（应用数学专业论文）有关利率的研究——利率互换和可转换债券.pdf

有关利率的研究 利率互换和可转换债券 摘要 本文研究的对象是利率，利率的应用很广，是经济生活中最受关注的变量 之一。利率不仅影响着日常生活，还影响着企业和家庭的经济决策。尤其是在 金融上面，几乎所有的金融工具都和利率密切相关。股票，期权，债券以及其 他金融衍生产品的价格都直接受利率涨跌的影响。总之，不论是宏观上还是微 观上利率的研究都是非常重要的。 本文共分四章，第一和第二章是介绍部分，主要介绍了利率的基本情况和 一些必要的数学知识。第三和第四章是研究部分，主要研究了利率互换的实质 和可转换债券的定价方程。 本文所做的工作主要体现在第三和第四章。第三章，对利率互换研究时， 有别于经济类的研究角度，从数学的思维出发，推导出互换时浮动利率和固定 利率两值所需满足的一个关键等式。第四章，以可转换债券为基础，重点研究 了对冲法和蒙特卡罗法，研究发现，在用对冲法进行期权债券定价方程的推导 时，有一些技巧，如果实际中企业的金融证券的构成比较复杂，推导时可以将 条件简化，结果一样，从而大大方便了整个运算过程，文中用可转换债券定价 方程的几种推导证明了结论的正确性。另一方面，对蒙特卡罗法，为了提高其 精确度和效率，受对偶蒙特卡罗法启发，设计了一种更新的推导方法，起名权 值蒙特卡罗法，并用实验数据证明了这种方法的优越性。 关键词：利率；利率互换；利率模型；可转换债券；对冲；蒙特卡罗法 r e s e a r c hc o n c e r n i n g i n t e r e s tr a t e - - - - - i n t e r e s tr a t es w a pa n dc o n v e r t i b l eb o n d s a b s t r a c t t h es t u d i e do b j e c ti nt h i st e x ti st h ei n t e r e s tr a t e ，t h ei n t e r e s tr a t ei su s e dv e r yw i d e l y , w h i c hi so n eo f t h ep a i dm o s ta t t e n t i o n sv a r i a b l e si ne c o n o m i ca n dl i f e t h ei n t e r e s tr a t e n o to n l ya f f e c t so u rd a i l yl i f e ，a tt h es a m et i m e ，b u ta l s oi ta f f e c t st h eb u s i n e s se m e r p r i s et o m a k e sp o l i c yd e c i s i o n , p a r t i c u l a r l yi nt h ef i n a n c e ，a l m o s ta l lo f t h ef i n a n c i a lt o o l sa l la r e c l o s e l yr e l a t e dt ot h ei n t e r e s tr a t e t h ep r i c eo f t h es t o c k o p t i o n , b o n da n do t h e rf i n a n c i a l d e r i v a t i v e si sa l ld i r e c t l yi n f l u e n c e db yi n t 凹e s tr a t e sr i s i n ga n df a l l i n g i naw o r d , w i t h o u t r e f e r e n c et om a c r o s e o p i c a la s p e c t s , o rm i c r o c o s m i cv i e w s ，t h em s e a r c ho f t h ei n t e r e s tr a t e i sv e r yi m p o r t a n t t h i st e x ti sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s ，c h a p t e r1a n dc h a p t e r2a r et h e i n t r o d u c t i o np a r t s ，p r i m a r i l yi n t r o d u c i n gb a s i cc o n t e n t so fi n t e r e s tr a t ea n ds o m e n e c e s s a r ym a t h e m a t i c a lk n o w l e d g e c h a p t e r3a n dc h a p t e r4a r et h er e s e a r c hp a r t s ， p r i m a r i l ys t u d y i n gi n t e r e s tr a t es w a p e s s e n c ea n dc o n v e r t i b l eb o n d s p r i c i n g e q u a t i o n t h em a i nw o r ki nt h i st e x ti si n c a r n a t e di nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 c h a p t e r3 ， t h er e s e a r c ho ft b ei n t e r e s tr a t es w a ph e r ei sd i f f e r e n tf r o mt h ee c o n o m i ca n g l e s ， w h i c hc o m e sf r o mt h em a t h e m a t i c a lt h o u g h t ，d e d u c i n gak e ye q u a t i o no ff l o a t e d r a t ea n df i x e dr a t e c h a p t e r4 ，r e g a r d i n gc o n v e r t i b l eb o n d sa st h ef o u n d a t i o n ，p u t s t h ee m p h a s i so nt h eh e d g i n gm e t h o da n dm o n t ec a r l om e t h o d t h er e s e a r c h d i s c o v e r st h a tt h e r ea r es o m es k i l l si nt h eh e d g i n gm e t h o dw h e nw ed e d u c et h e b o n d s 。p r i c i n ge q u a t i o n ，i fa c t u a ls t r u c t u r eo fe n t e r p r i s e sf i n a n c es e c u r i t i e si s r e l a t i v e l yc o m p l e x ，d e d u c i n gc a nb es i m p l i f i e da n dt h er e s u l ti se q u a l ，t h e r e b y ， w h i c hg r e a t l yc o n v e n i e n c e st h ec a l c u l a t i n gp r o c e s s o nt h eo t h e rh a n d ，i no r d e rt o r a i s et h em o n t ec a r l om e t h o d a c c u r a c ya n de f f i c i e n c y ，i n s p i r e db yt h ea l l e l o m o r p h m o n t ec a r l om e t h o d ，t h et e x td e s i g n sak i n do fn e wr e s e a r c hm e t h o dw h i c hi sc a l l e d t h ep o w e rv a l u em o n t ec a r l om e t h o da n dt e s t i f i e si t ss u p e r i o r i t yb ys o m e e x p e r i m e n td a t a k e yw o r d s ：i n t e r e s tr a t e ；i n t e r e s tr a t es w a p ；i n t e r e s tr a t em o d e l ；c o n v e r t i b l eb o n d s ；h e d g e ； m o n t ec a r l om e t h o d 图1 1 图1 2 图1 3 图1 4 图1 5 图2 1 图a 2 插图清单 预期与期限溢价的结合4 完全市场分割状态下的利率期限结构5 均值回复7 利率树图l o 利率树图l l 甲乙利率互换过程 有银行参与的利率互换2 6 表格清单 表1市场提供给甲乙两公司的借款利率2 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得 金巴王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：张杰签字日期：叼年蚰 。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些盘堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金月b _ 工些盍堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存，汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名；私堇旦 签字日期：萨。刁年f 月；o 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名； 签字日期。汐印年厂月日 电话： 邮编： 致谢 研究生的生活即将接近尾声，在这将近三年的日子里，发生的点点滴滴仍历历在 目，想感谢的人实在太多。 首先，我想感驸我的导师杜雪樵教授，在读研的这段日子里，杜老师给了我太多 的帮助，无沦在学术上还足生活上，杜老师都像一位可亲的长者，无时不给与我悉心 的指导和照顾，特别是在写作论文的只子里，我遇到了各种各样的难题，最后都在杜 老师的帮助下一一克服，这儿，我想深深地说一声谢谢。 其次，我想感嘞惠军老师和凌能详老师，谢谢他们教会了我更多的知识，使我在 研究的道路上基础打的更牢。 再者，就是我亲爱的同学朋友们，读研期间，和你们一起学习，一起研究，一起 生活的日子我会倍加珍惜，你们给与的帮助我也将牢记于心。 最后，就是我的家人们，因为有了你们的关心和鼓励，才有了我一直奋发向上的 动力，你们乃是我无形的精神支柱。 感谢所有曾给与我帮助的人。谢谢你们了。 张燕 2 0 0 7 年5 月1 日 第一章利率的概况 1 1 利率的基本情况 1 1 1 利率的定义 利率，一个在熟悉不过的词了每个人肯定都说过，都用过。可以说利率 在生活中无处不在，和我们每个人息息相关。利率的种类很多，有存款利率， 贷款利率，固定利率，浮动利率，即期利率，远期利率，长期利率，短期利率 那么什么是利率呢? 你可能突然有点懵了，因为往往一个东西太熟悉，就 不太在意了，利率就是利息率，指一定时期内利息总额与本金的比率。 1 1 2利率的应用 利率的应用很广，是经济生活中最受关注的变量之- - 1 】。它直接影响着我 们每天的生活，对经济的发展有着重要的作用，几乎每天新闻媒体都对它给予 极大的关注。利率影响着我们日常类似于是消费还是储蓄，是购买债券还是直 接存到银行等个人的决策。同时，它还影响着企业和家庭的经济决策，尤其是 在金融上面，几乎所有的金融工具都和利率密切相关。股票，期权，债券以及 其他金融衍生产品的价格都直接受利率大小，涨跌的影响。 1 2 利率的发展情况 利率从很多年以前就一直是金融研究中的一个热点，将其综合一下，大致 上有两个方向【2 】，一个是从宏观角度。分析利率与经济增长，货币政策和宏观 调控的关系，一个是从微观角度，研究利率期限结构及其对金融产品定价的影 响。本文兼顾两者，但重点在后者。 1 2 1 宏观上的研究 经济全球化加速了金融市场化，而金融市场化的核心在于利率的市场化， 利率作为借贷资金的价格，是实行国民经济再分配和调节国民经济的重要经济 杠杆，利率市场化是市场经济发展的必然趋势，也是培育市场主体的必然选择， 在除基准利率以外的整个利率体系都是由市场的供求决定时，才能称之为利率 市场化。利率市场化是指将中央银行用计划手段确定的管制利率变为金融机构 自身根据资金供求状况、头寸状况、盈利和风险等因素自行调节、自行控制的 利率。由于金融市场上资金的供求状况和各种利率的影响因素都处在变化之 中，所以利率就处在经常变化之中，并且其变化趋势和变动幅度难以预测。因 此利率风险大大提高。市场化条件下如何控制利率风险，是金融领域的一个重 大课题，利率市场化条件下，控制利率风险的常用工具有远期利率协议、利率 期货、利率期权和利率互换等。国际金融市场上，交易活跃的控制利率风险的 工具是利率期权和利率互换 3 。本文主要研究的是利率互换，如何有效地通 过利率互换规避风险，具体的介绍可见本文第三章。 1 2 2 微观上的研究 说到利率，就不能不谈利率期限结构( t e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t e ) ，现设 t 时刻的短期利率为r ，它只用于t 时刻一个无穷小的时间期限内，有时该短期 利率也称之为瞬态短期利率( i n s t a n t a n e o u ss h o r tr a t e ) 不过这并不是现实世界 中r 所遵循的过程，强调这一点很重要【4 】。 在风险中性世界中，t 时刻给出收益为f t 的利率衍生证券的价值为： 自 e - t ( t - o f t 式中，亍是r 在t g l j t 时间间隔内r 的平均值，宜代表无风险中性世界的期望值。 设p ( t ，t ) 为t 时刻贴现债券的价格，该债券在t 时刻支付1 美元。由式自e 。- t 。f t l 得： p ( t ，t ) = 自e 4 ( t - t ) 】 若r ( t ，t ) 为t 时刻在t t 期间内的连续复利率，则 p ( t ，t ) = e 一8 “卜 所以 1 r ( t ，d = 一i i - l n p ( t ，t ) i i 而且由式色【e 4 ( t - z ) 】得： 1 r ( t ，t ) = 一；七i n l 自 e 4 小o 】 l l 在任何给定时刻，从该时刻的r 值和r 的风险中性过程，由上式可获得该时 刻的利率期限结构。它说明一旦定义了r 的过程，就已经完全定义了初始期限 结构所需的所有内容，并清楚了在所有未来时刻它是如何演变的。这样，对投 资人和交易商而言，就可以进行有效的投资组合的避险和投资绩效的衡量。 利率期限结构理论的发展主要经过了两个阶段。2 0 世纪7 0 年代末以前， 主要是定性描述阶段，这期间主要有纯预期理论、流动性偏好理论和市场分割 理论等。7 0 年代末期以后，主要是定量模型阶段。这一期间，随着随机过程理 论在金融研究中的发展，国外学者纷纷利用随机过程原理建立了一些利率期限 结构模型，主要分为两大类：一类是均衡模型，另一类是无套利模型【4 】【5 】。 1 2 2 1 描述性理论 描述性理论主要是指纯预期理论，流动性偏好理论和市场分割理论。 一纯预期理论( p u r ee x p e c t a t i o n st h e o r y ) 预期理论认为，不论人们所投资的证券期限长短，投资取得的单一时期的预 期收益率都相同，也就是说，如果某个人投资的期限为一年，那么，他投资于 一年期的证券，或是最初投资于两年期证券并在一年末出售证券，或是投资于 2 五年期债券并在一年末出售证券，它们之间不存在任何差别在最初投资时， 对于所有可行的期限策略来说，预期的持有期收益率都是相同的该理论最初 由f i s h e r ( 1 8 9 6 ) 【6 】提出，而后由f r i e d r i c h a l u t z ( 1 9 4 0 ) 7 进行了进一步的 发展。 预期理论的基本观点： ( 1 ) 期限结构中隐含的远期利率是对未来即期利率的无偏差的估计。用；f i 表示从第i 段单位时间期初开始到第j 段时间期初结束这段时间的远期利率，r - 表示距离现在n 期的即期利率( 即零息票利率) ，则 l + k = ( 1 + o f i ) ( 1 + l f 2 ) ( 1 + 2 ) ( 1 + 丑i f n ) ( 2 ) 在特定的期限内，不同期限策略产生的预期收益率相同。从市场行为 上看，愿意并且能够利用盈利机会的风险中立的市场参与者的存在形成了对纯 预期理论的支持。如果远期利率与预期未来即期利率一致，这些市场参与者追 求利润的行为将导致期限结构仅仅取决于对未来利率的预期。根据纯预期理 论，水平的收益率曲线意味着市场参与者预期未来短期利率等于目前的短期利 率，向下倾斜的收益率曲线表示预期未来的短期利率下降。因为通过不断地对 短期证券进行再投资，投资者预期不能得到任何好处，所以他们愿意购买低于 短期证券收益率的长期证券。另一方面，向上倾斜的收益率曲线意味着预期未 来的短期利率上升，除非收益率高于短期证券，否则，投资者将不愿购买长期 证券，投资于短期证券并在到期时进行再投资会取得更高收益。 纯预期理论暗含着假设债券市场是高度有效的，有效的市场意味着消除了 妨碍信息迅速扩散的市场缺陷和市场参与者能对这些信息迅速做出反应。 二流动性偏好理论( 1 i q u i d i t yp r e f e r e n c et h e o r y ) 如果市场中存在完全确定性，很明显，远期利率就是未来短期利率的准确 推测。套利活动会使得期限的利率与预期值一致，从而使投资者不论投资的纯 贴水债券为何种期限，都会取得相同的收益率。远期利率中不包含任何风险补 偿。然而，当我们进入不确定社会时。就出现了风险问题，因此，j 。r h i c k s ( 1 9 4 6 ) 【8 1 和其他一些经济学家认为，纯预期理论必须加以修正。 据称，债券期限越长，投资者本金价值波动的风险越大由于存在这种较 高风险，投资者趋向提供短期贷款。但是，为了降低不能偿还本金的风险，借 款者倾向于借入长期贷款。由于借款者必须让步，为了使投资者购买长期债券， 就必须提供风险溢价( 或称期限溢价) ，这种溢价附加在当期平均短期利率和 未来短期利率之上因此，远期利率是对未来利率有偏差的估算。比未来利率 高出期限溢价额。 流动性偏好理论认为投资者在投资决策时都偏好于流动性比较强的证券， 所以长期利率必须含有流动性补偿，从而高于短期利率，即 l + k 可( 1 + o f l ) ( 1 + l f 2 ) ( 1 + 2 f 3 ) ( 1 + 。一i f n ) l + k = ( 1 + o f l ) ( 1 + i f 2 ) ( 1 + 2 ) ( 1 + n - i f 4 ) + 流动性溢价 这里指出的是，设远期利率f 是已知的。 假设市场参与者预期未来短期利率与当前利率相同，由于远期利率中包含 期限溢价，收益曲线就会向上倾斜根据流动性偏好理论，和投资于短期债券 并在每个到期日重新进行短期投资相比，长期债券投资会产生更高的预期收 益，如图 l 所示 纯预期 到期期限 图l - l预期与期限溢价的结合 三市场分割理论( m a r k e ts e g m e n t a t i o nt h e o r y ) 期限结构的第三种理论认为，贷款者和借贷者分割的市场行为基本上决定 了收益率曲线的形态。该理论的最早倡导者是j m c u l b e r t s o n ( 1 9 5 7 ) 9 】。他 认为，由于法律限制和行为方式限制，机构贷款者偏好它们所经营的期限范围。 例如，商业银行受存款负债的性质以及传统上强调流动性的影响，通常偏好中 短期贷款，拥有长期负债的保险公司和其他贷款者则偏好较长期限的贷款另 一方面，有人认为，借款者的债务期限与其资金需要相关。比如建筑厂房的公 司通常采取步骤，确保为厂房融资而承担的债务与预期从该厂房产生的现金流 量相对应。在极端情况下，市场分割理论认为，某种特定期限的利率完全取决 于该期限的供求状况，与其他期限的供求状况毫不相关，换言之，借款者和贷 款者具有呆板的期限偏好，不论其他期限上的收益率具有多么强的吸引力，也 不会背离它们的偏好。因此，贷款市场是完全分割化( 或称部门化) 的。例如， 如果有四个分割的市场，就会有四组供求曲线，如图 2 所示，将这些分割的曲 线的交点连在一起，就决定了收益率曲线。 4 收益率 到期期限 图l 一2 完全市场分割状态下的利率期限结构 与市场分割理论较为相近的一种变相提法是f r a n c om o d i g l i a n i 和r i c h a r d s u t c h ( 1 9 6 6 ) 的优先置产理论( p r e f e r r e dh a b i t a tt h e o r y ) 【1 0 】。他们认为，不 同类别的贷款者具有期限偏好习惯，虽然他们偏好自己的习惯，但是，如果在 某一方面出现重大收益率诱导因素，他们将抛弃原习惯，然而，如果在某一方 面出现重大收益率诱导因素，他们将抛弃原习惯，然而，如果没有巨大的收益 率诱导因素，贷款者将保持其偏好的期限范围，从而导致贷款市场局部分割， 因此，跨期限套利不会完全消除各种不同期限范围上收益率的不一致。 如果市场上需要筹集数量相对较大的长期债务资金，长期利率相对于短期 利率就会提高。如果市场上需要筹集数量相对较大的短期债务资金，就会出现 相反的情况。 1 2 2 2 随机模型理论 白2 0 世纪7 0 年代末期以来，各国利率波动频繁。特别是在美国，美联邦 的货币政策逐渐由8 0 年代初的货币总量控制转向联邦基金利率的调控，对利 率比较敏感的债券价格经常剧烈波动。美国学者对利率期限结构进行了更深入 的研究，自此1 9 7 7 年v a s i c e k 建立单因素的期限结构的均衡模型以来，可以说 利率期限结构模型和固定收益证券的定价研究进入了随机过程时代。这期间利 率期限结构模型研究主要沿着两个方向：一个是均衡模型，另一个是无套利机 会模型。 1 2 2 2 1 均衡模型( e q u i l i b r i u mm o d e l s ) 均衡模型通常是从假设一些经济变量开始，并推出短期无风险利率r 的过 程，然后寻找该过程对债券价格和期权价格的含义，从而推出债券价格和期权 价格的解析解和数值解。均衡模型和无套利机会模型一样，也假定短期利率的 演变过程，但它不限制模型对零息债券的定价必须等于市场价格。它允许模型 价格和市场价格存在差异，因为所有的债券与利率期权合约的价格，并不取决 于短期利率。因此，均衡利率又提出额外的假设，借以解释投资者需要多少额 外的预期报酬，才愿意持有价格风险比较高的较长期债券。均衡模型不同于无 收益率 套利模型，它是根据当时的期限结构来推论期望报酬中所具有的风险溢价( r i s k p r e m i u m ) 【4 】 一v a s i c e k 模型( 1 9 7 7 年) 在v a s i c e k 模型中，短期利率r 的随机过程是【1 l 】： d r = a ( b - r ) d t + od z 其中，a ，b 和。为常数。这个模型考虑了均值回复短期利率以速率a 拉向水平 b 。这个额外的“拉力”是服从正态分布的随机项o d z 。 v a s i c e k 模型说明，从方程d r = a ( b r ) d t + od z 可获得如下的t 时刻到期 支付1 美元的零息票债券价格在t 时刻的解析表达式： p ( t ，t ) = a ( t ，t ) e 一8 j ) 7 ( 在这个公式中，r ( t ) 是t 时刻r 的值， b ( t ，t ) ：1 - e - a ( t - t ) a ( t ，t ) = e x d b ( t , t ) - ( t - a t ) ( a 2 b - 0 2 2 ) 0 2 8 4 ( t a , t ) 2 整个期限结构可以表示为： r ( t ，t ) 一击i n a ( t , t ) + 击b ( t ，t ) r ( t ) 上式说明只要选择出a ，b 和a ，整个期限结构就可以被表示为r ( t ) 的函数， r ( t ，t ) 与“t ) 是线性关系。这意味着r ( t ) 的值决定了t 时刻期限结构的水平。 v a s i c e k 模型的主要缺点是，未来时刻的短期利率可能为负值，这在现实世 界是绝对不可能存在的。 二r e n d l e m a n - - b a r t t e r 模型( 1 9 8 0 年) r e n d l e m a n - - b a r t t e r 模型的结构是【1 2 】： d r = p r d t + o r d z 这意味着r 服从几何布朗运动，r 所遵循的过程与假设的股票价格所遵循的过 程类型相同。该过程具有常数期望增长率u 和常数波动率o ，它可以用一个类 似于股票的二叉树图来表示。参数u ，d 和p 的选择如下： u = e 4 伍 d = e a 临 a d p 2 _ 1 1 一d 式中， a = e t a t 但研究发现，这种模型假设短期利率的行为与股票价格相似是很不理想的 在利率和股票价格之间的一个重要差别是随时问的推移，利率呈现出向某个长 6 期平均水平收敛的趋势这个现象称为均值回复( m e a nr e v e r s i o n ) ，而r e n d l e m a n b a r t t e r 模型并没有刻画出这个特性当r 较高时，会使r 具有负的漂移率；当r 较低时均值回复会使r 具有正的漂移率，如图3 所示。强有力的经济学观点支持 均值回复。当利率较高时。经济发展放慢，因此借款人对资金的需求就会减少， 结果导致利率下降。当利率低时，则借款入对资金会有很高的需求，结果导致 利率上升 图l 一3 均值回复 三b r e n n a n 和s c h w a r t z 两因子模型( 1 9 8 2 年) b r e n n a n 和s c h w a r t z 最早提出了两因子模型 1 3 】，他们认为，单因子模型 隐含地认为所有不同到期期限的债券的瞬时回报都完全相关，这与事实严重不 符。b r e n n a n 和s c h w a r t 建立了一个当短期利率趋向于长期利率，而长期利率 服从随机过程的模型。长期利率选用每年支付1 美元的永久性债券( ap e r p e t u a l b o n d ) 的收益率。运用i t o 定理可以从债券价格所遵循的过程计算出其收益率 所遵循的随机过程。假设短期理论为r ，长期利率为r ，债券的价格是短期利 率和长期利率的函数。短期利率和长期利率可描述为： d r = ( a i + b l 【r r ) ) d t + r o l d w l d r = ( a 2 + b 2 r + c 2 r ) d t + r 0 2 d w 2 利用l t o 定理，求得债券价格的微分方程表达式，利用数值方法可以解出债 券的价格。 该模型的优点是债券价格不是由短期利率单因子决定的，而是由短期利率 和长期利率两因子共同决定的。其缺点是没有解释选取这两个因子的原因，因 此后来又有人提出了其他的两因子模型 四c i r 模型( c o x ，i n g e r s o l l ，r o s s ) ( 1 9 8 5 年) c o x 等人在探讨利率期限结构的含义时发现，债券的实际价格是短期利率 的递减的凸形函数，这就是说，各种利率同步变化。此外，与复利的数学计量 相符，债券的价格是期限的递减函数。更令人感兴趣的是，债券的价格是利率 与财富之问协方差的递增函数。在协方程值较大的条件下，财富值大，则利率 7 高，债券价格低；财富值小，则利率低，债券价格高。这种理想的资产拥有正 的边际效用，因而影响着债券的价值 在c i r 公式中，债券价格还是利率方差递增的凹形函数c o x 等人认为， 较大的方差反映了未来实际生产机会具有较大的不确定性，因而未来的消费具 有较大的不确定性，风险回避投资者就会对债券定价较高，而它的某些收益与 各种经济状况有关，总体而言，c i r 模型认为，在大多数情况下，利率期限结 构包含正值的期限溢价。此外，长期利率收敛于常恒利率，因此长期利率可以 被视为c i r 期限结构所围绕的核心f 1 4 】 1 5 】。 c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s 给出了单因子c i r 模型他们提出了一个利率总是 为非负值的模型，他们通过假设债券的价格服从某种随机过程导出了短期利率 的风险中性过程： d r = a ( b r ) d t + o 届w 这与v a s i c e k 有同样的均值回复漂移，但随机项的标准差正比于r ，这意味着 其标准差随着短期利率的上升而上升 c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s 在他们的模型中指出：债券价格与在v a s i c e k 模型 中的一般形式相同： p ( t ，t ) = a ( t ，t ) e 一8 ( 州 但b ( t ，t ) 和a ( t ，t ) 函数不同： 9 一f n 一t 1 13z b ( t ，t ) 2 石丽t c 而 面- l 石 ”( f + - x t - i ，2 a ( ，t ) 2 【_ i ；j 黄；i i 可。：1 6 j 五】曲7 一 c i r 期限结构模型的优点是它产生于经济中的内在实际变量和总体均衡， 因此它包含了风险回避、时间消费偏好、财富限制、导致风险补充的因素和众 多的投资选择。尽管该公式有很多优点，但是它太复杂，在估算经济参数、风 险参数和进行现实预测方面产生了困难。 五l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 两因子模型( 1 9 9 2 年) l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 提出了另一种两因子的均衡模型，并给出了零息债 券的价格和欧式期权价格的解析表达式 1 6 。模型中的两个因子是短期利率和 短期利率的瞬时方差。他们认为，债券及其期权的估价应当考虑利率波动性这 一因素，因为利率波动性在利率期权估价中非常重要。 该模型的一般均衡框架为根据c i r 的连续时间均衡模型，考虑两个因子( 短 期利率及短期利率的瞬时波动率) ，应用i t o 定理，得出短期利率及短期利率波 动率的随机过程，为： 8 d r = p i ( i t ) d t + o i r ，) d z l d v = p 2 ( t 一) d t + 0 2 h t ) d z 2 通过了对微分方程的求解，得出了债券价格和期权价格的解析式。 l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 模型的优点是：利率风险的市场价格是从模型中内生 的，这与均衡模型一致；瞬时短期利率及短期利率的波动率容易取得。该模 型的缺点是没有考虑长期利率对债券价格的影响。 六c k l s 模型( 1 9 9 2 年) c k l s 模型是t h a n ，k a r o l y i ，l o n g s t a f f 和s a n d e r s 建立的一个实证检验 模型。该模型的结构为 1 7 ： d r = a ( b r ) d t + 0r d w 其中，九为常数，这个模型是一个通用模型，参数a ，b ，九取不同的值就演变 成不同的模型，比如，当b = 0 ，九= l 时，就是r e n d l e m a n - - b a r t t e r 模型：当 b 为长期利率，九= 1 时就是v a s i c e k 模型；当b 为长期利率，九= i 2 时，就 是c i r 模型。他们对九取不同值，用广义矩( g e n e r a l i z e d m o t h o do f m o m e n t s ) 进行了参数估计，实证结果认为，成功的模型是允许波动率随着无风险利率不 同而变化的模型，波动率能否反映利率的动态特性是选择模型的一个尺度 c k l s 模型的贡献在于它是一种通用的模型，通过它能够对各种模型进行实 证检验 以上模型都是均衡模型，它们的共同缺点是不能适合今天的期限结构，即 通过均衡模型计算出的债券的今天价格与市场上观察的不一致。大多数的交易 员认为它不能令人满意，因为当模型不能对债券做出正确的定价时，他们有理 由说对债券期权的定价几乎没有什么信心。标的债券价格i 的误差会导致期 权价格2 5 的误差 4 。 1 2 2 2 2 无套利机会模型( n o a r b i t r a g em o d e l s ) 无套利机会模型定价的过程是，以观察到的当时的利率期限结构为模型的 输入，假设短期利率的随机过程，由零息债券到期时价值依次向前推算，得出 每一期的债券价格，同时可以得出债券期权的价格。 一h o 和l e e 模型( 1 9 8 6 年) h o 和l e e 在1 9 8 6 年的论文中首先提出了期限结构的无套利模型 1 8 他 们用债券的二叉树图的形式提出了该模型。模型有两个参数：短期利率的标准 差和该短期利率风险的市场价格。模型的结构为： d r = 0 ( t ) d t + od w 其中，短期利率的瞬态标准差0 是常数，而0 ( t ) 是为了保证模型与初始期限结 构一致而选择的时间的函数。 在h o 和l e e 模型中，贴现债券和基于贴现债券的欧式期权可以求出解析 9 解。用短期利率表示的t 时问的贴现债券价格的表达式是： p ( t ，t ) = h ( t ，t ) e 一x “ 鼎从( t ，d = i n 鬻- ( t t ) 筹业一互l - a 2 t ( t - t ) h o 和l e e 模型的优点是它是可解析的马尔科夫模型，它的应用简便而且能 精确地符合当前的利率期限结构。模型的缺点是：在选择标准差时给予使用 者的灵活性太小，所有即期和远期利率都具有相同的瞬态标准差o ；不具有 均值回复性，这意味着在某个特定时点上，不论利率多么高或多么低，利率在 下一个短时间内移动的平均方向总是一样的 二原始的所罗门兄弟模型( 1 9 8 7 年) 在原始的所罗门兄弟模型( o r i g i n a ls a l o m a nb r o t h e rm o d e l ) 中，新利 率等于原有利率乘以一个随机冲击 1 9 因此，这个模型是以“乘法”而不是 “加法”来处理随机冲击的。这将以对数正态分布( 1 0 9 n o r m a ld i s t r i b u t i o n ) 取代正态分布，同时克服了h o 和l e e 模型中利率可能为负的缺陷该模型的 结构为： d l n r = n l ( t ) d t + od w 其中，m ( t ) 是关于时间t 的趋势变量，短期利率的演变过程如匦4 所示。 r 毋晡删 r e ( m + m 7 ) t 图1 4 利率树图 参数o 称为“比例波动率”( p r o p o r t i o n a lv o l a t i l i t y ) ，m 是下一时刻的m ( 1 ) 短期利率的实际波动率等于比例波动率乘以当时的短期利率，表明短期利率的 波动率随利率变化而变化，并不是常数了 原始的所罗门兄弟模型的优点是：用对数分布取代正态分布，克服了h o l e e 模型中利率可能为负的缺陷；短期利率的波动率与利率成正比，并不 是常数。该模型的缺点是没有反映现实生活中的利率均值回复现象。 l o 三b l a c k - - d e r m a n t o y 模型( 1 9 9 0 年) 相对于所罗门模型来说，b l a c k d e r m a n - - t o y 模型的最主要的优点是可以 反映利率期限结构的实际情况。这是因为它假设短期利率波动率将随时间而变 动，而利率的趋势变量m 将受到利率水准的影响。 许多研究者认为，当利率水准偏高时，它的趋势变量( d r i f t ，指m 的数 字而言) 相对较小，甚至为负值；当利率水准偏低时，趋势变量相对较大。换 言之，他们相信利率具有均值回复性。 b 1 a c k d e r m a n - - t o y 模型具有均值回复的性质，但这个性质是通过波动率 的期限结构而显现的。换言之，趋势变量受到利率水准的影响程度，完全取决 于短期利率的演变过程，这种方法有一个缺点，即以不精确的方式呈现均值回 复的性质，主要依靠估计短期利率的未来波动率来近似实现均值回复。这种不 精确性可能对模型的定价功能产生不利的影响。所以，模型或许应该在不受波 动率过程的影响下，单独考虑回归均数的性质模型的结构 2 0 ： ，一 d l n r = 【0 ( t ) - l n ( r ) d t + o ( t ) d w o 其中，o ，是下一个时闻段短期利率r 的瞬时标准差。这个模型与其他无套 利机会模型一样，它对于零息债券所定的价格必须等于市场价格。可是，在波 动率的期限结构方面，这个模型所提供的结果可以符合实际的情况，为了达到 这个目的，b l a c k - - d e r m a n - - t o y 模型允许短期利率的波动率随着时间而变动， 所以这种波动率又称为“区域性波动率”( 1 0 c a lv o l a t i l i t y ) 然而，随着时 间丽变动的区域性波动率会引起一些问题，因为利率可能呈现非结合性的树状 图( n o c o m b i n i n gt r e e ) 。树状图无法结合，解决的办法是，让上行与下行状 况的未来发展各具不同的趋势变量。 假定m 代表由上行状态发展的趋势变量，m - 代表由下行状态发展的趋势 变量，则短期利率的树状图将如图坫所示： r 图i 一5利率树图 l l 如果“上行一下行状况”与“下行一上行”的利率相等，树状图便会结合因 而设定： r e ( m + m 7 ) t + o i 以：r e ( m + m ) t o “o ，f 这就相当于 ( m ”一m ) 何- 2 ( 伊叻 即趋势变量完全由短期利率的波动率来决定，从而实现均值回复。 b l a c k - - d e r m a n - - t o y 模型的优点是：利率波动率随时间而变动。优于假 设为常数；具有均值回复特性。缺点是：趋势变量完全由短期利率的波动率 来决定，这种方式也是不精确的，模型应该在不受波动率过程的影响下，单独 考虑均值回复的特性 四b l a c k k a r a s i n s k i 模型( 1 9 9 0 年) b 1 a c k k a r a s i n s k i 模型是以明显的方式来处理均值回复，它假设短期利 率有一个中央倾向( c e n t r a lt e n d e n c y ) ，并设定短期利率回归中央倾向的速 度。这个模型可以从数种不同的角度来建立，可以设定均值回复的某些合理参 数值，或设定均值回复的速度为某一常数，然后调整模型中的其他参数，让利 率期限结构与波动率的期限结构能够相互协调。或者，也可以设定区域性波动 率的参数值，然后调整其他参数值，让利率期限结构与波动率的期限结构能够 互相协调。第三种方法是原作者所建议的方法。它以市场的某组数值来套入模 型，其中以差价上限选择权曲线( d i f f e r e n t i a lc a pc u r v e ) ( 差价上限选择 权是根据某名义金额，支付短期利率与履约利率的差价( 如果这项差价为正 值) ) 尤其实用。将差价上限选择权的价格套入模型中，并倒推模型的参数值， 这是希望模型在确定其他或然性合约的价格时，便能够反映市场的实际情况。 该模型的结构为 2 1 ： d l n r = 由( t ) i n u ( t ) 一l n r d t + o ( t ) d w 其中，u ( t ) 是目标利率( t a r g e tr a t e ) ，巾( t ) 表示均值回复，0 ( t ) 表示区域 波动率，即l n r 的波动率。 b l a c k - - k a r a s i n s k i 模型的优点：允许独立设置均值回复的行为；由 于它是对数正态分布的模型，利率水准不可能为负，利率的波动率与利率的水 准成比例。缺点是利率的树状图仍呈现非结合性的树状图，均值回复的行为将 受到波动率的影响。 五h u l l - w h i t e 模型( 1 9 9 0 年) h u