（应用数学专业论文）正交各向异性材料和压电材料反平面问题的边界配置解法.pdfVIP

宁夏大学硕士学位论文中文摘要 摘要 本文是在线性弹性理论下，对于有限大正交各向异性材料和压电材料反平面裂纹问题运用边 界配置法进行了数值求解，全文共分四部分 第一部分概述相关方面的研究现状以及本文的主要内容，第二部分讨论含孔边裂纹的正交各 向异性材料反平面问题，第三部分讨论含孔边裂纹的压电材料反平面问题第四部分讨论含界面中 心裂纹的压电材料反平面问题 本文针对每一章所研究问题提出相应的复应力函数，使其严格满足试件在内边界的边界条件， 仅外边界的条件需要满足运用边界配置方法在试件的外边界上配点，使各配置点满足在该点的 外边界条件，得到一系列线性方程组通常为了得到较好的结果，选取较多的配点，使线性方程组 的个数大于所设复应力函数中未知量的个数，用最小二乘法求解此线性方程组，所设复应力函数中 的未知数即可确定根据裂纹尖端应力强度因子的求解公式，得到了裂尖应力强度因子的数值结 果，并且对影响应力强度因子的一些因素进行了讨论结果表明，这种半解析半数值的方法简便，具 有广泛的应用性 关键词：正交各向异性材料，压电材料，反平面裂纹应力强度因子，边界配置法，界面裂纹 圭圣奎兰堡圭茎堡篁苎鍪兰塑矍 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h eb o u n d a r yc o l l o c a t i o nm e t h o di se m p l o y e dt oi n v e s t i g a t et h ea n t i - p l a n ec r a c kp r o b - 1 e m o f f i n i t e o r t h o t r o p i c m a t e r i a la n d p i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l o n t h e b a s i s o f l i n e a r e l a s t i c t h e o r y t l i i s p a p e r i sc o n s t i t o t e do f f o u rp a r t s ， t h ef i r s tp a r ts u m m a r i z e st h ei n v e s t i g a t i o ns i t u a t i o no fs o m ea s p e c t sr e l a t e dt ot h i st h e s i sa n dt h e m a i nc o n t e n td i s c u s s e di nt h i st h e s i s i nt h es e c o n dp a r t ，t h ea n t i p l a n ec r a c kp r o b l e mo fo n eo rt w o c r a c k sa t t h ee d g eo f ah o l e i na f i n i t eo r t h o t r o p i c p l a t e i sd i s c u s s e d i n t h e t h i r d p a r t ，t h ea n t i p l a n e c r a c k p r o b l e m o f o n e o r t w oc r a c k sa t t h ee d g e o f a h o l e i na f i n i t e p i e z o e l e c t r i c p l a t e i s d i s c u s s e d i n t h e f o u r t h p a r t ，t h ea n t i - p l a n ep r o b l e mo f a c e n t r a lc r a c kb e t w e e nt w of i n i t ep i e z o e l e c t r i cp l a t e si sd i s c u s s e d a c c o r d i n gt ot h ep r o b l e md i s c u s s e di ne v e r yp a r t s t r e s sf u n c t i o n sa f ep r o p o s e dw h i c hc o m p l e t e l y s a r i s f yt h ei n t e m a lb o u n d a r yc o n d i t i o n i ti so n l yn e c e s s a r yt oc o n s i d e rt h ec o n d i t i o no f ft h ee x t e m a l b o u n d a r y b yu s i n gt h eb o u n d a r yc o l l o c a t i o nm e t h o d ，s o m ec o l l o c a t i o np o i n t sa l ep r o p o s e dw h i c ha p - p r o x i m a t e l ys a r i s f yt h ee x t e r n a lb o u n d a r yc o n d i t i o na n dh n e a ra l g e b r ae q u a t i o n sa tc o l l o c a t i o np o i n t sc a n b eo b t a i n e d u s u a l l y , i no r d e rt oo b t a i nh i g h e rp r e c i s i o nr e s u l t s ，m o r ec o l l o c a t i o np o i n t sa 把c h o s e n s o t h a t t h e n u m b e r o f t h ee q u a r i o n s a r e m o r e t h a n t h a t o f t h e u n k n o w nc o e f f i c i e n t s t h e l e a s ts q u a r e s m e t h o d i su s e dt oo b t a i nt h es u l u t l o no fe q u a t i o ns ot h a tt h eu n k n o w nc o e f f i c i e n t sc a l lb eo b t a i n e d a c c o r d i n g t ot h ee x p r e s s i o no ft h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ra tt h ec r a c kt i p ，w ec a no b t a i nt h en u m e r i c a lr e s u l t so ft h e s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r i na d d i t i o n ，s o m ef a c t o r sa r ed i s c u s s e dw h i c hh a v er e l a t i o n sw i t ht h es t r e s si n t e n s i t y f a c t o r i t i ss h o w n t h a t t h e m e t h o d o f h a l f a n a l y t i c a la n d h a l f n u m e r a l i ss i m p l ea n d w i d e l ya p p l i c a b l e k e yw o r d s ：o r t h o t r o p t cm a t e r i a l ，p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，a n t i p l a n ec r a c k ，s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r , b o u n d a r yc o l l o c a t i o nm e t h o d ，i n t e r f a c ec r a c k i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：歪泓时间：挪净r 月矽曰 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 时 间：勿年j 月夕日 铷时间：诉r 咖 宁夏大学硕士学位论文第一章前言 1 1 边界配置法简介 第一章前言 断裂力学在现代材料强度理论中所占据的重要地位是众所周知的事实它在结构，机械，岩土， 抗震等工程领域已经得到越来越广泛的应用但是，只有极少数断裂力学问题存在解析解，这通常 仅限于一些简单和特殊的情况绝大多数工程实践中所遇到的断裂力学问题需要借助于数值分析 的方法才能得到解决由于裂纹尖端附近应力场存在奇异性，因此需要结合断裂力学的特点发展 更有效的数值方法 物理问题的数值解法，可分为区域型解法和边界型解法两大类1 1 1 目前。最通用的，有效的区域 型解法是有限元法和有限差分法；最通用的，有效的边界型解法是边界元法和边界配置法这些方 法虽然各不相同，但是都可以看作是加权残值法的特殊情况加权残值法是一种直接从微分方程 得到近似解的数学方法这种方法的特点是，先假设一个试函数作为微分方程的近似解在这个近 似解中已有确定的试函数项，也有确定的系数将试函数代入微分方程，一般并不精确满足，而出 现残值设法消除这种残值，可以确定待定系数，从而确定问题的近似解 区域型解法，特别是有限元，经过几十年的发展已在工程界确立了它的地位区域犁解法在输 入数据的准各上很费事，在整个区域内网格的划分也很麻烦然而，边界型解法最近得到了迅速发 展，已经受到工程界广泛的重视边界型解法与区域型解法相比，边界型解法需要处理的空间维数 减少了一维使得输入数据的准备上大为简化，网格的划分和重新调整更为方便，最后形成的代数 方程组的规模也小得多，因此能够缩短计算时间且不影响精度 边界配置法是选择严格满足微分方程的试函数，则仅需试函数满足外边界的边界条件即可通 常满足微分方程的试函数的形式是很多的常用的试函数有：三角级数，幂级数，样条函数，梁震动 函数，柱稳定函数，多项式试函数选取的好坏，对计算量和结果的精度影响很大要选择较好的试 函数，必须对解的特点有较多的了解，例如，微分方程通解与特解的形式，问题对称性，解的渐进性 与奇异性，边界条件的特点等要尽可能选择反映这些特点的比较接近真实解的试函数，以得到较 理想的结果 在试函数确定以后，取不同的权函数，可以得到边界配置法的不同类型的解法选取函数作为 权函数，也即在边界上选取的配点处满足该点的外边界条件这样在每个配点处得到待定系数所满 足的一个线性方程，把配点所得的线性方程联立，求得此线性代数方程组的待定系数，于是可以得 到问题的近似解为了解有唯一性，通常选取配点的个数大于试函数中未知数的个数，用最小二乘 法求解这种做法可以避免等额配点可能遇到的线性方程组线性相关以致不能求解的情况，另一 方面也能提高计算精度，得到满意的结果 另外边界配置法实际上是一种半解析的数值方法，它所包含的近似只是在表面，在各种边界 配置法具体实施时。针对问题的特点，采用精心选择的试函数和权函数能使计算精度大大超过其它 纯数值分析方法实际上，对于不存在解析解的断裂力学问题，由边界配置法得到的数值结果常被 当作衡量其它数值方法所得结果精确程度的”精确解”在采用边界配置法思想对裂纹尖端应力强 度因子进行求解中，文献【2 】最早将边界配置法应用于边裂纹试件的应力强度因子计算，他们采用 宁夏大学硕士学位论文 第一章前言 的应力函数是用极坐标表示的w i l l i a m s 级数文献【3 】首先用边界配置法计算了中心裂纹试件的应 力强度因子；文献 4 】，【5 】利用边界配置法计算了任意形状孔口双边裂纹问题和任意形状孔口单边 裂纹问题近些年来人们对此问题作了进一步研究，其中李星【6 l 应用平面弹性复变方法，将无限大 各向异性平面中的任意斜裂纹问题归结为求解一组解析函数边值问题，并通过适当的积分变换将 边值问题转化为奇异积分方程，最后得到了应力强度因子的表达式 1 2 各向异性材料及其研究现状简介 众所周知，各向同性体是指弹性体内任一点的弹性性质在任何方向都相同的弹性体，各向异性 体是相对备向同性体而言的各向异性体按照不同的分类方法可以分为不同的类型仰 按照异性体各点弹性性质的变化形式分为：均匀各向异性体和非均匀各向异性体，非均匀各向 异性体又分为连续非均匀体和非连续非均匀体；按照备向异性体具有等值弹性性质的方向可以分 为：直线型和曲线型本文考虑的是直线型的各向异性体 当各向异性体具有对称的内部结构时，它的弹性性质也呈现某种对称性，这时物体中存在对称 方向，相对该方向的弹性性质是相同的在工程中最重要的弹性对称有以下几种： 1 一个弹性对称面即物体内每一点存在一个弹性对称面，对于该平面对称的任一两个方向 上的弹性性质是相同的，此时刚度矩阵的系数减少为1 3 个 2 三个弹性对称面即物体内每一点都存在三个互相垂直的弹性对称面，称为正交各向异性 体。此时刚度矩阵的系数减少为9 个 3 一个各向同性面即物体内每一点都存在一个各向同性面，物体在该平面的任意方向上弹 性性质是相同的，称作横观各向同性，此时刚度矩阵的系数减少为4 个 各向异性复合材料由于其独特的性质。被广泛应用于各个工程领域，其较重要的应用包括： 1 ) 航天，航空工程中飞机发动机，机身，机翼，主起落架舱门的制造；2 ) 船舶工程中制造大量的复合材 料游艇和渔船；3 ) 建筑工程中大型体育馆，厂房，市场等屋顶；3 ) 化工和石油部门采用复合材料替代 金属以减少腐蚀延长寿命：4 ) 车辆制造工业中铁路客，货车中用于机车车身。座椅，卫生设备，卧铺 床板，汽车车身。引擎方向盘等；5 ) 电器设备中大型机电上的绝缘材料使用复合材料使厚度减薄，力 学性能变好，又容易维修，家用电器中的电扇，空调，洗衣机的壳体；6 ) 医学领域中用于制造假肢，关 节等人体器官，同时用于制造医疗设备如x 光底片暗箱和床板等 与所有其它学科的发展规律一样，各向异性体弹性力学的发展也是与当时的工业生产发展密 切联系和相适应的，它基本上是随3 0 年代航空工业的兴起，木质胶合板等新型材科在工程中日益 广泛地被采用而迅速发展的，并逐渐形成新兴学科五十年代苏联学者列赫尼茨基首先总结了前 苏联学者及其本人对弹性各向异性体的平面问题和板的横向弯曲方面的研究工作，而撰写了各 向异性板一书1 9 1 5 眸代g g r e e n 和z e m a 所著的 t h e o r e t i c a l e l a s t i c i t y 则集中反映了欧美学 者在这一领域的成就吲，六十年代由于高分子材料和纤维增强层压复合材料不仅具有极强的各向 异性性质，且在宏观和细观上都呈现非均匀性，因而更加有力地推动了这类非均匀各向异性材料的 弹性力学和结构力学的研究热潮 文献 1 0 1 ， i1 】利用儒克夫斯基变换研究了有限大正交异性板圆孔边裂纹和中心斜裂纹混合 模型问题；文献 1 2 】采用广义变分解法引入精确满足力学基本方程和裂纹面边界条件的复应力函 数级数，求解了正交各向异性板对称孔边裂纹应力强度因子；文献【1 3 】，【1 6 】利用边界配置法这种 一2 一 宁夏大学硕士学位论文 第一章前言 半解析半数值的方法研究了各向异性板平面以及反平面问题中的中心裂纹和边裂纹模型，结果表 明了这种方法的有效性；专著【1 7 1 中也对边界配置法作了一定篇幅的说明；文献【1 8 】利用复变函 数方法研究了两种各向异性材料界面共线裂纹的反平面剪切问题和界面含周期裂纹的反平面剪切 问题，得到了封闭形式解，并给出了应力强度因子公式；文献【1 9 】采用变分法给出了含边裂纹正交 各向异性板问题的特征函数展开式，然后利用变分法及边界条件确定展开式中的未知系数，从而确 定裂纹尖端的应力强度因子；文献 2 l 】利用t r e f f t y 边界配置方法分析计算了各向异性薄板的弯曲 问题 1 3 压电材料及其研究现状简介 压电材料最早由j a c q u e s 和p i e r r ec u r i e 兄弟于1 8 8 0 年发现的，居里兄弟在研究热电现象和晶 体对称性的时候，在q 石英晶体上最先发现了压电效应，即在某些晶体的特定方向施加压力，晶体 的一些对应的表面上分别出现正负束缚电荷，其电荷密度跟作用力大小成比例，这种现象称为“直 接压电效应”1 8 8 1 年，g l i p p m a n 依据热力学原理及其能量守恒和电荷守恒定律预言了逆压电 效应即“电致伸缩”效应的存在，也就是在压电晶体上外加电场时，晶体中会产生应力而使晶体发 生变形同年，e 居里和j 居里兄弟用试验证实了压电晶体在外加电场作用下会出现应变或应力 1 9 3 5 1 9 3 8 年苏联的和研制出水溶性压电晶体磷酸二氢钾和磷酸二氢氨，在四十年代得到了广泛 应用，对压电材料的发展起了很大的推动作用 压电材料以其特有的机电耦合性。被广泛应用于各种工程领域，其较主要的应用包括：1 ) 正压 电效被应用于引燃、引爆、气体点火等高压发生器，电唱机拾音器芯座、加速度计、水听器等拾 音和测振装置等的设计中；2 ) 逆压电效应，被用于制作超声换能器、扬声器、声纳等方面；3 ) 利用 压电振子的谐振特性和伸缩特性用于滤波器、谐振器和继电器、位移发生器等设制中；4 ) 利用部 分压电材料的热释电效应可应用于红外探测器、红外摄录管以及热释发电机等；5 ) 近年来，压电 材料还用于传感器、驱动器、阻尼降噪等智能系统中：6 ) 利用压电复合材料具有优良的低频特性 和高频特性，可将其应用于超声医疗诊断和材料结构的非损伤探测，因此被广泛应用于医学等领 域：7 ) 在航空航天领域的应用用交叉指型电机压电纤维复合材料制成了c h - 4 7 直升机螺旋桨叶 模型，研究结果显示沿浆叶的展向可以产生几度的扭转角，从而大大提高了直升机的性能 当发生机械变形时。压电介质将产生电场，而当其受到电场作用时，将会产生机械变形由于这 种独特的机电耦合性质。使其广泛用于先进智能结构设计中压电材料作为智能结构器件的核心 材料。其力电耦合静动力特性的研究得到了普遍重视；另一方面，由于压电材料的脆性使其在使用 中易于发生断裂因此充分了解其力学、电学及其热学特性对于提高压电结构的可靠性具有重大 意义由于制造过程中不可避免地产生缺陷( 如裂纹、孔洞、夹杂等) ，而缺陷的存在，往往导致材 料在力场和电场的单独或协同作用下过早的失效或发生破坏，这会影响智能结构的性能和可靠性 因此从机电耦合的观点出发，用力学理论研究含缺陷压电材料的电弹相互作用行为，无论是对研 制设计高品质的压电材料还是正确认识和理解压电材料的损伤机理和失效行为，都有十分重要 的应用价值和学术意义；开展这类材料的力学和电学分析是十分必要的，也使得含缺陷压电介质 破坏力学分析更是人们关注的焦点从断裂力学的角度来看，人们关注的是裂纹尖端的电弹性场 分布并且需要对裂纹的扩展机理进行分析，在材料裂纹问题的研究中，最为常见的有两种断裂判 据种是应力强度因子法，其效能建立在这样的一个假设上，即尖锐裂纹的性状是由其顶端的应 力场决定的计算应力强度因子的方法分为理论方法和试验方法，理论方法包括：分析法、边界配 一3 一 宁夏大学硕士学位论文 第一章前言 置法、保角映射法、应力集中法、g r e e n 函数法、积分变换法和位错法、有限元法等试验方法包 括：柔度法、光弹性法、疲劳裂纹扩展速率法、干涉法和全息摄影法另一种是能量平衡法，该方 法基本前提是，假若由于裂纹扩展，使得释放的储存能多于创造新裂纹表面的吸收能时，就会发生 裂纹的失稳扩展这神观点虽然有较大的吸引力。但在能量的数学计算上却存在困难文献f 2 2 】用 两种方法计算了无限大压电介质内n i 型裂纹尖端的能量释放率，文献【2 3 】分析了电渗透型裂纹和 非渗透型裂纹的能量释放率，所得的结果表明以机械能释放率作为断裂判据的合理性，文献 2 4 】 研究了不同压电材料界面的动态裂纹问题，获得了与路径无关的动态j 积分 因此压电材料断裂力学是研究缺陷压电机电载荷作用下的损伤机理和破坏规律，建立裂纹扩 展的断裂准则和寻求材料增韧的途径，为压电元件的可靠性分析和优化设计提供理论依据压电 介质的断裂理论研究一直是理论研究中的一个重要方向压电介质的断裂研究是在其基本电弹性 理论完善以后才逐步开展的对于压电介质的平面问题，研究方法多采用s t r o h 方法文献【2 5 1 提 出了六维本征理论，该理论中的应力和位移有着几乎一致的表达式其后b a r n e t t 和l o t h e 等人的 工作将s t r o h 公式进一步完善，使其成为解决二维各向异性弹性问题的有力工具文献【2 6 】应用复 变函数的f a b e r 级数展开方法，研究了含椭圆形夹杂的压电材科平面问题，给出了问题的封闭解 王自强等人l z t 利用复变方法将压电介质中心裂纹平面问题转化为h i l b e r t 边值问题，最终得到了 问题的解折解对于无限大压电介质的中心反平面裂纹问题，文献 2 8 1 最早采用不可渗透边界条 件，用半逆解法得出了反平面裂纹问题的封闭解及与路径无关的积分形式的型断裂线性压电介质 的能量释放率结果表明，电场、电位移、应力和应变强度因子在裂纹尖端均具有 的奇异性电 载荷可以加速或阻止裂纹扩展，取决于电载荷的大小，方向和作用方式另外，对于孔洞和夹杂问 题，文献【2 9 】研究了含椭圆孔无限大压电介质的机电场和孔洞内的电场，通过保角变换，将平面上 的椭圆孔洞变成了比较简单的圆形，得出了椭圆孔洞内的电场是均匀的，能量释放率仅与外加力场 有关，外加电载荷是否加速或阻止裂纹的扩展取决于是否加大或减小应力文献 3 0 】利用复变函 数的保角映射法，采用可渗透边界条件，研究了含裂纹的无限大压电材料在平面内电场和反平面载 荷作用下的耦合场，得到了精确的解和场强度因子以及能量释放率文献【3 l 】通过积分变换研究 了压电陶瓷带形中型裂纹的精确分析解，将边值问题转化为对偶积分方程组，获得了裂纹线上电 弹场的明显的解析表达式及裂尖处一些量的强度因子和能量释放率公式文献【3 2 】利用复变函数 方法，将压电材料型裂纹问题转化为h i l b e r t f 司题，得到了封闭的解析解文献【3 4 】，【3 5 】研究了含裂 纹的矩形截面压电材料在平面内电场和反平面载荷作用下的应力强度因子。得到了级数形式的表 达式，并用边界配置法计算了应力强度因子与截面的几何尺寸和裂纹长度的关系 在界面裂纹方面，文献 3 6 研究了压电材料和导体问的界面裂纹问题文献【”l 也以电位移 法向分量以及电势连续通过裂纹面为边界条件，对均匀压电材科的裂纹问题及两种不同压电材料 之间的界面裂纹问题进行了系统的分析，得到了含中心裂纹无限大压电体封闭形式的解文献【3 7 研究了压电材料和弹性材料之间的界面裂纹问题，文献 3 8 1 考虑了半无限平面两不同压电材料之 间的边界裂纹问题，获得了电弹场的封闭解文献 3 9 ， 4 0 】利用复变函数解析延拓原理，研究了集 中力作用下的不同压电材料反平面应变状态的电渗透型界面裂纹的耦合场，对单个裂纹，给出了封 闭形式的复函数解和场强度因子文献【4 1 1 ，1 4 2 】研究了含界面边裂纹的不同压电介质组成的复合 材料在反平面载荷和平面内电场作用下的电弹场，得到了级数形式的基本解和应力强度因子公式， 最后用边界配置法求出了应力强度因子 近年来。压电材料的三维分析也取得了很大的进步s o s a 等1 4 3 1 采用本征函数展开法对横观各 一d 一 宁夏大学硕士学位论文第一章前言 向同性压电介质中的半无限裂纹进行了三维分析；文献 4 4 1 通过引入势函数。将横观各向异性压 电介质空间轴对称问题的位移、电势函数用一个满足六阶偏微分方程的势函数来表示，对一般三 维问题则得到以4 个准调和函数表示的通解形式，并分析了横观各向同性压电介质中圆币型裂纹 在轴对称拉伸载荷下的力电耦合行为，给出了裂纹尖端应力场和电位移场；文献【4 5 】研究了横观 正交各向异性压电介质中的币形裂纹l 型问题型问题和i 型问题，受任意的平行裂纹面的反对称 剪切作用以及垂直于裂纹面的力载荷和自由面电荷作用的三维分析文献1 4 6 通过特征值展开法 和c a u c h y 核原理，得到了无限大压电介质中的夹杂，扁平椭圆形裂纹在力电载荷作用下的电弹场 的解析解针对横观各向同性压电介质，三维问题的解还可参见文献【4 7 】，【4 8 】 对含裂纹的压电材料断裂动力学的研究主要考虑两种情况：( 1 ) 冲击载荷作用下的稳定裂纹； ( 2 ) 运动裂纹和传播裂纹，文献【4 9 采用广义互逆定理和平面波变换方法率先给出了压电介质瞬 态问题的控制方程和基本解；文献【5 0 】分析了压电介质中的型动态断裂，得到了反平面机械 冲击和平面电位移冲击下裂纹的尖端场结果显示此时应力及电位移在裂尖也具有 阶的奇异 性；此外，他们还研究了压电介质中半无限长裂纹对机械冲击的动态响应 s q 。以及均匀电介质中 的y o 廊型裂纹问题 5 2 1 ；文献【5 3 】也考虑了动态型裂纹问题应用l a p l a c e 和f o u r i e r 变换方法， 得到了裂纹尖端场的封闭解，结果表明动应力和电位移强度因子与g r i f f i t h 裂纹的长度，运动速度， 电载荷的方向和大小，材料的系数有关，文献【5 4 1 用复变函数方法研究了无限压电介质中的裂纹 运动问题，得到了应力强度因子与裂纹的传播速度无关的结论 1 4 本文的主要工作 随着新型材料的广泛需求，各向异性材料和压电材料被广泛用于先进结构设计中，进而用力学 理论研究各商异性材料和压电材料的断裂行为已经引起了许多力学工作者的普遍重视；另一方面 各向异性材料和压电材料元件可靠性分析和设计密切相关的破坏力学分析也是人们关注的热点 因此许多学术界的工作者致力于对含缺陷的各向异性材料和压电材料断裂问题的研究，但是从研 究的结果中发现，研究方法各异，且结果也不尽相同基于同样的目的，即对各向异性材料和压电 材料裂纹尖端场的研究，本文主要借助于边界配置法这一半解析半数值的工具，对实际工程中的几 种裂纹模型进行了研究，得到的解和其它结果进行了比较，为材料设计提供更有力的理论依据本 文主要内容包括： 1 、利用边界配置法方法就各向异性板圆孔边裂纹问题作了研究，得到了应力强度因子，退化 结果与以前的结果进行了比较，结果表明两者吻合 2 、利用边界配置法，采用渗透性电学边界条件，就横观各向同性压电材料圆孔边裂纹问题作 了研究。得到了力学强度因子的数值结果，并分析了影响应力强度因子的几个因素。 3 、利用边界配置法，采用渗透性电学边界条件，就横观各向同性压电材料界面中心裂纹问题 作了研究，得到了力学和电学强度园子的数值结果，并分析了影响应力强度因子的几个因素 一5 一 宁夏大学硕士学位论文第二章含孔边裂纹的正交各向异性板反平面问题 第二章含孔边裂纹的正交各向异性板反平面问题 2 1 引言 各向异性扳的裂纹问题曾经被采用不同的方法进行过研究s i hg c 和c h e r te p 5 s j 采用积分 变换方法计算了含裂纹的有限高无限宽板的问题；文献【5 6 采用f o u r i e r 变换方法计算了反平面 剪切矩形板中界面裂纹的应力强度因子，各向同性材料中心裂纹是其特例文献【5 7 】讨论了正交 无限大各j 甸异性板中斜裂纹问题，应用平面弹性复变方法，将问题转化为奇异积分方程，最后得到 该奇异积分方程的数值解和应力强度因子的近似表达式文献【1 5 ，【1 6 】构造了适当的位移函数， 用边界配置方法求解了各向异性有限大板中含中心裂纹裂纹，边裂纹的反平面问题但是，正交各 向异性材料孔边裂纹反平面问题未见有人做过研究本文拟采用边界配置法研究正交各向异性板 圆孔边裂纹的反平面问题，运用最b - 乘法计算了裂纹尖端的应力强度因子，并且分析了影响应力 强度因子的几个因素 2 2 基本方程 由于几何关系和平衡条件都与物性无关，所以连续介质力学的几何方程和平衡方程，对备向异 性弹性体仍然适用在线性各向异性弹性力学中，一般引入以下假设： ( 1 ) 研究对象是连续的弹性介质； ( 2 ) 位移与应变是微小的，其几何关系是线性的； ( 3 ) 材料是理想的，不存在初始应力； ( 4 ) 应力与应变关系是线性的。服从广义胡可定律 根据线弹性连续介质力学的结果，在直角坐标系下，物体任一点的应力( 6 个分量) 应变( 6 个分 量) 和位移( 3 个分量) 必须满足下列方程： 几何方程： 孔锄a 5 翥0 2 巧鼬e z = 钆- 瓦z 凯踟 ( 2 1 ) 却鼬鼬钆凯踟 ”一7 伽2 瓦+ 万，5 瓦+ 瓦，2 丽+ 磊 平街方程： 警+ 等+ 警一o ， 等+ 玺+ 警一o ， 亿z ， 警+ 警+ 鲁一o 一6 一 圭塞奎兰堡圭兰堡篁奎 量三茎童圣丝型鳖墼垂奎堡窒量堡堡星兰里堡矍 本构方程： c l lc 1 2 c 1 3 c 2 1q 2c 船 c z lc z 2 c 3 3 岛tc 4 2c 4 3 c 5 1c 5 2c 5 3 lc e 2c 6 3 c 1 4c 1 5 c 1 6 c 2 4c 2 5c 2 6 c 3 4c 3 5 c 3 6 c 4 4c 4 s c 4 6 c 5 4c s sc 5 6 c 6 4c 6 5c 6 8 岛 勺 屯 伽； k = ， 其中( 勺) 称为刚度矩阵，对于均匀各向异性材料勺( i ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 均为常数，且叼= 岛。 共有2 1 个 对于正交各向异性俸，刚度矩阵中的常数减少为9 个此时丹度矩阵为： c l l c 1 2 c 1 3 c 1 2c 2 2 0 2 3 c 1 3c 2 3 c 3 3 000 o 0o 0 o0 0 0 0 0 00 0o0 c 4 4 00 o c 5 5 0 00 c 6 6 如图2 1 所示的含圆孔双边裂纹正交各向异性板受垂直z 凹平面的反平面剪切应力作用 j 兰! 俎 o 国2 1含圆孔双边裂纹的正交各向异性叛反平面问题 x ( 2 4 ) 根据弹性理论知，沿z ，轴的位移恒为零，即= 口= 0 ，沿。轴的位移 不恒为零，且 叫= ( $ ，y ) ， 应力分量= q = 如= h _ = 0 ，仅有勺：与：不恒为零 一7 一 出卯以彬彬倒 宁夏大学硕士学位论文第二犟含孔边裂纹的正交各向异性扳反平面问题 几何方程为： 抛 协2 磊 ( 2 5 ) 协2 面 本构方程为： ( 芝) = c 4 4 三) ( 芝) 平衡方程为： 警+ 鲁= 。 由以上三个方程得到用位移表示的平衡方程： 塞慨旁= 。 引入复变量翔= z + 8 3 y t “1 其中韶和其共轭两为( 2 8 ) 式的特征方程 c “s 2 + 岛5 = 0 的棍且船= i 压 令位移w ( z ，y ) 与某一解析函数u 3 ( 幻) 的关系为【”j 1 i ，( q y ) = r e ) 】 并定义新函数： 嘶a ) = t 厥玺 则应力分量h ：和勺：与3 ( 翔) 的关系为： 2 3 问题的求解 r z z =r e s a 妒3 ( z 3 ) 】 m = r e ( 幻) 】 根据边界配置法的原理可知，选取位移函数时需要满足以下几点 ( 1 ) 满足( 2 8 ) 式表示的平衡方程； ( 2 ) 满足裂纹表面的无应力条件； ( 3 ) 裂纹尖端应力具有厂 阶的奇异性； 一8 一 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 宁夏大学硕士学位论文第二章含孔边裂纹的正交各向异性板反平面问题 ( 4 ) 满足相应的对称条件 基于以上考虑，解析函数u 3 ( 3 3 ) 可设为： 。( ) ： 店j + o ob 蠢一t 其中j 为待定实数 由( 2 1 1 ) 式和( 2 1 3 ) 式得： 撕一瓜南互+ c o 取咐。( ) 露一2 】 根据直角坐标与极坐标之间的关系。以下各式成立： z 3 一n = t i e l 巩 z 3 2r e 订 幻+ a = r 2 e 如 其中各几何量的意义如图2 2 ： y f f。老砭 由( 2 1 0 ) 式和( 2 1 3 ) 式可得位移函数 ( r ，0 ) 为 f 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 吣，驴一。三+ c o 取历“卜半酬肚s m 半c 纠亿- 回 由( 2 1 2 ) 式和( 2 1 4 ) 式得应力分量：与勺。分别为 一r c s s 薹风焘卜( 肌半) 一( 跏叫咖卜卜半 ) 一咖。塞既杀卜( 肌半) 一( 跏叫c o s 陋胪半 ) ( 2 1 7 ) 一9 一 宁夏大学硕士学位论文第二章含孔边裂纹的正交备向异性板反平面问题 对图2 1 所示的问题，边界条件如下： 。t y z ：。可嚣p q m = b ，酬s , h b ，= h 扩+ 9 2 = 6 2 。 其中1 n = f ；+ m 勺：而f = o 嗍( n ，z ) ，仇= c a s ( n ，y ) 条件( b ) 与( 是精确满足的当0 = + t r 时，巩= 蛔，0 2 = o 将其代入( 2 1 7 ) 式得气：= 0 所以( 口) 成立当0 1 = 如= 0 = 0 或者f 时，代入( 2 1 6 ) 式得= 0 所以( b ) 式成立边界条件 ( c ) ，( d ) ，( e ) 由边界配置法近似满足 根据物体的对称性，配点只需要在半个矩形边界进行如在圆孔上边界选取1 个点，在右边 界选取 1 个点，上边界选取2 n 3 个点，左边界选取 k 个点对于选定的位移函数，选取一项到 + m 项这样共有+ m 个未知数如果边界配点个数与它相等，未知数可以被确定 2 4 应力强度因子的计算 只要实系数点k 通过边界配点确定，位移函数1 j 和应力分量：与7 话都可以得到应力强度 因子通过下式确定： 硒j i - 烛面侗加( 张) 将( 2 1 4 ) 式代入( 2 1 8 ) 式得： + o o k m = 一最再莉卜1 k = - - o o 无量纲应力强度因子为 ( 2 i s ) f 2 1 9 ) y i i i = k i , 1 k o陀2 0 ) 其中c o = 5 历五 , 4 - 0 0 当c “= c 5 5 = p 时，k i l l = 一e k t , , c f f i a 这与各向同性板圆孔双边裂纹得结果完全 一致 在裂纹尖端附近。利用代数几何知识知，下列各式成立( ”： r 垒d + r lc 0 8 0 1 ，r 2 垒2 a + 7 1c o s 0 1 p 兰s i n 0 - ，如冬瓦r lm n 0 - n z 口 一l o o o 8 = = | l k 坼 0 0 田 ，ll，、l 宁夏大学硕士学位论文 第二章含孔边裂纹的正交各向异性板反平面问题 并且规定鲁0 在裂纹右尖端，应力勺：的局部应力记为z ( r z ，口1 ) ，则： r ( r l7 啦舰m i b = 0 去咖鲁 即在裂纹右尖端，局部应力场r ( r l ，0 t ) 为： 柏 ) = 击一鲁 由( 2 2 3 ) 式可知，在裂纹尖端应力具有r 孚阶的奇异性 2 5 圆孔单边裂纹应力强度因子的计算 如图2 3 所示的圆孔单边裂纹 图2 3含圆孔单边裂纹的正交各向异性板反平面问题 根据弹性力学的理论和边界配置法的原理，几何方程，平衡方程，本构方程是不发生变化的 现在可以设解析函数u 3 ( z 3 ) 为： + 他( 为) = f 正五i = 可玩右 ( 2 堋 k = 一 则有( 2 1 1 ) 式和( 2 2 4 ) 式得： 州班一厮南。三踯砖- 0 ( 肛1 ) 考。1 】 十 塞翌奎兰至圭兰堡篁兰 篁三堡垒里塑星塞塞璧苎窒皇量篁堡星! ：! ! 堡矍 由( 2 1 0 ) 式和( 2 卸式得： 州) ：一4 - 0 0 取丽叫c o s 学酬h ) 0 + s i n 半础- 1 ) 司( 2 2 6 ) 由( 2 1 2 ) 式和( 2 2 5 ) 式得： 一喵。釜甄嘉卜( 瑚一半) 一( * 一；) 妇卜妒半】) 铲。笺+ o oe w r k ( 。e c o s 半) 一( 孤一扣- 2 ) 0 - 学 ) 边界条件中的第五式变为 最后应力强度因子通过下式得到 将( 2 2 4 ) 式代入( 2 2 8 ) 式得 ( e ) h = 0 ， 十f 2 = 碡 k m = l i m 、磊板鬲= 动3 ( z 3 ) z 3 d 硒一蒌b 乒摹 腽z i = 一b c 4 4 c 5 唁凸n 扣1 k 无量纲应力强度因子为： k l i ：硒k o ( 2 3 0 ) 其中硒：s 、而特殊地，当= c 5 5 = p 时，硒= 一譬。e _ 【l 厢一1 这与各向同性板 圆孔单边裂纹的结果完全一致例 2 6 数值算例 如图2 1 所示模型，以下研究应力强度因子与裂纹长度，各向异性程度，幂级数项数以及板长 的变化关系 考虑裂纹长度与应力强度因子的变化关系取半径b = 0 2 5 ，h = b = l ，c 4 4 。2 1 0 4 ，c 5 5 2 2 1 0 8 口从0 3 变化到0 5 圆孔边界上配点个数为n 1 = 4 5 个，左右边界上配点个数分别 为n 2 ：2 0 个，上边界配点个数为2 n 3 = 4 0 个，正项级数项数为 f = 2 0 个，负项级数项数为 n = 1 0 个结果如图2 4 所示 从图2 4 可以看出应力强度因子m l i 随裂纹长度n 的增加而增加这说明裂纹越长应力强度 因子越大 考虑应力强度因子与材料各向异性程度风的变化关系取半径b 20 2 5 ，日2 口2l ， 一1 2 一 宁夏大学硕士学位论文第二章含孔边裂纹的正交各向异性板反平面问题 图2 4裂纹长度与应力强度因子的关系图 c “= 2 1 0 8 ，岛= 、吾扇从1 变化到2 ，圆孔边界上配点个数为n 1 = 4 5 个，左右边界上配点 个数分别为n 2 = 2 0 个，上边界配点个数为2 n 3 = 4 0 个，正项级数项数为m = 2 0 个负项级数 项数为n = 1 0 个从0 3 变化到0 5 结果如图2 5 所示 a ，b 图25各向异性程度与应力强度因子的关系图 从图2 5 可以看出当岛一定时，应力强度网子m i i 随裂纹长度n 的增加而增加；同时，当裂纹 长度n 一定时，应力强度因子m 1 1 随风的增加而增加，当裂纹长度4 较小时，不同岛值对应韵 巧i i d 曲线相当接近这些结论与文献【1 6 】类似 考虑应力强度网子与幂级数项数的变化关系，取半径b = 0 2 5 ，口= 0 5 ，髫= 丑= i ， c “= 2 1 0 8 ，c 5 5 = 2 l o s 圆周上配点个数为l = 4 5 ，左右边界配点个数为2 = 2 0 上边界配 点个数为2 ，3 = 4 0 负项级数项数为= l o 正项级数的个数肘从2 0 变化到6 0 结果如图2 6 一1 3 宁夏大学硕士学位论文第二章含孔边裂纹的正交各向异性扳反平面问题 所示 _ + 。一。+ 一“。、 。 厂。 ! m 图2 6幂级数项数与应力强度因子的关系图 从图2 6 可以看出当裂纹长度一定时，m 在一定范围内变化时，应力强度因子m i i 的值基本上 不发生变化这说明当正项级数个数达刽一定时，这种方法的收敛性和稳定性是很好的相应地可 以证明对负项级数个数也是成立的 考虑应力强度因子与板长的变化关系取半径b = 0 2 5 ，日= 1 ，c 4 4 = 2x 1 0 8 ，。5 5 = 2 l o s n = 0 5 ，圆周上配点个数为1 = 4 5 ，左右边界配点个数为n 2 = 2 0 上边界配点个数为2 d ，3 = 4 0 正项级数项数为m = 2 0 负项级数项数为n = 1 0 板半长b 从1 变化到2 结果如图2 7 所示 b 图2 7板长与应力强度因子的关系图 从图2 7 可以看出应力强度因子m l i 随板长2 b 的增加而减小这说明板长越长应力强度因子 1 4 ， 宁夏大学硕士学位论文第三章含孔边裂纹的压电材料反平面问题 3 1 引言 第三章含孔边裂纹的压电材料反平面问题 受到机械变形时，压电材料中会产生电场；在电场作用下，压电材料又会受到发生机械变形正 是