（应用数学专业论文）一类非二次条件下椭圆问题解的存在性.pdf

一类非二次条件下椭圆问题解的存在性幸 学科专业：应用数学 指导教师：唐春雷教授 研究方向：非线性分析 研究生：侯禹( 1 1 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 4 9 ) 摘要 文中首先考虑如下d i r i c h l e t 问题： 僻舭) z q ( 1 ) z a q 。 、7 其中，q 是彤中的光滑有界区域， ，( z ，t ) 关于t 是奇函数，不需假设，( z ，t ) 满足 ( a r ) 条件，运用喷泉定理得到方程无穷解的存在性 主要结果如下t 定理1 假设，( z ，t ) 满足如下条件t ( f 1 ) ，( z ，- t ) = 一，( z ，z ) 当所有的z q 且t r 时成立； ( f 2 ) 存在o 0 ，1 r ( + 2 ) ( n 一2 ) 使得i ，( z ，t ) l a ( 1 + r ) ，当z q ，t 冗，n 3 时成立；l i r a i t i 。l n ( i f ( x ，t ) f + 1 ) i t l 一2 = 0 当z q ，n = 2 时成立；且如果 n = 1 则不需要任何假设； ( f 3 ) f ( z ：t ) j t l 2 一+ 。c 当_ + 在q 上一致成立 f ( x ，t ) i t l 2 一。当一。在 q 上一致成立其中f ( z ，t ) = 后f ( x ，s ) d s ； ( f 4 ) 存在譬( 7 - 一1 ) 0 使得t ，( z ，t ) 一2 f ( z ，t ) o p 对所有的 t l l z q 时成立 国家自然科学基金资助项目( 批准号：1 0 7 7 1 1 7 3 ) 那么对所有的n n ，方程( 1 ) 存在无穷多个解 u 。) 使得当n o 。 兰上i v u 。1 2 如一nf ( z ，u n ) d x + o o 接下来讨论如下d i r i c h l e t 问题： ：竺鼍+ 口( z ) t = ，。：u ) 非平凡解的存在性，其中，q 是r “中的光滑有界区域，不需假设，( z ，t ) 满足( a r ) 条件，运用局部环绕定理得到方程非平凡解的存在性 主要结果如下； 定理2假设，( z ，t ) 满足如下条件： ( f 5 ) f ( z ，t ) 2 _ + 。o 当一十o 。且f ( z ，t ) i t 2 0 当_ 0 在q 上二致成 立其中f ( z ：z ) = s g s ( = ，s ) d s ； ( f 6 ) 存在a l 0 和1 0 和l 0 使得t f ( x ，t ) 一2 f ( x ，t ) n 2 l t l a 对所有 的l 和茁q 时成立如果0 是一+ n ( 有着d i r i c h l e t 边界条件) 的一个特征值 假设如下条件成立： ( f 8 ) 存在占 0 使得 ( i ) f ( z ，t ) 0 ，对所有的l t l 正z q 成立；或者 ( i i ) f ( z ，) 0 ，对所有的f t l 6 ，z q 成立 那么方程( 2 ) 至少有个非平凡解存在 2 最后讨论了带有d i r i c h l e t 边界条件的p - l a p l a c i a n 方程： 越p t l 一一x l u l p - 2 u - 4 - f ( x , t ) z q ， ( 3 ) lt = 0z a q ， 、 解的存在性，其中q 是r n 中的光滑有界区域， a p u 为p - l a p l a c i a n 算子，= d i v ( i v u l p v u ) ，入 0 为参数，不需假设f ( x ，t ) 满足( a r ) 条件，运用山路引理得到 方程( 3 ) 解的存在性 主要结果如下。 定理3 假设( x ，t ) 满足如下条件： ( f g ) f c ( 丽r ，r ) ，当t r ，z 豆时f ( x ，t ) o ； ( f l o ) l i m t _ o + 掣= 0 ，l i m 扣十掣= + o c 关于z 丽几乎处处一致成立； ( f 1 1 ) 存在q ( p ，鹃一1 ) 使得l i r a t - - + o o 掣= 0 关于z 西几乎处处一致成立； ( f 1 2 ) 存在p 譬( g + 1 一p ) 和常数o o ，l 0 使得当t f ( x ，t ) - p f ( x ，t ) o p 对 所有的t 工和z q 时成立， 则问题( 3 ) 对每个入 0 有个正解 关键词 变分法，d i r i c h l e t 问题，非平凡解，l - l a p l a c i a n 方程，非二次条件， ( c ) + 条件，喷泉定理，局部环绕定理，山路引理 3 1 广、 1 乜x 1 s t e n c eo ran o n t r l v l a ls o l u t i o ni o ra c l a s so fn o n q u a d r a t i ce l l i p t i cp r o b l e m s1 m a j o r l a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t yl n o n l i n e a ra n a l y s i s s u p e r v i s o rl p r o f t a n gc h u n - l e i a u t h o r ：h o uy u ( 1 1 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 4 9 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y , w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd i r i c h l e tp r o b l e m ： 尝吖札) o q z a q ( 4 ) w h e r eqi sas m o o t hb o u n d e dd o m a i ni nr “，( x ，t ) i so d dw i t hr e s p e c tt ot i no u rd i s c u s s i o n ， w ed on o ts u p p o s ef ( x ，t ) s a t i s f i e s ( a r ) c o n d i t i o n ，i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n sa x eo b t a i n e db y f o u n t a i nt h e o r e m t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m1i ff ( z ，t ) s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( f 1 ) f ( x ，- t ) = - f ( x ，t ) f o ra l lz qa n dt r ； ( f 2 ) t h e r ee x i s t 口 0a n dl r ( n + 2 ) ( n 一2 ) s u c ht h a tl ( x ，z ) i a ( 1 + ) ，z 晓，t ri fn 3 ；l i m i i 。o l n ( i f ( x ，t ) l + 1 ) i t l 一2 = 0u n i f o r m l yf o rz qi fn = 2 ；a n dn o a s s u m p t i o ni fn = 1 ： ( f 3 ) f ( x ，t ) i t l 2 一+ 。a l s t 一+ o 。u n i f o r m l yo nq f ( x ，1 ) i t l 2 0a sl tj 一0u n i f o r m l yo nq ，w h e r ef ( x ，z ) = 启f ( x ，s ) d s ； 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 7 7 1 1 7 3 ) 4 ( f 4 ) t h e r ea r ec o n s t a n t s 譬( r 一1 ) 0s u c ht h a tt f ( x ，z ) 一2 f ( x ，) a l t pf o ra l ll t i la n dz q t h e nf o ra n yn n ，t h e r ee x i s t si n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n s u n ) f o rp r o m b l e m ( 1 ) s u c ht h a t 去五m 2 如f n f ( z ，u ) d x - 一+ w h e nn _ 。 n e x tw ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd i l i c h l e tp r o b l e m ： ：全鼍+ n ( z ) 乱= ，( z t ) z q z 0 f 1 ( 5 ) w h e r eqi sas m o o t hb o u n d e dd o m a i ni nr n i no u rd i s c u s s i o n ，w ed on o ts u p p o s ef ( x ，t ) s a t i s f i e s ( a r ) c o n d i t i o na n dan o n t r i v i a ls o l u t i o ni so b t a i n e db yv a r i a t i o n a lm e t h o d s t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m2a s s u m et h a tf ( x ，t ) s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( f 5 ) f ( x ，t ) i t l 2 一+ 。a si t i 一+ 。ca n df ( x ，t ) i t l 2 0a s t 一0u n i f o r m l yo nq ， w h e r ef ( x ，t )= 名f ( x ，s ) d s ( f 6 ) t h e r ee x i s ta l 0a n d1 0a n d 工 0s u c ht h a tt ，( z ，z ) 一2 f ( x ，z ) 眈l 引f o ra l li t i 己a n dz q i f0i sa ne i g e n v a l u eo f a + n ( w i t hd i r i c h l e tb o u n d a r y c o n d i t i o n ) a s s u m ea l s ot h ec o n d i t i o nt h a t ： ( f 8 ) t h e r ee x i s t s6 0s u c ht h a t ( i ) f ( x ，t ) 0 ，f o ra l li t i 5 ，z f l ；o r ( i i ) f ( z ，t ) 0 ，f o ra l ll t i 5 ，z n t h e np r o b l e m ( 2 ) h a sa tl e a s to n cn o n t r i v i a ls o l u t i o n 5 a tl a s t ：w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gp - l a p l a c i a ne q u a t i o nw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u e 乱- a ：p 。u = 一刈训p 一2 t + ，( z t ) xeo f l , z q w h c r cqi sas m o o t hb o u n d e dd o m a i ni nr n i no u rd i s c u s s i o n ，w ed on o ts u p p o s e ，( z ，t ) s a t i s f i e s ( a r ) c o n d i t i o na n dan o n t r i v i a ls o l u t i o ni so b t a i n e db ym o u n t a i np a s st h e o r e m t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m3a b b u m et h a tf ( x ，t ) s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( f g ) f c r ，r ) ，w h e nz r ，z 孬，f ( x ，z ) o ； ( f 1 0 ) l i m 扣o + 每绰= 0 , 1 i m t + 晕绰= + 。ou n i f o r r e l yo nz 豆 ( f 1 1 ) t h e r ee x i s tq ( p ，鹃一1 ) s u c ht h a tl i m t - - - * - - o o 掣= 0u n i f o r m l yo nz 豆； ( f 1 2 ) t h e r ea r ec o n s t a n t sp 苦( q + 1 一p ) ，n o ，l 0s u c ht h a tt f ( x ，t ) 一p f ( z ，t ) a l t l f o ra l l t 三a n dz q t h e np r o b l e m ( 3 ) h a sap o s i t i v es o l u t i o nf o re v e r y 入 0 k e yw o r d s ： v a r i a t i o n a lm e t h o d s ，d i r i c h l e tp r o b l e m ，n o n t r i v i a ls o l u t i o n ，p - l a p l a c i a ne q u a t i o n s ，n o n q u a d r a t i cc o n d i t i o n ，( c ) + c o n d i t i o n ，f o u n t a i nt h e o r e m ，l o c a ll i n k i n gt h e o r e m ，m o u n t a i np a s st h e o r e m 6 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文慨饭彩鳓期：聊年夕彬日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：翻不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：么象j 移 导师签名： 签字吼叼年月踟 签字吼一年几日 前言 变分原理是自然界中的一条普遍原理变分方法是一种将自然界中的大量问题( 称 为变分问题) 归结为某个泛函在一定条件下的极值问题或临界点问题的方法，其中极值 问题和条件极值问题是变分原理中最简单又最基本的问题而临界点问题是极值问题 的进一步发展，它主要研究泛函临界点的存在性与多重性以及临界点附近的拓扑性 近年来变分原理在数学，经济管理，优化与控制理论和经典力学等各个不同的领域都 得到了广泛的应用，并取得了许多有重大意义的成果( 参考f 1 】，【2 】) 椭圆方程是既经典又现代的研究领域，它广泛的存在于数理科学，生命科学及社 会科学的各个领域中，特别是物理学中的很多模型都以椭圆方程的形式出现近几十 年来一直是数学家和物理学家的重要研究领域非线性分析对数学物理和微分几何等 诸多学科产生了重大的影响其中非二次问题的研究是其中一个重要的研究方向近 些年来对非二次方程的研究取得了一些很好的研究成果本文主要利用变分方法研究 一类非二次问题解的存在性及多重性 二 文献综述 考虑如下带有d i r i c h l e t 边界条件的椭圆方程t a u + 口( z ) u = ，( z ，t 上) z a q 非平凡解的存在性其中，q 是舻中的光滑有界区域，n 汐( q ) ，p 譬， c ( 豆r ，冗) ，f ( z ，t ) ：= 后，( z ，s ) d s 相关结果已经很多例如文献( 1 3 】一【4 】) ，但他们都需要假设( a r ) 条件成立及存 在常数t 0 ，肛 2 使得0 0 使得 j ( - ) 0 ，i t x 1 ，| i u i l r ， 8 j ( u ) 0 ， i t x 2 ，i l u l l r ， 则称j 关于( x 1 ，x 2 ) 在。处构成局部环绕 定义2 ( 见【2 1 ，f 2 2 】) j c 1 ( x ，r ) ，如果对每一列 u 。) c ，( 其中q 。是容许的) 满足 s u p j ( u q 。) _ lx j 再记y k = o 1 ，z k = o j kx 3 则有如下的喷 泉定理 喷泉定理( 见2 3 】) 假设j c 1 ( x ，r ) 满足如下条件： ( 1 ) 对每个k n ，存在一个常数p k 展 0 ，使得 ( i ) b 七：= i n f 。6 z ，l l 。 ：风j ( 1 i ) + o o ； ( i i ) a k ：= m a x 。k ，i i 。| | ：mj ( u ) s 0 ( 2 ) j ( - u ) = j ( 豇) ，j 满足( c ) + 条件 则j 有一个临界值 局部环绕定理( 见【2 1 ，【2 2 】) 假设j c 1 ( x ，r ) 满足如下条件： ( 1 ) ，在0 具有一个局部环绕且x 1 o ) ； ( 2 ) j 满足( c ) 条件； ( 3 ) j 将有界集映为有界集； ( 4 ) 对每一个m n ，有j ( u ) 一- - c o ，l t t i _ 。c i t x 是o x 2 则，至少有一个非平凡的临界点 9 山路引理( 见【2 5 】) 设x 是b a n a c h 空间，j c 1 ( x ，r ) 满足如下条件： ( 1 ) j ( o ) = 0 ：存在p 0 ，卢 0 使得j l a 耽p o ； ( 2 ) 存在e x 玩：使得j ( e ) 0 令r 是x 中连接0 和e 的道路集合，即r = ，y c ( o ：1 】，x ) ：，y ( o ) = o ；7 ( 1 ) = e ，设 、 c _ 1 i n f r 啪m a x l l m ( 2 ) ) p 则c 卢，且j 关于山路水平c 有临界序列 u 。) 当n 一+ o o 时有 s u p ，( 札。) 0 和1 r ( n + 2 ) ( n 一2 ) 使得i ，( z ，t ) l a ( 1 + l t l ) ，当 z q ，t r ，n 3 时成立；l i m i i 。o 。l n ( i f ( x ，t ) l + 1 ) m 一2 = 0 当。晓，n = 2 时成立；且如果n = 1 则不需要任何假设； ( f 3 ) f ( z ，t ) i t l 2 一+ o 。当i t l 一+ 在q 上一致成立f ( z ，t ) l t l 2 0 当一0 在q 上一致成立其中f ( z ，t ) = 露f ( x ，s ) d s ； 1 0 ( f 4 ) 存在譬( r 一1 ) 0 使得t f ( x ，) 一2 f ( z ，t ) o l t l 对所有的 l t l l ，z f l 时成立 那么方程( 1 ) 存在无穷多个解 u ，。) 使得当佗一o 。 三二l v u n i 2 如一of ( z ，) 如_ + 7 注1 条件( f 3 ) ，( f 4 ) 比起( a r ) 条件更加一般而且容易得到函数例如 f ( 州) = 愀l n ( 扣4 一l t l 2 + 1 ) ) 3 ， 满足条件( n ) 一( f 4 ) 4 2 一类非二次椭圆问题非平凡解的存在性 本节考虑如下d i r i c h l e t 问题： ：全乞+ a ) u = ，( z t ) 在非二次条件下无穷解的存在性我们的主要结果如下； 定理2假设，( z ，t ) 满足如下条件： z f l , ( 8 ) z a q 、7 ( f 5 ) f ( z ，t ) i t l 2 一十o c 当i tj 一+ o 。且f ( x ，q i t 2 0 当i t f 一0 在q 上一致成 立其中f ( z ，t ) = 厝f ( z ，s ) d s ； ( f 6 ) 存在a l 0 和l 0 和l 0 使得t f ( z ，t ) 一2 f ( x ，z ) a 2 i t l 对所有 的i t l l 和z n 时成立如果0 是一+ 口( 有着d i r i c h l e t 边界条件) 的一个特征值 假设如下条件成立t 1 1 ( f 8 ) 存在6 0 使得 ( i ) f ( x ，) 0 ，对所有的i t i 6 ，z q 成立；或者 ( i i ) f ( z ，t ) 0 ，对所有的正x q 成立 那么方程( 2 ) 至少有一个非平凡解存在 注2 文献【4 】利用局部环绕定理得到方程( 2 ) 的非平凡解，现在我们将其中的 非二次条件中的p 的界放得更宽从而推广了文献【4 】的结果同样容易找到函数满足 定理2 的条件( f ：5 ) ( f 8 ) f 扛，t ，= t 2 ：。( 1 一r l ( 。n 。 t ； 4 - - 。一i t l 2 t 吝? 装，；萎l t l 钜v , f 满足定理2 当s = 糟，p = ；时成立 4 3 一类带有d i r i c h l e t 边界条件的p - l a p l a c i a n 方程的解的存在性 本节考虑如下d i r i c h l e t 问题： 譬( 口+ 1 一p ) 和常数n o ，l 0 使得当z ，( z ，t ) 一p f ( x ，) a l t l p 对 所有的l t i l 和z q 时成立 则问题( 3 ) 对每个入 0 有一个正解 注3 文献【8 】8 证明了方程( 3 ) 在( a r ) 条件下正解的存在性，而本文使得，( z ，t ) 不满足( a r ) 条件，同样得到了正解的存在从而推广了文献 8 】的结论 五主要结果的证明 定理1 的证明定义一个e ：= h 8 上的泛涵 j ( u ) = 互1 五l v u l 2 如一丘f ( z ，u ) 如， e 是b a n a c h 空间，由( n ) 知，对任意的u h 8 ，我们有j ( - u ) = 厂( u ) 第一步。由( f 2 ) 知，存在一个常数c 0 ，使得l f ( z ，t ) isa ( 1 + i t l 件1 ) 成立，所以让 e k = s u p 。磊，忙i i ：ln i ，+ l ，k = 1 , 2 ，这里+ 1 是l r + l ( q ) 的范数所以能得到e 七一0 当k o oi n 【2 3 1 让鼠= ( c ( r + 1 ) e ：“) 击，则对u z k ，| i = 1 l = 仇，可得 j ( 钍) = 丢丘i v 叫2 如一点f ( z ，u ) 出， 去i l u i l 2 一c i u i r 丰 一c i q l 去l i u l i 2 一c 矿1l l u i l 7 + 1 一c i q i = ( 丢一i 三了) ( c ( r + 1 ) e ：+ 1 ) 击一c i n l 2 ( 互一鬲) ( c ( r + 1 ) ；十1 ) f 7 一c 对? - + 1 2 成立，所以能得到 6 k2 。三镒忙风j ( u ) _ + 。c ，k _ o o 因为d i m y k 0 ，使得每一个仳k ：有 圭上胁1 2 d x = 扣1 2 0 ，m k 0 ，使得f ( z ，t ) 2 b k l t l 2 ，当t r k 时成立因此能得 到 f ( z ，t ) 2 b k l t l 2 一慨 1 3 所以对t k ， j ( u ) = 互1 二l v u l 2 如一of c z ，u ) 出一鼠i u 层+ 虮刚一扣u l l 2 + 氟l q i 成立让p k 足够大且p k 风 o ，则有n 七= m a y 吨e y k ，i i u l i ：p tj ( u ) s 0 得 第二步证明( c ) + 序列 是有界的由定义2 知，存在一个常数m 1 0 ，使 j ( 。) lsm i ， ( 1 - i - i | u 。i i ) l l j ( 让q 。) l l 尬 ( 1 0 ) 成立一方面，由( f 4 ) 和( 1 0 ) 式，得到 。厶l f p 如厶( ，( z ，u n ) 一2 f ( z ，乱n ) ) 出 = 2 l ，( u 。) 一 d o 对d o 0 成立，所以存在一个常数d l 使得 f l u 1 p d 成立现对任意的 0 ，由假设( f 3 ) 推出 f ( z ，) 反- i - m l t l 7 十1 v t r 其中m 0 因为0sp 0 ，使得 i j f l ( z ，t ) i k ( 1 + l t l 8 + 1 ) v ( x ，t ) q r ( 1 3 ) 成立由( f 6 ) ，( 疗) 以及s o b o l e v 不等式，得到存在一个常数c 0 使得 l i u i l l - sc l i u l l ，i l u l l l 。sc t l 训，l 州sc ，l 南c 删 ( 1 4 ) 对于所有的乱础( q ) 成立所以能得到 m ) = 圭( 1 l u + 1 1 2 一i i u 卅i i ) 一厶聊，缸) 如 扣1 1 2 + 上琊+ i i 1 ) 如 扣1 1 2 + k l a l + c 8 “钏乱1 1 8 “ 对所有的u 础( q ) 成立因此泛函j 是把有界集映射到有界集。 1 5 第二步证明泛函在零点有一个局部环绕由( f 5 ) 推出，对任意的 0 ，存在常 数西 0 ，使得 l f ( z ，t ) 15e t 2v 1 z l 西，( 1 5 ) 成立因此能推出 i f ( z ：t ) i e t 2 + m l t l 卧1v ，t ) q r 成立，这里m = 口l ( 1 + a i - 5 ) 所以得到 l 五f ( z ，札) 出l 上乱2 出+ m 上t u r l 出 1 2 ：+ m i i u i l 8 p + 十1 。 c 2 圳训1 2 + c 什1 m l l u l l 什1 对所有的u e 成立又因为t j e 7 + = x 1 ，所以有 m ) = 扣1 1 2 一上m m 如 去l l u i | 2 一c 2 l i u | 1 2 一c 8 + l m i i u i l 5 + l 成立，现在让= 移1 并且注意到1 + 5 2 ，所以得到 j ( t ) 0 y u x 1 i l u l i r o 当t 0 0 足够小时成立由因为e ooe 一是有限维空间，由有限维空间范数等价推出 存在常数0 1 0 ，使得 1 秒( z ) i i i v l l c 1 i i v l l ，i i v l l c 1 i i v l l l ， y v e ooe 一，z q n , - y _ 让u = 乱ott 一x 2 = e oe o 使得1 1 乱1 1s r l = 击成立则推出 l u ( z ) i i l u l l 。o c 1 i f u i i 5 对所有的i 1 1 且z q 成立所以，由( f 8 ) ( i ) ，得到 五m 川出。 对u x 2 且恻i 1 1 成立n 此有 m ) = 一互1 刊2 一五m 如 一扣一i i ： 0 对u x 2 且恻l r 成立，这里r r a i n r o ，r 1 ) 且足够小 第三步假设 u 。) c 。，将证明对每一个( c ) + 序列 缸。) 是有界的首先让 。= u 乏+ 1 上孟+ t 上。0 。e + oe o e o 由定义2 知，存在一个常数m 0 ，使得 j ( u 。) l m ，( 1 + i i u 。1 1 ) l l j 7 ( u 口。) l i m i ( 1 6 ) 成立，联立( f 7 ) 和( 1 6 ) 式，得到 口二l u 。尸如五( ，( z ，u a 。) u a 。一2 f ( z ，u 口。) ) 妇 = 2 j ( u n 。) 一( j ( u 。) ，o 。) d o 对d o 0 成立所以存在一个常数d 1 0 使得 上卢d 1 ， ( 1 7 ) 成立由( 疗) ，( 1 4 ) 式，( 1 6 ) 式和h 6 1 d e r 不等式，得到 0 0 ) = ( ，( u n 。) ，仳蕞) = l l “芝1 1 2 一上u 乏，( z ，u 口n ) d z l i u 枷一厶i u l i l f ( x , ) i 出 2 之i | 2 一n ，上i 钆乏。1 5 出一n 二i u 玉i 如 2 i i u l l l 2 - 。1 ( j o ( i 乱。1 5 ) 譬如) 号( 二f u 乏l 南如) 宇一n ，i i u 之怯 l l 缸矗| 1 2 一n l c l i 乱乏i i i i 札。i l 羔口一n l cj | 牡玉i i 对所有的n n 成立观察条件p 翮2 ns 一1 和 3 ，能得到s 0 ，使得 1 1 u o l l d 2 ( 1 8 ) 成立用同样的方法能证明 i l u 三。l lsd a ( 1 9 ) 成立又由条件( f 7 ) 得，存在常数a 3 ：尬 0 使得 t f ( z ，t ) 一2 f ( x ，t ) a a l t l m 2 ， ( z ，t ) qxr 1 7 成立所以推出 2 j ( u n n ) 一( j u 。n ) n ) 。厶( m n ) t l 。n 一2 f ( 刚。n ) ) 出 a 3 _ j 乱。i d x 一尬i q i ，n 1 2 , 3 f l u ：。i i u 乏i i u 孟i 】d z 一 如l q i j 2 击口3 i l u ：。o c a 3 ( 1 l u li i + i i u 二。i | ) 一m 2 1 q i c _ 。”一q n 一a n 7 因此能得到 i i u ：。| l d 4 ( 2 0 ) 所以有 l i u 。| i i t 。+ 。i | + i | t 正孟i | + j i u ：。i i d ， 成立这里d 0 是一个常数因此 u 。) 一定有界现假设在x 中有u 。一t ，当 d i m k e r ( - a + a ) 0 使得 f l u l i a 4 l l u l l l 2 ( 2 1 ) 对所有的u 弼，ox 2 成立由条件( f 5 ) 知，存在常数m 3 0 使得 f ( z ，u ) 越i u l 2 一m 3 ( 2 2 ) 成立由( 2 1 ) 式和( 龙) 式得 j ( 乱) = 丢( 1 l u + 1 1 2 一i l u 1 1 2 ) 一f af ( 叫) 如 墨去( i 札+ 1 1 2 一l l u 1 1 2 ) 一n i l l 乱l l 羔。+ m a l q l 一三i i 乱+ l | 2 一去i i 乱一1 1 2 一1 1 乱。1 1 2 + m z l a l 一去f | t 1 1 2 + m 3 1 a i 1 8 对u 砾ox 2 成立也即得到 成立从而定理2 得证 j ( t 正) 一一o ol i u | i 一。ct 叉二ox 2 定理3 的证明方程( 3 ) 的解对应于泛函 ，( 乱) = 三五l v u i p 如+ 言上l 乱i p 如一of ( z ：乱) 出 的临界点由于找的是正解，所以不妨假设当ts0 ，z 豆时，( z ，t ) = 0 第一步证明存在p ，p 0 使得对所有满足l = p 的t 喇，p ( q ) 都有厶( 札) p 由条件i f 2 ) ，( f 3 ) 得，对任意的e 0 ，存在一个常数g 对所有的( z ，z ) 豆r 都有 f ( 叫) 扣p + g 旷i 1 ( 2 3 ) 由上式及p o i n c a r e 不等式和s o b o l e v 不等式得 厶( 让) 三上1 v 钆i p 如一丢厶p 出一q 上叶1 如 = 扣l i p 一弘临一刚圳q m + l 三1 1 u 1 1 p p ( c l l 乱i i p ) 一c e ( c 2 1 1 u 1 1 ) 9 + 1 = 三( 1 - - e c f ) l l t 。酽一掣1 刚u j l q “ 其中q ，c 2 0 是常数取e2 研1 则 ( 乱) 割让f | p c 3 1 1 t , 1 1 9 “ = 剞1 u i i p ( 1 2 p c 3 1 1 u 扩1 一p ) 其中岛 o 是常数，令p = ( 赤) d ； 0 则当i l u l l = p 时，得到 孙) 争。 其中p = 笔 0 所以得到以( t ) 卢 0 成立 1 9 第二步证明存在e w o p ( q ) 且i | e i i p 则厶( e ) 0 存在m 0 使得对所有的 m 以及z 而有 掣之令c ( ) = 护：则对所有的t 0 以及几乎所有z 豆有 ，( z ，t ) 之丢护一一c 忙) 即对所有的t 0 ，0 s 1 和几乎所有的z 豆都有 m ，s 咖三$ p - - 1 矿一c ( 咖 将( 2 5 ) 式两端在【0 , 1 】对s 积分有 f ( z ，t ) 两1 矿一c ( e ) z 对所有的t20 都成立由( 2 6 ) 可知 f ( z ：圳磊1 矿满一c ( ) t 妒1 两边同除以护可得 警掣壶硝一丛t y - 1 l 天i 出 五笔掣如丘( 壶簖一警) 出 ( 2 8 ) 令( 2 8 ) 中的t o o 可知对所有的 0 都有 燃j 厂n 掣出j n 壶荫如 一+ 护 一 阵“ 由s 0 的任意性可令一0 可得 。三丘警掣出= + 所以有 - 以- 7 妒- = 刍i l 妒，i i p + 言五i 妒，i p 一二! 鱼篆 型出一一。( z 一+ 。) 现取t o 足够大，e ：t o 妒1 则以( e 1 0 使得 。五i r 如二( ，( z ，u n ) 一p f ( z ，u n ) ) 出 = p j ( u 。) 一 所以存在常数d l 0 使得 d o ( 2 9 ) 五k d ， ( 3 。) 由条件知0 p 0 是常数，注意到条件p 譬( q + 1 一p ) 等价于d 筹 0 对所有的仡n 有 l i u n l l d 5 成立所以( c ) + 序列 ) 是有界的从而定理3 得证 2 1 六 分析与思考 1 对于方程( 2 ) 还能不能用其他的条件来代替( a r ) 条件来保证( p s ) 条件成立从 而得到方程解的存在性? 2 对于上述方程中i ( z ：t ) 满足的非二次条件中次数的界的范围还能不能进一步放 大? 参考文献 1 张恭庆临界点理论及其应用，科学技术出版社，1 9 8 6 1 2 】钟承奎，范先令，陈文山原非线性分析理论，兰州大学出版社， 9 9 8 【3 】s j l i jm w i l l e m a p p l i c a t i o n so fl o c a ll i n k i n gt oc r i t i c a lp o i n tt h e o r y jm a t ha n a l a p p l ，1 9 9 5 ，1 8 9 ( 1 ) ：6 - 3 2 【4 】q j i a n g ，c l t a n g e x i s t e n c eo fan o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rac l a s so fs u p e r q u a d r a t i ce l l i p t i c p r o b l e m n o n l i n e a ra n a l ，2 0 0 8 ，6 9 ( 2 ) ：5 2 3 - 5 2 9 【5 】a m b r o s e t t ia r a b i n o w i t zph d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s jf u n c ta n a l ，1 9 7 3 ，1 4 ：3 4 9 3 8 1 【6 】t b a r t s c h ，y h d i n g