（光学专业论文）半导体耦合微盘谐振腔的模式特征研究.pdf

华侨大学硕士研究生毕业论文 ii 原创性声明 原创性声明 本人声明兹呈交的学位论文是本人在导师指导下完成的研究成 果。论文写作中不包含其他人已经发表或撰写过的研究内容，如参考 他人或集体的科研成果，均在论文中以明确的方式说明。本人依法享 有和承担由此论文所产生的权利和责任。 学位论文作者签名： 日期： 学位论文版权使用授权声明 学位论文版权使用授权声明 本人同意授权华侨大学有权保留并向国家机关或机构送交学 位论文和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅。 论文作者签名： 指导教师签名： 签 名 日 期： 签 名 日 期： 华侨大学 硕士学位论文 1 摘摘 要要 半导体微腔激光器具有小体积，低功耗，低阈值等优点，在光子集 成和光电子集成等方面有广阔的应用前景。 半导体微盘激光器作为最早 发展起来的微腔激光器，已经被各国科学家进行了广泛的研究。最近， 耦合微盘激光器也因为能通过光刻技术这个简单的制作方法来实现而 引起了科学家们的广泛关注。 本论文运用二维时域有限差分方法（fdtd）并参照二维微盘的解 析解，模拟和分析了半径(r)相同，折射率为 n 的两个微盘构成的耦合 微盘随两个微盘之间的距离发生变化时的模式特征。 对于同一阶回音壁 模式(whisper-gallery mode)，当模场分布呈不同对称性时，模式波长和 品质因子(q 值)随微盘间距的大小的变化出现分裂现象。结果还显示一 阶回音壁模式和二阶回音壁模式在一定情况下会发生耦合， 并且当耦合 区大小变化时一阶模和二阶模的模式耦合特征中出现了反交叉耦合现 象。 运用 fdtd 方法对于 n3.2，r1m 的耦合微盘的模拟时发现， 模场分布关于 y 轴呈对称分布时， 一阶 wgm te9,1模和二阶 wgm te6,2 模的模式特征随微盘间距大小变化时， 模式特征的变化存在反交叉耦合 模现象。而当 n2.8 时，te9,1 和 te6,2 也发生耦合，且模场分布关于 y 轴呈反对称分布时，模式波长出现耦合交叉现象。若改变微盘的半径， 同样存在基模和高阶模的耦合现象。 一阶和二阶 wgm 的耦合会导致一阶 wgm 模式 q 值的下降。因 此在做器件的时应避开这些耦合模，使品质因子处于最大值，从而实现 激光器的低阈值激射。 关键词：耦合微盘，关键词：耦合微盘，fdtd，模式耦合，反交叉耦合，模式耦合，反交叉耦合 李俊杰 半导体耦合微盘谐振腔的模式特性研究 2 abstract semiconductor microcavity layers have many advantages such as ultrasmall volume and ultralow threshold. they have great potential applications in optoelectrinics integration. as one of the important types of microcavity lasers, microdisk lasers have been investigated all over the world. recently, evanescent-coupled microdisks have attracted a great attention, because they can be fabricated easily by the lithographic technique. numerical simulation is the fabricate elements for the semiconductor microdisks. in this paper, the mode characteristics for twin coupled microdisks are investigated by 2-d finite-difference time-domain(fdtd) technique. in the two coupled micodisks, mode coupling between the same order whispering-gallery modes (wgms) results in coupled wgms with split mode wavelengths. the numerical results show that the split mode wavelengths of the coupled first and second order wgms can have a cross point in some case. for the two coupled microdisks with the radius r = 1 m and the refractive index n = 3.2. the anti-crossing coupling exists between the coupled wgms te9,1 and te6,2 for the field pattern is symmetry to the y axis. when change n to 2.8. the mode wavelengths of the two coupled wgms te9,1 and te6,2 have a cross point in some place. when change r. the mode coupling between the first and the second wgm is existent too. the mode coupling between the first and the second order wgms can greatly reduce the mode q-factor of the coupled first order wgms. so we can avoid these phenomena when fabricate semiconductor coupled microdisks. key words: coupled microdisks, fdtd technique, mode coupling, anti-crossing coupling mode 李俊杰 半导体耦合微盘谐振腔的模式特性研究 4 第一章 第一章 绪论绪论 半导体微腔激光器是一种新型结构的半导体激光器，是近年来国内外的一个热 点研究课题。与传统的谐振腔相比，半导体微腔具有品质因子高、体积小、自发辐 射系数高、大自由谱宽等优点，因此在光通信、光集成、光互连、光神经网络以及 光通讯等方面有着广泛的应用前景，并可用于大规模光子器件集成电路，而且可以 和光纤通信网络和大规模、超大规模集成电路匹配组成光电子信息网络。另外由于 其尺寸小，对腔内发光物质产生量子限制，从而出现一系列腔量子电动力学(cavity quantum electrodynamics, cqed)效应， 因此为腔量子电动力学理论的研究提供了展 示舞台。光学微腔器件由于其独特的优点，可作为微腔激光器、光学滤波器、光波 分复用器、光开光、光调制器等信息光电子技术的关键器件。其实用化必将带动高 新信息技术产业的发展，对整个光信息技术的发展具有极其深远的影响。 1.1 光学微腔的分类 光学微腔的分类 光学微腔是一种至少在一维方向上的尺寸可与光波长相比拟的微型激光器。它 的特点在于同时具有小的模式体积 v 和很高的品质因子 q， 光学微腔的 q/v 远远大 于普通的光学谐振腔。它的分类方法很多，最常用的是根据微腔对光场的不同限制 机理进行的分类,可以将光学微腔分为三类： 第一类是法布里柏罗(fabry-perot, fp) 腔，第二类是回音壁(whisper-gallery, wg)腔,第三类是(photonic crystal, pc)腔，分 别如图 1.1 所示1-3。 图 1.1 光学微腔的分类 fp 型微腔的有源区一般为多量子阱材料的短腔结构，有源区上下分别由多层 1/4 波长厚的高低折射率交替的外延生长层形成分布布拉格反射镜(dbr)， 其作用等 效于激光振荡反射镜面。由于其腔长短，单程增益小，要形成高品质因子的腔要求 华侨大学 硕士学位论文 5 f-p 腔镜面具有极高的反射率。对于半导体材料来说，解决的办法就是精密生长 20 对左右的 dbr，以达到 99以上的反射率。这种腔的出光方向垂直于表面，因此 可用于制作高密度的二维激光器阵列。 wg 型微腔是通过高折射率腔介质与周围低折射率介质(多为空气)所构成的界 面的全反射来实现对腔内光场的强限制，使光波在腔内沿环形回路形成特殊的回音 壁模式 (whispergallery mode，wgm)。wg 模式微腔包括微盘、微球、微柱、 微环等。 wg 模式微腔是一种典型的微腔结构， 也是目前研究最为广泛的微腔结构， 在微腔的研究中已成为热点。 pc 型微腔是通过在光子晶体中引入一定的缺陷来实现的。与微盘类微腔相比 能实现更小的模式体积和更大的 purcell 因子4。时域有限差分(finite-difference time-domain, fdtd)计算表明单模光子晶体缺陷激光器的自发辐射因子可以大于 0.85。可以说光子晶体缺陷腔激光器是目前最接近自发发射因子为 1 的所谓“无阈 值激光器” 。 pc型微腔始于1987年yablonocich6和john7分别提出光子晶体的概念， 短短二十年，光子晶体微腔的研究已经得到了非常大的进展。 1.2 光学微腔的物理基础 光学微腔的物理基础 1.2.1 强耦合腔量子电动力学8 一个处于激发态的原子如果将其放置在一个体积为 v 的无损耗光学微腔里， 并 且该微腔中存在与受激原子共振的模式，则原子和微腔光学模式之间将会发生能量 的来回转移，转移的频率称为 rabi 频率，这种来回转移的过程称为 rabi 振荡。如 果 rabi 振荡能够发生，则原子和谐振腔模式之间的作用属于强耦合范畴，事实上， 只要原子场系统是孤立的，则这一基本动力学过程就是可逆的。强耦合系统就是 指能够使 rabi 振荡存在的系统。实际情况是，谐振腔总是具有有限的光子寿命(有 限的 q 值)，这会通过不可逆的能量泄漏限制甚至阻止 rabi 振荡。同时，原子与连 续的辐射模式之间的耦合会导致自发发射衰减和偏振相移。这时原子和空间电磁模 式之间的能量传递是单向不可逆的，这样的过程属于弱耦合范畴。强耦合存在的条 件是原子场的耦合强度 g 大于所有耦合速率即 1/t。其中 g 为 rabi 频率的一半， t 为相互作用时间。强耦合系统在弱信号下的透射谱会表现出两个分立的峰，分别 对应与原子腔模式的量子纠缠态(这样的态不能分解为谐振腔模式态和原子态的 分量)，这一现象称为 rabi 分裂。定义两个无量纲的量：饱和光子数 n0和临界原子 数 n0： 0 2 r r nv g p 0 2 rv n gq (1.1) 李俊杰 半导体耦合微盘谐振腔的模式特性研究 6 其中(,r r p )为原子耗散速率(分别为粒子数驰豫和原子相移)，为谐振腔寿命。 饱和光子数n0和临界原子数n0都是描述可逆过程以及各种衰减速率的函数。n0表 示饱和一个腔内原子所需的光子数，n0表示对腔模产生明显作用的原子数。强耦合 条件要求两者都要远小于 1。 目前采用超高反射镜技术的 fp 类型的谐振腔得到的最 低数值为：n0=2.8210-4, n0=6.1310-3 9。 1.2.2 purcell 效应 一直以来人们认为自发辐射是受激原子的本身特征，只有借助于不可逆的自发 辐射才能使原子和真空电场之间实现平衡。1946 年 purcell 从理论上预示：在弱耦 合条件下(电子向空间电磁模式的能量传递是单向不可逆)，如果受激原子不是处于 真空中，光学微腔的存在改变了光学模式的频谱分布，当电偶极子的辐射波长和微 腔的谐振波长相吻合的时候， 那么自发辐射将会得到增强。 其增强倍数 purcell 因子 10为 3 3 4 q p nv = (1-2) 这种光学微腔导致的自发辐射增强或抑制现象在试验中得到了证实11,12。上式表 明，einstein自发辐射跃迁几率的增强因子p与腔的模式体积成反比，减少腔的模 式体积可以提高自发辐射增强因子。光学微腔利用这一原理来改变腔内自发辐射的 特性，有希望将其自发辐射因子提高为1，即全部自发辐射光子都进入某一个激射 模式。这就大大降低了激光器的阈值，使激光器相变的界限逐渐消失，从而实现无 阈值激射。 1.3 微腔激光器的发展 微腔激光器的发展. 1.3.1 多边形微腔激光器 正多边形微腔激光器可以看作是圆形微腔的变形。当正多边形微腔的边数比较 小的时候，由于其对称性比圆形微腔的对称性低的多，所以其模式特征可能与圆形 微腔的模式特性有很大差别。目前研究比较多的有正三角形，正方形，正六边形， 另外长方形微腔也有研究。 目前，正多边形微腔的研究已经取得一定的研究成果。在正六边形方面：1993 年日本的ntt研究小组ando及其合作者采用选择性的外延生长技术在(111)晶面 gaas 衬底上成功的制备gaas/algaas 正六边形微腔，获得六个非常平滑的腔镜 面，在室温光泵浦下实现激射，微腔尺寸为8m，工作波长在875nm，阈值功率约 18pj13。2000年德国马普研究所研究小组推出基于有机染料晶体的室温光泵浦下激 射的正六边形微腔激光器14； 1996年日本ntt的s.ando小组报道了两个等边三 华侨大学 硕士学位论文 7 角形耦合的激光器， 他们采用在(111)晶面gsas/ingaas的外延片上通过选择区域的 金属氧化物化学气向沉积(mocvd)生长制作了带输出波导的三角形腔激光器，边 长8和12m的激光器在室温光泵浦下获得激射，通过分析模式间距发现其是环形 回路谐振的微腔模式15。2003年美国纽约州立大学chang及其合作者采用选择性 外延生长技术制作了基于(111)晶面 gaas衬底的ingaas、gaas超晶格材料的边长 为75m的半导体等边三角形激光器，在低温脉冲光泵浦下获得激射效果16。2004 年我们课题组通过两步icp刻蚀技术在ingaasp材料上制备了520m的正三角 形微腔激光器，在光荧光(pl)谱中成功观察到微腔模式峰，模式间距和理论结果吻 合的很好17。今年我们课题组实现了室温电注入激射18。对正方形微腔的研究是近 几年才开展起来的，目前已经取得了一些研究进展。2001年美国耶鲁大学的a. p. poon在正方形截面的光线中观察到多模谐振腔， 光线理论分析表明， 这是环形谐振 腔的微腔模式19。2003年韩国的sejong大学的h.j.moon等人报道了大尺寸(边长 100m)的双层正方形结构的微腔激光器，他们通过在硅柱外层涂敷增益材料实现 增益，并通过减小正方形层的厚度获得了单模激射效果20,21。2003年我们课题组提 出正方腔中也存在高品质因子的类wg模， 通过严格求解maxwell方程得到腔模本 征值，并利用群论分析描述了模式对称性22。图1.2显示的是上述几种多边形腔典 型的扫描电镜(sem)图。 图1.2 (a)带输出波导的正三角形腔激光器15，(b)正三角形腔激光器17，(c)正方形腔激光器20，(d) 正六边形腔激光器14 1.3.2 微盘/微环激光器的发展 早在1912年剑桥大学的lord qayleigh 就分析了回音壁行为， 波在界面处发生 全反射，类似回音壁形成环形回路23。这样的环形腔由于全反射的限制必然具有极 高的品质因子，基于wg模式的微盘激光器在1992年由美国贝尔实验室的s. l. mccall等人提出24。他们利用hcl溶液inngaasp多元化合物和inp材料的选择 性腐蚀特性，在50nm的ingsasp有源区下面腐蚀出大约1m边长和2m高的inp 柱子作为支撑。由于圆盘内wg模式集中在圆周边缘部分，inp柱基本不和高密度 的场区重叠，因此散射损耗小。同时有源区薄板上下形成了空气的强光场限制，整 李俊杰 半导体耦合微盘谐振腔的模式特性研究 8 个腔结构具有很高的品质因子。 他们制作的310m直径的微盘激光器在低温光泵 浦微盘激光器的方案中一直为后继者所采用。同年，mccall等人在室温下又实现脉 冲电注入激射的微盘激光器，同样是ingaasp/inp材料上制作柱子支撑结构，不同 的是采用了双层圆盘的方案，上面的圆盘用作电接触，下面的圆盘是谐振腔，中间 支撑的柱子同时形成电流注入的通道25。1993年他们又制作了半径只有0.8m的微 盘激光器，并实现了室温光泵浦激射，其自发辐射因子估计为0.126。在之后的十 多年时间里，微盘激光器成为国际上微腔激光器研究的热点，并取得一系列突破性 的进展。 微盘激光器的发展有两个主流方向，一个是降低阈值电流、提高工作温度的的 工作，另一个是实现微盘激光器定向光输出的工作。 微盘激光器在降低阈值方面工作的发展大致如下：1998年由日本的baba小组 首先报道了第一个室温连续电注入激射的直径为3m的ingaasp/inp微盘激光器 27。 他们采用反应离子束刻蚀技术并结合多步骤清洁的处理工艺来改善微盘的制作 结果，提高微盘的品质因子，实现了阈值电流为150a，激射光波长为1.63m的室 温连续激射。同年，美国南加州大学levi研究小组报道指出微盘要实现连续激射， 必须解决散热问题，而试验测得柱状支撑结构微盘边缘的温度很高，不利于连续工 作。因此他们摈弃了柱状结构，利用蓝宝石良好的导热性和低折射率将 ingaas/ingaasp/inp多量子阱结构材料键合在蓝宝石衬底上，成功实现了直径为 4.5m的ingaas/ingaasp微盘的室温光泵浦激射，激射波长为1.6m，阈值功率为 1.1mw28。这种结构保证了光场在垂直方向上的强限制，同时又很好的解决了散热 问 题 。 1999年 该 研 究 小 组 又 报 道 了 室 温 下 阈 值 电 流 为1.2ma的 ingaas/gaas/algaas电注入型微盘激光器的连续激射，激射波长为1.0m，微盘直 径9.5m29。 他们通过湿热氧化algaas层在微盘周边形成aloy实现了光场强限制 以及良好的导热性能。2000年日本的baba研究小组通过采用cl2/xe基感应耦合等 离子体干法刻蚀工艺获得了陡直、平整的刻蚀效果。同时适当设计微盘的直径使得 激光器工作波长处于有源区增益谱的峰值位置，成功的将ingaasp/inp微盘激光器 的阈值电流降到40a30。2001年该研究小组又报导了ingaasp/inp微盘激光器的 自发发射因子为0.1的实验结果31。2004年x.liu等人报导了zno/sio2/si材料系 微盘结构的室温光泵浦激射,微盘半径为220m，激射波长为390nm左右，实现 了紫外激射32。同年9月，加州大学圣巴巴拉分校的e.d.haberer等人报导了 gan/inn材料系的柱状支撑结构的微盘激光器在波长为415nm左右的激射33。 微盘各向同性的回音壁结构带来了高品质因子的wg模， 同时也造成定向输出 的困难，人们就如何实现微盘的定向输出并且最低程度降低输出对腔模特性的破坏 做了大量的工作，也取得了很多成果。 华侨大学 硕士学位论文 9 在实现微盘的定向输出方面人们做了大量的工作，其中包括1993年美国南加 州大学a.f.j.levi小组在微盘的边缘引入突起34。1994美国西北大学s.t.ho小组实 现了双层圆盘耦合而在上层盘边缘留下缺口的双层微盘耦合型微腔激光器35。1998 年贝尔实验室在science上报导了实现定向输出的微盘激光器，他们采用的变形圆 盘微腔具有蝴蝶结型的谐振模式，所用的材料是量子级联激光器材料，激光器的工 作波长在5m附近36。2004年美国贝尔实验室的y.baryshnikov实现了非对称变形 结构的微盘激光器，观察到局域在腔内的类wg模，并实现了非常强的定向输出 37 。同年韩国高等科技大学的y.h.lee小组的椭圆变形微腔等38。 1.3.3 耦合微盘激光器的发展 单个的微腔并不能将所有的光学能量完全限制在腔内，根据微腔尺寸的不同， 消逝波能向外传播几个微米的距离。光场的这种空间位移提示人们在该微腔的周围 放置一个或者多个相同的微腔，使这些微腔之间通过光学耦合效应达到能量的集 中，以提高整体的输出功率。同时，通过这种结构可以在微腔内对光子进行操纵。 根据这种思想，人们提出了所谓的“光子分子微腔(photonic molecules)39。t.baba 等人在试验上实现了光子分子微盘激光器的激射，并发现由于光学耦合而导致的模 式分裂，即激射谱中同时存在两个对称和反对称的耦合分裂模，并且与理论分析得 到的结果有很好的一致性。同时当电流非均匀注入时在这种微腔结构中存在双稳态 效应。这种微腔模式特性显示，为了在对称模式和反对称模式之间发生模式转换， 必须对不同微盘的半径进行精确控制，使得电流注入导致的折射率变化与占优势模 式相匹配40,41。a.i. nosich等人通过求解二维微盘的本征值问题对光子分子微腔激 光器的激射特征进行了理论分析，通过适当选择两个微盘之间的距离可以降低激光 器的阈值电流42。 人们运用特征值方法和莫尔边界积分方程对由几个相同的微盘构 成的光子分子的模式特征进行分析和研究43,44。s. v. boriskina 通过数值模拟由两 个半径不同的微盘构成的光子分子微腔的耦合特性发现，可以通过改变微盘的半径 或者光子分子微腔的参数来控制和调节wg模的品质因子和模式波长45。另外人们 广泛研究了由两个相同的微盘构成的光子分子微腔耦合模的模式分裂以及转移特 性39,40,42。从特殊的角度看这些发现对低阈值以及定向输出的激光器的制作有一定 的指导作用。 1.4 本论文的主要工作本论文的主要工作 本论文运用时域有限差分方法以及理论分析的方法对二维的耦合微盘的模式 特征进行了分析。本论文可分为五章。 第一章为绪论，介绍了半导体光学微腔的分类、研究背景和发展现状。第二章 李俊杰 半导体耦合微盘谐振腔的模式特性研究 10 介绍了数值模拟工具：二维时域有限差分方法fdtd方法、以及相关的知识，包括 稳定性条件和边界条件。第三章理论分析了二维微盘，简单的总结了二维微盘的模 式特征。第四章运用时域有限差分方法对二维耦合微盘进行了模拟，给出了二维耦 合微盘的模式特征，并对耦合微盘的模式特征给出相应的理论分析。第五章对本论 文进行了总结。 本论文创新点如下：用二维时域有限差分对二维耦合微盘谐振腔进行了数值模 拟，发现在耦合微盘中除了存在同阶模之间的耦合，还有高阶模和基模间的相互耦 合，这种耦合现象大大增加了耦合微腔基模的损耗，使耦合微盘的品质因子降到很 低。这提示我们在制作耦合微盘作为谐振腔时应尽量避免基模和高阶模之间的耦合 现象，减小腔的损耗。 华侨大学 硕士学位论文 11 第二章 第二章 时域有限差分方法时域有限差分方法 自1873年麦克斯韦(maxwell)建立电磁场基本方程以来， 电磁波理论和应用的发 展已经有一百多年的历史。 目前电磁波的研究已经深入到各个领域， 应用十分广泛。 具体实际的研究电磁波的特性也有着十分重要的意义。应当说，解析解有着重要的 指导意义。然而，只有一些经典的问题有解析解。由于实际环境的复杂性，往往需 要通过数值解得到具体环境下的电磁波特性。随着计算机技术的发展，已经有有限 元法(fem)、边界元法(bem)、矩阵法(mom)等计算电磁波的方法提出并得到了广 泛的发展。 时域有限差分(finite difference time domain, fdtd)方法是k.s.yee于1966年首 次提出的一种电磁场数值计算的新方法49。 在上个世纪八九十年代得到taflove等人 的大力发展50,51，同时也借助计算机技术的飞速发展，现在的fdtd方法已经发展 为一种功能强大使用广泛的电磁场问题的数值分析方法。它对电磁场e、h分量在 空间和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个e(或h)场分量周围有四个h(或e) 场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分 方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。yee提出的这种抽样方式后来被 称为yee元胞，fdtd方法是求解麦克斯韦微分方程的直接时域方法。在计算中将空 间某一样本点的电场(或磁场)与周围格点的磁场(或电场)直接相关联，可以方便的 处理各种复杂目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射等问题。同时，fdtd随时 间的推进可以方便的给出电磁场的时间演化过程，在计算机上以伪彩色方式显示， 这种电磁场可视化结果清楚地显示了物理过程，便于分析和设计。同时,fdtd方法 从最基本maxwell方程出发，能够得到非常准确的结果。fdtd在时间轴上逐步推进 的求解，有很好的稳定性和收敛性。 本章主要介绍时域有限差分方法的一些基本概念。 介绍yee元胞及fdtd基本方 程，数值稳定性，吸收边界条件等。 2.1 maxwell方程方程 2.1.1 maxwell方程和yee元胞 麦克斯韦旋度方程可写为 j d hj d h+ = t (2.1) mj b ej b e = t (2.2) 其中， e为电场强度， 单位为伏特/米(v/m)； d为电通量密度， 单位为库仑/米 2(c/m2 )； h为磁场强度，单位为安培/米(a/m)；b为磁通量密度，单位为韦伯/米 2(wb/m2)；j 李俊杰 半导体耦合微盘谐振腔的模式特性研究 12 为电流密度，单位为安培/米 2(a/m2)；j m为磁流密度，单位为伏特/米 2(v/m2)。各向 同性线性介质中的本构关系为 eded=,hbhb 0 =, ejej=, hjhjmm= (2.3) 其中表示介质介电常数，单位为法拉/米(f/m)；0表示磁导系数，单位为亨利 /米(h/m)；表示电导率，单位为西门子/米(s/m)；m表示导磁率，单位为欧姆/ 米(/m)。和m 分别为介质的电损耗和磁损耗。真空中0=，0= m，以及 mf /1085. 8 12 0=，40=m/h10 7 在直角坐标中(2.1)和(2.2)式写为 + = + = + = z zxy y yzx x xyz e t e y h x h e t e x h z h e t e z h y h (2.4) 以及 = = = zm zxy ym yzx xm xyz h t h y e x e h t h x e z e h t h z e y e (2.5) 若考虑(2.4)和(2.5)式中的fdtd差分离散。令),(tzyxf代表e e或h h在直角坐标系 中某一分量，在时间和空间域中的离散用以下符号表示： ),(),.(),(kjiftnzkyjxiftzyxf n = (2.6) 对),(tzyxf关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，即 ()() + + + + = = = = t kjifkjif t tzyxf z kjifkjif z tzyxf y kjifkjif y tzyxf x kjifkjif x tzyxf nn tnt nn zkz nn yjy nn xix ,),.( ) 2 1 ,( 2 1 , ),( ), 2 1 ,(, 2 1 , ),( , 2 1 , 2 1 ),( 2/12/1 (2.7) 华侨大学 硕士学位论文 13 在fdtd离散中电场和磁场各节点的空间排布如图2.1所示，这就是著名的yee 元胞。由图可见每一个磁场分量由四个电场分量环绕；同样每一个电场分量由四个 磁场分量环绕。这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉第感应定律和安培环 路定理的自然结构，而且这种电磁场各分量的空间相对位置也适合于maxwell的差 分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。此外，电场和磁场在时间顺序上交替 抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，使maxwell旋度方程离散以后构成差分 方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求逆运算。因而，由给定相 应电磁问题的初始值，fdtd方法就可以逐步推进的求得以后各个时刻空间电磁场 的分布。 图 2.1 三维直角坐标下的yee氏网格及电磁分量的放置 yee元胞中e，h各分量空间节点与时间步取值的整数和半整数之间的约定如表2.1 所示 表2.1 三维直角坐标下yee元胞中e，h各分量节点位置 空间分量取样 空间分量取样 电磁场分量 x坐标 y坐标 z坐标 时间轴 电磁场分量 x坐标 y坐标 z坐标 时间轴t t 取样 取样 x e 2/1+i j k y e i 2/1+jk e节点 z e i j 1/2k n x h i 2/1+j1/2k y h 2/1+i j 1/2k h节点 z h 2/1+i2/1+jk 2/1+n 李俊杰 半导体耦合微盘谐振腔的模式特性研究 14 2.1.2 二维直角坐标中的fdtd 对于二维问题，设所有的物理量均与z坐标无关，z方向是均匀不变的，只需 将0/=z即可。则由(2.1)和(2.2)式可得 te模 = + = + = zm zx y y y z x xz h t h y e x e e t e x h e t e y h (2.8) tm模 + = + = = z zx y ym y z xm xz e t e y h x h h t h x e h t h y e (2.9) 显然，二维情况下的直角分量可分为独立的两组，即 zyx hee , ,为一组，称为 z e的te模； zyx ehh , ,为一组，称为 z e的tm模。如果考虑的是无源、无耗介质， 则 m ,均为零。则式子(2.8）和(2.9)可写为： te模 = = = x e y e t h x h t e y h t e y xz z y zx 0 1 1 1 (2.10) tm模 = = = y h x h t e x e t h y e t h x y z z y zx 1 1 1 0 0 (2.11) 在fdtd离散时，yee元胞如图2.2所示。 华侨大学 硕士学位论文 15 图2.2 二维直角坐标下的yee氏网格及电磁分量的放置 由图可见，每一个磁场分量有四个电场分量环绕；同样，每一个电场分量有四 个磁场分量环绕。同时，电场和磁场在时间上是交替抽样的，抽样时间间隔彼此相 差半个时间步。这种电磁场分量的空间取样方法符合法拉第电磁感应定律和安培环 路定律的自然结构。给定相应电磁问题的初始值，fdtd方法就可以逐步推进的求 解以后各个时刻空间电磁场的分布。表2.2给出了e，h各空间分量节点与时间步取 值的整数与半整数关系。 表2.2 二维直角坐标下te模和tm模yee元胞中e，h各分量节点位置 空间分量取样 空间分量取样 电磁场分量 电磁场分量 x坐标坐标y坐标 时间轴 坐标 时间轴 t取样 取样 z h 2/1+i2/1+j2/1+n x e 2/1+i j n te模 te模 y e i 2/1+j n z e i j n x e i 2/1+j2/1+n tm模 tm模 y e 2/1+i j 2/1+n 图2.2中， 实线和虚线分别代表格点和半格点位置， 格点位置用),(ji来标记，ji, 为整数。 同时我们令电场分量处于整数时间步， 磁场分量处于半个时间步。 根据(2.7) 的离散方式同时根据图2.2中电磁场分量的分布，离散式子(2.10)并整理得 李俊杰 半导体耦合微盘谐振腔的模式特性研究 16 += + + + + x ee y ee t hh n jiy n jiy n jix n jix n jiz n jiz 5 . 0,5 . 0, 1, 5 . 01, 5 . 0 0 5 . 0 5 . 0, 5 . 0 5 . 0 5 . 0, 5 . 0 (2.12a) y hh t ee n jiz n jiz ji n jix n jix 5 . 0 5 . 0, 5 . 0 5 . 0 5 . 0, 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 1 , 5 . 0 + + + + + + + + += (2.12b) x hh t ee n jiz n jiz ji n jiy n jiy 5 . 0 5 . 0, 5 . 0 5 . 0 5 . 0, 5 . 0 5 . 0, 5 . 0, 1 5 . 0, + + + + + + + + = (2.12c) 同 理 ， 离 散 式( 2 . 1 1 )整 理 得 到t m的 差 分 格 式 为 += + + + + + + + y hh x hh t ee n jix n jix n jiy n jiy ji n jiz n jiz 5 . 0 5 . 0, 5 . 0 5 . 0, 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 , , 1 , (2.12d) y ee t hh n jiz n jiz n jix n jix ,1, 0 5 . 0 5 . 0, 5 . 0 5 . 0, = + + + + (2.12e) x ee t hh n jiz n jiz n jiy n jiy , 1 0 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 += + + + + (2.12f) 在式子(2.12)中(2.12a)、(2.12b)、(2.12c)和(2.12d)、(2.12e)、(2.12f)分别为te模和tm 模的fdtd时间推进计算公式，从整个公式可以看出，其整个流程为 若已知tntt= 01 时刻各处)(eh分布及tn)2/1(空间各处)(he分布 计算2/ 12 ttt+=时刻空间各处)(he e的值 计算2/ 21 ttt+=时刻空间各处)(eh值 图2.3 二维fdtd计算电磁场te（tm）模逐步推算流程 2.2 吸收边界条件吸收边界条件 由于计算机容量的限制，fdtd计算只能在有限的区域内进行。为了能模拟开 域的电磁散射问题，在计算的截断边界处必须给出吸收边界条件来终止计算区域。 以自由空间的散射问题为例， 电磁场分布于整个空间。 为了模拟计算这一散射过程， 只能截取空间有限区域进行分析，计算模拟只限于截断边界以内的区域，这就相当 于以有限空间实验室内的散射实验来模拟自由空间中的散射过程。这时，只有在实 验室墙壁上敷以吸收波材料，使波在此界面无反射，并且波在此处被吸收，形成微 华侨大学 硕士学位论文 17 波暗室。相应地，在计算中给截断边界处所设置的吸收边界条件就起着截断边界处 吸收入射波的作用。吸收边界在fdtd的模拟中有相当重要的作用，人们在它上面 花了大量的精力。到目前为止已经有各种各样的吸收边界条件(absorbing boundary condition，abc)被提出，从开始简单的插值边界，到后来的mur吸收边界，以至近 来的完全匹配层(perfectly matched layer，pml)吸收边界，其吸收效果越来越好。 比较常用的是mur吸收边界和pml吸收边界，但是这两种吸收边界条件有着本质的 区别，berenger提出的pml吸收边界条件是目前吸收效果最好的，它的基本思想是 在临近边界的一段区域内引入具有吸收损耗的介质，并对相应场分量应用劈裂场的 技术，在出射波到达边界前将其吸收，消除边界的反射。这种吸收边界条件不依赖 平面波假设， 而且对各方向的入射波都能实现极大的吸收。 但是pml的编程效率低， 而且需要在临近边界处增加额外的pml层。而mur吸收边界条件是通过差分将临近 边界的最外格点的场表示为上一个时间步最外和次最外格点场以及当前时间步次 最外格点场，从而终止计算区域。需要注意的是这个差分关系推导是基于平面波近 似的，因此mur吸收边界条件依然引起一定的伪反射。但是它的编程效率比pml要 高的多52。 2.2.1 完全匹配层 如图2.4所示假设有入射波从折射率为n1的无耗介质中投射到pml层上， 入射角 为任意角度 i 。pml层内的折射率为n2，x方向和y方向的电导率和磁导率分别为 myymxx , , ,。 图2.4 光波在pml边界上的入射，反射和透射示意图 下面我们只考虑入射波为te模的情况。由(2.4)和(2.5)式，在直角坐标系的自由 李俊杰 半导体耦合微盘谐振腔的模式特性研究 18 空间中maxwell方程为 =+ =+ =+ x e y e h t h x h e t e y h e t e y x zm z z y y z x x 0 (2.13) 其中 r 0 =。在pml层中，berenger假设将磁场分量hz分裂为两个子分量 zx h和 zy h，且 zyzxz hhh+=，于是(2.13)可以重新写成 =+ =+ + =+ + =+ y e h t h x e h t h x hh e t e y hh e t e x zymy zy y zxmx zx zyzx yx y zyzx xy x 0 0 )( )( (2.14) 在pml层中存在如下形式的透射波； + = = z x x y yxz h ni ik e ykxktith 2 20 )(exp (2.15) 为使其满足方程(2.14)由如下关系式 += += )1)(1 ()sin( )1)(1 ()cos( 2 200 2 2 200 2 nii knk nii knk ymy ty xmx tx (2.16) 其中k代表真空中的波数， 00 =k。图中介面左边区域内的入射场加反射场可 简单表达为 + = + = )sin()cos(exp )cos( )sin()cos(ex