（计算数学专业论文）基于重新参数化的方法构造可展和近似可展曲面.pdf

摘要 可展曲面可以完全地平铺到一个平面上而不发生任何的伸缩 和变形，由于这个性质它在计算机辅助设计和制造中有着广泛的应 用。到目前为止设计可展曲面的方法有a u m a n n 方法和对偶方法， 它们都是通过调整曲面的控制顶点来构造可展曲面。 本文主要研究了如何用固定边界的直纹面构造可展和近似可 展曲面。文章提出了通过重新参数化边界曲线构造可展曲面以及近 似可展曲面的方法。与a u m a n n 方法和对偶方法相比本方法在不 改变边界曲线形状的情况下仍可以构造可展的直纹面。文章讨论二 次和三次边界曲线的直纹面可以重新参数化成可展曲面的各种条 件，以及重新参数化函数的构造方法。特别地，对一类二次边界曲 线的直纹面给出了可以重新参数化成可展曲面的充分必要条件。 对于无法重新参数化成可展曲面的直纹面，本文采用线性有理 函数作为重新参数化函数来构造近似可展曲面。本文还给出了衡量 其可展程度的目标函数，并用牛顿迭代法求出使目标函数极小的线 性有理函数。最后对方法进行了改进，在某些情况下引入了分段的 线性有理函数，使得直纹面的可展程度有了进一步提高。 关键词：直纹面，重新参数化，可展曲面，近似可展曲面。 1 l a b s t r a c t d e v e l o p a b l es u r f a c e sa r ew i d e l yu s e di nc o m p u t e ra i d e dd e s i g na n dm a n u f a c t u r i n gb e c a u s et h e yc a nb ef a b r i c a t e db yb e n d i n gaf l a ts h e e tw i t h o u t s t r e t c h i n g a n d t e a r i n g t h e r ea r et w oc o m m o n m e t h o d st od e s i g n d e v e l o p a b l e s u r f a c e sw h i c ha r ea u m a n nm e t h o da n dd u a lm e t h o d t h e t w om e t h o d sc o n s t r u c td e v e l o p a b l es u r f a c e sb ya d j u s t i n gc o n t r o lp o i n t so fs u r f a c e s t h i sp a p e r p r o p o s e san e wm e t h o do fc o n s t r u c t i n gd e v e l o p a b l es u r f a c e s a n da p p r o x i m a t e l yd e v e l o p a b l es u r f a c e s b yr e p a r a m e t r i z i n gt h eb o u n d a r y c u r v e so fg i v e nr u l e ds u r f a c e s c o m p a r e dw i t ha u m a n nm e t h o da n dd u a l m e t h o d ，t h i sm e t h o dc a nc o n s t r u c td e v e l o p a b l es u r f a c e sw i t h o u tc h a n g i n g t h es h a p eo fb o u n d a r yc u r v e s f o rr u l e ds u r f a c e sw i t hq u a d r a t i ca n dc u b i c b o u n d a r yc u r v e s ，t h er e p a r a m e t r i z i n gc o n d i t i o n sa n dp r o c e s s e sa r es t u d i e di n 出i sp a p e r e s p e c i a l l yf o rat y p eo fr u l e ds u r f a c e sw i t hq u a d r a t i cb o u n d a r y c u r v e s ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fr e p a r a m e t r i z a t i o ni s p r e s e n t e d t h e nw ed e f i n eao b j e c tf u n c t i o nt om e a s u r eh o wf a rar u l e ds u r f a c ei s f r o md e v e l o p a b l e t h eo b j e c tf u n c t i o ni sm i n i m i z e df o rq u a d r a t i ca n dc u b i c b o u n d a r yr u l e ds u r f a c e sb yr e p a r a m e t r i z i n gw i t hal i n e a rr a t i o n a lf u n c t i o n s u c ht h a ta p p r o x i m a t e d e v e l o p a b l es u r f a c e sa r ec o n s t r u c t e d t h em i n i m i z a - t i o n p r o b l e mi ss o l v e dw i t hn e w t o n i a ni t e r a t i v em e t h o d f i n a l l y ，w ei m p r o v et h em e t h o db yr e p a r a m e t r i z i n gb o u n d a r yc u r v e sw i t hp i e c e w i s el i n e a r r a t i o n a lf u n c t i o ni ns o m ec a s e s ，w h i c hm a k e sar u l e ds u r f a c et ob eam o r e a p p r o x i m a t ed e v e l o p a b l eo n e k e y w o r d s ：r u l e ds u r f a c e s ，r e p a r a r n e t r i z a t i o n ，d e v e l o p a b l es u r f a c e s ，a p p r o x i m a t ed e v e l o p a b l es u r f a c e s i u 致谢 在导师陈发来教授和邓建松副教授的指导下，我从2 0 0 2 年开 始了计算机辅助几何设计的学习和研究。在这三年的学习、工作中， 陈老师渊博的知识，严谨的治学态度，谦逊的为人；邓老师敏锐的 洞察力和平易近人的作风都给我留下了非常深刻的印象。本文正是 在他们悉心指导下完成的，从论文的选题，到得出初步结果，以至 最后成文都凝聚了他们大量的心血。作者谨向他们致以崇高的敬意 和衷心的感谢! 在此，我还要感谢冯玉瑜教授，他教授的专业知识使我受益匪 浅：感谢师兄弟杨周旺，李新，李亮等，与他们的讨论使我的论文 能够顺利完成。另外，应用几何与科学计算实验室的所有成员也给 予了我很多的帮助。同时，数学系的系领导和老师在日常生活中也 给我提供了很多方便，在此并表示感谢。 一 最后，我要向我的父母和家人表示深深的感谢，感谢他们三年 来对我的支持和鼓励，使我能够安心学习并顺利完成学业。 第一章综述 1 1 研究背景与动机 可展曲面在计算机辅助设计和制造中有着广泛的应用，因为它可以完全 地平铺到一个平面上而不发生任何的伸缩和破裂。由于它的这个性质，可展 曲面很适合用来对由金属片、布料、皮革等柔软材料构成的产品进行造型。 在大到轮船、汽车和飞机外壳，小到衣服、鞋子的设计上都可以应用到可展 曲面。文献 7 1 、f 1 5 、【2 4 、 2 8 和 2 9 中都有可展曲面在工业设计中的具 体应用。 微分几何学中已经证明可展曲面实际上是类特殊的直纹面，因此在计 算机辅助设计和制造中都是采用直纹面来构造可展曲面。直纹面是由两条边 界曲线生成的，如果改变边界曲线的形状，那么直纹面的形状也就随着发生 了变化。在计算机辅助设计和制造中，边界曲线通常采用的是b 6 z i e r 表示， 曲线的形状可以通过调整控制顶点来改变。那么通过改变边界曲线的控制顶 点，就可以相应地调整直纹面的形状，以达到设计可展曲面的目的。但是在 实际应用中通常会存在很多对边界曲线的限制条件，比如边界盐线的弯曲程 度，曲线的长度等等。这些限制条件使得边界曲线的控制顶点不能自由地改 变，这通常会造成设计出的直纹面不是可展的。 鉴于上述情况，在直纹面的两条边界曲线为固定的情况下，寻求新的方 法来调整直纹面的形状使其成为可展曲面就显得是一个很有意义的研究课 题。针对这个问题本文提出了重新参数化边界曲线的方法，应用这种方法来 构造可展的直纹面以及近似可展的直纹面时取得了不错的结果。 1 2可展曲面的基本概念和相关性质 可展曲面在微分几何学中是最简单的曲面类型之一，但是它有许多有趣 的性质。下面给出了可展曲面的基本概念和相关性质，在几何建模的时候会 用到这些内容。 定义1 2 1 假定s ( u ， ) 是r 3 中的一个参数曲面，并且足够光滑。我们称 k = 号器黯掣 1 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一章综述1 2 可展曲面的基本概念和相关性质 为曲面s 的高斯曲率，其中 n = 意 定义1 2 2 假定表达式，( z ，y ，z ) = 0 表示r 3 中的一个隐式曲面，令f 表 示列向量( 厶，厶，厶) t ，a 表示j 的二阶偏导数所构成的3 3 矩阵。通过 下面的等式定义a ，b ，c ， l a 。1 3 fj ：。+ b a + 拼 1f t0l 1 那么隐式曲面的高斯曲率阻文献心为 “2 玎罚砰 定理1 2 3 任意一张曲面是可展曲面的充分必要条件是，曲面上的高斯曲率 处处为零。 在判断曲面可展性的时候，直观的办法就是计算出血面上每个点的高斯 曲率，然后用定理1 2 3 来判断曲面是否为可展曲面。特别地，我们可以用 下面的推论来判断隐式曲面是否可展。 推论1 2 4 隐式曲面，( 。，y ，z ) = 0 是可展曲面的充分必要条件是行列式 可以被f 整除，其中 ，甜， 铲， o 。一如o 。一如2 在了解了可展曲面的定义以及任一空间曲面是否为可展曲面的充分必 要条件以后，我们自然会考虑如何来构造可展曲面，阱满足实际应用中的需 要。下面介绍的两个关于可展曲面的定理在理论上给出了两种构造可展曲面 的方法。 首先我们已知可展曲面是一类特殊的直纹面，但是直纹面未必就是可展 曲面。第一个定理给出了直纹面是可展曲面的充分必要条件。在给出这个定 理前，先给出个直纹面定义。 厶厶丘0 z g = 厶矗丘厶 可 y 丘矗正矗 z z z 厶矗厶厶 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第一章综述5 1 3c a d 和c a m 中可展曲面的构造 定义1 2 5 在r 3 空间中，给定两个定义成向量函数的参数曲线u ( t ) 和 v f t l ，曲面 p ( 叫，t ) = ( 1 一叫) u 0 ) + w v ( t )( 11 ) 叫做直纹面。其中，参数曲线u 和v 称为直纹面的边界曲线，叫和f 是 0 ，1 区间上的自由参数。线段l t ( 训) = ( 1 一叫) u ( t ) 十w v ( t ) 叫做直纹面的一条直 纹线。 定理1 2 6 直纹面p ( w ，t ) = ( 1 一w ) u ( t ) + w v ( t ) 是可展曲面的充分必要条 件是 u 俅) v 协) - ( u ( t ) 一v ( t ) ) = o ，v t ( 0 ，1 ( 12 ) 定理1 2 7 对于可展的直纹面，位于同一条直纹线上的点的切平面都是相 同。 因此，可展的直纹面是某个单参数平面族的包络。这里的包络是指一张 曲面，它和平面族的每个平面都相切。由此想到是不是每个单参数平面族的 包络都是可展曲面昵? 第二个定理给出了肯定的答案。 定理1 2 8 给定一个单参数平面族a ( w ) x + 6 ( 训) g + c ( 叫) z = d ( 训) ，它的包 络是可展曲面。 可展曲面包括三种基本形式，分别是柱面，锥面和切向曲面，一般的可 展曲面可以是三者中的一个或者是这三个的组合。下面的定义给出了，可展 曲面三种基本形式的数学表示。 定义1 2 9 直纹面p ( w ，t ) = ( 1 一w ) u ( t ) + w v ( t ) = u ( t ) + w r ( t ) ，其中u 叫 做准线，r = v u 。 * u ( t ) 是常数函数，曲面p 为锥面。 * r f t ) 是常数函数，曲面p 为柱面。 r “1 = u f t ) ，曲面p 为切向曲面。 1 3c a d 和c a m 中可展曲面的构造 目前，大多数c a d 和c a m 系统都用自由参数曲线和曲面进行几何造 型。通常的做法是借助b 6 z i e r 基函数以及非均匀有理b 样条( n u r b ) 来 2 0 0 5 芷 第一章 中国科学技术大学硕士学位论文第4 页 综述 5 1 3c a d 和c a m 中可展曲面的构造 进行曲线和曲面的造型。到目前为止，人们已经想到很多方法来构造和修改 曲线和曲面的形状，但是通常情况下由这些方法构造出的自由参数曲面是不 可展的。因此我们需要考虑如何基于自由参数曲面造型的方法来构造可展曲 面。现在主要有两种方法来都构造可展曲面，第一种方法是用次数为( 1 ，n ) 的张量积曲面来构造可展曲面，通过解关于曲面控制顶点的一个非线性方程 组使得曲面可展；第二种方法是将可展曲面看作一个单参数平面族的包络， 这样就可以把可展曲面和对偶射影空间中的曲线对应起来，通过研究对偶空 间中的曲线来设计可展曲面。 1 3 1a u m a n n 方法 从二十世纪七十年代起，人们就已经将目光投到c a d 和c a m 系统中 可展曲面的设计上了。最先由n o l a n 在文献2 3 1 中提出用两条b 6 z i e r 边界 曲线生成的直纹面来表示可展陆面。在1 9 9 1 年，a u m a n n 在文献1 1 中通 过严格的分析给出了两条次数为m 次的边界曲线生成的直纹面是可展曲面 的条件，其中两条边界曲线被限制在两个平行平面上，并且两条边界曲线在 z 一平面的投影是矩形。两年以后，f r e y 和b i n d s c h a d l e r 在a u m a n n 工作 的基础上，在文献f 1 2 1 中推广了边界曲线的次数。 1 9 9 8 年，c h u 和c h a n g 改进了a u m a n n 的方法，在文献8 1 中给出了 直纹面可展性的几何解释。通过使用d ec a s t e l j a u 算法将直纹面可展的非线 性条件变成关于边界曲线控制顶点的方程组。这个方程组为我们设计可展曲 面片提供了有用的参数并且简化了它的求解过程，这些使得我们可以推断可 展曲面片的重要性质。2 0 0 2 年，c h u 和s 6 q u i n 在文献9 1 中给出了边界曲 线是2 次和3 次b 4 z i e r 曲线时，直纹面可展的充要条件，即边界曲线控制 顶点满足的方程组。c h u 和s d q u i n 还在这个方程组的基础上讨论了可展曲 面片边界曲线的自由度，得到了如下的结论：设可展曲面片的一条边界曲线 a 的次数为n ，另外一条边界曲线b 的次数为m 。那么当边界曲线a 的控 制顶点选定的时候，边界曲线b 的控制顶点作为三维空间中的点，它的自 由度为5 + ( m 一佗) 。从这个结论我们可以看出来，当边界曲线a 和b 的 次数相同时，无论它们的次数有多高，只要边界瞌线a 选定，那么边界曲线 b 能提供的自由度只有5 。要想提高b 6 z i e r 曲面片的自由度只能提高边界 曲线b 的次数，并让它超过边界曲线a 的次数。然而，边界曲线次数的提 高势必给可展条件的求解带来困难。因此在实际设计过程中，边界曲线的次 2 0 0 5 亟 第一章综述 中国科学技术大学硕士学位论文第5 页 1 3c a d 和c a m 中可展曲面的构造 数并不取得很高，通常为二次和三次b 6 z i e r 曲线。c h u 和s 6 q u i n 还给出了 封闭形式解，并用它来作为设计二次和三次可展曲面片的方法。在文献f 3 j 中，a u m a n n 同样基于d ec a s t e l j a u 算法，给出了一个简单有效的算法来构 造任意次数的b 6 z i e r 可展曲面。 1 9 9 2 年，l a n g 和r 5 s c h e l 在文献2 1 中研究了有理( 1 ，n ) 次b 6 z i e r 曲 面片。他们给出了刻画可展有理b 6 z i e r 曲面片的控制网和权值的必要条件。 然而由于可展条件的复杂性，使得在计算机辅助设计和制造中构造可展的有 理b 6 z i e r 曲面仍然很困难。 可展b 样条曲面在计算机辅助设计和制造中要比可展b 6 z i e r 曲面应用 的更广泛。1 9 9 8 年，m a e k a w a 和c h a l f a n t 在a u m a n n 以及l a n g 和r s s c h e l 工作的基础上构造了可展的b 样条曲面。在文献f 2 2 中他们将多个m 次的 可展b 6 z i e r 曲面f 两条边界曲线都是m 次的) 沿着它们直纹边界拼接，并 且要求达到达到c 2 连续。这样多个可展b 6 z i e r 曲面就表示成为一个单张 的b 样条曲面，但是b 样条曲面的两条边界曲线仍然被限制在两个平行平 面e 。 1 3 1 1可展b 6 z i e r 曲面的基础 可展曲面最初的自由形式表示是基于b 6 z i e r 曲面和直纹面。假设直纹 面的表示为 r ( u ，”) = ( 1 一u ) a ( u ) + u s ( v ) ，让， 0 ，1 ( 1 3 ) 其中边界曲线a 和b 分别是次数为m 和n 的b 6 z i e r 曲线。 本质上，可展曲面是一个将两条边界曲线上对应的参数点用直线段连接 而成的直纹面。通常情况下，两条边界曲线上对应点a ( 口) 和b ( u ) 的切线 并不位于同一个平面内。根据定理1 2 , 6 ，直纹面r ( 乱，u ) 是可展曲面当且仅 当每条直纹线上全部点的切平面是相同的。因为 = ”o 直纹上的任意点 在“方向上的偏导数r 毛( ， o ) = b ( v 。) 一a ( v o ) ，在u 方向上的偏导数为 r 。( ，咖) = ( 1 一u ) a ( 啪) + u b ( v o ) 。而 = 直纹上的任意一点的切平面 为向量f k ( 扎，u o ) 和i k ( “， o ) 所确定的平面。所以由式( 13 ) 所确定的曲面 可展的充分必要条件为对任意的o f 0 ，1 1 由向量a ( ) 一b ( u ) 和a ( u ) 确 定的平面和由向量a ( ) 一b ( ) 和b ( ) 确定的平面是同一平面。这个条件 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文 第6 页 第一章综述5 1 3 c a d 和c a m 中可展曲面的构造 等价于 ( a ( ) 一b ( u ) ) - a ( ) b ) = 0 ，v v 0 1 】( 1 4 ) 换句话说，如果选取适当的a 和b ，使得对于每个u 两条边界曲线的切线 和对应的直纹都保持共面的话，这个曲面就可展。 在文献中，a u m a n n 提出了插值可展曲面片的概念。设曲线a 为m 次b 6 z i e r 曲线， v 0 ，1 其中a ，为曲线a 的控制顶点；曲线b 为n 次b 6 z i e r 曲线 b ( w ) = b ；研( ) ，” o ，1 i = o 其中b 。为曲线b 的控制顶点。而且a o = ( 茁1 1 ，c 。，。i ) ，a 。= ( x l ，c 。，z 2 ) ，b o = ( z i ，勺，g ) ，b 。= ( z j ，c 。，可2 ) ，曲线a 和b 分别位于平面扩= c 。和护= c ， 上。那么我们称可展曲面片a ( u ，v ) = ( 1 一u ) a ( u ) - i - u b ( v ) 为( m ，咒) 次插值 可展曲面片或者i d p a t c h 。从这个定义我们可以看出插值可展曲面片和前面 介绍的直纹面的定义是等价的。如果插值可展曲面片r ( n ，”) 不含有奇点， 那么称其为可接受的。 a u m a n n 研究了构造( 3 ，4 ) 次插值可展曲面的方法，在三次曲线a 的 控制顶点巩和b o 与b 4 给定的情况下，通过下蘧的推导给出四次曲线b 的控制顶点所满足的条件。由式( 1 4 ) 以及曲线a 所在平面和曲线b 所在 平面平行的条件得到a ( u ) 密( ) ( 铷【0 ，1 1 ) 。它等价于色( ) = p ( ) a ( u ) 。 因为曲线a 是三次b 6 z i e r 曲线，曲线b 是四次b 6 z i e r 曲线，所以函数 p ( v 1 = k v + h 。通过分部积分得到 厂o b ( ) 一b o = ( k v + h ) a ( v ) 一女a ( t ) d t 一危a 0 j0 等式两边都是关于u 的多项式，如果等式成立那么左右两边多项式的系数 要相等。由此可以求得曲线b 的控制顶点b l ，b 2 ，b 3 。 此外，a u m a n n 还研究了多个插值可展曲面片的拼接问题。如果在一个 矩形网格上边给定2 n + 2 个点 x ，( 茁j ，c 。，。；) ，y 。( z j ，c 掣，可? )( i = 1 ，+ 1 ；z i z ； - z k + 1 ) 扣 n c oa m 鲫 | | 扣 a 2 0 0 5 芷 第一章 中国科学技术大学硕士学位论文第7 页 综述1 3c a d 和c a m 中可展曲面的构造 那么可以得到n 个插值于直线段x j y j 和+ 1 y j + l 的插值可展曲面片马。 将个r j 沿着它们的公共边界x j + l y j + l 拼接起来就构成了插值可展曲面 带或者i d s t r i p 。a u m a n n 证明了g 1 连续的并且是可接受的i d s t r i p 的存 在性，还给出了马和马+ l 沿着线段x j + l y j + l 实现g 2 连续拼接的充分必 要条件。 1 3 1 2改进的可展b z i e r 曲面 如果我们通过d ec a s t e l j a u 方法来构造b 4 z i e r 曲面，那么b 6 z i e r 曲面 可展的充要条件即式( 1 4 ) 可以有一个几何的解释，见文献 8 。给定边界 曲线的参数v ，b 6 z i e r 曲线上的点可以通过一系列的线性插值得到。以二次 b 6 z i e r 曲线为例，设边界曲线a ( ) 和b ( u ) 的控制顶点分别是a o a l a 2 和b o b l b 2 。利用d ec a s t e l j a u 算法，曲线a ( u ) 和b ( v ) 可以表示成 下面的形式： a ( v ) = v i + ( 1 一v ) k = v v a o + ( 1 一v ) a 1 】+ ( 1 一口) 一a 1 + ( 1 一 ) a 2 1 b ( v ) = v j + ( 1 一 ) l = v v b o + ( 1 一v ) b 1 + ( 1 一v ) v b l4 - ( 1 一v ) b 2 注意到对于这样的b 6 z i e r 曲面片，直线段i k 和j l 与a ( u ) 和s ( v ) 点的切线方向相同。因此b z i e r 曲面的可展条件意味着i ，j ，k 和l 共面， 同时式( 14 ) 可以表示为 i j tf k l i k ) = 0 ( 15 ) 在满足式( 1 5 ) 前提下，点i ，j ，k 和l 共有四种不同的几何位置关系，每 种情况都代表了一类可展的b 6 z i e r 曲面，比如柱面，锥面和切向可展的曲 面。 在文献3 中，a u m a n n 基于d ec a s t e ”a u 算法提出一种可以简单有效 地设计可展b 6 z i e r 曲面的方法。这个方法要求已知一条边界曲线的全部控 制顶点和另外一条边界睦线的第一个控制顶点，然后逐步使用含有两个参数 的线性组合，求得另外一条边界曲线的全部控制顶点。这个方法不用去求解 复杂的非线性可展条件，还可以控制奇点的出现，而且可以满足一般的插值 条件。 2 0 0 5 年 中国科学技术大学硕士学位论文第8 页 第一章综述 5 l3c a d 和c a m 中可展曲面的构造 为 直纹面p ( 叫，t ) = ( 1 一w ) u ( t ) 十w v ( t ) 在三维欧几里德空间中可以表示 其中p t ( i = 0 ，) 是边界曲线u 的控制顶点，q 。0 = 0 ，) 是边界 曲线v 的控制顶点。 边界曲线u 上的一点p ( o ，t o ) ( t 。为。和1 之间的常数) 可用d ec a s t e l j a u 算法求得，p ( o ，t o ) = p o ， p j = ( 1 一t o ) p i r ，卜l + o p + 1 ，( 0 i j n ) 同理，边界曲线v 上的一点p ( 1 ，t o ) = q o ， q 如。= ( 1 一t o ) q , ，一l + t o q + + l ，( 0 i j n ) 记四边形p l ，q j q 件l ，j 十1 p t + l j 十l 为d ，。由直纹面可展的充分必 要条件( 15 ) 可知，直纹面p ( 山，t ) 可展等价于对所有的t o o ，1 ，空间四 边形d o 一t 为平面四边形。若边界曲线v 的控制顶点满足如下条件： 协羔麓饕篙i t 。( q 一, i 1 一n 1 哟 lq 什l = p ；+ a ( p i + 1 一p ：) +一p 。) ，= ， 一 7 则存在仿射变换五( = 1 ，一1 ) 将四边形d o = p o q o q l p i 变换成四 边形d 。= r q i q 。+ l p 州。用类似d ec a s t e l j a u 算法的过程，构造仿射变化 正，j = ( 1 一t o ) t 1 1 ”j l + t o t + + 1 ，。( 0 i j n 一1 ) 其中蜀为单位变换。经过简单的计算，可以得到五，j ( d o ) = d 。特别 地，一n 一1 ( d o ) = d o l 。由于仿射变换将平面映射成平面，所以四边 形d o 一l 为平面。 定理1 3 1 若按照式以纠选择边界曲线 的控制顶点，对于任意的参数 a ，r ，直纹面p ，t ) 可展。 通过选择适当的a ，p r ，可以控制壹纹面p ( 叫，t ) 的类型，以及它的 奇点。 定理1 3 2 当且仅当a = 1 时，由定理j 3 j 确定的可展曲面是柱面。 0。 日 q 。鲫 叫+ o bp ：l 叫 = 0 圳p 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第9 页 第一章综述5 1 3c a d 和c a m 中可展曲面的构造 定理1 3 3 当且仅当a l 并且“= l 时，由定理j3 确定的可展曲面 是锥面。 定理l - 3 4 当且仅当a = 1 或者四边形d o 为凸多边形时，由定理3 确 定的可展曲面不舍奇点。 1 3 1 3可展的有理b d z i e r 曲面 一个( m ，礼) 次的有理b 6 z i e r 曲面可以表示为 r ( u ，w ) = b 玎刀( “) 骘( ”) i = 0j = o ( u ，v ) 0 ，1 0 ，1 ( 17 ) 其中b ”= ( x j ，妨，z i j ，w i j ) ( i = 0 ，m ，j = 0 ，n ) 为曲面的控制网。参 数曲线r = u o ，v ) 和r ( u ， = v 0 ) ( u o ，为常数) 分别是m 次和n 次的 可展曲面。 在式( 1 7 ) 中，如果m = 1 ，那么( 1 ，n ) 次b 6 z i e r 曲面实际上是直纹面。 根据定理1 2 7 ，r ( 珏，口) 是可展曲面当且仅当对于其上面任意一条直纹线存 在且仅存在一个切平面。换句话说，可展的充分必要条件是一个直纹线上有 两个点的切平面相同。分别沿着边界曲线r ( o ，u ) 和r ( i ，u ) ，曲面的切平面 由下面两组向量决定： r ( 0 ，u ) ，( o ， ) ，砥( o ，u ) ；r ( 1 ， ) ，r ( 1 ，u ) ，( 1 ，u ) 我们可以注意到 n r 。( o ， ) = b ”一j ( ) ( b ，一o j ) = 轧( 1 ，”) = r ( i ，u ) 一r ( 0 ，”) j = o 从上式可以容易得到f k ( 0 ， ) 是直线r ( u ， = u o ) 上的一点，而且与参数札 无关。因此前面提到的切平面的一致性可以由下面的条件刻画： d e t ( r ( o ， ) ，r ( 1 ， ) ，王b ( o ， ) ，i k ( 1 ， ) ) = 0 ( 1 8 ) ( 1 ，n ) 次有理曲面可展当且仅当对任意的u 0 ，1 】都成立。为了计算条件 ( 1 8 ) ，文献【1 6 采用移位算子来表示有理b 6 z i e r 曲面r ( u ，w ) ，经过计算得 到等式 i 曩。( n 州礼洲“洲礼n = 。 ( 1 9 ) 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 0 页 第一章综述 5 1 3c a d 和c a m 中可展曲面的构造 其中瓯础j ，z = d e t ( b o | i ，b o j ，b l k ，b 1 1 ) 。 定理1 3 5 式“到给出了( 1 ，礼) 次有理b d z i e r 曲面可展的时候，控制网 和权值满足的条件。 1 3 1 4单张的可展b 样条曲面 由于m 个b g z i e r 曲面可以沿着他们的边界直纹线实现g 2 连续拼接，所 以一个可展曲面也可以用单张的b 样条曲面来表示。这个设计过程与b z i e r 曲面的情况类似。 首先，用插入节点的方法从已知的b 样条曲线分解出m 个竹次b z i e r 曲线段。然后，利用b g z i e r 曲面可展的充要条件，对每个小的b 6 z i e r 曲面 得到一个( 3 n 一2 ) 次的多项式方程： 3 n 一2 巩b 2 n - - 2 ( t ) = 0 t 阶 -( 11 0 ) 其中毋是两条边界曲线的控制顶点的组合。若要每个小的b g z i e r 曲面都可 展那么方程的系数全部为零。最后用m ( 3 n 一2 ) 个关于b 样条曲线控制顶 点的标量毋设计一个目标函数，通过优化的方法求得可展的b 样条曲面， 或者近似可展的b 样条曲面。 s 1 3 2 对偶方法 1 9 9 3 年，b o d d u l u r i 和r a n a v i 在文献f 5 1 提出了一个表示可展曲面的 新方法，不同于前面介绍的a u m a n n 方法，它不是用两条边界曲线来构造 可展的直纹面，而是利用三维射影空间中的平面族来构造可展曲面。这种方 法的出发点是可展曲面的一个理论上的性质：可展曲面对偶于射影空间中的 一条曲线。因为除了平面外的其他可展曲面，都是它们的切平面所构成的单 参数平面族的包络，而这个单参数平面族在射影空间中又可以认为是一条曲 线。h o s c h e k 和p o t t m a n n 在文献17 中，h o s c h e k 和s c h n e i d e r 在文献f 1 8 中，都将可展曲面看成其切平面所构成单参数平面族的包络，然后在对偶的 射影空间里研究平面族所对应曲线的性质。1 9 9 5 年，p o t t m a n n 和f a r i n 在 文献2 6 1 中讨论了这种表示到张量积表示的变换。 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 l 页 第一章综述5 13 c a d 和c a m 中可展曲面的构造 1 3 2 1 对偶方法的基础 首先简单介绍一下对偶的基本概念。在三维欧几里德空间中，射影空间 的齐次坐标( p ，q ，r ，s ) 既可以看作一个点又可以看作一个平面。如果看作点 的话，它代表的是点p = ( z ，y ，z ) = ( 芏，兰，二) ：如果看作平面的话，它代表 的是平面u ：口。+ q y + r z = s 。这样点f 和平面u 彼此称为对偶的。射影 空蒯中的一条曲线对偶于一个单参数的平面族，再由定理1 2 8 可知可展曲 面是一个单参数平面族的包络，因此可用射影空间中曲线的性质来研究可展 曲面。 假定射影空间中一条参数曲线为( n ( u ) ，6 ( ) ，c ( w ) ，d ( ”) ) ，则平面 n ( 廿) z + 6 ( ) 可+ c ( ) z = d ( ) ( 1 1 1 ) 为对应的单参数平面族，其中( o ( ”) ，( ”) ，一( ”) ) 0 。由方程组 jn ( 勘) 茁+ b ( ) 可+ c ( ) 。= d ( ( 1 1 2 )、l 1 “， ia l ( v ) x + b 如) 口+ c ，( ) z = d ( ) 确定的直线称为单参数平面族的特征线。由方程组 io ( ) z + b ( 口) + c ( v ) z = d ( ) a i ( ) z + 6 ，( ) 可+ c ，( u ) z = d ( ) ( 1 - 1 3 ) ia n ( ) 。+ 6 ”( u ) 可+ c ”( ) z = d t t ( 口) 确定的点成为单参数平面族的特征点，显然它位于对应的特征线上。容易证 明所有的特征线构成一个可展曲面。所有的特征点的轨迹称作退化边。 1 3 2 2 非均匀有理b 样条中对偶方法 一个有理b 样条曲线可以表示成齐次坐标的形式： r ( ”) = 岬( w ) r ， ( 11 4 ) i 0 其中p i 为第i 个控制顶点，p 。= ( x ：，玑，毛，叫，) 。叩( ) 为个节点向量t 上的m 次规范b 样条基。按照惯例t = ( v o ，v n + r n + 1 ) ，? 9 0 一= u 。 + 1 0 ，所 以 t l k，t 2 k ( 1 t 1 ) f + t l k 、( 1 一t 2 ) l + t 2 告t 1 ( 1 一t 2 ) kz + t i t 2 2 t i t 2 k 2 + t 2 ( 1 一t 1 ) k l = t l 埘 1 时，o 差- i - o 。因此在区间h i 争孑毛) 和( i 鲁孑毛，1 上， 函数，1 ( s ) 单调递增。同理在区间【0 i 鲁吾) 和虿刍旁三，1 上，函数 如( t ) 也是单调递增的。因此存在一个可使直纹面可展的重新参数化函数，其 表达式如下： f 砒如 0 ，差) ， s - 即，= 茄扛兰， 卜加) 如( 麓川 命题2 2 6 二次b z i e r 曲线u 和v 满足边界条件，并且两条曲线所在平 面相交。那么当a 、口、a 和声都小于0 时，直纹面可以重新参数化成可展 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 2 页 第二章用重新参数化方法构造二次边界的可展直纹面22 边界曲线为二次b 6 z i e r 曲线 时，。 i 刍孑笔 o 。因此在区间 o i 争孑与) 和( i 争孑蔓，1 上， 函数 ( s ) 单调递增。同理在区间【0 i i 争手蔓) 和( i 争孑三 1 上，函数 证明：当n 、卢、a 和声满足命题的条件时，o 赫 1 并且o 赫 1 。因为对于爿( s ) 的分子( s ) = ( n + 卢一2 ) s 2 2 一1 ) s + 胎二拦咏。， 也i 悠黼叫 。 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 3 页 g ：- 章用重新参数化方法构造二次边界的可展直纹面2 2 边界曲线为二次b 6 z i e r 曲线 所以在定义域上爿( s ) o 。因此在区间 0 ，赫) 和( 赫，l 】上， 函数 ( s ) 单调递减。同理在区间 0 1 i 鲁孑蔓) 和i 孑笔，1 上，函数 ，2 ( o ) 也是单调递减的。因此存在一个可使直纹面可展的重新参数化函数，同 式f 21 8 ) 。 命题2 2 9 二次b d z i e r 曲线u 和v 满足边界条件，并且两条曲线所在乎 面相交。那么当a 和a 小于0 并且_ 臼和声大于l 或者当“和矗大于 并且卢和厅小于0 时，直纹面可以重新参数化成可展曲面。 证明：不失一般性，令口 1 ，a 1 。若o i 篙1 ， 则“1 ，这与已知矛盾。因此赫- i -g 0 ) 1 a 同理赫2 晕 0 | 1 。 “ 口一z 。 n + “一 因为对于爿( s ) 的分子n ( s ) 一( q + 卢一2 ) 8 2 2 ( 卢一1 ) s + ( 卢一1 ) a 有 f + 卢一2 0 ， l ，l ( o ) = n ( 卢一1 ) o 1 q + 卢一2 o ， ( 1 ) ：i 臼( a 1 ) o ，和 ( o ) 2 a ( 卢一1 ) o ， i 一百黼 。【 1 = 卢a 一1 0 。