（原子与分子物理专业论文）二维sinai量子台球体系的谱分析.pdf

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d i m e n s i o n a is i n a ib m i a r d s s i n c et l l ed e v e l o p m e n to fp e r ! i o d i co r b i tt h e o r yf o rc h a o t i cs y s t e m sb yg u 眩耐1 1 i th 船 b e c o m e 弛i m p o r t 姐tt o o lt om l d yt h ec o 皿。吐i o n sb 曲e nt h eq u a 而z c dc n e r g ) ，e i g e 删l l e s o fab o m l ds t a t e 缸dt h ec l a s s i c a lm o t i o mo ft h ec o r r e s p o n d i i l gc l 私s i c a l p o i n tp a n i c l e c 1 0 s e d - o r b i tm c o r y 讹c hi sd e v e l o p c db yd ua n dd e l o so p aw a yt 0ad e 印吼d e r s t 姐d i n g o f 也es y s t e m sd y i i a m i c s ，f h r t h 锄o t h c yg i v eab r i d g el i r l l ct h ec 1 勰s i c a lm e c h a i l i c so f m a c r o s c o p i cw o d dt 0t h eq 拢m _ 七i i mm c c h a n i c so fm i c r o s c o p i cs y s t e m s w es t l l d i e ds i n a i b i l l i a r dl l s i n gan e wq t l a ：n n ms p e c 缸yd e f m c di n 也ec l o s c d - o r b i tt h e 0 珥 t h ee e c 枷cm o v i n gi sc o n t r o u e db ya g a t ev o l t a g ei nt h ed e 、，i c e s ，a i l dr e 曲叵曲e di no n e o r 咖d i m e n s i o n a l 刚t i 嚣、 r i t ha r b i t r a i r ys h a p 舔谢h i c ha r em a d eo f m a t 耐a l s 姐c h 勰 s e m i c o n d u c t o rh e 钯r o g e n e 姆a t1 0 wt e i i l p 咖，t h es i z eo fh i g hq l l a l 畸s c m i c o n d u c 瞬 h e t e r o g e n e i 哆c a nb ea d j u s t o dl e s st h a nt l l ee l e 吐r o n i c 丘p a m 趾dl a r g c rt h a nt h ee l e c t r o i l i c f 涮硒，a v c j e n g t h ，t l l a t t h e d 。c 舡d n i sr c g a r d e d 笛a 丘钟p 硎c l ew 王i i t m o v e s t h r o u g h 也ec 州够a sa 也c o 硎c a lm o d e lo fo r d c r l y 觚dc h a o d ch 捌o r ，q u 毗t l l mb i l l i a r d sh 雏 b e e n 趾硎v c s e a r c hf o rm a n yy e a r s b e c 龇s eo f i t su i l i q l l ec h a r a c t e r i s t i c ，s i n a ib i l l 砌h 鹊 b e c o m eat y p i c a lm o d e lt os t i l _ d yq 瑚曲l mc h a o s hl a s t2 0y e a r s ，谢也也er 锄a 衄b l e a d v a n c e si nt h eg r o w i ho nt h ec r y s t a la n da n i f i c i a le t c h i n gt e c l l n o l o g y ，t h en a n o t e c h l l o l o g y r e c e i v 龉m o r ea n dm o r cp e o p l esf 如o r ，a n df o u n d e dt h cm a n u 也c t i l r en a n o m e t 盱p o n c n t n e w m e t h o d ，s i n a iq m 曲j mb i l l i a r dh 豁b e e nm a d e ，w i l i c hi sab 船i sf o r 黜删耐m 既吨 w e ( t 魁l dt h ed o s e d - o f b i tt h e o r ym e t b o dt 0o p 。1 1 缸勾e 删髓，c o m p m e d 也ee i g e n v a l u e s 锄de i g e n f h n c t i d 0 f s i n a ib i i a r dt l s i n g 也ec x p a m i o nm e l l l o df b fs t a t i o m r ys 扭t 鹳( e m s s ) ， 趾dg o tt h ef o l l r i c r 仃a n s f o m g d o ft h eq l l a n t 啪s p e c 廿面f 函i c t i o n 户( 工) 也ep e a k si np 1 0 协 o fl 从硝mc o m p a r e d1 ) l r i t hm e1 g m 上，o f 龇d 髂s i c a l 删e c t o r ! i e si n 血e s eg e o 嫩t r i c s i ti sd e m o n s n 吼c dt h a tt h el o c a t i o o fq u a n t 呦s p e c 仕a 1p e a k s 孤ec o n s o n a n t 晰mm el c n 啦s o fc l s i c a lo r b i 协，砌c ht e s t i 6 e sc l o s e d - o r b i tn l e o r yi sw e l l ，锄da l l o 、sl l st 0 衄d e r s t 皿dt h e 3 山东师范大学硕士学位论文 m l 伯鹏o fc h a o s t h i si san e wm e t h o dt os t i l d yt l l ec o r r e s p o n 弛n c eb e m e c i lq 眦m t u 王1 1a n d c l a s s i c a ld y n a m i c s i i l 吐l et l l e s i s ，、v ea l s oc o m p u t c ds t a t i s t i cd i s b u t i o no ft l l en e a r e s te n e r g y i n t e r v a l s ，a n dr e v e a l e dt h a td i 矧b 埘o nh a sac h 姐g e 舶mp o i s s o nt 0w g l l e r 、 ，i t ht 1 1 e c l l a i l g e dg e o m e t r i c a ls h a p eo f 也eb i 王l i 矾t h i sa l s op r o v e dm e 砌q u ed 眦咖o f t l l eb i l l i 莉， s o w ec a n m a k eu s eo f i t e n o u 曲l a t e r 1 1 1 i sm e s i si sd i 、，i d c di n t of o u rc h 印t e r s t h e 缸s tc h a p t c ri ss l 珊i n a r i z a t i o 玛恤c h 砸e n yi n 乜o d u c e st 1 1 ec h a o sc o n c 吼a f t e 慨t e st h ed e v e l o p m e mh i s t 0 町o fs e i n i c l a s s i c a l p 商o do r b “t h e o r y ( c l o s e d - o r b i tt h e o r y ) 她dc l l r r e n ts i t l l a t i o no f 也es t u d y i n go nq 啦叫岫 b i l l i 耐t h es e c o n dc h a p t c rt h ee x p a i l s i o nf o rs t _ a ：c i o n a r ys t a t c sm e t h o da n dt h e 也e o r ya b o u t t l l en e a r e s te n e r g yi m e r v a ls t a t i s t i cd i s 臼 b 面。璐a r ce x p i a i n e di i id e t a i l ht i l et l l i r dc h a p t e r ， w ea n a l y z e d 也eq t l a 曲l ms p e c 乜m 劬c t i o no fs i n a ib i l l i 矾c o m p a r i n gi t 诵t hc l 鹤s i c a lo r b i t ， 、牝如衄dt h a tt h e r ca r cg o o dc 0 e s p o n d e n c e s ，a n dw ea l s oc o 珏l p u t e d 血en e a r e s te n e 唱y i n t e n ，a ls 协t i s t i cd i s t r i b l n i o n mr e s u l t sr c v c a l 1 a tt h es i i l a ib i h i a r d si s 蛳i cc h si n 鲥g 幻a ln a n t h el a s tc h 零p t 口i sm e c o n c l u s i o no f o l | rs t i l d y 卸dp l a nf o r t h ef u t u r e k e yw o r d s ：c l o s e d 舶i t st h e 哪龇e x p 锄i o nm e 也o df o rs 硼o n qs t a t e s ，s i n a i b i m a r d ；f o u r i c r 仃卸s f o r m ，q i n t l l ms p e c 饷lf 1 1 n c t i o n ，t h en e a r e s te n c r g ) r i i 】t e 删s 枷s t i cd i s 饿b 埘o n c l a s s i f i c a t i o n ：0 5 6 2 3 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章综述 1 1 周期轨道理论和闭合轨道理论 量子力学诞生以来，其方法和计算技术已经成为原子和分子体系中精确计算的强大 工具。量子计算结果和实验测量结果的精确符合消除了人们对量子力学基本概念的任何 质疑，直到今天量子力学仍然是人们解决微观体系的精确理论尽管如此，半经典理论 仍然引起了人们的广泛兴趣。半经典理论的复苏主要有以下两个方面的原因：首先，在 应用量子力学的方法解决高维不可积体系时需要进行大量的数值计算( 虽然通过可以选 取合适的基矢优化哈密顿量，但是对角化哈密顿量需要的计算量仍然十分庞大) ，而这 些数值计算的结果对于我们了解体系动力学性质的作用甚微，因为怎样抽取有用动力学 信息通常并不比计算容易。例如，1 9 8 6 年在德国的b i e l e f c l d 大学的威尔格 色l g e ) 教授 首次用氢原子做实验时第一次发现了回归谱的例子。在电离阈附近，氢原子的吸收谱出 现振荡，变为许多振荡项的叠加。如果把能量的分辨率提高很多倍以后，电离阈附近的 振荡会突然消失，测到的吸收谱简直就像噪音一样。如图1 1 ，从这种吸收谱中很难抽 一v 取有用的信息。但是当把吸收谱作为能量的函数通过傅立叶变换而成为时间的函数时， 在很多分立时间标度上，变换后的函数都有尖峰，一个振荡峰对应着一条稳定的半经典 闭合轨道的贡献，如图1 2 。因此半经典方法可以很好的解释实验上或应用量子力学方 法计算得到的数据，这种解释方法对于我们了解体系的动力学性质起到了重要的作用。 其次，微观体系中的量子力学和宏观世界中的经典力学的对应关系一直是人们十分感兴 趣一个方面，了解这种对应关系对人们更深的理解自然的本质有着重要的意义。 早期的量子力学中，半经典技术给出的w k b ( w j n t l - k r a m e 培- b r i u o u 哟量子化方法 和e b k ( e i n s t e i l l b m l o u 协k e l l e r ) 量子化方法分别适用于一维体系和打个自由度的体系 【1 卅。但是，这些半经典量子化方法仅适用于可积体系。在不可积体系中k a m ( k 0 1 i n o g o r o v - a m 0 1 d m o s e r ) 环面被破坏，体系的本征态不能通过一套量子数来表示【h 5 】。e 血池i n 早在1 9 1 7 年就曾经指出，用这些半经典量子化方法不可能对混沌的体系进行 量子化【1 1 。由于波动力学的发展和成功，半经典理论在后来的几十年并没有引起足够的 重视，特别是对于混沌体系来说，量子力学和经典动力学的对应关系一直是一个有待于 解决的问题。 5 山东师范大学硕士学位论文 。； 忠： a 3 - 一 = 卜 2 q 图1 1h 原子在强度为b = s 9 6 t 的磁场中的光吸收谱 了l 鲥【t ，t 。i 图1 2 吸收谱的傅立叶变换图。每一个峰位与个闭合轨道的运动时间相对应 1 9 6 7 年，m a r t hc g u 乞刑i l l e r 重新研究了这个问题【6 。由于对混沌体系的分立的本 征态进行量子化是不可能的，q n z 丽l l e r 给出了一个态密度的半经典公式，他从量子态密 度迹的精确的量子表达式出发，用格林函数的半经典近似代替它的量子形式，应用稳定 相近似得到态密度的半经典表达式，式中包括一个平滑项( w b y l 项) 和一个包含了对应 经典体系的所有周期轨道振荡求和项。g u t z 丽1 1 e r 的理论通常又被称为周期轨道理论，态 密度是量子概念，轨道作用量是经典概念，g 们嘶l l e r 迹公式提供了联系量子性质和经典 性质的桥梁。 6 山东师范大学硕士学位论文 o l t z 、i l l e r 的半经典迹公式适用于完全混沌的体系，在这些体系中的周期轨道是分立 并且是不稳定的。比较常见的混沌体系有运动场型的台球体系【舢1 0 】，磁场中氢原子在电 离阈附近吸收谱问题等【1 卜1 3 1 。 对于可积体系来说，b e r r ) r 和t a b o r u ”】给出了一个类似与& n z 、i i l e r 迹公式的态密度 的半经典表达式，同样是把态密度表示成周期轨道求和的形式，因此被称为可积体系中的 周期轨道理论。b e r r y t a b o r 的迹公式与e b k 环面量子化在形式上是等价的，该公式还可 以推广到近可积体系【1 6 切。 现实的体系通常既不是可积的又不是完全混沌的，而是混合体系。一个典型的例子 是磁场中的氢原子，在低能量时是一个近可积的，在电离阈附近是一个完全混沌的体系。 这些混合体系中周期轨道( 闭合轨道) 可能含有分岔，在分岔点处它们既不是分立的， 又不属于相空间中的一个规则环面。q l t z 州u e r 的迹公式和b e r r y 1 - a b o r 的迹公式的振幅在 分岔点附近都变得发散，就是说这两个公式在分岔点附近不再适用。 周期轨道理论受到人们的普遍重视是在闭合轨道理论提出以后，因为对于原子、分 子或其他体系，实际出现的是闭合轨道而不是周期轨道。1 9 8 8 年，杜盂利和j b d e l o s 等人在q r t z 研l l e r 周期轨道理论基础上采用格林函数和库仑散射方法提出了半经典闭合 轨道理论，并以磁场中的氢原子为例，给出了清晰的理论推导和物理图像的描述【瑚。作 为周期轨道理论的修正和改进，闭合轨道理论由于具有物理图像清晰，应用范围广泛等 特点，成为人们解决原子或离子在强外场中的光吸收现象的主要工具，成为实现联结经 典理论和量子理论的重要桥梁。应用闭合轨道理论的统一近似方法不但能处理分岔点附 近的振幅发散问题1 9 伽，还能够处理“鬼轨道，的问题眺2 2 一州。 对于分立的周期轨道应用q i 咖i l l e r 的迹公式，对于规则的环面应用b e 唧- t 曲o r 的迹公式，当处理分叉问题和“鬼轨道”问题时应用闭合轨道理论统一近似方法，原则上 对于混沌、可积和混合体系，我们都可以应用半经典方法来处理。 闭合轨道与周期轨道理论有着密切的联系，科学理论发展往往出现这样的景象，在 人们为某项新发现的意义而苦苦思索，找寻新的解释时，却突然领悟到实际上它是过去 已有理论的自然延伸和拓展。从闭合轨道理论提出到现在近二十年，在许多不同体系上 都取得巨大的成功。人们在应用理论的同时，也从各个不同角度探索它的内涵和来源， 也正由于这个原因，g 1 】t 厕l l e r 的量子态密度的迹公式开始受到广泛关注。这个公式是 1 9 7 1 年提出的，也正是物理学家开始对高激发的里德堡态感兴趣的时候，很可能 7 山东师范大学硕士学位论文 g 1 n z 研l l e r 也看到过g a 哟n 和t o m i d l l s 的实验，但他心中惦念的却是另一个更为迫切的 河题，那就是混沌。g u 乜刑i u e r 意识到，对于混沌体系，不存在好量子数，唯一的不变 量是周期轨道，它是嵌埋在相空间p 0 加r e 截面的一系列岛状和线状结构中孤立的点， 对混沌性质起决定作用。其基本思想是：量子态密度采用g d 嘲算子表示；用g r e c i l 函 数代替船e n 算子，对能量g r n 函数进行f o 嘶e r 变换得到时空传播子并与路径积分 相联系。在半经典近似下用稳定相近似得到迹公式，稳定相点条件给出经典周期轨道。 他的态密度迹公式是 p ( e ) 兰p o ( e ) + a i s i n ( s i ( e ) + 唬) p o 等式左边是量子态密度，右边是经典对应：第一项是背景，第二项对周期轨道求和。形 式上与闭合轨道理论相似，但物理含义不同。 两个理论共同点是：它们不仅适用予可积系统，而且适用于不可积系统；都可近似 给出体系的能谱和波函数；求和都是对分立的经典轨道进行。但也有显著区别：首先， 应用周期轨道理论时要求粒子的运动状态( 如动量) 具有周期性，因此连续两次通过空 间某点的动量须相等。而闭合轨道理论只要求粒子从某点出发再回到该点附近即可，因 为它关注的是波函数发生相干的特点。有鉴于此，在原子、分子体系的激发或电离过程 中，一般只有闭合轨道而没有周期轨道。此外，闭合轨道理论还可以扩展到波函数在空 间任意两点的传播，即开轨道的情况，正如在研究量子台球或微腔输运时出现的情况。 美国著名物理学家雷克( r e i c h l ) 在评价周期轨道理论的开创性思想时说：“可以认 为g u 拓矾1 1 c r 的工作是量子力学发展史上的重要里程碑。”而对于闭合轨道理论及其随 后的发展，印p n e r 和d e l o s 则指出：“基于g u t z 、i l l e r 工作的半经典方法不仅可以对那 些量子解模糊不清的问题提供物理洞见。而且它提供了联系量子和经典世界的唯一桥 梁。” 1 2 二维量子台球体系的特点和研究进展 自从混沌动力学出现以来，台球( 弹子球) 问题一直是人们研究混沌和规则行为的 典型例子。近二十年来，人造原子( 量子阱) 和纳米器件逐渐成为当前的热门课题，研究 这些微腔结构及其输运问题对于新一代计算机的研制将产生重大的影响。量子台球( 特 别是二维台球) 作为这些研究的理论模型成为人们感兴趣的一个体系。例如人们利用圆 8 山东师范大学硕士学位论文 量子台球来研究量子经典的对应，如图1 3 ，1 4 。 图1 3 圆量子台球 l e n t h 图1 4 圆量子台球的量子经典对应 假设一个自由点粒子完全限制在一个固定的区域内，粒子的运动完全由薛定谔方程 和狄利希边界条件来描述，且粒子与边界的碰撞为完全弹性碰撞，这种体系我们就称为 台球体系。如果这个台球体系的边界条件不随时间变化，且边界之间是可以完全分离的， 那么这个台球体系是可积体系。例如三角形，矩形，圆等都是可积体系。 我们把电子看作入射的台球，众所周知，电子在直线导线中的运动并不是完全的直 线运动。金属导线中的杂质把电子反射到各个方向，因此电子在导线中的运动变得完全不 可预测。一种标度杂质对电子影响的物理量叫做自由程，这是电子在与杂质发生碰撞之 前运动的主要路径。在所研究的问题中，电子的自由程要远远大于球台大小，因此它在 球台上的运动是完全自由的。 q 山东师范大学硕士学位论文 量子台球体系是介于宏观和微观的，制造这样一个又光滑又平整的微器件需要很高 的精度。随着晶体生长技术和光刻技术的发展，使得纳米器件的生产成为可能【2 5 1 。在纳 米器件中，通过控制门电压可以控制电子的运动，这就是量子台球体系在实验中的实现。 人们应用微腔( 构造任意形状的二维台球体系) 的能级结构和统计数字来探测和检验理 论的正确性【2 6 】，并得到体系混沌行为的统计数据。根据这些微观器件电导波动性的测量 数据，检验理论得到台球体系的能谱的频率特性伫刀。最近几年来，通过激光构造任意形 状的二维台球体系限定超冷原予，就是原子光学台球体系的实现哪】。 电子器件已成为半导体制造业中一种高精度的技术，制造这种器件是要使电子的平 均自由程变得很大，需要尽量提高半导体材料的纯度，为了达到这个目的，人们最常用 的是所谓的分子束生长技术。晶体在一定的时间内畏成一层原子，在这一层内的原子格 点完全被填满。由于这个过程是在原子尺度下进行的，因此我们在晶体中改变这一层的 原子组成是可能的。通过分子生长技术畏成的晶体就相当于我们台球体系的台球桌，虽 然不是特别的光滑，但是相当的平整。 随着人们对量子化方法，量子混沌的不断深入研究，s i n a i 体系由于自身的特殊性， 已经成为人们研究量子混沌的经典模型，成为人们研究量子化方法的基准，随着半导体 技术的进步和微加工工艺的提高，也已经可以制备微半导体量子台球，如图1 5 ，利用 半导体材料，制备的s i l l a i 量子台球，电子在g a a s 和舢g a a s 的夹层中运动，如图1 5 所 示，当材料非常的平滑时，电子的运动如在图1 6 的下图中一样，这时，我们可以将电子 的运动看作二维运动。而在不平滑的夹层时，如在图1 6 的上图中一样，由于杂质的影响， 电子的运动比较杂乱，这时，我们就不能将它看作是二维运动，不能用来作为二维量子 台球处理。 1 0 山东师范大学硕士学位论文 图1 5 s i n a i 量子台球 图1 6 电子在夹层中的运动 s i n a i 台球体系是一个具有混沌性质的体系，如图1 7 所示，相邻的两条轨道， 在与壁碰撞几次后，就已经发散的厉害，也就是相邻轨道有直属性发散，这是经典混沌 的一个标志。 图1 7 相邻轨道在s i n a i 量子台球的发散 山东师范大学硕士学位论文 实验中，通过对门电压的控制，及磁场的连续改变，人们已经观察到了磁场中s i n a i 台球体系的自相似性，如下图 图1 8 自相似性 应用闭合轨道理论的思想，我们把二维台球体系的半经典分析推广到更一般的情况。 因为在实际应用的量子台球中，电子产生的轨道一般情况下不是闭合轨道或周期轨道， 而是开轨道，这种情况对应微腔输运的问题。我们运用一个新的量子谱函数冽，对s i r l a i 台球体系进行量子谱分析，量子和经典结果符合的较好。在这之前，已经对一些规则体 系做过类似研究，如矩形，三角形等体系。 由于矩形的哈密顿量可以分离变量，求解薛定谔方程时可以直接求出其解析解，计 算付立叶变换的量子谱函数时，得到很好的经典量子对应跚，如图1 9 。 1 2 山东师范大学硕士学位论文 5 t 鬯_ o3 心 2 1 o 5l o1 52 0 二 图1 9 矩形量子谱函数 对于三角形量子台球，在求解其本征波函数时，不能直接求其解析解，但利用了拓 扑的思想，根据三角形的对称性，也找到其解析解，并得到较好的量子经典对应口o 】。如 图1 1 0。 2 1 0 l 翟 | ， 乡 一 。曩 厶 图1 1 0 三角形量子谱函数 口=荔篇iohii矗lp-oijll口 山东师范大学硕士学位论文 矩形是可以分离变量的，体系的波函数有解析解，我们看到量子谱函数和经典轨道 长度的对应是很好的，对三角形量子台球，根据对称性，其波函数也可以得到解析的解， 量子经典的对应也是比较好的。但对不规则体系，如椭圆、体育场等，不能分离变量， 得不到解析解，但利用近似的数值计算( 定态展开方法) ，数值计算了体系的量子谱函 数，也能得到了体系的量子经典对应【3 1 1 ，但量子谱函数图已经不如矩形，三角形那样清 晰的峰，如图1 1 1 1 4 c 3 o u n l ej e n g t ho ft h eo r b j t 图1 1 l 椭圆量子谱函数 口i3叮e_io-c州，j一 山东师范大学硕士学位论文 2 1 定态展开方法 第二章理论方法 对于有些体系的h a n m t o n i 姐不能分离变量，我们可以采用定态展开方法。 考虑一个质量m 的粒子在二维无限深势阱中运动( 取自然坐标m = 壳= 1 ) 矿( g ) ：p 【 如果g 孵 d 砌e ，1 咿妇p 相应的定态波函数和能量本征值由定态s c h 墒d 岫g e 方程决定 ( 2 1 1 ) 陬 - 争+ 呻赫 眨 因为在这个势阱外势能为无穷大，所以，波函数一定遵循d i r i c 柚e t 边界条件 o ) f ，。= o ，这样就可以定态展开方法( e m s s ) 进行近似： 取一包围台球区域的矩形，将台球区域和矩形之间作为势能从零到无穷大的过渡 区域，如图2 1 。势能近似为 一f o y ( g ) = 【 g j q i i q i i i ( 2 1 3 ) 山东师范大学硕士学位论文 图2 1 矩形包括的三个区域 在u 区中，我们用一个有限的但足够大的来代替无限大势，只要相应的能量小于， 这样就可以得到一个近似于我们原来的定态。边界就成了矩形，这样的调整有两方面的 意义：首先，相应的波函数在区域中没有完全消失，但是在e “时，波函数是 很小的。二是系统的波函数可以用矩形的本征波函数丸国) 进行展开 其中c ：是展开系数，波函数丸( g ) 表示为 ( 2 1 4 ) 屯 聃卮s 吒铂功摇s m 髻咖 旺”， 其中坍= ( 所。，m ：) ，x ，) ，是沿着矩形相互垂直的两个边方向的笛卡尔坐标。 则有 ( k e b = o 伽丸( g ) 九( g ) = 点。是正交归一的波函数。 定义h 锄i h o n i 趾矩阵元 ( 2 1 6 ) 山东师范大学硕士学位论文 鼠脚= p 碱 磁 将日= - 等v 2 川拿， 代入c 2 - ，得到h 删删a n 矩阵元 = 篆盼k 。 = p 碱僦( g ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 这个积分对整个区域进行。 系统能级由d e p 一上吲= o 确定。得到一系列能级e ，代入( 2 1 6 ) 得到展开系 数c ：，从而得到波函数( g ) = c ：九国) 在实际的应用中，还需要进行一次近似，因为在( 2 1 4 ) 中，脚的取值不可能取到 无穷，只能取某个有限值m 。，这样就砍掉了很多的矩阵元f k ，这就使得我们得到的 能量本征值中，只有一系列远远小于的能量值得信任，波函数也只有脚。个态可以用， 其中肌o “肘o 。 2 2 最近邻能级间隔统计 对于一个二维实对称的哈密顿体系有 日= 浇乏 相邻能级间距为：j = p 一t 若f 肿g ) = ( 在。到s 之间找不到能级间距的几率) 1 7 山东师范丈学硕士学位论文 则有e 。p + 斛= e 。 n 一( 二硒，c 是常数，( 1 一凸泌) 是在间隔s 到，+ 西找不到能级 间距的几率，将j 二g + 西) 进行泰勒展开，并且对小的出积分得 g ) * e x p ( 。2 ) p ( s ) 凼是在间距j 到j + 西上找到任意两相邻能级间距的几率，则有 g ) 一f 肋g + 凼) = p 0 ) d i 我们将民g + 凼) 泰勒展开，得 邢) _ _ 鲁= o 州一丢 平均能级间距设为d ，则有 肚p 葶胎) 2 饪，所以艮寺，代入上式哿 荆= 号e x p ( - 移这就是维格纳分布( 恸盯删翩) 当平均能级问距d = 1 时，有 图2 2 魏格纳分布 对可积体系： 弛) 凼= 去凼 p ( s 泌是在间隔e 到e + s o 1 8 盯 吐 一一山 山东师菇大学硕士学位论文 贝o ，尸( s ) = 厂( s ) p o 泌 则有 积分得 o 当平均能级间距d = 1 时，有 q 。 色 = 去弘灿m 鼢 图2 3 泊松分布 在我们的实际计算中，可以这样给出最近邻能级间隔分布的计算公式 洲荆= 等 其中m ，。表示在z 墨 工+ 出范围内的最近邻能级间隔数，m 表示总的最近 邻能级间隔数，d 为平均最近邻能级间隔。 计算步骤： 1 9 ，一d 一 、， ， u p 麟 一d 一d 一 = 堡凼 山东师范大学硕士学位论文 1 计算体系的能级并按顺序排列 2 计算相邻能级的间隔以及平均能级间隔d 3 依次数出x 1 0 e m 。 a 1 = 1 0 a 2 = 1 o a 3 = 0 7 5 o l 图3 6 345 哺 啪 瞄 蚴 | 堇 哪 山东师范大学硕士学位论文 这时，我们看到，量子谱与图3 5 相比，已经有了比较大的变化，这时的谱函数已经很 不准确了。当我们选择n ，m 更大时，只要我们选择的能级数不变，得到的谱基本上变 化不大。 对目前这种混沌体系，我们的结果表明，在轨道长度较短时量子经典的对应关系仍 然适用，这为以后深入探讨量子混沌开辟了一条新的道路。 3 3 四分之一s i n a i 台球体系的最近邻能级统计 我们选择足= o 2 5 ，r = o 4 ，盖= o 7 5 三种情况，分别计算了体系的最近邻能级统 计分布情况，横坐标为能量s ，纵坐标为能级数n 。 首先我们选择在在r = o 2 5 情况下，其中选取了4 0 0 能级中的前1 0 0 个 此时有 = 5 0 0 0 2 5 z1 5 1 0 5 s 图3 7 在r = o 2 5 情况下的统计分布图其中选取了4 0 0 能级中的前l o o 个 我们看到，这个分布中，在s = 2 之后，又出现了个突起，这应该是那部分不准确的 能级造成的，因为我们选择的能级有1 0 0 个，其中有一部分是不准确的，但是，总体还 是能反映出分布类型。 。 我们选择在在r = 0 4 情况下，其中选取了1 2 1 能级中的前4 0 个 此时有= 5 0 0 0 0 山东师范大学硕士学位论文 2 s 图3 8在胄= o 4 情况下的统计分布图 在这种情况下，我们看到了在s = 1 附近有极大值，而在s = 0 附近，值比较小，此 时的分布是混沌具有的魏格纳分布。 我们选择在在r = o 7 5 情况下，其中选取了1 2 1 个能级中的前3 5 个 此时有= 5 0 0 0 0 0 ，此时的分布也是魏格纳分布，并且图形更加接近理想的魏格纳分 布情况。 s 图3 9 在r = o 7 5 情况下的统计分布图 e 5 4 3 2 1 o z 0 7 6 5 4 3 2 1 o z 山东师范大学硕士学位论文 在s i n a i 量子台球体系中心圆半径变大的过程中，体系的最近邻能级统计分布由泊 松分布变到魏格纳分布【3 3 】，这是由于体系混沌程度越来越高的反映。这和利用散射理论 得到的结果是一致的。但是我们看到，我们得到的分布图形的精度不是很高，这是因为 我们在应用麟方法时，不可避免的近似，不过从结果看，统计分布的类别还是很明 显的。在实际实验条件下，我们可以通过调节中心门电压，使体系由可积到混沌，来研 究量子干涉或者输运等问题。 山东师范大学硕士学位论文 第四章结论及展望 结论： s i n a i 体系是一个特殊的体系，对经典与量子对应关系的研究也是人们研究量子体系 的重要手段。本文就是对这一体系进行了新的量子经典对应关系的研究。把闭合轨道理 论扩展到开轨道情况，应用定态展开方法计算体系的能量本征值和本征函数，得到量子 谱函数的傅立叶变换p ( 工) 。在i p ( 三) 1 2 随变化的函数图像中出现了一系列的峰，量子峰 的位置与用经典方法得到的轨道长度符合得较好，这说明了闭合轨道理论的正确性，为 人们理解量子混沌提供了重要依据。这是一次对s i n a i 体系，从全新的角度进行量子与经 典的对应进行的分析，为以后对s i i l a i 体系的理论研究，提供了一个新的理论方法。我们 还计算了体系的最近邻能级间隔统计分布，随着体系的变化，看到了由泊松分布到维格 纳分布的演化过程，这也证明了s i i l a i 体系的特殊性，为以后更好的充分利用，提供了一 个有力的依据。 本文得到的结论和利用散射理论得到的是一致的，两种方法结果的一致，也恰恰使 得这两种方法得到了相互的认证。但我们能看到，数值计算方面，定态展开方法在精度 上还是比较低的，但是它的应用方便和广泛确实给人一个深刻的印象。定态展开方法作 为求解薛定谔方程的一个工具，这种近似的思想，在解决量子问题中却有着重要的意义。 本文还存在不足： 定态展开是一个使用较为广泛的计算方法，对于不同体系选择基函数和个数有不同 的要求，但都要进行关于收敛问题的检验，本文未对此作出较系统的分析是一个缺点。 展望： 利用传输矩阵对微结中输运性质进行研究，计算微结中的电导性质。 通过上面的对照，定量地证明s i r 江量子台球体系中的经典轨道与傅立叶变换后的 量子谱函数的一一对应关系，从而证实了可积体系的经典轨道和量子性质是联系在一起 的。这种开轨道对应关系可以应用在更多的体系中踟。另外由于半导体器件中电子的输 运性质依赖于腔体的形状，在s i n a i 台球中，我们可以方便的控制门电压，以调节其腔 体的形状，对电子或光量子台球的研究还具有较高的应用价值p 5 j 6 】。 附录a ：马斯洛夫指标 当得布罗意波长相对于势能的变化区间来说非常微小，可以和 相类比时，我们采 取半经典近似，即壳寸o 。在半经典近似中，应用w k b 法，波函数可以写成下面的形式 ( g ，f ) ；爿( g ，f 弦8 9 咖 ( a 1 ) 把( a 1 ) 代入薛定谔方程，其中哈密顿量日( g ，p ) = 去p 2 一u ( g ) ，得到的实部和虚部分 别为 o = 詈+ 去愀) 2 + u ( d 一篆筹 ( 舵) o ；等+ 去觥) 删) + 击一( 址) ( a 3 ) 玉 埘、 一 。 2 州 设p = ( g ，f ) ，矿= 去v r q ，f ) ，则( a 1 2 ) 变成署+ v ( p y ) = o ，这就是关于密度p 和 速度矢量场矿的连续性方程。在半经典近似中，矗一o ，( a 1 ) 与哈密顿雅可比方程是 等价的 罢+ 日( g ，w ( g ，) ) = o ( a 4 ) 这个关于p 和矿的流量称为m a d l u n g 流量。 对于从点g ( o ) = 矿出发，初始的动量为p ( o ) = p ，= v r r ( g ，0 ) 的经典粒子，根据 m 硼u n g 流量的表达式，终点的r 值可以通过下面的式子给出 塑! 唾业：曼墨婴+ 珊( g ，r ) 口：一日( g ，p ) + 朋= 工( g o ) ，口( f ) ，f ) ( a 5 ) 出出 这里工为经典体系的拉格朗日量，那么r ( g ，r ) 的值为 r ( g o ) ，r ) = r ( 鼋，o ) + f 面z ( g o r ) ，口( f ” ( a 6 ) 其中f 硪似g ( f ，) ，口( f ) ) ；r ( q ，q ，f ) 从( 丸6 ) 得到初始动量和r 时刻的动量值 p = v ，r ( 碍，g ，o ( a 7 ) p = v r ( 口，口，f ) ( a 8 ) m a d l u n g 流量是关于时间