（计算数学专业论文）基于小波的b样条曲线曲面的局部多分辨编辑.pdf

西北_ = 业大学硕士论文 摘要 随着c a d c a m 技术的不断发展，对造型技术的要求越来越高，迫使人们 将不断寻找新的更有效的造型方法。小波分析技术的出现，为解决上述问题提供 了一种新的思路。由于小波基具有多分辨特性，故此，1 9 9 4 年，f i n k e l s t e i n 和 s a l e s i n 将小波技术应用到曲线曲面造型领域，开辟了曲线曲面多分辨造型的新 方法。从此，多分辨分析的思想被广泛地应用到c a g d 中，并且取得了很多研 究成果。 本文在准均匀b 样条曲线曲面的多分辨表示和多分辨编辑的基础上，首次 提出了b 样条曲线曲面的局部多分辨编辑。它可以看作是对原有的b 样条曲线 曲面多分辨编辑的一种改进，不同的是这种方法可以对曲线曲面的某一部分进行 多分辨编辑和修改，而不会影响曲线曲面的其他部分。所以这种方法对于曲线 曲面进行精细的修改具有一定的优势。这在几何造型中尤其是在曲线曲面设计后 期是非常有用的，因为在设计后期，往往不需要对整个曲线曲面进行改动，而是只 须修改不满意的那部分。因而，本文提出的曲线曲面的局部多分辨编辑不仅丰富 了b 样条曲线曲面的修改手段使得人们对曲线曲面的修改更加灵活多样，而且 也具有一定的现实意义和实用价值。文中还对b 样条曲线曲面局部多分辨编辑 时的连续拼接问题进行了研究，并给出了不少算例。从这些算例可以看出本文局 部多分辨编辑的思想及局部修改效果。 关键词：b 样条小波局部多分辨编辑分裂多分辨表示 西北工业人学硕士论文 a b s t r a c t t h ee m e r g e n c eo fc o m p u t e rt e c h n o l o g ya n dt h e a p p l i c a t i o n o fc a d c a m e n a b l ep e o p l et ob r e a c ht h ea b o r i g i n a lm a n u f a c t u r i n gm o d ea n dt or e a l i z et h el e a p f r o mh a n dd r a w i n gt oc o m p u t e ra i d e dd e s i g n b u t w i t ht h ec o n t i n u o u sd e v e l o p m e n to f c a d c a mt e c h n o l o g y , t h ed e m a n dt os c u l p t i n gt e c h n o l o g yi sb e c o m i n gh i g h e ra n d h i g h e r , w h i c hf o r c e sp e o p l et of i n dn e w m o r ee f f e c t i v es c u l p t i n gm e t h o d sc o n s t a n t l y t h ee m e r g e n c eo fw a v e l e t sa n a l y s i sp r o v i d e sn san e wi d e af o rt h es o l u t i o no ft h e a b o v ep r o b l e m f o rt h er e a s o nt h a tw a v e l e tb a s eh a st h ep r o p e r t yo fm u l t i - r e s o l u t i o n , t h ew a v e l e t t e c h n o l o g yh a s i n f i l t r a t e dt h r o u g hm a n ys c i e n c er e s e a r c hf i e l d sg r a d u a l l y i n1 9 9 4 ，f i n k e l s t e i na n ds a l e s i na p p l i e dw a v e l e tt e c h n o l o g yt ot h ef i e l do f s u r f a c e ， w h o i n a u g u r a t e d an e wm e t h o df o rm u l t i - r e s o l u t i o nc u r v es u r f a c es c u l p f i n g f r o mt h a t t i m eo n ，t h ei d e ao fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sh a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt oc a g da n d m a n y a c h i e v e m e n t sh a v eb e e no b t a i n e d i nt h i s t h e s i s ，t h em u l t i - r e s o l u t i o nd e n o t a t i o na n de d i t i o no fq u a s i u n i f o r m b - s p l i n ec b r v es u r f a c ea r ee x p a t i m e di nd e t m lw i t hal a r g eq u a n t i t yo f o u t l i n e s o n t h i sb a s i s ，l o c a lm u l t i - r e s o l u t i o ne d i t i o no f b - s p l i n ec u r v es u r f a c ei sp u tf o r w a r df o r t h ef i r s tt i m ei nt h i st h e s i s t r a d i t i o n a lc u r v es u r f a c em u l t i r e s o l u t i o ne d i t i o nm o d i f i e s o re d i to n l yi na l l u s i o nt ot h ew h o l e c u r v e ( s u r f a c e ) w h i c hi sn o t f i tf o rm o r er e f i n e d m o d i f i c a t i o nt oc u r v es u r f a c ei nt h el a t t e rs t e po f g e o m e t r i cs c u l p t i n gd e s i g n s ol o c a l m u l t i r e s o l u t i o ne d i t i o no f b - s p l i n ec u r v es u r f a c ei sm o r em e a n i n g f u l t h eb a s i ci d e a i sa sf o l l o w s a c c o r d i n gt on o d e i n s e r t i n ga l g o r i t h m ，s p l i tt h eo r i g i n a lb s p l i n ec u r v e ( s u r f a c e ) a n dd e n o t ei n d e p e n d e n t l yt h ep o r t i o no f t h ec u r v eo rs u r f a c et h a tn e e d st ob e m o d i f i e d t h e n ，m u l t i r e s o l u t i o ne d i tt h ec u r v eo rs u r f a c ea n dd i s c u s st h ec o n t i n u i t y j o i no fa l lc u r v es u r f a c e s m a n ya s p e c t sr e l a t e dt ot h i sp r o b l e ma r ed i s c u s s e da n d s t u d i e di nt h i st h e s i s f o rc u r v e s ，ac 1o rc 2 c o n t i n u i t yj o i n c o n d i t i o no fc u r v e 西北工业大学硕七论义 s e g m e n t si sg i v e na f t e rl o c a lm u l t i - r e s o l u t i o ne d i t i o n f o rs u r f a c e s ，a g 1 c o n t i n u i t y j o i nc o n d i t i o n o fs u r f a c es e g m e n t si sg i v e na f t e rl o c a lm u l t i - r e s o l u t i o ne d i t i o n k e y w o r d s ：b s p l i n e ，w a v e l e t sa n a l y s i s ，l o c a l m u l t i r e s o l u t i o n e d i t i o n ，s p l i t ， m u l t i r e s o l u t i o nd e n o t a t i o n 西北工业大学硕士论文 第一章绪论 随着电子技术及计算机技术向各个技术领域渗透，入类步入了一个技术迅猛 发展的新时代。c a d c a m 技术的产生和应用使人们摆脱了较为原始的生产方 式，实现了由手工绘图到利用计算机辅助设计的飞跃。计算机辅助几何设计 ( c o m p u t e r a i d e d g e o m e t i l e d e s i g n ，简写为c a g d ) 这一术语1 9 7 4 年由b a r n h i l l 与r i e s e n f e l d 在美国犹他大学的一次国际会议上提出的。它是借助于数学的理论 和方法并融合计算机应用技术解决计算机辅助设计中的种种数学问题，建立数学 模型，使得设计既适合计算机处理，能有效的满足形状描述与几何要求，又便于 形状信息传递和产品数据交换，它是工业发展和尖端产品研发的关键技术。 1 1 参数曲线曲面造型方法概述 随着计算机技术的发展，人们寻求适合计算机处理的自由曲线曲面数学表示 方法导致了c a d c a m 技术的产生和发展。因此c a d c a m 技术从一开始就与 自由曲线曲面造型技术紧密联系在一起。迄今为止，有关参数曲线曲面的造型方 法已有很多，下面对此做一个简要的回顾。 1 9 6 3 年，美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出了将曲线曲面表示为参数 的矢函数方法。他最早引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四角点的位置矢 量及两个方向的切矢定义的f e r g n s o n 双三次曲面片。 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院的c o o n s 发表了一个具有一般性的曲面描述方 法，给定围成封闭曲线的四条边界就可以定义一块曲面片。1 9 6 7 年，他进一步 推广了这一思想。在c a g d 实践中应用广泛的只是他的特殊形式一c o o n s 双三 次曲面片。 同年，s c h o e n b e r g 提出的样条函数提供了解决连接问题的一种技术，用于形 西北工业大学硕士论文 状描述的样条方法是样条函数的参数形式，即参数样条曲线曲面。样条方法用于 解决插值问题，在构造整体达到某种参数连续阶的插值曲线曲面是很方便的，但 局部形状调整的自由度比较小，样条曲线和曲面的形状难以预测。 上述造型技术都属于构造插值曲线曲面的方法，即主要用于构造那些通过给 定型值点的曲线曲面，并不是令人很满意的曲线或曲面的设计方法。这是因为： 1 ) 在曲线曲面设计起始阶段。设计者对所设计产品的外形仅有一个非常粗略的 概念。为得到满意的外形，设计者尚需不断修正型值点的位置。用上述方法对位 置尚未最后确定的型值点构造相应的插值曲线或曲面，显然是不合理的。必然导 致计算时间和资源的浪费。2 ) 曲线，曲面的形状不易控制。例如应用参数方法 构造曲线时虽然可以使曲线通过所有型值点，但其形状还取决于所选定的端点条 件。3 ) 上述方法都不具有局部性质。修改一个型值点都会影响整条曲线和整张 曲面的形状。而且形状变化难以预测。 在这种情况下，法国雷诺汽车公司的b e z i e r 于1 9 7 1 年给出了一种由控制多 边形定义曲线的方法。设计人员只要移动控制顶点就可以方便的修改曲线的形 状，而且形状的变化完全在预料之中。b e z i e r 方法简单易用，又出色地馋决了整 体形状控制问题。b e z i e r 方法在c a g d 学科中占有重要的地位，它广为人们接 受，为c a g d 的迸一步发展奠定了坚实的基础。但b e z i e r 方法仍存在一些缺点： 首先，不具有局部性，特征多边形或特征网格的每个顶点都对曲线曲面的形状都 有影响，因此修改任一个顶点将会影响整条曲线或整张曲面的形状。故而不能做 局部修改；其次，曲线曲面次数依赖于特征网格的顶点个数，当曲线曲面形状复 杂时，需增加特征多边形或特征网格的顶点数。这样必然提高了曲线或曲面的幂 次数，从而增加计算量，而且高次代数曲线曲面导致曲线曲面形状有较大的波动， 与特征网格的形状有较大差异。再次，在处理曲面片间的光滑拼接方面也存在困 难。 1 9 7 2 年，d eb o o r 和c o x 分别独立地提出了关于b 样条标准算法的d e b o o r - c o x 公式，使b 样条开始得以广泛的应用。g o r d o n 和r i e s e n f e l d 揭示了了 b 样条曲线与b e z i e r 曲线的内在联系，首次提出了在几何设计中应用b 样条方 西北工业大学硬士论文 法，它几乎继承了b e z i e r 方法的一切优点，成功的解决了曲线曲面局部形状修改 问题，使得只对曲线曲面某一部分进行修改而不影响曲线曲面的其他部分，轻而 易举地解决了曲线的光滑连接问题。随着节点插入技术，分割技术及升阶技术的 给出，使b 样条方法更加完善，更加灵活，更加实用。遗憾的是，b 样条方法不 能精确地表示圆锥曲线，二次曲面与旋转曲面，只能给出近似的表达式。因而不 能满足某些机械产品的要求。 1 9 7 5 年，美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 在他的博士论文中首次提出了有理 b 样条方法，及非均匀有理b 样条( n o n - u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e 简称n u r b s ) 。 后来，p i e g l 和t i u e r 等人系统地论述了n u r b s 曲线曲面的构造，形状调整方法 和具体应用。与b e z i e r 方法和b 样条方法不同的是，有理b 样条曲线曲面不但 可以通过修改控制顶点来修改曲线和曲面的形状还可以通过修改权因子来进行 曲线和曲面的形状调控。实际上，n u r b s 曲线曲面是b 样条曲线曲面在四维空 间的推广，自然继承了b 样条曲线的优点：计算稳定，快速，几何直观性强以 及具有保凸性，并易于实现分割，升阶，插入和删除接点等操作。而由于它在造 型方面的强大潜力，n u r b s 已经作为工业产品数据交换的s t e p 标准，也被作 为描述工业产品几何形状的主要数学方法。 1 2 参数曲线曲面的修改方法 传统的参数曲线曲面造型方法经历了b e z i e r 方法，b 样条方法，有理b 样 条方法，并且每一种方法的改进除了继承上一种方法的所有优点之后，更重要的 是对曲线曲面的修改能力大大的增加了。因为我们在进行曲线曲面设计时，不可 能一步到位。而是通过设计员先设计出一个大致的形状，然后根据具体要求通过 后期的修改和变形再进行“糟雕细刻”，这样，才能达到我们的要求。所以，是 否具有强大的修改能力是衡量一种曲线曲面表示方法优劣的重要标准。b e z i e r 方 法修改形象直观，几何意义明显但不能做局部修改。改动一个控制顶点会影响 曲线曲面的整体形状。b 样条方法克服了b e z i e r 方法的不足，它可以对曲线曲面 两北工业大学硕士论文 进行局部修改。但是，b 样条曲线不能精确地表示圆锥曲线，二次曲面与旋转曲 面，只能给出近似的表达式。因而不能满足某些机械产品的要求。 n u r b s 的出现为自由形状的数学描述提供了近乎完美的方法，然而，由于 其主要思想是：取特征点的加权平均来表示一个形状，般而言，用它来描述一 个形状是很困难的。故而，造型过程后期的形状修改是必要的。1 9 8 9 年，p i e g l 3 2 j 给出了有理b 样条曲线形状修改法，该方法直接从n u r b s 曲线的定义出发，重 新计算权因子和控制顶点，由于它依赖于诸如点线距离等几何概念，因而实际使 用时比较直观和窑易理解，但往往要进行节点插入算法。1 9 9 5 年，a u l 3 3 】和y u e n l 3 3 】 给出了n u r b s 曲线的形状修改法。该方法同时修改控制顶点和权因子，可使修 改达到较细微的效果。但这种修改方法没有一个真正的几何解释。因而不易被用 户理解。现今，随着c a d c a m 的发展及其应用范围的不断扩大，对造型技术 的要求越来越高，迫使人们将不断寻找新的更有效的造型方法。小波分析技术的 出现，为我们解决上述问题提供了新思路。它既是一项强有力的分析技术，又是 一种快速的计算工具。除了同时具备时频局部性以外，另一个重要的性质就是多 分辨特性。所以，如果用小波基来表示曲线曲面，那么就可以在不同分辨率上对 曲线曲面进行修改。也就是说可以在保持轮廓不变的情况下修改曲线的细节部 分，或者在保持细节不变的情况下修改曲线的轮廓。这样，就增加了修改的自由 度，可以更方便，快捷的对曲线曲面进行形状调控。 1 3 小波技术在c a g d 中的应用及发展现状 小波分析是f o u r i e r 分析的突破性进展。它既是一项强有力的分析技术又是 一种快速的计算工具，兼具重要的理论和使用价值。小波是刻划数据内部相关性 结构的有利工具。在数据压缩和逼近方面具有强大威力。小波融合了子带编码， c a g d 中的分割，分形和自相似性，样条和图象处理中的塔式分解算法等众多领 域的有关思想，是处理这些问题的统一框架，是众多应用领域的连接点。小波促 进了各门学科的交叉和发展，其应用领域十分广泛，而且还在不断拓展。小波概 4 西北工业大学硕士论文 念产生于1 9 8 4 年，是法国数学家m o r l e t 在进行地震数据分析时提出的。1 9 8 6 年， m e y e r 创造性的构造出具有一定衰减性的光滑函数矿，其二进伸缩和平移 ) = 2 j 12 矿( 2 。f 一肼。构成了l 2 ( r ) 的规范正交基，从此掀起了研究小波的 热潮。1 9 8 8 年，m a l l a t 在b u t t 和a d e l s o n 图象分解和重构的塔式算法启发下， 基于多分辨分析m r a ( m u l t i r e s o l u t i o na n a i y s i s ) 框架，建立了小波系数的快速 算法。它在小波分析中的地位相当于快速f o u r i e r 变换( f f t ) 在经典f o u r i e r 分 析中的地位，同时，也统一了在此之前所有具体正交小波基的构造。正因为小波 所具有的这些特点使得小波分析在几何造型和计算机图形学上得到了广泛的应 用。 迄今为止，小波技术在几何造型中的应用已经取得了很多的研究成果。1 9 8 9 年，m a l l a t 9 1 在i e e et r a n s a c t i o no np a t i e ma n a l y s i sa n dm a c h i n ei n t e l l i g e n c e 上发 表了关于信号和图象的小波分解及多分辨分析的理论的文章。从此，多分辨分析 的思想慢慢渗透到了各个研究领域。1 9 9 3 年，q a c k l l l 和w a y r i c h 1 】提出了闭区间 样条小波的分解与重构算法。同年，m u r a k i s 1 1 1 】讨论了三维数据点的小波变换及 其多分辨分析理论。1 9 9 4 年，f i n k e l s t e i n l 2 1 和s a l e s i n l 2 1 将小波技术应用到曲线曲 面造型领域，开辟了曲线曲面多分辨造型的新方法。他们以b 样条小波为基础， 研究了准均匀b 样条曲线的多分辨表示极其在多分辨编辑中的应用。1 9 9 5 年， s t o l l n i t z 7 , s ，d e r o s e t 7 , s l 币1 s a l e s i n p , 8 】研究了一次，二次，三次b 样条曲线的多分辨 表示和编辑，并且讨论了h a a r 小波基在图像的多分辨表示及图像压缩中的应用。 1 9 9 6 年，d e r o s e 13 1 和l o u n b e r y 1 3 1 将多分辨分析及小波理论推广到任意拓扑类型 曲面并且研究了三角网格曲面的多分辨表示及压缩。1 9 9 5 年，g o r t l e r 【16 】和 c o h e n 1 6 1 研究了小波在变分几何造型中的应用。1 9 9 6 年，p e t e r s c h r o d e r 口o j 对小波 技术在计算机图形图像中的应用作了一个总体的回顾。 在国内，也有很多学者研究- f , b 波技术在c a g d 中的应用，并取得了很多成 果。1 9 9 8 1 9 9 9 年，孙延奎“7 ”“1 等研究了小波技术在b 样条曲线和曲面光顺中 的应用。他们给出了在任意光顺容差下求解光顺曲线和曲面的方法。2 0 0 1 年， 赵罡0 3 ，朱心雄。1 从几何概念出发。论述了基于小波的均匀b 样条曲线曲面和准 西北工业大学硕士论文 均匀b 样条曲线曲面的多分辨表示和编辑的原理及其实现，同年，孙延奎。“等在 介绍了准均匀的b 样条曲线小波分解快速算法的基础上，建立了张量积b 样条曲 面多分辨率表示的概念，并用数学形式严格描述曲面小波分解和重构的快速算 法。2 0 0 2 年，刘建“3 ，关右江“1 等人提出了半正交b 样条小波分解和重构的新算 法，同时给出了处理非均匀b 样条曲线的非整数阶分辨率的小波分解和重构算 法，并实现了任意非均匀b 样条曲线的多分辨率表示。2 0 0 2 年，赵罡“”等研究 了小波技术在准均匀8 样条曲线曲面变分造型中的应用。由于小波基具有多分辨 特性，使得这种方法可以大大提高迭代速度。 目前为止，小波分析的思想已经广泛的应用在几何造型中。尤其在b 样条曲 线曲面多分辨表示和编辑中更是有它自己独特的优点，具体表现在： 1 逼近的曲线曲面能够保留原曲线曲面的总体形态。 2 逼近的曲线曲面可由较少的控制顶点和b 样条基函数表示，因而可用于曲线 曲面的数据压缩。 3 小波分解将曲线曲面分解为底分辨部分( 低频部分) _ 和细节部分( 高频部分) 逼近的曲线曲面是由原曲线曲面去掉高频成分得到的，看起来比原曲线曲面 更顺服。分解次数越多，得到的逼近盐线曲面越光顺。由此为曲线曲面光顺 及定量控制光顺误差提供了新思路。 4 ，可由粗到精地对曲线曲面进行分级传输和显示。 5 可以两种不同的编辑方式，不同层次下编辑曲线。在保持整体形状不变的情 况下改变曲线细节，或在保持细节不变的情况下改变曲线的整体形状。因此， 增加了调整曲线形状的自由度。 1 4 本文的研究内容 综观小波技术在b 样条曲线曲面上的应用，只是研究了曲线曲面的整体的多 分辨编辑。还未见利用多分辨技术对曲线曲面进行局部的编辑研究。可是在实际 应用中，尤其在曲线曲面的后期设计阶段，可能不需要对整条曲线进行编辑，只 6 西北工业大学硕士论文 曲面多分辨编辑显然是不妥的，在此背景下就有必要来研究曲线曲面的局部多分 辨编辑。可见，曲线曲面的局部多分辨编辑具有一定的现实意义和实用价值。 针对上述问题。本文主要研究了以下两个问题： i 通过b 样条曲线的分裂的技术，研究了b 样条曲线的局部多分辨编辑问 题，从而解决了利用小波多分辨技术局部修改曲线曲面的目的。其基本思想是： 通过节点插入算法，对原始的b 样条曲线进行分裂，把想要修改的那一部分曲线 段单独表示出来，对此曲线段进行多分辨编辑，然后再按照一定的连续性将各 曲线段光滑的拼接起来，即可达到局部修改效果。 2 把b 样条曲线的局部多分辨编辑的思想推广到张量积b 样条曲面上，进 而讨论了准均匀张量积b 样条曲面的局部多分辨编辑。 在研究b 样条曲线曲面的局部多分辨编辑过程中，作者还对曲线曲面在重 构时的连续性拼接条件进行了讨论，并得到了相应的结果。 7 西北工业大学硕上论文 第二章多分辨分析的有关概念 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s 简称m r a ) ，又称为多尺度分析， 它是建立在函数空间概念上的理论，但其思想的形成来自于工程，其创建者 s m a l l a t 是在研究图象处理问题时创建的这套理论。当时人们研究图象的一种 很普遍的方法是将图象在不同尺度下分解，并将结果进行比较，以取得有用的信 息。m e y e r 正交小波基的提出，使得m a l l a t 想到是否可用正交小波基的多尺度 特性将图象展开，以得到图象不同尺度间的“信息增量”。这种想法导致了多分 辨率分析理论的建立，m r a 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而 且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。其思想又同多采样率滤波器组不 谋而合，从而使小波变换同数字滤波器的理论结合起来。因此多分辨分析在正交 小波变换理论中具有非常重要的地位。 2 1离散信号的多分辨率表示嘲 设离散信号c 。是由肌个抽样点，c f ，c ：一。构成的列向量，即 c 。；( ，c i ，一) 7 。其中，j 是非负整数，t 表示转置运算。在曲线曲面造型 中，可以将( 七= o ，1 ，m 一1 ) 想象为三维空间r 3 中的控制顶点或与控制顶点对 应的x ( y 或z ) 坐标。如果要求用m t ( m 。 m ) 个抽样点的低分辨信号c 川描述c - ， 并用d 1 捕捉丢失的细节信息，则问题的关键是合理的选择矩阵p j , q ，a ，和b 使得 c 。= p c 。+ q d 。( 2 1 1 ) c = a j c ，d 一= b 7 c ( 2 1 2 ) r 西北工业大学硕士论文 其中p 7 ，q7 ，a 。和b 。分别是x m i ，m ( 坍- m 1 ) ，m l m ，和- m i ) m 阶矩阵a 式( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 表明，p ，和2 ，的作用是从低分辨部分c j 。和细节部分d ，。 恢复c ，因此称之为重构矩阵。a ，和b ，的作用是将c7 分解为低分辨部分c 川和 细节部分d r l ，因此称之为分解矩阵。上述两式所表示的分解与重构过程可用图 2 1 表示： d 弋三： 小波分解 c 一l c 旷夕 小波重构 图2 1 小波分解与重构 上述将c ，分解成低分辨部分c 川和细节部分d 川的过程可递归的应用于 新的信号c 川。依次递推下去，c 。可表示成低分辨部分c j - i ，c j - 2 c o 和细节部 分d 川，d 一，d o 的分级结构。如图2 2 所示。这个递归分解过程称为滤波器库。 d 弋三：= 弋d _ 1d o _ 图2 2 滤波器库 原始信号c 。可由序列c 0d od ，d 川得到恢复，该序列称为c 。的小波变 换。并且原始信号c ，与其小波变换c o ，d o ，d 1 ，d 川具有相同大小的存储量。 小波变换在信号处理中具有重要的地位。首先，如果构造的p 。，q ，a ，和b 9 堕! ! 三些查兰塑主丝苎 一 都是稀疏矩阵，则滤波器库运算通常可在p ( 历) 时间内得到快速实现。其次，对 实际遇到的许多信号，小波变换中的大部分系数非常小以致可以忽略因此，通 过存储其中的少量重要的系数即可达到数据压缩的目的。 2 2 函数空间及函数的多分辨表示 设y ，( - ，2 0 ) 是由基m ，( z ) = ( 叫( x ) ，a q ( x ) ，叫( x ) ，中：一。( 工) ) 张成的l l l 维线 性空间，而v j 一1 是由基m 川( 曲= m ( x ) p 。张成的维线性空间，其中p 。为m n 矩阵，且m o ，对任意的g e v 。1 ) 式中，v ，表示，为矿，中的函数。 = 0 ，表示，与g 的内积为零。椐 此，y ，可以写成v h 与，- 1 的直和即 矿。= 矿一1 0 形一1 由于一c 矿，所以w 川中的基t 川( x ) 中的每个元素都可由v 中基m 。( x ) 线 性表出，即存在m ( m m ) 矩阵有 甲川( 工) = m 。( x ) q 。 1 0 西北工业大学硕士论文 这样矿，中的基底m - ( x ) 可用【m 川( x ) ，甲川( x ) 】替代。与基底m 。( z ) 不同，基底 渖川( x ) ，甲 o ) 】包含两个不同部分，v 一中的基函数垂川( 力称为尺度函数，川 中的基函数t 川( x ) 称为小波。称v 1 为尺度空间，1 为小波空间。依次类推 可得到图2 3 所示的函数空间的分解： 1 弋弋矿 1矿一2o 图2 3函数空问的小波分解 由上面的结论可知，对于任一函数乃矿。存在惟一的函数，v 川和 g j i 川，使得 j i = l i - 、七gp 且称z 一为的低分辨部分，g 川为的细节部分。把函数乃分解为一个低分辨 部分一。和一个细节部分g ) - i 的过程，称为函数正的小波分解。反之，从低分辨 部分一，和细节部分g 川恢复为的过程，成为函数的小波重构。 现将空间v ，的尺度函数和矿。的小波排成行向量，依次记为m - 和t ，设c ， 表示在y 。的基m 下的坐标构成的列向量，c 川表示一。在r 川的基m 川下的 坐标构成的列向量，d 川表示g 卜。在川的基t h 下的坐标构成的列向量，则 i = 啦! c | 一l = m w c 。1 g ，一l = 甲7 1 d 一 t l 西北工业大学硕士论文 由此可以看出，将分解为低分辨部分乃一和细节部分g 川等价于将c 分解 为低分辨部分c 川和细节部分d 川。 2 ，1 节已经提及，对函数进行多分辨表示的关键问题是确定重构矩阵p 。和 o 。，并根据重构矩阵来计算相应的分解矩阵a 和b ，使得它们满足式( 2 1 1 ) 和 ( 2 1 2 ) a 引理2 1 2 1分解矩阵爿，和b j 与重构矩阵户，和q ，存在如下关系： 阱r i 鼽矧和【p 。】均表示分块贼 证明：由v 川cv 7 和w 川c v 可知，对任意的_ ，= 1 , 2 ，都存在常数矩 阵p 和o ，使得 m 。“( x ) = m ( x ) p j( 2 2 1 ) 甲川( x ) = m 7 ( x ) ( 2 2 2 ) 把式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 合并为一个表达式，有 旷i 甲川 = m p i q ( 2 2 - 3 ) 因为c = p 。c 1 + q d 川，等式两边同时乘以基函数m ，有： m c = m ，。c 川+ m 。a d 川( 2 2 4 ) 根据式( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) ，我们有 m c = m - 1 a c 。+ m 一1 b c 7 ( 2 2 5 ) 写成矩阵相乘的形式有 m h 斛m 。 亿z q 西北工业大学硕士论文 综合( 2 2 3 ) ，( 2 2 6 ) 式，有 证毕。 斛 若将函数的小波分解递归的用于新的函数乃+ 。，一，则一可分解为一 个低分辨部分五和一系列细节部分9 0 ，岛，g h ，所以有 乃= + g o + g i + - + + g j l 这样，就可以在各个尺度观察函数或对这个函数进行必要的修改。 空间 一般来说，构造一个具体的多分辨空间的步骤为： 1 构造尺度函数m 。( x ) ，- ，= 0 , 1 ，再由这些尺度函数张成一组嵌套的线性 矿ocy c 矿2c 并且根据尺度函数m ( 工) 求出组合矩阵p ，。 2 在线性空间y ，= 1 , 2 ，中选择一种内积来确定矿，的正交补空间- 。 3 选择小波函数t 。( x ) 来张成小波空间，j = 0 ，1 ，。进而确定组合矩阵 q j 。然后根据组合矩阵尸和q 7 确定分解矩阵4 和占，。 两北二r 业大学硕士论文 第三章准均匀b 样条曲线的多分辨表示 和编辑 实际中用途最为广泛的为端点插值的准均匀三次b 样条曲线，现简要说明 它的多分辨表示和多分辨编辑方法。 3 1准均匀b 样条基函数空间的多分辨表示【5 】 3 1 1 准均匀b 样条基函数空间的小波分解 对任一整数，0 ，设m = ( 尉，倒，倒，彤+ ：) 是由节点矢量 ( o ，o ，o ，。，专，舌，l 一古，1 ，l ，1 ，1 ) 定义的2 + 3 个b 样条基函数。显然，这些基函 数的线性组合是定义在【o ，1 上的准均匀b 样条函数。现用矿，表示由m ，张成的线 性空间，根据d e b o o r 递推公式可以证明，y ”1 中的每个基函数刷，剧，掣+ ： 都可表示为y 的基函数刷，科，嘭+ ：线性组合，即 ( 吲。，酬一，剧j - - i ，口：j 一- t + ：) = ( 例，研，b ；，b 刍+ ：) p 其中，p 7 是( 2 。+ 3 ) ( 2 川+ 3 ) 矩阵。具体数值参见文献【5 】。因此，y 川中的每 个函数都是y ，中的函数。即 y c y 依次类推，就得到一组嵌套的线性空间序列 矿。匕y 1 亡亡矿。一c y o 西北工业大学硕士论文 对任意的函数厂，g v 。，取内积 = f 厂( x ) g o ) a x 在此内积下，矿川在y ，中存在惟一的正交补空间，记为矿川，有 v j = v j 一1 0 w j 一1 ( 3 1 1 ) 设旷川中的基为t 川= ( 吲- i ，彤川，：! ) ，由川c y ，所以，川的基t 一 中的每一个元素都可以由矿的基m 线性表出。也就是存在常数矩阵q 。，有 t 1 = m q 7 ( 3 1 2 ) 其中，q 为( 2 7 + 3 ) x 2 川矩阵a 设中的任一函数可以分解为低分辨部分 一l v 川和细节部分g 一川，使得 乃= 乃一i + g 川 由此可知，存在常数吒( 七= 0 , 1 ，2 川+ 2 ) 和a , q = 0 , 1 ，2 。一1 ) 有 2 j + + 2 2 一i 乃= c 。剧“+ 4 彤 在这里，v 中的基函数尉，b f ，型，彤+ ：称为尺度函数，w 中的基函数称为 阡一，1 ，哗= ；1 - 。称为端点插值的b 样条小波，d t ( 1 = 0 , 1 ，2 。1 1 ) 称为小波 系数。 3 1 2b 样条小波的计算 从式( 3 1 2 ) 可以看出，b 样条小波计算的关键是求出重构矩阵q ，。由于，一 是矿川在v 。中的正交补空间，所以，w 川中的基甲h ( x ) 与v j 一1 中的基m 川( x ) 在 内积定义( 3 1 1 ) 下正交。 西北工业大学硕士论文 设向量= ( x 。，x 2 ，瓦) 和y = ( k ，k ，匕) ，其中x 。( 1 k m ) 和 l ( 1 ，n ) 是v 中的函数，我们用【 l 表示由内积 构成的m ，2 矩阵。于是由式( 3 1 2 ) 有 【 = 【 】q 。= o( 3 1 _ 3 ) 根据式( 3 1 2 ) 可以求出矩阵，但这样确定的q 7 不是惟一的，在满足每列中连 续非零值的个数最少的情况下，q 的精确求解结果参见文献【5 】。 对任一- ，i ，由q 7 和式( 3 1 2 ) 可求出驴r 中的2 川个b 样条小波，且矿r 中 的每个b 样条小波暇。1 ( 七= 0 , 1 ，2 川一1 ) 都是矿7 的尺度函数剧，剧，髟。的 线性组合，因此，b 样条小波实质上是准均匀b 样条函数。 例如： ( 1 ) w o 的一个b 样条小波 当_ ，= 1 时，妒= m 2 q 1 ，即 w = ( 剧，纠，剧，趔，捌) ；( 1 ，_ 2 ，3 ，一2 ，1 ) 7 醒：；磁( x ) 一吾纠( ；) + b ；( x ) 一罢b ；( x ) + 或( m o 茸s 1 jj jj ( 2 ) 1 的两个1 3 样条小波 当，= 2 时，￥1 = 垂2 q 2 ，即 ( 喇，彬1 ) = ( 霹，砰，砑，碍，砰，霹，霹) 9 2 ，展开可得 w g = 2 - - 去( 一1 3 6 8 8 0 2 + 2 0 6 4 郡一1 7 9 3 b ；+ 1 0 5 3 8 3 z 一6 9 l 研+ 2 4 0 b ；) r v , = 2 - - 0 击6 4 ( 2 4 0 留一6 9 1 b ；+ 1 0 5 3 b ；一1 7 9 3 厨+ 2 0 6 4 霹一1 3 6 8 霹) 西北工业大学硕十论文 3 1 3 b 样条小波的性质 1 半正交性 对任一整数j 0 ，。的任一小波吖( = o ，1 ，2 7 一1 ) 与矿中的任一尺度函 数研( ，= 0 ，1 ，2 + 2 ) 是正交的，即对任意的t ，有 = o ，而一般来说， 同- d , 波空间的小波之间不具有正交性。 2 局部支撑性 由于b 样条基函数具有局部支撑性，q ( ，2 ) 的各列除若干连续非零值外 其余都为零，因此从式( 3 1 1 ) 计算的b 样条小波具有最小支撑性，其支撑区间随 着_ ，的增大而减小。 3 对称性 ( 1 ) 1 的两个小波埘，彬是对称的。 ( 2 ) 矿2 的四个小波眩，啊2 ，孵，孵中，孵与昭对称。2 与昭对称。 ( 3 ) 当，3 时，形7 的2 个b 样条小波吲( j 】 = 0 , 1 ，2 1 ) 中，吲与 彤+ i ( 丘= 0 , 1 ，2 ) 对称，阡7 ( = 4 , 5 ，2 。- 4 ) p - q t ：h 阡7 平移得到。 3 2 准均匀b 样条曲线的小波分解和重构 将函数的小波分解与重构分别应用到参数曲线的每个坐标分量，就可进行该 参数曲线的小波分解和重构。 设一条具有2 + 3 ( ，0 ) 个控制顶点的准均匀三次b 样条曲线， 西北工业大学硕士论文 掣+ 2 一( r ) = 彤( ，) f 0 1 】( 3 2 1 ) j ：m 令c 。= ( ，吖， r ，有 一1 ( f ) = m 川c 川( 3 2 4 ) p 川( r ) = t 川d ”1( 3 2 5 ) 根据式( 3 1 2 ) ，( 3 2 5 ) 式 p j - l o ) = m ( q 7 d 1 )( 3 2 6 ) 从式( 3 2 4 ) ，( 3 2 6 ) 可以看出，曲线l 一。( f ) ，p 川( ，) 都为准均匀b 样条曲线。且pj - i ( ，) 称为逼近曲线，曲线p 。p ) 称为细节曲线。 若把分解过程递归的用于曲线t 一。( f ) ，一：( f ) ，p l ( f ) ，则原曲线可由逼近曲 线e 0 ) 和一系列细节曲线来表示成： l o ) 2p 0 ( f ) + p o ( r ) + p - ( ，) + + p ，一。( ，) 上述把曲线p f l t ) 分解为逼近曲线p o ( t ) 和一系列细节曲线 p o ( f ) ，p 一( f ) ，p 川( f ) 的过程称为曲线裔勺小波分解。反之，由逼近曲线p 0 ( ，) 和细节 曲线p o ( r ) ，p 。( f ) ，p 一( f ) 来重构曲线t ( f ) 的过程称为曲线的小波重构。 由式( 3 2 2 ) ，( 3 2 ，4 ) ，( 3 2 5 ) 可知r 将曲线一( f ) 分解为低分辨部分一一l ( f ) 和细 西北工业大学硕= b 论文 节凿线p 川( f ) 等价于将控制顶点c 。分解为低分辨部分c 川和细节部分d