 ( c o s h 学咖椭h 华呦) ) e m 5 6 ) 一面c o s 0 ( c 0 s n 学咖“n n 学咖1 + s i n o ( c o s h 学w 1 3 + s i n h 学谢e 。 由此我们得 j 南= 一d e ；e + = 一c o s h 业菩赴s i n h 亚专血如+ s i n h 芷軎：垃c o s h 亚专赴幽， 【岛3 = 一d r ；旧上= c o s h 学c o s h 学d u s i n h t 学8 i n h 华幽 ( 1 4 5 7 ) 到日前为止。尚待解决的问题是如何得到u ：，u ；，u ：3 ，w 2 。的表达式下 面我们将考虑曲面s + 的一个局部标架r + ；e 1 ，e 2 + ，e ；) 使得 且以 u ：，u ；) 表示其对偶则我们得到 f u ：= c o s h 4 笋豁一s i n h 尘= 笋g = 一笔半c o s h 譬如 j 0 - 1 2 = 一s i n h4 挚酊+ c o s h 学g = 罐字s i n h 譬d u 10 9 1 3 = c o s h 尘笋岛+ s i n h 立笋9 3 = s i n h 学咖 【0 3 2 3 = s i n h4 笋纯+ c o s h 尘笋殇= c o s h 学如 因此我们有 命题1 4 1 2 曲面p 的第一和第二基本形式分别为 + i i + 衅叫2 = 訾- s i n h 2 2 + c o s h 2 秘) ， w i c o 1 3 + c d 2 w 2 。3 等( s i n h 铷h ：d u 2 - c o s h ：* 咖h 华舻) 即( u ，u ) 为曲面p 上的t s c h e b y s c h e f f 坐标且矿为t s c h e b y s c h e f f r 角， 呓 蛰： 警汕曲 邯瞄中学 学扯础叫 引 一 驴酽 ，、【 第二章r 2 ，1 中正常曲率类时曲面运动 曲面、界面和波前运动是经典物理学中许多非线性现象的一个重要组成 部分【1 l ，1 2 ，3 8 ，5 1 】这些运动可以看成是曲面运动，并可用曲面随时间演化的 非线性偏微分方程来表示f 1 2 ，3 8 ，4 9 1 fk n a k a y a m a ，hs e g u r 和m w a d a t i 在文 4 8 中讨论了r 3 中负常高斯曲率曲面运动可用关于两条渐近线夹角的演化 方程来描述，并且证明了适当选取曲面的法向速度，曲面的演化方程约化为 m k d v 方程进而，李翊神教授于1 9 9 7 年考虑了在渐近坐标下负常高斯曲率 曲面的一般运动f 4 1 1 本章将在文【4 1 的基础上研究三维m i n k o w s k i 空间r 2 ，1 中在渐近坐标 下正常高斯曲率类时曲面运动首先，我们建立了r 2 ，1 与s l ( 2 ，r ) 之间的对 应，并且在渐近坐标下适当选取类时曲面的运动速度可得到两个基本方程， 即s i n h g o r d o n 方程和0 随时间演化的方程( 其中口为两渐近线之间的夹角) 然后，给出两个基本方程的b i i c k l u n d 变换和单孤子解最后，通过规范变换 我们得到了曲面运动的显式表达式 2 1r 2 ，1 中正常曲率类时曲面运动的基本方程 在【3 】中，a i b o b e n k o 将r 3 中高斯曲率曲面( 即正衄率和负曲率两种