（应用数学专业论文）两类反应扩散方程组解的定性分析.pdf

分类号q ! z 墨：至昼 u d c 墨! 密级公开 学号0 7 1 0 2 8 东南大学硕士学位论文 两类反应扩散方程组解的定性分析 研究生姓名： 导师姓名： 杜玲珑 王明新教授 学科专业名称应用数学 论文提交日期2 0 0 9 年月 日论文答辩日期2 0 0 9 年 月日 学位授予单位东南大学研究生院学位授予日期2 0 0 9 年月 e l 答辩委员会主席教授评阅人 2 0 0 9 年6 月 日 q u a l i t a t i v ea n a l y s i so fs o l u t i o n sf o r t w or e a c t i o n - di f f u si o ns y s t e m s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o s o u t h e a s tu n i v e r s i t y f o rt h ea c a d e m i cd e g r e eo fm a s t e ro fs c i e n c e b y d u l i n g l o n g s u p e r v i s e db y p r o f e s s o rw a n g m i n g x i n d e r a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s o u t h e a s tu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 9 研究生签名： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理 研究生签名： 导师签名：日期： 业1 两类反应扩散方程组解的定性分析 研究生；杜玲珑导师：王明新教授 东南大学数学系 摘要：本文研究两类来源于生态学中的反应扩散方程组：第一类反应扩散方程组是具 有非局部时滞的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型，第二类反应扩散方程组是添加非常数收获函数 的m i c h a e l i s - m e n t e n 型捕食模型我们首先运用比较原理和单调迭代技巧，证明了第一类反 应扩散方程组的三个非负平衡点在各自特定条件下的渐近稳定性；其次运用偏微分方程的 比较原理，最大值原理，先验估计结合度理论，研究了第二个方程组的解的大时间性态， 正平衡点的稳定性和非常数正平衡解的存在性 关键词：反应扩散方程组，非局部时滞，l o t k a - v o l t e r r a 模型，捕食模型，非常数收获 函数，稳定性，非常数正平衡解 m o d e l ，n o n c o n s t a n th a r v e s t i n gf u n c t i o n ，s t a b i l i t y , n o n c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d ys t a t e s u 1 3 3 非常数正平衡解的不存在性2 1 3 4 非常数正平衡解的全局存在性2 2 3 5 非常数正平衡解的稳定性2 5 参考文献 致谢 2 8 3 0 第一章前言 1 1 问题的背景 生物学、生态学中的很多现象都可以通过建立生态数学模型来研究，绝大部分模型又 可以归结为微分方程( 组) ，其中一类著名的模型就是二十世纪二十年代l o t k a 和v o l t e r r a 建 立的经典模型处理这类问题，人们总是从最简单的情形入手，即研究常微分方程模型 若物种被限制在一个有固定边界的区域之内( 如自然保护区域) ，并且假设物种在其内部可 以自由行走，通过边界无种群的迁入和迁出，这时对应的模型就是反应扩散方程组带有齐 次n e u m a n n 边界条件的定解问题研究带有齐次n e u m a n n 边界条件的反应扩散方程组的 初边值问题的非负常数解稳定性的工作始于上世纪的7 0 年代末、8 0 年代初，主要方法有 l y a p u n o v 函数，比较原理( 上、下解方法) ，先验估计结合能量方法反应扩散方程组的初 边值问题解的大时间性质与它的平衡解( 态) 问题有密切关系该平衡解问题就是对应的 椭圆型方程组的边值问题研究方程组的齐次n e u m a n n 边值问题的正解的存在性的主要 方法是上、下解方法，拓扑度理论详细论述上、下解方法可参见文献 3 l 】 l o t k a - v o l t e r r a 系列模型中有一类描述竞争机制的数学模型： 其中钆r 2 ，a 1 ，a 2 ，b 1 ，5 2 均为正常数，r 2 表示物种的固有增长率，a 1 ，a 2 表示物种内部的 竞争系数，b - ，b 2 表示物种之间的竞争系数对应的反应扩散方程组为： u l t d l a u x = r l u l ( 1 一a l u l b l u 2 ) ，z q ，t 0 ， u 2 t d 2 a u 2 = r 2 u 2 ( 1 一a 2 u 2 一b 2 u 1 ) ，z q ，t 0 ， 石o r l ：面o u 2 ：。， z 加，眦 ( 1 1 1 ) u l ( x ，0 ) = 1 0 ( z ) ，u 2 ( x ，0 ) = 札2 0 ( z ) ，z q ， 这里qcr 是具有光滑边界a q 的有界区域，是边界a q 上的单位外法向量齐次 n e u m a n n 边界条件暗含本系统是自治的，即边界上无种群迁入和迁出，正常数d l 和c f 2 被 称为扩散系数，初值( u l o ) ，牡2 0 ) ) 非负易证对于非负的初值( u 1 0 ( x ) ，乱2 0 ) ) ，问题( 1 1 1 ) 有惟一的非负解( u l ，u 2 ) 并且关于时间有界 在实际的生态系统中，一些生态效应要通过一段时间才能呈现出来( 如艾滋病发病与 潜伏期，全球气候变化与c 0 2 浓度升高的生态学效应) ，于是产生时滞的概念将时滞运用 到竞争l o t k a v o l t e r r a 竞争模型就得到了时滞竞争模型其系统的稳定性已被很多数学工 作者关注，如：文献【2 0 】，带有积分微分项的无穷时滞的l v 系统；文献【2 5 ，2 7 】，含有时滞 的常微系统考虑到物种个体的自然迁徙，b r i t t o n 在文献【4 ，5 】中引进时空时滞或非局 、j、j 2 1 让 钍 1 2 6 6 一 一 i 2 u u m 粥 一 一 1 1 ，-i、，- 1 2 u u 1 2 r r = = ，l ，2 u u ，iii，、ii-一 2 东南大学硕士学位论文 部时滞，时滞项为权重函数：全空间和过去所有时间的空间时间平均，并导出了下面的在 区域qcr 上带有非局部函数的反应扩散方程： 让t 一乱= t i + a u - ( 1 + q ) 上夕( x - y , t - s ) u ( ) 州s ) ( 1 1 2 ) 在上述方程中，自然选择进程和随机的空间迁徙比较突出( 1 1 2 ) 中的函数g 被认为是反 映随机行走和个体历史影响的权重函数从此以后，很多生物数学工作者开始考虑下面的 带有非局部时滞的反应扩散方程： 其中( g 宰札) ( z ，t ) 表示关于空间和时间的卷积 相应的带有非局部时滞的竞争系统即为 钆u。l。t一-如dla札u。l：=仡rluu。l。1一-an。lu锄l一-6b。l。(彘gl幸*札u2。，)，, 这里( 蚕l 木钍2 ) ( z ，t ) 和渤宰札1 ) ( z ，t ) 定义为 卜归仁g - ( x - - y , t - - s ( t _ s s ) d 加， 【( 咖1 ) ( 圳= 仁g 。( x - y , t - s 拟卜咖如s ) 州s ， 核函数k i 满足k i ( s ) = 瓦e 一 ，其中死，i = 1 ，2 ，为正常数对于i = 1 ，2 ，g i 是个体u 3 一t 于。 时刻在地点z 的分布的权重函数，个体的扩散系数为也，于是g 必须满足 百o g i ：d d 3 一i 瓦0 2 g 万i ，g d x , o 一) ：6 ( z ) ， 百2d 3 一丽，“j - d 例， 这里6 ( z ) 是一般的d i r a c 函数，所以g l ，g 2 都是热方程的基本解，即 g ( 叫) 2 赢e 4 d 3 - i t ，0 江l ，2 ， 具体细节可以参见文献【8 ，1 3 在一些渔业部门、林业部门甚至是野生动物保护部门，如何使得生态系统在保持生态 稳定的同时获得最大的经济效应和社会效益备受关注正确理解生态系统中的一些现象并 且能够预测未来种群变化对可持续发展至关重要，同时也是生物学、生态学、经济学这些 学科之间的交流重点，运用生态模型研究可以再生资源的的经济价值和生态环境价值，如 文献 1 ，2 ，3 ，1 1 ，3 0 下面是m i c h a e l i s - m e n t e n 型的捕食模型t f 1 一釜) 一而c u r ， 卜u ( 志刊) ， o 1 4 ， iu ( o ) ：奶 0 ，u ( o ) ：讹 0 ， 第一章前言 其中“( t ) 和u ( ) 分别表示t 时刻食物和猎物的种群密度，口，k ，c ，m ，和d 是正常数，口 表示猎物存在时食物的固有增长率，k 表示生态环境的最大承载量猎物的捕食函数为 m i c h a e l i s - m e n t e n 型： ( m + z ) ，z = u v ，其增长率为f x v ( m + z ) 常数d 为猎物的死亡 率对( 1 1 4 ) 中系数做变换：t a t ，t _ u g ，勘_ v g ，则有， f 拈u ( 1 _ ) _ 羔， 卜r u ( 志一忌) ， o 1 勋 iu ( o ) = u o 0 ， ( o ) = 如 0 ， 其中 b ：三，：! ，七：了d ，u o ：缸o k , v o ：k u 研究表明该系统展示出一些确定的种群灭亡以及多个吸引子的存在性等等 上面的模型若运用到渔业生产中，则可以解释”大鱼吃小鱼”现象事实上，若为了 捕捞”小鱼”而获得经济效益，可以对( 1 1 5 ) 中的第一个方程( 关于食物的方程) 右边的 反应项添加合适的捕捞函数如l e a r d 等人在文献 1 1 】中将( 1 1 5 ) 添加了一个非常数的收 获函数： ( 1 1 6 ) 收获函数鼍中的h 表示食物的最大收获值，c 表示食物达到半饱和时的收获函数值该 分式收获函数表明，可以收获的食物随着食物数量的增加而增加，但增加不是线性的，这 是为了避免过度捕捞给整个生态系统造成破坏问题( 1 2 4 ) 的解的性质与其非负平衡点有 关 它的所有非负平衡点有如下形式。 地：1 - c - v ( 了1 + c ) 2 一- 4 h ，t j 2 ：0 ； ( 1 1 7 ) 乱3 ：= 1 生簟芒生竺， 3 ：0 ；( 1 1 8 ) 蛳：识：生娑西，是某个给定的常数( 1 1 9 )蛳= 识= 了鸭妒是呆r 甜疋刚。吊烈 【1 1 9 j m 尼 由于分析第四个平衡点比较复杂，类似于文献【1 1 】的处理方式，仅仅考虑其中的一种 情况 c ：c k _ 毒f ，妒：1 一塑生叱 仁矿竽f 葡而妒引一彳叫 限制c ，事实上就限制了这个平衡点的渐近行为( u 4 ，v 4 ) 存在当且仅当k 1 ，c 2 h 0 ， 忱t d 2 u 2 = r 2 u 2 ( 1 一 2 2 u 2 一b 2 t 1 4 ) ，茹q ，t 0 ， u 3 t - - d 2 让327 1 沁一u 3 ) ， z q ，t o ( 1 删 u 4 t d l 珏4 = r 2 ( u l u 4 ) ， z q ，t 0 ， 尝：0 ，i ：1 ，2 ，3 ，4 ， z a q ，t 0 ， 讹( z ，0 ) = 讹o ( z ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ， z q 问题( 1 2 2 ) 有一个正平衡点d = ( 面l ，面2 ，面3 ，a 4 ) 当且仅当 ( i ) 口2 b l ，口l 5 2 或者 ( i i ) 口2 o 2 脚 祟：祟：， zono ，t 0 一，i2 百2 ， z ， ， d po p 札( z ，0 ) = 缸o ( z ) ，口( z ，0 ) = t j 0 ( z ) ， z q ， 其中qcr ，o n ，y ，d 1 ，d 2 ，( z ) ， o ( z ) ) 同前文章指出：尽管惟一的正平衡点对于常微 分系统是全局渐近稳定的，但是偏微分系统仍然存在非常数的正解，即有t u r i n g 模式的生 成 第二章问题( 1 2 2 ) 解的定性分析 2 1 正常数解的稳定性 定义2 1 1 对于任何非负的初值u t ( z ，0 ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，( z ，0 ) 0 ，若存在一个正常数 = e ( z ，o ) ) ，使得问题( 1 2 2 ) 的解( u l ，u 2 ，u 3 ，仳4 ) 满足 l i m i n f m j n u i ( ，t ) e ，t = 1 ，2 ，3 ，4 t 。 n 那么我们称问题( 1 2 2 ) 具有持久性质 定理2 1 1 若系数满足( 1 2 3 ) 中的条件( i ) ，则问题( 1 2 2 ) 的惟一正平衡点d 关于正 解是全局吸引的 在证明定理2 1 1 之前，先给出两个引理第一个引理是关于解的渐近性质的不等式， 第二个引理是关于解的持久性的结论 引理2 1 1 假设当s 0 时，( s ) 为正的c 1 函数，常数d 0 ，卢0 又假设当 t 【0 ，o o ) 时，伽c 2 , 1 ( qx ( t ，o o ) ) 1 3 c l , o ( f ixi t ，o o ) ) 是正函数 ( i ) 若w 满足 i 伽一d a w ( ) w 1 + p ，( ) ( 口一伽) ，( z ，t ) q ( t ，o o ) ， i 瓦0 w = o ， ( 州) a q 【t ，毗 其中常数q 0 ，那么 l i r a h s 。u p m n _ a x w ( ，t ) a ( 唑掣嚅n 伽( ，。) n ) t _ l2 一i l f 妣一d 叫冬叫1 + p ，( 加) ( a 一伽) ，( z ，t ) q ( l 。o ) ， 1 万0 w = o ， ( 州) a q i t , 毗 l i r a s u p m a x w ( ，t ) 0 t - - - , o on 这个引理可用比较原理结合常微分方程的结果证明，这里略去 笙三主间壑( ! ：! ：型堡堕塞丝坌堑 7 ，_一一 引理2 1 2 若系数满足( 1 2 3 ) 中的条件( i ) ，那么问题( 1 2 2 ) 具有持久性质，并且对 于问题( 1 2 2 ) 的任意正解( u 1 ， , 2 ，u 3 ，u 4 ) ，下面估计成立； 等5liminfmninm(扪limsupmnaxa2 铆 ，亡) 者， 0 1 _ 。o nt q nu l 等l i r a i n f m 而i n 抛) l i m s u p m n a x 抛忙 t k 丢 0 1 0 ： 。n。0 n 口1 2 ( 2 1 1 ) 生鱼l i r ai n f 哮u 3 ( z ，t 1 0 ，存在矸 0 ，使得 锄( z ，t ) 1 a 2 + e ， vz 而，t 矸 由问题( 1 2 2 ) 的第三个方程有 n ( 1 n 2 + e u 3 ) ，z q ，t 矸， z ea q ，t 矸， 0 z q 根据引理2 1 1l i r a s u p m a x u 3 ( z ，) 1 a 2 + e 由e 0 的任意陛，l i r a s u p ￥擎缸3 ( z ，t ) 1 a 2 t - - * o o n 。o 。 i 同样l i r a s 。u p m n _ a x u 4 ( z ，t ) 1 口l 对于任意给定的 0 ，存在一个霉 0 ，使得u 3sl a 24 - 由问题( 1 2 2 ) 第一方程知 ft 1 t d l u l r l u l 【1 一n 1 缸1 一b l ( 1 a 2 + g ) 】，z q ，t 巧， 訾：0 ， z a q ，t 霉， l 删 i 牡l ( z ，t i ) 0 ， z q 再次应用引理2 1 1 ，l i 扣r a i n f 紫u l ( z ，t ) 1 1 - b 1 ( 1 。2 + ) 】n 1 由e o 的任意性，l i h r a o 。i n 妒u l ( x , t ) 型a 迦1 同理，l i t r a 一i n fm n j nt 1 2 ( 刊2 甓乎 o 0 哦 专 化 一 ， n 功 v i “ n 让 a 仉 卜 诽 划 川r 塑p 虮c s 面 毗 必 q 釉 础 乩 矧 3一， 一塑枷嘶 对于任意充分小的e 0 ，存在焉 0 ，使得 u 2 ( x ，t ) 由问题( 1 2 2 ) 的第三个方程知 利用引理2 1 1 和g 的任意性， 引理得证 1 6 2 n 1 1 6 2 a l e ，vt 巧 一一u 3 ) ， z q ，t 巧， z a q ，t 霹， z q 1 i r a i 。n fm n j n 仳3 ( 。，) 学垌理，l i r a 。i n fm n i 毗( 圳 定理2 1 1 的证明假设在晓上u i o 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 令 n 2 6 1 a l a 2，= 石1 ， 0 1 6 2 g l a 2 由( 2 1 1 ) 知，对于任意给定的充分小的 0 ，存在t 0 ，使得 ) 一e t 1 ，t ) ，u 4 ( x ，t ) s 锈1 ) + ， 毋一u 2 ( z ，) ，u z ( z ，t ) 卷+ e 1 a 2 关于t t 和z 彘一致成立利用问题( 1 2 2 ) 的第一个方程和估计式( 2 1 2 ) ，有 仳1 t d l a u l 7 1 u 1 1 - - g l u l 一6 1 ( 毋一e ) 】， z q ，t t ， t 1 t d 1 a u l f l u l 1 一o l l b l ( 毋+ e ) 】， z q ，t 正 _ 0 _ u l ：0 ， z a q ，t t ； u 1 ( z ，t ) 0 ， z q d 王， 对上面的每个问题应用引理2 1 1 ，有 同理， 1 一b l ( 1 ) + s ) a l 1 6 2 ( + ) 由的任意性， 壮掣 1 6 2 刑 a 2 h p i n f m _ l n u l ( x ，t ) o o n l i m s u p m _ a x u l ( x ，t ) t o 。q l i m i n f m j n u 2 ( x ，t ) l i m s u p m a x = 2 ( z ，t ) t _ o 。 nt _ “ l i m i n f m _ i n u l ( x ，t ) sl i m s u p m _ a x u l ( z ，t ) 一o on_ o 。n l i m i n f n 西n u 2 ( x ，t ) l i m s u p m _ a x u 2 ( z ，t ) t - - * c o nt _ 。on 1 一b l ( 篓一) a l 1 6 2 ( 旦i l ) 一5 ) 1 _ b 1 谚 ( 2 1 2 ) n i 仉 l ) 础 她 矧 r 丝一堕加嘶 2 2 轷 毋 0 1 们v 一 叽幻 一 l 第二章问题( 1 2 2 ) 解的定性分析 同于引理2 1 1 的让明，有 翌( 2 l i m i n f m 舞n 札4 ( z ，t ) 5l i r a 。s u p m l a z x u 4 ( z ，t ) 瘀2 ， 矽l i t m 一i n fm a i nu 3 ( z ，t ) 1 ，下面的估计成它： 旦乎_ l i 。m 一。i n fm n j n 牡l ( z ，t ) 0 使得 l t t ， 又u 2 ，仳3 非负，从而l i mu 2 ( z ，) = 1 i m u 3 ( x ，t ) = 0 再次应用引理2 1 1 知，拦黑u l ( x ，t ) = t _ c _ 一 1 i mu 4 ( x ，t ) = 1 a 1 证毕 t - - - o d 同理可以证明， 定理2 2 2 若a 2 6 l ，5 2 0 ，存 在噩 0 使得，u ( z ，t ) 豇+ e 对任何z 而和t 噩均成立于是当t 噩时， 满足 r ( 一七+ 羔) = r u ! ! - = 二j ； 学，z q ， z a q 0 z q 若七 o 。 于是有l h mz ( t ) = ( 1 一k ) ( f i + e ) ( m k ) 由比较原理，t ，( z ，t ) z ( t ) 从而有，l i m 。s u pm a x q 口( ，t ) 。( j ( 1 一七) ( 面+ s ) ( m 七) 若后1 ，有微分不等式仇一奶口一m r v 2 ( 1 + + m y ) 同于上面的讨论可得 l i m s u p m a x nt ，( ，t ) 0 于是( 3 1 1 ) 的第二个不等式成立证毕 o 仃 知 l p 砌 乩 ，-， z 旷塑劬咖 ，、l 1 2 东南大学硕士学位论文 蠹：l 冀 瞄剖警篓 由k 0 c _ o o n 证毕 定理3 1 3 假设d l = d 2 若存在一个正常数a 使得1 + 以一业( ，- , i - m 彘，则扇形域 冗= ( u ， ) i 让，口0 ，u 鲫) 是问题( 1 2 4 ) 的不变区域，即若初始值( 如 ) ，如 ) ) 冗 对所有的z 壳成立，则( t ( z ，) ，v ( x ，t ) ) 冗对所有的z 晓和t 0 均成立又若a 满足1 一石干b 丽一鲁0 或q ( 1 一七) 0 ，存在t 0 ，使得u ( z ，t ) 对所有z 而和t t 均成立于是秽满足 瞄“卜删一： l i ms u pm _ a x v ( ，t ) e ( 1 一k ) l ( m k ) t + o oi l 由 0 的任意性知当t _ 0 0 时，移_ 0 在q 上一致成立 情况2 ：1 6 ( a + m ) 一h c 0 ，a ( 1 一k ) 0 ，使得u ( z ，t ) e + 仃对所有z q 和t t o 均成立因 此，可满足 r口f，三生一后、：r百(1-k)(e+a)-inky，zq，tto， e + 盯+ m u + 盯+ m 口 z a q ，t t o ， z n 1 3 勘 一 舢 l 脸 砌 扎 ，一 2 旷塑劬啦 ，l-iljl_il-l【 u ( x ，t ) q 陋+ ( 1 一后) 0 + 仃) ( m 詹) 】：= 妒( e ) ， vz q ，t 噩 令e ：= 1 + q ( 1 一七) ( m 七) 2 1 由于v ( o ) = a a ( 1 一k ) ( m k ) p ，选择0 1 ，使得 妒( e ) 扣于是 u ( z ，t ) q 陋+ ( 1 一七) 忙+ 盯) ( m 七) 】 噩，使得 v ( x ，t ) + ( 1 一七) ( 盯( m 后) ， vz q ，t t 2 ， 乱( z ，t ) q g + q ( 1 一k ) a ( m k ) ( 2 盯， vz q ，t t 2 ， 这里取s ( ( 仃q ) k a ( 1 一七) ( m 七) 】归纳法可以证明，存在单调递增数列 死 ，_ ， 使得 u ( x ，) n 吼 vz q ，t2 死 因为( 0 ，1 + r k a b + + a 。r 彘，且赤+ 鲁21 与赤+ 彘 1 二者之一成立； 则( 0 ，0 ) 是渐近稳定的 注3 1 4 跟文献 2 2 】的结果相比较，添加非常数项的收获函数扩大了不变区域，但是 缩小了永久性区域 。鳃( u ( ，t ) ，u ( ，t ) ) = ( u 3 ，v 3 ) 在晓上一致成立， 即( 奶， 3 ) 在蛙中是全局渐近稳定的 证明从定理3 1 1 的证明过程可以看出，存在正函数，( t ) ，恕，( t ) = o ，使得m 蛳”( ，t ) ，( t ) 于是当t o 。， 一0 在晓上一致成立 若6 m + 九c 1 ，由定理3 1 2 的证明知l i 。r a 。i n fm i r t hu ( ，t ) 1 一b m h c 对任意给 定的0 1 ，存在0 o ， z 壳 经过简单计算有 u1 一牡一熹一圭、) 、m e + xc + t = 毫卜一+ ( ，一熹) 让+ c ( 1 一m i 篝x ) 一h i 对于0 1 ，记q z ( s ) 和q 2 ( s ) 是方程 一铲一饥+ ( 一熹) u + c ( 1 一熹) 一 的两个解，由h l 0 ) d ： r 卸 划 椰 塑钆心 j，_1-_l 东南大学硕士堂笪熊塞 l i r a i n f m j n u ( ，t ) u 3 t n u 一上、：坐掣竺堕，z q ，t 瓦 u 一c - b uj = i ；i _ 一 zt 上 z 锄，t e z q 1 i ms u pm a x u ( ，t ) u 3 ，o 。 i 所以当t _ o 。时，t - u 3 在a 上一致成立 若1 6 m h c = 0 ，由于v ( x ，t ) ，( t ) ，有 啦一d l a u 1 - - 万u 石- - i f m ) u 2 一石h i ut l + m c 十u 百1 - u - m f ( o u 2 一兰，z q ，t 0 ， 2 u - t - m f ( t ) ” c + u 7 嬖：o ， z a q ，t o ， d u ( z ，0 ) 0 ，0 ， z 壳 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 假设叫( t ) 是初值问题 m ，= 锗w 2 - - 兰，t t o o , l w ( t o ) = m i n 5 u ( ，t o ) 0 的惟一解，那么1 i m 伽( t ) = i f , 3 根据比较原理知( 3 1 4 ) 也成立证毕 下面考虑( t 4 ，v 4 ) 的稳定性总假设七 1 ，c + 2 h 矿 1 ，从而( u 4 ，? 2 4 ) 是问题 ( 1 2 4 ) 的惟一正平衡点 假设0 ；加 p l 肛2 p 3 0 ，占= r k ( 1 一七) 0 ，p a 一口6 0 ( 3 1 6 ) 对于每个i ，i ：0 ，1 ，2 ，x 是算子的不变子空间，并且f 是算子c 在x i 上的特征值 当且仅当f 是矩阵 a ：( 一西：+ 口一0 6 ) 3 2问题( 1 2 4 ) 正平衡解的先验估计 本节将给出问题( 1 2 4 ) 平衡饵的先验估计由于当1 时，问题( 1 2 4 ) 没有正的平 衡解( 见定理3 1 1 ) ，本节总假设七 1 ，与问题( 1 2 4 ) 相关的稳态问题是下面的椭圆型方程 组的边值问题： f _ d 1 u 刮叫一羔一兰，z 叽 一d 叠u = 抛踟 a va v r 口( 志- i - m y 一后) ，x 1 2 , 洚2 川 = 0 ， 不失一般性，取r = 1 首先陈述两个后面将要用到的结果 z a q 1 7 1 8 东南大学硕士学位论文 命题3 2 1 ( h a r n a c k 不等式) ( 1 2 】) 假设t t ，c 2 ( q ) nc 1 ( f i ) 是具有齐次n e u m a n n 边 界条件的方程伽( z ) + c ( z ) 加( z ) = 0 在q 中的古典解，其中c ( z ) c ( f i ) 则存在正常数 g = a ( n ，q ，i i c l l ) ，使得 瑚茅幻a 嚷n 伽qn 命题3 2 2 ( 最大值原理) ( 【1 5 】) 假设g c ( f i ) ，b c ( f i ) ，j = 1 ，2 ， ( i ) 若z 俨( n ) nc 1 ( f i ) 满足 舅i 醐 o 并且z ( x o ) = m i 乃则g ( x o ) s 0 本文中的古典解是指解属于c 2 ( n ) nc 1 ( 而) 为了简化记号，记a = ( b ，k ，m ，h ，c ) 定理3 2 1 对于问题( 3 2 7 ) 的任何古典解( ，秽) ，有下面的不等式成立： m n a x 乱( 邪u s ，m n a x 咖) 竽， ( 3 2 8 ) 其中常数由( 1 1 8 ) 定义 证明应用最大值原理容易知道，若问题( 3 2 7 ) 有正解，那么常数1 5 3 存在并且为正， 于是( 3 2 8 ) 成立证毕 定理3 2 2 对于任何整数z ，s - - l 题( 3 2 7 ) 正的古典解属于c 2 ( 而) c t ( f i ) ，并且对于任意 给定的正常数d ，存在正常数c = c ( n ，q ，d ，a ) ，使得当d l ，d 2 d 时，有 l l l c , , o ( 磊) + i i , l l c 口。( q ) sc ( 3 2 9 ) 对于某个0 a n ) 和嵌入定理知，勘c 1 ，口( 晓) 对某个0 q 一 z 9 + 新 z 吩 触 + zz 第三章问题( 1 2 4 ) 的定性分析 经辽i - i 算 v = m i v z i v ；u 矿+ u 2 v v ，l l v f li i 。( 1 + ) ( 1 l w l l + i i v o 。) ， v 丘= 丽h c v u ，i v f 2 1 华 应用椭圆型方程的s c h a u d e r 理论即得结论证毕 定理3 2 3 给定正常数d 和d 假设对于正常数d 1 和d 2 ，椭圆型方程组的边值问题 f d 1 a w = w 一而b w z ，z q ， 一d 2 z = 而w z 一名，z q ， ( 3 2 1 0 ) 【筹= 舅一o ， z 0 f l 无正解于是存在一个正常数g = g ( n ，f 2 ，d ，d ，a ) ，使得当( d l ，d 2 ) p ，) 【d ，d 】时， 问题( 3 2 7 1 的古典解f 移1 满足 m 。j nu ，r a 。i n v2g ( 3 2 1 1 ) nn 、 证明首先由定理3 1 1 知，若问题( 3 2 7 ) 有正解，那么知 0 在矗上成立 从而有 一七+ t ( t 正 + m 仇) 0 情况2t ，三0 ，u 0 由于优一0 在矗上成立，所以i _ o o 时，u ( u i + t i u i ) _ 1 在 矗上成立又 0 。 情况曼t 兰0 ，t ，兰0 记 仇 讹2 丽砥干丽聒忍2 丽丽丽。 那么( 砒，盈) 满足： 于是f 面的积分等式成立： f 正姚 1 - - u i - - 而b z i 一硼孤毒杀) 如= 。， ( 袁一后) d x o ，渊忍 2 1 6 因为d t 一如，i d ，同于定理3 2 2 的证明，我们有 0 伽ti i c 2 。a ( a ) + i i z d l 伊。a ( 两) c 对某个0 0 适当小同理有 d 2 f n l v ( u 刊1 2 d zs 上 ( 1 一七刊( t ，卅2 + 晔) ( u 叫2 m( 3 3 1 9 ) 将( 3 3 1 8 ) 和( 3 3 1 9 ) 相加，得 ( d l i v ( - , 一面) 1 2 + d 2 l v ( v 一移) 1 2 ) 出 1 + 2 c g ) 】( u 一面) 2 + ( 1 一七+ 2 e ) 一面) 2 d z 利用p o i n c a r d 不等式有 肛1 ( d i ( t 一面) 2 + d 2 ( v 一面) 2 ) 血 【1 + 2 c ) 】( t i 一缸