（应用数学专业论文）微生物连续发酵动力系统的参数辨识与平衡点的性质.pdf

t h ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o na n dp r o p e r t i e s o f e q u i l i b r i u m p o i n t so ft h ep r o c e ssf o r b i o d i s s i m i l a t l 0 ni nc o n t i n u o u sc u l t u r e b a ih o n g g u a n g s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rg a oc a i x i a s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，0l0 0 2 1 m a y 2 0 l l 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 日 指导教师签名：囱壹 日期? o 一- 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙 古大学有权将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交 学位论文的复印件和磁盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文为保护学院和导师的知识产权，作 者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作者今后使用涉及在学期间主 要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意：若用于发表 论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名：盟乏2 丝指导教廊签名：y 到盔 日期：7 里 ，! 占! 日 期：! ! ! ：笪：! 微 1 ，3 一丙二醇( 1 ，3 一p d ) 的生物法生产较传统的化学合成法具有成本低、产出高、 无污染等优势，近年来受到国内外学者的广泛重视，本文以甘油为底物、采用 微生物歧化方法生产1 ，3 丙二醇的连续发酵过程为背景，由于已有文献中描述该 过程的非线性动力系统建立过程中提出一系列假设，本文针对其中一个重要假 设给出假设成立的条件，在此基础上建立参数辨识模型，论述此类非线性动力 系统最优解的存在性，并进一步得出了该系统平衡点集的性质。 关键词：连续发酵；动力学模型；参数辨识；平衡点；存在性 、 t h ep a r a m e t e q u i l i b r i u m p o i n t s o ft h e p r o c e ssf o r b i o d i s s i m i l a t i o ni nc o n t i n u o u sc u l t u r e a bs t r a c t c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a lc h e m i c a ls y n t h e s i s ，t h eb i o l o g i c a lp r o d u c t i o n p r o c e s s e so f l ，3 - p r o p a n e d i 0 1 ( 1 一p d ) h a st h ea d v a n t a g e so f1 0 wc o s t ，h i 曲o u t p u t ， n o n 巾o l l u t i o na n ds oo n i nr e c e n ty e a r s ，i tr e c e i v e dt h ee x t e n s i v ea t t e n t i o n 仔o mb o t h o fd o m e s t i ca n di n t e m a t i o n a ls c h o l a r s ，m i sp 印e rt a k e s9 1 y c e r i na st h es u b s t r a t e ，a n d t a k e st h ep r o c e s so fp r o d u c e1 ，3 一p r o p a n e d i o lc o n t i n u o u sf e m l e n t a t i o np r o c e s sw h i c h 。 u s em i c r o o r g a n i s mm e t h o dp r o d u c t i o na st h e b a c k g r o u n d f o rs o m el i t e r a t u r e s h a v ea l r e a d yd e s c r i b e dt h es e r i e so fa s s u m p t i o n so fn o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m p r o c e s s t h i sp 印e rw i l lg i v et h ef o r m e dc o n d i t i o no fa s s u m p t i o n sa c c o r d i n gt ot h e o n eo ft h ei m p o i r t a n ta s s u m p t i o n s o nt h i sb a s e ，i tw i l lb u i l do nm ep a r a m e t e r i d e n t i 丘c a t i o nm o d e l ，d i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo fs u c hn o n l i n e a rd y n 锄i cs y s t e mo f t h eo p t i m a ls o l u t i o n ，a n dt h e no b t a i nt h ef h r t h e ro ft h e ! o fb a l a n c es e ta b o u tt h i s s y s t e m k e y w o r d s ：c o n t i n u o u sf e m e n t a t i o n ；d y n a m i c s 。 m o d e l ；p 绷e t e r i d e n t i f i c a t i o n ；b a l a n c ep o i n t ；e x i s t e n c e 目录 中文摘要。i 英文摘要i i 引言1 第一章预备知识3 1 1 微生物发酵的相关概念3 1 2 连续发酵特点5 1 3 甘油发酵生产1 ，3 丙二醇实验5 1 4 集值分析的相关概念和结论6 第二章动力学模型及其参数辨识j 。8 2 1 动力学模型及平衡点的存在性。8 2 2 动力系统的性质及其参数辨识12 第三章平衡点集的性质：。15 参考文献。21 致谢_ 。22 l i l 内蒙古人学硕士学位论文 引言 甘油生物转化为1 ，3 丙二醇( p d ) 的研究越来越受到人们的关注【1 2 1 ，主要原因有两个：一 是为来自天然资源和洗涤剂与油脂工业过剩的副产物甘油寻找出路；二是p d 的国际市场趋 旺，它与对苯二甲酸对合成的聚三甲基对苯三甲酸酯( p 1 v r ) 具有巨大的商业开发价值【3 1 欧共 体国家致力于将甘油转化为其他化工原料( 如p d 、2 ，3 丁二醇等) 的研究开发工作，美国和加 拿大等国则加紧将葡萄糖转化为p d 的研究。在我国甘油的发酵生产已实现了工业化将其进一 步转化为p d 是可行的。微生物法生产p d 跟化学合成法相比具有明显的优点，一是利用可再生 资源，如可将动物脂肪或淀粉降解的甘油或葡萄糖作为微生物法生产的基本底物；二是转化 率较之以丙烯醛为原料的化学法高；三是选择性好、副产物少，下游分离纯化较容易；四是 生产条件温和、操作简单、环境污染小等等从目前研究的状况看，甘油转化为p d 的效果要比 葡萄糖发酵好，而能将甘油转化为1 ，3 一丙二醇的微生物主要是几种细菌，包括克雷伯杆菌属 ( k 1 e b s i e l l a ) 、柠檬( c i t r o b a c t e r ) 、梭酸芽胞杆菌属( c 1 0 s t r i d i u m ) 等，其中肺炎杆菌 ( k l e b s i e l l ap n e u m o n i a e ) 和丁酸状芽胞杆菌( c f o s t r i d i t i mb u t y r i c u m ) 具有较高的转化 率 在微生物发酵过程中，常用的有三种方法：间歇发酵，连续发酵和批式流加发酵 间歇发酵是把一定量的微生物菌种和一定浓度的底物( 本文中指甘油) 放在同一个 发酵罐中搅拌均匀后进行培养，并给予微生物生长所必需的条件，如供氧，适宜的温度 等，在底物甘油的作用下，微生物通过自身代谢迅速生长，代谢的产物包括1 ，3 丙二 醇和其他副产物( 如乙酸和乙醇等) 。经过一段时间，打开发酵罐，微生物培养成功微 生物的间歇发酵培养中，底物的浓度逐渐减少，间歇发酵操作简单，可以得到较高的产 物浓度但生产强度较低，实际生产中很少直接采用，一般是作为连续发酵和批式流加 发酵的培养基 批式流加是先往发酵罐加入一定量的微生物和底物，进行一段时间的间歇发酵，然 后再往发酵液中加入底物，再进行间歇发酵，如此数次，直到加到预定的体积为止批 式流加发酵能够得到较高的产物浓度，而且能提高底物的利用率。但是这种培养方式自 动化程度低，操作麻烦 连续发酵是指连续不断地向发酵罐注入底物，同时提供各种辅助条件，又连续不断 地从发酵罐取出发酵液，整个过程中保持发酵罐内发酵液的体积不变，并使得培养过程 引言 连续化连续培养有利于提高生产强度，但产物的浓度较低由于它具有操作简单、自动 化程度高的优点，是产业化设计理想的生产方式，因此探讨微生物连续培养具有一定的 实际意义 在微生物转化甘油的过程中，甘油既是作为微生物生长的底物，又是主要产物l ，3 一丙二 醇的反应物，同时生成乙酸、2 ，3 丁二醇、乙醇或乙酸等副产品。本文采用肺炎杆菌( e b s i e l l a p n e 啪o n i a e ) 厌氧转化甘油，图1 描述了此过程的代谢途径，其中乙酸和乙醇是主要的副产 物，而2 ，3 丁二醇、乳酸和琥珀酸通常情况下生成量较少( 总量小于5 ) ，一般不予考虑甘油 歧化过程实质上存在两条途径：一是氧化途径，在甘油脱氢酶( g d h ) 的催化作用下，甘油 氧化生成d h a 和还原当量n a d h 2 n a d ，d h a 在两种二羟基丙酮激酶n a d h ki 和n a d h k i i 的作用下进一步转化，最终生成乙酸( h a c ) 、乙醇( e t o h ) 等产物；二是还原途径，甘油在 甘油脱水酶的催化作用下生成3 h p a ，而3 h p a 在1 ，3 丙二醇氧化还原酶p d o r 的催化作用 下，转化为1 ，3 丙二醇。 ( j b l f i m x l h i l 甜 f 图1 微生物厌氧发酵甘油的代谢途径 f i g 1 a n a e r o b i cm e 讪o l i s mp a t h w a y so f9 1 y c e r o lf e 锄e n t a t i o n 连续发酵法生产1 ，3 丙二醇已有多种数学模型来描述，比如，曾安平等提出的过量动力 学模型l 钔，孙亚琴等考虑到酶催化动力学与物质跨膜运输而提出的数学模型1 5 1 ，并且已都在相 关假设下做过参数辨识但是，微生物发酵法生产l ，3 丙二醇是一个非常复杂的过程，具体 运行机制不甚明了，只能在已有研究的基础上，作出对应假设，然后建立模型去模拟 由于文献 6 】中描述该过程的非线性动力系统建立过程中提出一系列假设，本文针对其中 一个重要假设给出假设成立的条件，在此基础上建立参数辨识模型，论述此类非线性动力系 统最优解的存在性，并进一步得出了该系统平衡点集的性质 2 内蒙古大学硕士学位论文 第一章预备知识 1 1 微生物发酵的相关概念 下面介绍一些基本概念 ( 1 ) 稀释速率d ：是一操作参数，为单位时间加入微生物发酵罐中的培养微生物发醉动力系统 的参数辨识与优化液体占反应器中总培养液体的百分率 ( 2 ) 得率系数：描述微生物反应中计量关系的宏观参数，一般不为常数。对基质的细胞得率系 数：匕，s = 篡表示l g 基质所获得的细胞数，g 细胞儋基质。产物的得率系数：巧，表示 l g 基质所获得的产物数，g 产物儋基质 ( 3 ) 比速率为了对不同反应的动力学进行比较，定义比速率的概念为： 细胞比生长速率：= 妻警( 乃- 1 ) ，它是细胞生长的特性参数之一 基质比消耗速率：口，= 妄等( g g - 1 办_ 1 ) ，为相对单位质量细胞单位时间内的基质消耗量 产物比生成速率：郎= 妻等( 昭_ 1 一) ，为相对单位质量细胞单位时间内的产物生成量 ( 4 ) 微生物细胞生长动力学 细胞的生长过程，根据均衡生长模型的假设，可以用细胞浓度的变化来加以描述分批培 养时细胞的浓度变化可分为延迟期、指数生长期、减速期、静止期和衰亡期等5 个阶段，指 数生长期，又称对数器，在此阶段中，细胞生理活性最高，因此在工业微生物反应中，常将 细胞培养至对数生长期后再转入培养器中 ( 5 ) 细胞生长动力学模型 现代细胞生长动力学模型奠基人m o n o d 早在1 9 4 2 年就指出，细胞的比生长速率与限制 性基质浓度的关系可用下式表示，2 心戤i ：专虿该方程称为m 。n o d 方程，是从经验中得出 的典型的均衡增长模型。其中，为最大比生长速率0 - 1 ) ，k 饱和常数。m o n o d 方程的基 本假设如下：培养基中只有一种基质是生长限制性基质，而其他成分为过量，不影响细胞生 长；细胞的生长视为简单的单一反应，细胞的得率为一常数 此外，微生物学家根据实验，还提出了各种形式的微生物比生长速率和养料浓度的关系 b l a c l ( i n a l l ( 19 0 4 ) 有抑制恻的堵乔模型 f 筹，当e 掣， lk + e 一“。一 “ ( 6 ) 基质消耗动力学 单位体积培养液中基质s 的消耗速率_ 几可表示为： = 等钆x ( 聊聊驯) ( 7 ) 代谢产物生成动力学 根据相关模型，产物的生成与细胞的生长相关，此时产物通常是基质的分解代谢产物， 代谢产物的生成与细胞的生长是同步的。单位体积培养液中产物p 的生成速率令0 可表示为： _ = 警= 缈x ( 所删 ( 8 ) 底物和产物抑制以及代谢过量 当培养基中某种基质的浓度高与一定程度后，细胞的比生长速率随该基质浓微生物发醉 4 丝k = g 。 c 。 一 e c 当 当 5 种 k rj、【 = 内蒙古大学硕士学位论文 动力系统的参数辨识与优化度的升高反而下降，表现出基质( 或底物) 抑制；同时，细胞的一 些代谢产物也会影响细胞的生长，表现出产物抑制 常见的微生物调控机理是代谢过量，这一名词用来描述在胞外高底物浓度条件下，底物 过量消耗和相应的中间代谢产物超量形成的现象 1 2 连续发酵特点 微生物的连续培养是在连续操作的搅拌槽式反应器内进行的【6 】，如图1 2 所示图中圪气 是流入反应器中不含生物量的培养液的体积流量，c s 。是流入培养液中的初始底物甘油的浓 度，g ，x ，c ：分别为定常态下限制性底物、生物量和产物的浓度。这种连续操作的搅拌槽式 反应器又称为单级c s t r ，它的主要特性是反应物连续稳定的加入反应器中，同时反应产物 也连续稳定的离开反应器，并保持反应体积不变反应器内物系的组成将不随时间而变。因此 称为定态操作；由于反应器内装有高速的搅拌混合装置，使得物料在空间上达到充分混合， 物系组成亦不随空间位置而变在c s t r 中进行生物反应时，由于c s t r 具有反混的性质，只 要反应器中有细胞存在，则依靠细胞的自身繁殖能力，即使加入的反应基质中不含微生物细 胞，在一定的进料速率范围内c s t r 亦能在稳态下操作 图1 2 连续搅拌槽式反应器 f 培2t h eb i o r e a c t o ro fc s t r 1 3 甘油发酵生产l ，3 丙二醇实验 经实验得知，要在菌体生长过程中最大限度的提取1 ，3 p d ，除了保证最适合的培养温 度、维持厌氧条件外，发酵过程中严格的p h 控制是非常必要的【7 1 1 ，3 p d 生成的最适p h 是7 o ，如果p h 低于6 5 将不再生产1 ，3 p d 而是生成2 ，3 丁二醇【引由于在甘油生物歧化 得到1 ，3 p d 的过程中，氧化途径是维持细胞生长所必需的途径，而该途径不断有酸性副产 物生成，因此在发酵培养过程中需要向发酵罐内不断流加碱以控制p h 值，而碱的加入过程 也正是底物甘油消耗的过程。底物甘油消耗与碱加入量之间存在着一定的比例关系，实验结 5 第一章预备知识 果表明其比例范围在微生物发酵动力系统的参数辨识与优化0 3 7 一o 4 7 9 甘油m l2 5 nn a o h 溶液之间下面将具体介绍甘油发酵生产l ，3 p d 实验的实验材料和方法 ( 1 ) 菌种 实验所用菌种为克雷伯氏菌( e b s i e l l 印n e u m o l l i a e ) ，购自德国菌种和细胞收集中心 ( d s m z ) ( 2 ) 实验方法 种子培养：将冰箱保藏菌种接于装液量为2 0 0 m l 的5 0 0 m l 种子瓶中，于摇床上3 7 ， 1 5 0 r m i n 厌氧培养过夜； 发酵培养：发酵在7 l 自控p h 发酵罐中进行，装液量为4 l ，接种量为1 0 ，甘油初始 浓度为2 一1 0 既，温度和搅拌转数恒定为3 7 和3 0 0 r m i n ，发酵过程中向罐内通氮气维持 厌氧条件，用2 5 n 氢氧化钠控制p h 为7 o ( 3 ) 分析方法 生物量的测定：利用分光光度计以蒸馏水为空白测定发酵液在6 5 0 衄下的吸光度值发 酵液中甘油含量的测定：采用酶试剂盒法测定，实验所用为甘油三醋试剂盒。发酵液中l ， 3 丙二醇、乙酸、乙醇含量的测定：采用气相色谱法测定 ( 4 ) 实验结果 实验的最终产物主要是1 ，3 丙二醇，此外还有乙酸、乙醇。实验过程中发现，甘油作为 细胞生长的底物，低浓度时是激活剂，高浓度时是潜在的抑制剂，当甘油浓度较高时，系统 中存在着明显的底物和产物抑制现象；在相同的操作条件下( 相同的进料甘油浓度、稀释速率、 p h 、温度和通气量等) 同时存在着两个不同的稳定状态，这种多稳态现象的出现不仅与操作条 件有关，而且与操作方式有很大关系如在较高的稀释速率和较大的进料底物浓度情况下，进 料底物浓度由低到高增大或者由高到低减小将导致多稳态的出现；而且，当外界条件如进料 甘油浓度、稀释速率或p h 值有较大突变时，系统中生物量、底物、产物等等都会有振荡现 象产生【9 】 1 4 集值分析的相关概念和结论 本节的主要结果选自文【1l 】。主要介绍集值分析的相关概念和结论 定义1 1 设x ，】，是两个集合，丁：x _ 2 y 。如果对每个x x ，有】，中的一个子集丁o ) 与之 对应，则称丁为x 到】，的集值映射丁( x ) 称为丁在x 处的像或值若至少存在x x ，使得 6 内蒙古大学硕士学位论文 丁( x ) o ，则称r 为真集值映射集合d ( r ) = x x i 丁( x ) o ) 称为丁的定义域集合 g r a p h ( 丁) = ( x ，y ) l y 丁( x ) 称为丁的图像 定义1 2 设丁是z 到y 的集值映射，m 是】，的子集，称丁_ 1 ( m ) 垒 x z i 丁 ) m ) 为肘在丁下 的原像称c o r e 膨皇 x x i r ( x ) n m o ) 为m 在丁下的柱心 定义1 3 设丁是x 到】，的集值映射， ( 1 ) 称丁为紧集值映射，如果对于任意的x j ，丁( 功为】，中紧集； ( 2 ) 称丁为紧映射( 或在集值映射的意义下为紧的) ，如果研a p h ( 丁) 是x 】，中紧集； ( 3 ) 称丁为闭集值映射，如果对于任意的x x ，r ( x ) 为】，中闭集； ( 4 ) 称丁为闭映射( 或在集值映射的意义下为闭的) ，如果g r 印h ( 丁) 是x 】，中闭集 定义1 4 设x ，】，是度量空间，丁：x 寸】，是集值映射，x ， ( 1 ) 如果对于丁 ) 的任何邻域( 丁( x ) ) ，存在，7 o ，当x b ( k ，叩) 时，有丁( x ) c ( 丁( x ) ) ， 则称丁在而点上半连续 ( 2 ) 如果对任意的y 丁( 工) 及任意的占 o ，存在7 7 o ，当z 曰( k ，7 ) 时，恒有 丁( x ) n b ( y ，占) o ，则称r 在点下半连续 定理1 1 设丁：x 一】，是的集值映射，则以下命题等价： ( 1 ) 丁在x 中下半连续； ( 2 ) j ，中任一闭集的原像是x 中闭集； ( 3 ) 】，中任一开集的柱心是x 中开集 定理1 2 设r ：x 一】，是的集值映射，则以下命题等价： ( 1 ) r 在x 中上半连续； ( 2 ) 】，中任一闭集的柱心是x 中闭集 定理1 3 设r ：x 一】，是闭上半连续集值映射，则r 为闭映射，即g r a p h ( 丁) 为x y 中闭集 7 第二章动力学模型与参数辨识 第二章动力学模型与参数辨识 2 1 动力学模型及平衡点的存在性 首先对甘油歧化( 连续发酵) 为1 ，3 一p d 过程作如下假设： h 。：发酵灌中( 即反应器内) 物质组成不随空间位置发生变化即反应器内各点的物质组成是均 一的 h ，：连续发酵过程中，连续加入的培养基中不含生物量，只含底物甘油，且反应器中的微生 物量以稀释速率d 输出 在假设h 。与h ：下，微生物连续发酵的物料平衡方程呻1 为： i 毫= ( 一d ) 五 ( 2 1 ) 岛= d ( g o 一娩) 一9 2 五f 气，f ，】 ( 2 2 ) 【毫= g ，一d 薯 f = 3 ，4 ，5 ( 2 3 ) 薯( ) = ，f 厶= 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ( 2 4 ) 其中0 ( 乇，) 为达到稳态以后的时间，( f ) ，f 厶分别表示，【，0 】时刻，反应器内微 生物，底物( 甘油) ，产物l ，3 一p d ，乙酸( h a c ) 和乙醇( e t o h ) 的浓度，d 为稀释速率，g 。为注 入反应器内的底物浓度。依1 9 9 7 年曾安平等人对m o n o d 方程的改进，式( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 中的菌体( 即微生物) 比生长速率，底物比消耗速率9 2 ，产物l ，3 一p d ，地址，e t o h 的比生 成速率g ，i = 3 ，4 ，5 ，分别为： 。心乏专冉c 卜专， q s ， 9 2 = 朋2 + e + 2 屯( 屯+ ) ( 2 6 ) g f = 聊，+ z + f 砭( 而+ 耳) f = 3 ，4 ( 2 7 ) 9 5 = 9 2 ( 岛( q + d 恐) + 6 2 ( 乞+ d - 屯) ) ( 2 8 ) 厌氧条件下，最大菌体比生长速率心= o 6 7 乃。m o n o d 饱和常数= o 2 8 m m d ，三q = o 0 6 ， 8 内蒙古大学硕士学位论文 乞= 5 0 4 5 式( 2 6 ) 与( 2 7 ) 中第三项为过量项，过量条件下的饱和常数分别为霹= 1 1 4 3 朋所d ，三， 鬈= 1 5 5 0 聊聊d ，三，筋= 8 5 7 1 朋聊d ，三生物量、甘油、1 ，3 p d 、地与e t o h 的临界浓度分 别为i = 1 0 9 三，蔓= 2 0 3 9 聊m d ，工，葛= 9 3 9 5 朋m d ，= 1 0 2 6 朋，z d ， = 3 6 0 9 聊聊d ，三根据生物歧化原理，d 令 ”：= ( ，殇，e ，墨，匕，2 ，3 ，4 ，6 1 ，如) r 1 1 _ ( 2 2 ，_ 2 6 9 ，- o 9 7 ，o 0 0 8 2 ，6 7 6 9 ，3 3 0 7 ，2 8 5 8 ，2 6 5 9 ，5 7 4 ，0 0 2 ，6 5 ) r ：= n 【甜。广甜。，o f + 峨，】cr 1 1 x o ) ：= ( 而o ) ，而o ) ) r r 5 ，- ( l ，而5 ) 7 r 5 石( x o ) ，d ，g 。，“) ：= ( 一d ) 毛o ) 以o ( f ) ，d ，g o ，“) ：= d ( 巳。一岛( f ) ) 一9 2 而o ) ，； o ) ，d ，g o ，材) ：= 吼鼍o ) 一观9 ) f = 3 ，4 ，5 厂 o ) ，d ，g o ，“) ：= ( 石 o ) ，d ，g o ，”) ，石( x ( ，) ，d ，q o ，甜) ) ， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 在h ，h ：条件下，微生物连续培养过程的物料平衡方程，即过量动力系统( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 与( 2 4 ) 可表示为： j 圣o ) = 厂( x o ) ，d ，q j ，“) ， f 气，o 】 【x ( o ) = j c o ， ( 2 1 4 ) 其中参量甜 考虑到实际发酵过程中，菌种比生长速率与菌种本身有关，针对这样的情形建立一下方程： 2 蠢冉c 卜 舻i 麓蚪( 1 一荨) ( 2 5 ) 设i = l o g 三为某参照生物量浓度的最大值，则状态变量x ，浓度g 。与稀释速率d 的取 值范围分别为： 9 第二章动力学模型与参数辨识 & 一卜尺5 卜冉k 闸) s ：= 【l o o ，蔓】【o 0 5 ，o 6 7 】= q l q 2c r 2 根据经验取而。= 0 0 0 1 ，恐。= 1 0 0 ，矗= o ，待3 ，4 ，5 由于实验操作条件d 和乞。的允许集由经验给出，因此它可能并不准确。在平衡点的数值 计算中会发现，对某些( 气，d ) s l 不存在平衡点。也就是说，对于某些( 气，d ) s ，实验无 法达到稳态为了能避免这类实验，下面对系统( 2 1 4 ) 进行分析，给出平衡点存在的条件 为描述方便，令v = ( 白，d ) ，用式来表示系统在指定u s 下的平衡点，即 厂( 式，u ) = 0 ( 2 1 5 ) 从实际出发，可以假设群0 ，从而 由( 2 1 6 ) ，有 ( k d ) 群= o ， d ( g 。一) 一g ：i 而：群= o ， 9 3 i 恐：爿一瞒= o ， g 。l 纠并一硝= o ， g ，l 而叫舛一瞒= o l ，砜= d 通过把( 2 2 1 ) 和( 2 5 ) 。代入( 2 1 7 ) 中，可得 并：掣全q ( 霹，d ) 9 2 l 如 将上式分别代入( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 中，有 写：竺# 墨( q 。一) 全呜( 彰，d ) ， 9 2 i b ： l o ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 内蒙古大学硕十学位论文 ：半里( g 。一) 全口4 ( ，乞。，d ) ， 9 2 i 屯： = 百矗+ 瓦 磅) ( c 。一) 垒呜( ，g 。，。) ， 现在，可以把( 2 2 1 ) 写为 蠢”挈一争一争一争一争 令 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) g ( 恐，功；心i 瓷( i 一寻) ( 1 一专) ( 1 一砉) ( 1 一专) ( 1 一争一。 ( 2 2 7 ) 其中q ，f = 1 ，3 ，4 ，5 在( 2 2 2 ) 一( 2 2 5 ) 中已定义 可知，x & 为系统( 2 1 4 ) 的平衡点相当于 那么对固定的( 气，d ) s ，根据以上推导， g ( 屯，g o ，d ) = o 且薯。q ( 而，q o ，d ) ，f = 1 ，3 ，4 ，5 则有如下定理 定理2 1 对固定的气q 。，令 4 = 一 掣，掣) 吃( u 一心蠢( 1 。詈)g o + a 。 ( 2 2 8 ) 并假设4 j d 畋( ) 则方程( 2 2 6 ) 至少有一个解爱( 0 ，气) ，且由( 2 2 2 ) 一( 2 2 5 ) 所 求得的解墨，曩，五，墨的值为正的，故系统( 2 1 4 ) 有正的平衡点 证明：对固定的气q 。和d 西，以( 气) ，由( 2 2 7 ) ，有 g ( o ，气，d ) = 一d o ，待2 ，3 ，4 因此，在( 2 2 2 ) 一( 2 2 5 ) 中代入蔓，得 到的墨，墨，i ，曩均为正证毕 注：定理2 1 中的条件4 d 畋( ) 表明，应确保4 畋( 气) 实际上，4 畋( 气) 总是 成立的因为，由4 和攻( ) 的表示形式易知对v q 。都有儡o 0 4 3 6 和畋( 气) o 0 7 2 2 动力系统的性质及其参数辨识 在上节平衡点存在的基础上，依式( 2 5 ) 一( 2 1 3 ) 定义的z ，f ，及厂，可得： 性质2 1 在定理2 1 的条件下，若甜u 耐，则函数( x ( f ) ，d ，甜) 在瓴，f ，) 上是连续可微的， 即c 1 瓴，；月5 ) ，且关于z ，连续 性质2 2 在定理2 1 的条件下，若“u 耐，则非线性动力系统( 2 1 4 ) 存在唯一解x ( ，) 记为 x ( f ；，j d ，q o ，“) 或x ( ，；甜) ，且x ( f ；，d ，“) 关于“是连续的 证明：依定理2 1 的条件知，( d ，x 2 。) 辱s ，& ，又因材，及性质2 1 ，可得 厂c 1 ( f o ，f ，；尺5 ) ，且厂关于”u 耐连续根据非线性常微分方程组解的存在性理论，初值问 题( 2 1 4 ) 的解x ( f ；，d ，甜) 存在、唯一，且关于“u 删连续 在定理2 1 的条件下，根据性质2 2 可设系统( 2 1 4 ) 在上的解集为是( ，d ，巳。) ，即 是( ，d ，c 。) ：= x ( f ，j c o ，d ，“) r 5i x ( f ，d ，q 。，“) 为系统( 2 1 4 ) 对应甜的解) ( 2 2 9 ) 依允许集u 甜的定义( 2 9 ) 可知：u 耐为空间r 1 1 中的有界闭集，因此u 甜为r 1 1 中的紧集。 根据性质2 1 和性质2 2 可知：从”u 耐到x o ；而，d ，q o ，”) ( 而，d ，) 的映射是连续的由 此可得： 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 性质2 3 在定理2 1 的条件下，若集合是( 而，d ，) 由式( 2 2 9 ) 定义则是( 而，d ，) 是 c 1 ( f o ，r ，；r 5 ) 中的紧集 对不同的稀释速率及其基质浓度( d ，g 。) j f = ( q ，g 。) ，厶= 1 ，2 ，) ，进行，次连续培养 l ，3 一p d 实验，测得达到平衡态时菌种，底物，产物( 1 ，3 - p d ，h a c ，e t o h ) 浓度分别为 y l ，y j 2 ，y ，5 令，乃= ( 乃l ，乃2 ，乃5 ) 7 尺5 ，。对应( d ，x 2 0 ) j ，“u 耐的系统( 2 1 4 ) 的 解记为乙( ，；材) ，其平衡点记为乃，够，材) 月5 ，= 1 ，2 ，) 即 ( 够) ，q ，g 咿甜) = o， ( 2 3 0 ) 其中聊表示系统( 2 1 4 ) 对应( d ，g 。) 的平衡点个数依假设q ，珑为有限值，k 矽，令 ， ) ：= i i 乃一乃( ，”) i | 2 ，f ，歹 屯( “) _ i t l i n 厶( “) l f ) ( 2 3 1 ) ( 甜) ：2 ) ，乃( 0 ，“) 净毛( ，甜) ( 2 3 2 ) 乃o ；“) ：= ( 毛j o ；甜) ，z 5 o ；甜) ) 2 尺5 ，厶 厶( f ；材) _ 六( 乃( ，；甜) ，q ，q o ，“) ，七r 5 ， z ( ，；材) ：= ( 彳，( ，；甜) ，石( ，；甜) ) 2 r 5 ， 因乃( 丁，甜) 是系统( 2 1 4 ) 对应( q ，c 。) 的平衡点，所以 ，( z j q f ，呐，d j ，c s o j ，们= o ，j i l 皇二竺2 竺王竺掣：o ，f ，。 ( 2 3 3 ) 抛： ” ”儿 依己知数据& ，心。，d ) ，墨，厶及实测数据j ，j ，厶，求参量“使系统 ( 2 1 4 ) 对应的平衡点 乃( o ，甜) ) 逼近实测值饥j 的参数辨骡问题，记为p 卿，可表示为 p d p ： ， i i l i n ，( 甜) - ( 材) j = 1 ( 2 3 4 ) 第二章动力学模型与参数辨识 使得材 其中 昂d p ：= “l 乃( f ，”) 是( 而，巳叮，q ) ，厂( 乃，g 。，q ，甜) = o ，q ，j f ) 根据甘油歧化连续培养l ，3 p d 的大量实验数据及对系统( 2 1 4 ) 的数值计算结果，选择的 集合，s 。，s 。因此可对系统( 2 1 4 ) 作如下假设： 乜：& ，( 巳。，d ) s ，”u 耐，对应的系统( 2 1 4 ) 是能控和能观的 定理2 2 若假设凰成立，则辨识问题尸卿的最优解材存在，即 j 甜u 。d ，使 ，( 甜) ，( z ，) ，v 5 兕俨 ( 2 3 5 ) 证明：在p d p 中，己知数据s 。，( q o ，d ) j s ，和实测数据y r 5 ，j f ，依性质 2 2 ，从甜u 耐到乃( f ，“) 是( ，g 咿q ) 的映射连续，由性质2 3 ，s 2 为紧集，依假设h 。， 妒，再根据式( 2 3 0 ) 、( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) ，z ( ，“) s 2 到( “) r 的映射连续故肋p 的最优 解存在，记为材u 耐即： ，( “) ，( “) ，v “乙0 e 述表明问题p d p 的最优解存在 1 4 内蒙古大学硕士学位论文 第三章平衡点集的性质 上一章中，定理2 1 只说明了系统( 2 1 4 ) 至少存在一个正平衡点。而在实际应用中， 仅关心系统在瓯内的平衡点。根据( 2 2 7 ) ，定义一个集合 s 7 _ ( g o ，d ) s l j 而， 使得g ( 砭，c 。，d ) = o 且靠q ( ，仁o ，d ) # ，f = 1 ，3 ，4 ，5 ( 3 1 ) 其中，全 屯。， 则有如下定理 定理3 1 对v u = ( 气，d ) s ，系统( 2 1 4 ) 在& 内至少存在一个平衡点 然而，( 3 1 ) 中定义的s 不够直观，无法从该定义获得更多有用信息。因此，本文提供 s 7 的另一种刻画，它有助于我们得到更多关于墨的信息 为讨论方便，由 、壬，( c o ) ：= d q ：i 孔，s ，g ( 恐，q o ，d ) = o 且靠q ( ，g 。，d ) # ，f = 1 ，3 ，4 ，5 ) ； ( 3 2 ) n ( g o ) _ ( 屯，d ) ，q 2 i g ( t ，d ，q o ) = o 且靠口，( ，q o ，d ) 彳，f = 1 ，3 ，4 ，5 ) ( 3 3 ) 定义集值映射、王，：q l 一2 q 2 和n ：q lj 2 1 对固定的q ，由 ( d ) ：= 而，k ( 吻，c 。，d ) = o 且薯。q ( 而，g o ，d ) i ，f = 1 ，3 ，4 ，5 ( 3 4 ) 定义集值映射西：q 2 2 1 ，令d o m ( 、王，) 表示、王，的范围，即 d 。m ( 、王，) ：= 气q 。l 、王，( c ) o ) 则有 s 7 = u( 气，、壬，( 气) ) ( 3 5 ) 5 d o m ( l ，) 第三章平衡点集的性质 随看集值映射i 王，两个目然的f 叫题就出士见 r ( q 1 ) 甲的性质( 例如，集值映射意义下的上半连续或下半连续等) ( q 2 ) 对固定的气q 。，怎么计算、王，( 气) 本节剩余部分，主要涉及( q 1 ) 。 定理3 2 ( 3 2 ) 中定义的集值映射、壬，是一个紧集值映射 证明：对v 气q 。，如果、王，( 气) = a ，则它是一个紧集不失一般性，假设、壬，( 气) o ，由 于甲( 气) 互q ：，它是有界的因此只需证明、壬，( 气) 是闭的令a 甲( 气) 表示、壬，( 气) 的所有 聚点构成的集合，且卯( 气) 为任意的，则存在一个序列 ) ：，、壬，( ) ，当刀一时 满足儿一蜘，由、王，和的定义，我们有，对每一个聍，( 虬) o 且 g ( 恐，气，) = o ，一。q ( 而，蚝) 彳，v 也( 以) ，扛1 ，3 ，4 ，5 那么，对每一个儿，从( 虬) 中选一个，注意到 x ；) 二。是一个包含于i 中的序列因此， 它是一个有界序列由魏尔特拉斯一波尔查诺定理， x ；) 二，存在一个收敛子序列，记为 磅) 二。由记 砖) 二。的极限点由于 ) 二。为( ) 二，的子列且! 现儿= ，则当七一 时收敛于那么由g 和口j 均关于恐、d 连续直接得出 g ( x ：，气，儿) = o ，靠q ( 霹，) # ，f = 1 ，3 ，4 ，5 因此，有( 甄) 且霹( 懿) 虬的任意性表明胖( 气) 、壬，( 气) ，这说明甲( 气) 为 一个有界闭集因此、王，( 气) 是一个紧集由于气为任意的，故、王，是一个紧集值映射 定理3 3 ( 3 2 ) 中定义的集值映射为上半连续的 证明：根据定理1 2 ，只需证明，对任何紧集gc q ：，、王，_ 1 ( g ) 是q ，的一个闭集如果 、王，_ 1 ( g ) = a ，那么它是闭的。不失一般性，假设、王，- 1 ( g ) g 令气为甲1 ( g ) 的任一聚点， 故存在一个序列 哎) 二。cy 一1 ( g ) ，使得当万一时有c ：_ c 芝对每一个珂，从、王，( ) n g ( 注意、壬，( ) n g o ，因为、王，_ 1 ( g ) ) 选一元素，再从吃( ) 选一个元素冀，则对 每一个元素组( ，吒，) 有 1 6 内蒙古大学硕士学位论文 g ( ，儿) = o 靠q ( ，碥，) 彳， f = 1 ，3 ，4 ，5 ( 3 6 ) 由于 ) 二是包含于i 的一个序列因此它是有界的。由魏尔特拉斯一波尔查诺定理，它包含 一个收敛子列 砖) 二。，霹表示 磅) ：。的极限点类似地， ) 二包含一个收敛子列 飞) 二。，表示 ) 二。的极限点。通过以上的构造，我们知道 o ) 二， y ) 二。和 聋) 二。 分别为包含于q 。，g 和i 且分别以气，和霹为极限点的收敛序列由于q 。，g 和i 均为闭集， 故气q 。，i 和g 此外，根据( 3 6 ) 与g 和q ，汪1 ，3 ，4 ，5 ，的连续性，有g ( 霹，)