圆的方程;空间两点的距离公式.doc

【同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆的方程；空间两点的距离公式 教学目的： 1. 理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径；能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题；探索并掌握圆的一般方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程。 2. 能够根据给定直线、圆的方程，会用代数方法讨论直线与圆的三种位置关系；能够根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系。 3. 掌握空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何题的有关坐标；掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。二. 重点、难点 重点： 1. 圆的标准方程以及会根据不同条件求得圆的标准方程；圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长，理解关于二元二次方程表示圆的条件。 2. 直线和圆的位置关系的判断和应用；两圆位置关系的判断。 3. 空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标；空间两点距离公式。 难点： 1. 圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。 2. 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系；通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系。 3. 确定点在空间直角坐标系中的坐标；空间距离公式的推导。 知识分析：（一）圆的标准方程 1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。 2. 圆的标准方程：已知圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为。 说明： （1）上式称为圆的标准方程。 （2）如果圆心在坐标原点，这时a0，b0，圆的方程就是。 （3）圆的标准方程显示了圆心为（a，b），半径为r这一几何性质，即圆心为（a，b），半径为r。 （4）确定圆的条件 由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。 （5）点与圆的位置关系的判定 若点M（x1，y1）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即 ； 若点M（x1，y1）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即 ； 3. 几种特殊位置的圆的方程（二）圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： 将配方得： 当时，方程表示以（）为圆心，以为半径的圆； 当时，方程只有实数解，所以表示一个点（）； 当时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形。 故当时，方程表示一个圆，方程叫做圆的一般方程。 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点： （1）和的系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项。 以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。 要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了。（三）直线和圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系 研究直线与圆的位置关系有两种方法： （l）几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。 dr直线与圆相离；dr直线与圆相切；0dr直线与圆相交。 （2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，其判别式为。 0直线与圆相离；0直线与圆相切；0直线与圆相交。 说明：几何法研究直线与圆的关系是常用的方法，一般不用代数法。 2. 圆的切线方程 （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ； （3）过圆上一点的切线方程是 3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题 （1）判定位置关系。方法是比较d与r的大小。 （2）求切线方程。若已知切点M（x0，y0），则切线方程为 ； 若已知切线上一点N（x0，y0），则可设切线方程为，然后利用dr求k，但需注意k不存在的情况。 （3）关于弦长：一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁，另外，当直线与圆相交时，过两交点的圆系方程为 （四）圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的位置关系问题 判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下： 圆与圆的位置关系，其中 设两圆的圆心距为d，则 当时，两圆外离； 当时，两圆外切； 当时，两圆相交； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含 注意：两圆的位置关系可表示在一条数轴上，如图所示： 两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。 2. 两圆相交问题 （1）过两已知圆的交点的圆系方程， 即 当时，变为，表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线。 （2）过直线与圆交点的圆系方程 设直线与相交，则方程表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程。（五）空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合。这时，我们在空间建立了一个直角坐标系Oxyz。在这个过程中，三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。 2. 点P的坐标 过点P作一个平面平行于平面yOz（这样构造的平面同样垂直于x轴），这个平面与x轴的交点记为P，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标。你能试述点P的y坐标，点P的z坐标吗？ 3. 坐标平面 每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面。 4. 特殊点的坐标形式 xOy平面是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数； xOz平面是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数； yOz平面是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数； x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数； y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数； z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。 5. 卦限 三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限。 在坐标平面xOy上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第、第、第、第卦限；在下方的卦限称为第、第，第、第卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第卦限，x为负数，y、z均为正数。（六）空间两点的距离公式 空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）的距离公式是 特别的，点A（x，y，z）到原点的距离为【典型例题】 例1. 求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C（3，4），半径是； （3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，3）； （4）圆心在直线5x3y8上，又圆与坐标轴相切，求此圆方程； （5）圆心在直线y2x上，且与直线y1x相切于点（2，1）。 解析：（1）； （2）； （3）； （4）设所求圆的方程为 因为圆与坐标轴相切，故圆心满足， 又圆心在直线上，所以， 解方程组，得： 所以圆心坐标为（4，4），或（1，1） 于是可得半径， 故所求圆的方程为或。 （5）设圆心为（a,2a）由题意，圆与直线相切于点（2，1），得 解得：a1 所以所求圆的圆心为（1，2），半径为 故圆的方程为 点评：一般情况下，如果已知圆心或圆心到某直线的距离，可用圆的标准方程来求解。用待定系数法，求出圆心坐标和半径。 例2. 求圆心在直线2xy30上，且过点（5，2）和点（3，2）的圆的方程。 解析：法一 设圆的方程为，则 解得 法二：因为圆过A（5，2），B（3，2）两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为 设所求圆的圆心坐标为C（a，b），则有 解得 所以C（2，1）， 所求圆的方程为 点评：确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法，其中，选标准是根据已知条件选恰当的方程的形式，进而确定其中三个参数。 例3. 已知圆C和y轴相切，圆心在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为，求圆C的方程。 解析：设圆C的方程为 又圆C与y轴相切得 又圆心在直线上， 圆心C（a，b）到直线的距离为 由于弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，所以 联立解方程组可得 或 故圆C的方程为：或 点评：利用圆的几何性质，是迅速、准确解出本题的关键。 例4. 求过点A（2，2），B（5，3），C（3，1）的圆的方程。 解析：设所求的圆的方程为 将A（2，2），B（5，3），C（3，1）三点的坐标代入圆的方程 得 解得 圆的方程为： 点评：一般来说，由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时，常用一般式。 例5. 已知圆，定点P（4，0），问过P点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆： （1）相切； （2）相交； （3）相离，并写出过P点的切线方程。 解析：法一 设过P点的直线的斜率为k，则其方程为 由消去y，得 即 （1）令，即 当时，直线与圆相切，切线方程为或 （2）令，即 当时，直线与圆相交 （3）令，即或时，当或时，直线与圆相离 法二：设圆心到直线的距离为d，则 （1），即， 时，直线与圆相切，其切线方程为或 （2）时，即，即时，直线与圆相交 （3），即， 即或时直线与圆相离 点评：解决直线与圆的位置关系，几何法比代数法简单。 例6. 已知直线，曲线，它们有两个公共点，求b的取值范围。 解析：法一，曲线C中，因此l和C有两个公共点，等价于方程组有两组不同解，又等价于，有两组不同解，消去x得 C和l有两个公共点，等价方程有两个不等非负实数解 于是 解得 法二：方程表示斜率为1的平行直线系；方程表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如图所示。当l通过A（1，0），B（0，1）时，l与C有两交点，此时b1，记为；当与半圆相切时，切线记为；当l夹在与之间时，l和C有两个不同公共点。因此。 点评：（1）曲线C不是一个完整的圆，是半圆；（2）数形结合思想的应用。 例7. 求圆心在直线xy0上，且过两圆，的交点的圆的方程。 解析：法一 解方程组 得交点坐标分别为（0，2）（4，0） 设所求圆心坐标为（a，a） 则 解得 因此，圆的方程为 法二：同法一，得两已知圆的交点的坐标为（0，2），（4，0） 设所求的圆的方程为，则有 解得 因此，圆的方程为 法三，设所求圆的方程为 即 因为这个圆的圆心在直线上 所以 解得 圆的方程为 点评：注意掌握这种特殊题型的几种解题方法。【模拟试题】1、点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（ ）A. y轴上 B. xOy平面上C. xOz平面上D. 第一卦限内2、点M（2，3，1）关于坐标原点的对称点是（ ）A. （2，3，1）B. （2，3，1）C. （2，3，1）D. （2，3，1）3、设点B是点A（2，3，5）关于xOy面的对称点，则|AB|等于（ ）A. 10B. C. D. 384、设有圆M：，直线，点P（2，1），那么（ ）A. 点P在直线l上，但不在圆M上B. 点P不在直线l上，但在圆M上 C. 点P在直线l上，也在圆M上D. 点P既不在直线l上，也不在圆M上 5、设M是圆上的点，则M到直线的最小距离是（ ）A. 9 B. 8 C. 5 D. 26、方程表示圆，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7、过点P（3，0）能有多少条直线与圆相切（ ）A. 0条 B. 1条C. 2条D. 1条或2条8、直线被圆截得的弦长等于（ ）A. B. 2 C. D. 9、直线被圆所截得线段的中点坐标是（ ）A. B. （0，0）C. D. 10、若圆和圆关于直线对称，那么直线的方程是（ ）A. B. C. D. 11、与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程是_12、过点（0，0），（1，0），（0，2）的圆的方程是_13、若实数x ，y满足，则的最小值为_14、已知，则的最大值为_15、一圆过点P（4，3），圆心在直线上且半径为5，求此圆的方程。16、求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程。17、已知圆满足：（1）截y轴所得弦长为2； （2）被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为31；圆心到直线的距离为，求该圆的方程。【试题答案】110：C A A A D D A C A D11、12、 13、 14、 15、设此圆的方程为， 依题意，得： 解得： 所以所求圆的方程为或16、设此圆的方程为，因为所求圆的半径是4，大于已知圆的半径，所以两圆只能外切， 依题意，得：，解得：所以所求圆的方程是 或或或 17、设P的圆心为P（a，b），半径为r，则点