（应用数学专业论文）wdrl半群的研究.pdf

摘要 摘要 模糊逻辑研究的一个显著特点是逻辑学与代数学的相互渗透与融合，强有力的代数 方法已经成为模糊逻辑研究的主要工具反过来模糊逻辑的发展又为代数学开辟了全新 的研究领域模糊逻辑代数可以看作是有界d r l 半群的特殊情形，w d r l 半群是在d r l 半- 群的基础上提出的本文探讨了w d r l 半群的性质，w d r l 半群与m t l 代数的关系及有界 w d r l 半群的理想和同余，还研究了有界w d r l 半群的同态和局部有界w d r l 半群等等 下面介绍本文的结构和主要内容 第一章：主要介绍了研究背景，本文的主要工作及预备知识 第二章：在w d r l 半群已有性质的基础上进一步探讨了其性质在w d r l 半群中定义 了一元一运算和二元 、呻运算，并讨论了w d r l 半群在运算定义下具有的性质；在m t l 代数中定义了二元+ 、一运算，相应讨论了m 嗽数在运算定义下具有的性质进一步分析 了w d r l 半群和m t l f 弋, 数之间的关系，证明了它们在一定条件下是范畴等价的 第三章：给出了有界w d r l 半群理想的定义及其等价定义给出了素理想，极大理想 及生成理想的定义；研究了它们的性质及相互之间的关系给出了局部有界w d r l 半群的 定义，并讨论了局部有界w d r l 半群的性质和有界w d r l 半群成为局部有界w d r l 半 群的充要条件等等另外还介绍了有界w d r l 半群的同余，同态和零化子，并结合理想讨 论出一些结论 关键词：w d r l 半群，m n 代数，剩余格，理想，同余，同态 a b s t r a c t a b s t r a c t n l eo u t s t a n d i n gf e a t u r eo ft h er e s e a r c ho ff u z z yl o g i c si sm u t u a lp e n e t r a t i o na n dm e 唱e r o fl o g i c sa n da l g e b r a s ，a n dt h ep o w e r f u la l g e b r a i cm e t h o d sh a v eb e c o m et h em a i nv e h i c l eo f t h er e s e a r c ho ff u z z yl o g i c s i nac o n t r a r ym a n n e r , t h ed e v e l o p m e n t so ff u z z yl o g i c sh a v e o p e n e dt h eb r a n d n e wr e s e a r c ha r e a sf o rt h ea l g e b r a s p r e v i o u sr e s e a c hs h o w e dt h a ta l g e b r a s o ff u z z yl o g i c sc a l lb ev i e w e da sp a r t i c u l a rc a s e so fb o u n d e dc o m m u t a t i v ed r l s e m i g r o u p s t h ew d i u s e m i g r o u p sw e r ep r o p o s e do nt h ef o u n d a t i o no fd r l s e m i g r o u p s i nt h i sp a p e r , t h ep r o p e r t i e so fw d i 也- s e m i g r o u p sa n dt h er e l a t i o nb e t w e e nw d i 也s e m i g r o u p sa n d m t l - a l g e b r a sw e r ed i s c u s s e d t h ei d e a l so fb o u n d e dw d r l s e m i g r o u p sw e r ea l s os t u d i e d ； s i m u l t a n e o u s l y , t h el o c a lb o u n d e dw d i 也- s e m i g r o u p sa n dt h eh o m o m o r p h i s mo ft h eb o u n d e d w d r l - s e m i g r o u p sw e r er e s e a r c h e d t h es t r u c t u r ea n dt h ep r i m a r yc o n t e n t so ft h i sa r t i c l ea r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，t h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，t h ep r i m et a s ko ft h i sp a p e ra n dt h ep r e p a r a t i o n k n o w l e d g e sw e r em a i n l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e rt w o ，t h ep r o p e r t i e so fw d i 也- s e m i g r o u p so nt h ef o u n d a t i o no ft h ee x i s t i n g p r o p e r t i e sw e r ed i s c u s s e d t h e nt h eu n a r yo p e r a t i o n - 1a n dt h eb i n a r yo p e r a t i o n s 、ji n w d r l - s e m i g r o u p sw e r ed e f i n e d ，u n d e rw h i c ht h ep r o p e r t i e so fw d r l s e m i g r o u p sw e r ea l s o d i s c u s s e d s i m u l t a n e o u s l y , t h eb i n a r yo p e r a t i o n s + 、一i nm t l a l g e b r a sw e r ea l s od e f i n e d ， u n d e rw h i c ht h ep r o p e r t i e so fm t l a l g e b r a sw e r es t u d i e d f u r t h e rm o r e ；t h er e l a t i o nb e t w e e n w d i 也。s e m i g r o u p sa n dm t l - a l g e b r a sw a so b t a i n e d ：w d r l - s e m i g r o u p sw e r ec a t e g o r i c a l l y e q u i v a l e n tt om t l - a l g e b r a su n d e rs o m ec o n d i t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，t h ei d e a l so ft h eb o u n d e dw d r l s e m i g r o u p sa n dt h ee q u a lf o r mw e r e d e f i n e d ；s e v e r a lk i n d so fi d e a l so fb o u n d e dw d r l s e m i g r o u p sa st h ep r i m ei d e a l s m a x i m a l i d e a l sa n dg e n e r a t e di d e a l sw e r ed i s c u s s e d w h a t sm o r e t h er e l a t i o n sa n dn a t u r e so ft h e m w e r es t u d i e d ；t h ec o n c e p t i o n so ft h ei o c a lb o u n d e dw d r l s e m i g r o u p sw e r er a i s e d a n dt h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h e nb o u n d e dw d r l s e m i g r o u p sb e c o m el o c a lb o u n d e d w d r l s e m i g r o u p sw e r ed i s c u s s e d ，a n ds oo n a tl a s t ，t h ec o n c e p t so ft h ec o n g r u e n c e ， h o m o m o r p h i s ma n da n n i h i l a t o ro fw d r l s e m i g r o u p sw e r ei n t r o d u c e d a n ds o m e c o n c l u s i o n sw i t hi d e a l sr e l a t e dw e r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：w d r l s e m i g r o u p ，m t l a l g e b r a , r e s i d u a t e dl a t t i c e ，i d e a l ，c o n g r u e n c e ， h o m o m o 印h i s m i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 签名： 整! 亟蓟 日 期： 缉：丕：星 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留，使用学位论文的规定：江 南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文，并且本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 签 名：睦盟蓟 导师签名： 壹鲢盗 日 期：缒丕：笾 第一章绪论 1 1 研究现状与背景 第一章绪论 经典数理逻辑历史久远，现在已经发展成为一门内容十分丰富的学科，也是数学分支 中一个基础且重要的分支经典的二值逻辑是基于确定性的逻辑系统，虽然它能十分有效 地处理确定性信息，但它却无法直接有效地刻画人类基于不确定性信息的思维活动于是， 计算机科学，人工智能，数学及相关应用领域的研究人员纷纷提出各种各样的逻辑系统，如 多值逻辑，量子逻辑，模糊逻辑，模态逻辑和直觉主义逻辑等，试图为智能控制中的不确定 性推理建立合适的逻辑基础非经典逻辑，一般泛指与经典命题逻辑和经典谓词逻辑不同 的那些逻辑非经典逻辑系统所使用形式语言与经典逻辑的语言基本相同，它们的差别在 于经典逻辑系统中的某些定理，在这类逻辑中不再成立( 即不再是定理) 非经典逻辑大 体上可以划分为两类：一类是与经典逻辑平行的逻辑，如直觉主义逻辑，多值逻辑和模糊逻 辑另一类是对经典逻辑进行扩充的逻辑，如模态逻辑，时态逻辑与动态逻辑关于非经典 逻辑系统的研究，现在已取得了大量成果，它为人工智能与智能信息处理提供了理论基础 m v - 代数是c c c h a n g 于1 9 5 8 年提出的一种代数结构1 1 j ，目的是提供无限值 l u k a s i e w i c z 逻辑完备性定理的证明h f i j e k 根据连续三角范数及其诱导的剩余型蕴涵的 性质，提出了一种通用的形式系统b l , 称为基本逻辑( b a s i cl o g i c ) 2 3 】，b l 广代数是其相应的 代数系统d r l 半群”j 作为b r o u w e r i a n 代数和可交换格序半群的抽象由k l n s w a m y 于1 9 6 5 年提出1 9 6 6 年，kln s w a m y 给出了d r l 半群理想的定义【5 1 ，并证明了d r l 半群上的理想与d r l 半群的同余关系是一一对应的一些研究结果指出模糊逻辑代数可 以看作有界d r l 半群的特殊情形i l ，例如，有界d r l 半群当满足一，x ；x 时与m v - 代数 等价，而b l - 代数是与线性序可交换d r l 半群子直积同构的有界可交换d r l 半群的对 偶r o 代数的概念1 9 j 首先由王国俊通过提供一个正式演绎系统的完整性定理的代数证明 【1 0 】介绍的王国俊等研究了一类代数上的逻辑学，得到了一系列重要的结果【1 1 1 3 j 刘练珍 提出了w d r l 半群1 1 4 1 ，并研究了w d r l 半群与r 0 代数的关系，证明了w d r l 半群与r 0 代数是范畴等价的1 9 9 3 年，徐扬在研究多值逻辑和不确定性推理的过程中将格与蕴涵代 数相结合提出了格蕴涵代数的概念1 15 1 ，以此作为格值逻辑的研究基础，目前，已经建立了 以格蕴涵代数为基础的格值命题逻辑系统和格值一阶逻辑系统m t l ( m o n o i d a l t - n o r m b a s e d l o g i c ) ，w n m ( w e a kn i l p o t e n tm i n i m u m ) ，i m t l ( i n v o l u t i v e m o n o i d a l t - n o r m b a s e dl o g i c ) 和n m ( n i l p o t e n tm i n i m u m ) 1 1 6 j 是e s t e v a 和g o d o 于2 0 0 1 年基于h f i j e k 关于连续三角范数基的逻辑工作提出的几个新系统，相应的代数结构分别称为m t l 代 数，w n m 代数，i m t l 代数和n m 代数对于h i j e k 的系统b l , e s t e v a 和g o d o 的系统m t l 己经建立了相应的一阶逻辑系统且进行了深刻细致的研究工作【搏r 7 1 事实上，b l 代数是 0 ，1 】上由连续三角模及其相应的剩余蕴涵所诱导的代数系统m v - 代数是一类重要的b l 代数2 0 0 2 年，裴道武给出了r 0 代数的一些基本性质及与其它几个模糊逻辑代数系统之 间的关系1 18 。，讨论了r o 代数公理系统的简化问题，得到r o 代数的两个特征定理，并证明 了这两个特征定理中条件的独立性，并在2 0 0 3 年证明了r 0 代数与n m 代数的等价性【1 9 】， 江南大学硕士学位论文 后来，于2 0 0 7 年给出了m t l 代数中条件的三个等价条件【2 0 1 理想( 滤子) 是研究逻辑代 数的重要途径，对逻辑代数中理想( 滤子) 及局部逻辑代数的研究已经取得了大量成果 1 2 1 - 3 1 1 1 2 本文的主要工作 d r l 半群作为b r o u w e r i a n 代数和可交换格序半群的抽象由k ln s w a m y 在1 9 6 5 年 提出1 9 6 6 年，kln s w a m y 还给出了d r l 半群理想及同余的定义模糊逻辑代数可以 看作有界d r l - 半群的特殊情形，例如，有界d r l 半群当满足，x = x 时与m v - 代数等价， 而b l - 代数是与线性序可交换d r l 半群子直积同构的有界可交换d r l 半群的对偶2 0 0 6 年，刘练珍提出了w d r l 半群，并研究了w d r l 半群与r 0 代数的关系，证明了w d r l 半 群与r 0 代数是范畴等价的本文探讨了w d r l 半群的性质，w d r l 半群与m t i 代数的关 系及有界w d r l 半群的理想和同余，还讨论了有界w d r l 半群的同态和局部有界w d r l 半群等等主要有以下结果： 第一章：主要介绍了研究背景及预备知识 第二章：在w d r l 半群已有性质的基础上进一步探讨了其性质在w d r l 半群中引入 一元，运算：，x = 1 一x ，定义了二元 、呻运算：x y = ，x 一- , y ，z y ；一b y ) 讨论 了w d r l 半群在运算定义下具有的性质在m t l 代数中定义了二元+ 、一运 算：z + y 一一石_ 一，叫，z y = 一b 啼y ) ，并相应讨论了m 1 1 l 代数在运算定义下具有的性 质进一步分析了w d r l 半群和m t 蟓数之间的关系，得出它们在一定条件下是范畴等价 的 第三章：给出了有界w d r l 半群理想的定义及其等价定义探讨了有界w d r l 半群 的几类理想：给出了素理想，极大理想，生成理想的定义；研究了它们的性质及相互之间的 关系给出了局部有界w d r l 半群的定义，讨论了局部有界w d r l 半群的性质和有界 w d r l 半群成为局部有界w d r l 半群的充要条件等等最后介绍了有界w d r l 半群的 同余，同态及零化子，并结合理想讨论出一些结论 1 3 准备知识 本节介绍了格，w d r l 半群和m n 弋数的一些概念和性质【5 ，9 ，1 4 ，1 6 ，2 7 ，3 2 ，3 3 ，】，它们是 本文研究工作的基础 定义1 3 1 r 3 2 j 设是非空集， 是上的二元关系v x ，y ，ze l 如果 ( 1 ) x x ( 自反性) ， ( 2 ) 若x y 且y z ，则x z ( 传递性) ， ( 3 ) 若x y 且y x ，则x y ( 反对称性) 则称 c v 口一c 定义1 3 1 7 嘲j 已x y = b y ) v ( y x ) ，并把它叫做x 和y 的对称差 定义1 3 1 8 m 设l 是d r l 半群，s l 且s 妒，s 是的一个理想当且仅当 ( 1 ) 石s ，) ，s ，贝4 x + y s ， ( 2 ) z s ，若y0 0s z 0 0 ，则y s 定理1 3 1 9 md r l 半- 群的理想与它的同余关系是一一对应的 性质1 3 2 0 1 4 设是w d r l 半群，则下列性质成立： ( 1 ) 如果xsy ，勇区么x + zsy + z ， ( 2 ) 如果z 墨y ，那么x z s y z ，z y s z 一石， ( 3 ) x y s z 当且仅当x s y + z ， 5 江南大学硕士学位论文 ( 4 ) g y ) 一z = g z ) 一y ， ( 5 ) 工一+ z ) = g 一) ，) 一z ， ( 6 ) b y ) + y 苫x ， ( 7 ) g + y ) 一ys x ， ( 8 ) ( ( g y ) vo ) + y ) ( ( ( y x ) v0 ) + x ) - - x vy ， ( 9 ) x - - x 一0 6 第二章w d r l 半群和m t l 代数 2 1 w d r l 半群的性质 【4 】中成立的一些性质在w d r l 半群中也成立 性质2 1 1 设l 是w d r l 半群，则下面性质成立： ( 1 ) xsy 与x yg0 等形i ， ( 2 ) x 一0 ；z ， ( 3 ) b vy ) 一z ；b z ) v ( y z ) ， ( 4 ) z 一( y z ) ；b y ) vg z ) ， ( 5 ) b y ) + ( y z ) 乏z z ， ( 6 ) 仁+ y ) 一zsg z ) + y ， ( 7 ) x + y 一0 等价于x = y = 0 ， ( 8 ) bvy ) 一y x y ，石一仁 y ) = z y ， ( 9 ) z g y ) gx y ，g y ) + y 芝zvy ， 0 0 ) 石vysx + y ， ( 1 1 ) bvy ) 一g y ) - - g y ) v ( ) ，一x ) ， ( 1 2 ) ( y z ) + ( z y ) az 一工 证明：( 1 ) 由性质1 3 2 0 易得 ( 2 ) 因为x + 0 = z ，由定义1 3 1 4 知工一0s 工； 又 z o = g o ) + o x ，故工一0 ：x ( 3 ) 由性质1 3 2 0 b z ) v ( y z ) sg vy ) 一z 反过来，根据定义1 3 1 4 z + ( b z ) v ( y z ) ) = g + g z ) ) v ( z + ( y z ) ) ax vy 再根据定义1 3 1 4 xvy zs g z ) v ( y z ) 故 gv ) ，) 一z = g z ) v ( y z ) ( 句由性质1 3 2 0 b 一夕) v 仁一z ) s x 一( y z ) 反过来，由定义1 3 1 4 ( ) ， z ) + ( g y ) vg z ) ) ；( y + ( b y ) vg z ) ) ) g + ( g - y ) v 苫( y + g y ) ) g + g z ”x 再根据定义1 3 1 4 7 0 一z ) ) ) 江南大学硕士学位论文 x p az ) sb y ) vb z ) 因此 x - - ( y z ) = g y ) vg z ) ( 5 ) 由定义1 3 1 4 g y ) + ( y z ) + z = g y ) + ( ( y z ) + z ) b y ) + y x ， 因此 g y ) + ( y z ) zx z ( 6 ) 由定义1 3 1 4 ( g z ) + y ) + z = ( b z ) + z ) + y 苫x + y ， 因此 g + y ) 一z s g z ) + y ( 7 ) 充分性显然成- 0 4 下证必要性： 假设必要条件不成立，n x y 且x ，y 至少有一个大于0 ，不妨假设x 0 ，因此 x + y 乏x + 0 ；x 0 与石+ y = 0 矛盾， 因此假设不成立，故当x + y = 0 时，x ；y ；0 ( 8 ) 由( 3 ) g vy ) 一y = b y ) v ( y y ) ；& 一y ) v0 - - x y 由( 4 ) x - - g y ) = g x ) vg y ) = x y ( 9 ) 由( 8 ) 得 gv ) ，) 一ysx y 由性质1 3 2 0 得 xvys g y ) + y 由( 8 ) 得 x 一& ay ) sx y 又根据性质1 3 2 0 z sg y ) + b y ) ，因此x 一( j y ) sz y ( 1 0 ) 因为 x + y 乏z + 0 = x ；x + y y + 0 ；y ， 所以 x + y 苫xvy ( 1 1 ) 由( 4 ) ，( 3 ) g vy ) 一b ) ，) = g y ) v ( y x ) v0 再由定义1 3 1 4 ba ) ，) + g y ) v ( y x ) - - g + b y ) v ( _ ) ，一x ) ) ( ) ，+ g y ) v ( y x ) ) 乏0 + 一z ” ( y + b y ) ) zx y 8 第二章w d r l 半群和m t l 代数 g y ) v ( y 一石) 之xay z y = 0 ， 从而 g vy ) 一g y ) ；b y ) v ( y x ) v0 = g y ) v ( y 一石) ( 1 2 ) 因为( y x ) + 石2y ，由性质1 3 2 0 z 一( ( y x ) + x ) sz y ， 再根据性质1 3 2 0 g x ) 一( y x ) sz y ， 因l l t ( y x ) + g 一) ，) 芑z x 命题2 1 2 定义1 3 1 4 中条件( 4 ) 可以换成b + y ) 一ys z sg y ) + y 证明：由定义1 3 1 4 中条件( 4 ) 及x + ysx + y 得 g + y ) 一ys z ， 再由定义1 3 1 4 中条件( 4 ) 及x ysx y 得 x sb y ) + y ， 即 g + y ) 一y sxs g 一) ，) + y 反过来，若zsx + y ，由性质1 3 2 0 z ysg + y ) 一y s x ， 所以z ysx ， 若z ysx ，由性质1 3 2 0 g y ) + ys x + ) ， y zs ( z y ) + y ，所以zs x + y 定义2 1 3 设是w d r l 半群，若g y ) ( y z ) = o ，则l 是预线性w d r l 半群 注2 1 4 在全序w d r l 半群l 中，显然满足b y ) ( y x ) - - 0 命题2 1 5 设l 是w d r l 半群，是预线性w d r l 半群当且仅当下面条件之一成立： ( 1 ) b 人y ) 一z = b z ) ( y z ) ， ( 2 ) x 一( yvz ) = g y ) g z ) 证明：下面证明用到性质1 3 2 0 和性质2 1 1 ： 若g y ) ( y 一工) = o ，即l 是预线性w d r l 半群 由性质1 3 2 0 b y ) 一z s g z ) ( y z ) ， 则 g y ) 一z = ( g y ) 一z ) + g y ) ( y x ) = ( ( b y ) 一z ) + g y ) ) ( ( b y ) 一z ) + ( ) ，一x ) ) ( ( 仁一b 一) ，) ) 一z ) + b y ) ) ( ( ( y 一( y z ”一z ) + ( y x ) ) 由性质2 1 1 ( ( g 一仁一y ) ) + b y ) ) 一z ) ( ( ( y 一【y 一石) ) + ( ) ，一z ”一z ) 9 芑b z ) 一z ) 因此 g y ) 一z 。b z ) ( y z ) 若b y ) 一z = b z ) ( ) ，一z ) ， 0 = g ay ) 一bay ) = b g y ) ) ( y b y ) ) = b y ) t y x ) 下面由g y ) ( y 一石) = 0i , i e , 得( 2 ) h t 2 - o r 由性质1 3 2 0 工一( yvz ) sb y ) ab z ) ， 又 ( y z ) g y ) ；0 ， 则 工一vz ) = b 一( yvz ) ) + “y z ) 0 一y ” = ( g 一( yvz ) ) + ( y z ) ) ( b 一( ) ，vz ) ) + g y ) ) 2 ( g 一( ( y z ) 一z ) ) + ( ) ，一z ” ( b 一( ( z y ) 一y ) + ( z 一) ，) ) ) = ( ( b z ) 一( y z ”+ ( y z ) ) ( ( b y ) 一g 一) ，”+ 仁一y ) ) 0 一z ) b y ) ， 因此 z 一( yvz ) = g y ) b z ) 最后由( 2 ) 证得g y ) t y x ) = o 成立： 0 = g vy ) 一gvy ) ；( bvy ) 一z ) ( bvy ) 一y ) = ( y z ) g y ) 例2 1 6 设= 0 ，a ，6 册，在上定义运算如下： 第二章w d r l 半群和m t l 代数 v0ab1 00ab1 a口a11 b b1b1 1111 1 0ab1 o o00 0 +0ab10ab1 o0ab10 0 0 0 0 aaa11aa0a0 b b1b1b b b 0 0 11 1 1111ba0 图2w d r 胖群l = 0 ，a ，6 册的+ 、一、v 、 运算 f i g 2t h eo p e r a t i o n s + 、一、v 、a o fw d r ls e m i g r o u p l = 0 ，a ，6 ，1 l ； 0 , a ，6 山是满足x + x = x 的w d r l 半群，r x + y = xvy 引理2 1 7 设l 是w d r l 半群，若满足x + x = x ，则有x + y xv ) ， 证明：由题意 xvy ；gv ) ，) + bvy ) x + y 又由性质2 1 1 xvysx + y 故 x + y 2 xv y 注2 1 8 假设w d r i 岸群有最大元，下面我们用1 记作的最大元 性质2 1 9 设l 是w d r l 半群，定义运算： 一z ；1 一x 则下面性质成立： ( 1 ) - , 1 = 0 ，z + 一，z 一1 ， ( 2 ) 如果xsy ，贝i j 一石2 - , y ， ( 3 ) 一z y 一- , y x = 一b + y ) ， ( 4 ) 一bay ) ；，xv y ， ( 5 ) 一一x s x ， ( 6 ) 一一一x 一一x ， ( 7 ) 一z 一- , y = ，一y 一，- ，x ， ( 8 ) 一x 一，- , y 一- , y 一，一x ， ( 9 ) ，一x 一，- , y 一一一z y ， ( 1 0 ) 若xa ，z = 0 , 贝j j xv ，x 一1 ， ( 1 1 ) ，) ，一，xsx y 证明：( 1 ) 一1 1 1 = o ；石+ 一xt z + ( 1 一x ) 1 = 1 1 1 口6 1 0 6 6 口0 口 o 0 0 口6 1 江南大学硕上学位论文 ( 2 ) 若xsy ，由性质1 3 2 0 ， 1 一x 1 一y ，即一x - - , y ( 3 ) 由性质1 3 2 0 一g + y ) = 1 一g + ) ，) = ( 1 一x ) 一y = 一x y ； 1 一g + y ) = ( 1 - y ) 一x = - - , y z ， 因此 一x y = 一y z = 一b + y ) ( 4 ) 由性质2 1 1 一bay ) = 1 一g y ) = ( 1 - - x ) v ( 1 - y ) = ，xv y ( 5 ) 因为( 1 一x ) + 工1 ，贝4 ( 1 一( 1 一z ”s 石，故，一x = ( 1 - - ( 1 一x ) ) s z ( 6 ) 由( 5 ) 知 一一( 一x ) s x ， 再由( 5 ) 和( 2 ) 因此 1 - - x - 1 x ， 1 1 x = 1 x ( 7 ) 由( 3 ) 和( 6 ) n - q 得- - , - , y 一，一z = ，一x 一- - , y = ，x 一一y ( 8 ) 由( 7 ) 易得 ( 9 ) 一一z y = ( 1 一一工) 一y = ( 1 一) ，) 一一工= y 一一x 一一一一y 一一石 = ( 1 一一一) ，) 一，z = ( 1 一一x ) 一一，y 一一一x 一，一y ( 1 0 ) 若x ，x = o ，贝0 x = x + 0 = z + g - x ) = g + x ) g + 一x ) ；x + x ， 由引理2 1 7 rv1 r = z + 1 z = 1 ( 1 1 ) 由( 3 ) ，( 5 ) 及性质1 3 2 0 叫一1 x2 一，x ysx y 性质2 1 1 0 设l 是w d r l 半群，定义运算： 则下面性质成立： ( 1 ) 石 y = y o x ， ( 2 ) x p l = 一，x ， x y = ，x 一一，y ，z - - y 一一b y ) ( 3 ) 工o ( y o z ) tb y ) o z ， ( 4 ) x ys z 当且仅当一一ys 一，一x _ z ， ( 5 ) 一b + y ) s ，z o y ， ( 6 ) ，一b o y ) 一一一工。一一) ，= x y ， ( 7 ) 若x 掰，y y ，贝l j x y u l ， 证明：( 1 ) 由定义x o y ；，一x 一，y ， 1 2 第二章w d r l 半群和m t l 代数 根据性质2 1 9 一x 一- , y ；一y 一，z = yo z ( 2 ) z 1 = 一x 一- , 1 = 一一x 一0 = - ，x ( 3 ) 由性质2 1 9 zo ( yo z ) = ，一x 一一( 一一y 一一z