（应用数学专业论文）某些特殊abel群的极大生成子集及整数和集的相关问题.pdf

摘要 本文应用加性群论理论，讨论关于a b e l 群的两个问题：一个是 直接问题，即给出群的两个子集a 与b ，和集a + b 的结构与特性是什 么? 另一个问题是逆问题，即当和集ia + bi 尽可能小时，a 与b 的结 构与特性是什么? 另外还讨论了整数和集的相关问题。 这篇论文主要做了两个方面的研究：考察当g 为( 4 ，研) 型a b e l 群 时，它的p 一极大生成集，并给出使得( g ) = o 的对( g ，p ) 的一类非平凡 的例子。然后尝试着推广v s e v o l o df l e v 的得到的关于整数和集的一 个引理和一个定理。总的说来，我们研究加性群论中与此有关的若干 基本问题，分四章来讨论这些问题： 第一章绪论。主要介绍了加性数论的研究问题以及它的背景和 进展及本论文的研究成果。 第二章主要考察a b e l 群的加法基，并改进g z e m o r 关于加法基 的一个结果。 第三章假设g 为( 4 ，聊) 型a b e l 群，即g = z 。o z m ( 4 1 聊，脚 1 6 ) ， 考察它的p 一极大生成集，并给出使得0 ( g ) = o 的对( g ，p ) 的一类非平 凡的例子。 第四章讨论关于关于整数的和集的一些问题。主要推广了 v s e v o l o df l e v 得到的一个引理和定理。 关键词：加性理论，加法基，a b e l 群，极大生成集，整数和集 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w eu s ea d d i t i v et h e o r yo nt h ea b e l i a ng r o u pt o s t u d yt w op r o b l e m so nt h ea b e l i a ng r o u p ，t h ed i r e c tp r o b l e m ，t h a t i s ，w h e ng i v e naa n dba r et w os e t so fa b e l i a ng r o u p ，w h a ta r ep r o p e r t i e s a n dt h es t r u c t r u r eo ft h es u m s e ta + b ? a n dt h ei n v e r s ep r o b l e m w h e n a + b i i sa ss m a l la sp o s s i b l e ，w h a ta r ep r o p e r t i e sa n dt h es t r u c t u r eo ft h e s e taa n dt h es e tb ? a n dt h e nw ed i s c u s ss o m er e l a t i v ep r o b l e m sa b o u t i n t e r g e r s s u m s e t s t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e rh a st w oa s p e c t s ：o b s e r v ea b e l i a n g r o u p sp e x t r e m eg e n e r a t i n gs e t sw h e ti th a st h ef o r mo f ( 4 ，m ) a n d g e ta n o n t r i v i a le x 觚1 p l eo f ( g ，p ) t h a tm a k et p ( g ) = 0 t h e nt r yt os p r e a d al e m m aa n dat h e o r e mv s e v o l o df l e vg o ti t i naw o r d ，w er e s e a r c h e d s o m eb a s i cp r o b l e m si na d d i t i v eg r o u pt h e o r yr e l a t e dt ot h e s e w ed i s c u s s t h e s ep r o b l e m si nf o u rc h a p t e r s ： c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n w em a i n l yi n t r o d u c et h ep r o b l e mo fs t u d y o na d d i t i v en u m b e rt h e o r ya n di t sb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n tt h e m a i nr e s u l to ft h i sp a p e r c h a p t e r2w em a i n l yi n v e s t i g a t e da d d i t i v eb a s i so fa b e l i a ng r o u p ， a n di m p r o v eag z e m o r sc o n c l u s i o na b o u ta d d i t i v eb a s i s c h a p t e r3l e tgi s a na b e l i a ng r o u pi nt h ef o r mo f ( 4 ，朋) ，i e g = z 4 0 z 。，( 4 1 棚，m 1 6 ) ，a n dt h e no b s e r v ea b e l i a ng r o u p s p e x t r e m e g e n e r a t i n gs e t sw h e ti t h a st h ef o r mo f ( 4 ，m ) a n dg e tan o n t r i v i a l e x a m p l eo f ( g ，力t h a tm a k e0 ( g ) ： c h a p t e r4w ed i s c u s ss o m ep r o b l e m sa b o u ts u m s e to fi n t e g e r s w e m a i n l yp o p u l a r i z eal e m m aa n dat h e o r e mv s e v o l o df l e vg o ti t k e yw o r d sa d d i t i v et h e o r y , a d d i t i v eb a s i s ，a b e l i a ng r o u p ， e x t r e m eg e n e r a t i n gs e t ，i n t e g e ra d d i t i v es e t 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地方 外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中 南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同 志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名：盔竭车 啸丛丑年卫月丛日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公 布学位论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段 保存学位论文；学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交 学位论文。对以上规定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提 供使用。 储虢面颦导师躲陋眺鲨年卫月旦日 硕+ 学位论文第一章绪论 1 1 加性数论概况 第一章绪论弟一早三百化 加性数论又称为堆垒数论，它是数论的一个重要分支，它主要是研究关于整 数集和集的一门学科，是数学中深刻而优美的部分。它的研究有着悠久的历史， 但至今仍十分活跃。它拥有许多老的和新的未解决的问题，其中包括著名的哥德 巴赫猜想和华林问题。集加法理论是最近几十年才发展起来的加性数论的一个研 究方向，已经取得了许多引人注目的成就。每年都有大量的这方面的研究成果发 表在国际重要学术刊物上，尤其是近几十年来加性数论获得了迅猛发展，涌现出 了许许多多关于这方面的研究专家和仁人志士，其中很有影响力的有华林、哈代、 华罗庚 3 、陈景润 8 、希尔伯特 1 4 等。特别是陈景润先生关于歌德巴赫猜想 问题的研究是目前最领先的。关于加性数论的研究领域，其中非常有趣且有意义 的课题是关于加性数论的直接问题和逆问题。例如，讨论和集h a ( 见定义) 的结构 和性质：讨论关于一些特殊a b e l 群的生成子集的性质等。随着社会的不断进步， 科技的不断发展，因为许多其他领域的问题常常也可看成集加法结构理论的问题 来处理，所以加性数论在越来越多的领域中有着广泛的应用，特别是在密码学、 计算机代数、代数与编码、组合矩阵论、图论等方面有着广泛的应用。 在这一章里，我们介绍这篇文章用到的一些常用的定义和记号，并且介绍加性数 论研究的一些问题的背景和进展，最后介绍这篇文章主要解决的问题。 1 2一些记号与定义 这一节，我们首先介缁这篇文章用剑的一些常用的定义与记号。 【口，6 】：表示实数口与实数6 之间的整数。其中口 6 i - 口j ：表示不超过实数口的最大整数。 f 口 ：表示不少于实数口的最小整数。 g c d ( a ，6 ) ：表示整数口与b 的最大公因子，简记为( 口，6 ) 彳+ b = ： 口+ ba a ，b 召， 硕一 ：学位论文第一章绪论 4 + 4 + + 4 f = ： q + a 2 + + qiq 4 ，f 1 ，n ) n a = ：a + 彳+ + a _ _ - _ - - - _ _ 。一j _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ 一 n + a - a = ： - aia 彳) 彳一b = ：a + ( 一曰) a + b = ：a + b a ：表示集合a 在群g 的补集，其中a g z n z = ：z 席示模以的剩余类群 【g ：h 】：表示子群h 在g 中的指数 巾：表示自然同态g jg h 仇( 彳，b ) ：表示a + b 中使圪( 么，b ) = 1 的元素个数。 v s ( a , b ) ：表示g 能够表示为g = 口+ 6 ，a e a ，beb 的形式的表示数目。 ( _ ，鸭) 型a b e l 群g ：若g = z 卅lo z m ：0 0 z ， 其中1 1 | 1 ，z 啊为阶循环群( f 【l ，】，为正整数) 。 r k ( g 1 = 户：称为g 的阶。 ( g ) = ：l f 【l ，】l m i = m i 初等a b e lp 一群g ：( p ，p ，p ) 型a b e l 群g ( p 为素数) 。 p ( g ) 表示群g 所有元的阶之最小公倍数。 a l b ：a 整除b ； 对称闭包a = ：( 一a ) u 0 u a ：表示由彳生成的子群。 ，2 ：p a = o l + 0 2 + + lt 2 i 么，f 【l ，p 】) a b e l 群g 对应于彳的直径( d i 锄e t e r ) ：d i a m 一( g ) = m i n pn oi 。= g ) 其中n o 为非负整数集。 2 硕上学位论文第一章绪论 a b e l 群g 的直径( d i a m e t e r ) ：d i a mg = m a x d i a m a ( g ) 1 _ g ) 。 g 的一个子集彳为p 一极大生成集：如果它是使 p - 1 4 ao = g 成立的极大 子集。 e ( g ) = ：m a x i a l i 彳为群g 的户一极大生成集) f 口( g ) = ：m a x i a l i a 为群g 的非周期的p 一极大生成集) h - 1ai + lbi _ k 或彳+ b 包含一个由bq b k + 1 个元素 生成的g 的子群。 他还将结果推广到交换半群中。 有关子集和基数的结论还可参见文献( 【4 8 ，4 9 】) 。 当i 彳+ bi 比较小时( 相对于爿与b ) ，描述彳与b 的结构与特性是加性群论 讨论的另一个重要的问题。 在群g 中满足条件ia + bl 1 6 ) ，考察它的p 一极大生成集，并给出使得乞( g ) = 0 的对( g ，p ) 的一类非平凡的例子。 在第四章里，我们推广了一个引理和一个定理。 7 硕士学位论文第二章a b e l 群的加法基 第二章a b e l 群的加法基 这一章里，我们主要考察a b e l 群的加法基，并改进g z e m o r 5 5 关于加法基 的一个结果。 2 1 基础知识 这一节，我们先给出一些定义与引理： 定义2 1 1 1 3 7 1 设g 为a b e l 群，运算用加法表示，彳为g 的非空子集，若 h a = g ( h 为正整数) ，则称么为g 的阶为h 的加法基( 又称为堆垒基) 。 定义2 1 2 t 5 6 1 设g 为a b e l 群，运算用加法表示，彳为g 的非空子集，若 s = ( 一a ) u 0 i u a ，则称s 为a 对应于加法的一个对称闭包，记作s = a 。 根据定义2 1 2 ，我们有以下简单的结论： ( 1 ) s = 一s ： ( 2 ) 为所有表示为彳2 的元素的和的g 中的元素集合( 其实也是所有包含 a 的子群的交集) ； ( 3 ) 若对每一个非负整数p ，我们定义 ，= ：p 彳2 = q + a 2 + + iq a ，ie 【1 ，户】) g 则 0 ) 2 os l 互 2 量 口s 形成一个升链，且有 u 户卸 户， _ p 定义2 1 3 设g 为有限a b e l 群，若g 兰z 咱o z 他o o z 卅， 其中l m l lm 2 1 im r ，z 。为m 阶循环群( f 【l ，厂】，为正整数) ，则称g 为 ( 铂，聊2 ，m r ) 型a b e l 群，称为的g 阶( r a n k ) ，记为r k ( g ) 。 定义2 1 4 ”1 ( g ) - - ：1 f 【1 ，r lm ，- - m l 。特别当铂= m 2 - - - - o = m r = p 时( p 硕士学位论文 第二章a b e l 群的加法基 为素数) ，则称g 为初等a b e l 群。 2 2 有用的引理 引理2 2 1 1 5 6 1 设g 为任意有限a b e l 群，s 为g 的一对称闭包，且生成g ，日 为g 的一真子群，且满足d ( s ，h ) = ：ls + hl _ isi qhi - 1 ，则2 s + h = 2 s 。 证明设s = u s 为g 关于子群h 的陪集分解所诱导的划分( 即当 g - - h 。i ，g ：l ：h l ( g ，+ 日) 时，s = s r l ( g , + ) g ，f 1 ，刀】，1 刀【g ：h i ) 。 因为s = 一s ，所以s = u = ( 一墨) = u ：。( s ) ，s 蜀+ ，i 【1 ，刀】由 = g 以及 0 s 可知疗2 ，从而有 2 s = s + s = ( u ( 1 5 ；+ ( - 母) ) u ( u ( s + ( - ) ) ) ) - - ：f + z i ，f q l ，n j 首先对r = u ( s ，+ ( - s ，) ) 而言。 l ， 由于 = gr d ( s ，日) 1h 注意到一蜀+ s ，g j + ( 一二q ) 均为h 的子集， 故由弓i 理1 1 1 有( 一g 。+ s ，) + ( g ，+ ( 一s ，) ) = h 从而有s ，+ ( - s ，) + h = s ，+ ( - s ，) 故有r + 日= r 再看iu ( s + ( 一s ) ) t e l i ，n l 一方面由s + ( - s , ) ( 吕+ 忉+ ( 唱+ 忉= 日从而有h 另一方面，s 生成g ，h h q ( 2 1 ) 知至少存在一个f 使得is ，| i 11 日i 二 故1 + si + i 岛+ ( 一s ) h h i 注意到一g ，+ 墨，吕+ ( 一s ) 均为h 的子集， 9 硕士学位论文第二章a b e l 群的加法基 故由引理1 1 1 有( 喝+ s ：) + ( + ( 一s ”= h ， 从而有每h ) = 只故有= h 故有2 s + h = 正u 目+ h = 矿+ i - ) u 伍+ 功= r u e = 签 证毕 下列深刻结果是由k e m p e r m a n 得到的，在我们的证明中起着重要的作用 引理2 2 2 1 1 i , 3 7 1设g 为任意a b e l 群，彳，b g 为有限非空子集，且满足： i 彳+ bh a l + lb l - l 与r a i n lai , ibl 1 ，则下列之一成立： ( i ) 彳，b 为具有相同公差d 的真算术级数，且d 的阶o r d ( d ) 刹al + lb l + l ； ( i i ) a + b = ( g + 日) g ) ，其中h 为g 的子群，g g ； ( i i i ) a + b 为拟周期的( q u a s i p e r i o d i c ) 关于加法基，我们很自然要讨论下列问题：群g 的生成子集彳的基数l 彳i 与 阶数疗具有什么样的关系时，才使a 为g 的阶为n 的加法基( 即n a = g ) ? n a n s a n s o n 4 ，7 证明了如下的结论： 若彳为g 的生成集，且胛 m a x 2 ，寻畀一) ，则剃= g 。 g z e m o r 5 5 】得到了：设g 为初等a b e l 一2 群，彳为其生成集( 包含0 ) ，若 i 彳l ig _ _ a i ，n3 a ：g 一般来说，结论：设g 为有限a b e l 群，么为其生成集( 包含o ) ，若= iai 回， 则n i l = g 是不成立的( 即使当a 为一个对称闭包时) 。 例如 设g = 为循环群，取，l ，a 满足刀 3 ，i 爿i - ! 堡! ! 盟为奇数， 且彳： 一半如以。办，掣田。 此时，以： 一堕# 耐，一耐，o ，耐，坚# 耐) ， 1 删卢2 ( 掣) r i d + l ： gi + 2 一甩ig l 由此可见，n a g 下面我们先将g z e m o r 的上述结果推广到任意a b e l 群中去，即 定理2 2 1 ”1 设g 为( 铂，m 2 ，m ，) 型a b e l 群，a 为g 的一对称闭包，且为g 的有限生成子集，若i 么| i o _ 。_ j l ，其中，7 i 墨导l ，p ( g ) ：鸭表示群g 的所有元的 刀lzi l o 硕士学位论文 第二章a b e l 群的加法基 阶之最小公倍数，则彳为g 的阶为门的加法基。 证明 下面我们对群g 的阶数i g l 用数学归纳法证明定理2 2 1 。 当lgl = l 时，定理2 2 1 显然成立。 归纳假设对阶数小于igi 的a b e l 群，定理2 1 1 成立，下面我们证明定理2 2 1 对g 成立。 我们分两种情形加以考虑： ( 一) 每一正整数k ( 2 k 刀) 均有：lk ai 习al + i ( 七一1 ) ai 。 因l 彳l + l ( 疗一1 ) ai 疗i 彳l igl ，从而由引理1 1 2 有n a = g ( 二) 存在某正整数k o ( k o 【2 ，玎】) ，使得i 彳i 马ai + i ( k o - 1 ) ai 1 不妨设为满足上述条件的最小正整数，由引理2 2 2 可知，只需考虑下列三种 情形即可： ( i ) k o a 是公差为d 的真算术级数，从而彳是有同样公差d 的真算术级数； 由此a c + ，c ，d g 。因为 - g ，所以彳不包含在一真陪集中，从而 g = 。令m = d 吃( d ) ， 因为刀斟 ( i i ) k o a = c + h o ； 同理可知= g ，从而i 彳l 爿gl _ 1 g 为m 阶循环群，则必有n a = g 。 若屯，l 一1 ，则因l 彳i + lai lgl ，由引理1 2 1 有：( k o + 1 ) 彳= g ，从而州= g 若i , o = 刀，此时由k o2 最4 、性可得： ( n - 1 ) ai 刊( k o - 1 ) a 圈ai + i ( k o - 2 ) ai ( n - 1 ) lai ( 2 2 ) 当in al = al + i ( n - 1 ) ai _ 1 时，则因in al - 1 lai - 1 igi l ，从而叫= g 当i 删hai + i ( 甩一1 ) aj - 1 时，则由k n e s e r 定理有利为周期的，设周期为日， 因iai + lmi igi ，由引理1 2 1 可知n a = g 。 ( i i i ) k o a 为拟周期的( 设为其周期) 。 硕士学位论文第二章a b e l 群的加法基 ( 1 ) 当 昙时，nn - ( k o 1 ) 昙 ( ”一( k o 1 ) ) i 彳i 竺二地igl i ( 一1 ) 爿| ( 一1 ) 1 41 k 。- iigi 因i ( n - ( k o - d ) ai + i ( k o - d ai 1gi ，由引理1 2 1 可知n a = g ( 2 ) 当昙时，由a ( k o a ，) qhi 以及由引理2 2 1 可知：或者彳为周期的， 或者2 k o a 为周期的( 2 k o 刀) ，从而以为周期的，即存在子群日( 1 日除2 ) 使n a = n a + 日。不妨设日 i g 刀i 雕【竽j 【- 孚j ，由归纳 假设有n a = g ，从而n i t = g 。证毕。 特别地，我们有下面两个推论。 推论2 2 1 3 5 1 设g 为初等a b e lp 一群( g = 0 z 口) ，a 为g 的一对称闭包， 且为g 的有限生成子集，若i 彳i 蜊，其中刀罢，则彳为g 的阶为力的加法基。 注2 2 1 推论2 1 1 为g z e m o r 结论( 【5 5 】性质4 1 ) 的一般化。 当，= 3 时，对任意a b e l 群，有下面的结论： 定理2 2 2 设g 为a b e l 群，ig i 为奇数，a 为g 的一对称闭包，且为g 的 有限生成子集，若i 彳l _ i g l ，则爿为g 的阶为3 的加法基。 证明定理2 2 2 显然对i g l = 1 成立。 归纳假设对阶数小于ig l 的a b e l 群，定理2 2 2 的结论成立，下面我们证 明定理2 2 2 对g 成立。 ( i ) 当3 彳为非周期时，由k n e s e r 定理知i3 a l 3 la i - 2 习g i - 1 ，因而有 3 a = g 或g c ) ，c g 。注意到3 4 的对称性和g 为奇数阶群，一定有3 a = g 。 ( i i ) 当3 彳为周期时，即存在子群日sg ( 1hi 2 ) ，3 a + h = 3 a 。令 a = 彳+ 日h ，g = g h ，因lgi qgi ，则由归纳假设有3 a = g ，从而有3 a = g 。 证毕。 1 2 硕士学位论文 第三章某些特殊a b e l 群的p 一极大生成集 第三章某些特殊a b e l 群的p 一极大生成集 这一章我们假设g 为( 4 ，朋) 型a b e l 群，即g = z 。o z 。( 4m ，m 1 6 ) ，考察 它的p 一极大生成集，并给出使得( g ) = 0 的x c ( g ，p ) 的一类非平凡的例子。 3 1 一些定义和引理 首先我们给出一些定义。 设g 为有限群，彳为g 的子集。由彳生成的子群定义为： = ：f 3 h g l 彳日) 即为所有包含彳的子群的交，这是包含a 的最小子群。 = g 则彳叫做g 的 生成集。 a b e l 群g 对应于彳的直径( d i a m e t e r ) 【5 6 定义为： 加( g ) = m i n p ol 口= g ) 其中o 为非负整数集。 a b e l 群g 的直径( d i a m e t e r ) 【5 6 定义为： d i a mg = m a x d i a m 一( g ) i = g 。 我们说g 的一个子集为p 一极大生成集 5 0 ，5 6 】，如果它在包含关系下对应于 p - i 口= g 是极大的。 定s l 5 0 ，5 6 & ( g ) ，t p ( g ) ( 参考文献【2 】) 如下： 配( g ) = m a x i x l ：a 为群g 的p 一极大生成集 t a ( g ) = m a x i a i ：a 为群g 的非周期的p 一极大生成集) 显然有，p ( g ) & ( g ) 在2 0 0 3 年，b e n j a m i nk l o p s c h ( 【5 6 】，t h e o r e m2 1 ) 完全确定了a b e l 群的直径 锄所爿( g ) ，即：若g 为( ，m 2 ，聊，) 型a b e l 群，则 砌c g ，= 喜引 硕士学位论文 第三章某些特殊a b e l 群的p 一极大生成集 如何确定q ( g ) ，0 ( g ) ? 这个问题除一些情形外( 见( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ) 仍没有解决。 b k l o p s c h 和v f l e v 得到以下结论【5 6 】： ( 1 ) 设g 为任意有限a b e l 群且p 1 ，2 ，3 ，d i a m ( g ) ) ，或g 为有限循环群且 p 【1 ，d i a m ( g ) ，贝j js p ( g ) ，乞( g ) 完全确定。 如当p = d i a m ( g ) 时，我们有 驰心( g h 似( g h ( g ) + 2 【咏j ( 2 ) 设g 为任意有限a b e l 群，p _ 4 ，则& ( g ) 昙p i g i ，且等号成立当且仅当 存在g 的子群h 使得g h 为2 p 阶的循环群。实际上下列断言是等价的： ( a )a 为满足妣( g ) p - 与ia i = i 3 夕一1lg j 的生成集； ( b ) a = ( - g + h ) w h w ( g + h ) ，其中h 是g 的子群且使得商群g h 为2 p 阶 的循环群与g + h 为g h 的生成元( g g ) 。 ( 3 ) 若g = z 2o z 2 川n 2 ，则f 2 。( g ) 2 0 。 注3 i i 文献【5 6 】中指出，刻划使f 。( g ) = 0i 般j ( g ，p ) 除( 3 ) p b ，目前尚无其它 非平凡的例子( p d i a m ( g ) j 璩t p ( g ) = 0 的对( g ，p ) 称为平凡的) 。 关于( g ) 的上界的估计，b k l o p s c h 和v f l e v 得到【5 6 】：& ( g ) i 3 户ig i ，陈 雪生【1 5 】得到了下面的定理。 定理3 1 1 1 1 5 】设g 为( 铂，m 2 ，m ，) 型a b e l 群， 若p 酬4 ，l 警j ) ，其愀g m ，则俨) 器。 证明设a 为g 的p 一极大生成集，则爿为一对称闭包( 即a ：么) 因而( p 一1 ) 彳= 川 户= g 从而由定粤2 2 1 有l 么i 一 4 ，l 竽j ) ( 其愀g 却，) 时，这个定理改进了嘲o p s c h 和v f l e v 给出的下界。 3 2 满足乞( g ) = o 的一类非平凡的例子 本节假设g 为( 4 ，m ) 型a b e l 群，即g = z 。0z 。( 4 l 脚，m 1 6 ) 。在这一节中， 当p = i m ，= i m + l 或p = 虿m + 2 时，我们研究了g 的p 一极大生成集，并给出了 使f 口( g ) = 0 的对( g ，力的一类非平凡的例子。 3 2 1 预先需要证明的引理 在讨论g 为( 4 ，坍) 型a b e l 群，即g = z 4oz 。( 41 聊，m 1 6 ) 的p 一极大生 成集之前，我们需要先证明几个引理和定理： 我们先给出几个引理： 引理3 2 1 1 t 5 6 1 若a 为有限a b e l 群g 的p 一极大生成集，其中p 【2 ，d i a m ( g ) 】， 贝u 有h ( a ) = 日( ，) ，v _ r 【l ，p 一1 】 下面我们考虑( 4 ，朋) 型a b e l 群，即g ：z 。o z ，( 4 i n ，m 1 6 ) 的i m 一极大生 成集彳。 由a 的极大性可设a = a ，因为 - - g ，所以存在q a 使其阶 删( q ) = m ，且存在口2 a 使t ：2 仨 。 不失一般性，可设，a 2 = ( 1 ，口) ，口【o ，i m 】。 我们有下面的结果。 引理3 2 i 2 设4 ： ( o ，1 ) ，( 1 ，口) ) ，口 0 ，i m 】，则下面的结论成立： ( 1 ) 若a = ( o ，1 ) ，( 1 ，o ) 1 ，则 m - + 2 - - - - g = g ( 2 ，耖 硕士学位论文 第三章某些特殊a b e l 群的p 一极大生成集 詈2g ( l ，詈) ，( 2 ，詈) ，( 2 ，詈一1 ) ) + 詈一。= = g ( ( 。，詈) ，( ：! ：l ，! 1 ) ，( ：1 ，詈) ，( 2 ，詈) ，( 2 ，：_ 1 ) ，( 2 ，j 2 ) ) ( 2 ) 若彳= ( o ，1 ) ，( 1 ，詈) ) ，则 扩g 善+ 。_ g ( 2 ，耖 善2 g ( l ，。) ，( 2 ，詈) ，( 2 ，詈一1 ) ) 士 墨一。= = g ( 。，詈) ，( ：l ，1 ) ，( ：1 ，。) ，( 2 ，詈) ，( 2 ，：詈1 ) ，( 2 ，! ；2 ) ( 3 ) 若a = ( o ，1 ) ，( 1 ，1 ) ) ，则 扩g 扩g 三2 g ：_ l - g ( 哆( 1 ，弘，秒 ( 4 ) 若彳= ( 0 ，1 ) ，( 1 ，詈- 1 ) ) ，则 扩g 旷g 。= g 2 三- l = g ( 哆( 1 ，0 ) ，( 2 ，秒 ( 5 ) 若彳= ( o ，1 ) ，( 1 ，训，口【2 ，署2 】则 1 6 硕士学位论文 第三章某些特殊a b e l 群的p 一极大生成集 扩g 犷g ，= g 2 竺一1 2 g 2 ( 6 ) 若彳= ( o ，1 ) ，( 1 ，口) ) ，口【百m 一1 ，i m 一2 】则 当口：一m 一1 时， 4 m + 2 - g ， ! + l = g ， 苎= g ， 罢一1 = g ( o i m ) ，( 2 ，o ) 1 2222 - 当o c ：一m 时， 4 ! + 2 2 g ， 苎+ l = g ( 2 ，o ) 1 士 2 ，= g ( 2 ，0 ) ，( 2 ，1 ) 1 士 2 扩g ( 0 ，拶m 2 ，o ) ，( 2 1 ) ，( 2 2 ) ) ， 竺+ 1 2 g ( 2 2 ) ) ， 2 ，= g ( 2 ，3 ) ，( 2 ，1 ) ，( 2 ，2 ) 1 士 - 2 詈一，2 = g ( o ，i m ) ，( 2 ，。) ，( 2 ，1 ) ，( 2 ，2 ) ，( 2 ，3 ) ，( 2 ，4 ) ) n a = 百m + ，时，( f 【2 ，i m 一2 1 ) ， 4 4 ；+ 2 2g ， ：+ 1 2g ， 三2 g ， 里一l = g 2 证明 不失一般性，我们可以设群g 的元素为g = ( o ，) ，卢【o ，i m 】或 g = ( 1 ，) ，【o ，詈】或g = ( 2 ，) ，【o ，虿m 】或g2 ( 一l ，) ，n 虿m 】由对称性可以 只考察前三者。 ( 1 ) 容易知道：g 2 ( 。，仂= p ( o ，1 ) 三- 1 ，【o ，詈一l 】 1 7 时 坩 = 竺4 i = 4 口 2 + l 詈， 故( 1 ，i m ) 甓 。 - 2 同理可得( o ，詈) ，( 1 ，詈一1 ) 萑 等一。 因( o ，詈) = 2 ( 0 ，1 ) ，( 1 ，i m 一1 ) = i m 1 ) ( o ，1 ) + ( 1 ，o ) 可得( o ，i m ) ，( 1 ，i m 1 ) 。 。 2 而( 1 ，争抄) + ( 1 ，o ) 三+ 。 再来证明( 2 ，詈) 萑 詈卅 事实上，若令( 2 ，i m ) = 五( o ，1 ) + a ( 1 ，o ) ，其中五，为整数，则 从而，ia l + i l 詈+ l l i m + 2 詈+ l ， 故( 2 ，争 詈 1 8 、， ， ) 麒 4 d d o 0 m m i h m 一2 兰 兰 见 ，f【 、， ) 托 4 d d 0 o n l f 盯 ( 烈旦2 兰 兰 z ，、 硕士学位论文 第三章某些特殊a b e l 群的p 一极大生成集 同理可得( 2 ，詈一1 ) 萑 詈，( 2 ，詈一2 ) 盛 詈一， n ( 2 ，詈一1 ) = i m 1 ) ( 。，1 ) + 2 ( 1 ，。) ：+ 。 ( 2 ，m 1 一2 ) = ( i m 一2 ) ( 0 ，1 ) + 2 ( 1 ，0 ) 。 - 一 2 ( 2 ，m 2 。) = 詈( o ，1 ) + 2 ( 1 , 0 ) 要+ ： 综上所述，( 1 ) 证明完毕。 ( 2 ) 容易知道g = ( o ，) = p ( o ，1 ) ，【o ，等一l 】 g = ( 1 ，) = ( 1 ，i m ) + ( 一詈) ( o ，1 ) ：- l ，【2 ，i m 】 g = ( 2 ，) = 2 ( 1 ，i m ) + 触1 ) 吖【o ，i m 一3 】 下面我们先证明：( 1 ，o ) 盛 ； 事实上，若令( 1 ，o ) = 五( o ，1 ) + f l ( 1 ，虿m ) ，其中a ，为整数，则 f 户三0 ( m 。d 4 ) 1 旯+ i m 暑0 ( m 。d i n ) 设名+ i m = 砌，其中七为整数，则五= ( 七一筹) 聊 i 主1 a - - - 1 ( m o d 4 ) 可那一争三 从而1 名i + i l = l k 一筹i ， + i i 詈+ i p 虿m ， 故( 1 o ) 萑 ； 同理得( 0 ，了m ) 茌 竺一l ，( 1 ，1 ) 仨 里一l - 22 而( 1 ，0 ) 2 弘1 ) + ( 1 争 詈卅 1 9 硕十学位论文 第三章某些特殊a b e l 群的p 一极大生成集 ( 。，詈) 5 詈( 。，1 ) 墨，( 1 ，1 ) = ( 1 一詈) ( 。，1 ) + ( 1 ，詈) ： 再来证明( 2 ，筹) 仨 争。 事实上，若令( 2 ，i m ) = 五( 0 ，1 ) + ( 1 ，虿m ) ，其中名，为整数，则 f 兰2 ( m 。d 4 ) 卜了m 兰詈( m 。d m ) 由三2 ( m o d 4 ) 可知等是个整数，所以筹所兰o ( m o d m ) 得到名+ 詈暑名三m z ( m o d m ) 从而i 旯l + i , i i m + i i i m + 2 詈+ 1 故( 2 ，m 2 ) 正 同理得( 2 ，詈一1 ) 芒 三，( 2 ，詈一2 ) 诺 而( 2 ，筹) = 2 ( 1 ，詈) + 詈( o ，1 ) | 允+ i 虿m i m l 故( 1 ，争 - 同理得( o ，虿m ) 萑 要一l 而( 1 ，詈) = i m 一1 ) ( o ，1 ) + ( 1 ，1 ) ： ( o ，罢) = ( 等) ( o ，1 ) + 0 ( 1 ，1 ) 册 - 2 再来证明( 2 ，i m ) 诺 ：一l 事实上，若令( 2 ，i m ) = 2 ( o ，1 ) + ( 1 ，1 ) ，其中名，为整数，则 ：二二三莩。：。dm ， 从而l 五l + i i 1 名+ 巨i m 詈一l 故( 2 ，詈潞彳 詈一。 而( 2 ，等) = ( 罢一2 ) ( o ，1 ) + 2 ( 1 ，1 ) 。 - 2 综上所述，( 3 ) 证明完毕。 ( 4 ) 容易知道g2 ( o ，) = ( o ，1 ) - ，【o ，詈一l 】 2 l 硕士学位论文 第三章某些特殊a b e l 群的p 一极大生成集 g 。( 1 ，) = ( 一詈+ 1 ) ( o ，1 ) + ( 1 ，詈一1 ) 詈