（概率论与数理统计专业论文）用d+jackknife方法识别因析设计中的显著因子.pdf

摘要 在工业应用中，试验设计常将表现量度作为响应已有的分析方法常将表现量 度作为单一的响应变量，即视该试验设计为无重复的设计，这时就没有多余的自由 度来估计误差事实上，表现量度是由多个重复的初始响应变量得到的，因此会丢 失重要的信息 在本文，第二章介绍一些已有的分析无重复的因析设计的分析方法，如半正态 图，l e - t h 方法在第三章，首先讨论最常用的表现量度，并提出对重复的初始变量 应用d e l e t e - dj a c k k n i f e 方法以得到一个方差估计，使得因子效应的检验变得简单易 行其次将d e l e t e - 2j ”k k n i f e 方法应用到一个具体的实例，其分析结果与用半正态图 和l e n t h 方法的结果一致接着通过模拟研究了由d e l e t e - 2j ”k k n i f e 方法得到的表 现量度的方差与实际方差的相对偏差，得到相对偏差与模型的随机误差无关接着 根据对应的相对偏差来修正d e l e t e - 2j a c k l 【i l i f e 方法得到方差，并用修正后的方差重 新分析实例，发现d e l e t e - 2j a c k k n i f e 比半正态图和l e n t h 方法好最后研究d e l e t e d j a c k k n i f e 中不同的d 得到的相对偏差，得到相对偏差随着d 增大而增大 关键词：显著因子，不显著因子，d e l e t e - dj a c l 【l c n i f e 方法，d e l e t e - 2j a c k k n i f e 方法，方 差，相对偏差，半正态图，l e n t h 方法 a b s t r a c t e x p e r i m e n t a ld e s i 9 1 1 sw i t hp e r f o r m a n c em e a s u i c sa sr e s p o n s e sa r ec o m m o n l yu s e di n i n d u s t r i a la p p l i c a t i o n st h ee ) ( i s t i n ga n a l y s i sm e t h o d so r e nr e g a r dp e r f o r m a n c em e a s u r e s a ss o l er e s p o n s ev a r i a b l e sw i t h o u tr e p l i c a t i o n c o n s e q u e n t ly 1 n od e g r e eo ff r e e d o mi s l e f tf o re r r o rv a r i a n c ee s t i m a t i o ni nt h e s em e t h o d si nr e a l i t y ，p e r f o r m a n c em e a s u r e sa r e o b t a j n e df r o l nr e p l i c a t e dp r i m a r y - r e s p o n s e t i a b l e sp r e c i o u si n f o r m a t i o ni sh e n c el o s t i ut h i sp a p e r ，6 r s t l y ，ir e v i e ws o m ee x i s t i l l gl u e t h o d sf o ru n r e p l i c a t e df a c t o r i a ld e s i g n s s e c o n d ly is u g g e s tad e l e t e dj a c k k n i f e - a p p r o a c ho nt h er e p l i c a t e dp r i m a r yr e s p o n s e st o p r 0 v i d ea ne s t i m a t i o no fe r r o rv a r i a l l c e ，w h i c hm a l ( e st h et e s tf o rf a c t o r i a je 能c t se a s yt o b ei m p l e m e l l t e d t h er e s u l tu s i n gt h ep r o p o s e dm e t h o di st h es a m ea st h a tu s i n g1 1 a l f - n o r m a lp r o b a b n i 哆p l o ta n dl e n t h sm e t h o df o rar e a le x a m p l e t h i r d l y ，t h er e l a t i v eb l a s b e t w e e nd e l e t e _ 2j a c k k n i f ev a r i a n c ea n dr e a lv a r i a n c ei si n v e s t i g a t eb a s e do ns i m u l a t i o n s t u d i e s ，a n di t i s n o tr e l a t i v ew i t hv a r i a t i o no fr a n d o me r r o rf r o mm o d e l f b u r t h l y ，i r e c o n s i d e rt h ee x a m p l ei n c o r p o r a t i n gt h ea d j u s t m e n tf a c t o r ，a n dt h er e s u l ti sb e t t e rt h a n t h a tu s i n gh a | f - n o r m a lp r o b a b i l i t yp l o ta n dl e n t h sm e t h o d t h er e l a t i v eb i a s e su s i n g d e l e t e - dj a c k k n i f ew i t hd i 艉r e n tda r es t u d i e da tl a s t ，d i s c o v e r i n gt h a tt h er e l a t i v eb i a 5 b e c o m e1 a r g ea sdi n c r e a s i n g k e y b r d sa n dp h r a s e s ： a c t i v ef a c t o r ，i n a c t i v ef a c t o r ，d e l e t e _ dj a c k k n i f e ，d e l e t e - 2 j a c k k n i f e ，e r r o rv a r i a n c e ，r e l a t i v eb i a s ，h a l f _ n o r m a lp r o b a b i l i t yp l o t ，l e n t h sm e t h o d 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的翅定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 摆描、数字佬躐其它手段保存论文；学校有权提供星录检索以及提供 本学位论文全文或者都分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版：在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文豹部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：动么7 0 姊 御年妫了l 目 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 i 攒导教师签名：学位论文作者签名： l 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 、r 6十一j _ 、 w j 、 一 u 蠹部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密l o 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) 机寮2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 叫励姘 砷缉朔弓旧 引言 1 引言 在工业上，试验设计被广泛应用来控制和提高产品的质量这些试验的基本目 的是找出一个因子水平设置以得到最佳的响应值，或者是识别出重要因子，这些重 要因子控制着感兴趣的特征它还通过识别出关键因子以减小响应值的变异 在实际的工业应用中，试验设计的分析常将表现量度作为响应已有的分析方 法常视表现量度作为单一的响应变量，即视该设计为无重复的的试验设计这时设 有个处理组合，而只有一1 个效应能用对照给予估计，没有多余的自由度来估计 误差，因此无法用t 检验来识别显著效应 从八十年代起，已有许多关于无重复的两水平因析设计的客观方法如b 0 x a n dm e y e r ( 1 9 8 6 ) ，v o s s ( 1 9 8 8 ) ，l e n t h ( 1 9 8 9 ) ，b e n s k i ( 1 9 8 9 ) ，b i s s e l l ( 1 9 8 9 ，1 9 9 2 ) ，b e r k a j l dp i c a r d ( 1 9 9 1 ) ，j u a na n dp e n a ( 1 9 9 1 ) ，l o h ( 1 9 9 2 ) ，l ea n dz 锄a r ( 1 9 9 1 ) ，d o n g ( 1 9 9 3 ) ， s c h n e i d e r ，k a s p e r k s ia n dw e i s s s f e l d ( 1 9 9 3 ) ，v e n t e ra n ds t e e l ( 1 9 9 6 ) ，v a r i y a t h ，a b r a l l 啪 a n dc h e n ( 2 0 0 5 ) 有些文章( 如b i s s e u ( 1 9 8 9 ) ，b e r ka n dp i c a r d ( 1 9 9 1 ) ) 和t a g u c h l ( 1 9 8 7 ) 有很大关系t a g u c h i ( 1 9 8 7 ) 集合( p 0 0 1 ) 最小的一些对照( 效应的估计) 估计方差用 于a n o v a 表，且临界值取自通常的f 分布s e h e u l ta n dr r l l k e y ( 1 9 8 2 ) 和j 0 h n s o n a n dn k e y ( 1 9 8 7 ) 提出的方法在较早文章h o l m sa n db e r r e t t o n i ( 1 9 6 9 ) 和z a h n ( 1 9 7 5 a ， b ) 提到过实际上，对照的概率图依然是检测显著效应的常规方法d n i e l ( 1 9 5 9 ) 最早提出概率图的方法的 事实上，表现量度是由多个重复的初始响应变量得到的，因此会丢失重要的信 息在本文，建议用d e l e t e - dj a c k k n i f e ( 重点介绍d e l e 浯2j a c k k n i f e ) 过程用到重复的 响应以得到一个方差估计，这时可用方差分析表来识别显著因子，使得因子效应的 检验变得简单易行 在本文，主要分两部分内容：第一部分介绍一些已有的分析无重复的因析设计 的分析方法，如半正态图，l e l l t h 方法；在第二部分首先讨论最常用的表现量度，并 提出对重复的初始变量应用d e l e t e dj a c k k n i f e 方法以得到一个方差估计，使得因子 效应的检验变得简单易行其次将d e i e t e 2j a c k k n i f e 方法应用到一个具体的实例，并 将其分析结果与用半正态图和l e ，t h 方法的结果进行比较接着通过模拟研究了由 d e 】e t e 一2j ”k k z ，i f e 方法得到的表现量度的方差与实际方差的相对偏差接着根据对应 的相对偏差来修正d e l e t e 一2j a c k l ( 1 1 i f e 方法得到方差，并用修正后的方差重新分析实 例，得到不同的结果最后研究( 1 e l e t e _ dj a c k k n i f e 中不同的d 得到的相对偏差 已有的一些检验效应显著性的方法 2 已有的一些检验效应显著性的方法 2 1概率图法( p r o b a b i l i t yp l o t ) 2 d a l l i e l ( 1 9 5 9 ) 最先提出正态概率图( n o r m a jp r o b a b i l i t yp l o t ) 方法来识别效应显 著性，它不需要估计一 d a n i e l 的思想是以正态曲线作为参考分布来判断效应的显著性的，离正态曲线 ( 在正态图上是一条曲线) 的大偏离是不可能用偶然发生来解释的因此，其相应的 效应在这个过程中被判断为显著的 正态概率图方法的理论依据如下，假设所估计的效应服从均值等于效应的正态 分布，则在所有效应为零的零假设的情况下，所有估计的效应的均值为零所估计 效应作出的正态概率图应是一条直线因此，这种正态概率图可以检验是否所有的 效应服从同一分布( 即同一均值) ，使得当某些效应为非零时，相应的估计效应会偏 大，且远离直线 d a n i e l ( 1 9 5 9 ) 还提出了一种客观图法，该方法是带有警戒线( g i l a r d r a i l s ) 的标准 化的概率图它跟据将无符号对照除以最接近o6 8 3 分位数的次序统计量所对应的 无符号对照得到的值点作图注意到半正态分布的o 6 8 3 分位数所对应的值是等于 对照的标准误差t ，于是将它作为当所有的效应均不显著情况下r 的一个估计举 个例子，当所有的效应数= 1 5 个，这时将无符号对照除以l 口1 以标准化( 以下 ph 指无符号对照的第t 个次序统计量) ，即 9 ：一 f 口m ) 上述统计量指的是模率( m o d u l u sr a t i o s ) ，它们是模或绝对值的比例关系该方 法可以看出通过标准化达到刻度的一致性，并且从最大的无符号对照开始大约仅为 2 5 的无符号对照依次被检测出来警戒线是在图上相应的临界值，关于l 目的 临界值是基于ld 的分布决定的当标准化后的对照超出相应的警戒线，即认为 该效应是显著的b i r n b a u m ( 1 9 5 9 ) 给出了最大模率的渐进分布并说明当只有一个 效应是显著时，该方法是最有力的检测 2 2链集法( c h a i n - p o o l i n g ) 及其推广 h o l m sa n db e r r e t t o n i ( 1 9 6 9 ) 提出的一种方法，称之为链集法( c h a i n p o o l i n g ) 链 集法涉及到均方尬( 尬与对照的平方鳄成正比例关系) 其标准化形式是基于较小 的均方，这些较小的均方所对应的效应很可能是不显著的判断一个特定的均方是 已有的一些检验效应显著性的方法 3 否参与标准化其余较大的均方是由所有比该均方小的均方决定的 设从m ( m 可以为1 ) 个最小的均方开始，用统计量u 仇+ 来判断均方尬在某 一水平o ，。i ( 假定为o 2 5 ) 上是否应该参与标准化其余较大的均方以下 嘶。) 指均 方的第i 个次序统计量 ，( m + 1 ) m m + 1 ) + 12 1 蓦百 一旦p 值小于a ，。d ，即停止该判断过程然后将p 值小于o ，l 的较大的均方所对 应的效应认为是显著的在确定o m 。f 时是用到统计量，2 j ， 仉：! 些! 。 爿蚴；) + m f ) 这里j 一1 个最小的均方参与标准化其余较大的均方对k = 1 5 ，基于所有效应不显 著的 缶界值在其表l 给出从上面可以看出，n 。蒯用来控制参与标准化其余较大均 方的均方个数而am “决定较大均方所对应的效应被认为是显著的个数链集法 主要是由m ，a ，吲和a 惭耐决定的该方法适用存在大量显著效应的情况，因此方 差的估计是基于较少的对照个数，那么m 应该较小，也可能为1 b e r k 舡l dp i c ”d ( 1 9 9 1 ) 在效应稀疏的假设下，用所有均方中占的较小均方的部 分来检验其余较大均方所对应效应的显著性即用统计量 ， ( 2 1 ) 是1m 其中”t = 器捌 当只有一两个效应是显著的情况下，保留较大比例的均方将优于保留6 0 比例 的均方 b e r ka n dp i c a r d ( 1 9 9 1 ) 提出的方法与h o l m sa 1 1 db e r r r e t t o n ( 1 9 6 9 ) 提出的相类 似，只是这里是固定的通过模拟，b e l ka n dp i c a r d ( 1 9 9 1 ) 在表1 给出了所有效应 均不显著的前提下，不同显著水平不同效应数所对应的临界值v o s s ( 1 9 8 8 ) 提出了 类似的方法，只是他用5 0 的较小的均方的部分来计算统计量( 2 1 ) 2 3 b a y e s s i a n 方法 b o xa i l dm e y e r ( 1 9 8 6 ) 基于效应的稀疏性提出了b a y e s s i a n 方法效应稀疏性 指的是显著性效应只占小的比例o 。“他们用的模型并没有使刻度一致，并假定 显著效应服从正态分布( o ，a k 。) 因此，对应显著效应的对照目。服从正态分布 ( o ，2 嚷。c c 。) ，这里k 2 = ( 吨。+ 砖。) 矗。，对应的不显著效应的对照鼠 服从正态分布( o ，a 刍。) 对于每个效应，计算显著的边际后验概率，当概率值超 已有的一些检验效应显著性的方法 4 过o 5 时，认为该效应是显著的所谓的边际后验更确切地说是，对于个效应，针 对一模型是否包含某效应，即该效应是否显著，共有2 个模型对于每个模型计算 它的后验概率那么对特定效应的边际后验概率即是所有包含该效应的模型计算所 得的后验概率之和b o xa n dm e y e r ( 1 9 8 6 ) 根据1 0 个数据集的分析得出“。m 。和 的均值分别为o 2 ，96 这结果从经验上验证了效应稀疏性原则，并因此建议n “。 和的取值分别为o2 ，l o 2 4广义模率g m r ( g e n e r a l i z e dm o d u l u sr a t i o ) 法及相关方法 v o s s ( 1 9 8 8 ) 提出的广义模率g m r ( g e n e r a l i z e dm o d u l u sr a t i o ) 检验设 函数是 关于ld 的非降函数例如， = l6 ，或，i = ( 1 i ( i ) ) 2 该检验过程是基于统计 量r = d ，其临界值c 。( i ，a ，) 由g 决定g = m “( ，l ， ) d ， = 1 ，其 中d = 坠l 。 ，n = ( ，。k ) 是一非零的实向量，且q 三o ，j = 1 ，p 盼 c 。( i ，a ，k ) i 口l = 巩= o 】_ 。是c 。( i ，n ，) 依赖于反的分布 所谓的广义模率检验就是对于j ，如果研 ( r ，n ，女) ，r = j ，j 。一1 ，则判 定吼，1 o ，即对应的效应是显著的 显然，对于g m r 检验，r 中的函数，和向量n 的选取至关重要，它们关系 到检验的稳健性v o s s ( 1 9 8 8 ) 在这篇文章的主要结果是，广义模率控制了试验误差 ( e x p e r i m e n t w i s ee r r o r ) ，即至少有一个非显著效应被错误的认为是显著的概率 v e n t e ra n ds t e e l ( 1 9 9 6 ) 在检测效应的显著性时用到一个较为合适的比率k ， k ：! 些圭! ! i ， 、( 1 i ) ；：11 目 相应的p 值是仇= l 一只( k ) ，其中f f ( z ) = p r 0 6 ( ksz i 所有的个效应均不显著) 根据效应稀疏性的假设，认为至少f 个效应能确定是不显著的检测是否所有 的效应均不显著时用到统计量 岛= m i n ( 鼽：fs tsn 一1 ) 其中lsf n 一1 在原假设凰下，昂的分布可精确的计算出来设s 为岛分布的。分位点， 相应的值在他们表l 给出 当昌昌则拒绝原假设，即个效应中存在显著效应 进一步，依次序找出第一个，使啦s f ( 。) ，其中4 l ，4 值即为不显著的效应 个数 已有的一些检验效应显著性的方法 5 v e n t e ra n ds t e e l ( 1 9 9 6 ) 提出的方法中根据计算出来的所有p l 值，可判断效应稀 疏性的假设是否成立还有依f 的选择可将已知的信息( 显著性效应所占比例的大 小) 参与到计算过程如果能确定效应稀疏性存在，可取较大的l 值；反之，只能取 较小的f 值 2 5s h a p i r o w i l k 检验法 b e l l s k i ( 1 9 8 9 ) 提出用修正的s h a p i r o _ w i l k 检验法来检验显著效应的存在性并 用外层检验( o u t l i e rt e s t ) 识别显著效应修正的s h a p i r 0 _ w i l k 统计量记为m ， w ( 警1 。( t ) k ) 2 叁1 。函k 墨1 ( 一口) 2 这里日= 整1 ；z ( ，) k 是样本容量为的标准正态次序统计量的期望 m 可看成是相关型统计量，大的m 值( 接近1 ) 表示观测的数据与正态分布强 相关小的值意味着并不是所有的对照有相同的均值( 有些对照的均值非零) ， 则正态性不满足，表明存在显著效应当判定存在显著效应后，b e n s k i ( 1 9 8 9 ) 提出 用外层检验来识别显著效应设如是对照第一和第三分位数的差值，将落在区间 ( 一2 如，2 如) 之外的对照所对应的效应认为是显著的b e n s k i ( 1 9 8 9 ) 提出了如下的具 体过程：如果s h a p i r o - w i l k 检验认为存在显著效应，则进行外层检验如果外层检 验识别出显著效应，不考虑最大的对照( 认为其对应的效应是显著的) ，接着同样进 行s h a p i r 0 - w i l k 的显著效应存在检验和外层检验，这样一步步做下去 b e m k i ( 1 9 8 9 ) 提出的s h a p i r o - w i l k 检验法无法确定因子水平的设置情况，且该 检验并没有用到不显著对照均值为零这一信息 2 6 l e n t h 方法及其推广 l e n t h ( 1 9 8 9 ) 给出了标准差r 的一个稳健估计，并将它称之为拟标准差( p s e u d o s t a l l d a l de r r o r ) ( 或p s e ) ， p s e = 1 5 m e d i a “ 25 。i 或1 ( 2 2 ) 其中中位数( m e d i a n ) 的计算是在满足l 鼠l 25 s o 中的l 瓯 当中进行的 s o = 15 m e d i a nl 鼠l ， 当仇，i = l ，2 ，k 为零且误差服从正态分布时，初始标准误差s o 是反的标准差 的一个相合估计因p r d 6 ( f ( o ，1 ) l 25 7 ) = o 0 1 ，故如果所有以为零，( 2 2 ) 中 已有的一些检验效应显著性的方法 6 的l 瓯l 2 ，取使旧i m a d o 的那些鼠值； 三针对第二步得出的鼠，重新计算m a d o ，如与原先计算的m a d 0 不同，则 重复第二步，直到新计算的m a d o 与之前计算得到的m a d o 相同，则算得的最后 一个m a d o 记为，m 4 d o 根据f m a d o 可得到关于方差。的一致估计 、i m a d o 口= 一 叫 这里的。是一个修正因子，在他们的表l 中给出了一定范围的”所对应的o 。j u a n a n dp e n a ( 1 9 9 2 ) 考虑到估计的偏差( b i a s ) 和均方误差( m s e ) ，针对常用的8 至6 4 个 处理组合的设计，建议采用 = 35 ，此时n 。= o 6 5 7 8 通过模拟，得出当显著效应 个数超过2 5 时，m a d 0 的m s e 明显低于p s e 的m s e ，而不论显著效应个数的 多少，f m a d o 的偏差总是低于p s e 的偏差 j u a na n dp e n a ( 1 9 9 2 ) 提出了的检验效应显著性的方法如下： 已有的一些检验效应显著性的方法 若 i 鼠| z 。a 则认为这个效应是显著的 这里对一给定的卢，z 。由p ( | zi z 。) = ( 1 变量，n 为对照的个数，则 7 ( 2 3 ) p ) 确定z 是服从( o ，1 ) 的随机 铲一f 堡垒掣1 令。= 亳，( 23 ) 等价于l 目：i 忱，m a d o 取u = 3 5 ，卢= o 0 5 ，对8 ，1 6 ，3 2 个处理组合的设计，分别为4 ，44 和4 8 d o n g ( 1 9 9 3 ) 提出的方法与l e n t h ( 1 9 8 9 ) 提出的方法类似，计算过程如下： 一首先计算s ；，s = m - 1 。2 ) 田这里s o = 1 5 m e d i a n ( 1 文i ：t = l ，2 ，日；m = 带 j c = 1 巩j 2 5 s o ) ，即满足条件 j6 ，j 2 5 s o ) 的巩的个数 二用9 8 同时置信区间( 反一( ，y ，m ) s l ，反+ t ( 7 ，m ) 刚来判断文是否是显著的 若值落在该区间之外的，则认为该效应是显著的这里7 = l 土警哇，( 7 ，m ) 是自由 度为m 的7 分位点 d o n g ( 1 9 9 3 ) 不仅从模拟中指出，并从理论上证实了当效应稀疏的情况下，p s e 的m s e 小于8 0 的m s e ，s 1 的m s e 小于p s e 的m s e ，即在3 0 ，p s e ，8 1 三种中，s 1 的m s e 最小 d o n g ( 1 9 9 3 ) 用统计量掣作出正态概率图，对给出的四个例子进行分析 2 7 等方差检验法 b i s s e i i ( 1 9 8 9 ) 用等方差检验来识别效应的显著性等方差检验最早是由b a r t l e 饥 ( 1 9 3 7 ) 提出的，用到统计量 如1 n ( u ) ； ( 2 4 ) 。 + 志去一击， ( 2 s ) 其中睢是个体方差，戒是相应的自由度，i = l ，2 ，口是由每个个体方差地赋 予权重也计算得出的总方差估计 在等方差的假设条件下，统计量等近似服从自由度为一1 的x 。分布 当对每个个体的自由度咖相等，设为，则( 2 4 ) ，( 2 5 ) 为如下形式： m = 批l n ( 口) 一l n ( ) 咖 。甜 =m 已有的一些检验效应显著性的方法 8 a = + 等妒 尽管对于非正态的样本数据，该检验并不理想，但它还是被广泛的应用且b 似 ( 1 9 4 5 ) 对它进行改进，使之当它没有足够的自由度估计个体方差时也适用 b o x ( 1 9 4 5 ) 针对较小的曲进行修正： 令； = 后一1 ； 尼= 睾； 6 _ 高毛， l a + 。 则统计量褊可以用自由度为，1 ，2 的f 分布来检验 当所有的有相同的自由度，可令 b = 篆， 由 需巩，l ( 6 一 站) 可解得o ( osas1 0 0 ) 点m 。： 帆= 寿 将m ，代入b ，即得 耻者 当击：1 b ：! ! ! 坚! 上圣燮丝堡 后击 = h 小) 一；l n ( 吼 = l n ( ；尬) 一；l n ( 坛) b i s s e l l ( 1 9 8 9 ) 提出口的简单形式： b = l n ( ；尬) 一；l n ( 尬) ( 26 ) 已有的一些检验效应显著性的方法 9 依( 26 ) 作出显著性检验当等方差假设不成立时，认为存在显著效应这时去掉最 大均方所对应的效应接着考虑剩下的可个效应，类似前面所作的检验步骤，依次 测出显著效应 对于两水平的设计可用半正态图来检验因子效应的显著性而对于三水平的设 计，因效应涉及到线性和二次效应，这时用半正态图并不合适我们知道，在原假 设下，三水平设计的均方服从自由度为2 的x 2 分布，也就是指数分布或是参数为1 的w e i b u l l 分布这两种分布均可用来检测三水平设计效应的显著性，只是这时图 的横坐标对应的不是效应而是均方 b i s s e u ( 1 9 9 2 ) 曾指出自由度为”的个因子，在没有显著因子的原假设下，个 均方，记为蚴，服从x 2 分布，期望为m 尬的方差为 以m i ) = 2 ”( 等) 2 = 警 显然有 监掣箬螋妣 ( 2 7 ) 2 m 2 “2 一l 、7 这时将其换成样本形式，即为 坠娑( 。) 。x h 那么 s 2 ) ( ；一1 m v 一1 ) 口 其中s 2 为地的样本方差 b i s s e l l ( 1 9 9 2 ) 用统计量豪来检验效应显著性用到的临界值是根据( 2 7 ) 得出 的，并针对一定范围的，给出了”= 1 和”= 2 时对应的临界值表在例子 l ，6 ( 2 1 5 ) ，设。为个体误差率( 在原假设情况下至少一个效应被认为是显著的概率) ， 令p = l 一( 1 一o ) ”，b i s s e u ( 1 9 9 2 ) 提到当p 值在o 1 一o 3 范围内，意味着很可能存 在显著效应，这时去掉最大均方所对应的效应，即认为它是显著的，对剩下的效应 在进行类似的检验 2 8t 统计量法 s c h n e i d e r ，k a s p e r k s ia n dw e i s s s f e i d ( 1 9 9 3 ) 基于方差估计子提出的t ( 如= 等) 统计 量的估计偏差较小，该方法得出的结果与用正态概率图和b n 粥s 图方法得出的结果 相似检测显著因子用到的临界值类似于l e l l t h 方法，但该方法是基于统计量的渐 近正态性，即t 。服从渐近正态性这一点可参看( s c h n e i d e r ( 1 9 8 6 ，p 1 9 1 ) 已有的一些检验效应显著性的方法 由下式得出方差的极大似然估计占， 掣= 一，器+ 嘉势= 。 1 0 其中l i 5 ( z ) 是标准正态密度函数；币( z ) 是标准正态分布函数；n 是用来估计方差的绝 对值较小的对照数 s c l l n e l d e r 等认为n 取接近罟的数通常是不错的选择即用统计量来检测显 著性效应是稳健的，且据有一致性( 随n 增大，估计的结果类似) 检测显著性效应时用到统计量 t = 口：士r 子 兵中r 值宙以l 、两个等式确定： 只喊 o 】= ； t 的渐近期望： e ( t ) = e l 良士t 子 = 土r 口； 渐近方蒡： 州出弘 竿 这里 7 = 刊( 掣一p ) 1 其中 p = 一( ；) 根据t 的渐近正态性，由( 2 8 ) ，( 29 ) 可得 西( 五靠) = ；， 即 万荐乔2 毛， 其中毛是标准正态分布的上g 分位数 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 已有的一些检验效应显著性的方法 由( 2 1 0 ) 可得 t g = 其中n = 1 一( 1 一o 0 5 ) t 于是当如值不在 一曙，+ 礓 之内的，认为“为显著的； 当“值在【- 丁00 2 5 ，+ 丁00 2 5 】之内的，认为如为不显著的； 当“值在( 一丁鲁，一丁00 2 s ) 与( 丁00 2 5 ，一碍) 之内的，认为无法判断其是否是显著 的 此外，v ”i y a 毗a b r a h a ma n dc h e n ( 2 0 0 5 ) 对每个处理的m 次重复值基于j a c k k n i f e 方法来估计表现量度( p e r f o r m a n c em e a s u r e s ) 的方差，并用合适的f 分布来检 测效应的显著性 d e j e e - dj a c k k n j f e 方法识别因析设计中的显著因子 3 d e l e t e dj a c k k n i f e 方法识别因析设计中的显著因子 3 1 常用的表现量度 1 2 考虑一个实验，它有n 个处理组合，每个处理组合重复m 次试验，令为第t 个处理组合第j 次重复得到的试验值， = 1 ，2 ，- ，n ；j = 1 ，2 ，m 最常用到的表现量度包括，7 l = 蟊和，7 2 = l 。g 。( s ；) 其中吼= 击凳1 蜥， 拈 击摩釉严 关于表现量度在b o xa n dm e y e r ( 1 9 8 6 ) ，l e o n ，s 1 1 0 e m a k e ra l l dk a c k e r ( 1 9 8 7 ) ，b 0 x ( 1 9 8 8 ) 等都曾讨论过下表给出了一些较为常用的表现量度 表1 ：常用的表现量度 响应类型记号具体的表达式 均值q l甄 方差取对数7 7 2 1 0 9 。( s ；) 3 2 介绍d e l e t e dj a c k k n i f e 方法估计方差 在s h a oa n d ，工 l l ( 1 9 9 5 ) 里讨论过将d e i e t e dj a c l 【l ( n i f e 方法用于重复抽样以得到样 本的一个方差估计于是用该方法用于检验试验设计的显著因子对于n 个处理组 合的试验设计，看成有n 个小样本，对每个小样本应用d e l e t e - dj a c k k n i f e 方法得到 其一个方差估计，最后对所有小样本估计的方差进行简单的算术平均得到试验设计 方差分析表用到的方差 先考虑第i 个处理组合，重复m 次试验并假设表现量度为t 7 ，对于d e l e t e - d j a c i k k i l i f e ，则对应的统计量 7 = ? 7 r ( 协，j s 。) s 是 1 ，2 ，m ) 的子集( 为去掉的集合) ，且该子集有d 个元素酽是s 的补 集，1 d 茎m ，r = m d ( 为剩下的个数) d e j e p d 如c k 如】施方法识别因析设计中的显著因子 1 3 q 和啦，。几乎相同，只是t 7 r ，。是由原始的m 个数据去掉其中的d 个数据 蜥，j s ) 之后剩余的数据得到的 很显然，当d = 1 时，即得到普通的j a c k k n i f e 方法，d e l e t e - dj a c k k n i f e 方法是 j a c k k n i f e 方法的推广 对一给定的表现量度，统计量q = ? 7 ( 们，驰，) ，d e l e t e dj a c k k i f e 的方差估 计在s h a oa 1 1 dt u ( 1 9 9 5 ) 给出： 一a 2 泰三( 帅一专三玑0 ， ( s 1 ) s s s s 这里= ( ：) ，即为m 个数去掉d 个数的所有情况的可能数 对于绣个处理组合的实现，一个总的方差( 。j 。一d ) 估计即为 1 亡二( ) 聊。砒一4 2 元厶巧一k d 最后用f 统计量去检测因子效应的显著性令m s 代表因子效应的均方， f ：兰生， 吐一d 其中奶。k d 的自由度为( m 一1 ) n 关于用普通的j a c k k n i f e 方法得到的方差估计所获得的统计量f 去检测效应显著 性的合理性，v a r i y 乱h ，a b r a h a ma n de h e n ( 2 0 0 5 ) 在附录中给出对于d e l e t e _ dj a c k k n 滟 方法，情况类似。 3 3 应用实例 下面将上节所述方法应用到一个具体的例子中 这个例子来自w ua n dh a m a d a ( 2 0 0 0 ，p 1 2 4 ) ，它是一个晶体外延层生长试验生 产集成电路( i c ) 器件的一个初始步骤是在抛光的硅晶片上产生一个外延层晶片 镶在一个称为感应器的六面柱体上( 每面有两块晶片) ，这个六面柱体在一个钟形 容器里旋转这个容器通过其顶部的喷咀喷入化学蒸汽并加热，这个过程持续到外 延层生长到所要求的厚度厚度的目标值是1 45 微米( m ) ，其误差范围为1 4 5 士o 5 微米，即实际厚度应尽可能接近1 45 ，并在区间【1 4 ，1 5 】内，试验人员需要找出可以 设置的过程因子使得外延层的不均匀性达到最小，同时确保平均厚度尽可能接近目 标值该外延层生长试验使用了一个1 6 个水平组合的完全因析设计( 每个水平组 合重复6 次试验) 因子及对应的水平如下表2 ： d e j e e dj a 吐k j 】施方法识别因析设计中的显著因子 表2 ：晶体外延层生长试验的因子及水平 因子 水平 因子的代号具体的内容 a 感应旋转方法连续震荡 b 喷咀位置 26 g 沉积温度 1 2 l o1 2 2 0 d 沉积时间低高 该四个两水平的因子的晶体外延层生长试验的设计阵和厚度数据如下表3 表3 ：晶体外延层生长试验的设计阵和厚度数据 1 4 试验号 abcd 厚度 1 1 4 8 1 21 47 7 41 4 7 7 21 47 9 41 4 8 6 01 4 9 1 4 2 1 37 4 81 3 7 7 81 3 8 7 01 3 8 9 61 3 9 3 21 3 9 1 4 3 一 一 + 1 47 2 2 1 47 3 61 4 7 7 41 4 7 7 81 4 6 8 21 48 5 0 4 1 3 8 6 01 3 8 7 61 3 9 3 21 3 8 4 61 3 8 9 61 3 8 7 0 5一+一+1 4 8 8 61 4 8 1 0 1 4 8 5 81 4 8 7 61 4 9 5 81 4 ，9 3 2 61 4 1 8 21 41 7 21 4 1 2 61 4 2 7 41 4 1 5 41 4 0 8 2 7 一+1 4 7 5 81 47 8 4 1 5 0 5 41 5 0 5 81 4 9 3 81 4 9 3 6 81 3 9 9 6 1 39 8 8 1 40 4 4 1 4 0 2 8 1 41 0 8 1 40 6 0 9 上上 1 5 2 7 21 46 5 6 1 4 2 5 8 1 47 1 8 1 5 1 9 81 54 9 0 1 01 4 3 2 4 1 4 0 9 21 3 5 3 61 3 5 8 81 3 9 6 41 4 3 2 8 1 1 +一+1 3 9 1 8 1 4 0 4 41 49 2 6 1 49 6 2 1 4 5 0 41 4 1 3 6 1 2 j_上 1 3 6 1 41 3 ，2 0 21 3 7 0 41 4 2 6 41 4 4 3 21 4 2 2 8 1 3 +一+1 4 6 4 81 4 3 5 01 4 6 8 21 5 0 3 41 53 8 41 5 1 7 0 1 4 1 39 7 01 4 4 4 81 4 3 2 61 3 9 7 01 3 7 3 81 37 3 8 1 5 +1 4 1 8 41 4 4 0 21 5 5 4 41 5 4 2 41 5 0 3 61 4 4 7 0 1 6 +一1 38 6 61 4 1 3 01 42 5 6 1 4 0 0 01 3 6 4 01 35 9 2 这里考虑表现量度啦，在用d e l e t e dj a c k l ( 1 1 i f e 方法估计方差时考虑d e l e t e 2j a c k - d e j e e - dj a c k 妇j f e 方法识别因析设计中的显著因子1 5 k n i f e 方法，则( 31 ) 即为 啦2 端薹( 聃厂高p s ) 在该例子中