（应用数学专业论文）两类非共振脉冲泛函边值问题解的存在性研究.pdf

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，u ( t ) ) ) 使f 1 4 1 成为本章的特殊情况在本章中我们利用上下解方法以及不动点指数 理论得到如下结论：存在a + ，a “ 0 ，使当0 0a n da + + 0 s u c ht h a tt h ea b o v ep r o b l e m h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n si f0 0 ，詹p ( t ) d t 。且使得 - u + p p ( t ) u ( t ) = 。， ( 。11 ) ；有且只有零解，( t ，u ) 为 非负连续函数 ( p 2 ) i k 研射，r + 】，单调递增，厶( o ) = 0 ，且对任意的r 0 ，有l k ( r ) r ，e 2 的定义由引理1 2 1 给出 b 山东师范大学硕士学位论文 溉)训( ) c ( o ，1 ) ，且p = i n f w ( t ) ：0 t 1 ) 1 ，g = s u p w ( t ) ：0 0 ( p 。)妒( t ) c ( 【0 ，0 1 兄+ ) ，砂( t ) g ( 1 ；纠，兄+ ) 这早= m i n 0 ，p ) ，b = m a x l ，g ，且妒( o ) = 妒( 1 ) = 0 ( 1 , 21 ) 是一个混合型( 有时滞和时超) 的脉冲泛函微分方程 下记，= a ，扎j = o ，1 ，山= 【o ，t 1 】，l = ( t 1 ，t 2 ，厶= ( ，l 】，晶2 h t i j = ( ，6 】记p c i j ，r = ( z ：，寸r i x ( t ) 当t t k 时连续，z ( t 吉) 与 z ( ) 都存在，且z ( “) = ( t i ) ) 易知p c i j ，同关于范数i l x l l2s 。u p ，l z ( t ) 为 b a n a d i 空间 引理1 2 1 ( 幻 f 一札”+ p p ( t ) “0 ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ； i “( o j = 0 ，( 0 ) = 1 有单增正解e 1 ( ) = + 上。一s ) p p ( 8 ) 。1 ( 5 ) d 5 ( i i ) f 一”+ 艘( z ) u ( t ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ； l u ( 1 ) = 0 ，u ”) = 一1 有单减正解e 2 ( t ) = 1 一t + ( s t ) p p ( s ) e 2 ( s ) d s ( i i 的叫= 隧：；| ：常数 州川0 1 1 引理1 2 2 u 日p g ( r 为相对紧集铮日中诸函数在t ，上一致有 界，在每个巩上等度连续 令 卜燃基冀： 22 ， 若取i = 一1 翟半s u p w e j 拦，有t j z l l g 心躯 筹 6 0 t s 1 o s t 1 塑堕盔堂堡圭堂垡堡茎 易证若札( f ) 为( 12 1 ) 的一个解，则它必具有如下形式 而u o ( 下令v ( t 1 y ( t ) = o o t h o ； s ) ，( s ) “( 吣) ) ) d s + 。三t 器g 2 撕n 吲) 0 “ o ，有s ( 1 - s ) f ，( s ) d s + o 。，其中矗( s ) = s u p f ( s ，9 ) 川 0 ，存在毋r ( t ) a ( f o ，1 ，【o ，十) ) ，使对任意的： i u + 。其中 kqk 器锨 + 叫“” k “二王 g r 厶 妒a 砂 解 唯为且解 的时 o三 ， 当 h l2 为 叫u 纠 k 阻则 lt 旺 0 ，“力旺0一 妒 妒0r，【“ 蛐 器 锨 ，ifjt，【 办 o ， ( 1 删 ( q ，l 】【a ，“ 。o “1 ，。1 、”7 有 l ( a 可) 俐。j 飘：1s ( 1 一s ) 加十。( s ) d s 0 ，存在d 0 ，对 v y b 及v t 7 ，t ”j o ，只要l t 一t ”l 5 ：则有l ( a ) ( t 7 ) 一( a a y ) ( t ”) e 下考 虑v t ，t ”晶，我们仍取如上d ，若l t 一t ”l d ( 不妨设t 7 o ，( 1 3 j ) ，1l 2lc ，。ll q ， 有 ( 锄) ，( 驯窘z e 1 ( 圳e 孙) l ，( s ，咖( s ) ) + 州吣) ) ) d s + 啬小孙m 。，( s 州吣) ) 讹( 邮) ) ) d s + 耋丽l e ；( t ) i 驰) ) n m 上8 ( 1 - * ) f m + m ( s ) 善。；厶( m ) + 。 从而 ( a a y ) ( t ) i y b ) 在 0 = 1 ，2 ，m 一1 ) 上等度连续 考虑v t l = ( t 。，扎v y b ，首先对v t ( t 。，卢 ，v 卢t ，。 卢 o ，( 1 3 6 ) ，卅，例 o l j c ll o m ， 1 0 扣 吼p o e，o e i，儿 ，一+a一 = o ，使对任意的 a ( 0 ，a ( r ) ) ，有i ( a ，b ，p ) = 1 其中只= y p ：i l y l isr ) m1 证明取a ( r ) = r 一厶( r ) _ is ( 1 一s ) + m ( s ) d s - 1 ，下只证对v 可a b 及v a ( 0 ，a ( r ) ) ，有i i a a i l a v l i = s u pa g ( t ，s ( 0 ，1 ) j o 训 蚓1 事实上 蛳序- s ) h ( s ) d s + 薹 ) 。：器地” o 急。e 2 ( “) ”叫”“ r = l y t l ( 13 8 ) 从而i ( a ，p r ，p ) = 1 证毕 引理1 3 3 若( h 1 ) ( 日2 ) 成立，a ( r ) 如上定义，则对任意的a ( 0 ，a ( r ) ) 山东师范大学硕士学位论文 存在f ( 0 ，r ) ，使得。( 山：p _ ，p ) = 0 证明取o 0 ，使当u r 时有 掣 扛阻噬m m i nf ，s ) d s ，v 川邶 ( 1 3 1 0 ) 取r 晏 r ，1 则由锥p 的定义易知对任意的棚强及任意的t a7 ，b 飞 有u ( t ) e o i b l l r 下证对任意的yea g r ，有a y 崔y 否则存在y o a 嘞，使得 舶t ( 厶y o ) ( t ) g ( t ，s ) f ( s ，y o ( 训( s ) ) + “o ( ”( s ) ) ) d s a g ( t ，s ) l 【珈( 叫( s ) ) + u o ( 叫( s ) ) d s 。 b a g ( t ，s ) l y o ( w ( s ) ) d 5 。加 a g ( t ，s ) l e o t b o i d s m ，b a l r 印m i 珞1 g ( t , s ) d t e a a 5 廿ij = r ，v t a ，矧 这与1 l y o l l = r 相矛盾从而i ( a 。p r ，p ) = 0 定理1 3 1 若( 日1 ) ( 王如) ( 上如) 成立，则存在o 0 ，存在 山东师范大学硕士学位论文 a ( 7 ) ，f ，r 0 ，满足0 f o ：对任意的ae ( o ，页) ，( 1 21 ) 至少有两个正解) ，得 存在性即对v ae ( 0 ，a + ) ，( 1 ，21 ) 至少有两个正解 下汪a ”存在性仍取r = 1 ，可相应地得到a ( 1 ) ，r ，f ，下说明当a 充分 大时，( 12 1 ) 无解 不妨令a a + ，若( 1 2 1 ) 有解u ( t ) ，记相应地g ( t ) = u ( t ) 一u o ( ) ，由其表 山东师范大学硕士学l 立论文 达式 y ( t ) 0 ： t a ，o ； a 胁如s 州删+ t o ( 删) d s + 。象。器蝴跏：f 1 3 1 6 1 a g ( t ，s ) ，( s 、g ( 叫( s ) ) +( ( s ) ) ) d s + ；* 氏( ( “) ) ：， j 0n _ ，e l 【 jf 1r1 r 1 t ( 0 ，1 ) 0 ，t 1 ，乩 应用与引理1 33 ，引理1 3 4 完全类似的证明( 这时可用a ( 1 ) 代替两个定理汪 明中的a ( 0 ，a ( 1 ) ) ) ，得：fs | | l | 墨r 又因为可0 ) 2a 詹a ( t ，5 ) 咖r + ，。( s ) d s ，v t j ，所以 从而 r i l l l a t m e o a , x 1 1 o a ( t ，s ) 西r + m ( s ) d s r 1 a r 。m 。l 。a ，x f 。 。1g ( t ，s ) 毋r + 。( s ) d s 一1 ( 1 31 7 ) 得a “存在性证毕 当训( t ) = t 时，问题方程( 1 21 ) 即为带脉冲的常微分方程边值问题 t ( 0 ，1 ) ，t t k ； 一j m ； ( 1 3 1 8 ) 这时在定理13l 成立的基础上有更好的性质本节中以下讨论即在条 件w ( t ) = t 下进行 奇异边值问题起源于核物理、气体动力学、流体力学、非线性光学等应 用学科，其数学模型是定义在有限或无限区间上的，但变量本身或其系数函 数在端点处具有奇异性( 5 ， 7 ， 1 3 ， 2 4 卜 2 6 1 ， 2 8 】) 有限区间上的奇异边值问题 的特殊形式有e m d e n f o w l e r 方程及t h o m a s f e r m i 方程等( 1 2 1 ) 在下面一 个定理中我们讨论( 1 31 8 ) 当f ( t ，u ) 在= 0 处奇异时解的存在性 定理1 3 2 若j ( t ，u ) 在札= 0 处有奇异，且( 凰) ( 凰) ( 上 ) 成立( ( 凰) 中 我们直接取陋，b ，使得l i m 土! 】_ 竺= + 。i 。对任意的t a ，b l 一致 成立) ，则对( 1 31 8 1 式仍有定理13 1 的结论成立 1 4 叭l|i 屯k 0 巾 =矗呱j ! | 如 撇驰地础归觥：。铲m 0 1 _ 呱 山东师范大学硕士学位论文 证明我们定义厂n ( t u ) = f ( t ，m a x ；u ) ) ：n 下考虑 i 一“”+ p p ( t ) ( t ) = a f , 。( t ，“( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ；t t k ； 滁x u l t l = t k 磐2 ，州 ( 1 3 1 9 ) x i u m = “= 鲁斟厶( “( t t ) ) ； 卜“n 【“( o ) = u ( 1 ) = 0 定义锥q = u ( t ) p c z , r + ，且u ( t ) e 0 ( s ) ，v t a ，_ 日】，v s ，) ，其 中e o = r n i n 鬻，涨) 0 ，存在a ( r ) ：f ，r 0 ，存在u 。g 研：q r 珥，使当a ( o ，a ( r ) ) 且礼充分大( 不妨设 n “o ) 时，有 。= a i “。，u 。= 冀 ( 132 1 ) 又由类似g i 理1 3 2 的证明知在a q ，上无不动点，所以u 。 下证 让n ) n = 一( 。) 。= 。在j 上一致有界，在 ( i = 1 ，2 ，m ) 上等 度连续 ( a ) 1 因为0s 札n ( t ) r ，0 刨。( t ) sr ，v t zn 礼。，所以 “。( t ) ) 。 ( t ) ) 。j 。在，上一致有界 ( b ) “。( t ) = ( 钡u 。) ( t ) = a 胁如姒s ) ) d s + 州器酬) ( 1 3 2 2 ) a 上g ( t ，s ) 办( s ) d s = a m r ( t ) ，v z ， 所以对任意的t ，i = 0 ，1 ，m ( t j o 时先只考虑 ，t 1 ，v ：0 t l ；t 厶时先只考虑t ( t 。，纠，v 卢：t 。 卢 1 ) ，同引理1 31 的证明， 1 5 有 j u 球) 胁：l i n g ( 酗) 圳舢n ( s ) ) d s + 砉丽i 4 ( t ) l 竹) 。；nf 1s ( 1 一s ) 。小) ，( s ) d s + 童n ；厶( r ) ( 1 3 2 3 ) 礼。的收敛子列 “。( t ) ) 及“p c a , r + 】，使得 l i m “。，( t ) = u ( t ) ， v t ， 同理也存在 ( t ) ) 。! 。的收敛子列 。，( t ) ) 及w p c i j , r + ，使得 1 i mu 。( t ) = u ( t ) ， v t ， 再次应用l e b e s g u e 控制收敛定理，有 i g ( t s ) 、f ( s 0 ，小) ) d s 十。聂。端川， u ( t ) = at ， ，( s ) ) 如+ 暑头k ( u ( “) ) ， n ：_ ，。e 7 ic 吣1 g 池s ) 邝，小) ) d s + 0 t k 。器孙) ) 3 其中 f l r o ，对任意的a ( 0 ，a ( 1 ) ) ，( 131 8 ) 至少有两个 正解，记为u ，叭则有0 f | u 8 卢； ，4 ( ：u ) = f ( t ，u ) ，n “0 ) 卢； i ，( ，。) ，“( t ) 卢； ( 珏) = ( “) ， a 让( ) 声； 无= l ，2 ，一，m 【乓( 血) ，u ( t ) 卢( t 7 ) ，且t 的位置为以下三种情况之一： ( i ) t 7 ( 0 ，t l 】， ( i i ) 存在i 1 ，2 ，m 一1 ) ，t ( 屯，t i + ，且对任意的f t ，有( t ) 卢( t ) ， ( i i i ) t ( t 。：1 ) ，且对任意的t 卢( t ) ，即u ( q ) + 譬( u ( ) ) 卢( t 。) + 譬( 卢( 屯) ) ，由口定义及其单 增性有u ( t 。) 卢( t 。) 所以必存在6 0 ，“( ) 卢( t ) t t 。一6 ，t ：) ，矛盾 从而必有u ( t ) = 卢( t 产) ，即u ( q ) + 露( u ( 岛) ) = 卢( t 。) + 口( ；) ) ，仍由e 定 义及其单增性有 ( 蠡) = 卢( 南) 综合( a ) ( b ) 有u ( 旦) = 卢( 堡) ， 再令万= s u p t ：f 茎t 0 ，s ( t ：) ，类似于立的分析 也可证得钍( 百) = 卢( 司 若令z ( t ) = u ( t ) 一_ 8 ( t ) ，则对任意的t ( 亚，万) ，有z ( t ) 0 ，且对任意的 “( 5 万) 有 z ( t 毒) = u ( t k ) 一卢( 扎) + ( ( 如) ) 一露( 卢( “) ) 二= z ( t 女) ( 1 3 3 0 ) z j ( 砖) - u 卅+ 糕u ) ) 一靴) ) 一币甜 ( 1 33 1 ) 所以可对于z ( t ) 在t = t 处补充定义使之成为连续可微函数从而存在 i ( c r ，百) ，满足： z ( i ) = 。i t i & 。x 彳z ( t ) 0 1 8 z 7 ( 刁= 0 一 些至墅蔓查堂堕主堂堡笙塞 从而有 掣 。 ( 1 s 烈) 矛盾对z = t 的情况可类似地得到矛盾 所以有( t ) 卢( ) ，v t ，同理可证乱( t ) q ( t ) ，v t ， 从而结论得证 定理1 3 3 若( 日1 ) ( 凰) ( 王如) 成立( 类似于定理1 3 2 ，( h a ) 中我们直接取 m ，b 矗，使得，l i 罂导竺= + o 。对任意的t a ，b 一致成立) ，则存在 “p f 。o， 。，7。 一 0 a 时，( 1 3 1 8 ) 无解 证明 因为这时只是定理1 3 1 的特殊情况( 取( f ) ：t ) ，所以 + 及 “仍如上可得令a = s u p a 兄+ ：( 1 3 1 8 ) 至少有一个正解 ，有 a a “，且存在 a 。) 及相应的 u 。 p 叮，满足u 。是( 1 3 1 8 ) 。的一 个正解；其中a l a 2 0 ，满足r - si i u 。l i 墨_ r 。，且 有收敛子列 札。，) 对任 意的j 一致收敛到札+ 葡b ，对 “句一m 上g ( 屯“文小) ) 出+ 裘。端饰一t k o t n 虮一( 1 3 渤) ” ； o z “， 令i - - + + ，应用条件( 日1 ) 及l e b e s g u e 控制收敛定理，有 “w ) 一：1g ( t , s ) ，( s m ) ) d s 十。象。端饰跏：v t z ( 1 3 铷) 所以u + 是( 13 1 8 ) ”。的一个正解 下证对任意的a ( 0 ：a ，( 1 3 1 8 ) 至少有个正解事实上，对任意的 1 9 ! 生型堂蔓奎堂堕圭堂堕堕苎一 f - ”+ 卯( 。) “+ ( 。) = 胪+ m ：“训a 坤，“， ( o ，1 ) ：t 毙 l 一= 粼氏( 矿( 扎) ) 1“( o 1 ) ，后= l ，2 ，帆 ( 1 33 7 ) f 一“”+ 卯( ) “( t ) = o a f ( t ，o ) ) ，t ( o ，1 ) ，t “； i u 仉= “= 蒙署厶( 扎( 如) ) ，靠( o ：1 ) ： ：1 ，2 ，m ； ( 1 3 3 8 ) 由引理1 3 - 5 知存在“ ( t ) 为( 1 3 、1 8 ) 在j 上的解，且有0 0 ，取 ( ) = t ( 1 一) ( r 2 + 1 ) ，且有 上s ( 1 一s ) ( s ) 如2 上3 2 ( 1 s ) 2 ( r 2 + 1 ) d s 0 ；取妇( t ) = t ( 1 一) ，则有f ( t ，u ) t ( 1 t ) v t ( 0 ：1 ) ，地： 0 ，对任意的a ( 0 ，a + ) 该系统至少有两 个正解；而当a a ”时该系统无正解 例2 考虑如下系统 一，“”+ 仳( f ) = a ( 1 一) ( 2 + 兰十1 ) 1 , “性= i u ( ) ； a u 7 i b = 哥l 。+ 叫ei _ 、i u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ( 0 ，1 ) ，t ； ( 134 0 ) 其中a 0 为参数，( u ) = ；u 单调递增，且满足，( o ) = 0 ，( r ) 0p = 1 ，p ( t ) = l ，詹p ( t ) d t = 1 。 2 1 0 一 0 j j 0 j j 6、叭q = = “m “m 十 | | = 咄印川m 塑塑堕塑墼 ( 1 ) 对任意的r o ：有，( f “) 芝t ( 1 一t ) ：= 声r ( t ) ，耽( o 1 ) ，廿f o ，月) _ 且 1 2 ( 1 s ) 击且( s ) d s = 0 1 8 2 ( 1 一s ) 2 d s 0 ，r 0 ， r i1 卜旬k 舭。脚1 2 s u 锨p 瓦( u 2 + ：+ ，胁 考虑y2 2 十j + 1 ，粤为可 o ，从而其极大值只可能在端点处取得 ( i ) u = 瓦时，上式= 厂t 2 ( 1 一t ) 2 再d t 十o g i u 忙啪婶 拈t 2 ( 1 _ f ) 2 嗽+ 熹+ u d 蜞中 上1 t 2 ( 1 一t ) 2 m 轰( t ) 砒 + 。， o lt 2 ( 1 一) z 出 + ， 亟m l a ( 坐t ) 在t = 0