（概率论与数理统计专业论文）combined+schewhartcusum+charts+with+variable+sampling+at+fixed+times.pdf

abs t r a c t t r a d i t i o n a l c o n t r o l c h a r t s f o r p r o c e s s m o n i t o r i n g a r e b a s e d o n t a k i n g s a m p l e s o f f ix e d s i z e ( f s s ) fr o m t h e p r o c e s s u s i n g a f ix e d s a m p l i n g i n t e r v a l ( f s i ) . a r e ce n t d e v e lo p me n t i n c o n t r o l t h e a d a p t i v e c o n t r o l c h a r t s , t h a t i s , t h e v a r ia b l e s a m p l i n g i n t e r v a l ( v s i ) a n d v a r i a b l e s a m p l i n g s i z e ( v s s ) c h a r t s . e s p e c i a ll y , t h e i d e a o f a v a r i - a b l e s a m p l i n g i n t e r v a l w i t h s a m p l i n g a t f i x e d t i me s h a s b e e n p r e s e n t e d 饰 r e y n o l d s . t h i s p a p e r e x t e n d t h is i d e a t o t h e c o m b i n e d s h e w h a r t - c u s u m c h a t s w i t h s a mp l i n g a t f i x e d t i m e s . i n t h is c h a r t t h e c u s u m f e a t u r e w i l l q u i c k ly d e t e c t s m a ll s h i f t s fr o m t h e g o a l w h i l e t h e a d d i t i o n o f s h e w h a r t l i mi t s i n c r e a s e s t h e s p e e d o f d e t e c t i n g l a r g e s h i f t s . a ma r k o v c h a i n m o d e l i s u s e d t o s t u d y t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s e c h a r t s . i t i s s h o w n t h a t t h e s e c h a r t s w i t h d e t e c t p r o c e s s s h i f t s f a s t e r t h a n t h e f s i c o m b i n e d s h e w h a r t - c u s u m c h a r ts . i n c o m p a r i s o n w i t h v s i c h a rt s , t h e s e c h a r ts a r e s h o w n t o h a v e a t l e a s t c o mp a r a b l e d e t e c t io n a b i l i t y . h o w e v e r fr o m t h e p r a c t i c a l v i e w p o i n t , t h e c h a rt s w i t h s a m p l i n g a t f i x e d t i m e s a r e c o n s i d e r e d t o b e m o r e c o n v e n ie n t t o a d m i n i s t e r t h a n t h e t r a d i t io n a l a d a p t i v e c h a r t s . k e y wo r d s : s t a t is t ic s q u a l i t y c o n t r o l ; c o mb i n e d s h e w h a rt a n d c u s u m c h a rt ; v s i ; v s s i ; ma r k o v c h a i n ; f i x e d t im e s . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版， 并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : -fl / 2 0 4) 年夕 月 _ i 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部 5 年 ( 最长5 年， 可少于5 年) 秘密1 0 年 ( 最长1 0 年， 可少于1 0 年) 机密*2 0 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引用的内 容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己 公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : -a 俩 、 。 飞 年; 月 z ， 日 g 1 i n t r o d u c t i o n s t a t i s t i c a l p r o c e s s c o n t r o l ( s p c ) h a s b e e n w i d e l y u s e d t o m o n i t o r .i n - d u s t r i a l p r o c e s s e s . m o s t o f r e s e a r c h i n s p c f o c u s e s o n t h e c h a rt in g t e c h n i q u e s . t h e t r a d it i o n a l p r a c t i ce i n u s i n g t h e c o n t r o l c h a r t s t o m o n it o r a p r o c e s s is t o u s e a f ix e d s a m p l i n g r a t e ( p s t ) w h i c h t a k e s s a m p l e s o f f i xe d s a m p l e s i z e ( f s s ) w i t h a f ix e d s a m - p li n g i n t e r v a l ( f s i ) . c u m u l a t iv e s u m ( c u s u m ) c h a r ts a r e w i d e l y u s e d in i n d u s t ry . t h e s e c h a r t s a c c u m u la t e e v i d e n ce fr o m r e ce n t p r o c e s s d a t a t o g i v e q u i c k s i g n a ls i f t h e p r o c e s s s h if t s fr o m s p e c ifi e d l e v e ls . o f t e n c u s u m c h a r t s h a v e r e p l a c e d s h e- w h a r t c h a r t s b e c a u s e o f t h e i r s u p e r i o r s p e e d i n d e t e c t i n g s m a ll o f m o d e r a t e s h i f t s l u c a s ( 1 9 8 2 ) d e s c r i b e s a c o m p o s i t e c o n t r o l s c h e m e t h a t c o m b i n e s a s h e w h a r t c o n t r o l c h a r t w i t h a c u s u m c h a r t . t h e c o m p o s i t e c h a r t g i v e s a n o u t o f c o n t r o l s i g n a l i f t h e m os t r e c e n t s a m p l e is o u t s i d e o f s h e w h a rt ( s i g n a l o b s e r v a t i o n ) c o n t r o l l i m i t s o r / a n d i f a c u s u m s i g n a l i s g iv e n . i n r e ce n t y e a r s , s e v e r a l m o d i fi c a t i o n s a d o p t i n g t h e v a r i a b l e s a m p l i n g i n t e r - v a l ( v s i ) , v a r i a b le s a m p l e s i z e ( v s s ) a n d v a r i a b l e s a m p li n g r a t e ( v s r ) o r v a r i a b l e s a m p l i n g i n t e r v a l a n d s a m p l in g s i z e ( v s s i ) i n t h e c o n t r o l c h a r t s h a v e b e e n s u g g e s t e d t o i m p r o v e t r a d it i o n a l f s i p o li c y a n d s h o w n t o g i v e b e t t e r p e r f o r m a n ce t h a n t h e c o n v e n t io n a l c h a r t s i n t h e s e n s e o f q u i c k r e s p o n s e t o p r o c e s s c h a n g e i n t h e q u a l- i t y c o n t r o l li t e r a t u r e s u c h a s r e y n o l d s e t a l . ( 1 9 8 8 ) , r e y n o l d s a n d a m o l d ( 1 9 8 9 ) , r u n g e r a n d p i g n a t i e ll o ( 1 9 9 1 ) , r u n g e r a n d m o n t g o m e ry( 1 9 9 3 ) , c o s t a ( 1 9 9 4 , 1 9 9 7 , 1 9 9 8 ) a n d z i m m e r e t a 1 . ( 1 9 9 8 ) f o r s h e w h a r t c h a r t . t h e v a r i a b l e s a m p l i n g in t e r v a l a n d s a m p l e s i z e f e a t u r e a r e e x t e n d e d t o c u m u la t i v e s u m ( c u s u m ) a n d e x p o n e n t i a ll y w e ig h t e d m o v i n g a v e r a g e ( e wm a ) c h a r t s , s u c h a s r e y n o l d s e t a l . ( 1 9 9 0 ) , r e y n o ld s a n d a m o l d ( 2 0 0 1 ) e t c a , t a g a r a s ( 1 9 9 8 ) i s a g e n e r a l r e v ie w p a p e r c o v e r i n g v s i , v s s , v s s i c o n t r o l c h a r t s . h o w e v e r ， t h e r e h a s n o t b e e n a n y p a p e r c o n s i d e r i n g t h e c o m - b i n e d s h e w h a r t - c u s u m c h a r t s w i t h t h e v s i , v s s , o r v s s i f e a t u r e s . t h u s , t h i s p a p e r w o u ld g i v e s o m e d e b a t e o n i t . a s p o i n t e d妙 r e y n o ld s ( 1 9 9 6 a , 1 9 9 6 b ) , a d is a d v a n t a g e o f v s i c h a r t s is t h a t t h e t i m e p o i n t s a t w h i c h t h e s a m p l e s a r e t a k e n w i ll b e u n p r e d i c t a b l e , a n d t h e s e s a m p l i n g p o i n t s m a y n o t c o r r e s p o n d t o n a t u r a l p e r i o d s i n t h e p r o c e s s . t h e v a r i - a b i li t y i n t h e s a m p l i n g i n t e r v a ls m a y b e in c o n v e n i e n t fr o m a n a d m i n is t r a t i v e v i e w - p o in t . c o n s e q u e n t l y , h e p r e s e n t e d a m o d ifi c a t i o n o f t h e v s i s c h e m e t o a ll e v i a t e d t h e d i s a d v a n t a g e o f u n p r e d i c t a b l e s a m p li n g t i m e s妙 m o d i f y i n g t h e v s i c h a rt s t o r e q u i re t h a t s a m p l e s a l w a y s b e t a k e n a t s p e c i f ie d fi x e d t i m e s , w i t h a d d i t i o n a l s a m p l e s a ll o w e d b e t w e e n t h e s e fi x e d t i m e s w h e n n e c e s s a r y . t h e c h a r t s u s i n g t h i s m o d i fi c a t i o n v s i i d e a a r e c a ll e d v a r i a b l e s a m p l i n g i n t e r v a l w i t h s a m p l i n g a t fi x e d t i m e s ( v s i f t ) . r e y n o ld s ( 1 9 9 6 b ) s h o w e d t h a t t h e v s i f t 了c h a r t s p r o v id e s a lm o s t t h e s a m e d e t e c t i o n a b i li t y a s t h e t r a d i t i o n a l v s i x c o n t r o l s c h e m e . s t o u m b o s a n d r e y n o l d s ( 2 0 0 1 ) e x t e n d t h i s id e a t o t h e s e q u e n t i a l p ro b a b i l i t y r a t i o t e s t . r e c e n t ly , l i n a n d c h o u ( 2 0 0 5 ) e x t e n d s t h e i d e a o f v s i f t x t o t h e o t h e r t w o a d a p t i v e x c h a r t s : t h e v a r i a b l e s a m p l i n g r a t e w i t h s a m p l i n g a t fi x e d t i m e s ( v s r f t ) x c h a r t a n d t h e v a r ia b le p a r a m e t e r s w it h s a m p lin g a t fi x e d t im e s ( v p f t ) 了c h a rt . h o w - ， t h e re h a s n o t b e e n a n y p a p e r c o n s i d e r in g t h e v s i o r v s s i c u s u m c h a r t s w i t h s a m p l i n g a t fi x e d t i m e s . t h u s t h i s p a p e r w o u l d e x t e n d t h e i d e a o f v i s f t a n d vs s i f t t o c us u m c h a r t s a n d i n a d d i t i o n t o t h e c o mb i n e d s h e wh a r t - c us um c h a r t s . i n t h is p a p e r , c o m b i n e d s h e w h a r t - c u s u m c h a r t s w h i c h a ll o w f o r v a r y i n g t h e s a m p l e s i z e a n d s a m p le i n t e r v a l a r e in t r o d u c e d in t h e n e x t s e c t i o n ; t h e v s i f t a n d v s r f t c o m b in e d s h e w h a r t - c u s u m c h a r t s w h i c h a r e i n c l u s i v e l y c a ll e d t h e a d a p t i v e w it h s a m p l in g a t fi x e d t i m e s ( a f t ) s h e w h a r t - c u s u m c h a r t s a r e d e s c r ib e d i n s e c t i o n 3 ; t h e n i n s e c t i o n 4 , a c o m p a r a t i v e s t u d y o f t h e f s i , v s i a n d a f t c o mb i n e d s h e w h a r t - c u s um c h a r t s wi ll b e c o n d u c t e d a n d s o me c o n d, i - i o n s w i l l b e d r a w n b a s e d o n t h e s t u d y . f i n a ll y , t h e m a r k o v c h a i n m o d e l w h ic h a r e u s e d t o a n a l y z e d t h e p e r f o r m a n ce o f f t c h a r t a r e p r e s e n t e d i n t h e a p p e n d i x 互 2 t h e vs i a n d vs s is h e wh a r t - cus um ch a r t s s u p p o s e t h a t t h e p r o c e s s o f i n t e r e s t h a s a q u a li t y c h a r a c t e r i s t i c x w h o s e d i s t r i - b u t i o n is n o r m a l w i t h 、a a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n o . t h e o b j e c t i v e i s t o d e t e c t a n y d e v i a t io n i n t h e p r o c e s s m e a n fr o m a t a r g e t v a l u e y o勿 t a k in g a s e q u e n ce o f s a m p l e s e a c h o f s i z e n fr o m t h e p r o c e s s , in w h i c h t h e o b s e r v a t i o n s w i t h i n a n d b e t w e e n s a m p l e s a r e a s s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t . 2 . 1 d e s c r i p t i o n o f t h e vs i a n d vs s i c o m b i n e d s h e w h a r t - c us u m c h a r t s f o r t h e j t h s a m p le ( =1 , 2 , ) ， c o n s i d e r t h e s t a n d a r d i z e d s t a t is t i c 易 = 而( 不一 po ) / o , w h e r e 兀is t h e s a m p le m e a n . i n p r a c t i ce , it m a y b e n e c e s s a r y i n m a n y c a s e s t o e s t i m a t e b o t h p o a n d。fr o m p a s t d a t a , b u t f o r w e a吕. s u m e t h a t u o a n d o a r e k n o w n . a c u s u m s c h e me a c c u m u la t e s d e v i a t i o n s o f t h e s a mp l e m e a n s t h a t a r e m o r e t h a n k s t a n d a r d i z e d u n i t s fr o m p o . t h e p a r a me t e r k i s u s u a ll y c a ll e d t h e r e f e r e n ce v a l u e o f t h e c u s u m c h a r t . f o r d e t e c t i n g p o s i t i v e s h i f t s i n p , t h e u p p e r o n e - s i d e d c u s u m c o n t r o l s t a t i s t i c t h a t is u s u a ll y u s e d a t t h e j t h s a mp l e is 巧，二 ( 巧一 、 +( 易一 k ) , 0 ) w h e r e u o is a s p e c i fi e d c o n s t a n t a n d k _ 0 . f o r p u r p o s e s o f a d d i n g t h e v s i f e a t u r e t o t h e c u s u m c h a rt , w e w ill u s e t h e mo d i fi e d u p p e r o n e - s i d e d c u s u m s t a t i s t i c u j =二 ( u j - 1 , 0 ) + ( z j 一 k ) ( 2 . 1 ) w h e r e u o is 。 ，. t h e d iff e r e n ce b e t w e e n 觅a n d u j is t h a t 氏im m e d ia t e ly r e s e t s a n y n e g a t i v e c u s u m v a l u e t o 0 , b u t 巧r e c o r d s t h e n e g a t i v e c u s u m v a l u e s . t h e r e a s o n f o r r e c o r d i n g n e g a t i v e c u s u m v a l u e s is t h a t t h e s e n e g a t i v e v a l u e s m a y b e n e e d e d t o s p e c i f y t h e s a mp li n g i n t e r v a l s . t h e c u s u m c h a r t s i g n a l s t h a t t h e p r o ce s s m e a n h a s c h a n g e d w h e n e v e r u j h (w h ic h is e q u iv a le n t t o 亿 h ) , w h e re h _ 0 i s u s u a l ly c a l l e d t h e d e c is io n i n t e r v a l . t h e s t a r t i n g v a lu e u o is fr e q u e n t l y 0 , b u t o t h e r s t a r t i n g v a l u e s a r e s o me t i m e s u s e d , f o r e x a m p l e , w h e n a f a s t i n i t i a l r e s p o n s e ( f i r ) f e a t u r e ( l u c a s a n d c r o s i e r 1 9 8 2 ) is u s e d o r w h e n t h e s t e a d y - s t a t e b e h a v io r o f t h e c h a r t i s b e i n g i n v e s t i g a t e d . t h e p a r a m e t e rs h a n d k a r e u s u a l l y c h o s e n s o t h a t t h e c h a r t w i ll h a v e cert a in p r o p e rt i e s ; k i s u s u a ll y d e t e r m i n e d衍 t h e s h i f t i n t h e m e a n t h a t t h e c us u m is d e s i g n e d t o d e t e c t . l e t . 而 ( a 一f e ) . “ =! 一 一 0 一一! b e t h e ma g n i t u d e o f t h e d e v i a t i o n o f p fr o m n, e x p r e s s e d i n u n i t s o f s t a n d a r d e r r o r o f x. i f a c u s u m c h a r t i s t o b e d e s i g n e d t o d e t e c t a s h i f t fr o m r o t o s o m e s p eci fi e d v a l u e p r , t h e n k s h o u l d b e c h o s e n a s 8 r / 2 , w h e r e 爪i s t h e v a l u e o f 9 c o r r e s p o n d i n g t o a l . o n ce k is d e t e r m i n e d , t h e p a r a m e t e r h i s u s u a ll y c h o s e n t o g i v e a s p e c i fi e d e x p e c t e d n u m b e r o f s a m p l e s o f s i g n a l w h e n w=f b . f o r d e t e c t i n g n e g a t i v e s h i f t s i n a , ( 2 . 1 ) c a n b e r e p l a ce d w i t h t h e l o w e r o n e - s i d e d c us um s t a t i s t ic l j = r a i n ( l j _ r , 0 ) +( z j + k ) ( 2 . 2 ) w h e r e l o is a c o n s t a n t a n d k - 0 i s t h e r e f e r e n ce v a l u e . t h e c h a r t u s i n g t h i s s t a t i s t i c w o u l d s i g n a l w h e n e v e r 与_ 0 . wh e n t h e o b j e c t i v e i s t o d e t e c t b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e s h i f t s i n u , a t w o- s i d e d s c h e m e c a n b e c o n s t r u c t e d妙 u s i n g t h e u p p e r o n e - s i d e d a n d t h e l o w e r o n e - s i d e d c h a r t s s i m u l t a n e o u s l y . t h e r e s u l t i n g t w o- s i d e d c u s u m c h a rt s i g n a l s w h e n e v e r e i t h e r o n e - s i d e d c h a r t s i g n a ls . t h e c o n t r o l s t a t i s t i c u s e d 勿 t h i s t w o-s i d e d c h a r t i s t h u s t h e t w o - d i m e n s i o n a l c u s u m s t a t i s t i c ( 巧 ， 与) a t w o- s i d e d c h a r t i s s a id t o b e s y mm e t r i c i f t h e u p p e r a n d l o w e r c h a r t s u s e t h e s a m e v a l u e o f h a n d k . f o r a g i v e n c u s u m c h a r t , l e t c r e p r e s e n t t h e c o n t i n u a t i o n r e g i o n f o r t h e c h a r t s u c h t h a t t h e s c h e m e c o n t i n u e s t o t a k e t h e n e x t s a m p l e w h e n t h e c u s u m s t a t i s t i c i s i n c a n d s i g n a l s w h e n t h e c u s u m s t a t is t i c i s n o t in c . wh e n t h e c u s u m s t a t is t i c i s i n c , t h e s a m p li n g s i z e a n d i n t e r v a l i s v a r i e d a s a f u n c t i o n o f t h e c u r r e n t v a l u e o f t h i s s t a t i s t i c . f o r t h e v s s i c h a r t w e i n t e n d t o a l t e r n a t e t h e s a m p l e s i z e b e t w e e n a m i n imu m s a m p l e s i z e n , a n d a m a xim u m s a mp l e s i z e n 2 s u c h t h a t n 1 n a 0 m a y b e d e t e r mi n e d勿 c o n s i d e r a t i o n s s u c h a s t h e m i n i m u m a m o u n t o f t i m e r e q u i r e d t o t a k e a s a m p l e a n d t h e s a m p l i n g i n t e r v a l 几 m i g h t b e d e t e r m i n e d勿 t h e ma x i m u m a m o u n t o f t i m e t h a t i s r e a s o n a b l e t o a ll o w t h e p r o c e s s t o r u n w i t h o u t s a m p l i n g . i n t u i t i v e l y , a s h o rt s a m p l i n g i n t e r v a l s h o u l d b e u s e d w h e n t h e c u s u m s t a t i s t i c i s c l o s e t o t h e s i g n a l r e g i o n . wo r k o n v s i c o n t r o l c h a r t s ( r e y n o l d s 1 9 8 9 ; r e y n o l d s e t a l . 1 9 8 8 ; r e y n o l d s a n d a r n o l d 1 9 8 9 ) h a s s h o w n t h a t t h e u s e o f t w o s a mp l i n g i n t e r v a ls i s o p t i m a l f o r d e t e c t i n g s h i f t s t h r o u g h u s e c u s u m c h a r t . t h e s h o r t e r i n t e r v a l , s a y d l , s h o u l d b e a s s h o rt a s p o s s i b l e ( d 1 =1 1 ) , a n d t h e l o n g e r i n t e r v a l , s a y d 2 , s h o u l d b e c o n s i d e r a b l y l o n g e r t h a n d 1 b u t n o t n e c e s s a r i l y a s l o n g a s l a . f o r t h e u p p e r o n e - s i d e d c h a r t s u p p o s e t h a t n 2 a n d d l is u s e d w h e n 巧 ( g , h a n d 。 : a n d d 2 i s u s e d w h e n巧 e ( - o o , g , w h e r e - o o g - s c l o r 与 _ - s c l ( s c l d e n o t e s t h e s h e w h a r t c o n t r o l li m i ts ) a n o u t - o f - c o n t r o l s i g n a l i s a ls o g i v e n . we n o t e t h a t f o r a c u s u m c h a r t a s i n g l e o b s e r v a t i o n ( 巧) m o r e t h a n h + k fr o m t h e g o a l w i ll a l w a y s c a u s e a n o u t - o f - c o n t ro l s i g n a l . a d d i n g s h e w h a r t c o n t r o l l i m i t s w i t h s c l _ s c l , i t s i g n a l s . e x c e p t f o r e l , t h e i n t e r v a l s a r e o f e q u a l le n g t h a n d铸 i s r e p l a c e d勿 a d is c r e t e v e r s i o n o f 巧 c o r r e s p o n d t o t h e s t a t e e , . w e ，t h a t e a c h s t a t e 尽 c o r r e s p o n d t o u s i n g o n e s a m p li n g in t e r v a l l e n g t h i n w h i c h , o f c o u r s e , m o r e t h a n o n e s t a t e c a n u s e t h e s a m e i n t e r v a l l e n g t h . l e t b ; r e p r e s e n t t h e s a mp li n g i n t e r v a l u s e d w h e n t h e c u s u m s t a t i s t i c is i n t h e r e g i o n 尽， a n d l e t b =( b i , b z , . . - b * ) ， . th e t r a n s i t i o n ma t r i x尸 f o r t h e ma r k o v c ha i n c a n be