（概率论与数理统计专业论文）关于资产定价基本定理的几个问题.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 数理金融中一个基本的结论，常被称为资产定价基本定理，即对于一随机过程 ( s ，) 郴川，存在等价鞅测度本质上等价于金融市场无套利机会。在金融中，过程 ( s ，) 吲。川描述了一个或几个金融资产的价格的随机变化。无套利与一等价概率鞅测度 存在的等价性是建立在“套利定价”的完整理论上的。关于套利交易和均衡( 实际上 很接近概率论中的等价鞅测度的概念) 的关系已经成为近二十几年来研究的很深入的 课题。 本文我们将首先对资产定价的基本定理进行一下综述，对目前已有的成果作一个 概括性的总结。其次我们将给出套利的另一种定义，并证明了其与原套利定义的等价 性，在此基础上，给出了相应的无套利的数学表达式。最后，针对b s 模型的特殊 性，我们将以任意初始值为1 的自筹资策略作为记账单位，得到金融理论中所关心的 结论。 关键词：套利等价( 局部) 鞅测度自筹资策略记账单位 可取策略 没有无风险免费午餐 第1 页 里堕型堂垫查查兰竺塑竺堕兰堡笙苎 a b s t r a c t ab a s i cr e s u l ti nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e s o m e t i m e sc a l l e dt h ef u n d a m e n t a lt l l e o r e mo f a s s e tp r i c i n g ，i st h a tf o ras t o c h a s t i cp r o c e s s ( s f ) t q o 。引，t h ee x i s t e n c eo fa ne q u i v a l e n t m a r t i n g a l en l e a s u r ei s “e s s e n t i a l l y e q u i v a l e n tt ot h ea b s e n c eo fa r b i t r a g eo p p o r t u n i t i e s i nf i n a n c et h ep r o c e s s ( s f ) m 川d e s c r i b e st h er a n d o me v o l u t i o no ft h ed i s c o u n t e dp r i c eo f o n eo rs e v e r a lf i n a n c i a la s s e t s t h ee q u i v a l e n c eo fn o a r b i t r a g ew i t l lt h ee x i s t e n c eo fa l l e q u i v a l e n tp r o b a b i l i t ym a r t i n g a l em e 哪r ei sa tt h eb a s i so ft h ee n t i r et h e o r yo fp r i c i n gb y a r b i t r a g e 1 1 1 er e l a t i o nb e t w e e nt h ec o n c e p t so f a r b i t r a g ea n de q u i l i b r i u mf w h i c hi nt u r ni s c l o s e l yr e l a t e dt ot h en o t i o no fe q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e si nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e ) h a sb e e na ni n t e n s i v eo b j e c to f r e s e a r c hi nt h ep a s tt w od e c a d e s f i r s t l y , t h es u r v e yt ot h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mo fa s s e t sp r i c i n gi sc a r r i e do n a s u m m a r yo fg e n e r a l i t yt ot h ee x i s t i n ga c h i e v e m e n t sa tp r e s e n ti sd o n e s e c o n d l ya n o t h e r d e f i n i t i o no fa r b i t r a g ei sp r o v i d e da n dh a sb e e np r o v e di t se q u i v a l e n c ew i mo r i 百n a l a r b i t r a g e , a n do nt h i sb a s i s ，t h ec o r r e s p o n d i n gm a t h e m a t i c se x p r e s s i o nf o r m u l ao f a r b i t r a g e i sg i v e n f i n a l l y , t o t h e p a r t i c u l a r i t yo f t h e b s m o d e l ，a n y p o s i t i v es e l f - f i n a n c i n g w e a l t h p r o c e s sw i t hi n i t i a lv a l u e1i st a k e na st h en u m e r a l r e t h e nt h ec o n c l u s i o n si nf i n a n c e t h e o r yw ec a r e da b o u ta r er e c e i v e d + k e y w o r d ：a r b i t r a g e e q u i v a l e n to o c a l ) m a r t i n g a l em e a s u l es e l f - f i n a n c i n g p o r t f o l i o n u m e r a i r e a d m i s s i b l ep o r t f o l i on of r e el u n c hw i t hv a n i s h i n gr i s k 第1 i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：去王逢亡塞盆基奎塞垄鲍且仝间趣 学位论文作者签名： 熟量髯日期：枷矿年d - 月7 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：苤王逢庄庭鲶基查塞垄鲍且全! 舅塑 学位论文作者签名：丝盔玺 作者指导教师签名：兰降 日期：刎圹 日期：撕砌 日 日 ，夕 月 月 。 二 年 午 里堕型堂垫查奎堂竺茎生堕兰垡笙茎 第一章绪论 1 1 资产定价理论的历史背景 第一个系统研究期权定价理论的工作是1 9 0 0 年法国的巴谢利耶( l o u i s b a c h e i e r ) 在其博士论文投机理论( t h e o r i ed e l as p e c u l a t i o n ) 中作出的。 这宣告了数学金融学的诞生。在这篇论文中，作者第一次提出了布朗运动的数学模型， 并用它来描述股票的价格。这比爱因斯坦的那篇研究热分子运动的著名论文早了五 年。然而，巴谢利耶的工作没有引起金融学界的重视达5 0 多年。按照默顿 ( r c m e r t o n ) 的说法，在2 0 世纪上半叶，金融学基本上是描述性的。 1 9 5 0 年代初，萨缪尔逊( p a u la s a m u e l s o n ) 通过统计学家萨法吉( l j s a v a g e ) 重新发现了巴谢秘耶的工作。这标志着现代金融学的开始。现代金融学随后经历了两 次主要的革命。第一次是在1 9 5 2 年马尔科维茨( h m a r k o w i t z ) 在其博士论文中提出 了“资产组合选择的均值方差理论”( m e a n - v a r i a n c et h e o r yo fp o r t f o l i o s e l e c t i o n ) 。它的意义是将原来人们期望寻找“最好”股票的想法引导到对风险和收 益的量化和平衡上来，即给定风险水平极大化期望收益或者给定收益水平极小化风 险。不久后，夏普( w f s h a r p e ) 和林特耐( j l i n t n e r ) 进一步拓展了马尔科维茨的 工作，提出了“资本资产定价模型”( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e lc a p m ) 。它的 要点是确定每一个股票和整个市场的相关性。于是，对于上述的最优化问题，每个股 票的持有量可以由该股票的平均回报率和该股票与市场的相关性系数来确定。值得一 提的是萨缪尔逊和法马( e f a m a ) 的“市场有效性假设”，这本质上就是对市场完备 性的某种描述。他们证明在一个运作正常的市场中，资产价格过程是一个( 下) 鞅。换 句话说，将来收益的状况实际上是不可预测的。这为第二次革命作了铺垫。 伴随着随机积分理论的缓慢发展，资本资产定价理论的发展在萨缪尔逊( 1 9 6 5 ) 的文章之后仍然摸索了很多年。贝加( b e j a 。a ) 是最早用线性函数研究资产定价问题 的学者，他认为均衡价格是存在的，而且注意到均衡性质要求泛函是线性的。罗斯 ( r o s ss a ) 是提出无套利定价这一思想的著名学者之一，他认为一般来说，存在 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 一个可用来估价风险资产的正线性算子，罗斯还指出，客观上存在着一个不仅给实际 上市的资产定价的规则，而且也存在能给所有资产定价的规则。套利机会是金融理论 界和金融实务界都非常熟悉的术语，通俗地讲，它是指金融市场中的那种不花一分钱 就可以赚到钱的机会。容许套利机会存在的价格当然不会是均衡价格，因为只要所有 的人都按此实行套利策略，就会改变这个价格。这就是著名的无套利原则。按这个原 则，金融市场中的任何一个无风险资产的均衡价格，其单位增长率必须等于债券的利 率。因为否则人们就会通过买一张债券同时卖空一张这个资产( 或者与此相反的操作) 来构造出一个套利策略。事实上金融市场中的套利机会就在投资者不断寻找套利机会 的过程中被消除掉，从而达到( z 2 态) 均衡的。 数理金融学的第二次革命是( 1 9 7 3 ) 费希尔布荣克( f i s c h e rb l a c k ) 和梅隆休尔 斯( m y r o ns s c h o l e s ) 的b l a c k s c h o l e s 公式。其期权定价理论本质上也是无套利均 衡定价。它给出了欧式期权定价的显式表达式。他们应用了伊藤随机微分和扩散过程 解的马尔科夫性质。在上世纪七十年代底和八十年代初，半鞅的随机微积分理论得到 了迅速的发展，尤其是梅耶( p a m e y e r ) 的贡献。随机积分理论的发展大大刺激了 资本资产定价理论的发展，这主要表现在h a r r i s o n k r e p s 提出了多时段的鞅方法和 套利，以及1 9 8 1 年h a r r i s o n p l i s k a 提出了等价鞅测度的定义，尤其是他们得到了 在一定条件下市场性质和等价鞅测度的存在有一定的关系。 从上面的历史看，数学金融学本质上是围绕着风险处理和效用最优化这两个主题 开展的。 1 2 资产定价理论的基本概念 首先从金融中所说的期权讲起。现在国际上挂牌上市的期权有成千上万种。一个 典型的欧式买入期权是一份合同，它给了合同的持有者在规定时间按规定价格购买一 张规定股票的权利，但是他并没有必须购买他的义务。所以具有这样的合同等于是获 得了一个现在还无法确定的收益。收益究竟有多大，要等到合同执行期t 到来才能确 定。更具体的说，到那时如果股票的市场价格s 口) 高于合同的执行价q ，那么收益就 是差价s ( n 日，因为他可以按执行价买下股票，然后再按市场价把它卖出去。反之， 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 如果股票价格等于或低于执行价，则他就不执行这份合同，从而收益是0 。两种情况 可以统一地表示成m a x o ，s ( t ) 一g ) 在西方的金融市场里，期权是证券化了的。所要买的股票称为原生证券，相应的 期权称为衍生证券。期权只是一种衍生证券。在现代金融理论中它们都被称作未定权 益( c o n t i n g e n tc l a i m ) ，即一份合同。一个无论从理论上还是实用中都至关重要的 问题是：一份期权合同的价格应该是多少? 更一般地，一个未定权益现在值多少钱? 这不是一个简单的问题，为了获得这个期权定价公式，数学家和金融学家竟然费了 7 0 多年的时间。 我们先来描述连续市场的一般模型。固定时间区间为 o , t 】，考虑一个由m + 1 种 价格过程( s a i = 0 ，m 的资产生成的无摩擦市场，给定市场中一个基本的带滤的满 足通常条件的概率空间( q ，匠p ) 。在期权定价中，我们需要选择一个资产作为共同 的单位，以该资产为基础来表示其它的资产。得到的相对价格称为折准价格( d e f l a t e d p r i c e so rd e n o m i n a t e dp r i c e s ) 。称该资产为一计价标准资产( an u m e r a i r ea s s e t ) 或记账单位( n u m e r a i r e ) 。如果我们选取存款账户( s a v i n g sa c c o u n t ) 作为记账单 位，相对的价格过程通常称为贴现价格n i s c o u n t e dp r i c e s ) 。 为符号方便起见，我们选取0 资产作为记账单位。注意此时o 资产不要求是银行 存款的资产。令只兰( 曰) 一，称门为t 时刻的折准因子( d e f l a t o r ) 。令s 。= ( 酬，s ，) 且豆= ( 曰，茸) ，其中s = 以掣，1 s i s 珊。我们称( 墨) 为资产的折准价格过程。注 意到0 资产的折准价格过程恒为1 。为了能够定义一投资策略，我们需要关于一向量 值半鞅可积的概念( 见j a c o d t 9 1 ) 。这种积分是整体地按半鞅拓扑定义而不是按分量 积分来定义的( g l o b a l l ya n dn o tc o m p o n e n t w i s e ) 。一个基本的事实是一个向量值 可料过程日关于一向量值半鞅x 可积当且仅当序列( 怫。1 日) z 在半鞅拓扑中收敛， 此极限就是积分h x 。因此，如果h = ( h o ，h ”) 关于半鞅( j o ，z ”) 可积，且日。 关于j o 可积，那么我们有 h ( o ，彳”) = h o 。j o + ( h 1 ，h ”) ( x 1 ，z ”) 一投资策略( t r a d i n gs t r a t e g y ) ，也称之为一个证券组合( p o r t f o l i o ) ，是一只”1 值的置可料过程矽= ( 矿，口) ，其中o ( t ) = ( 0 1 ( f ) ，0 “( r ) ) ，满足关于半鞅( s 0 ，s ) 可积， 第3 页 国防科学技术：人学研究生院学位论文 0 。( ，) 表示f 时刻所拥有的资产i 的单位数量。这种定义的投资策略在实际中很难操作， 但是它为数学研究带来很大的方便。一投资策略矿= ( 口o ，臼) 在f 时的资本是 ( 声) = 睇s o + 只s 其中包s = 三。毋爿，f 时刻的折准资本为矿( 妒) = k ( 妒) 儿。一投资策略痧= ( 矿，口) 称为自筹资的( s e l f f i n a n c i n g ) ，如果 k ( ) = k ( 庐) + c 吮d ( 蹬，咒) 注：自筹资策略的直观意义就是既没有消费，也没于增加新的投入。由于消费与 再投入的大小并不反映市场股票价格的变化，所以为了研究的方便，我们可以引入自 筹资策略。容易证明对于任意给定的r “值关于s 可积的可料过程0 和一实数x ，都 可以找到一实值可料过程( 掣) 满足( 矿，0 ) 是初始资产为x 的自筹资策略。关于自筹资 策略我们有如下定理。 定理1 1 一投资策略= ( 0 0 ，刃是自筹资的当且仅当其资本过程( ”) 满足 d 或= 只蕊。 定理的证明见y a n l 7 1 中的定理2 5 。 定义1 1 一个自筹资策略= ( 0 0 ，目) 称之为套利策略( a r b i t r a g e ) 是指： 形) = 0 ，) o ，且p 嘛) o ) o 。 定义i 2 如果存在概率测度q p ，且折准价格过程豆，t o ，明在q 下是鞅， 就称g 为等价鞅测度。 下面两个定理在本文中经常用到。 定理i 2 设g 是f 的子口代数，g ( x ，y ) 是r “x r 4 上的非负b o r e i 函数。如 果工是r ”值9 可测得随机变量，y 是胄”值与夕独立的随机变量，那么 e g ( x ，j ，) i 卯= e g ( x ，即】i 一 定理1 3 ( b a y e s 法则) 设q 是与p 等价的概率测度，s 是f 的予仃代数，令 孝= 面d o ，7 = 研刮绷，那么对于q 可积的随机变量z ，我们有 x i g 】= 卵1 e i x i 卯。 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 3 本文结构安排和主要工作 市场的两个基本性质即公平性和完备性。这也是本文主要的研究方向。本文第二 章首先对已有的工作进行了小结，并试图说明在研究这两个性质时所加入的相关的概 念及其意义，希望能对市场的性质的研究和发展有个总的清晰的认识。 本文第三章给出了套利的另一种定义，并证明一策略是否为套利策略只要判断其 折准净收益是否以正概率严格大于o 即可。同时给出了原市场和不同折准市场下无套 利数学表达式的等价形式，及在选择不同的记账单位作折准和对策略的不同要求( 如： 可取，折准可取，折准可取等) 时无套利的数学表达式的等价形式。 本文第四章针对b l a c k s c h o l e s 模型的特殊性，以任意的初始值为l 的自筹资价 值过程作为记帐单位，给出了市场无套利和存在等价鞅测度及等价鞅测度存在的唯一 性的条件，并讨论了等价鞅测度的存在性同记帐单位及同鞅因子的关系。 第5 页 国防科学技术火学研究生院学位论文 第二章关于资产定价基本定理的综述 2 1 引言 数理金融中一个基本的结果，常被称作资产定价第一基本定理，讲的是资产过程 ( s ) 。，存在等价鞅测度本质上等价于金融市场无套利机会。对于只涉及有限资产和有 限期经济，我们可以证明无套利确实等价于等价鞅测度的存在，但是当资产无限或可 能的交易时点无限时，该定理不再成立。为此，k r e p s 引进了“无免费午餐”条件， 其略强于“无套利”条件。在此基础上，得到了资产定价更一般的结论。通过下面的 讨论我们将看到投资策略的选取范围将直接影响市场的性质。在完备市场下，我们关 心的是可达的未定权益的定价，本章讨论了在对策略采取什么样的限制下定价可以唯 一，同时讨论在一般的市场下的未定权益的几种定价方法。 本章安排如下：1 ，讨论市场性质和鞅测度的关系。无套利同等价鞅测度有着密 不可分的联系，而市场的完备性同等价鞅测度是独立的，但在无套利假设下两者之间 也可建立定的联系。2 ，在等价鞅测度存在的前提下讨论策略同未定权益的可达性 及唯一性的关系，为得到好的结果我们需要对策略加以限制。3 ，对一般的市场，讨 论未定权益的定价问题。 2 2 市场的性质与鞅测度 定义2 1 一自筹资策略庐= ( 矿，p ) 称为可取策略( a d m i s s i b l ep o r t f o i o ) ，如 果存在一常数c 2 0 ，p ) 一c ) = 1 ，v o - m ) ，必定存在一个m 0 ，使得p ( 1 令善= 乒。，因为 第7 页 里堕型堂垫查銮主塑壅圭堕兰垡笙苎 善甄，善，而喜一孝= 岛k 。一e ，显然善一孝e ，且f f 0 所以有 ( k 。一e ) n e o ) ，与假设矛盾。 充分性：如果( k 。一口) n e o ，即存在善( k 。一口) n e ，f 0 ，所以有叩l o 使得善+ 誓k 。，又因为f + 笮三o ，善+ 野0 ，所以有k 。n l o + o ) ，与假设矛盾。 注：命题2 1 的经济意义很明显，实际上它就是我们所谓的无套利的直观数学表 达形式。不太明显的是从k o 到c o = k o 一= y r ：3 x k o ，舭y x ) 。从经济意义 来讲，这是由初始价格为0 所构成凰的未定权益转到那些满足一定条件的未定权益， 即允许代理齑由x k 转到y = x - - h ，h 口。这可以解释为代理商扔掉钱的可能性， 虽然看起来有些不可思议，但是这是对套利进行扩展得到我们想要的结论的主要特 征。 引理2 1 ( k r e p s y a n 定理) 1 p 0 0 ，c 是p ( q ，ep ) 中的凸集，而且满 足 c n 口( q ，互p ) = o 。 如果c 是闭的( 当1 p o ，且v ，1 c ，g ( 厂) o 。 pg 由上面k r e p s - y a n 定理d e l b a e n 、s c h a c h e r m a y e r 在1 9 9 4 年得到了下面的定理。 定理2 1 如果s 是有界半鞅，则市场存在一个等价鞅测度当且仅当s 满足 n f l v r 。 注：从上面的几个结论可以看出，从无套利到没有无风险免费午餐的一个主要的 特征是从k g = 甄一e 。具体的讨论请见s c h a c b e r m a y e rm 。连续情形无套利不 能推出市场存在等价鞅测度，请见严加安m 中给出的肋市场的例子。 d e l b a e n 和s c h a c h e r m a y e r 1 证明了对于局部有界彤一值半鞅s ，没有无风险免 费午餐等价于过程s 存在等价局部鞅测度。如果去掉局部有界的条件，d e l b a e n 和 s c h a c h e r m a y e r 【”1 引入了一鞅测度，进一步发展并证明了资产定价基本定理，即下面 的定理2 3 。一鞅测度的概念最先由c h o u 和e m e r yp o l l 3 1 1 给出，称为 “s i g m a m a r t i n g a l ed el ac l a s s e ( 。) ”。 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 定义2 3 在概率空间( q ，匠p ) 中，称一月。值半鞅x = ( 置) 。关于概率测度p 是 一鞅，如果存在一r 4 值鞅m 和一关于m 可积的可料r 4 值过程妒满足x = 妒m 。 定理2 2 过程s = ( s ) 。是定义在( q ，正p ) - - r 。值半鞅，则s 满足没有无风险 免费午餐当且仅当存在一概率测度o p ，且s 关于q 是一鞅。 在严加安中，称市场是公平的，如果市场存在等价鞅测度。并证明了市场公平 性随折准因子的改变而具有不变性。当以资本匈) _ 1 ，i = o ，棚为折准因子时，令朋。 表示市场中的等价鞅测度的集合。为了下面讨论方便我们写出其中的定理及证明。 定理2 3 市场的公平性不随折准因子的变化而变化。 证明：假设刑o 啦，对一个概率测度p + 刑o ，定义一个新的概率测度q 如下： 一ap：菩怫聃dp 1 s i ”j ”l 记为啊( p + l 其中，= 0 , 1 ，m ，我们证明h j ：硝。鲥是一个双射。 令屈= p j ) _ 1 ， 8 t s ：，0 s i s m 因为剪= s , o 。s 是- + p 鞅，我们有 m = 【砉l 曩 = 簧憎) _ 1 掣 由此 m 瓮啦鼬：= 蛰 往证q 是等价鞅测度。由上式和条件期望的b a y e s 法则得 【鼋，i 置 = e q 【届母f 互 = m 。1 嚼僻) _ 1 群屏簖l 互 = 宴 从而o 刑。这样就证明了这个定理。 定义2 4 称随机变量孝骘为未定权益( 或有权益) ( c o n t i n g e n tc l a i m ) ，称 第9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 未定权益f 是可达的( 或可复制的) ，如存在一可取的自筹资策略矿，使得巧( 矿) = f ， 这样的投资策略称为f 的保值策略或复制策略。 定义2 5 称市场( s ) 吲咿1 是完备的，是指每个有界的未定权益都是可达的。 市场的完备性同市场无套利是描述市场的两个基本性质。雍炯敏吲用具体的例子 证明了这两个概念的不相关性。但是我们看到在现代金融理论中两者又相互联系在一 起。大部分的现代金融理论是建立在资产定价第一和第二基本定理上的。第一基本定 理我们刚刚介绍过了，它将无套利同等价鞅测度相联系。而第二基本定理将市场的完 备性同等价鞅测度的唯一性相联系( 见h a r r i s o n 和p 1 i s k a 【1 4 】、h a r r i s o n 和 k r e p s l 3 2 ) 。但是第二基本定理在更一般的情况下不再成立，这一观点由a r t z n e r 和 h e a t h 3 ”给出了例子。为此j a r r o w 和b a t t i g 3 4 1 ”1 采用拓扑方式来研究资产定价第 二基本定理，文章中提出了一种新的市场完备的定义，且该定义不依赖于无套利及等 价鞅测度。在这一定义下，市场可以完备且存在套利机会。并且证明了在无套利的假 设下和典型的市场模型中，新的定义同我们以往采用的市场完备的定义等价。下面我 们简单地给出介绍。 首先要求在任一时刻只有有限的资产可进行交易。交易时间可以为停时。可能的 可达未定权益空间是有界的随机变量空间。交易资产可以为任意多个，其中要求存在 银行贷款资产。每个交易人对于可达的未定权益的价值可以不同，但是必须满足一个 一致最小条件：任何产生报酬为0 ( 除了在无效事件( n u l le v e n t ) 上) 的权益都有 一个0 价格。并且还允许存在风险厌恶者和风险中立者。 一交易人视两个随机变量( 未定权益) 是近似相等的如果两者盈利的差额值接近 于0 。在整个市场中，称两个随机变量是近似相等的如果所有的交易人视它们是近似 相等的。因此对于近似相等的两个随机变量，其定义仅依赖于无效事件的集合。 定义2 6 称市场是完备的如果所有的可能的可达未定权益都可以通过一贸易策 略来近似( 在上面近似的意义下) 得到。 从上面近似相等的意义下可以看出，该市场完备的定义同无套利的概念相互独立 而且同任何其它特殊的概率测度相互独立。 在这一新的市场完备的定义下存在两个对偶拓扑：随机变量一个人的价值、投资 策略一投资策略的个人值。并且存在一线性映射将这两个对偶拓扑联系起来，即将投 第1 0 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 资策略映射到随机变量。这一映射存在一伴随矩阵。线性映射和它的伴随矩阵是一矩 阵的无限维模拟和它的转置矩阵。对这一映射和它的伴随矩阵在数学上的直接应用就 产生了资产定价第二基本理论。即市场完备性同通过构造值来定价可达权益的价值因 子的唯一性等价。如果添加合适的假设，就同等价( 局部) 鞅测度的唯一性等价，同 时给出了资产定价第二基本定理的证明。而且j a r r o w 和b a t t i g “1 1 ”1 还研究了新的 定义同原来定义的联系，证明了在有限的交易资产或者资产价格有连续样本轨道时这 两个定义给出了等价的描述。 2 3 策略同未定权益的可达性及唯一性 定义2 7 一个自筹资策略庐= ( 0 0 ，p ) 称之为可允许( a l l o w a b l e ) 策略是指：存在一 个非负常数c ，使得对任意，【o ，】，有舻) - c ( e ：o s ；) 。 可允许策略是严加安州为解决折准可取策略同基准资产的选取有关而提出的更 广泛的策略。并证明了如果市场存在等价鞅测度，那么在可允许策略下，折准资本过 程是一个上鞅，从而不存在套利。但是h a r r i s o n 和p l i s k a t “1 证明了市场存在自杀 策略，即存在策略满足( 庐) = l ，巧( 庐) = 0 ，且给出了具体的例子。从而使得可达未 定权益的的价格不唯一。为了消除这种情况，我们需要修正策略的范围，即要求策略 产生的折准资本过程是一个鞅，而不仅仅是上鞅。 下面我们在公平市场下进行讨论，即假设市场存在等价鞅测度。 定义2 8 我们固定一等价鞅测度p + m o ，称一非负未定权益f 是p - 3 达的，如 果( 衅) 。f 是，可积的，存在0 可取策略庐使得其最后的价值等于善，且其折准价值 过程是一p + 墩( 即e 【( s ；) 。纠= ( s ：) 。 ) ) ，这样的一个策略称为善的一j p - 保值策 略。该策略的价值过程称为f 的一公平价格过程。 如果朋。中不止一个元素，那么一非负未定权益的可达性与等价鞅测度有关，但 严加安证明了其余基准资产的选择无关且可达的未定权益的公平价格与等价鞅测度 的选取无关，具体描述如下： 定理2 4 设p + ，p m o 且f 是p 和p 。可达的。( i ，) ( 相应的( q ) ) 是f 的，( 相 第1 1 页 里堕型兰垫查盔兰竺茎生堕兰焦丝苎 应的p ) - 保值策略。那么( k ) 和( u ) 是一样的。而且 一= ( 掣) 。e ( 衅) 。1 爿置】。 定理2 5 设尸掰。且亭是p 可达的，那么对于任意的0 蔓，兰m ，f 是h j ( p + ) 可达的，且它们的公平价格不变。 x i a 和y a h ”1 为了讨论未定权益的价格的唯一性引入了规则策略和强规则策略。 未定权益称为可达的，如果可以有规则策略复制得到。其思想同我们刚刚讨论的一样。 注：通过前面和本小节的讨论我们看到策略的选取对于市场的性质有很大的关 联。所谓的策略的选取也就是市场的游戏规则。为了避免倍赌策略，我们采用了可取 策略。为了避免自杀策略，我们采用了鞅策略( 即要求策略的折准价格过程是一个鞅) 。 其实在二叉树模型中，不但是折准价格过程而且折准资本过程都是鞅，因此不难理解 在二叉树模型中，市场是公平且完备的了。 2 4 未定权益的定价问题 期权的定价是指期权价格的确定，期权价格是期权购买者为了获得期权合约所赋 予的权利而支付给期权出售者的费用，也即期权合约所赋予的权利的价格，反映出期 权的买卖双方对这一权利所作出的价格。 从经济学的观点，1 9 7 3 年以前的研究都是基于求出一项收益的风险回报的资产 定价模型( c a p m ) ：先求解一个期望值，然后再求出这个值从到期日倒退至现在的折 现值。他们的结果还依赖于投资者对于风险的厌恶程度。 c a p m 首先由s h a r p e 5 4 1 和l i n t n e r 5 ”发展起来的。首先要求给出投资者的优先选 择或者利润分布，并且指定系统的风险因素，因此赢得了实践着的偏爱。但是因为模 型中通常包括了投资者的消费选择和风险的优先选择的参数，如果使用多种风险的偏 好( 或者效用函数) 则要得到唯一的资产价格几乎是不可能的。基于消费的资产定价 模型一般应用于不完备市场。详细介绍见n a c h b a r 2 “。 传统的期权定价方法是先构造一个与期权收益完全相等的资产组合，称为完全复 制策略。然后根据这一资产组合的价值来确定期权的价格。 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 关于期权定价问题典型的是基于无套利的定价，其代表是b l a c k s c h o l e s 模型。 b s 模型中最大的创新之处在于，对于像衍生证券这样的风险证券，也能通过套利 理论来确定它的均衡价格，而做到这一点的关键的思想是，衍生证券和相应的原生证 券按一定的比例能够组合成一个无风险资产，这样组合成的策略称为套期组合策略。 要注意的是这种策略是随时间而不断变化的，它像股票一样，也是一个随机过程，而 它在一个给定时刻的比例值是一个到了这个时刻才能被确定的随机变量。关于这一模 型我们将在第四章进行详细讨论。 一般地，我们不能找到个自筹资策略痧来复制未定权益善，但是我们可以找到 f 的超保值策略。 定义2 9 设掌是一未定权益，一自筹资策略称为善的超保值策略，如果 巧( 力+ f 吮姬。i 一，鼠”) 孝 且 一( 妒) + f 矽( s 0 ，s ”) o ，口矗，对所有的“ r ，引。 我们定义p 嬲帆形 ) 作为宇在r 时刻的超保值的价格，其中取遍手的所有超保值 策略。 在f s l l m e r 和k a b a n o v i ”】、k r a m k o v i ”1 中，超保值策略问题是在等价局部鞅测 度的环境下通过运用可选分解定理来解决的。其结果可陈述如下，取s o 作为记账单 位，令钡：。表示所有使得毒，等) 为局部鞅的等价局部鞅测度全体a 假定刑：。非 空。则未定权益f 在t 时刻的超保值的价格为 i u = 嘤妒$ 【刻t 】，q e 刑岂 o o t l 如果 s 铲硝晦】 o ) 表示初始资产为1 的严格正的价值过程的集合。这些过程称为可交易的记帐单位 ( t r a d a b l en u m e r a i r e s ) 。 定义2 1 1 一概率测度q _ p 称为是的等价局部鞅测度，如果对于所有的n n 都是q - 局部鞅。将所有这样的：受| l 度集合记为鳅2 ( ) 命题22s 满足n f l v r ，如果朋8 ( ) 0 。 定义2 12 称一可交易的记帐单位为增长最优的并记之为“，如果它是下面最 大问题的解 “- s u p e 1 0 9 n r n n o ( 2 1 ) 命题2 3 设“ o o 。则有 1 增长最优的记帐单位妇是唯一的。 2 对任意的停时盯，f 满足0 盯f t ，我们有 研恤筹b 翘蛔矧t ，v n 定义2 1 3 设9 p ，一中的可交易记帐单位称为q 记帐单位投资策略 ( o n u m e r a i r ep o r t f o l i o ) 并记为n 。，如果n n 。是q - 上鞅，对于所有的n 姒 注：至多只能存在一个q 记帐单位投资策略。不妨设1 ，2 都是q 记帐单位投 资策略，则1 2 ，2 都是q - 上鞅，由j e n s e n 不等式知n 1 和n 2 相等。 不失一般性，如果我们选择q 来代替p 作为我们概率空间的客观测度，那么相应 地得到p 一记帐单位投资策略。我们有下面的命题。 命题2 4 设 m 。一记帐单位是增长最优的当且仅当它等于p 圯帐单位投资策 略，即n = 蛔，a s 。 定义2 1 4 我们记 j m ：= z l z o ，z o = 1 ，z 是一p - 上鞅，v n 册 表示对于的所有p - 上鞅密度的集合。 根据k r a m k o v 和s c h a c h e r m a y e r 5 0 1 的思想，我们可以给出( 2 1 ) 的对偶问题： 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 h ：= i n f e 1 0 9 】 ( 2 2 ) 如果z r = d q d p 是概率测度q p 的密度，那么( 2 2 ) 式的右边是p 关于q 的 相对熵( p i o ) ：= e 。【( 1 z r ) l o g ( 1 i a r ) 定理2 6 设刑8 ( ) 口( 即s 满足n f l v r ) b u 0 。 2 ) 市场存在套利，如果存在一自筹资策略尹= ( 妒o ，万) ，满足茸( 妒) 0 且 p ( g ，( 伊) o ) 0 。 证明：i ) j 2 ) ，显然。 下面证2 ) j 1 ) 。设市场存在满足定义2 ) 的套利，即存在自筹资策略妒= ( 伊o ，歹) 满足2 ) 中的条件。令y = ( y o ，矿) ，其中蜕= 一磊r s o ，矿= 歹，由上述的命题3 1 知可以找到y 使得y = ( o ，矿) 是自筹资的，且茸缈) = g ，( 们。 而 ( ) = 0 = k ( y ) 巧( 妒) = s ；露( 妒) = s ；( 辱( 妒) 一蜕( y ) ) = s ；6 ，( 妒) = s ；6 ，( 咖 由于霹是严格正的，从而可知妒即是满足条件1 ) 的策略，从而市场存在满足定 义1 ) 的套利。 注：( 1 ) 简单地说，作折准是为了能够比较不同时期的钱的价值的大小。由定 理我们看到当折准净收益严格大于0 时，我们说有套利产生。如果初始资产不为0 ， 我们将2 ) 中折准净收益改为净收益，那么该定理不再成立。 ( 2 ) 由两个套利定义的等价性可以看到市场是否存在套利同以哪个资产作为记 账单位无关。 ( 3 ) 命题3 1 和定理3 1 的离散情形见雍炯敏。 定义3 1 称一策略妒= ( y o ，矿) 是可取策略，如果策略是自筹资的且该策略 的价值过程有下界，即存在常数c 0 有( y ) - c ，v t 【o ，t 】。 记世= j ：；d ( s o 。，s 。) l y 的初始资产( 妒) = o ，y 是可取的) 詹= ：矿 ) r i g id ：= ( c ，0 刃为自筹资策略，c 矿( ) 菇一c s o ，v t 【o ，明) 第1 8 页 围防科学技术大掌研究生院学位论文 关于市场在原市场下无套利同折准市场无套利的关系，我们有如下的结论。 定理3 2k n 口= o 足n 皿= o ) 证明：1 ) 詹n 口= 0 ) j k n l o + = ( 0 ) ： 否则，存在一可取策略5 f ，= ( y o ，驴，满足 v o ( y ) = 0 ，( ) 0 ，尸( 巧( ) o ) 0 从而有 或( ) = o ，或( y ) = ( s ；) 。1 ( y ) = f 0 又 f o ) o ，f 死成 _ _ c s o 如同定理3 1 第二部分的证明可以找到一策略妒= 似o ，刃是自筹资的，且 ( 妒) 。o ，一( 妒) 2 ( 咖一( 伊) 3 k ( 妒) 一( y ) 2j 玩d 咒一c $ 2 故有k ( r p ) 一c ，从而知策略妒是可取策略。 又因为 _ ( 矿) = 霹f 呒戒 与k n = 0 ) 矛盾。 注：1 ) 上述定理中等价式的两边都可以作为市场无可取套利策略的数学表达式。 2 ) 由于策略p = ( 妒o ，刃关于市场( 1 ，i ) 的积分就等于矿关于i 的积分，而与初始 策略无关。从而我们可以用歹来代替。我们称矿是折准市场下的可取策略，相当 于存在策略妒= ( g t 0 , 妒) 是折准市场下的可取策略。 第1 9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 定义3 2 称策略是折准可取的，如果该策略是自筹资的且存在一常数c 0 ， 有k ( ) 一c s o ，盯j ，v t o ，t 】 x i a 和y a n t ”1 引用了d e l b a e n 和s c h a c h e r m a y e r 给出的一个例子。资产价格过程 s = ( i ，r ) ，其中r 是b e s s e l 过程，证明了如果选取风险资产作记账单位，那么关于折 准可取策略满足n f l v r ，但是如果选取债券作记账单位，则市场存在套利，从这一 例子可以看到折准可取策略同记账单位的选取有关。 记莨= ( f 两矿是折准市场下的可取策略) 。 命题3 2 当记账单位酽取值严格有界时，即存在常数d ，b 0 ， 口( w ) n ，6 】，f o ，卅，w e qa 那么我们有 k n 罡= o 铮k n l t = o ) 证明：1 ) k n e = o ) j k n = o ： 否则，存在一可取策略y = ( o ，矿) 满足 k ( ) = 0 ，( p ) 0 ，p ( ( 妒) 0 ) 0 从而有 或( ) = o ，露( 妒) = ( 霹) 一巧) = r 矿o ) t i f f _ 0 ，p ( r 矿( “) 恭 o ) o 又 i 矿( ) 西= ( 掣) 1 h ( 妒) 由y 的可取性知l ；c ，是折准可取的。故与量n 口= o