（应用数学专业论文）带有食饵避难的lesliegower捕食者—食饵扩散系统的定性分析.pdf

摘要 本文主要是研究带有食饵避难的l e s l i e - g o w e r 捕食者一食饵扩散系统，并对其 进行定性分析 全文共分五章，第一章简述了问题产生的背景接下来我们在第二章研究系统 ( 1 4 ) 的非负常稳态的弥散性、持久性及稳定性，本章得出所讨论系统在当参数满足 a 2 b l a l r 2 ( 1 一m ) 2 成立时具有持久性；通过构造适当的l y a p u n o v 函数得到该系统的 两个非负常稳态在一定参数范围内均为全局渐进稳定的第三章主要通过对正稳态 的上、下界的确立做了一个先验估计第四章，在特殊参数范围内，得到了非常值 正稳态的不存在性第五章是对有无避难进行一个比较，通过比较发现：食饵的避 难保护只对吸引域的大小有影响，但并不能影响系统的稳定性 关键词：l e s l i e g o w e r ；l y a p u n o v 函数；扩散；食饵避难 a b s t r a c t t h i sp a p e ri st os t u d yq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n st ot h el e s l i e g o w e r p r e d a t o r - p r e yd i f f u s i o ns y s t e m w i t ht h e p r e yr e f u g e t h ef u l lt e x ti sd i v i d e di n t o f i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ro u t l i n e st h e b a c k g r o u n d i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ef i r s ts t u d yt h ed i s s i p a t i o n ，p e r s i s t e n c ea n d s t a b i l i t yo fn o n n e g a t i v ec o n s t a n ts t e a d ys t a t e so fs y s t e m ( 1 4 ) ，i ft h ea s s u m p t i o n a 2 b l a i r 2 ( 1 一m ) 2h o l d s ，t h es y s t e mi sp e r s i s t e n t ；t h e n ，b yc o n s t r u c t i n ga s u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n ，w es h o wt h a tt w on o n n e g a t i v ec o n s t a n ts t e a d ys t a t e s o ft h es y s t e ma leg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ef o rc e r t a i nr a n g e so ft h ep a r a m - e t e r s c h a p t e rh i ，ap r i o r iu p p e ra n dl o w e rb o u n d sf o rp o s i t i v es t e a d ys t a t e so f t h es y s t e ma r ee s t a b l i s h e d c h a p t e ri v , t h en o n e x i s t e n c eo fn o n c o n s t a n tp o s i t i v e s t e a d ys t a t e so ft h es y s t e mf o rc e r t a i nr a n g e so ft h ep a r a m e t e r s c h a p t e rvb y c o m p a r i n gt h er e s u l t sb e t w e e nt h es y s t e mw i t ht h ep r e yr e f u g ea n dn or e f u g e ，w e s h o wt h a tt h ep r e yr e f u g ec o u l di n f l u e n c et h es i z eo f t h ea t t r a c t i o nd o m a i n ，b u ti t h a sn oi n f l u e n c eo nt h es t a b i l i t yo f t h es y s t e m k e y w o r d s ：l e s l i e - g o w e r ；l y a p u n o vf u n c t i o n ；d i f f u s i o n ；p r e yr e f u g e 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明本声明的法律结果由本人 承担 学位论文作者签名，晕趣 i ii l i ： 冱2 f ：! ! ? 。 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：墅指导教师签名。之歪； 日 期：坐! i ：! ；0 1 日 期：礁哇。皇篓：o f 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 第一章引言 在生物数学中，非常令人感兴趣的是生物系统的一致稳定性和全局稳定性而 在众多生物系统中，捕食者一一食饵系统又是很典型的一类l e s l i e 在当捕食者的 环境容纳量同食饵的数量成一定比例的前提下，在【1 ，2 】中引入了如下著名的捕食 者一一食饵模型： 面d h = h ( r l - b - 邡一g h ) p , 面d p = p ( 吃一砚刍) 这里h 是在时刻t 时食饵的种群密度，而p 是时刻t 时的捕食者的种群密度，且妒 是捕食者对食饵的功能反应，r l 是食饵的l o g i s t i c 增长率，鲁是食饵的环境容纳量， 捕食者是按照功能反应“来对食饵进行捕食的，r 2 是捕食者的l o g i s t i c 增长率， 其环境容纳量是警，参数口2 是食饵对捕食者的转化率 在生物数学领域，我们定义似奶： 当妒( 忉= a l h 时，称功能反应以哪为h o l l i n g i 型； 当妒= 筹时，称功能反应妒为h o l l i n g i i 型； 当妒= 菇时，称功能反应妒为h o l l i n g l i i 型 本篇论文考虑的是h o u i n g i 型，l i p , 百d h = h ( r - 一口户一b l 卿，面d p = 户( 您一口2 刍) ( 1 1 ) 显然，上面的系统可得到唯一一个共存的不动点： ：旦竺，p ：土竺( 1 2 ) a l r 2 + a 2 b la l r 2 + a 2 b l 通过应用线形分析，我们能很容易地知道不动点是稳定的尽管 3 ，p 9 1 】利用数值 分析表明该不动点是全局稳定的，但直到最近，a k o r o b e i n i k o v 5 】才对该结果给出 一个严格的证明对捕食者一一食饵系统来说，更多的成果可以参看【4 ，7 ，1 2 - 1 5 】及 其内部引用的相关文献 正如t a p a nk u m a rk a r 在 5 】中所指出的那样，有一部分捕食者食饵间关系经常 会表现出空间避难性这种情况使得食饵种群在某种程度上可以得到保护以避免被 1 东北师范大学硕士学位论文 捕食，从而减少由于被捕食所带来的灭绝的可能性在【5 】中，t a p a nk u m a rk a r 还 考虑了带有避难的h o l l i n g l l 型功能性反应的捕食者一一食饵系统，并得到了该系统 的平衡点的存在与稳定条件以及持续生存的准则他还确切的证明了当平衡点不稳 定时，会产生一个稳定的极限环关于这部分的更多的结果，可参阅【6 “】及其内 部引用的相关文献 受【4 - il 】的启发，【1 6 】拓展了( 1 1 ) 并加入了食饵的避难保护项m h ，这里m 【0 ，1 ) 是一个常量因而对于捕食者来说，此时可食用的食饵量即为剩下的( 1 m ) h 修改 系统( 1 。1 ) 得到如下系统： 面d h = o t b h ) h - a l ( 1 一m ) h p , 面d p = ( r 2 一口2 示) p ( 1 3 ) 现在，如果捕食者和食饵被限制在彤中的一个固定的带有光滑边界的有界区 域q 时，而且他们的密度是空间非齐次的，由( 1 3 ) ，我们可以考虑如下反应扩散系 统： 日一巩a h = ( r l b l l - 1 ) h a l ( 1 一m ) h p , p t d 2 a j ： = ( r 2 一口2 南) 只 o 却h = 筹= 0 ， h ( x ，0 ) = 厶f o ( 力0 ，尸( 工，o ) = 凡( 曲0 ， z q 。t 0 艇曼，伶o ( 1 4 ) x a q t 0 。 工q 在上式中，y 是边界0 2 的外法向单位向量，而且我们考虑的是齐次的n e u m a n n 边 界条件，常量盔，吨是扩散系数，且均是正的，初始值凰，凡是连续函数我们需要 指出( 1 4 ) 有一个唯一的非负全局解( h ，p ) 此外，如果4 0 拿0 ，r 事0 ，那么该全局解 必是正的，也就是说，在q 中，对v r 0 ，有域x ，t ) 0 ，讹，) 0 在最近的二十多年里，对于像( 1 4 ) 这样的反应扩散方程的研究日益受到重视 这是因为反应扩散方程涉及的大量问题来自物理学、化学和生物学中的众多的数学 模型，因而有很强的实际背景而另一方面，在反应扩散方程的研究中，对数学也提 出了更多挑战性的问题，因此随着现代科学技术的发展在很大程度上要依赖于物理 学、化学和生物学的成就和发展的今天，对反应扩散方程的研究正引起越来越多的 数学家、物理学家、化学家、生物学家和工程师的注意它开始于t u r i n g ss e m i n a l 在 1 9 5 2 年的论文 1 7 1 ，扩散和交叉扩散在许多非平衡状态已被作为在有序结构中自发 出现的情况的原因在 1 8 2 l 】中研究了g i e r e r - m e i n h a r d t 模型，【2 2 ，2 3 】中是s e l k o v 模 型，【2 4 1 是b r u s s e l a t o r 模型， 2 5 ，2 6 是c h e m o t a c t i c 扩散模型，【2 7 2 9 】是l o t k a - v o l t e r r a 2 东北师范大学硕士学位论文 竞争模型此外，对于l o t k a - v o l t e r r a 捕食者一一食饵模型来说，其更多结果可参阅 【3 0 3 7 】及其内部文献受扩散影响的不稳定性也叫t u r i n g 不稳定，它已经被在 3 8 ， 3 9 】中给出了经验性的证明 本文的主要目的是去研究系统( 1 4 ) 的非负常稳态的弥散性、持久性、稳定性以 及有无避难对结果所产生的影响本论文的主要结构安排如下：在第二部分，我们 首先研究系统( 1 4 ) 的非负常稳态的弥散性、持久性及稳定性第三部分，通过对正 稳态的上、下界的确立做了一个先验估计第四部分，在特殊参数范围内，非常值 正稳态的不存在性第五部分是对有无避难进行一个比较最后，做一个简要的总 结 3 东北师范大学硕士学位论文 第二章无穷远时刻的( 1 4 ) 的解的性态 2 1 弥散性 定理2 i 对( 1 4 ) 的任意一个解( h ，p ) ，有 l i 卜件r a s 。u p m a x h ( ，0 百r l ，l i m 佃s u p m a x p ( ，幄口2 r l 。r 2 l ( 1 一所) ( 2 1 ) 因此，对垤 0 ，【o ，暑+ 甸 o ，嚣( 1 一肌) + 甸是( 1 4 ) 在辟中的一个全局吸引子 证明由于h 满足 珥一讲a l l h ( r l b i l l ) ， z q ， 0 o h 却= 0 ， 工施，t 0 h ( x ，o ) = h o ( x ) 0 ，x q 那么，令烈) ，= 议r l b l 妒) ，解得 一印i t 2 f 器 那么， 熙= 苦 而h ( x ，0 以，) ，由比较原理可得( 2 1 ) 第一个不等式 又v e 0 ，3 t 0 ，使得讹力 + 岛y x 五，t l 从而有p 满足下式 b 一吨廿= 0 一砚南) p 令 “f ) = 一砚南) p一砚矿丽硪雨j ， 一7 纷) ( n + b l e ) r 2 一a 2 b i p ( 1 一m ) ( r l + 6 l 功 ( 1 一m ) ( r l + b l ：) r 2 一a 2 b l t o r 焉而再百；厂u 仁一f 糯) u 4 p 卜0 东北师范大学硕士学位论文 解得 那么， 而p ( x , 0 t o ( t ) ，从而 再由s 的任意性，有： 从而定理证毕 。一生产监护。 甜( d = 1 等矿 l i m + 。o 。( t ) = 口2 r - - 军2 。, l ( 1 一所) ( r l + 6 l s ) l i h m 佃s u pm a x p ( ，0 - 云b t ( 1 一所) ( ，l + 6 l 甸r _ + l i ，m + s 。u p m a x p ( ，d f i 一脚) ，+ l ，i 2 2 持久性 定理2 2 当a 2 b l a l r 2 ( 1 一m ) 2 成立时，系统( 1 4 ) 有持久性 证明假设t t o ( x ) 0 ，拿0 ，p o ( x ) 0 ，善0 由( 1 4 ) 的第一个等式：局一西脯= ( r l b l n ) h a i ( 1 一m ) h p , x q ，t 0 ，及 ( 2 1 ) 的第二个不等式：l i r a s u p h 佃m a x p ( ，力嚣( 1 一所) ， 我们有 h , - d l a n _ 叫，1 - b l h - 拼( 1 - m ) 2 】，工q ，f 0 筹= 0 ， x 讹，t 0 h ( x ，0 ) = h o 0 ，事0 ，x q 由于 a i r 2 ( 1 _ ：- m 一) 2 l ， a 2 0 l 故由比较定理得 1 醋幽肌小若( 卜嚣( 1 - 彬) 因此，对v s ，0 0 ， 5 工q ，t2t z a q t 0 x q 东北师范大学硕士学位论文 令u ( f ) 是下常微分方程的一个解 以= ( r 2 一a _ i i 一而) ，t t o a ( x ，d = m i 赈以，乃 0 此时有 l i m 以f ) ：r 2 ( 1 - m ) r 由比较定理有p ( x ，0 o a ( t ) ，从而有 l i mi n f r a i n p ( ，o r 2 ( 1 - m ) 叩 0 t - - + o o g 2 2 3 稳定性 我们接下来讨论( 1 4 ) 的两个常稳态( 哥，0 ) ，和饵，歹) ，其中厅= 而而r 。l a ) 2 丽而， 芦= 丽r ( 1 i r 一2 m 0 ) 2 - m + 而) 显然，晴，芦) 满足等式： r l = 6 l h + 口l ( 1 _ 二m ) p ，2 = 口2 南 ( 2 2 ) 定理2 3 如果m 一1 ，那么在h 0 垂0 时，在q 上，一致地有l i m ( 娥，d ，以，d ) = ( 鲁。o ) ， 因此( 鲁，o ) 在砖上是全局渐近稳定的 证明由定理2 1 的证明可知，当m 1 ，t - 时，p 在q 上一致趋于0 若m - 1 时，必有a 2 b l a l r 2 ( 1 一掰) 2 成立，则由定理2 2 的证明可知sv s ，0 8 1 ， l0 0 ， x q u ，m + m 。fm i nh ( ，f ) 竺l 半 由s 的任意性，有 l i r ai 。n fm i nh ( 。小鲁，+ ，1 又由( 2 1 ) 的第一个不等式：l i r a s u p t - + o a m a x 坝，ds 鲁，故，当，- 时，在五上一致 地有 嘶，d 一畚 东北师范大学硕士学位论文 注此时的生物学意义十分明显，当m 1 时，说明食饵几乎全部处于避难的 状态，此时捕食者由于捕不到食物，其密度自然趋于0 下面我们分析饵，芦) 的稳定性 令0 = t o l 1 2 o ，0 0 ，t r a i = 一( 讲+ d 2 ) 弘i + 0 6 0 那么 ( i ) 对i = 0 ，如果 一d 2 4 一卿，即有尺嗡= 譬 4 0 3 , ：l 0 0 3 ，那么 r簖：0-6+逝(5雩-0)2受-4(di-06)0r啄：0-6逝-x(5雩-o)2雯-403!-05) 0 ，t r a i 0 ，从而有 尺町= ( t r a i 一 ( t r a i ) 2 - 4 d e l 4 i ) r 唏= ；t r a f + 1 ( t r a i ) 2 - 4 d e t a i ) l t r a i ；卜( 巩+ d 2 ) m + p 一纠 0 ， =蔗2detai焉i鬻一蚕tr a i 一t t r a i ) 2 4 d e t i 酗t 其中荟是不依赖于i 的正常量 以上讨论表明，存在一个不依赖于i 的正常量易使得尺簖 以氟两；l + a l h ( 1 - m ) 2 o ， y h , 尸 o q 2 沿着系统( 1 4 ) 的解对( 2 3 ) 进行微分，并利用等式( 2 2 ) ，从而我们有 石d v = 上亩( 1 i h 一) ( r l - b i l l - a , ”日+ d , m a r l d x + f f l a l n ( 1 - m ) 2 q 一孙一砚南卜叫出 = j ：刍( - 一舅) h 旧一面+ p t 一6 t 月一州l 一所瑚卅出 + j ：na l h ( 1 - m ) 2 ，c 一；，【吨c p 一两+ ( 尹 ，2 一口2 ( 1 - m ) h = 一面上嗡掣出一掣上哞乒出 ) 尸】出 + 上去( h 一面 6 t 厅+ 口l ( i m 庐一6 一州l 一册) p h d x + 唑孚f n1 舻马( 砚南p 一眈南 8 ) 脓 东北师范大学硕士学位论文 = 一函上学出一型学上盟；掣出 + 上刍( 一面【一6 - 假一面一口t ( 1 一m ) ( p 一别出 + 嘎上妒卅= 警a 2 h p 等- a 2 h p 纵_ ：一讲，二 1 1 - 6 lr j f l a l 坝1 十一 唆乒出一半上等掣出 面2 出一口- ( 1 一所) 上去暇一面( 尸一两出 上；俨一两型曼气芒三笋出 = 一讲上学出一型学上学出 一6 t 上刍( h 一面2 出一口i ( 1 一所) fl i 旧一面( 尸一两出 + 口t ( i - m ) 上刍( p 一两( 伊一d + 塑豸辈) 出 = 一讲j ! ：学出一型学上学出 一6 上刍饵一面2 出一口t ( 1 一m ) f ql i 俾一面( p 一两出 一口i ( 1 一所) 上i ( p 一两2 出+ 口1 ( 1 一肌, ll i 旧一历妒一昂出 一上攀- 掣出一j n a l d 2 ( 1 一所1 2 厅 上哞掣出 一6 ，上刍旧一蜀2 出一口l ( ，一哟正刍( 尸一两2 出 显然，除去正平衡点( 豆歹) ( 因为此时虿d v = 0 ) ，对v l - l , p 0 ，万d v 均严格小于0 因此，v ( h ，p ) 满足l y a p u n o v 渐近稳定性定理，从而系统( 1 4 ) 的正平衡点 芦) 是 全局渐近稳定的 9 2 旧 神 ，一日 一 东北师范大学硕士学位论文 第三章( 1 4 ) 的正稳态的先验估计 本部分的主要目的是对( 1 4 ) 的正稳态的上、下界给出一个先验估计( 1 4 ) 的 对应稳态问题是如下的椭圆系统： - d 1 a h = ( r l b l h ) h 一口l ( 1 一m ) h p , - d 2 a p = ( r 2 一口2 而p 丽) 只 筹= 筹= 0 ， z q x q ，( 3 1 ) z a q 我们首先引用两个已知的结果： 命题1h a m a c k 不等式( 见【1 3 】) 令u c 2 ( q ) nc 1 ( q ) 是“曲+ c ( x ) 0 4 x ) = 0 ， 在上满足齐次n e u m a n n 边界条件的一个正的古典解，此处c ( 力c ( q ) ，那么，存在 一个正常量c = c 。，q ，0c ) ，使得 m a x sc 。r f l l n u q n 命题2 最大值原理( 见 1 6 】) 令g c ( q r 1 ) ，幻c ( q ) ，= l ，2 ，。 ( i ) 如果c 2 ( q ) n c l ) ，满足 a 0 4 x ) + 羔lb j ( x ) o , ( x j ) + 反墨) 0 ， 石q 筹0 ， x 讹 且o , ( x o ) = i n a x 五t o ，那么瓶，0 4 x o ) ) 0 ( i i ) 如果c 2 ( c 0 c t c l ( q ) ，满足 u ( 曲+ 羔lb j ( x ) ( x j ) + 甙z ，u ( 曲) 0 ， 工q 筹0 ， 工a q 且以加) = m i 蚯，那么g ( x o ，叫) ) 0 为了简便起见，我们接下来都用a = 人( a l ，a 2 ，b t ，g l ，r 2 ，m ) 定理3 1 ( 上界) 对( 3 1 ) 的任何正古典解( h ，p ) 有 m a x h 鲁，i 哦p 竺( 1 一研) ( 3 2 ) q移l q a 2 移l 证明本定理的结果可由定理2 1 及命题2 ( i ) 直接估计出来 定理3 2 ( 下界) 令d 是个给定的正常量，那么存在一个正常量= 缈，q ，吐a ) ， 使得当西，吨吼o o ) 时，( 3 1 ) 的每一个古典解( h ，p ) 满足 m i r t h ， m j n p n q l o ( 3 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 证明令h f y 0 = m i n 5 h , 那么由命题2 ( i i ) ，我们有 【，1 6 l h 1 ) 一口l ( 1 一m ) p o q ) 】何1 ) 0 从而 的1 ) 玄【”b l h ( y 1 ) 一a t ( 1 一m ) p o q ) = 苦一署( 1 一m ) p ( y - ) 即 h o , i ) + 署( 1 一m ) p o 1 ) 暑 ( 3 4 ) 令c i = 有1 【p l b i l l ) - a l ( 1 - m ) p ，c 2 ( x ) = 哼1 h 一渤用由( 3 2 ) 知，存在一 个正常量e = e 0 ，q ，吐a ) ，使得当西，吨d 时，有c l ，hc 2l i f o _ 0 ，而( h i ，马) 一o ) i 一，再由( 3 7 ) 的第一个积分 式，则有t 丘娥哥一忉出= 0 ，又由0 0 ，i 一又由只 0 ，故f n p ij r 2 一尚b 】出 0 而 由( 3 7 ) 的第二个积分式，得出矛盾，故命题证毕 东北师范大学硕士学位论文 第四章( 1 4 ) 的非常值正稳态的不存在性 定理4 1 令1 1 是带有齐次n e u m a n n 边界条件的q 上的算子一的最小的正的特 征值，并假设l d 2 r 2 ，那么存在一个正常量d = d ( n ，q ，人) ，当函d 时，使得( 3 1 ) 无 非常值正古典解 证明假设( h 尸) 是( 3 1 ) 的一个正古典解，由( 3 2 ) 可知，存在一个正常量c c = c ( a 2 ，b l ，r l ，r 2 ，m ) ，使得以x ) ，1 4 ( 力c ，为了简便，我们记 肥p ) = h ( r l b i h ) - - a l ( 1 一m ) h p , , o ( 1 - 1 , d = 而a 2 p z 对于即z 1 ( q ) ，令万= 由厶溅对关于h 的微分方程乘以h 只并且在q 上分部 积分，我们有 d l fi v 饵一面1 2 d x j n d l 啜一面a ( i - i 一面 o t 胭。唧一酗x j n 3 p ，玢一确，硝一鼬x 上一6 旧+ 而】饵一面一口l ( 1 一m ) ( h p 一厕 旧一驰 上一6 l + 面】饵一于) 2 _ a l ( 1 一m ) ( h e 一撕+ h p 一一h p ) ( h 一面) 出 上 l i 一6 - 饵+ 而】饵一_ 7 ) 2 一口l ( 1 一m ) h ( h 一面俨一历一州l m ) p ( h 一郦) 出 上 r l 旧一面2 + 口l ( 1 一m ) h i h 一厕p 一两) 出 上 ，1 旧一面2 + c 口l ( 1 一m ) l h 一面l 尸一两 出 上 ( ，- + c - ) 一面2 + 胛一历2 出 此处s 是由y o u n g 不等式中出现的一个任意小的正常量类似地，我们有 吨厂i v ( 尸一两1 2 出 ：一吨j = 妒一两( p 一两 ： 【r 2 尹一反鼠p ) 】俨一两出 1 2 = = = = = = 一 r 2 + 2 9 ，从而由上不等式有 即有 又 p l dr 旧一面2 出 r l + c l ( s ) + c 乏( s ) 即表明：如果西 d 全击( ，1 + c l + c 2 p ) ) ，那么有日三h - - 常量，进而有 尸三p 三常量显然，d 只依赖于b t , q 和a 东北师范大学硕士学位论文 第五章无避难时的结果 将捕食者和食饵限制在萨中的一个固定的带有光滑边界的有界区域q 上，且 假设它们的密度是空间非齐次的，由( 1 1 ) ，我们可以考虑如下反应扩散方程： 凰一西趔= ( r l a l p 一6 l 仞e x q ，t 0 e t d 2 a e = ( r 2 一口2 缶) 只 z q ， 0 f 51 、 筹= 筹= 0 ， x m ，t 0 、7 撇0 ) = h o ( 曲0 ，p ，o ) = p o ( 劝0 ， 工q 首先我们可以算出该系统的一个简单的非负常稳态：e l = ( 篑，o ) 5 1 弥散性 定理5 1 对于( 5 1 ) 的任意一个解( h ，p ) 来说，都有 l i m ms 。u pm a xh ( ，力瓦r l ，l i h m 佃s u p m a x p ( ，力石r l r 2 ( 5 2 ) 因此，对垤 0 ，【o ，+ 功 o ，嚣+ d 是( 5 1 ) 在尺；中的一个全局吸引子 证明由于h 满足 日一d l a h h ( r l b l 印，x eq ，t 0 筹= 0 ，x 施，t 0 圄0 ) = 凰0 ，x q 那么，令) ，- 砸l 一6 l 妒) ，解得 。f 茹 那么， h l i r a 佃f ( t ) = 石r l 而h ( x ，f ) 妒( 力，由比较原理可得( 5 1 ) 第一个不等式 又垤 0 ，3 t 0 ，使得h ( x ，力鲁+ 马y x 五，t z 从而有p 满足下式 只一吨舻= r 2 一眈昙) p 、j口一 一s 二垮 上 塑m塞 ，r 机一 。 东北师范大学硕士学位论文 令 解得 那么， 而雕，f ) 山( 力，从而 再由s 的任意性，有； 从而定理证毕 “力= ( r l _ + b l 再e ) r 瓦2 - _ a z b l w u = ( 您一焘) u 。一警护7 以力= 芒f 1 i m 山( f ) = 要( ，l + b 1 8 ) f - + + 您d l l i m s 。u p m a x p ( 邯云i + 6 l s ) f + “z ” l i m s 。u p m a x p ( 脏嚣f + + “2 c ，i 5 2 持久性 定理5 2 当a 2 b l a i r 2 成立时，系统( 5 1 ) 有持久性 证明假设凰0 ，0 ，p o 0 ，事0 由( 5 1 ) 的第一个等式t 塌一d l a 4 = ( r l a l p 一6 l 邱且x q ，t 0 ，及( 5 2 ) 的第 二个不等式：l i m s u p h 佃i n a ) 【只，0 盟a 2 b l ， 我们有 h , - d l m 4 _ n ( r l - - r l 石a i r 2 - b l 砷， 筹= 0 ， h ( x ，0 ) = 凰( 曲0 ，善0 ， 由于 故由比较定理得 口l 您，1 石引 x q t 0 x a q t 0 x q i mi 。n f m i n h ( 小苦( 卜等) 因此，对v 岛0 _ ( r 2 一口2 百p ) 只 筹= 0 ， 以五d 0 ， 令0 4 t ) 是下常微分方程的一个解 ( f ) = o 。( r 2 一a t 。o ) ， + f r “x ，d = m i 妪p ( ，d 0 此时有 f 1 i m t o ( t ) = r 眈2 _ g 叩 由比较原理有m ，f ) u ( d ，从而有 l i r a i n f m i n p ( ，幻塑 0 t + + ”q 5 3 稳定性 x q 。t t x a q 。t 0 工q 我们接下来讨论( 5 1 ) 的两个常稳态( 鲁，o ) ，和似；，曩) ，其中 研= = 丽r 鬲l a 2 石，片= p = 而鬲r i r 2 石 显然，巧) 满足等式t p ，1 2 6 i 研+ 口l 片， ，22 口2 蕾( 5 3 ) 定理5 3 如果a 2 b i r i r 2 ，那么在凰事0 时，在五上，一致地有 u r n ( h ( ，) ，p ( ，f ) ) = ( 鲁，o ) 因此( 鲁，o ) 在j r ；上是全局渐近稳定的 证明对于，l 口l 来说，就其生物学含义总有，l a l ，若不然，食饵最终会被捕 食者全部吃掉，从而导致捕食者最终的灭绝从而，由条件有a 2 b ! r l r 2 a i r 2 ，故 由定理5 1 的证明可知，l i r a s u p 一佃m a x p ( ，f ) 揣，当t _ o o 时，有p 在q 上一致趋 于0 又a 2 b l a i r 2 ，由定理5 2 的证明可知：垤，0 e 1 ，3 t , 0 0 ， 工q 1 6 东北师范大学硕士学位论文 从而 l i ，m + i 。n f m i nh ( ，力竺l 半 由s 的任意性，有 l i 。m i n f m i n 坝，) 又由( 5 2 ) 的第一个不等式：l i m s u p t _ , 佃m a x h ( ，o 井，故，当t - o o 时，在q 上一致 地有 乩。一苦 下面我们分析，片) 的稳定性 定理5 4 系统( 5 1 ) 的正常解皑i ，墨) 是全局渐近稳定的 证明我们首先构造一个l y a p u n o v 函数： 嘲d = j ! ：( - n 每+ 等) 出+ 警正( m 每+ 善) 出 4 ， 显然，对于任意的h , p 0 ，峭p ) 是连续的经过简单的计算，我们有 笔= 上万1c 一等，妣历o v = 警上1c 一善) 出 ( 5 5 ) ( 5 4 ) 表明正的平衡点暇，巧) 是v ( h ，p ) 在正的象限内的唯一的极值点我们能很容 易的证出 ； 聃l i m o 矿( e 尸) 。般h 鼠尸) 2 业恐y p ) 2 业删jp ) = + ( 5 6 ) 由( 5 5 ) 和( 5 6 ) 可知，该正平衡点饵：，一) 是全局极小值，也就是 吣d 矿( 肼i ，片) ；l + 咝 0 ， p0vh, 吣d 矿( 肼，矸) = l + 詈 ， p 沿着系统( 5 1 ) 的解对( 5 4 ) 进行微分，并利用等式( 5 3 ) ，从而我们有 面d v = 上万1 ( 1 一鲁) k n 一6 - 日一口- 州+ 函删出 + 上警c t 一争，【眈一砚刍炉+ 吨叫出 = 上万1 ( 1 一h h ；，x 。i d - 饵一研) + o - 一6 t 日一口- 尸) 卅出 + 上等c t 一善，陆妒一片，+ 仁一啦丢) 叫出 = 一而上等笋出一警上学出 + 仁去旧一研) ( 6 l 研+ 口l 曩一6 1 日一口l 尸) 脓 1 7 东北师范大学硕士学位论文 + a 砚l h _ _ j j ! ：击( p 一 一讲l v c h - h ：) + 上击 一研) 【一6 饵一研) 一口( p q ) 】出 + 警正妒即掣出 = 一函j ! ：等掣出一警上学出 一6 t 上击似一研) 2 出一口上去饵一研) 俨一片) 胁 + 警上妒曩，型号严出 = 一函上等笋出一警上学出 一6 - fl i 旧一娜) 2 出一口，fl i 俾一研) 俨一片) 】出 + 口tj ：刍c p p ：，i c 尸：一竹+ 学】出 = 一西上学出一警j ：学出 一6 - 上刍( 一研) 2 出一口- 上刍旧一研) ( p 一片) 】出 。 一口上去俨一p ：i ) 2 d x + 口上刍假一研) 伊一片) 出 = 一函上等掣出一警上华出 一6 上刍旧一研) 2 出一口- 上刍( p 一片) 2 出 显然，除去正平衡点 ：，q ) ( 因为此时万d v = 0 ) ，对v h , p 0 ，万d v 均严格小于0 因 此，v ( h ，p ) 满足l y a p u n o v 渐近稳定性定理，从而系统( 5 1 ) 的正平衡点c 坼，巧) 是全 局渐近稳定的 总结将定理5 1 与定理2 1 的结果进行比较可看出，食饵的避难保护并没有 影响系统的弥散性，它只对系统的吸引域大小产 - k 了影响对于无食饵避难保护的 系统来说，其吸引域要更大一些而由定理5 2 与定理2 2 的结果的比较，以及x 1 定 理5 3 与定理2 3 结果的比较可知，食饵的避难保护并没有影响系统的稳定性与持久 性，它只对捕食者与食饵的密度值产生了影响，此种影响已被很好的研究，其具体 结集详田它献r l6 1 出 铲一 一一 一万 脓竖 、il_，r c劫上 s | 研一 吨塑砚 巧一何竺 ，k、 kt 出 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 】l e s l i eph s o m ef u r t h e rn o t e so nt h eu s eo fm a t r i c e si np o p u l a t i o nm a t h e m a t - i t s j b i o m e t r i k a , 1 9 4 8 ，3 5 ：2 1 3 - 2 4 5 2 】l e s l i eph as t o c h a s t i cm o d e lf o rs t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so fc e r t a i nb i o l o g i c a ls y s - t e m sb yn u m e r i c a lm e t h o d s j b i o m e t r i k a , 19 5 8 ，4 5 ：16 - 31 【3 】p i e l o uec m a t h e m a t i c a le c o l o g y m j o h nw i l e ya n ds o n s n e wy o r k , 1 9 7 7 4 】k o r o b e i n i k o va al y a p u n o vf u n c t i o nf o rl e s l i e - g o w e rp r e d a t o r - p r e ym o d e l s j a p p l i e dm a t h e m a t i c sl e t t e r s ，2 0 0 1 ，1 4 ：6 9 7 6 9 9 5 】k u m a rk a rt - s t a b i l i t ya n a l y s i so fap r e y - p r e d a t o rm o d e li n c o r p o r a t i n gap r e y r e f u g e 叨c o m m u n i c a t i o n si nn o n l i n e a rs c i e n c ea n dn u m e r i cs i m u l a t i o n ，2 0 0 5 ，1 0 ： 6 8 1 - 6 9 1 【6 】s r i n i v a s updn ，g a y a t r iil i n f l u e n c eo fp r e yr e s e r v ec a p a c i t yo np r e d a t o r - p r e y d y n a m i c s j e c o l o g i c a lm o d e l l i n g ，2 0 0 5 ，181 ：191 2 0 2 【7 】a g u i r r ep ，g o n z6l e z - o l i v a r e se ，s6e ze t w ol i m i tc y c l e si nal e s l i e g o w e r p r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ha d d i t i v ea l l e ee f f e c t j n o n l i n e a ra n a l y s i s ：r e a lw o r l d a p p l i c a t i o n s ，2 0 0 9 ，1 0 ：1 4 0 1 - 1 4 1 6 【8 】 【9 】 k o 孵r y ukq u a l i t a t i v ea n a l y s i so fap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hh o l l i n gt y p ei i f u n c t i o n a lr e s p o n s e