（应用数学专业论文）时规上二阶方程的极限点型极限圆型分类及判别.pdf

时规_ k - - 阶方程的极限点型，极限圆型分类及判别 t h el i m i tp o i n t ，l i m i tc i r c l ec l a s s i f i c a t i o na n d c r i t e r i af o rs e c o n d o r d e re q u a t i o n so nt i m e s c a l e s 学科专业：应用数学 研究生：聂江娜 指导教师：史国良副教授 天津大学理学院 二零零八年五月 中文摘要 本文主要研究时规上二阶奇异方程的极限点型和极限圆型的分类及判别准 则构造一列圆族，使这些圆族收敛到一个有限集，由不同的极限集情况，对时规 上的二阶方程进行极限点型和极限圆型的分类，并给出判别准则 全文共分为五章来详细论述上述问题 第一章为前言，主要介绍所研究问题的一些背景，及本文所要研究的问题 第二章主要介绍时规上的概念以及一些有关求导和积分的结论 第三章在时规上给出二阶奇异方程 一u + g ( t ) 让口= 入u 盯，t 极限点型和极限圆型的分类 第四章在时规上给出二阶奇异方程几个极限点型和极限圆型的判别准则 第五章总括全文的工作 关键词：时规；二阶方程；极限点型；极限圆型 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hl i m i tp o i n tc a s ea n dl i m i tc i r c l ec a s ec l a s s i f i c a t i o n a n dc r i t e r i af o rs i n g u l a rs e c o n d o r d e re q u a t i o n so nt i m e - s c a l e s w ec o n s t r u c tas e q u e n c e o fc i r c l e s ，t h e s ec i r c l e sa r en e s t e da n dc o n v e r g et oal i m i t i n gs e t b yt h ed i f f e r e n tc a s e s o ft h el i m i t i n gs e t ，w eg i v el i m i tp o i n t ，l i m i tc i r c l ec l a s s i f i c a t i o na n ds o m ec r i t e r i af o r s e c o n d o r d e re q u a t i o n so nt i m es c a l e s t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w et a l ka b o u tt h eb a c k - g r o u n do ft h i sp a p e r ，a n dm a k ep l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m t h es e c o n ds e c t i o ni n t r o d u c e ss o m ec o n c e p t sa b o u tt i m e - s c a l e sa n dp r o v i d e ss o m e t h e o r e m sa b o u td e r i v a t i v ea n di n t e g r a lo nt i m e - s c a l e s t h et h i r ds e c t i o nm a i n l yg i v ead i c h o t o m yo ft h el i m i t p o i n ta n dl i m i t c i r c l ec a s e s f o rac l a s so fs e c o n d - o r d e rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o nt i m e - s c a l e s 一心+ q ( t ) u 4 = x u 盯t t h ef o u r t hs e c t i o nw ep r e s e n tl i m i t p o i n ta n dl i m i t - c i r c l ec r i t e r i af o rs e c o n d - o r d e r e q u a t i o n so nt i m e - s c a l e s a tl a s t ，w es u m m a r i z et h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：t i m e - s c a l e s ；s e c o n d - o r d e re q u a t i o n s ；l i m i tp o i n tc a s e ；h m i tc i r c l ec a s e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文足本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证书而使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：礁活一翊户签字日期：0 2 刃寥年石月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定特授 权墨鲞查堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 导师签名：浅之闺莨 签字日期：吸睁石月日 第一章前言 第一章前言 1 9 8 8 年，德国数学家s h i l g e r 在他的博士论文【2 l 】中首次提出测度链分 析，而在许多动态研究的情况下，只需考虑测度链的一种特殊情况一时规近 年来，时规动力学的研究引起了人们广泛的兴趣，其研究内容涵盖了许多领 域，如：时规上微积分理论 1 0 】，特征值问题 2 0 ，偏微分方程 1 6 】，初边值问 题 1 4 】等时规上的动力学理论有极其重要的理论意义和广泛的应用前景 例如，虫口模型以及关于动态均衡分析经济学理论的蛛网模型传统的蛛网 模型，时间变量要么是离散的，要么是连续的，无法确切描述某一季节性产品 的供求关系当我们引入时规的蛛网模型后，就能较好的解决这一问题时规 动力学理论能揭示连续与离散系统的共同点，使我们能够更清楚的理解连续 与离散系统中的本质问题连续情况和离散情况是时规的两种极端情况，s h i l g e r 在文章( 2 2 】中给出了连续系统与离散系统统一的方法 对于微分方程，h w e y l 首先开创了奇异微分算子谱理论的研究，发现 了奇异二阶对称微分算子可分为极限点型与极限圆型两大类，考虑定义在 【0 ，。) 上的二阶自伴微分算式： l ( y ) = 一( 0 ( ) 影) 7 + q ( t ) y 究竟属于极限点型或极限圆型，完全由系数p ，q 决定，这就是亏指数理论中的 所谓的系数问题 对于差分方程，f v a t k i n s o n 9 】首先研究了二阶奇异差分方程在无穷区 间上的谱问题以及极限点型与极限圆型的分类及判别，并考虑定义在自然数 集上的二阶自伴差分方程： c n + l = ( 0 竹入+ 6 n ) 一锄一1 鲰一1 究竟属于极限点型或极限圆型，也是由其系数a n ，k ，c m 来决定的 本篇文章我们主要考虑时规上二阶奇异方程 一u + q ( t ) u 盯= a u 盯，t 面( 1 1 ) 的分类及判别准则其中，q 是时规上的实值连续函数，入是谱参数，并且 p ( a ) = 0 ，o o t 微分算子与差分算子的谱问题都可以分为两类：一类是定 1 第一章前言 义在有限闭区间上，且算子系数具有较好的性质，如可积性，这类称为正则 谱问题；否则称为奇异谱问题1 9 1 0 年，h w e y l 【1 1 】给出了二阶奇异线性方程 的极限点型与极限圆型的分类随后，e c t i t c h m a r s h 6 1 ，e a c o d d i n g t o n ( 5 】 等改进了一些结果并且创建了t i t c h m a r s h w c y l 理论w n e v e r i t t 2 4 ，w t p a t u l a 2 5 】 2 6 ，a d e v i n a t z 【1 】，j s w w o n g 1 3 】等给出了一些二阶微分方程 极限点型和极限圆型的判别准则 f v a t k i n s o n 9 研究了二阶奇异差分方程在无穷区间上的谱问题，在 a t k i n s o n 工作以后，关于奇异差分算子的研究，有了很大的推广与发展，著名 的有a j i r a r i 2 】，s l c l a r k 2 3 ，史玉明和陈绍著 2 8 】，陈景年 1 2 】等因为奇异 二阶微分方程与差分方程都可以分为两种类型：极限点型与极限圆型，并且 对于微分方程与差分方程都存在极限点型，极限圆型的分类及判别准则，它 们分别是将函数定义在连续区间或离散点集上，但是对于连续与离散统一的 系统，尚未见什么结论。本文将利用类似于h w c y l 分析的方法，将方程( 1 1 ) 分为极限点型与极限圆型，建立几个极限点型与极限圆型的判定定理通过 这些定理可以使微分方程，差分方程在极限点型和极限圆的判别上实现统 一，这将是本文的主要工作而微分算子，差分算子在无穷远点处为极限点型 或极限圆型问题的研究是谱问题研究的前提和基础，同时又是亏指数理论的 一个重要方面在判别时规上的方程为极限点型或极限圆型的基础之上，可 以给方程加相应的边值条件，使问题的研究得到简化下面我们先来介绍一 下本文需要用到的一些基本定义和基本定理 2 第二章时规上的基础知识 第二章时规上的基础知识 2 1 时规上的基本定义 在本节中，我们首先介绍一下本文中涉及到的一些基本定义，对于更多 的结果，见参考文献 3 】， 2 1 ， 2 7 ， 8 】，【7 1 定义2 1时规t ( 测度链的一种特例) 是实数集上的非空闭子集，并且 是实数空间r 的子拓朴令a ：= i n f 8 耐，b ：= s u p s 面) ，定义两个跳跃算 子矾p ：t t ，使 盯( t ) ：= i n f s t ：s t ，p ( t ) ：= s u p s t ：s 0 ，j6 0 ，当s t ，l s 一引 0 ，使得 s ，i t s l t ，则让在t 处存在导数，且u a ( t ) = 阻( 盯( t ) ) 一u ( t ) 】p ( t ) 一司 ( i v ) 若p ( b ) t ，“l 1 ( t ) 时，贝0f jt = ( 盯( 亡) t ) 牡 ) 、 当p ( t ) 0 ，p c o d ( v ) ，t t ) 2 2 时规上的基本定理 定理2 1 函数让，t ，：t r ，t t 七在t 处可导，则： ( i ) 两函数之和钍+ t ，：t _ r ，在t 处均可导，且 ( 钍+ u ) ) = 铲( t ) + u ( ( i i ) 对于任意的常数口，o t u ：t _ r 在t 处可导，且 ( a u ) ( t ) = o 舭( t ) ( i i i ) 函数乘积让口：t r 在t 处可导，且 ( t ) ( t ) = t 正( t ) u ( t ) + 钍( 仃( ) ) 移( t ) = u ( t ) v ( t ) + u ( t ) 钉( 盯( t ) ) ( i v ) 若u ( t ) u ( 口( t ) ) 0 ，则1 u 在t 处可导，且 ( 三) c 幻= 一高 第二章时规上的基础知识 ( v ) 若口( t ) ( 盯( t ) ) 0 ，则u v 在t 处可导，且 (罟)(d=ua(t丽)v(t)矿-u(t)va(t) 证明见文献 1 5 】定理1 2 0 现在考虑初值问题 t = p ( t ) t ，u ( t o ) = 1 ( 2 1 ) ( 在本文中若不作特别说明，均假设t o ) 文章f 2 1 】7 2 ，7 3 节有如下的解的存 在唯一性定理 定理2 2 若p 是r d - 连续的且p ( t ) 是回归的，则方程( 2 1 ) 存在唯一解 我们将方程( 2 1 ) 的唯一解称作指数函数，记作e p ( ，t o ) 事实上，通过圆柱 变换，函数e p ( t ，s ) 存在隐性表示，即 一 岁翟 其中 e v ( t , s ) = 唧 。洲p 胁) 经过如上的表示，可知指数函数不会为0 现在来研究一下指数函数的 性质首先，由导数的定义及定理2 2 知 e p ( 盯( t ) ，s ) = 印( t ，1 s ) + 肛( t ) 嗲( t ，s ) = 勺( t ，s ) - 4 - p ( 场( t ) 印( t ，s ) = 【l - 4 - p ( t ) p ( t ) 】勺( t ，8 ) 其中e 拿( ，s ) 表示函数e p 对于第一个变量的导数令牡= 唧( ，t o ) e g ( ，t o ) ，由于p 和g 是回归的，且p ，q 锡( t ) ，则有 ， 乱( t ) = e 今( t ，t o ) e q ，t o ) + e ( 矿 ) ，o ) e 拿( t ，t o ) 、 = p ( ) 白( t ，t o ) e 孽( ，t o ) + 1 + t t ( t ) p ( t ) 1 ( t ，t o ) q ( t ) e g ( t ，t o ) = 加( t ) - 4 - q ( t ) - t - 肛( t ) p ( t ) g ( t ) 】u ( t ) 7 第二章时规上的基础知识 引入符号o ，将其定义为 po 口= p 十口+ # p q ， 因此，珏= 印毋g ( ，t o ) ，由定理2 2 解的存在唯一性知：绵。口= e p e 口 同样可以引入符号e ，令仳= ( t ，t o ) e g ( t ，t o ) ，则 批，= 盟絮蒜篙掣 p ( t ) e p ( t ，t o ) e q ( t ，t o ) 一e j ，( t ，t o ) q ( t ) e q ( t ，t o ) 一 e q ( t ，t o ) j 1 + t t ( t ) q ( t ) e q ( ，t o ) b ( t ) 一口( t ) 】u ( 亡) 一 1 + t t ( t ) q ( t ) 定义 pe g = 再p - - 面q ， 因此u 是初值问题 u = ( p e g ) ( t ) u ，u ( t o ) = 1 的解同样由定理2 2 的解的存在唯一性可知，e p e g = e p e 口 记 e g = oe g = 一再q 面 现在考虑时规上的方程 札+ p ) u 4 + q ( t ) u a = 0 ( 2 2 ) 对万崔网q - 解u l ，u 2 明w r o n s k i a n 仃罗u 瓦水寻，伺 忡h 地) _ d o t ( ；心u 争2 ) = ( m 毋z ) = 艚一砰啦a e t ( 罩善) 一t ( 一班奠耐一z 弼) 一t ( 一玉妥，) = 劬t ( 拳善 =-p d e t ( 皋善) 一心尸 8 第二章时规上的基础知识 因此可以得到下面的a b e l s 公式【1 8 】定理5 5 定理2 3若p 是回归的，且p 嚷( t ) ，t 1 ，锄是方程( 2 2 ) 的解，则 w ( u l ，u 2 ) ( t ) = w ( u l ，u 2 ) ( t o ) e 却( t ，t o ) 定理2 4 若，是时规上的r d - 连续函数，且让1 ，u 2 是方程萨+ p ( t ) u + q ( t ) u = 0 的基础解系，则方程u + p ( t ) u + g ( 亡) u = f ( t ) 的解为 c z 乱m ) + c 2 u 2 ( 卅z t o 。咝崭裳- t l 2 舻竹洽 ，l l 八“， 证明见文章【1 8 】中的定理5 4 定理2 5( l a g r a n g e s 等式，g r e e n s 公式) 对于t ，t ，( t ) ，有 ( i ) l ( v ) u 盯一l ( u ) v 9 = w ( v ，t ) ，【p ( o ) ，6 】n t ； ( i i ) 二 ) ，t ) 一己( 珏) ，v 口) = w ( v ，乱) ( 6 ) 一w ( v ，u ) ( p ( 口) ) ， p ( 口) ，6 jn t 其中：l ( u ) = 一乱+ q ( t ) u 叮 所以 而 证明：( i ) 因为 三( u ) u 口= ( 一t ，+ q v 7 ) u 口， l ( u ) v 口= ( 一矿+ q u 盯) 移口， l ( v ) u a l ( u ) v 4 = 一v a a u a + 让口寸= 沪u 口一v a a u 旷 t 正口矿一v a a u q = ( u t ，) 一仳口一( 口钍) + 钍u = ( 铲影一口乱) = w ( v ，珏) 证得结论( i i ) 对( i ) 式左右两边积分即可得证 定理2 6( 比较定理 1 9 】定理5 4 ) 设u ，嘞( t ) ，p 缎+ ，若 u z x ( t ) sp ( t ) u ( t ) + ，( 亡) ， vt - t 则有 牡( t ) 仳( 。) e p ( ，口) + z 。印( t ，仃( 下) ) ，( 丁) r ，v tet 第二章时规上的基础知识 则 则 定理2 7 ( g r o n w a l l 不等式 1 9 】定理5 6 ) 设t ，嚷( - ) ，p 贸+ ，p 0 ，若 札( ) ，( t ) + j ! a t u ( r 汩( 丁) r ，v tet 牡m ) + z 。郇，嘶) ) 竹) p ( r ) “v tet 定理2 8 设札c ( ) ，“0 ，p 吼+ ，p 0 ，c 是常数，若 乱( t ) c + j ! a t 2 , ( 丁) p ( r ) ，vtet u ( t ) sc 白( t ，口) ， vt 参考文献 4 】定理3 1 定理2 9 ( 复合函数求导的链式法则【1 5 】定理1 9 3 ) 设z ，：t r 是严格 单调递增函数，首：= l ，( 丌) 仍然是时规对于t 俨，w ：首_ r ，若叫五oz ，存在，则： ( wo 王，) = ( 叫o 王，) 王， 定理2 1 0 ( h s l d e r s 不等式) 若t l ，t 2 t ，r d - 连续函数，9 ：陋1 ，t 2 1n t _ r ， 则 r 2l m 圳 2i 巾妒) ； l ，q = p ( p 一1 ) 特别的，当p = q = 2 时，有下面的c a u c h y - s c h w a r z 不等式： r 2 似咖c 刮 2 抓圳) l ，r d - 连续函数，g ：陋l ，t 2 】 n t _ r ，有： ；+ 1 ，q = p ( p 一1 ) 定理2 1 0 及2 1 1 的证明可参考 1 9 】中定理3 1 ，定理3 3 第三章时规上二阶奇异方程的极限点型和极限圆型的分类 第三章时规上二阶奇异方程的极限点型和极限圆型的 分类 定义3 1若存在一个复数a o ，使时规面上的二阶方程 l u = 一缸+ g ( t ) t 正叮= a o u 口 的任意解y ，均满足矗i 旷1 2 a e l m 2 i l u 盯i i t 0 ， 选取t o 充分大，使得i 久一, x o i m 2 1 4 ，则 l l u 叮i i 幻( i c l i + c 2j ) m + 2 1 ) , 一a 。i m 2 i f t 口i i t 。( i c l i + c 2 1 ) m + 丢| l t i i 幻 因此 l i u ，l i t 。2 ( i c zi - - i - i c 2 1 ) m 由于上面不等式右侧与自变量t 无关，因此矿l 2 ( ) ，证毕 推论3 1若存在知，使l u = x o u 口有一个矿【t j 为非平凡解) 不属于l 2 ( - ) 空间，则对于一切入( i m 入o ) ，l u = x u a 仅有一个矿( 牡为非平凡解) 不属于 l 2 ( t ) 第三章时规上二阶奇异方程的极限点型和极限圆型的分类 很显然，在极限点型的情况下，对于方程l u = 入矿至多有一个线性无关 解 ，使得u 口l 2 ( t ) 下面我们来说叽当i m a 0 时，方程眈= a u o ，刚好只 有一个解u ，使得t l 2 ( t ) 设妒，妒为方程l u = 久矿的两个解，并且满足初值条件 妒( 0 ，a ) = s l n q ，妒【u ，a ) = c o s q ， 妒( 0 ，入) = 一c o s o c ，妒( 0 ，a ) = s i n c t 其中0 口 丌由于 懈戈器圳“，l 妒( o ，入)妒( o ，入) f 1 则形( 妒，妒) ( t ) = 1 ，vt t 因此妒，妒是方程的两个线性无关解，它们可以组成 方程的基础解系对于l u = a u 矿的每一个解，除了砂以外，均取决于一个常数 因子，具有形式 u ( t ，入，竹1 ) = 妒( 亡，入) + 仃l 妒( 亡，入) ，( 3 1 ) 其中仇依赖于a 现在来考虑在时规上某点c ( 0 c t 。) 处的边值条件 c o s 卢t 正( c ，a ，m ) + s i n p 仳a ( c ，入，m ) ：0 ( 0sp 7 r ) ( 3 2 ) 要使方程的解u ，( 3 1 ) 式满足边值条件( 3 2 ) ，则m 可以表示为 m = 一c o t fl_【p(c,a)+妒a(c,x)cotf l 妒( c , , x ) + c a ( c , a ) ( 3 3 ) m2 一 【3 3 ) 首先值注意的是( 3 3 ) 中的分母，当c ，多取值时能否保证分母不会为0 7 当 t 1 ，t 2 t ，t 是l u = a 矿的解时，由于 肛刊妒一2 u ， 可以得到 2 队一如) 】i 矿1 2 = 一石2 乱矿= 一陋 仨+ 2 u _ 一嗍卜r 2 2 础卜2 衅+ f 卜m ) i f 叫2 _ 0 ( 3 4 ) 第三章时规上二阶奇异方程的极限点型和极限圆型的分类 将 u ( t ，入) = 妒( t ，a ) ，t l = 0 ，t 2 = c 代入( 3 4 ) 式，再对两边式子分别取虚部，可得 i m 眵( c ，入) 妒( c ，a ) = - i m a l 妒盯1 2 a o ， i m 入0 因为 i m 错 - 业掣舢 所以 c o t f l # 裂 说明( 3 3 ) 中的分母不会为0 当入，c ，p 变化时，m 成为一个函数，依赖于这些变量，记仇= m ( 入，c ，p ) 若 z = c o tp ，并且( 入，c ) 固定，则( 3 3 ) 式可写为 仇= 一a z + b c z + d ， ( 3 5 )仇2 一，【3 5 j 其中a = 妒( c ，a ) ，b = 妒( c ，a ) ，c = 妒( c ，入) ，d = 妒( c ，a ) 当a ，b ，c ，d 固定时，p 从0 变化到7 r ，z 跑遍整个实轴由( 3 5 ) 式中函数的特点，当z 平面上的点取 实数时，相应的左侧函数为m 平面上的一个圆周g 反解z 得 2 = 一婴a + c m ( 3 6 ) 22 一 ( 3 6 ) 若使2 是实数，则由2 一- 2 = 0 ，从而得到 ( a + 偏) ( b + d m ) 一( a + c m ) ( b + d 两) = 0 上式即为圆周q 的方程由复变函数的基本知识可得该圆的圆心半径分别 为 而。= 一a d - b ( c d - c d ， ( 3 7 )m c2 一一，( 3 7 ) 由于 a d b c a = 妒( c ，入) ， b = 妒( c ，入) ，c = 妒( c ，入) ，d = 妒( c ，入) 1 4 ( 3 8 ) 第三章时规上二阶奇异方程的极限点型和极限圆型的分类 可以得到圆q 的方程为 w ( u ，面) ( c ) = 0 ( 3 9 ) ( 这是因为名一乏= 0 ，代入( 页+ 西瓦) ( b + d m ) 一( a + c m ) ( 一b + - 瓦) = 0 可 以得到眵( c ) + 开面( c ) 妒( c ) + 妒( c ) 叫一p ( c ) + m 砂( c ) 】【- ( c ) + _ ( c ) _ 】= 0 即 西( c ) 让( c ) 一札( c ) 乏- ( c ) = 0 ) ，而 a 万一b 虿= 妒_ 一妒可= ( 妒，可) ( c ) ， u d c 万= 万妒一妒可= 一w ( 矽，万) ( c ) ， a d b c = 妒妒一妒妒= 彬( 妒，妒) ( c ) = 1 因此，圆心及半径为 赢c = 一糕，= m p = 一二当= 。 ( 妒，妒) ( c ) 7 。 ( 砂，万) ( c ) i ( 3 1 0 ) 由于( 3 9 ) 式中仇_ 的系数为一( 妒，万) ( c ) ，因此圆g 的内部由下式给出 嬲 o ( 3 1 1 ) ( 妒，妒) ( c ) 、7 根据时规上的g r e e n s 公式( 定理2 5 ) 以及可= 可，得到 ( 妒，万) ( c ) 一( 妒，硒) ( 。) = z 。l ( 妒) 万9 一z 。l ( 万) 矿 = z 。妒m 一o 。矽邺 = ( a 一天) i 妒口1 2 a 因 ( 妒，万) ( o ) = 矽( o ) 可( o ) 一可( o ) 妒( o ) = c o sa s i n a c o s a s i n a = 0 ， 则 w ( 妒，可) ( c ) = 2 i l m a i 妒矿1 2 又因为 w ( u ，西) ( o ) = u ( 0 ) 瓦( 0 ) 一u a ( 0 ) 面( o ) = 妒( o ) + m 妒( o ) 】 ( o ) + 开罚_ ( o ) 】一 妒( o ) + m 妒( o ) 】眵( o ) + 而- _ ( o ) 】 = 9 _ + 妒万而+ 仃呼- 妒+ 竹耐妒一妒万一而妒可一仇妒一仃劂万 = 丽一m = - - 2 i i m m ， 第三章时规上二阶奇异方程的极限点型和极限圆型的分类 同理可得 这时，( 3 1 1 ) 式变为 ( u ，面) ( c ) = 2 豇m a z 。i 钍口1 2 + ( 乱，西) ( 0 ) ( u ，西) ( c j 一2 i i m a ol u 仃1 2 一2 i i m m 丽厕一2 i i m af 丽。两rw 7 ( 妒，妒) ( c )i 妒叮1 2 一i m a f o 妒1 2 一i m m i m a ol 妒。1 2 0 ， 层i j z 。i 札舢i 0 ，代入( 3 1 0 ) ，圆的半径为 瓦1 = j ( 入一- ) z 。i 妒一1 2 f = 2 i m 入o 。i 妒矿1 2 ( 3 。1 4 ) 令0 d c 。( c ，d - ) ，若仇在q 的内部或圆周上，则 f o dl u 1 2 0 ( c 可) ) ，因此 f o l 卅刚柏i t 时，u ( t ) 三1 为了方便起见，记矿= t 考虑下面的二阶方程 l u = 一留+ q u a = 0 ，( 4 1 ) 及相关的方程 z u = ( 昙口) 一口口= 。 c 4 2 ， 方程( 4 2 ) 可以看作是( 4 。1 ) 的对偶方程 由定理3 1 可知，方程( 1 1 ) 和( 4 1 ) 的极限型相同，研究( 4 1 ) 的极限型要 比( 1 1 ) 的要简单的多，因此我们来研究方程( 4 1 ) 的极限型分类 定理4 1如果时规上存在一个正的函数p ( ) ，使得1 不属于空间 l 2 ( t ) ，对于方程( 4 1 ) 的任意解t ( t ) ，有i t ( t ) j k 卢( ) ，其中k 为常数，则l 是 极限点型 证明：下面采用反证法来说明l 是极限点型若对于方程( 4 1 ) 而言，三是 极限圆型，设缸1 ，u 2 是方程( 4 1 ) 的两个解，并且满足：铭1 磅一斧抛= 1 则 1 = i u l 毋一u 拿u 2 i l u l l l 谚i + l 地l i 珏拿i k p ( ) i 1 i + k p ( t ) i u 2 1 或可以写作p 一1 k l u l i + k l u 2 l ，则( 伊) - 1 k i 札f l 十k l u 要l ，而假设中有1 z 叮不 属于空间l 2 ( t ) 矛盾因此工是极限点型。 注：若对于方程( 4 1 ) 的解让( t ) ，满足u a ( t ) 有界，则三是极限点型 推论4 1若q l 2 ( ) ，则l 是极限点型 证明：若札是方程( 4 1 ) 的解，且让口l 2 ( t ) ，则由时规上的柯西不等式知： q u 口l ( ) 由于铲= q u a 得到 乱( ) = i t a ( o ) + q u 叮a ， t t 1 8 第四章时规上二阶奇异方程的极限点型和极限圆型的判别 此式说明。殍沪( t ) 存在从而得到t ( t ) 有界，由定理4 1 注可知结论这是 因为，若l 是极限圆型，设钍1 ，u 2 是方程的两个线性无关解，并且砰，嵋l 2 ( t ) ， 满足彤( t f ，嵋) ( t ) = 1 ，则娜l j m 。u l z x ( t ) ，t h 谚( t ) 存在 因此存在一个常数m ，使得i u p l 0 ，有可 l ，矿 l ，所 以伽盯 z 2 ，m 1 2 ，这与l 的选取矛盾，因此口存在上界因此方程( 4 2 ) 的解 均是有界的 引理4 3若g c 1 ( ) ，q 是负函数，且q 递减，如果q ( t ) 存在下界，对于 方程( 4 2 ) 的任意解移均存在下界，矿在t 上可导，则钌有界 证明：设u 是方程( 4 2 ) 的解，定义能量函数： g ：( 等) 2 一了v v a = 一扣( 等) 2 叫一1 刀， 其中e 是上引理4 2 中的能量函数，对g 进行求导，得 g = 一 - 孑q a e + 歹e a _ 孑q a e 一歹e a = 万q a e 一歹1 0 ，使得q ( t ) 2 一l ，因此可以得到 a ( o ) 猢蛇一等匆v t6t 类似于引理4 2 的证明，可知t ，在时规上是有界函数 有了以上的结果，可以归结为下面的定理： 定理4 。4若q c 1 ( t ) ，且q ( t ) 0 ，并且对于方程 ( 4 2 ) 中的任意解口均存在下界，矿在丌上可导，对于( 4 1 ) 中的任意解u ，矿在 - - 上可导，则方程( 4 1 ) 中l 是极限点型的充分条件是下列两者条件之一成立 ( i ) 妒c ：o ( v ) n l l ( ) ( i i ) q 存在下界 定理4 5 若q c 1 ( t ) ，且存在一个可导的正函数圣( t ) 以及一个正常数 k ，使得在 c ，0 0 ) nt ，c t 满足： t o o ( i ) q ( t ) 一西4 ( t ) ； ( i i ) 【圣4 】一= o o ；( i i i ) i ( 圣) 2 垄一2 ( 圣9 ) 一1i k 2 ，c 则三是极限点型 证明：设i , 是方程( 4 1 ) 的解，且u 叮l 2 ( ) ，由u = q u a 可得 u ( 圣矿) 一1 u 口= q u a u a ( 雪矿) 一1 一t 正口u 口，( 4 6 ) 在 c ，司nt ，( t t ) 上对( 4 6 ) 式两边积分，得 t u a a ( q 矿一z 。u v ( 4 7 ) 由分部积分公式，( 4 7 ) 式左边变为 ，。ctu a a c 州伊= 譬卜z 。c 尝 = 箐一z 。( 你下1 ( 4 8 ) = 一一j i f t 。ll i 一，、1 4 nj 圣( t )，7 ”7 一 、。 + z 一u u 雪a 一等铲 因为矿铲口) ，则矗 伊j 2 o o ，由( 4 7 ) 式知，存在一个常数硒，使得 一可u ( t ) u a ( t ) + 譬一z 等 甄 ( 4 9 ) 圣( )，c 圣矿一