（应用数学专业论文）多元线性模型中的两种估计问题.pdf

摘要 本文先简单回顾了线性模型中多元线性模型理论的基础知识，接着研究多元线性 模型中线性估计的估计问题 其次讨论了一般多元正态线性模型中可估函数d x b 的m i n i m a x 性，得到了一般 可估函数d x b 在一切估计类中的m i n i m a x 估计，并证明了其唯一性( 有关唯一性在几 乎处处意义下理解1 最后在多元随机效应模型中引入线性估计s o + q b 的泛容许估计的概念并讨论 线性估计s o + q b 的泛容许性，得出l y ( l y + f ) 是线性估计s o + q b 在齐次( 非齐 次) 线性估计类中的泛容许估计的充要条件 关键词：多元线性模型；二次损失；m i n i m a x 估计；泛容许估计：线性估计； 可估函数；随机效应一 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , f i r s tw er e v i e wb r i e f l yt h ec l e m e n tt h e o r yo fm u l t i v a r i a t el i n e a rm o d e l a b o u tt h el i n e a rm o d e l ，m o r e o v e r , s t u d yt h eq u e s t i o no ft h el i n e a re s t i m a t e si nm u l t i v a r i a t e l i n e a rm o d e l s e c o n d ，w es t u d yt h em i n i m a xp r o p e n yo fe s t i m a b l ef u n c t i o nd x bi nt h eg e n e r a l m u r i v a r i a t en o r m a ll i n e a rm o d e l ，o b t a i nt h em i n i m a xe s t i m a t o r so ft h eg e n e r a le s t i m a b l e f u n c t i o n d x bi nt h ec l a s st h a tc o n t a i n sa l lt h ee s t i m a t o r sa n dp r o v ei t st h eu n i q u e n e s s ( r e l e v a n tu n i q u e n e s sa r eu n d e r s t o o du n d e r t h em e a n i n g n e a r l ye v e r y w h e r e ) f i n a l l y , w ei n t r o d u c et h en o t i o nf o rt h eg e n e r a la d m i s s i b l ee s t i m a t e so ft h el i n e a r e s t i m a t es o + i nm u l t i v a r i a t er a n d o me f f e c tl i n e a rm o d e la n dd i s c u s st h eg e n e r a l a d m i s s i b i l i t y o fl i n e a re s t i m a t e ss o + 妒，o b t a i nn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n t h a t l y ( l y + f ) i st h eg e n e r a la d m i s s i b l ee s t i m a t e so ft h el i n e a re s t i m a t e s s o + 妒i n t h ec l a s s e so fh o m o g e n e o u s ( o rn o n h o m o g e n e o u s ) l i n e a re s t i m a t e s k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t el i n e a rm o d e l ；q u a d r a t i cl o s s ；g e n e r a la d m i s s i b l ee s t i m a t e ； m i n i m a xe s t i m a t e ；l i n e a re s t i m a t e ；e s t i m a b l ef u n c t i o n ；r a n d o me f f e c t h 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和 借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 0尼l 学位论文作者签名：盏遮j 生指导教师签名：边塑丛! 兰 硼6 年6 月j 日年 月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：褥彼偈 聊年6 月a - 日 第一章绪论 线性模型是数理统计学中发展较早，理论丰富而且应用性很强的一个重要分支 过去几十年中，线性模型不仅在理论研究方面甚为活跃，获得了长足发展，而且在工 农业、气象地质、经济管理、医药卫生、教育心理等领域的应用也日渐广泛，这些领 域的现象都可以用线性模型来近似描述因此，线性模型在现代统计学中也是应用最 为广泛的模型之一本文讨论多元线性模型中线性估计的估计问题 考虑多元线性模型 y = 船+ s e ( 6 ) = 0 ( i 1 ) c o y ( e ) = 盯2 三。矿 其中】，为n 。q 的观测矩阵，x 为h x p 的已知矩阵，三和y 分别是已知q 阶和 阶对 称非负定矩阵，盯2 0 是未知参数，f 是随机误差矩阵，若b 是非随机的即为未知参 数矩阵，此时当s 为k 。p 矩阵且口是一维时即b = 卢时，当即可估时，对即的估计 已有不少研究( 文献吣1 等) ，特别是对于简单模型】，一( 声，盯2 ，) ，关于卢本身的估计已 有比较完满的结果：而对于一般可估函数，在无需正态假设下，徐兴忠i s 在二次损失 下得到可估函数d x f l 在线性估计类中的m i n i m a x 估计，而温忠麟等m 1 在正态假设下 利用口j 容许性理论得到了d x f l 的线性m i n i m a x 估计也是其在一切估计类中的 m i n i m a x 估计；徐礼文 9 1 把该结论推广到一般正态线性模型中：本文第三章在此基础 上，将相应的结论又推广到一般多元正态线性模型中 对于b 随机( 或部分随机) 的情况，相应地就把最初对随机回归系数估计问题的研 究( 文献d , 4 , 5 1 ) 推广到多元随机模型中关于随机回归系数和参数的组合s d + q b 的线性 估计上，这里主要研究其容许性估计，在二次损失( 矩阵损失) 下董莉明等1 1 2 , 1 4 1 ，吴启 光b 3 给出了船+ q 妒的线性估计是容许性估计的充要条件，谢民育巾给, q i 了可估 函数s o 的估计的泛优良性和泛容许性的概念，并得到s o 的线性估计在线性估计类 中泛容许的特征本文第四章在这些基础上把泛容许性的概念引入到多元随机模型中 s o + 妒的线性估计当中，得到l y ( l y * f ) 是线佳估计册l + q 日在齐次( 非齐次) 线性 估计类中的泛容许估计的充要条件 第二章统计决策理论 2 1 矩阵知识 首先介绍本文中常用的一些记号m 行n 列的矩阵a 记为以。实矩阵a 的转置汜 为a ，若a 为方阵且可逆，则记其逆矩阵为a ， 阶单位阵记为l ，矩阵a 的秩记为 ，女0 ) ，若a 为方阵，n 其迹( t r a c e ) 即主对角线元素之和记为驴( 4 ) ，0 ) 表示a 的 列向量张成的线性空间正定矩阵爿记为a 0 ，非负定矩阵a 记为a 0 ，正定矩阵 与非负定矩阵必为对称方阵若a - b o ( a b o ) ，则记为a b ( a b ) 2 1 1 广义逆 定义2 1 1 对矩阵以一切满足方程 a x a = a ( 2 1 ) 的矩阵x ，称为矩阵a 的广义逆，记为a 一 定理2 1 1 设a m 。为任一矩阵，r a n k ( a ) = r ，若 一= 托：弘 这里p ，9 分别为m m 和月h 的可逆阵，则： 卜( ：妒 这里b ，c 和d 为适当阶数的任意矩阵 定理2 1 2 设a 为m ”秩为r 的复( 实) 矩阵，则存在阶酉( 正交) 阵p 和月 阶酉( 正交) 阵g ，使得： 彳= 怕 b z ， 其中a ，= d i a g ( , h ， ：，五，) ，丑 o ，i ；1 , 2 ，r 详细证明见王松桂等d ” 这个定理我们常称其为奇异值分解定理，在一的奇异值分解( 2 2 ) 式中，q 的列向 量为a 爿的标准正交化特征向量，并，l 为4 _ 或a 的正特征值对应地，p 的列 向量为州的标准正交化特征向量在此，我们把丑，如，五，称为爿的奇异值 推论2 1 1 对于任一矩阵彳，有： 1 ) a 一总是存在的： 2 ) ，女0 一) 地0 ) = r k ( a a ) - - r k 一) ； 3 ) ( b ) c 卢0 l ( c ) c 0 ) ，则c a b 与a 一的选择无关： 4 1 一为对称方阵，将4 表为 a = e d i a g ( ；h ，五，) 尸 则a 之一广义逆为： a 一= p 纰“+ ，五，+ ) p 。+ l 矿1 ， 0 ，l = 【o ， = 0 故知，若爿对称，则必存在对称的一一 推论2 1 2 对任一矩阵a ，有： 1 ) a ( a 4 ) a 与广义逆0 _ ) _ 的选择无关； 2 ) a ( a a ) 一一_ = a ，爿o “_ ) _ 彳= a 2 1 2m o o r e - p e n r o s e 广义逆 定义2 1 2 设a 为任一矩阵，若z 满足下述四个条件： 删= a ： 2 1x a x = 爿： 3 ) ( 埘y ：删； 4 ) ( x a y = x a 则称矩阵为月的m o o r e - p e n r o s e 广义逆，记为爿+ 定理2 1 3 对任一矩阵彳，有： 1 ) 设a 有分解式( 2 2 ) 。则： 小q 1 妒 2 ) 对任何矩阵a ，a + 存在且唯一 由于a + 是某一个特殊的a 一，它除具有一一的全部性质外还有下列性质： 推论2 1 3 对任一矩阵a ，有： 1 ) 0 + ) + = 一； 2 ) 0 + y ：o ，) + ： 3 ) ，a + a ： 4 ) r k ( a + ) = 庸0 ) ； 5 ) 一+ = 0 _ ) + a = 一) + ： 6 ) 0 _ ) + = 爿+ 0 ) + 2 1 - 3 幂等阵与投影阵 定义2 1 3 若方阵4 。满足爿2 = a ，则称一为幂等i 牟( i d e m p o t e n t m a t r i x ) 定义2 1 4 设c ”有直接和分解： c ”= s l o s 2 那么对任一向量x e c ”，可唯一的分解为： x = y + z ( 2 4 ) 其中yes l , ze s ：，我们称y 为x 循s ：在s 。上的投影从x 到y 的变换是一个线性变换 从一个有限维空间到另一个有限维空间的线性变换能够用一个矩阵来表示，我们称矩 阵为变换矩阵当选定这两个空间的基之后，线性变换与其变换矩阵之间有一个一一 对应关系，我们用同一个字母既表示线性变换又表示对应的变换矩阵( 2 4 ) 式所定义 的变换记之为矗岛，称为投影阵 定理2 1 4p 为一个投影阵当且仅当p 是幂等阵 推论2 1 4 对任意幂等阵a ，都有： a = 0 0 l ( ) ( 2 5 ) 定义2 1 5 若在( 2 4 ) 式中，s ，j _ s ：，即s i 和曼互为正交补空间，则相应的投影， 称为x 向s 的正交投影，相应的投影阵称为正交投影阵，简记为最 2 1 4k r o n e c k e r 乘积与向量运算 定义2 1 6 设一= k ) 和b = 魄) 分别是研 ，p q 的矩阵，定义矩阵c = b ) 这是一个m p x n q 的矩阵，称为a 和b 的k r o n e c k e r 乘积，记为c = a o b ，即 爿o b = q l b a 2 1 b a 1 2 b a 2 2 b 口h b “2 月b d m l bo r e 2 b - 口m ，口 这种乘积具有下列性质： 1 10 固a = a 0 0 = 0 ： 2 ) ( a l + 爿2 ) o b = ( a 1o 曰) + 0 2 曰) ，a o 慨+ b 2 ) = 0 0 马) + ( a o 岛) ： 3 ) ) o 汹) = 印0 0 b ) ； 4 ) ( 一1o b l 勋2o b 2 ) = ( a i a 2 ) o l b 2 ) ： 6 5 ) 0 b y = 彳o b ： 6 ) 0 曰) 一= a o 曰一，和以前一样，应理解为：a o b 一为( a o b ) 的广义逆， 但不必是全部广义逆，特别0 0 占) + = a + o b + 当a ，b 都可逆时，有 ( a 固丑) - 1 = a 。1 固b 定理2 1 6 设一，b 分别为 h ，所m 的方阵， ， ，和1 ，一，卢。分别为a ， 曰的特征值，则 1 ) ，f - l ，h ，= l ，m 为一。口的特征值，且阻。目= l 卅“i 纠”； 2 ) t r ( a 曰) = f r o p 佃) ； 3 ) r 女0 0 矗) = r k ( a 佃) ： 4 ) 若a 0 ，b 0 ，贝a o b 0 定义2 1 7 设一= g ，口2 ，靠) ，定义m h 1 的向量娩c 乜) = q a 2 ： 口n 这是把矩阵a 按列向量依次排成的向量，往往称这个程序为矩阵的向量化 向量化运算具有下列性质： 1 ) v e 4 a + b ) = 跆c 0 ) + 地c 忙) ； 2 ) 您c ( 刎) = 甜v e 4 a ) ，这里口为数； 3 ) 肛0 b ) = ( v e 4 a ”v e d a ) ； 4 ) 加( 4 ) = 舻( 一，) = 护恤) = 慨c ( ，。) ) 。w 4 a ) ； 5 ) 设“，b 分别为n x l ，m x l 向量，则v e c ( a b 1 = b o 口； 6 ) v e c ( a b c ) = ( c7 固a ) v e 4 b ) ； 7 ) 设瓦。= g l ，x n ) 为随机矩阵，且 记矿= ( v ，l 则 这里r 为非随机矩阵 c o v & ，- ) = e ( x ，一e x i x x j e x ，y = v f c o v ( v e c 伍) ) = v o z ， c o v ( v e c ( x ) ) = v ， c o v ( v e c 呶) ) = v o r ) 2 2 多元线性模型及参数估计 定义2 2 1 一般，假设研究q 个因变量五，和p 一1 个自变量x l ，一，x p - 之间 的关系，若巧与丑，x ，一l 有线性关系 = f l o j + 屈j x l + + p 山z p l + s ，。l ，g 为了估计系数岛，对k ，和爿l ，_ 一，p l 作 次观测，得到数据 y i l ，。，y 崎，x i l ，一，x 驴一l i = 1 ，一，门 它1 门满足y “= 风j + 卢l ，x + _ 。+ 卢p - i j x p i + 占口， i = 1 ，一，打，= 1 ，一，q 若引进矩阵记号 ，憾 以叩托。 k 。= _ y l l y 2 1 y t 2 y 2 ： y 1 9 y 2 9 ： y 一9 8 = 0 ? 铀 b p 。q = p 。8 砬 屈i展2 川j 卢一2 e l l6 1 2s 1 d e 2 2 2 占2 口 = 。反 这里随机误差矩阵s 的不同行对应于不同次观测，我们假定它们不相关，均值为零， 有公共协方差阵为 0 b 为未知参数阵，每个列对应于一个因变量y 为因变量随机 观测阵，它的不同行对应于不同次观测( 或试验) ，每个列对应于一个因变量假设 ，仪) = p ，于是有 ：篇高皇互不相关，均值煽协方差糊 ( 2 6 ) g 的行向量互不相关，均值为零，协方差阵为 、 我们称( 2 6 ) 为多元线性模型 应用比c 0 占c ) = c 固一c 伪) ， w 4 r ) = ( i o x ) 娩c 佃) + 心c p ) 因为 c o v c y ，y ) = 仃，。， f ，= 1 ，g ， 这里= b 。b g ，再由c o v ( v e c 0 ) ) = z o i 。，多元线性模型( 2 6 ) 化为如下一元线性 模型 f 地c ( y ) = ( ，o x c 忙) + 强c g x c d v ( 阮c p ) ) = 三o ，。， ( 2 7 ) l e 慨c = 0 设一为任一p x q 矩阵，则参数矩阵b 的任一线性函数可表示为( o = t r ( a b ) 因为 o = t r ( a 日) = v e c ( a ) v e x ( b ) ， 由模型( 2 7 ) 可知，此函数可估当且仅当 您c 0 ) o o x7 ) 9 凡 斗 存在。，使得阮c 0 ) = u o z7 肛c ( r ) a = 工t 2 3 统计判决的基本概念 定义2 3 1 设参数空间为 而判决空间为( d ，b 口) 任一定义在o d 上的函数 l ( o ，d ) 如果满足以下两个条件。则称为是损失函数： 1 ) o s l ( o ，d 1 0 ，卅j 0 ，i = 1 , 2 ，q ， j = 1 , 2 ，p 三忙) = 三忙。q l ”+ 工忙7 ( 只。q 2 ” ( 3 3 ) 所以，存在矩阵h t ，使得 d x 。：。q 1 y 量+ h ：也。q 2 ) j 兰s + s ： ( 3 4 ) 对矩阵 作奇异值分解得 其中 s 伍，( 三。矿) + j ) + 牙( 只。q j ) 0 。d ) 一； s j 防，( 二。矿) + 岩) + 岩，( 只。q j x 以。4 ) - = k f r ， 【3 5 ) 2 令 f = 硪口g ， ，) ，；以， 0 r = r t ( s 。瞄乜。矿) + 牙) j 。9 ) “。4 ) 一；) ， k k = r r = 1 。 m = m 旺 ，： 喜c 乃一z ，2 rs ， ， 则t m s n 石2 且以= 盟1 z 2 + i ( z ) 2 - ( m - 1 ) z 2i mmml ， ；l l ，；l t ；l j 满足( 一z ) 2 = 以2 由【2 3 】中的定理l 和 2 9 1 中的定理4 1 l 可得如下引理： 引理3 2 1 在模型( 3 1 ) 一f ，若y 服从多元正态分布伽，盯2 p 固矿) ) ，三 0 v 0 已知，盯2 0 为参数，若d x b 的线性估计上j ，满足条件 ( 1 ) 埘伍矿一1 x ) - = l v ； ( 2 ) l v l 埘k 矿一1 x f x d ： ( 3 ) p k 并陋，矿一一x ) _ x d ，一l v l ，j p r k ( l ) 一2 ； 则上y 在损失函数( d d x b ) ( d d x b ) t 和一切估计类中足n 珊的可容许估计 引理3 2 2 工u ，且当朋 o 口f 月胛 = j ? 并且由以上计算易知 + s ：忙7 ( ，一( 三 矿) + ( 三。矿) 谚) + 舅t 一仁。矿) + 仁。矿舻，麟】 e k ， ，一k 。五豆y 仁，砖一k ，两豆) 恒成立 下面证明 ， o - 2 + b lb = j ? = j ? 。 ( 3 7 ) ( 3 8 ) f 蜀吾，月o 。4 ) 把。q 1 ) + 受忙( ，一p 固矿) + 仁。矿归r 膏，( ，一口。矿) + 仁固y ) l ， 是丘话的唯一m i n i m a x 估计若 ( k 一，r i 。4 ) 一j 1 。珐) + s ：忙o 一仁。矿) + p 。矿归) + 贾( ，一仁。矿) + 陋圆矿) ) ， 7 不是脚西的m i n i m a x 估计，则存在墩否的估计西使得 s u p r ( z 石，越劫 j a e 2 月 o h - 0 不是必定的，因此，同 定效应( 口非随机) 线性模型和混合效应( 口部分分量随机而其它分量非随机) 线性模型 是模型( 4 1 ) 的特例 在模型( 4 1 ) 下，有 c o v ( y ) = 。v ( 也固伍螂) 一( ， 伍小。( 乏班。伍，) y = 盯2 三固( 肼j ，z7 + ，z ，_ + 职：+ 咒：) 三0 2 占。1 曲v 防c o v 忆( 三棚 一2 叫川i 。a 州2 l 川- + 。j 对于一般线性模型y = 即+ ，参数口和随机回归系数卢的推断问题已经得到了 很多的关注，设s 口+ 鲫线性可估，这里s 和q 分别是已知矩阵，当s 和q 是行向量 时，r a o ”、h a r r i l l e l 4 1 和p f e f f e r m a n n 5 给出了s o r + q 卢的最优线性无偏( 毗u ) 估计； 徐礼文和王松桂”1 在_ 一_ 次损失下研究了跑+ q 卢的一个线性估计在线性估计类中的 m i n i m a x 性，得到了s a + q p 的唯一线性m i n i m a x 估计 我们记 厶= 上y 工是k x 的常数矩阵) 上= l y + f ：l 和f 分别是k h 和k q 的常数矩阵 损失函数记为 三( o ，d r 2 ；d ) = ( d 一册一缈y ( d 一册一妒)( 4 2 ) 考虑风险函数为 r ( o ，d r 2 ；上】，) = e l ( o ，d r2 ；l y ) r ( o ，盯2 ；y + f ) = 脱( e ，d r 2 ；y + f ) 它们是g 阶矩阵，称为风险矩阵 当q = 1 时，董莉明和吴启光和吴启光【1 3 】分别在二次损失和矩阵损失下研究了 s 口+ q 声的线性估计在齐次( 非齐次) 线性类中的可容许的充要条件：当q 2 时，此时 风险矩阵为q 阶非负定矩阵，矩阵大小的比较有许多标准( 见谢民育 1 8 , 1 9 1 ) ，就像 k i e f e r l 2 川在优良设计中所做的那样，本文即是给出了一个统一的标准泛优良性， 在第二节给出了线性估计s o + q 四在齐次( 非齐次) 线性估计类中的泛容许特征 为下文需要，先给出了如下记号：设一、占均为矩阵，0 ) 表示由a 的列向量生 成的子空间，a 一、a + 、a 和加以) 分别a 是的个g 逆，m o o r e p e n r o s e 广义逆，转 置矩阵和迹，a o 表示一为对称非负定矩阵，彳b 表示一一b 0 ，只= 爿_ ) 一a ， 。似”) 表示( f ，) 元为i ，其余元素全为0 的矩阵，再从上下文可知该矩阵的阶数时 简记为e 。 4 2 主要结果及其证明 用表示所有g 阶非负矩阵的集合，在本文的讨论中，我们总是假定中是定 义在w 上的某个非负实值函数，且满足如下四个条件( 参见文 1 5 】) ： ( i ) m ) = 0 的充要条件是m = 0 ； ( i d 若m 。茎m ：，贝0 中( t ) m o f ：) ； ( i i i ) m ( 盘m ) = 七9 ”m ( 膨) ，女0 ，q ( m ) 0 ； ( i v ) 中( m ) 作为里廷掣个变量的函数是连续的 非负定矩阵m 的非零特征值的积( 膨= 0 时取为o ) ，迹妒( m ) 和谱范数 0ml i ，即最大特征值，都是这样。的例子 定义4 2 in s e + q 8 的估计d 1 ( y ) 为巾优于( 或泛优于) 另一个估计d 口) ，如 果对一切( 。，盯2 ) 有中伍( 。，口2 ；d l 妒) ) ) 中伍( 。，盯2 ；d ( y ) ) ) ，且存在( o 。，一；) 使得严格不 等号成立如果在某个估计类h 中不存在巾优于d ( y ) 的估计，则称d ( y ) 是册+ 9 8 在 日中的m 容许( 泛容许) 估计 定义4 2 2 称s + q 日的估计d 1 ( r ) 为优于另一个估计d ( y ) ，如果对一切( 。，一2 ) 有五( ，a 2 ；d ( y ) ) 矗( 。，盯2 ；d ( y ) ) ，且存在( 。，仃；) 使得 r ( o ，一：；q ( ) ，”一r ( o ，盯2 ；d ( 】，) ) o 如果在某个估计类中不存在优于d p ) 的估计， 则称d p ) 是s o + 9 8 在h 中的可容许估计 定义4 2 3 对于模型( 4 1 ) ，称舳+ 妒是线性可估的，若存在 洲匀常数矩阵上 2 4 使得e ( t r 一姻一q 口) = 0 易证：s o + q 曰线性可估的充要条件是( 一q + s ) = 0 w ) 在模型( 4 1 ) 中，当k l = 0 时，必有巧2 = 0 ，吒1 ；0 ，而此时有心2 = a ，这是b 非 随机的通常的多元线性模型： y = x a o + 5 e ( 占) = 0( 4 3 ) c o y ( e ) = 盯2 三o a 其中y 是 g 的观测矩阵，s 是 g 的随机误差矩阵，0 r ，。，口2 o 为未知参数， 此时x 为已知的 x p 矩阵 要估计线性函数舳，取损失函数厶( ，仃z ；d ) = ( d 一s | 9 ) ( d 一册) ，对应地，我 们用r 。( o ，口2 ；d ) 记册- 的风险矩阵 称s o 的估计d i 优于另一个估计d z ( y ) ，如果对一切( o ，盯2 ) 有 r 1 ( o ，盯2 ；d 1 ) s 焉( o ，盯2 ；d ：) ，且存在( o 。，d 0 2 ) 使得r t ( 。，仃2 ；d 1 ) 一r ，( 。，盯2 ；d ：) 0 如果在齐次线性估计类厶中不存在优于上】，的估计，则称三】，是s 在三。中的可容许估 计 这里记 n = j 翻0 w g + j “广彳x ，g + ， c = 0 w ，g + x a ) - a x g + a g + 捌0 呵r g + j _ r ， 其中g = 人+ x a a w 引理4 2 1 对于模型( 4 3 ) 和损失函数厶( 。，盯2 ；d ) ，若姻线性可估，则己】，为舳在 厶中的可容许估计的充要条件是： ( 1 ) 上1 = l n a ； ( 2 ) l x a c a z s c a x l ( 此式蕴含了s c a x l 对称) ( 3 ) ( l 。j 翻一s ) = “l 配4 一s ) c s ) 证明：易证r ( ，口2 ；三y ) = 口2 册( t a t ) + o ( t x a s ) 7 ( l y a s ) o 先证下面结论： 在模型( 4 3 ) 和损失函数工。( 9 ，盯2 ；d ) t s o 的估计厶y 优于三y 的充要条件为 护( 三，舭，) st r ( l a l ) 旺l x a s y 乜l x a s ) ( l j 钳一s ) ( z x a s ) 且当( 4 4 ) 式等号成立时，有 0 x a s y 0 ，x a s ) 一( t x a s ) c 【a 爿一s ) o 结论中的充分性显然，下证其必要性 由于上。】，优于】，即对一切( o ，盯2 ) 有 r i ( 。，盯2 ；厶y ) 月。( ，盯2 ；l y ) 取 = 0 ，盯2 = 1 则 西( 耻，7 ) w ( l a l ) 故f ，( 厶八t 打( t a t ) ，即( 4 4 ) 式成立 若( 4 5 ) 式不成立，则必存在，维向量叩使得 7 7 ( 三，x a s y 犯。捌一s ) q q ( l 咒4 一s ) ( z x a s b 成立，若记o 。= b ，o ，o ) ，由上式可知 o ，( 三，x a s ) 0 ，。j 纠一s ) o 。 - 0 。( z j 。4 一s ) ( z 。z 4 一s ) o 。 由l y 优于l y 砷q ： 。( 上删一s ) 乜。删一s ) o 。= 。吨l i m 一。月( ，盯2 ；厶y ) 。：恕+ 。r 。( o ，一2 ；三y ) = 。7 ( 删一s ) ( 删一s ) o 。 ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 由上两式司知 o 。( 三i - “一s ) 0 五彳一s ) o 。= 。( z x a 一占) ( l x a s ) o 。 故 7 ，乜。x a s ) 乜，x a s ) 7 ：叩( l 捌一s ) ( z x a s h 这与( 4 7 ) 式矛盾。故( 4 5 ) 式成立 由厶y 优于三y 可知，当( 4 4 ) 等号成立时，有( 4 6 ) 式成立 显然当模型( 4 3 ) 中的q = l 时即。为i 维向量p 时，此时模型记为( 4 _ 3 ) ，上面结论仍 然成立，所以在模型( 4 3 ) 和损失函数厶( 。，盯2 ；d ) - v ，l ，为s _ 。在三。中可容许估计的 充要条件与模型( 4 - 3 ) 和损失函数忙一s o ) p s o ) t l y 为s 【。在l 。中可容许估计的 充要条件一致而模型( 4 3 ) 又相当于【1 2 】中模型( 1 2 ) 中a = 0 ，卢为0 的情形，所以， 由【1 2 】中定理2 2 可知引理结论成立 引理4 2 2 对于模型( 4 1 ) 和损失函数( 4 2 ) ，若s o + 妒线性可估，则l y 为 s o + q 8 在l o 中的可容许估计的充要条件是 ( i ) 工1 ：z x a ( a x b + x a ) - a x g + 以+ q 以。x ，+ k ：啦一a + x a ( a x g + x a ) - a x u + 以j ( 等价地( a z c 硼+ 渺) c 芦( 觑) ) ； ( 4 8 ) ( i i ) l z 4 c a x z ( 删一s - q 1 4 ) c ：“x ( 卫一l + 吒i ) q + ( o a + s ) c a x z 7 ； ( 4 9 ) ( i i i ) ( 删一剑一s ) = 卢) 这里：c l 捌一q ，| 一s ) c ( z x 爿一q a s y + ( l x a q 4 一s ) c a x a + ( 爿k 。+ k ，) q 一c a x z 】 ( 4 1 0 ) 证明： 扫“x k + k ) ) 匕0 ) a ，知 化l z + k 2 ) r 以= 以。x + k 2 ) ( 4 1 1 ) 州向 r ( o ，盯：；上y ) ：e ( l y s o q 丑) ( l y s o 一( 罅) = y n 旺p 成立。 4 - o ，= p ，o ，0 ) ，由合理条件( i i i ) ， ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) m f ，n ( t ) o ， ( r n ( o r ) 。( ，) m ( e 。) 可知 中( o ，q ( 厶) ，) 中( 。，7 q 犯) 。，) ， 由l i y 巾优于l y 和合理条件o v ) 女l l 。( 。，n ( t 。岭，) = 。：粤，。西伍( o , g 2 ；l a y ) ) s 。咄l i m ，+ 。o ( r ( 。, a 2 ；l y ) ) = 畋o ，n 扛扣，) 这与m ( o ，n ( l 归，) 叹。，n ( l ) o ，) 矛盾 由厶y 巾优于l y 知( 4 1 7 ) 式成立引理证毕 故( 4 1 6 ) 式成立 由引理4 , 2 1 和引理4 2 4 可知在模型( 4 1 ) 和损失函数( 4 2 ) t ，厶】，中优于l y 的 充要条件和厶】，优于上 ，的充要条件一致从而可知在模型( 4 1 ) 和损失函数4 2 ) t ，l y 在le e 中容许的充要条件和l y 在l o 中足可容许的充要条件一致 因此由引理4 2 2 和引理4 2 _ 3 及引理4 2 4 可得下面的定理 定理4 2 1 对于模型( 4 1 ) 和损失函数( 4 2 ) ，若跑+ 缈线性可估，则l y 为 + q 8 在工。中的泛容许估计的充要条件是 ( i ) 工1 = l x a ( a x g + x a ) - a x u + 耋+ q 以。x ，+ k2 牺+ 一g + x a ( a x g + 丑) 一a x g + h 或三以：l x a ( a x g + x a ) - a x g + 以+ g 以。x 一+ 一：虹一a + x a ( a x g + x a ) - a x g + a l ； ( 等价地0 三一( 娜j 。+ 。妇) 匕( 删) ) ； ( 4 1 8 ) ( i i ) l x a c a x z 一( 协一s 一剑妇w b + 尉r w ，g + 积1 + 如1 ) q + + s 蠢a x z 或l x a c a x z7 s ( 工a “一s o a ) c w x w ( 奶。+ 屹。妇+ 0 2 一+ s ) c a x z ： f 4 1 9 1 (