（应用数学专业论文）非线性奇异微分方程无穷边值问题的正解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性奇异微分方程无穷边值问题的正解 摘要 作为现代分析数学的一个重要分支，非线性泛函分析近年来发展迅速，并 广泛应用于物理，生物，化学，计算机信息等诸多领域，受到了越来越多的数 学工作者的关注其中，非线性无穷边值问题来源于应用数学和物理的多个分 支，特别是在研究椭圆方程的径向对称解，大气压强等方面具有广泛的应用， 是目前分析数学中最为活跃的领域之一本文通过利用锥理论，不动点指数原 理，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理等研究了几类奇异微分方程无穷边值问题正解 的存在性情况，得到了一些新成果 根据内容本文分为以下三章： 本文第一章中，通过构造一个特殊的b a n a c h 空间，利用锥上的不动点原 理，在较弱条件下讨论了下列奇异微分方程无穷边值问题正解的存在性 其中a 0 是参数，k ( 一o o ，+ ) ，：( 0 ，+ 。) 0 ，+ ) _ 0 ，+ o 。) 是连续函 数并且允许在t = 0 点具有奇异性；pec 0 ，+ ) nc 1 ( 0 ，+ 。o ) 且p 在( 0 ，+ 。) 上大于0 ，f o 高d s 0 ，b ( t ，s ) = f 南d v 并获得了当特征值a 在某一范围内取值 时，边值问题至少存在一个正解的结论作者的结果包含，推广并改进了许多 已知结果 本文第二章中，利用k r a s n o s e l s k i i 不动点理论，在一个特殊的锥上，讨论 m | l q ” i | t、j 邢 ， 坦 划 、l，l、 c 以 g 晕 “啦 = 烈 阮 n 枷+ + 0 0 幻 r 舟 q 邓 州 ，、i，j z o 倒 叫 曲阜师范大学硕士学位论文 了一类二阶非线性奇异微分方程无穷透值问题 l 。”( t ) 一p x 7 ( t ) 一q x ( t ) + f ( t ，z ( ) = 0 ，t ( 0 ，+ ) ， la 茹( 砷一( 鸯= o ，。j 。= o 一个和多个难解的存在性其中p ，8 ，声0 ，n 2 十芦2 0 ，q 0 ，f 允许在t = 0 处奇异 在第三章中，我们利用锥上的不动点指数原理和k r a s n o s e l s k i i 不动点理 论，讨论了一类奇异微分方程无穷边值问题 f ( p ( 曲。( ) ) 一2 。( t ) 十1 ( t ) f l ( t ，( t ) ) + 西d t ) h ( t ，。( ) ) = 0 ，t ( 0 ，+ o 。) ， a l z ( o ) 一声l + l i m o + p ( t ) z 驻) = o ， ib 2 当罕b 。( ) 十岛t + l i + m 。p ( t ) x ( 站= 0 正解及多重正解的存在性其中自( 一，+ ) ；五是非负连续避数；氟在t 一0 处奇异；p c o ，+ o o ) n c l ( o ，+ o 。) 并且p 在( o ，+ o 。) 上大于0 ，铲南d 鼍 0 ，b ( t ，s ) = 片击l _ d v 关键词：奇异微分方程；无穷边俊阉题；正解；锥 a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r na n a l y s i sm a t h e m a t i c s ，n o n l i n e a rr u n e _ t i o n a la n a l y s i sa r i s e sq u i t en a t u r a l l ya n dq u i c k l yi nr e c e n ty e a r s ，a n dw h a t s m o r ei ta p p l i e de x t e n s i v e l yi nt h ef i e l do fp h y s i c s ，c h e m i s t r ya n di n f o r m a - t i o nt e c h n o l o g y ，m o r ea n dm o r em a t h e m a t i c i a n sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m et o i t a m o n gt h e m ，t h en o n l i n e a ri n f i n i t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m c o m e sf r o ma l o to fb r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，e s p e c i a l l yi nt h es t u d y o f r a d i a ls o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sa n dm o d e l so fg a sp r e s s u r ei na s e m i i n f i n i t ep o r o u sm e d i u m ，i ti sa tp r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l dt h a t i ss t u d i e di na n a l y t i c a lm a t h e m a t i c s i nt h i sp a p e r ，b yu s i n gt h ec o n et h e o r y ， f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n dk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e ma n d s oo n ，w e i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fi n f i n i t eb o u n d a r y v a l u ep r o b _ l e m so fs e v e r a lk i n d so fs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eo b t a i n e dr e s u l t s a r ee i t h e rn e wo ri n t r i n s i c a l l yg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h ep r e v i o u sr e l e v a n t o n e su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 b yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lb a n a c hs p a c e ，t h ea u t h o ri sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nt h eh a l f - l i n e ： f ( p ( t ) x 7 ( ) ) 7 + a ( f ( t ，z ( ) ) 一尼2 z ( ) ) = 0 ，t ( 0 ，+ o 。) ， q l z ( o ) 一p 1l i m 一o + p ( t ) z 7 ( ) = 0 ， i q 2l i m t + + 。x ( t ) + 庞l i m t _ + o 。p ( t ) x ( ) = 0 ， w h e r e 入 0i sap a r a m e t e r ，惫( 一，+ 。) ，f ：( 0 ，+ o o ) 【0 ，+ o o ) _ 【0 ，+ ) i sac o n t i n u o u sf u n c t i o na n dm a yb es i n g u l a ra tt = o ；p c 0 ，+ ) n c x ( 0 ，+ o o ) w i t hp 0o n ( 0 ，+ ) ，正产矗d s 0i n w h i c hb ( t ，s ) = j ，文b d t h e a u t h o rd e r i v ea ne x p l i c i ti n t e r v a lf o r 入s u c ht h a tf o ra n y 入i nt h i si n t e r v a l ，t h e 些皇塑垫盔堂亟堂垡迨銮 e x i s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o nt ot h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi s g u a r a n t e e d t h er e s u l t ss i g n i f i c a n t l ye x t e n da n di m p r o v em a n y k n o w nr e s u l t s e v e nf o rn o n s i n g u l a rc a s e s i nc h a p t e r2 ，b yi n t r o d u c i n gas p e c i a lc o n ea n da p p l y i n gf i x e di n d e xt h e - o r yi nc o n e ，t h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fi n f i n i t eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo fac l a s so fs i n g u l a rs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sg u a r a n t e e d fz ( ) 一p x ( t ) 一q x ( t ) + f ( t ，z ( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，+ o o ) ， 【q z ( 功一p z ( 1 1 9 = 0 ，+ l i 十m 。x ( t ) = 0 ， w h e r ep ，o ，p 0 ，q 2 + p 2 0 ，q 0 ，fc a nb es i n g u l a ra tt = 0 i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o na n dm u l t i p l e p o s i t i v es o l u t i o n so fi n f i n i t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fa c l a s so fs i n g u l a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o nb yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h ek r a s n o s e l s k i i t h e o r e mo nc o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o ni nas p e c i a ls p a c ea n dc o n e 1 ( p ( z ) z ( t ) ) 7 一k 2 x ( t ) + 咖l ( t ) ，l ( t ，z ( t ) ) + 咖2 ( t ) 厶( ，z ( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，+ 。o ) ， q 1 z ( o ) 一p 1 1 + i r a 。+ p ( ) z ( ) = o ， i a 2m l i m x ( t ) + 尾m l i m 。p ( t ) x ( ) = o ， w h e r ek ( 一，+ ) ， i sc o n t i n u o u sf u n c t i o n ；也c a nb es i n g u l a ra tt = o ； p e 1 0 ，+ ) nc 1 ( o ，+ ) w i t hp 0o n ( o ，+ o o ) ，旷高d s 0 ，b ( t ，s ) = f 轰i _ d k e yw o r d s ：s i n g u l a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；i n f i n i t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；c o n e 第一章含参数奇异微分方程无穷边值问题的正解 1 1 引言 讨论下列非线性奇异微分方程无穷边值同题( b v p ) fp 0 ) z 7 ( t ) ) 7 + a ( f ( t ，z ( t ) ) 一詹2 2 0 ) ) = 0 ，t ( 0 ，+ o o ) ， 口l z ( o ) 一卢lt l 。i m 。，p ( t ) x ( t ) = o ， ( 1 1 1 ) 【0 2 l i m 。x ( t ) + 伤卅l i m 。v ( t ) x ( t ) = 0 ， 其中a 0 是参数，k ( 一0 0 ，+ ) ，：( 0 ，+ ) x 【0 ，+ o 。) 一+ 【0 ，+ o o ) 是连续函数并且在t = 0 点具有奇异性；p c o ，十o 。) n e l ( o ，+ o o ) 且p 在( 0 ，+ o o ) 上大于0 ，j 矗d s 0 ，b ( t ，s ) = j ? 赤d v 无穷区间上的边值问题由于在研究大气压强模型。椭圆方程的径向对称解 等方面的广泛应用( 参见文【1 ，2 ，4 ，5 】及随后的参考文献) 而引起了越来越多 学者的重视近年来，许多作者研究了，在t = 0 点连续情况下边值问题的解 ( 参见文【6 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 1 ) z i m a 6 】证明了下述非奇异二阶微分方程无穷边值问 题正解的存在性； i ( t ) 一后2 z ( t ) + ，( t ，z o ) ) = 0 ，t ( 0 ，+ o o ) i z ( o ) = 0 ，m l i m 。x ( t ) = 0 ， 其中k 0 ，：【0 ，+ o 。) 【0 ，+ o o ) - + f 0 ，+ o o ) 是非负连续函数且对任意的 ( t ，z ) 【0 ，+ ) 【o ，+ o o ) ，y ( t ，z ) 5n ( t ) 柚( ) z ，这里a ，6 ：f 0 ，+ o o ) 叶【0 ，+ o 。) 是连续函数近来，郝等f 8 1 8 建立了如下微分方程无穷边值问题正解的存在性 理论t f 0 ) 一惫2 ( t ) + m ( t ) f ( t ，z ( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，+ o o ) ， 【z ( o ) = 0 ，m l i m 。x ( t ) = 0 ， 第一章含参数奇异微分方程无穷边值问题的正解 其中，：【0 ，+ o o ) 【0 ，+ o o ) _ + 【0 ，+ ) 是连续函数并且满足s u p f ( t ，z ) ： ( t ，) 【o + o o ) e o ，+ o o ) + o o ，m ：( 0 ，+ ) _ 【0 ，+ o o ) 是连续函数且允 许在t = 0 点具有奇异性最近，在文【9 】中，蓝和葛应用k r a s n o s e l - s k l i 不动 点理论研究了当k = 0 时b v p ( i 1 1 ) 至少存在一个正解的情况 受以上文献的启发，本章中我们考虑奇异b v p ( 1 1 1 ) 正解的存在性问题， 这与文【6 ，8 ，9 l 有着极大的不同首先，我们研究的是无穷区间【0 ，+ o o ) 上 带有一般边值条件的非线性奇异微分方程正解的存在性其次，我们研究的 b v p ( i 1 1 ) 是带有参数a 的边值问题最后，本章通过在一个特殊的空间和 特殊的锥上建立锥理论，采用逼近的方法来解决由无穷区间和奇异性所带来的 问题 本章的主要目的是获得b v p ( i 1 1 ) 正解的存在性问题一般来说，我们通 过求解一个积分算子t 的不动点来解决b v p ( i i 1 ) 正解的存在性这篇文章 中我们获得的是无穷区间1 0 ，+ o o ) 上正解的存在性。即；把t 的定义域从有限 区间推广到无穷区间这其中的主要困难是证明算子t 是一个全连续算子， 由于我们不能在无穷区间【0 ，+ o o ) 上应用a s c o l i a r z e l a 定理，一些关于无穷 区间【o ，+ o o ) 上的紧性判定准则( 参见引理1 2 2 ) 将能够帮助我们解决这个 困难 1 2 预备知识 l ( p ( t ) u ( ) ) + v ( t ) = 0 ，t ( 0 ，+ o 。) ， a l t ( o ) 一卢lt 1 i m o + p ( ) t ( t ) = o ， ( 1 2 1 ) 【劬t + l i + m 。u ( t ) + 岛t + l i 十m 。p ( t ) u ( t ) = 0 ， 2 曲阜师范大学硕士学位论文 示为 u ( t ) = g ( 厶s ) v ( o d s ， 其中g ( t ，s ) 由下式定义 g ( 屯8 ) ：! l + 铆引0 8 ) ) ( 岛+ 锄酬屯o o ) ) ，o s + o o ，( 1 2 2 ) pi ( 卢l + a i b ( o ，t ) ) ( 侥+ o t 2 s ( s ，o 。) ) ，0 t ss + 。 注1 2 1 根据( 1 2 2 ) 式，易知g r e e n 8 函数g ( t ，8 ) 具有下列性质t ( 1 ) g ( t ，8 ) c ( 【o ，+ ) i o ，+ o o ) ) ( 2 ) 对任意的s t o ，+ ) ，g ( t ，s ) 在i o ，+ o 。) 连续可微( 除t = s 点外) ( 3 ) 璺丑o 丝t | t = j + = 一旦丑o 业ti i t - 一= 一南 ( 4 ) 对任意的8 【0 ，+ o o ) ，g ( t ，8 ) 在【0 ，+ o o ) 上除t = s 点外满足与其相 对应齐次b v p ( b v p ( 1 2 1 ) 中v ( t ) 兰0 ) 即sg ( t ，s ) 是b v p ( 1 21 ) 在无穷 区问上的g r e e n s 函数 ( 5 ) a c t ，s ) g ( s ，s ) ：( 岛+ a , b ( 0 ，s ) ) ( 岛+ a 2 b ( s ，c o ) ) + ( 6 ) 否( s ) = l i r a t _ + + 。g ( t ，s ) = ：岛( 卢l + o i l b ( o ，c o ) ) 0 ，对任意的t e e m ，有l ，( t ) 一，( + o o ) l e 则称m 在x 中是相对紧的 引理1 2 3 7 ，1 3 l 设p 是实b a n a c h 空间e 中的一个正锥定义只= zep ：0 2 0 r ，只矗= z p ：r 0 2 0 r ) ，0 r r 0 则a 在耳r 中存在不动点 注1 2 2 若条件( 1 ) 在z a 辟且条件( 2 ) 在z 蛾上成立，则引理 1 2 3 的结论仍然成立 1 3 主要结果 ( h 1 ) ，：( 0 ，斗的o ) f 0 ，+ o o ) _ f o ，十o o ) 是连续函数并且对任意的( t ，u ) ( 0 ，+ o o ) 【0 ，+ o o ) ，满足； k 2 usf ( t ，t ) 毋( t ) 夕( t ，让) ，其中妒：( 0 ，+ o o ) _ + 【0 ，+ ) 连续且在t = 0 点奇异，矿( t ) 在【o ，+ o o ) 上不恒等于o ，9 ：【0 ，+ o o ) 【o ，+ ) - - 4 【o + ) 是连续函数对任意的t f 0 ，+ o 。) ，牡属于一有界集， g ( t ，t ) 有界 ( h 2 ) j g ( 8 ，s ) 咖( s ) d s 0 使得对任意的t 【0 ，+ o 。) ，有i z ( t ) i r 由条件( h 1 ) 易知- t x 0 ，母：= s u p g ( t ，u ) ：0 t + o o ，0st r ) + o o 因而，根据条件( h 1 ) 和( h 2 ) ，对任意的t 0 ，+ ) ，有 a g ( ，8 ) ( ，( s ，z ( s ) ) 一k 2 z ( s ) ) d s s a j 0 g ( 8 删蛳删幽 ( 1 删 f 1 3 2 l ，o o a s g ( 8 ，s ) 毋( s ) 出 j 0 + o 。 另一方面，对于任意的t l ，t 2 【0 ，+ o o ) ，s 【o ，+ o o ) ，由注1 2 1 中的( 5 ) 式， 可得 i g 0 l ，s ) 一g ( t 2 ，s ) i ( 8 ) 2 g ( s ，s ) ( s ) 因而，根据条件( h 2 ) ，勒贝格控制收敛定理和g r e e n s 函数g ( t ，s ) 的连续性， 对任意的t l ，t 2 0 ，+ o o ) ，。k ，我们有 i ( t z ) ( t 1 ) 一( t z ) ( t 2 ) i ， s a l g ( t l ，8 ) 一g ( t 2 ，a ) l f ( s ，茁( s ) ) d 5 j 0 ， a l g ( t i ，s ) 一g ( t 2 ，s ) i ( s ) 夕( 毛x ( s ) ) d s ( 1 3 3 ) j 0 ， a s l g ( t l ，s ) 一g ( t 2 ，s ) l 毋( s ) d s j 0 _ + o ，t i _ 幻 5 第一章含参数奇异微分方程无穷边值问题的正解 故根据( 1 3 2 ) 和( 1 3 3 ) 式，易知t x c 0 ，+ ) 由注1 2 1 中的( 6 ) 式也 可以得到 。墨( t z ) ( 幻= a ”召( s ) ( 烨，z ( s ) ) 一舻z ( s ) ) 出 + c o 。 所以，对任意的z k ，t x 有定义并且有t ：k _ x 对任意的z k ，t 【0 ，+ ) ，由( 1 3 1 ) 式，我们有 ( 丁o ) ( t ) = a g ( t ，s ) ( ，( s ，z ( s ) ) 一k 2 z ( s ) ) d s j 0 r o c t sa g ( s ，s ) ( ，( s ，z ( s ) ) 一k 2 x ( s ) ) d s ， ， 0 7 2 0 a g ( 8 ，s ) ( ，( s ，z ( s ) ) 一七2 z ( s ) ) 幽 ( 1 34 ) j 0 另一方面，由注1 2 1 中的( 7 ) 式，对任意的t 【o ，6 】，可得 ， ( t z ) o ) 2 灿g ( s ，8 ) ( ，( s ，z ( s ) ) 一七2 x ( s ) ) d s ( 1 3 5 ) j o 由( 1 3 4 ) 和( 1 3 5 ) 式，对任意的t 陋，6 】，有( 丁z ) ( t ) w i i t x l i 成立所以 t ( k ) k 其次，对任意的自然数m ，我们定义算子? 1 m ：k _ k ( 州牡a f g ( t s ) ( ，( s “枷一如( s ) ) 如t f o ，+ 吼 ( 1 3 6 ) 下面，我们证明：对每一个m 1 ，了k ：k _ + k 是全连续算子首先我们证 明t7 m ：k _ k 是连续的假设z 。，z k 并且有| i z 。一z 0 0 如_ + ) 6 曲阜师范大学硕士学位论文 由( 1 3 6 ) 式和条件( h 2 ) 可得 i af o o g ( t ，s ) ( ，(k 2 x n ( s ) ) d s a ：”g ( t ，s ) ( ，( s ，z ( 。) ) 一七2 。( s ) ) d s h 。 ，s ) ( ，(s ) ) 一 s ) ) d s a 止g ( t ，s ) ( m ，z ( s ) ) 一七2 。( s ) ) 如 ij 上j 上 a 上g ( s ，s ) ( z n ( 8 ) ) 一k 2 z ( s ) l + z ( s ) ) 一七2 z ( s ) i ) 幽 a 1 - g ( s ，s ) ( 1 ，( s ，z n ( s ) ) i + i f ( s ，z ( s ) ) 1 ) d s s a 。c ( s ，s ) ( 9 ( s 而( 8 ) ) + ( 咖( 邓( 5 ) ) ) 幽 2 a 昌。g ( s ，s ) 妒( s ) 如 + o 。 其中s ：= s u p g ( t ，u ) ：0 t 1 m ) ， 满足 2 a s g ( s ，s ) 咖( 9 ) 幽 0 时，对任意的s 【0 ，+ o o ) ，有 l ? 刊啡。刊i 0 ， 一定存在一个6 0 ，使得对任意的8 【1 m ，a o ，t ， 【0 ，r 】，当i “一t ，i l 时，对任意的s 【1 m ，a o ，有 z 。( s ) 一z ( 8 ) i i i z 。一z 0 n 1 时，对任意的s 【1 m ，a o ，我们可以得 到 i ，c s ，z 。c s ，一，c s ，z c s ，i n 1 时，对任意的，f 0 + o o ) 我们有 i ( 7 m o 。) ( t ) 一( z ) ( ) i i ， = a i g 0 ，s ) ( ，( s ，z 。( s ) ) 一后2 z 。o ) ) d s 一g ( t ，s ) ( ，( s ，z ( s ) ) 一k 2 x ( s ) ) d s l ，i，l r a o a c ( s ，s ) “，( s ，x n ( s ) ) 一，( s ，z ( s ) ) i + k 2l x n ( s ) x ( s ) 1 ) d s j 击 + a g ( 8 ，s ) ( ，( s ，z 。( s ) ) + ，( s ，x ( s ) ) d s 警+ a c g ( s s 小 ( s ) ( s ) 加“s ) ) d s 萼蚴s c g 啪如 即，对每一个自然数m ，都有7 m ：k k 是连续的 下面，我们来证明，对每一个自然数m ，了k ：k _ + k 是一个紧算子 假设肘是中的任意有界集，则一定存在一个常数r 0 ，使得 忙l i r ，v z m 8 曲阜师范大学硕士学位论文 根据( 1 3 6 ) 式，条件( h i ) 和条件( h 2 ) ，对任意的z m ，可得 i fg 州坤一s ) ) - k 2 x ( s s l a 上g ( s ) 加，) ) d s g s 上g ( 岛啪( 妒s 这里s ：= s u p 9 ( t ，t ) ：0 t 十o 。，0st sr ) 因而，了m m 一致有界 类似于( 1 3 3 ) 式的证明可知，对任意的t ，t ，【0 ，+ o 。) ，。m ，有 l ( ：r m 茁) ( ) 一( 了t m z ) ( 矿) i ，0 0 g 丘i g ( t ，s ) 一g ( t ，s ) | ，( s ，z ( s ) ) 幽 m p o o 曼a i g ( ，8 ) 一g ( t ，8 ) i 曲0 ) 9 ( 8 ，x ( s ) ) d s j 0 ， a s i g ( t ，s ) 一g ( 7 ，s ) i ( s ) d s j 0 - + o ，t _ + 以 即，m 在【0 ，+ o o ) 上一致连续根据 i ( 了k z ) ( t ) 一( t m x ) ( + o o ) i s a l g 0 ，5 ) 一百0 ) i ( ( s ) g ( s ，z ( s ) ) 一k 2 x ( s ) ) d s j 击 a 丘i g ( t ，8 ) 一g ( 卵( s ) 冲 i o o a s i g ( t ，8 ) 一- g ( s ) l r b ( s ) d s j 0 _ o ，t _ + + ， 9 第一章含参数奇异微分方程无穷边值问题的正解 可以知道t7 m m 是一致收敛的所以。由引理1 2 2 可得，对每一个自然数 r ，算子7 m ：k - - - l k 是全连续算子 最后，我们证明t ：k _ + k 是一个全连续算子对任意的t 【0 ，+ o o ) ， 。k ( i l z l i 1 ) ，由( 1 3 1 ) 和( 1 3 6 ) 式，我们有 | ( n ) ( t ) 一( z ) ( ) i = a ”g ( t ，8 ) ( ，( 舭( s ) ) 一k 2 x ( s ) ) d s r 士 a g o ，s ) ( s ) 夕( s ，x ( s ) ) d s ，去 a s l g ( s ，8 ) 妒( s ) d s ， 其中s i ：= s u p g ( t ，t ) ：0 t + o o ，0 u 1 ) + o o 结合条件( h 2 ) ，有 i | t 一o a s l ”g ( s ，s ) ( s ) d s _ + 0 ， m - + o o 所以t ：k + k 是一个全连续算子 定理1 3 2 假设( h 1 ) 和( h 2 ) 成立，再假设，和g 满足下列条件： ( h 3 ) o 矿= l i m u - 4 s o u + pt e m o , a x + o o ) 掣 。 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 由条件( h 3 ) 的第一部分知，存在r 0 ，使得 g ( t ，t ) ( g o + e o ) t ，0 缸r ，te1 0 ，+ o o ) ( 1 3 1 1 ) 令j 0 。= 扛k ：忙0 g t 1 0 使得 ，0 ，t ) 2 ( k e o ) u ，t t r o ，t 【口，6 】( 1 3 1 3 ) 令2 = r o w r 1 ，k ，= z n ：忙 0 ，( 1 3 1 4 ) 成立若( 1 3 1 4 ) 式不成立，则存在z 2 o k , 2 ， 0 ，满足x 2 = t x 2 + 助 根据( 1 3 1 3 ) 式和x 2 ( t ) u 肛2 0 = u r 2 = r o ，te 【n ，6 】可知， f ( t ，x 2 ( ) ) ( f o o e o ) z 2 ( ) ，陋，6 】( 1 3 1 5 ) 令f = m i n x 2 ( t ) ：te 【o ，h i 则对任意的te 陋，6 】，有z 2 ( ) f 因而，对 第一章含参数奇异微分方程无穷边值问题的正解 任意的t k ，6 】，由( 1 3 1 5 ) 式得， x 2 c t ) = a g ( t ，s ) ( ，( s ，z 2 ( s ) ) 一k 2 x 2 ( s ) ) r j s + p 2 j 0 一 a g ( t ，s ) ( ( ，矗一o ) 茹2 ( s ) 一k 2 2 2 ( s ) ) d s + 2 j 4 f b 一 哦m i n 6 l 。2 ( s ) a ( 厶- k 2 ) 1 4 ，m i n 埘j d g ( ，汕+ 助 f + 地 f 显然有tf f 矛盾即( 1 3 1 4 ) 式成立 由( 1 3 1 2 ) ，( 1 3 1 4 ) 式，引理1 3 1 和引理1 2 3 可以知道，算子t 有一 个不动点z 并且有0 0 ，且对任意的a ( 0 ，嘉) ( 2 ) 设厶= + o o ，9 0 = 0 ，且对任意的a ( 0 ，+ o o ) ( 3 ) 设k f + k 2 ，矿= 0 ，且对任意的a ( 石，+ o o ) 注1 3 2 由于0 茄 1 ，因而1 ( 石b ，嘉) ，所以当a = 1 时，定理1 3 2 的结论仍然成立 类似于定理1 3 2 的证明，我们可以得到下面的定理 定理1 3 3 假设( h 1 ) 和( h 2 ) 成立，再假设，和9 满足下列条件t ( h ) o 尹一- 。i m 制s u p 器 u , 啦+ o o j 掣 0 ，且对任意的a ( 而l ，+ ) 注1 3 - 4 由于0 0 ，g 0 ，在t = 0 处奇异 奇异无穷边值问题由于其广泛的应用价值受到越来越多学者的重视( 见文 【1 4 ，1 5 ，1 7 ，l8 】) 韦，陈【2 l 】应用上下解方法得出了b v p ( 2 i i ) 在p ，口= 0 ，边 界条件x ( o ) = r20 ，l i m + + 。z ( ) = c o n s t 和p ，g = 0 ，边界条件x ( o ) = r 0 ， l i m t - + + 。一( t ) = f 0 时正解的存在性结果宁。王【2 4 】对b v p ( 2 1 i ) 在p ， g = 0 ，x ( o ) = 20 ，l i m t - + + 。e ( t ) = 0 情况下进行了研究 受文献【1 8 ，2 1 ，2 4 j 的启发，本章研究更一般的b v p ( 2 1 1 ) 正解存在的充 分条件，我们对于，所施加的条件比文【6 ，8 j 弱，并且同文( 2 1 ，2 3 j 也有极大 的不同本章将使用以下引理 引理2 1 1 设e 为一个b a n a c h 空间，尸ce 为e 的一个锥，q l ，q 2 为e 中的有界开集，0 n l ，孬icq 2 ，a ：p n _ 2 q l _ p 为一个全连续算 子并有 l i n x l i i l 。i l ，v z p n a q l ，i i a x l l i i x l l ，v z p n a q 2 ， 或 0 z i i 之i i x l l ，v z p n a q l ，i i a x l l i i x l l ，v x p n 0 1 - 2 ， 则a 在p n ( - 2 q i ) 中至少有一个不动点 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 2 2 预备知识 设p ：f 0 ，+ o o ) _ ( 0 ，+ o 。) 为连续函数，记e 是f 0 ，+ ) 中连续函数z 的 全体，并且满足t s u p c f o + 。) 悻( ) 加( ) ) + ，易知，若对于e 赋以范数 8 z i | = s u p e 【o + o 口) “z ( ) i p ( ) ) ，贝9e 是b a n a c h 空间 引理2 2 1 1 9 1 若函数z qce 在任- 1 8 ：间f o ，m 】( 0 ，y l ，若卢 0 ，詈2p y 1 2 3主要结果 首先，我们列出本章所使用的假设 ( h 1 ) ，：( 0 ，+ o o ) 0 ，+ o o ) _ 【0 ，+ o o ) 是连续函数且f ( t ，1 1 , ) 西( ) 9 ( ，u ) ， 其中：( 0 ，+ o o ) _ + 1 0 ，+ ) ，9 ：【0 ，+ o 。) 【0 ，+ o o ) - 【o ，+ o 。) 连续 ( h 2 ) 存在常数天l ，霞l ( 0 天l ，面l 1 ) 满足： v t ( 0 ，+ o o ) ，t 【0 ，+ o o ) ：，( t ，c t ) 一- ，( ，t ) v c | 1 ，+ o o 】 v t 【0 ，+ o o ) ，u 【0 ，+ o o ) ：g ( t ，比) c f l l g ( t ，t ) v c 【1 ，+ 】- ( i - i s ) 存在常数a 2 ，豇2 ( 1 a 2 ，豇2 + o 。) 满足： v t ( 0 ，+ o o ) ，t 【0 ，+ o o ) ：f ( t ，c t ) c z f ( t ，t ) v c 【1 ，+ o o 】 v t 【o ，+ o 。) ，t 【0 ，+ o o ) ：g ( t ，c u ) 萨。g ( t ，t ) v c f 1 ，+ o o 】 ( h 4 ) 记f ( t ，“) = ( t ，u ) + ，2 ( ，钍) 咖( ) ( g l ( t ，u ) + 9 2 ( t ，t ) ) ，其中9 = 夕l + 9 2 ，九9 定义同( h i ) ， ，2 ：( 0 ，+ ) 【0 ，+ o o ) - + 【0 ，+ o o ) 是连续函 1 6