（概率论与数理统计专业论文）一类风险模型的研究和推广.pdf

武汉科技大学生硕士学位论文 第1 页 摘要 随着保险行业在我国迅速发展，保险数学越来越受到许多学者的重视。人们应用数学 方法研究在一定的初始资金条件下，通过建立风险模型，得到保险公司面临破产的概率，给 保险公司提供了一些关于经营方面有价值的参考，有效规避风险 本文基于保险公司保险种类的多样性，分别建立了三个风险模型。第一个模型将传统 的假设“保险公司的收入只来自与保费的收取 修改为“保险公司的收入来自于保费的收 取和投资所赚得的钱”，使之更适合现实，运用模型的m a r k o v 性得到索赔间断时间序列和 赔付时刻盈余序列的有限维分布以及保险公司的破产概率 第二个模型是提出的一个双险种复合二项风险模型基础上，考虑了随机利率，得到了破 产前的盈余分布和破产持续时间的分布。 最后，在本文的第四章，将这一章中的风险模型进行了改进，原作者是假设了每份保单的 收取是一个常数，而本文假设每份保单的收取费用是随机的，进而运用鞅分析的方法得到 了破产概率和l u n d b e r g 上界。 关键词：风险模型，m a r k o v ，二项分布，利率 第1 i 页武汉科技大学生硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ei n s u r a n c e ，m a n ys c h o l a r st h i n kt h a ti n s r a n c e - m a t hi sm o r ea n d m o r ei m p o r t a n t l o t so fs c h o l a r sg e tm eb a n k r u p t c y - p r o b a b i l i t ya b o u tt h ei n s u r a n c e - c o m p a n y t h r o u g hb u i l d i n g r i s km o d e lu n d e rt h ec e r t a i nf i n a n c e s ot h er e s u l t sc a l lg i v et h e i n s u r a n c e - c o m p a n ys o m e a d v i c ea b o u tm a n a g i n gc o m p a n y b a s i n gt h em a n yk i n d so fi n s r a n c e - - c o m p a n y ，ib u i l tt h r e em o d e l i nt h ef i r s tm o d e l ，i c h a n g e dt h ee a r n i n g so n l yf r o mt h ei n s u r a n c e - m o n e y i n t o g e t t i n gt h em o n e yf r o mt h e i n s u r a n c e m o n e ya n di n v e s t m e n t s ot h em o d e l t oi sb e t t e r a l s o ，iu s et h em a r k o vq u a l i t yo ft h e m o d e lt og e tb a n k r u p t c y - p r o b a b i l i t y i nt h es e c o n dm o d e l ，b a s i n ga s s u m i n gt w ok i n d so ft h em o d d ，ii n t r o d u c ei n t e r e s ti nt h i s m o d e la n dig e tt h ed i s t r i b u t i o no fs u r p l u sa n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h el a s tb a n k r u p t c y f i n a l l y ，i nt h ef o r t hp a r t ，ii m p r o v eam o d e lt h a ta u t h o ra s s u m e dt h ev a l u eo f t h ee a c h i n s u r a n c e p a p e ri aac o n s t a n t ，b u tia s s u m et h ev a l u e o ft h ee a c hi n s u r a n c e - p a p e ri sal v u n d e r t h ei m p r o v e dm o d e l ，ig e tt h ep r o b a b i l i t yo ft h ef i n a lb a n r u p t c ya n dt h el u n d b e r gi n q u a l i t y k e yw o r d s ：r i s km o d e l s ，m a r k o v , b i n o m i a ld i s t r i b u t i o n ，i n t e r e s tr a t e s 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：二塞专 日期：一 i 口3 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行 检索和对外服务。 论文作者签名： 指导教师签名： 日 武汉科技大学生硕士学位论文 第1 页 第一章绪论 1 1 背景说明 现在保险行业愈来愈受到社会的关注，例如小孩刚生下来有教育保险，成年之后有 人生安全保险，老年后有养老保险，甚至有些行业的精英人才还会投入一些特殊的保险， 在电视上我们动不动就看到某位明星为自己的腿投保一千万，过不了几天又在报纸上有 人为自己的脸投保几百万等等这样的事情屡见不鲜，不过现在人们投的最多的保险莫过于 社保和医保这些大众化的保险种种迹象表明我们的国民越来越学会通过保险来保护自己 和自己的合法权益，这也是国名素质的一种提高的表现，于是保险行业得到蓬勃的发展， 许多学者也开始关心和研究这个行业，其中数学里面就有一个分支叫做保险数学，它研究的 主要内容就是保险公司初始资金一定的条件下，保险公司面临破产的概率是多少以及和它 相关的数字特征的研究，不过这个方向的到蓬勃发展还是开始于l u n d r b e r g 不等式的发现， 之后许多学者开始通过一定的假设，使得保险模型和现实的情况有一定的联系，然后在这个 模型的基础上运用数学的方法去研究它的破产概率，在这些工作中最突出的是g e r b e r 他在 研究布朗运动的时候在模型中首先提出在模型中加入随机扰动【5 】，随后又提出了重要的 折现惩罚函数1 6 1 ，通过这个函数的研究，可以得到许多关于破产概率的数字特征的研究， 我选择这个方向作为我毕业论文的研究方向就在于这个行业正在蓬勃的发展，许多的工作 还可以得到 1 2 国内外相关研究状况 1 2 i 国外研究现状 对保险的研究最先开始于l u n d b e r g 不等式2 3 1 的创立，它是基于这样的一个模型：形式上 记五为第一次发生索赔的时刻，乙记为第n 一1 次索赔到1 1 次索赔的等待时间当 互，i = 1 ，2 3 ) 是随机变量时，在时间区间( o ，t ) 内的索赔计数是一个随机变量，记为( f ) ，迸 一步当 互，扛1 , 2 ，3 ，) 为独立同分布时， n ( t ) ) 就称为更新过程，设 五，f = 1 , 2 ，3 ) 是独立 同分布的非负随机变量，其中置第i 次索赔变量，进一步假设假设五和t 独立，c ( t ) 表示保费 收入，则风险模型就变为 第2 页武汉科技大学生硕士学位论文 u ( f ) = “+ c ( f ) 一五 1 = 1 则l u n d b e r g 不等式如下： m x ( ，) = e e 蹦对o ， o ，定义破产为存在时刻n o 使得r ( n ) o ；r ( n ) o ) ，并且我们约定m i n o ) = 佃，其中是空 集 定义1 定义甲 ) = p l i q 以，a ( n ) l 时，根据条件概率的性质，可得 厶= f 矿4 7 i 黾足u 融，五风蛾 ) i 互钿) 根据过程的马尔科夫性，得到 l = j p “ l = 吒，r ( u 。) 出。i 尺( u 川) = x n - i 下面计算上式中右端的第二个因式 由于r ( u ) = 尺( 虬一。) + 乙一艺 故 p ” 瓦= 吒，尺( 乩) 呶陋( 虬一。) = 一。) = p ”( 匕= 吒) p “ r ( 虬一。+ 乙一】二呶陋( 虬一。) = 巾乙= 吒) 由于p “亿= 吒) = p q ”1 ，且 故 p “ 尺( 以一。) + 乃一匕电陬( 虬一，) = 毛，乙= 屯) = 厂( 一。一毛+ 吒) 吨 第1 0 页武汉科技大学生硕士学位论文 p ( 瓦= 砖，r ( u ) 氐陬( 以一。= 一。) = p q b 一厂( 毛一。- x + 吒) 咄 将( 8 ) 式带入( 6 ) 式得： 有归纳法可以得到 l = l l p q - 1 p q b _ 1 厂宰g ( 吒一l - x + 吒) 出。 l = p ”兀q - 1 f g ( 五一l 一而+ 岛) 如 ( 2 ) 当岛 ( 五一再一1 ) vo ，i = l ，2 ，3 ， 不成立时， p “ 五= 后l ，r ( u 1 ) d x l 疋= k 。，r ( u 。) d x 。) - - 0 ( 1 0 ) 于是，由上( 1 ) ( 2 ) ，定理l 证毕 定理2 破产概率y ) = p “p 由于 尺( 一i ) + 互 尺( u ) ，i 1 ，r ( u o ) = “， 故 p u f = 玑) = p “ 五= l q ，u + l q r ( u ) o ，一。= 吒一l ，r ( 虬一2 ) + ，吒一l o ，乙= 吒，尺( 以) f ) 具有如下表达式 其中 求和式 ( 彬) = 9 7 + g 。善t 二k ( 鲁) ”e + k t d x l r 。r i 幸g ( “一+ 岛) 吨 ( 1 2 ) 七1 川= l 鼍口( 七，卅 i = l q ( k ，m ) = 白，如，k ) ：砖= 七，毛，m z + ) i = l ( ) =( ) q ( ， k l ，k 。 q ( i 。辨 证明：对于任意固定的时刻t e z + ，一定有啁 “或者存在第m 次索赔和时刻k ， ( 1 m k t ) ，使得= 后，而且u 。t 砜+ l ，于是 t七 o ( “，t ) = p u o f u ) + p ”冰( ) 0 , i = 1 2 ，m ，= 尼，t u m + 1 ) ( 1 3 ) k = im = l 在( 1 3 ) 中右端第一式u = 巧，且根据石的分布，显然有 再根据过程的性质有： p “ o t u ) = p “ 0 尺( 一。) ，i l ，同时，p “ l + 。 f k ) = 矿。七 在( 1 3 ) 式右端第二式中： p 。似( ) 0 , i = 1 , 2 ，m ，= 尼，吒f + 1 ) = p “俾( u ) o , i = 1 , 2 ，m ，砜= 后，乙+ l t - k ) = ( 1 4 ) p ” o r ( ) t - k ) ( 1 5 ) q ( k ，) 运用定理1 ，( 1 5 ) 即为 p “ 尺( u i ) 0 ，i = 1 , 2 ，m ，u m = 七，u 。t u 。+ 1 ) = ，q 毳，r 坼厂“h m ( 崛) 纸 ( 1 6 ) 将( 1 6 ) 式和( 1 5 ) 式代a ( 1 3 ) 式，得到 第1 2 页武汉科技大学生硕士学位论文 巾( 州) = g + 窆窆g 卜r 0 + 毛如r 州岷k 缸，岛，吒，抽) 丸 i = im = lq ( k ，m ) ( 1 7 ) 并运用定理1 中 g 埘“局，屯，西，乇) = 三罂铲一p 烈斗厂矿”q ) v 。 代入卜式既可得m 宦坪的结论 推论4 假设随机变量( v 一五) ，具有参数为五 0 指数分布，且u 卸，则 且有 o ( 0 ，f ) = 卜窆g ”( n - i = p ) 川岛e 卅 n = l j = oyq ( h ，j + 1 ) 七i而+ 1 2x j _ t + k j 其中岛= b ( 毛，乃) = 胁k h ，规定岛= l 000 ( 1 8 ) 8 ( 毛，如，幻) = j l 【善j 岛) 7 一薹粼( ，委 ) 产肿1 ( 1 9 ) 证明：当u = o ，且巧具有参数为t 0 的指数分布，于是定理3 的( 1 2 ) 中的因式 兀( 薯一。一薯+ 岛) = p h - t = l i ik z + x 2k + - r - m r - | 将上式代入( 1 2 ) ，并记，( 历) = 似k 弘砜帆 000 得到 旭f ) = 矿+ q x e - l d ( 等) 廓，( ，1 ) h = lr a = l y 口( ，) 下面计算j ( m ) ： 记以= 似k 肛规定玩= l 则： ，( ，1 ) = 才1 e 越一，( 聊) 一刀1 b 。一l ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 武汉科技大学生硕士学位论文 第1 3 页 则由递推公式，得到 坳m 脚一z 肘彳, - j e , = l 酬扩 ( 2 3 ) 将( 2 3 ) 代入( 2 1 ) ，得到 h ，喜静m 鄹一薹脚以 ， 由于易知q ( k ，m ) 中的元素个数为1 ，因此= 1 ，于是可证任意的t ，有： 于是( 2 4 ) 变得 其中 且易知 g + g ( 等) ”1 = g + g ( 鲁) ”c m - 1 = l k = l m = ly 口( t ，m ) k = lm = ly ( 2 5 ) 占占d 一一m - i 一五j + l 毛 o ( 0 ，f ) = l + g ( 鲁) ”岛p 。i - i = 1 4 ( 2 6 ) k = lm = i 鼍 口( ，) j = o 4 啦m 驸tm 磊，孰j = o p 芬p 2 交换求和顺序，( 2 9 ) 式右端第二个式子中的因式 鞠t ”荟，弘p 以著屯 记( 3 0 ) 式右端里面和式 ：t ( t ( 尝) 埘伽一1 ) v ( n - 1 ) ( 朋一_ ，一1 ) 一川eb b ) p 一以 n = lm = l 譬 j , , 0 v ( m + n - t - 1 )q ( n j + d ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) t 。( m 1 ) v ( n - 1 ) ( 等) ”3 ( m - j - 1 ) 卜卜肿p 1 q - - # t ( n - 1 ) ( 3 1 埘= l 譬 j = o v ( m + n - t - 1 )q ( n + 1 ) 拦乙m 乃 州脚 。， q i = m ( i l 、， l 岛g 4 。删，心 矿 = 4 第1 4 页武汉科技大学生硕士学位论文 显然( 3 1 ) 为关于五的多项式于是( 3 0 ) 口- t 改写为 f 4 - - q 4 一。+ g 4 t ( n - 1 ) e 叶五 n = l 并结合( 2 8 ) ，得到 规定 则( 3 3 ) 即为： 勿( 0 ) = 里 g 将上式代n ( 2 6 ) 式，得到 ( 3 2 ) t 4 = g ，_ l p e 。+ 留谚仰一1 ) p 一“ ( 3 3 ) n f f i i tt 4 = g 4 t ( n - 1 ) e 卅 n = lt = l tt 4 ( o ，f ) = 1 - q 4 t ( n - 1 ) e 1 n f f i li = n 下面将( 3 4 ) 中e 1 五的系数记为e ( f ) ， 则 ( 3 4 ) f 4 ( o ，t ) = l - e , e 1 2 ( 3 5 ) n = l 于是推理得到 e n ( f ) = q 艺( 詈) 川毋 ( 3 6 ) j = 0yq ( + 1 ) 故将( 3 6 ) 代入( 3 5 ) 即得到定理的结论 以上定理主要是对前面定理的运用，它假设的是收到的保费的随机变量序列 z ) 式服从指 数分布的，然后通过前面的定理计算它的生存概率和破产概率，从而在理论上是对前面所证 定理的一个印证 以下我们将给出两个例题，通过例题去具体的了解第一部分中各个定理的应用，在这 些应用中，我们可以发现定理的作用 2 3 实例 例l 当在单位时间内发生索赔的概率p = 0 0 9 固定，而兄变化，例如取o 7 9 ，0 3 9 ，0 1 9 ，0 1 时，即 武汉科技大学生硕士学位论文 第1 5 页 安全负荷系数织随艘化而变化时，保险公司生存到时问1 ，2 3 1 0 的概率，如下表1 表1发生赔付的概率p = o 0 9 p = o 0 9p = o 0 9 ，p = o 0 9 ，2 = o 1 时间2 = 0 7 9 ( 9 = 7 ) a = 0 3 9 ( 0 = 3 )9 ( 0 = 1 ) p = o 0 9 ，名= o 1 ( 0 = 0 1 ) l0 9 5 5 0 6 50 9 3 2 9 6 90 9 1 8 1 3 70 9 1 0 4 2 7 20 9 3 5 2 8 00 8 9 0 6 3 10 8 5 6 4 5 60 8 3 7 3 0 6 30 9 2 5 8 8 40 8 6 3 0 0 90 8 0 9 0 1 70 7 7 6 9 3 6 40 9 2 1 1 4 00 8 4 3 9 30 7 7 1 7 4 30 7 2 6 5 7 6 5o 9 1 8 6 1 00 8 3 0 7 9 90 7 4 1 9 3 90 6 8 3 8 4 3 6 0 9 1 7 2 1 60 8 2 1 3 4 30 7 1 7 5 9 90 6 4 7 4 6 1 7o 9 1 6 4 1 50 8 1 4 3 2 80 6 9 7 6 4 5 0 6 1 6 0 6 5 80 9 1 5 9 5 3 0 8 0 8 7 5 3o 6 8 1 0 8 20 5 8 8 7 5 6 9o 9 1 5 6 7 50 8 0 4 6 2 30 6 6 6 5 4 5 0 5 6 4 7 7 8 1 0 o 9 1 5 5 1 60 8 0 1 4 1 3 0 6 5 4 2 7 90 5 4 3 5 4 7 例2 当允固定，例如2 = 1 ，而单位时间类发生赔付的概率p 变化时，保险公司生存到有限时间 l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，10 的概率，如下表2 ： 表2 当固定时，发生赔付的概率p 变化时 p = o 1 ，旯= l ( 0 = 9p = o 2 ，五= l ( 0 = 4p = o 3 ，2 = l ( 0 = 2 3 3p = o 4 ，旯= 1 ( 0 = 1 5 ) 时间) 10 9 6 3 2 0 20 9 2 6 4 3 00 8 8 9 6 3 50 8 5 2 8 4 9 20 9 4 9 5 9 80 8 9 9 3 4 90 8 4 9 1 0 00 7 9 8 7 2 0 30 9 4 4 2 3 70 8 8 7 6 1 90 8 3 0 2 9 00 7 7 2 4 2 7 4o 9 4 1 8 7 50 8 8 1 9 0 30 8 2 0 3 9 40 7 5 7 6 3 8 50 9 4 0 7 8 30 8 7 8 9 1 60 8 1 4 7 2 00 7 4 8 5 6 0 60 9 4 0 2 6 50 8 7 7 1 7 20 8 1 1 2 8 2 0 7 4 2 6 6 9 70 9 4 0 0 1 80 8 7 6 3 2 10 8 0 9 1 1 6 0 7 3 8 6 9 1 80 9 3 9 8 8 00 8 7 5 7 8 10 8 0 7 7 1 20 7 3 5 2 2 0 9 0 9 3 9 8 1 20 8 7 5 4 4 4 0 8 0 6 7 8 10 7 3 3 9 5 9 1 0 0 9 3 9 7 7 40 8 7 5 3 0 0 0 8 0 6 1 5 30 7 3 2 5 2 2 至此第一部分的论述已完成 第1 6 页武汉科技大学生硕士学位论文 第三章带随机利率的双险种研究 3 1 模型的引入和背景说明 3 1 1 论文背景的说明 现在在大多数的保险学的研究中，我们往往只考虑了一种险种的情况，在一种险种的条 件下研究了相关破产概率和关于保险公司的破产严重性分析例如许多文献中的如下几种 模型： 唐国强【3 1 在带息的双二项风险模型中考虑了如下模型： u ( 甩) = “兀乙+ c 磊丌z l 一鼍仇兀互 他考虑了随机利率，他的这模型主要是在一种险种的基础上考虑的，得到了描述破产 严重程度的破产前的盈余分布和破产持续时间分布的递推，有限时间内破产概率公式以及 终极破产概率的积分方程 诸如复合p o s s i o n 风险模型： u ( f ) = u + c t - 墨 这个保险中的经典模型也是在一种险种的基础上考虑问题的 关于双险中的风险模型中，也有一些学者进行了研究，例如郭立娟，刘冬元【3 8 】考虑了一 类广义双险种模型： | | i ，2 i t )l i t )2 i t ) u ( t ) = u + c m l ( f ) + 置一巧o 一r 但 在这个模型中他考虑了两种险种，还有学者在双险种中加入了随机利率，例如在陈茜 0 6 1 在文章随机利率下的双险种风险模型中考虑了如下模型： r ( t ) = ( “+ c t ) ( 1 + ，) 一s ( f ) 其中 s ( f ) = 五+ r 在这个模型中i 是具有某种分布的随机的利率，利用鞅的分析方法他研究了这个模型 的最终破产概率 在这一章中主要运将唐国强的在带息的双二项风险模型中所设计的利率运用到郭立 武汉科技大学生硕士学位论文第1 7 页 娟，刘冬元考虑了一类广义双险种模型中去，从而将这种利率是在双险种的情况下考虑问题， 到了与唐国强的在带息的双二项风险模型相似的定理，记我的到了破产前的盈余分布和破 产持续时间的分布 3 1 2 模型的引入 在本章的模型研究中，我们设计了两种险种：险种1 和险种2 在险种1 中我们假定如 果发生第i 次索赔时它的索赔额为z 1 ，并且每一份险种l 的投保的金额是一个常数c ；对于 险种2 我们假定如果发生第i 此索赔，它的索赔额就是y 。2 ，如果发生第i 此投保，它的索赔 额就是置 同时还做出如下假定： 在每个单位是间【( n - 1 ) ，n 】中其可能出现以下情况： 关于投保做出如下假设： ( 1 ) 对于险种1 ：在每个单位时间中要么有一个客户参与投该保，要么没有客户参与投该 保，我们用己= l 表示在这个单位时间内有一个客户投该保，p ( 孝。= 1 ) = p 。，用彘= o 表示在 这个单位时间内没有客户投该保，p ( 己= 0 ) = q 。，q 。= l - p 。； ( 2 ) 对于险种2 ：在每个单位时间中要么有一个客户参与投该保，要么没有客户参与投 该保，我们用巩= l 表示在这个单位时间内有一个客户投该保，p ( r = 1 ) = 仍，用仉= 0 表 示在这个单位时间内没有客户投该保，p ( r = 0 ) = q 2 ，q 2 = 1 p 2 ； 关于索赔做出如下假设： ( 1 ) 对于险种l ：在每个单位时间内，要么有一次该险种的索赔发生，要么没有没该险种 的索赔发生，当用幺= 1 表示在这个单位时间内有一个关于该保险的索赔，p ( 皇= 1 ) = 岛； 用= o 表示在单位时间内没有关于该保险的索赔，p ( = 0 ) = q 3 ，q 3 = l - p ， ( 2 ) 对于险种2 ：在每个单位时间内，要么有一次该险种的索赔发生，要么没有没该险 种的索赔发生，当用磙= 1 表示在这个单位时间内有一个关于该保险的索赔，p ( 玩= 1 ) = 仍； 用玩= 0 表示在单位时间内没有关于该保险的索赔，p ( 玩= 0 ) = q 3 ，q 3 = 1 一p ， 同时做如下的假设： 五，i = 1 , 2 ，3 ) 独立同分布的随机变量，它的分布函数为c 1 ，江1 , 2 ，3 ) 独立同分布的随机变量，它的分布函数为f 。 第1 8 页武汉科技大学生硕士学位论文 1 2 ，i = 1 ，2 ，3 ) 独立同分布的随机变量，它的分布函数为z 瑶，i = l ，2 ，3 ) 独立同分布的随机变量，它的分布函数为忍 岔，i = 1 ，2 ，3 ) 独立同分布的随机变量，它的分布函数为i - 觇，江1 ，2 ，3 ) 独立同分布的随机变量，它的分布函数为 纠，i = i ，2 ，3 ) 独立同分布的随机变量， 它的分布函数为- 同时假设以上变量之间也是是相互独立的 开疗 在上述假定下，我们可以知道m 。( 刀) = 缶，鸩o ) = 仉，n l ( n ) = 等， 2 ( ，1 ) = 哆：，他们分别服从参数为p 。，见，p 3 ，风的二项分布 则不引入利率保险盈余过程就为： u ( n 同+ c m 舸) + 笠z 一笠k - 一兰i z ) = “+l ( ，z ) + 置一z 1 一1 2 下面我们考虑利率 咯，k 1 ) ，气为区间( k - 1 ，k 】的利率， ，k - l ，2 ，3 ) 和上面所设的变量也 是相互独立的本文设 吃，k i ) 为非负独立同分布随机变量，设乙= 1 + 咯，分布为最( z ) ， 则保费收入在每个区间的开始，索赔给付在区间的结束，则此时盈余过程如下： 玎月玎一斗 珂n月 u ( 以) = “兀互+ c ( 鼻兀互) + 置仇兀乙一1 等兀墨一z 2 彬丌乙 i = lj = lk = if z lk = ii = ik = i + lf = ik = i + l 令巧= f 等+ 1 2 讲一c 缶互一置仇乙，则 z ，f 1 ) 是独立同分布随机分布序列，设其分布为 目( y ) ，由组成它的变量的分布共同决定，同时还要加入安全复合e 巧 0 ，u ( n ) o ，s ( ，1 ) “) 3 2 定理的证明 3 2 1 破产前的盈余分布 保险公司的财务状况和偿还能力是保险人和投保人都十分关心的问题，为了弄清楚保 险公司入不敷出的情况，研究破产前瞬时保险公司的盈余是非常有必要的1 9 8 8 年 d u f r e s n e 和g e r b e r 首次引入了描述破产前盈余分布状况的函数，有关问题立即成为破产理 论中的重要研究课题本文在引入利率的双二项风险模型下，对这一问题作了研究 引入破产前盈余分布函数f ( u ，x ) ，定义为 f ( u ，d = p u ( t 一1 ) x , t ( u ) 0 ( 3 1 ) 定理1u 0 ，破产前赢余分布函数f ( u ，x ) 满足： f ( u ，石) = i i f(uzy，x)dfr(y)fz(z)dl 一 - o o 其中啊( “，曲：f 亏( 汜) 幔( z ) ，若x “ 【o , x ” 证明：f 沁x ) 描述了准备金为u 时破产前瞬时盈余大于x 的概率，( 3 1 ) 式有： f ( u ，x ) = p u 仃一1 ) 五r ( “) = 甩) = p s ( ，z ) “，s ( n 一1 ) “一= 芋一，s ( n 一2 ) “，s ( 1 ) 甜 肛1 兀互 i = 1 = - - e 吃以，力 n = i h 。( x ) 破产时刻为n 的瞬时盈余大于等于x 的概率则 啊( “，x ) ：p ) “，s ( o ) “一x ) ：i ；f y ( u z ) d f z ( z ) ，觏“ ( 3 3 ) 1 0 ，x “ 由定义得到 第2 0 页 武汉科技大学生硕士学位论文 蜘，功= 邮( 2 ) 蚶( 1 ) 如一玄) 喇丢+ 著嘻一玄 = rf p ) 圯一y d f r ( y ) d f z ( z ) = j f of ：一朋l ( u z y ，工) d f r ( y ) d f z ( z ) = fe 啊( 1 l z y , x ) d f r ( y ) d f z ( z ) - j f ol l 毛( u z 咄x ) d f r ( y ) d f z ( z ) ( 3 4 ) 上式中最后一项为零， 这是因为在该项中y y z - x , u z ) 臣p x 1 4 7 , - y o 所以j l l i ( 1 l z j ，x ) = 0，由此上式为 坞( “，功= fe 扛似石) d f r ( y ) d f z ( z ) 娄似的右 j i l 3 ( “，x ) = p s ( 3 ) 甜，s ( 2 ) “一- 生一，s ( 1 ) “) 兀乙 以丢+ 高+ 斋毒+ 斋一高z 嵋， 有数学归纳法可以得到对于刀2 有 吃( “，z ) = p s ( 刀) ”，s ( n 一1 ) 甜一= | 生一，s ( n 一2 ) ，s ( 1 ) “) 兀z i 一 口 j 上。吃一l ( u z y ) d f r ( y ) d f z ( z ) ( 3 5 ) 由控制收敛定理，因为级数吃( x ) 收敛所以 n = l f ( u ，工) = 以 ，x ) = j l l ( “，工) + 吃似，功 = l n = 2 武汉科技大学生硕士学位论文 第2 1 页 综上所述定理1 得证 3 2 2 破产持续时间分布 吲) + 薹j f o 队t ( 理唱z ) 崛( y ) d f z ( z ) = j l l l ( “，x ) + f 亡f ( u z y , x ) d ( y ) d 兄( z ) 保险公司破产后，财务状况到底恶化到何种情况，困难将持续多长时间这些不仅关 系到保险入的前途命运，更加影响到广大保户的切身利益本节我们讨论我们考虑破产 持续时间的概率性质 破产后保险公司的盈余首次回到正的时刻 r ) = i n f n ：以 丁( “) ，u 0 ) o ) ， ( 4 1 ) 于是破产持续时间定义： 咻 蹼裂挈冰 定理2u o ，破产持续n 期的概率为： 丸( h ) = p 尹( “) = 刀 = 心细( “) q ( “) 其中q k ( u ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 给i i l ，m k 1 主i ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 9 ) ( 4 10 ) ( 4 11 ) 给i k l 证明：当于 ) = 1 时，即破产持续1 期的概率为： 办( “) = p ( t ( u ) = 1 ) = p r ( ”) = 丁( “) + l = p 丁( “) = 七十1 l 丁( “) = 七) p 丁( “) = 七) k = l = p 【厂( 1 ) o ，u ( 2 ) - - 0 ，u ( k - i ) _ o ，【，( 尼) 蝎) = j f o e ( z z ) 崛( z ) ( 4 3 ) 第2 2 页武汉科技大学生硕士学位论文 q 2 ( “) 2p 【，( 1 ) 。，u ( 2 ) 嵋) 2j f o 聃争坛叫珥( j ，心加j f o e 舭训蜗( j ，) d f z ( z ) 由数学归纳法得到，当豇2 有， g ( “) = fe q 一。( u z - y ) d f r ( y ) d f z ( z ) ( 4 4 ) 记 在( 4 2 ) 式中 蜀( “) = j f odj f o 毋( ( 圯一y ) s ) 幔o ) d f r ( y ) d f z ( z ) ( 4 5 ) m l 1 ) = p u ( o ) 0 ，u ( 1 ) 0 ，u ( 2 ) 刊p 引+ 乏如z 1 ) 2r 肼芝舷叫蜗( j ，) 幔( z ) = fe j r o 耳( ( 汜一y p ) 幔( s ) d f r ( y ) d f z ( z ) = 且 ) ( 4 6 ) m 2 0 ) ) = p 【，( 1 ) o ，u ( 2 ) o ，u ( 3 ) 0 ) 刊脚碥+ 争螂z i 扭z 2 + 土z 2 2 3 蝎 2 j f oe p t 争，芝+ 去一y ，珥啦， = fl 。fm 。) i ( u z - y ) d f r ( y ) d f z ( z ) 有数学归纳法得到，对七2 ： m 。1 似) = fe m ( i ) k - i ( u z y ) d f r ( y ) d f z ( z ) ( 4 7 ) 这是k 时刻破产且持续1 期的概率故破产持续1 期的概率为： 办( “) = p 于( ”) = 1 ) = 帆1 ( “) g ( “) 武汉科技大学生硕士学位论文 第2 3 页 当孑( “) = 2 时，完全类似的有 办( “) = p r ( “) = 2 ) = p r ( u ) = t ( u ) + 2 记 在( 4 8 ) 式中， = p ( r ( “) = k + 2 l t ( u ) = 七) p 丁( “) = 七) k = l = p u ( 1 ) o oo o e o * 9 u ( 尼) o ，u ( 尼) o ，c 厂( 七+ 2 ) o ) p 丁( “) = 后) k = l 垒峨2 ( “) g ( “) k = l 垦( “) = j f oe 且( 圯一y ) d f r ( y ) f z ( z ) m 2 似) = p u ( o ) o ，u ( 1 ) 0 u ( 2 ) 嵋，誓+ 芝+ 茏嵋 。m 争，乏+ 土z 2 2 3 一y 蚓y 胤z ) j f oe 蜀池一y ) d f r ( y ) d f z ( z ) = b 2 ( “) m 2 ( 2 ) ( “) = p u ( 1 ) o ，u ( 2 ) o 上： 取之【o ，0 0 ) 上的独立同分布随机变量x = x i ，i = l ，2 ，分布函数为 f ( x ) 且二阶矩存在；参数分别为 o ，如o 的p o i s s o n 过程m = m ( t ) ，t o ) 和n = n ( t ) ， t o ) ；m = m ( t ) ，t 0 ) 和n = n ( t ) ，t 0 ) 和 w ( t ) ，t o ) 相互独立； m ( t )“) w ( t ) ，t o ) 是标准的w i e n e r 过程；u ( t ) - - u ( 1 + i - j ) + y k - z 五+ 洲( f ) ，则称 u ( o ，t o ) k = lk = l 为带利率和膨胀率的双复合柏松过程的保险模型。 第2 6 页武汉科技大学生硕士学位论文 该模型中相关符号的解释说明： ( 1 ) u 0 表示保险公司的初始资金，i ，j 分别表示利率和膨胀率； ( 2 ) 独立同分布的随机变量序列y k = y k 0 ，i = l ，2 ) 表示每次所付的保险费。 ( 3 ) 独立同分布的随机变量序列x = x ；o ，i = 1 ，2 ) 表示发生理赔时所付的理赔 额。 m ( f ) ，( ，) ( 4 ) s ( t ) = y k 一x t + 硎( f ) ，则它表示在t 时刻盈余资本。 k = l k * l 为了保证公司的稳定经营，假定e s ( t ) 0 ，又e s ( t ) = ( 丑l 一如2 ) t ，其中i = ey l ， , u 2 = e x i 即五。- 如： 。，由此确定安全系数臼= 未怠一l 。 令t 表示破产唰圳t _ 艘n f t 若：u 为( 篓 定义破产概率为： 妙 ) = 尸( j f o ，u ( t ) q v ( o ) = “) = p ( t 0 不破产概率为伊= l y ，令j i l l = f o o