（应用数学专业论文）非对称度量空间的完备性问题研究.pdfVIP

武汉科技大学硕士学位论文 第1 页 摘要 拟度量是满足三角不等式，但不对称的距离函数，它被看作是一个非对称度量。由于 逐渐受到国外学者的重视，拟度量( 以下称为非对称度量) 在非线性系统研究中的重要性 已初现端倪。本文主要对非对称度量空问进行一些创新的基础研究，主要包括如下凡方面 的内容： 1 非对称度量空间的基础理论。首先对非对称度量空间已有基本结果进行了简要系 统的汇总及适当改进，在此基础上提出了非对称积度量的概念，并对其性质作了初步讨论。 2 非对称度量空间的完备性问题。所做的工作有：给出了上完备非对称度量空间的 若干例子；讨论了非对称度量空间上左k 利普希茨函数的相关性质，定义了所有在同一点 函数值为0 的左k - 利普希茨函数集上的非对称度量，并证明了此非对称度量空间的上完备 性；得到了非对称度量空间中的左闭球套定理和右闭球套定理，并分别证明了其与非对称 度量空间的上完备性和下完备性的等价性；提出了上收缩映射、下收缩映射、左不动点和 右不动点的概念，并分别获得了上完备非对称度量空间上的左不动点定理，以及下完备非 对称度量空间上的右不动点定理。 3 拟一致空问中的最优化问题。所做的工作有：证明了拟一致空间是瓦空间当且仅 当其拟一致结构中所有环境的交是反对称关系；利用r o 拟一致结构中所有环境的交是一个 偏序关系，给出了瓦拟一致空间中各种极值的定义及其性质；将最优化问题建立在矗拟一 致空间上，获得了最优化问题的一般形式，并证明了r o 拟一致空间上最优化问题有效解的 存在性。 关键词：非对称度量空间；上完备性；r o 拟一致空间；最优化问题 第1 i 页武汉科技大擎硕士学位论文 a b s t r a c t a q u a s i m e t r i ci s ad i s t a n c ef u n c t i o nw h i c hs a t i s f i e st h et r i a n g l ei n e q u a l i t yb u ti sn o t s y m m e t r i c ：i tc a nb et h o u g l f to fa sa na s y m m e t r i cm e t r i c s i n c ei th a sb e e nd r a w n i n gt h e a t t e n t i o n so f m o r ea n dm o r ef o r e i g nr e s e a r c h e r s ，i t si m p o r t a n c ei nt h en o n l i n e a rs y s t e mf i e l dh a s b e e ns e e nr e c e n t l y t h i sp a p e rm a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ： 1 b a s i ct h e o r ya b o u tq u a s i m e t r i cs p a c e s f i r s tt h em a i nr e s u l t sa b o u tq u a s i - m e t r i cs p a c e s o b t a i n e db yo t h e r sa r eg a t h e r e da n dm o d i f i e d b a s e do nt h o s e ，t h en o t i o no f q u a s i - m e t r i cp r o d u c t s p a c ei sp u tf o r w a r d ，a n ds o m ep r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d 2 c o m p l e t e n e s so f q u a s i - m e t r i cs p a c e s f i r s t l y , s e v e r a le x a m p l e sa b o u tu p p e rc o m p l e t e n e s s q u a s i - m e t r i cs p a c e sa r eo b t a i n e d s e c o n d l y , aq u a s i m e t r i ci sp u tf o r w a r d ，w h i c hi sd e f i n e do n t h es e to fa l ll e f tk - l i p s c h i t zf u n c t i o n so n aq u a s i m e t r i cs p a c et h a tv a n i s ha ts o m e 夙e dp o i n t - a n dt h eu p p e rc o m p l e t e n e s so ft h eq u a s i m e t r i ci sp r o v e d t h i r d l y , t h el e f ta n dr i g h tc l o s e db a l l t h e o r e m si nq u a s i - m e t r i cs p a c e sa r eg i v e n , a n dt h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h el e f t ( r i n g t ) c l o s e d b a l lt h e o r e m sa n dt h eu p p e r ( 1 0 w e r ) c o m p l e t e n e s so f q u a s i - m e t r i cs p a c e sa r ep r o v e d f i n a l l y , t h e n o t i o no fu p p e ra n dl o w e rc o n t r a c t i o no fm a p p i n gb e t w e e nq u a s i - m e t r i cs p a c e si sp u tf o r w a r d , a n dt w of i x e dp o i n tt h e o r e m si nq u a s i - m e t r i cs p a c e sa r eo b t a i n e d 3 o p t i m i z a t i o np r o b l e mi nq u a s i - u n i f o r ms p a c e s f i r s t l y , i ti sp r o v e db yt h ea u t h o rt h a ta q u a s i - u n i f o r ms p a c e i s t o i f a n d o n l y i f t h e i n t e r s e c t i o n o fa l le n t o u r a g e so f t h e q u a s i - u n i f o 眦姆 i sa n t i s y m m e t r i cr e l a t i o n s e c o n d l y , b a s e do nt h ef a c tt h a tt h ei n t e r s e c t i o no f a l le n t o u r a g e so f t h e r 0q 哪i - m f o m t yi sap a r t i a lo r d e r , s o m ee x t r e m u m si n 瓦q u a s i - a n i f o r ms p a c ea r ed e f i n e da n d i t sb a s i cp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d f i n a l l y , t h eg e n e r a lf o r mo fo p t i m i z a t i o np r o b l e mi na 瓦q u a s i - u n i f o r ms p a c ei sg i v e n , a n dt h ee x i s t e n c eo fe f f e c t i v es o l u t i o no fo p t i m i z a t i o np r o b l e m i sp r o v e d k e yw o r d s ：q u a s i - m e t r i cs p a c e ；u p p e rc o m p l e t e n e s s ；瓦q u a s i - u i f o r ms p a c e ；o p t i m i z a t i o n p r o b l e m 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第一章绪论 1 1 引言 随着科学技术的发展，人们在许多领域的研究从线性问题过渡到非线性问题，从单值 问题过渡到多值问题，特别是在自动控制，人工智能等领域显得尤为突出。在研究工作中 人们不断发现，用于衡量两个不同事物的相近程度的量并不总是满足对称性的，于是人们 便开始接受这种非对称度量。 非对称度量( q u a s i m e t r i c ) ，是不确保对称性的一种广义度量。经典的集合x 上度量或 距离的定义是： 二元的实值函数p ：x x j 四，满足三条公理：v 工，弘= x ( 1 ) 正定性：p 似力2 0 ，并且p ( x ，) ，) = 0 当且仅当，= y ； ( 2 ) 对称性：p 阮) ，) = p 似力； ( 3 ) 三角不等式：p ( x ，y ) p ( x ，z ) + p ( z ，y ) 非对称度量并不要求满足对称性，也就是说从x 点到y 点的距离不一定等于从y 点到 x 点的距离，与此同时非对称度量的正定性条件改为： ( 4 ) p ( x ，力0 ，并且p ( x ，y ) = p ( y ，x ) = 0 当且仅当x = y 。 即只有当从工点到y 点的距离与从y 点到x 点的距离均等于零时，x 与y 是同一点。显然度 量空间是一类特殊的非对称度量空问。 非对称度量空间是拓扑空间，非对称度量诱导的是l 拓扑，即非对称度量空间中任何 不相同的两点，其中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点。而对称度量诱导的是瓦拓 扑。因此，非对称度量空间是介于一般拓扑空间与度量空间之间的一类拓扑空间。 假设( x ，d ) 是一个非对称度量空间，其中函数d ：x x 一四是满足( 3 ) 、( 4 ) 的非对称 度量，若函数d 。：x x 寸四，定义为： d 一1 ( x ，y ) = a ( y ，) ，v x ，y x 则d 。也是一个非对称度量，而 d ( x ，y ) = m a x d ( x ，力，d - 1 ( x ，y ) 是一个对称的度量。于是，一个非对称度量空间始终伴随着一个对偶非对称度量空问 ( x ，d 。) 和一个度量空间( x ，d ) 。 非对称度量空自j 确定了一个偏序关系： x 毛y 铮a ( x ，y ) = 0 这个偏序关系是非对称度量空日j 特有的，它在后面研究中起着重要的作用。 在现实生活中是否存在非对称度量空日j ? 在这罩举出一个极为简单的例子： 一个汽车在l ij 坡上行驶，以汽车的耗油量为“j 坡上两点的“距离”，由于同样的两个 地，_ ， ：坡与下坡的“距离”是小n 日的，所以该“距离”是。个作对称度量。甚至f 坡的 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 “距离”可以为零，此时由非对称度量空间所确定的偏序关系就是上下坡关系。 1 2 国内外文献综述 非对称度量的研究，起源于2 0 世纪初h a u s d o r f f 1 1 讨论集合间的度量( 现在被称为 i - l a u s d o r f f 度量) 时所考虑到的非对称距离函数形式。随后，n i e m y t z k i 在研究度量空间一 般公理化各种假设的相互影响时也涉及到了非对称距离函数。1 9 8 2 年，p f l e t c h e r 和w e l i n d g r e n l 2 j 出版了q u a s i - u n i f o i t i is p a e e s ： 一书，此后非对称度量空间便引起一些学者的 兴趣。1 9 9 3 年，南非学者h p a k f i n z i l 3 1 对非对称拓扑进行理论研究，发表了n o n s y m m e t r i c t o p o l o g y 一文，在非对称度量空间的理论基础研究上取得一些成果。1 9 9 5 年，爱尔兰学者 m p s c h e l l e k e n s l a 将非对称度量空间应用于理论计算机科学，使得非对称度量空间的研究 变得具有应用价值。 国内外的研究主要分为：非对称度量空间的基础理论、算法的复杂性分析、不对称泛 函分析以及非对称度量空间在其它领域中的应用这四个方面的研究： 1 ) 非对称度量空间的基础理论 非对称度量空间的基础理论主要研究它的一些拓扑性质及其完备性和完备化问题等。 一个非对称度量空间是否具有完备性或者是否可以完备化这对于非对称度量空间自身的 理论及其实际应用是十分关键的，它关系到序列的极限是否在该空间内。由于非对称度量 的不对称性，一般意义下的柯西序列分成了三种形式，向前柯西序列或左尽柯西序列，向 后柯西序列或右尽柯西序列以及双向柯西序列 5 1 。对于非对称度量空间( x ，d ) ，非对称度 量d 所诱导的拓扑罗( d ) 满足乃分离性公理。因此，序列具有依拓扑罗。( d ) 的收敛性。s r o m a g u e r a 6 荆用左列可西序列在拓扑空间( 墨岁。( d ) ) 中有极限，定义了左尽完备性。非 对称度量空间是介于一般拓扑空间与度量空间之间的一类拓扑空间。每一个非对称度量空 间始终伴随着一个对偶非对称度量空间和一个度量空间。m p s c h e l l e k e n s r l ，运用左尽柯 西序列在( x ，j ) 所诱导的度量空间中的收敛性，定义了s m y t h 完备性。虽然非对称度量空 间( 置d ) 中序列具有依拓扑矿p ) 的收敛性，但是并不能保证其极限的唯一性。为弥补这 一缺陷，h p k f l n z i 和m p s c h e l l e k e n s s l 提出了序列的另种极限概念： 在非对称度量空间( x ，d ) 中，元素x j 称为序列 c x 的极限，若满足 d ( x ，y ) = i 西s u p d ( x n ，力，v y x 。 h 吐 基于这种极限，h p k i i n z i 给出了y o n e d a 完备性。 左尽完备性、s m y t h 完备性及y o n e d a 完备性是目前国外研究非对称度量空间完备性 的三种形式。以上三种完备性中，左尽完备性对空问的要求太强，左妊完备的非对称度 量空间一定是s m y t h 完备的，反之不然；s m y t h 完备性对空间的要求也比较强，s m y t h 完 备的非对称度量空问必定是y o n e d a 完备的。 国内在非对称度量的完备性研究方面，陈少白1 9 i 在其博士论文中，利用非对称度量空 | 日j 特有的偏序关系，首次提出了一种较y o n e d a 完备性中所采用的极限更为一般的具有唯 一性的“最小”极限 ：极限概念，针对以红研究非对称度量空f f l j 完锯性所采用的“左 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 尽柯西序列”提出了“上柯西序列”的概念，在此基础上建立了上完备非对称度量空间及 非对称b a n a e h 空间。 2 ) 算法的复杂性分析 算法的复杂性分析是理论计算机科学和技术研究的一部分。1 9 9 5 年，爱尔兰学者m s c h e l l e k e n s t 4 1 弓l a t 复杂度( 非对称度量) 空间( c ，噍) ，用于研究算法的复杂性。 复杂度( 非对称度量) 空间( c ，砟) 定义为 c 一卜艄佃，”高一 其中 讯，= 薹2 - ( 击一剖v o ，f , g c a c 是非对称度量 1 9 9 9 年，s r o m a g u e r a 和m s c h e l l e k e n s t l o l 弓l a - y 对偶复杂度( 非对称度量) 空问 ( c ，噍) ： c + = 厂：r o 寸( o ，佃】| 2 ”( 刀) 0 。记 矽( = 伽x i d ( 口 功 ，以口为中心以，为半径的左开球； 彬0 ) = 伽x l d ( 口) 0 ) 。取任意x , y x 且s ，艿 0 ， 使得雕( x ) n 磁( 力。对于任意z 嘭( n 硭( y ) ，令f = m i n e - d ( x ，z ) ，万一d ( y ，z ) ) ，则 有彰( z ) 磁( 工) n 磅( y ) 。 图2 1 因此，集合u 是| 丌的对于任意x u ，存在占 0 ，使得彰( x ) c u 。类似地，由对偶 非对称度量d - 1 诱导的拓扑厂( d 。) 被定义：它的基由所有以任意x x 为中心以s ( 0 ) 为 半径的右丌球彰( x ) 组成。因此，任意非对称度量空问( ，d ) 均可以自然诱导一个双拓扑 窄n l j ( ，一( “) 厂( ( ，“) ) 。有关一瞧刘称皮链窄m 和双拓扑窄问的笑系r 参阅文献【2 3 】。 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 定义2 1 3 拓扑空间是可非对称度量的，如果存在非对称度量d 使得歹。= 歹( d ) 。 注记2 1 2 注意对任意非对称度量空间( x ，d ) ，芝( 功= 嘭( x ) n 彰( 功；从而，度量拓 扑歹。( ) 的基是由所有以任意点为中心且具有相同半径的左开球和右开球的交组成的。 显然，由非对称度量d 诱导的拓扑歹( d ) 满足r o 分离性公理。若有d 诱导拓扑是，：的 当且仅当d 满足性质：对于任意j ，) ，x ，d 力= o j x = j ，。通常地，在文献中瓦非对 称度量被称为伪非对称度量( p s e u d o - q u a s i - m e t r i c ) ，而非对称度量( q u a s i - m e r t i c ) 仅指z 的情况 2 3 3 5 1 。而在本文采用的定义也被广泛应用【3 6 , 3 7 1 ，大部分来自t o 非对称度量空间上的偏序在 计算机科学上的应用。 定义2 1 4 设( x ，d ) 是非对称度量空间，ac - x 。若存在口x ， 0 ，使得a c 髟( 口) ， 则称彳是x 中的上有界集或d 一有界集，也称a 是有上界的；若存在口e x ，r 0 ，使得 a c 髟( 口) ，则称a 是x 中的下有界集或d 一有界集，也称彳是有下界的；同时为上有界、 下有界的集合称为有界集或d 一有界集。 显然，爿是对称度量空间( x ，d ) 中的有界集充要条件是a 既是( z ，d ) 中的上有界集， 又是( x ，d ) 中的下有界集。 定义2 1 5 集合x 上的偏序是一个二元关系c - x x x ，且满足： ( 1 ) ( 自反性)v j e x ，有工z ； ( 2 ) ( 反对称性)v x , y x ，x y 且y x ，有x = y ； ( 3 ) ( 传递性)v x , y ，z e z ，石y 且y s z ，有x s z 定义2 1 6 设( 置d ) 是一个非对称度量空间。相联系的偏序匀定义为： x s dy 营d ( x ，力= 0 容易验证，毛确实是一个偏序( 在不致于引起混淆的情况下，通常用“”来代替“句”) ； 因此，对于每一个非对称度量都伴随着一个偏序关系。反之亦真： 例2 1 1 【3 8 1 设( x ，9 是一个偏序集，对于任意五j ，x ， d 瓴力= 侄姑 显然，d 是一个非对称度量，并且由非对称度量d 所确定的偏序毛和原偏序是一致的。 由d 诱导的拓扑? 尹( d ) 称为a l e x a n d r o f f 拓扑。同时，由d 诱导的度量是离散度量，即 0 ，l _ 值度量( 见下面的例2 1 2 ) 。 下面给出非对称度量空间中一些著名的例子。 例2 1 2 设x 是一集合。函数d ：x x 寸眉定义如下： d ( x , y ) ： ? 一叫 l l ，工j ， 容易验证，d 是一个度量，并且此度量是离散度量。由d 诱导的拓扑是离散的拓扑。 现在我们定义四j ：可以诱导所谓屈拓f b 1 右拓扑的非对称度最。 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 定义2 1 7 左非对称度量d ：r x r 专四+ 定义为： d ( 工，y ) = m a x x - y ，o )( 2 4 ) 类似地，右非对称度量d 8 ：r x r 寸r + 定义为： d ”( x ，y ) = m a x y - x ，0 ( 2 5 ) 不难验证，d 和d 8 是互为对偶的非对称度量。相应的度量d = m a x d ld 。，是四上的 绝对值度量，即d ( x ，力爿x y l 。左拓扑j - ( d ) 的基是由所有形如( 善，0 0 ) 集合构成的，右 拓扑j - ( d 8 ) 的基是由所有形如( 一，f ) 集合构成的，其中善r 。因此，拓扑罗( ) 和 歹一( 扩) 是r o 可分的，而不是正可分的。由非对称度量d 产生的偏序是实数集上的通常的 序( 即小于等于关系) ，而d 2 产生的偏序是实数集上的相反的序( 即大于等于关系) 。 根据定义2 1 4 容易验证：左非对称度量空间( 四，d ) 中有上界和有下界与实数集合上 有上界和有下界是一致的。类似地，右非对称度量空问( 四，d 2 ) 中有上界和有下界分别与实 数集合上有下界和有上界是一致的。 例2 1 31 3 8 , 2 3 1 四+ 上一个非对称度量d ：四+ 四+ 寸四+ 定义为： m - 警旷m 菇 在这种情况下，d 诱导四上的正拓扑歹( d ) 的基由所有中心在x 四形如蟛( 工) = 工，x + r ) 的左开球组成，其中0 r n 时，d ( 毛，刁 0 ，存在n ，使得s u p i ：屯 口+ 占。因此，由上确界的定义知，当七n 时， d ( 屯，a ) = m a x 一a ，0 ) 0 ，存在 k ，使得当k k 时，d ( 耳，b ) = m a 】【- b ，0 ) f 成立，于是气 占+ 6 ；根据a 的定 义知，口 0 ，存在t ，当胛k 时，有d ( x 。a ) = m a x x ，一a ，0 ) s 。进而， ! 叻s u p 脏t ，s u p 腔 ， 订+ 占； 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 由于占的任意性得，c a 因为嫩s u p t 。= c ，由极限和上确界的定义可知， ! i m d ( 吒，c ) = o 。进而由定义2 2 1 中条件( 1 ) 得，d ( 口，c ) = 0 ，即口- 0 ，存在 r ，使得当玎n 时，有d ( ，口) 0 ，存在k n ，使得当珂刖时，有d 瓴，b ) f ；进而， 有i 妒s u p d ( 毛， 占。再根据f 的任意性知，i 妒s u p d ( x ，6 ) s o ；已知d ( ，6 ) o ，故 。 酞 n z k a r ( a ，= i 晒s u p d ( x ，= o 。证毕。 醴 定义2 2 2 【9 】设( x ，d ) 是非对称度量空间，a c x 。若彳中任何上收敛点列的上极限都 属于一，则称彳是( x ，d ) 的上闭集；若彳中任何下收敛点列的下极限都属于a ，则称是 ，d ) 的下闭集。 2 3 非对称度量空闯中连续映射 设( ，d ) 和( l 力均为非对称度量空问，r 是从x 到j ，的映射。用以r ) 表示珊定义 域，记t ：d ( r ) c x y ，特别地，t ：x 寸y 表示d ( 丁) = x 。非对称度量空间( x ，d ) 与( 】，d ) 的非对称度量一般不相同，在不至于引起混淆的情况下采用同一符号。 定义2 3 1 设( 肖，d ) 和( y ，d ) 均为非对称度量空间，称映射t ：d ( t ) c x - - h y 是有界的 是指r 将d ( r ) 内任一d 一有界集映射为y 中d 一有界集。 由于非对称度量d 可以确定对偶非对称度量d 。( x ，y ) = d ( y ，劝，以及对称度量 d ( x ，y ) = m a x d ( x ，y ) ，d 。( x ，j ，) ) ，所以非对称度量宅删之h j 映射的有界性自九种形式，为 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 区别起见，分别称为甜一有界，蒯一有界等，它们具有如下关系： 定理2 3 1 【9 】设( x ，d ) 和( y ，d ) 均为非对称度量空间，t ：x y ；则 ( 1 ) t 是谢一有界jt 是谢一有界： ( 2 ) 丁是谢一有界j t 是d d 一有界； ( 3 ) 丁是彩一有界jt 是d d 一有界； ( 4 ) 丁是d d 一有界jt 是d d 一有界。 非对称度量空间是拓扑空间，因此，非对称度量空间之间的连续函数的定义为：映射 f ：x 斗y 在】，中每一个开集u 的原像，。( u ) 是x 中的开集。用非对称度量来表述 f ：x 寸y 在连续： 定义2 3 2 设( x ，d ) 和( y d ) 是非对称度量空间，r 是石到y 中映射，x o x ，如果对 于任意给定正数占，存在正数艿，使对x 中一切满足a ( x o ，功 艿的x ，成立d ( 砜，t x ) 占， 则称r 在而连续。如果r 在x 上每一点都连续，则称r 是连续映射。 非对称度量空间是满足第一可数公理的拓扑空间，可以利用点列的收敛性来定义映射 的连续性：如果对于任意点列k ) c d ( t ) ，a ( x o ，矗) _ 0 0 寸) ，g q * j a ( t x o ，巩) 斗0 。 由于非对称度量d 可以确定非对称度量d 。以及对称度量d ，所以非对称度量空间之 间映射的连续性有九种形式，分别称为崩一连续，砌一连续等。它们之间的蕴含关系有： 定理2 3 2 【9 j 设( x ，d ) ，( y ，d ) 均为非对称度量空间，t ：x 哼y 。则 ( 1 ) t 是谢一连续jt 是甜一连续： ( 2 ) 丁是以一连续j t 是d d 。一连续； ( 3 ) 丁是甜一连续j t 是d d 一连续； ( 4 ) 丁是d d 一连续j t 是d d 一连续。 从定理2 3 2 可知，d d 一连续、d d 一一连续是较弱的连续，可以表示为： 设厂是度量空间( x ，力到非对称度量空问( y , d ) 上的映射，而d ( d 1 - x 。映射，在 是d 一连续，当且仅当对任意毛寸而，靠x ，都有 i m d ( f ( x o ) ，f ( 毛) ) = 0 ； 映射厂在而是d 一一连续，当且仅当对任意毛一而，x ，都有 l i m d ( f ( x , ) ，厂( ) ) = 0 。 在非线性分析中，泛函的上、下半连续以及集值函数的上、下半连续是十分重要的概 念，下面给出泛函的上、下半连续与非对称度量空间中映射的连续性之自j 的关系。 设( x ，p ) 是度量空间，四是一维欧氏空i 、b j ，伊：x 一四是x 上实值泛函，x 。妒在 而是下半连续的，是指对任意矗一，吒x ，都有 ( o ( x o ) l i m i n f 妒( 气) 为了便_ ：区别，将它称为通常意义l - f g jf 、f 连续，如果一妒存下半连续，称妒：x 一四确： 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 而上半连续 在实数集合四上，取左非对称度量 d ( y l ，y 0 = m a x y l 一儿，o l ，乃，儿四 ( 四，d ) 是左非对称度量空间。以下定理表明：伊：x 四在点依通常意义是下半连续的， 当且仅当将妒：- - ) 四看成度量( x ，力到左非对称度量空间( 四，d ) 上的映射时，矿在点 d 一连续。 定理2 3 4 设( x ，力和( 四，d ) 分别是度量空间和左非对称度量空间，妒：x - - ) ( 四，d ) ， x o x 。若对任意_ 而，毛x ；则匦烈毛) 存在，且矿在而点一连续的充分必要 条件是伊：z - - ) 四在而是通常意义下半连续的，也即 认而) ! i m 艇烈黾) 证明充分性对于任意“n r j n - 。c x ，斗而；如果令l 哑赠伊( 黾) = b ，则烈x o ) s b ， 。 月f 2 h 进而扩( 烈) ，6 ) = o ；根据定理2 2 2 中通常意义下的下极限与左非对称度量空间( 四，d ) 中 的下极限是一致的，有堕坐烈矗) = 6 。再由定义2 2 1 中条件( 3 ) 知，l i m d p ，伊( ”= 0 。由 一一 三角不等式得 d ( 认x o ) ，妒( ) ) d ( 认) ，6 ) + d ( 6 ，烈) ) = d ( 6 ，妒( k ) ) 因此l i m d ( 认) ，矿( ) ) = o 。故伊在而点是d 一连续的。 必要性对于任意饥) 二c x ，毛专而；假设! i 坐烈毛) 存在，且伊在而点是一连续 的。根据d 一连续的定义知，h m d ( 认而) ，烈毛) ) = 0 。由于陋妒( 毛) 是存在的，不妨设 l i m 烈毛) = 6 ，再由定义2 2 1 中条件( 4 ) 知，d ( 烈而) ，6 ) = o ，即烈而) 6 。根据定理2 2 2 知，舰噶烈黾) = b 因此，对任意一而，矗x ，都有妒( 而) 茎嫩珏瓶) 故伊在而h f z 埘 点是通常意义下半连续的。 类似地，对于上半连续性，也有如下结论： 定理2 3 5 设( x ，p ) 和( 四，d ) 分别是度量空间和左非对称度量空间，矿：x - - ) ( 四d ) ， 而x 若对任意矗寸而，x ；则甄认毛) 存在，且妒在而点( ) 一一连续的充分必 要条件是伊：x 一四在上半连续。 证明妒：x 一四在上半连续等价于一妒在而下半连续，而一伊在而下半连续等价于 磐【一烈矗) 】存在，且一妒在而点d 一连续。根据定理2 2 l 知，牌烈矗) 存在；因为一妒在 点d 一连续，由d 一连续的定义知，对任意 矗) = x ，若矗一而，则有 l i m d ( 一烈x o ) ，一烈) ) = 0 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 于是 ! i m d ( 烈) ，妒( 而) ) = l i md l ( 一妒( ) ，一烈) ) = 0 一 即等价于伊在点( d ) 一一连续。 2 4 非对称度量积空间 。 给定了有限个非对称度量空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积。如 何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积的一个非对称度量使之成为非对称度量空间? 为此我们先回顾度量空间中的同类问题进行研究，首先回顾珂维欧氏空间中四”中的度 量是如何通过实数空间中的度量来定义的：如果x = ( 而，x 2 ，毛) ，y = ( m ，儿，咒) 四4 ， 则x 与y 的距离定义为 p 力= 其中i 一只l 是四中两个点和只的通常距离。这种定义方式可以推广到有限个度量空间 的笛卡儿积中，就是笛卡儿积的积度量，对应的度量空间为度量积空研3 引。 注记2 4 1 为简单起见，在下面的定义中我们有时会分别采用d 1 和d o 来代表非对称度 量d 和对偶非对称度量d 一。 对任意x , y 0 及1 茎p ，定义 善+ ，y = ( r + y p ) 枷 则称+ 。为p 加法。进一步地，对p = q o ，定义 x + * j ，2 舰( x + p y ) = m a x x ，j ， 。 则称+ 。为加法。 定义2 4 1 设( 五，西) ，( 置，吃) ，( 以，西) 为，1 个非对称度量空间。令x = 兀五，定 i - i 义吒，：x x x - + r + 使得对于任何x = ( 而，而，) ，j ，= ( m ，坎，以) x ， 吒， ( 工，j ，) = 钟( 而，咒) + p 力( 而，雎) + ，+ ，露( 矗，以) 其中i | l ，o ) ( 七= l ，2 , - - - , 疗) 可以验证吨， 是x 的一个非对称度量。我们称。为笛卡 儿积x = n z 的非对称积度量；称非对称度量空间( ，z 。) 为甩个非对称度量空间 i - i ( x ，4 ) ，( 五，吐) ，( 以，以) 的非对称度量积空问。 引理2 , 4 1 吒吨是x 的一个非对称度量。 证明( 1 ) 若z 。( x ，y ) = 吒。( 弘x ) = o ，由z 。，。的定义可知，对于任意= l ，2 ，疗， 有 d 2 bl ，yk 、= d ? i yk ，xk 、= 0 第1 6 页武汉科技大学硕士学位论支 进而由非对称度量的定义知，以= y k ；即x = y 。 ( 2 ) 由于砟( k = l ，2 ，疗) 是非对称度量，则有 ， ( x ，y ) = 研( x l ，y o + ，孵( x 2 ，y 2 ) + p + p 爵( 矗，以) ( 田( 而，毛) + 钟( 毛，m ) ) + ，+ ，( 爵( 矗，乙) + 力( 乙，只) ) 由m i n k o w s k i 不等式，得 ( 钟( 而，z o + ，+ ，钟( 矗，乙) ) + ( 钟( 刁，m ) + p + ，钟( 乙，只) ) = ，* ( x ，z ) + 吒。( z ，) ，) 故嚷。是x 的一个非对称度量。 非对称积度量吒， 的对偶非对称积度量d ，- ， 讥定义如下： “( x ，力= 吨，以( 而) ，) 其中， l ，o 、 t ) 仲= l ，2 , - - - , 帕。因此，在疗个非对称度量空间c 墨，面) ，( 五，吐) ，( 以，矗) 的笛卡儿积x 上可定义2 ”个非对称度量，并且按照上述定义两两互为对偶非对称度量。 记 ，“o ，力2 ：呀 ，佴o ，) ，) ； 置，。“( 西，) = 伽x i 吒， ( 口，工) ， ； 哺( 口，r ) f x x i 吒, - - 4 ，口) ，) ； 曰( 口，) = 伽x i 吒( 口，功 ， 。 则，饵称为由非对称积度量吒，“诱导的笛卡儿积x 上的积度量；& ，。( 口，) 称为非对称 度量积空间( z ，噍， ) _ l ：以a y o e e 心以，为半径的左开球，b 。- i 饥( a ，r ) 称为非对称度量积空 间( x ，吒 ) 上以a 为中心以，为半径的右开球；( 口，r ) 称为度量积空间( x ，皤。嵋) l - 以a 为中心以，为半径的开球。 定理2 4 1 设( 蜀，每) ，( 五，畋) ，( k ，以) 为竹1 个非对称度量空间，( x ，以) 是它们 的非对称度量积空间。则( 口，r ) = n 且吨( 口，r ) ，“ 证明首先验证( 口，r ) cn 置， ( 口，r ) 。对于任意x f ( 口，r ) ，有， ( 口，x ) ，由 ， ， 的定义知，对于任意，f 2 ， l ，o ) ”，有吒， ( 口，力 r ；即x 置，。( 口，) 。所以， x n 扎。( 口，) ，一j 其次验证( 口，) 3n ? 。( 口，) 。同理，对任意x n 色( 口，) ，可知对任意 i i ，如 ，f 2 ， l ，o ”，吒 (