（应用数学专业论文）一类具有强阻尼的四阶波动方程初边值问题的位势井方法.pdf

哈尔滨_ ：程大学硕十学位论文 摘要 本文研究了一类带有阻尼项的非线性四阶波动方程的初边值问题 甜，- 2 b u 。+ 口甜一= f ( u ，) ，x q ，t 0 ( 1 ) u ( o ，) = u o ，) = o ，u 。( 0 ，f ) = z 。( 1 ，f ) 三0t 0 u ( x ，o ) = u o ( x ) ，u ，( x ，0 ) = u l ( x ) ，x q 其中口 0 ，b 0 ，q r ”为有界域其中f ( s ) 满足( 日) i ( i ) l ( 日) ( i i ) 厂( s ) c ( r ) ； 当s o 时，f ( s ) 0 ，当是s o ； 当j r ，口 o ，q 1 时，i f ( s ) l 口l s j q ； ( i i i ) 当s r ，p 1 时，s f ( s ) ( p + 1 ) f o ) ，f o ) = r 厂p ) j r 首先利用新定义的位势井结合g a l e r k i n 方法对整体弱解的存在性进行 研究，得到了i 口- j 题( 1 卜弋3 ) 新的整体解的存在性定理，即方程的所有弱解都 属于位势井在此基础上，研究了弱解的不存在性，若非线性阻尼项满足 给定的条件，问题( 1 卜 0 ，b 0 ，q r ”i sab o u n d e dd o m a i n ，f ( s ) s a t i s f i e s ( h ) ( 日) ( i )f ( s ) c ( 尺) ； f ( s ) o f o ，s o ，s f b ) 一厂( s ) o f o ，s o ，q 1 ； ( i i i ) s f ( s ) ( p + 1 ) ，o ) f o ，j r , p l ，f o ) = f 厂( ) d f ( 3 ) t h ee x i s t e n c eo ft h ew e a ks o l u t i o n so ft h ea b o v ei sd i s c u s s e db yt h e g a l e r k i nm e t h o dc o m b i n e dw i t hp o t e n t i a lw e l l st h a tw ed e f i n e d ，a n dt h e e x i s t e n c et e r m so fp r o b l e m ( 1 卜 3 ) a r eo b t a i n e d ，i tm e a n st h a ta l lt h ew e a k s o l u t i o n so fe q u a t i o n sm a yb ei nt h e 。p o t e n t i a lw e l lw o nt h eb a s e so ft h e s e r e s e a r c h ，n o n e x i s t e n c eo ft h ew e a ks o l u t i o n sa r eo b t a i n e d ，i fn o n l i n e a r d a m p i n gt e r mm e e t st h eg i v e nc o n d i t i o n s ，t h ep r o b l e m ( 1 卜( 3 ) d o n th a v et h e w e a ks o l u t i o n s a tl a s tb yu s i n gp o t e n t i a lw e l lm e t h o dt h ei n v a r i a n ts e t so f s o l u t i o n sa r ed i s c o v e r e d k e y w o r d s ：w a v ee q u a t i o n s ；e x i s t e n c e ；p o t e n t i a lw e l l ；i n v a r i a n ts e t s 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用己 在文中指出，并与参考文献相对应。除文中己注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：刘撕 日期：) d 吖年月巧日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 口在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字) ：5 ) 椰导师( 签字) ：斤洛 日期： 口衫年占月，参日 2p d 阵占月，7 且 哈尔滨。i ：程大学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 概述 偏微分方程( p d e ) 学科( 从1 8 世纪算起) 有很长历史而且有一个活 跃的当代发展阶段；早期阶段( 分别集中注意于拉紧弦的振动和通过固体的 物流) 促进了数学分析的具有重大意义的发展，同时偏微分方程与各式各样 的数学、物流和技术问题的直接相关性在继续发展 作为偏微分方程的一个重要组成部分，非线性波动方程( 组) 涉及的大 量问题来自物理、力学、生物等领域的数学模型，具有强烈的实际背景同 时，在非线性波动方程( 组) 的理论研究中，也给数学家提出了许多挑战性 的问题上个世纪3 0 年代，在s o b o l e v 空间f l j 基础上建立的泛函分析的方法， 为处理非线性偏微分方程提供了一个有力的工具，使人们可以在更广泛的 函数类空间寻求问题的解因此，近几十年来，越来越多的数学家、物理学家 和相关的专业技术人员对非线性波动方程( 组) 的研究产生了浓厚的兴趣， 大量的研究成果不断的 2 1 - 6 1 发表这些研究成果涉及了许多重要的方面，这 些工作使得波动方程的一般理论得到极大的丰富 1 2 主要方法 1 2 1g a l e r k i n 方法 g a l e r k i n 方法是研究非线性波动方程解的存在性的一个有力工具，它不 仅提供了一种理论证明的手段，在实际计算中也是一种行之有效的方 法g a l e r k i n 方法的基本思想是先选取一个适当的基本空间以及该空间的一 个标准正交基 ( x ，州* o ，再证明所讨论的具体形如口j ( f ) 叶( 工) 的解基本 步骤是： 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 ( 1 ) 构造近似解 在一个适当的可分的空间中选取一组标准正交基，然后在有限个向量 张成的子空间中构造线性组合形式的近似解，利用常微分方程组局部解存 在性定理证明局部解存在 ( 2 ) 作先验估计 一般采用乘以近似解或其关于时间变量的某阶导数然后关于空间变量 在给定空间区域积分而获得先验估计，往往在非线性项可能为负数时结合 势井理论获得先验估计 ( 3 ) 取极限 利用泛函分析b a n a c h 空间内一个有界集合的弱紧性与弱唪紧性原理取 弱极限或弱奉极限 ( 4 ) 说明 说明所得到的解满足初边值条件 1 2 2 位势井理论 g a l e i k i n 方法在研究方程的整体解的存在性时，对近似解的先验估计往 往很困难的而位势井理论常常能起到弥补的作用，二者结合使用能有效的 处理波动方程解的存在性问题 位势井理论是1 9 6 8 年首先由s a t t i n g e r 为了解决不具有正定能量的双 曲方程整体解的存在性而引进的【2 】此后，位势井理论就成为研究非线性发 展方程的一个重要方法，被许多数学家用来研究各种非线性发展方程解的 整体存在性和不存在性其中，比较重要的工作有t s u t s u m i 于1 9 7 2 年对希尔 伯特空间中的半线性双曲与抛物方程的研究f 3 】，1 9 7 3 年对强非线性抛物方 程的研究；p a y n e 与s a t t i n g c r 于1 9 7 5 年对一般的二阶半线性双曲方程与抛 物方程的研究；l e v i n e 与1 9 8 7 年对具有非线性边界条件的发展方程的研究： n a k a o 于1 9 9 3 年对柯西问题的研究；他们将位势井理论在不同的领域里作 2 哈尔滨。i ：程大学硕十学位论文 了相应的推广和应用但是这些工作所引进的位势井方法所得到的结果也 基7 h 1 9 】本相同：即当“o ( 工) w 且0 e ( o ) o ，j ( u ) 0 v ( o ，t ) = v ( t ，t ) = o ，k ( o ，f ) = k ( z ，f ) ，t 0 v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，v t ( x ，o ) = 1 ，l ( x ) 在文中，作者令“。，( z ) = v o ( x ) ，u 。，( z ) = 材，( 石) ，通过一系列的变换将方程变化 为 甜盯一“盯一“删+ “脒= f ( u x ) ，工q ，t 0 “，( o ，f ) = u x ( z ，t ) = o ，“脒( o ，t ) = “w ( ，f ) = o ，f 0 u ( x ，o ) = u o ( x ) ，u t ( x ，0 ) = 甜l ( 工) ， 工q 4 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 并定义 j ( u ) = 专陋，0 ：+ f ( u x ) d x 地) = u x ：+ “f ( u x ) d x e ( f ) = 圭l 卜，i 巴+ 丢l k 。o 乙+ ，( u x ) d x 其中删：= 删：l ( q ，= 删2 + l l u ，1 1 2 从而得到了方程的近似解并在此基础上研 究了解的不存在性，得到了解的不变集合以及真空隔离集 文1 4 4 1 研究了一类非线性四阶波动方程 u 盯+ u x = t = c r ( u ，) ，+ ( 曲，x ( o ，1 ) ，t 0 u ( o ，f ) = u ( 1 ，f ) = 0 ，u ，( o ，f ) = u x ( 1 ，t ) = 0 u ( x ，0 ) = 缈( x ) ，u ，( x ，o ) = e ( x ) 的初边值问题在文中作者定义了如下位势井 k ( u ，) = 专j j u , 0 2 j ( u x , u x x ) = 却u x x i l 2 + f ( u x ) d x 形= “b 日；( q ) ，0 j ( 2 u ，“肛) d , o 0 5 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 u ( x ，0 ) = n o ( 工) ，u ，( 工，o ) = “l ( x ) u l 铀= o ，t 0 在这篇文献中，作者定义 m ) = 扣1 1 2 + 寿川p + l 地) - - i i v “| 1 2 _ 口： w = u h ：( q ) ，j 似) o ，似) o u ( x ，0 ) = u o ( 力，u f ( 五o ) = u l ( 功 u l = 0 f 0 初边值问题整体解的存在性，在文中作者定义了如下位势井 m ) = 圳1v “胁一击： m ) = 妒h i l 2 d x h 仨 w = “日j ( q ) ，( “) o ，j ( “) 1 ) u ( x ，o ) = 缈( ，) 的初值问题，非负古典解与p 解的整体存在性，不存在性与b l o w - - u p 首先， 利用归一化的高斯函数得到了一些新的解的非整体存在的充分条件，这些 条件对古典解与解是普通适用的；然后又讨论了某些非负整体解的存在 性此文不但得到了一些新的结果，而且还简化和统一了某些已知的结果，为 进一步研究提供了坚实的理论基础 在文献 2 0 】中作者对传统的位势井方法作了改进，引进了一族位势井， 它包含已知位势井作为特殊情形，并探讨了位势井族的性质及位势井的结 构，利用位势井族方法研究了半线性波动方程 甜f f a u = l u p - i “，x q ，t 0 u ( x ，o ) = u o ( 功，u ，( x ，0 ) = u l ( 功 u l 砌= 0 , t 0 q 为尺”中的有界域，当，l = l ，2 时，l p ；当刀3 时，l o u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，u ，( 工，o ) = u i ( z ) u ( x ，f ) = o ，x a q ，t 0 这里，qcr ”为有界域，p 满足条件： 当= 1 ，2 时，p 2 + 口 1 , q 1 定义1 1设qc 尺”，0 丁 o o ，1 p o o ，1 q ，则 口c 。，；p c q ，= “c x ，i l “”。q ，衍 o 。) ，且l l “8 。，r ；l ，。n ，= ( 虿i “i i ：，。q ，魂 i 哈尔滨1 ：群人学硕十学位论文 定义1 2设qc 尺”，0 t ，1 p ，则 r ( 。，丁；f ( q ) ) = “( x ，) l p 舳。s g u ；p ，i i “i l q ( f ：) 0 0 ) ，且i l “i 。 o , t ；l p ( f ) ) - e s s 。s ，u 。，p 。，l l 材o 。，。n ， 引理1 3 ( i ) l l v “i i l 2 ( q ) 为3 ( q ) 的等价模 ( i i ) 忪“l l l 2 ( q ) 为, h j ( n ) n 圩：( q ) 的等价模 引理1 4设qc c 2 ，h ) j 为问题缈+ 五彩= o ，功k = o 的特征函数系， 则 ( i ) b ( z ) j 构成r ( q ) 的一个正交函数系； ( i i ) h ( x ) 在h j ( q ) 中稠密； ( i i i ) 哆( x ) j 在h 2 ( q ) 中的闭线性扩张h 2 ( ) qr 、磁( q ) 引理1 5 设1 g ，k ( 石，研于口( q ) 弱收敛且岛( x ，f ) 专g ( x ，f ) a 】f r - 0 ，则岛( z ，f ) 于f ( q ) 弱收敛于g ( x ，) 引理1 6 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q 具有锥性质，群表示q 与r ”中一个 k 维平面的交集，1 k 胛，m 为正整数，_ ，为非负整数，1 p 佃，则 有下列嵌入关系： ( 1 ) 如果m p n ，且疗一，妒 k n ，贝l j 形 ( q ) cp ( q ) ，p n ( m 一1 ) p ，则 形帆p ( q ) cc j ，口( 一f 2 ) ，0 c r m 一一p n ( i i ) 假定n = ( 脚一1 ) p ，则 形。地p ( q ) cc j , a ( 五) ，0 口 1 若p = 1 ，刀= m 一1 ，则上式对口= l 也成立 引理1 7 ( h 。l d e r 不等式) 如果1 p ，g 0 ，b 0 为常数，u ( x ，f ) 是未知函数，下标x 和，分别表示对x 和f 求偏 导数，f ( s ) 表示给定的非线性函数 我们定义能量 其中 以及 井深 即) = 拉| 2 + 扣。| 1 2 + 上肌。边 f ( “) = r 厂( s ) 弧 地) = 弘。1 1 2 + 脚，胁 ，( “) = 口0 甜。0 2 + 材，厂( “，) 出 d = i n f ，( “) “e ，v 其中 1 = z ，月2 ( f 2 ) n h i j ( f 2 ) l i ( u ) = 0 ，肛。0 o ) 1 3 哈尔滨广程大学硕十学侮论文 在以下定理及引理中，我们假设f ( s ) 满足( 日) f ( i ) l ( 日) ( i i ) l l ( i i i ) l 厂( s ) c ( 尺) ； 当j 0 时，( j ) 0 ，当是j o ； 当j r ，口 o ，g l 时，i f ( s ) i 口l 岁f 9 ； 当s r ，p 耐，s f ( s ) ( p + 1 ) f ( j ) ，f ( s ) = j ：f ( r ) a r 一 2 2 位势井的性质 引理2 1假设f ( s ) 满足( h ) ，那么 ( i ) n se r 时，i f ( s ) 俐j 一其中彳2 雨a ； ( i i )f ( s ) 在r 上是增函数； ( i i i )当s 0 时，f ( s ) 0 ；当s 0 时，f ( s ) 0 可知当j 0 时，f ( s ) 0 ，当j 0 时，f ( s ) 0 知 瓦d 妒( a ) = 一万1 ( 砌，2 ( 砌，) 一“，f ( 2 虬) 边 = 一专勉，( 2 u x 八饥) 一f ( k u ，) 胁 0 因此妒( 旯) 在( 0 ，o o ) 是增函数 ( 1 1 ) 由( h ) 甲阴( 1 ) 和( i i ) 知，当兄- 9 0 时，有 o 缈( 五) = 一万1 量砌j f ( a 甜，) 出 万a 肛，r 出 = 口刀一瞄一。 另一方面，由( 2 5 ) g n m ) = 一嘉饥f ( 2 出 亟型12uxl川出22 i - - x i b = ( p + 1 ) b 2 矿1 肛，r 出 其中 q 丑= x q l “。( x ) 一去 由于 ，k r l 出一i | u 刈 川p + l ，五一o o ( 2 - 6 ) 故有 受伊( 力) = 1 6 哈尔滨一i ：群大学硕+ 学位论文 引理2 3 假设厂( s ) 满足( h ) 如果甜( x ) h2 ( q ) n 日：( q ) ，i l u 。l l 0 以及 “，( x ) o ，贝u 有 ( i ) l m i r a ( 砌) _ o , z l i m j ( a u ) = 砌； ( i i ) 在区间0 元 中存在唯一的刀= z ( “) 便得 丢叱彳= o ( i i i ) d ( i u ) 在0 旯上递增，在咒 0 , 0 名 z ；l ( a u ) o ，刀 五 0 因此j ( 2 u ) 在0 五z 上递增，在刀兄 0 0 上递减，在允= 刀取最大值； 由( i i i ) 以及 可以得到( i v ) m 炉矿1 丢，( 砌) 引理2 4 假设厂( j ) 满足( h ) 如果“( x ) h 2 ( q ) 厂、日：( q ) _ ro 忱。i i 0 其中： - ( 寿rc 一劬s 删u p 。q ，玎l j u jllq+,lu “e 0 ( q ) n h l ( q ) ih 0 证明 如果0 陋。0 r o ，则有 一u 。f ( u x ) d x 0 a c q “忆旷 = a c q , “k l ik i l 2 4 口敝0 2 引理2 5 假设厂( s ) 满足( h ) 如果“( x ) h 2 ( q ) n 日：( q ) 且，( “) 证明 首先，( 甜) ，o 口i i 甜。0 2 ，0 且 m ) = 争。p 脚，) 出 弘| | 2 + 击弦帆) 出 = c 三一六冲。| | 2 + 六地， = 然2 ( p 1 j 2 = 一 + ) ”圳 丽( p - 1 ) a y 22 ( p + 1 ) ” ( i i ) 由d 的定义，存在一个“。( x ) n ，门= 1 , 2 ，满足下式 d d ( u 。) d + 二，以= 1 , 2 ， ( 2 7 ) 根据引理2 6 且 m 船丽( p - 面1 ) a 1 2 + 。南m 。) ：延尝叫1 2 2 (p + 1 ) ”一” 可得 2 0 哈尔滨t 程大学硕十字1 ： 7 ：论文 2 l u = 1 1 2 黜去) 根据式( 2 7 ) ，存在“n 且在数列 “。) 中存在一个子数列 甜， ，使得当1 ，专o o 时有 在研( q ) 厂、h 1 ( q ) 中“。岭甜为弱收敛； 在口“( q ) 中甜。一“。为强收敛 因此，若 o 鼠：o r ( z ) o ) u ( o ) v = “h 2 ( q ) nh ：( q ) i ，( “) o ，( “) d ) v = 如h 2 ( q ) r 、日j ( q ) l ， ) 2 2 本章小结 本章首先给出了所研究的具阻尼的波动方程非线性项的假设条件，在 所给条件下给出了能量函数及位势井的定义，通过细致研究所定义的，位势 井，得到了位势井的深度，并且针对所定义的位势井的性质作了研究 哈尔滨i ：稃人学硕十学位论文 第3 章整体解的存在性 3 1 整体弱解的定义 定义3 1 材= u ( x ，f ) 称为问题( 2 1 卜( 2 3 ) 于c l x o ，t ) 上的弱解，若 u r ( o ，t ；h 2 ( q ) n 纠( q ) ) ，u ，r ( o ，丁；r ( q ) ) ，并满足下列条件： ( i ) ( 甜，k ) + 2 6 ( 蚝，屹) + a i 。，) d f + f ( f ( u d ，k ) d f = ( 甜。，k ) + 2 b ( u l 。( o ) ，k ) ，v w h 2 ( q ) r 、h ：( q ) ； ( i i ) u ( x ，o ) = 甜o ( x ) 在h 2 ( f 1 ) n 日：( q ) 中； ( i i i ) e ( t ) + 2 b 10 u x r8 2 d 丁e ( o ) ，v t ( o 丁) 3 2 整体解的存在定理 定理3 2 假设厂( s ) 满足( h ) ，u o ( x ) h 2 ( q ) n 础( q ) ，u l ( x ) r ( q ) 假 设e ( o ) o 或者i t o x x0 = o 则问题( 2 - 1 h 2 3 ) 存在一个整体弱 解u r ( o ，t ；h 2 ( q ) n 剜( q ) ) ，u t ( f ) r ( o ，t ；l 2 ( q ) ) 且“( f ) w ，0 t o o 证明 假设 u ( x ) ) 是h 2 ( n ) nh 1 ( n ) 内的基础函数系，构造问题 ( 2 1 ) - - - ( 2 3 ) 的近似解 满足 u m ( x ，f ) = z g j 。( ，) _ ( x ) ，朋= 1 2 哈尔滨1 i 程人学硕十学位论文 + 2 扶以卜烈s 誊爿m “八九= ( 3 - 1 ) = l ，z ， u m ( x ，o ) = 口，。_ ( x ) 专甜。( x ) 在h 2 ( q ) nh j ( q ) 内 ( 3 - 2 ) u m t ( x ，o ) = b j , w j ( x ) 一扰l ( x ) 在三2 ( q ) 内 j = l ( 3 3 ) 用g 厶( f ) 乘以式( 3 1 ) 并且对s 求和得 瓦d ( 扣甜。，0 2 + 2 6 刚“。，1 1 2 d f + 詈峪一1 1 2 + 上f ( “脚) 出) = o 对，积分，可得 e ( t ) + 2 b i l i u m x r0 2d r = 玩( o ) m = l 2 0 t 佃 其中 k ( f ) ：劲0 2 + ，( 甜。) ( 3 - 4 ) 既( o ) ：要i p 删( o ) 0 2 + ( 甜。( o ) ) 当m 专时 瓯( 0 ) _ e ( 0 ) d 故当m 充分大时 e ( 0 ) d 即可以得到 a ( u 。) d 从e ( 0 ) 0 ，可得 “o ( x ) w 通过式( 3 2 ) 和式( 3 3 ) n - - i 得，当m 足够大时，有e 。( o ) m o ，使得 u ，( ，o ) o w 即 j ( u 。( ，。) ) = d ，i ( u 。( ) ) = 0 ，i l u 。忙0 通过式( 3 4 ) n - - j 矢1 ：i e 。( o ) = 昙i 缸。，( o ) 0 2 + 厂( “。( o ) ) d 显然，不存在气，使得j ( u 。( ，。) ) = d ，若i ( u ( t 。) ) = o ，且i u 0 x x 忙0 ，那么 甜。( t o ) n 由n 的定义及下确界的定义可得 j ( u ( t o ) ) d 这与能量恒等式矛盾，故假设不成立，即当m 足够大且0 s ， ，对一切 t ，u m ( f ) w 因此通过式( 3 4 ) 和 ，( 甜。) 争一| 1 2 + 而i “。( “。) 出 = 瓦( p - 面1 ) a 刚 2 + 六地。) 涨1 2 可得 ， 三i l u o , 1 1 2 + 丽( p - 1 ) a 雌1 1 2 d ，o t o o ( 3 - 5 ) 当m 足够大时，由式( 3 5 ) 得到 叫1 2 器d ，o t o o ( 3 6 ) 哈尔滨- 1 ：程人学硕十学位论文 北2 昙， o o 小c 札1 1 2 口粼d ，0 t 0 强收敛： u w 专u ，在r ( 0 ，o o ；r ( q ) ) 弱：i c 收敛： f ( u 惯) 专z 在v o ( o ，o 。；( q ) ) 内弱刈殳敛 在( 3 - 1 ) 式两边对f 积分可得 ( 材。，) + 2 6 ( “。，w s x ) + 口f ，。，y 。) d f + f 咿( 甜槲) ，坛) d r = ( u m ，( o ) ，比) + 2 6 ( “袱( o ) ，) 令m = v o o ，固定j 可得 ( 甜，w ，) + 2 6 ( 虬，w 。) + 口上 搿，) 如+ c u ( 甜。) ，k ) d f = ( “i ，w 。) 1 - 2 b ( u l ，( o ) ，k ) 显然得到了定义3 1 的条件( i ) 另一方面，由式( 3 2 ) 可知在h 2 ( q ) n 础( q ) 哈力；浜1 栏大学硕十宁位论文 内有u ( x ，o ) = “o ( x ) 接下来证明“( f ) 满足定义3 1 的条件( i i i ) 首先做一个与引理2 7 的证明类似的讨论，对每一个固定的f o 有 ! i m 。l f 。) 出2 ：a f ( g ) a x 另一方面，由式( 3 2 ) 和( 3 3 ) g 以看出：当1 ，专o o ，有 e ，( o ) 专e ( o ) 因此根据式( 3 4 ) 可得 兰f f 材，f 1 2 + 丢i b 。1 1 2 1 i m i n f i zu u ，, 1 1 2 + l i m ，i 。n f i zi l u 。, f f 2 1 1 世笋( 扣w1 1 2 + 如u v x x | 1 2 ) v ，”，” ” = l i 罂粤f ( e ，( o ) 一f ( “。) a x 一2 6 上怯。，0 2 d f )y 2砌” = l i m ( e ，( o ) 一f ( 甜。) d x 一2 bil u 盯l | 2 d v - ，o o f ) 2 ” = ，1 + i m 。( e ，( o ) 一，( 甜。) d x 一2 biu 。, 1 1 2 d f )v 2 ” = e ( o ) 一，( 材；) 出一2 6 伽胛d f 即证明了定义3 1 d o ( i i i ) 因此甜( f ) 是i h n ( 2 1 ) 一( 2 3 ) 在q 0 ，o o ) 内的一个 整体弱解，且“w ，0 f o o ： 3 3 整体解的性质 定理3 3 假设厂( s ) 满足( h ) ， t o ( x ) h 2 ( f onh j ( q ) ，甜，( x ) r ( q ) 假 设e ( o ) d 并且。j l r o 则问题( 2 1 卜 2 3 ) 存在一个整体弱解 z ，r ( o ，t ；h 2 ( q ) n 硎( q ) ) ，u t ( f ) r ( o ，r ；( q ) ) 满足 哈尔滨j j 程人学硕十学位论文 n 1 2 筹聃i l u , i z 2 e ( 0 ) 证明 首先由0 d o x x | | o 或l l u 。i i - - o ，则通过定 理3 2 可知问题( 2 1 卜( 2 3 ) 存在一个整体弱解u p ( o ，t ；h 2 ( q ) n h ：( q ) ) 并口u t ( f ) r ( o ，t ；l 2 ( q ) ) ，且u ( t ) w 贝0 显然可得 扣卜丽p - 1h 1 2 + 击饰) l l u1 1 2 + ，( 甜) e ( o ) h 1 2 黜她 f d t 2 2 e ( 0 ) 3 4 整体解的不存在性 定理3 4 假设( j ) 满足( 日) ，u o ( x ) h 2 ( q ) n 日j ( q ) ，“。 ) 三2 ( q ) 假 设e ( 0 ) d ，i ( u o ) 0 且2 6 满足( 1 4 0 ) ： 0 ) 0 ，碍肚即m 则问题( 2 1 ) - - - ( 2 3 ) 不存在任何整体弱解 证明 假设材( ，) 是问题( 2 1 卜( 2 3 ) 满足e ( o ) d ，i ( u 。) 0 的任意弱解， 丁是“( f ) 的存在时间，下面我们只需证明t o o b p 一 “ 扩 狄 h 哈尔滨l ：程大学硕十学位论文 假设t o o 不成立，则t = 0 0 令m ( ，) = 2 ，则可以得到 m ( t ) = 2 ( u ，“) ， 必( ，) = 2 1 2 + 2 ( ，“) = 2 1 1 u 川2 + 2 i ( u ) + 4 b ( u 删，甜) ( 3 - 1 0 ) = 2 1 , 1 1 2 + 2 ，( 甜) + 4 6 ( 坼，“。) 由能量不等式 e ( f ) = i l l w + 争。1 1 2 + f ( “，协 e ( f ) + 2 6 上i i “。0 2 d _ e ( o ) ，v t ( 0 ，丁) 以及s f ( s ) ( p + 1 ) f ( s ) 可得 扣1 1 2 + 丽( p - 面1 ) o rm 1 2 + 击坳) 鲫。) 则可以得到 ( p + 1 ) i l 坼1 1 2 + ( p 一1 ) a l i u 肛1 2 + 2 ，( 甜) 2 ( p + 1 ) e ( o ) 带入方程( 3 一l o ) 中，即为 庇o ) ( p + 3 ) 0 “，0 2 + 4 b ( u ，z ，。) + ( p 一1 ) 口l l u 崩0 2 2 ( p - 1 ) e ( 0 ) 下面分三种情况讨论： ( i ) 若e ( 0 ) o ，则由条件( 风) 知 2 b p 一1 、 故存在一个s ，使得0 g p 一1 ，且 ( 2 b ) 2 a ( p 1 ) ( p 一1 一f ) 则 2 9 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 庸( ，) ( 4 + 占) | i “，1 2 + ( p 一1 一s ) 0 “川2 + 4 6 ( ，“。) + ( p 一1 ) a “。1 1 2 2 ( p 一1 ) e ( 0 ) 由柯西不等式可得： 4 6 ( 甜，甜。) ( p - l - 川甜，0 2 + j ( 一2 b ) 一2f i i 甜。0 2 ( p 一1 一占) | i 8 2 + ( p 一1 ) a 1 0 u 。0 2 显然可得 必( ，) ( 4 + 占) l i 1 1 2 2 ( p 一1 ) e ( o ) ( i i ) 若e ( 0 ) = 0 ，则由条件( 风) 知 2 6 p 一1 故存在一个s ，使得0 g p 一1 ，且 则 ( 2 6 ) 2 a ( p 一1 一g ) 2 必o ) ( 4 + 占) i i 甜，0 2 + ( p 一1 一c ) u ，0 2 + 4 b ( u ，“盯) + ( p 一1 一e ) a i i u 。0 2 + e a h u 。卜2 ( p o e ( o ) 由柯西不等式可得： 4 6 ( 甜，“。) ( p - 1 - 8 ) 8 甜川2 + 二鬲( 2 b ) 2 i l “。i | 2 ( p 一1 一占) | 0 2 + ( p 一1 一s ) 口i p 材1 1 2 显然可以得到 必( ，) ( 4 + s ) j 2 + 锨敝8 2 ( i i i ) 若0 e ( 0 ) d ，则由条件( 矾) 知 0 2 b ( p 一1 ) 3 0 哈尔滨t 程大学硕+ 学何论文 故存在一个g ，使得0 s ( 4 圳玎+ ( p - l - 帆1 1 2 + 4 b ( 材。m ( p 制一鲁圳蚶 州p _ 1 ) 争。| 1 2 + 锨叫j 2 _ 2 ( 川坝。) 由不变集合可得，甜v ，即i ( u ) 厂o d 盛= 踹2 m - 1 ) 。降( p 叫鲁芬 = 2 ( p + 1 ) e ( 0 ) m - 1 ) 崩阻川坝。) 由柯西不等式可得： 4 坳班( p - l - 6 川州| 2 + 兰肛捌2 o ) m ( f ) 毖( ，) + 等( 必( r ) ) 2 ( 4 + s ) ( 2 慨0 2 一( “，坼) 2 ) 0 ( m - ( r = 萨- y ，【，) ( m ( ，) 必( f ) + ( 1 + y ) f l 2 ( f ) ) 0 由于必( ，) 8 0 对r 0 m ( ，) m ( t o ) ( t t o ) + m ( t o ) m ( ) 0 ，m ( t i ) 0 3 2 哈尔滨t 程大学硕十字何论文 l i m f 吖( f ) = 0 t 显然 l i m f ( t ) = 佃 f _ e 这与t = 佃矛盾。故问题不存在整体解 3 5 本章小结 本章首先给出了本文弱解的定义，然后在初始条件下利用位势井的方 法，结合g a l e r k i n 方法证明了i 口- j n ( 2 1 ) - - - ( 2 3 ) 整体解的存在性定理，并对整 体弱解的性质做了讨论在此基础上，本章继续研究了问题( 2 一1 ) 一2 - 3 ) 整体 解的不存在性，在研究整体解的不存在性的过程中，运用了与以前不同的方 法，在假设中给出了强阻尼应该满足的条件，使整体解的不存在性的证明简 化 哈尔滨t