（应用数学专业论文）一类非线性发展方程的长时间行为.pdf

摘要 本文主要研究无界域上一类高阶非线性发展方程的渐近行为通过验证系统解的渐 近f 则性，证明下列系统的全局吸引子的存在性和f 则性： l “一“，一a u 一弘“”+ f ( u ) = g ( x ) r r + ( f i ) i “f ：o = “o ， 幻f i f ：o = 甜l r 3 r + 其中一“，为耗散项，一肚“，为色散项，f c 1 ( r ，尺) 为给定的满足适当条件的非 线性项，g l 2 ( r 3 ) 为给定泛函 在理沦框架上，我们建立了无界域上当整体解较初值问题没有更高的萨则性 时证明系统解半群的全局吸引子的存在性与正则性的一般方法 论文主要利用g a l e r k i n 方法并结合能量估计，得到了系统整体弱解的存在性与唯一 性，接着利用类似于有界域上的渐近光滑，将系统的解分解为u = 1 ，+ w ，然后证明当t 充 分大时，其中一个在( r 3 ) h 1 ( 尺3 ) 中的模可以任意小，而另一个具有更高的正则性， 同时系统( 兀) 的解u 在球形域b ( 0 ，k ) 以外的区域上的日( 尺3 ) ( 尺3 ) 模当k 充分大时任 意小，于是由于在区域b ( o ，k ) 上有d ( a 5 ) q 1 ( 曰) ，o 去) 是紧的，由此得到系统全局吸 引子的存在性其中非线性项厂具有临界s o b o l e v 指数增长 关键词：非线性发展方程；无界域；整体弱解；全局吸引子 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eh a v es t u d i e dt h el o n gt i m eb e h a v i o r so fac l a s so fn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s b yp r o v i n gt h ea s y m p t o t i cr e g u l a r i t yo ft h eg l o b a lw e a ks o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m ， w eh a v ee s t a b l i s h e dt h ee x i s t e n c eo f g l o b a la t t r a c t o r sf o r t h ef o l l o w i n ge q u a t i o n s j 材”一“，一“一肚“f ，+ ( “) 2g ( x ) r 3 r + ( 兀) lu ，- o = u t | ，= o = “l r 3 r + w h e r ef c 1 ( r ，尺) i st h ee x t e r n a lf o r c e sw h i c hs a t i s f i e st h ec o n d i t i o no fc r i t i c a ls o b o l e v e x p o n e n t i a lg r o w t h ，a n dg l 2 ( 尺3 ) i sg i v e d w eh a v ee s t a b l i s h e dag e n e r a lm e t h o df o rv e r i f y i n gt h et h ee x i s t e n c ea n dr e g u l a r i t yo f g l o b a la t t r a c t o r s ，w h e r et h es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e md o e s n te x i s tt h eh i g h e rr e g u l a r i t ya n dt h e d o m a i ni su n b o u n d e d i nt h i sp a p e r , w eh a v eg o t t e nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a lw e a ks o l u t i o nf o r t h ep r o b l e m ( r i ) ，b yu s i n gt h eg a l e r k i n a p p r o x i m a t i o n m e t h o da n dt h e e n e r g y e s t i m a t e t h e n ，b yt h eu s eo ft h ea s y m p t o t i c a ls m o o t h n e s sm e t h o d sl i k eb o u n d e dd o m a i n s ，w e d e c o m p o s e du = 1 ，+ w ，p r o v e dt h a to n e sn o r n li sa r b i t r a r i l ys m a l l ，t h e nt h eo t h e ro n ep o s s e s s t h eh i g h e rr e g u l a r i t yi n h 1 ( r 3 ) h 1 ( 尺3 ) w h e nt i sb i ge n o u g h s oo u t s i d eo fb ( o ，k ) ，t h e h 1 ( 尺3 ) xh 1 ( 尺3 ) n o r mo ft h es o l u t i o no f ( h ) i sa r b i t r a r i l ys m a l lw h e nki sb i ge n o u g h 1 1 1 e n d ( a 5 ) 喃h ( b ) ，( s 三) i sc 。m p a c t n e s s a n dw ep r o v e dt h ee x i s t e n c e 。ft h e 酉o b a l a t t r a c t o r k e y w o r d ： n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ；u n b o u n d e dd o m a i n ：g l o b a lw e a ks o l u t i o n ； g l o b a la t t r a c t o r i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声咧的法律后果由本人承担 作者签名：独扣研爻 日期：年月e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：年月日 日期：动l o 年月日波渤 锄 孓 浓瓣_一 名 名 签 签 者 师 作 导 第一章绪论弟一早三百下匕 本文研究下述一类高阶非线性发展方程的初值问题整体解的渐近行为： u u 一旷“一肚盯m ) 2 9 ( x )r ：r ： ( 1 1 ) 【 u l ，_ o = 甜o ，u t | f = 0 = “l r 3 r + 、。 其中f c 1 ( 尺，r ) 是满足一定条件的非线性项，g r ( r 3 ) 是已知函数 对于系统( 1 1 ) ，本文讨论了初值( u 0 , u 。) 属于h ( r 3 ) 日1 ( r 3 ) 时，全局弱解的 存在性及其所对应的解半群 s ( f ) ) 脚的全局吸引子的存在性和正则性，其中满足 ( 3 1 ) ( 3 4 ) 式 1 1问题的研究背景 1 1 1动力系统的发展简述 所谓系统，是指自然界中某些体系的运动可以用一些参数或者变量的函数及微分方 程来表示，而动力系统则是这样一门数学学科，它研究的是系统自身的演化规律，演化 一般是就时间和空间来说的，那么它的理论在物理现象研究中有着举足轻重的作用 常微分方程的解族所确定的整体的流动作为动力系统的经典背景，在它发展 的早期，许多数学家在求常微分方程的通解时，发现可以通过初等函数以及初等 函数的积分来求解，但在1 8 4 1 年l i o u v i l l e 研究发现绝大部分的微分方程我们无法求 出它的显示解 在1 9 世纪末，h e n r ip o i n c a r 6 在研究三体问题时创立了微分方程定性理论，可 简述为：不通过解方程而直接讨论解的性态因此，微分方程定性理论可以作为动 力系统的起源而与此同时，另一位数学家- - l y a p u n o v ，也对微分方程定性理论作 出了划时代意义的工作 2 0 世纪初期b i r k h o f f 在( d y n a m i c a ls y s t e m s ) ) 中对动力系统作了公理化处 理，此时动力系统才作为一门系统的学科发展起来，p o i n c a r e 研究的领域主要是有 限维动力系统，且它是由常微分方程生成的而当今动力系统一般包括微分、 h a m i l t o n 、拓扑、无穷维、复动力系统、遍历论、随机等动力系统 无穷维动力系统是偏微分方程所对应的定性理论，其主要研究的是系统的全 局吸引子的存在性与不存在性及吸引子的正则性与结构问题离散和连续动力系 统是其两个分支，其中r ”中紧致无边微分流形迭代所产生的系统为离散动力系统； 而我们把流形上切向量场所形成的流称之为连续动力系统作为有限维动力系统 的延伸，无穷维动力系统具有许多重要的新特征：第一，拥有空间上的混沌现象； 第二，在某个空间部分会产生奇性集 近年来许多国内外学者【2 矗1 对于无穷维动力系统理论进行了深入的研究对无 穷维动力系统的渐近行为的研究也有突破性的进展，涌现了许多的研究成果 9 - 1 6 1 ， 但因为它是一个复杂的体系，对于它的研究还不够成熟，有待于进一步丰富其理 论体系与实际应用 1 1 2 国内外研究现状 对于系统( 1 1 ) 整体解的适定性和渐近行为也有一些很好的结果【2 0 。3 4 】尚【3 0 】 利用g a l e r k i n 方法及能量估计方法，得到了系统( 1 1 ) 的全局强解的存在性与唯一 性，并且讨论了系统( 1 1 ) 的整体强解的b l o w u p 问题，但是在尚【3 0 】中有两个问题 值得进一步研究，第一是非线性项是次临界指数增长的，第二是对其渐近性的证 明存在不足，所以随后又有许多学者对其进行了补充和完善；对于系统全局弱解 的存在与不存在性，张宏伟等【3 1 】巧妙的利用了位势井的方法考虑了系统( 1 1 ) 的整体弱解的是适定性问题；谢永钦【3 2 】讨论了非线性项以次临界指数增长时，系 统( 1 1 ) 的整体强解的全局吸引子的存在性谢研究了整体强解的渐近行为， 利用缈一极限紧方法得到了整体强解的全局吸引子的存在性，其中非线性项厂满 足临界指数增长条件；c a r v a l h o 3 4 】讨论了次临界指数情况下全局吸引子的正则 性，并提出了一个开放性的问题，即在临界指数情况下全局吸引子是否会有更高 的正则性以上的讨论都是基于有界域上的研究，而对于无界域上的情形仍未有报 、j l 厶 】岜 因为区域的无界性，在一般的s o b o l v e 空间中，s o b o l v e 紧嵌入定理是不成立的， 嵌入定理连续而不紧在证明吸引集的存在性时不能直接运用紧嵌入定理要得 到半群的紧性，部分学者在处理可i f 则化方程( 如2 dn v a i e r - s o t k e s 方程) 时，采 取了截断函数的方法，用有界域来逼近无界域有界域上运用s o b o l v e 紧嵌入定理 及能量方法【35 1 ，而在其无界域上可以得到解的范数是任意小的【36 1 ，但是此方法的 前提条件是解具有更高的正则性s u n 3 7 】和y a n g 3 8 】建立了一种验证半群的渐近紧性 的新的先验估计方法杨美华采用平移局部一致空间作为相空间，并在局部一致空 间中验证半群按加权空间中的范数是渐近紧的综上所述，人们可以用类似有界域 情形直接运用紧嵌入来得到紧性对于我们讨论的问题( 1 1 ) 中含有项一肚“。， 而且无界域上的谱和有界域上的谱也有着根本的区别，从而使得问题( 1 1 ) 与一 般的波动方程有着本质的区别，无论是耗散性还是紧性的验证都会很困难，因此 2 我们要发展一些新的方法来克服这些困难 本文将解决下面两个问题，首先利用算子分解方法克服无界域上缺乏紧嵌入 的困难，证得系统( 1 1 ) 在h 1 ( 尺3 ) 日1 ( 尺3 ) 上的全局吸引子的存在性，然后利用 整体弱解的渐近j 下则性得到全局吸引子的正则性 1 2 基本的数学理论、方法 1 2 1 基本理论与方法 动力系统一般分为自治系统和非自治系统，在变化过程中向量场与时间无关 的系统称之为自治的动力系统，其包括能量耗散和能量保守系统，而吸收集的存 在与否是刻画能量耗散的标准，本文主要研究的就是能量耗散系统的动力学渐近 行为；向量场依赖于时间的系统则为非自治系统 j 詈刊( ) ( 1 2 ) 【1 , 1 f = o = u o ( x ) 系统( 1 2 ) 可抽象的表示自治的初边值系统，其中“】，y 是一个抽象的空 间，即相空间利用解的全局存在性与唯一性，系统( 1 2 ) 的解就可表示为 “( f ) = s ( t ) u o v t 0 其中s o ) ：y - - - y ，算子 s ( f ) ) ，加具有下列性质 s ( t + f ) = s ( f ) s ( f ) ， v t ，r 0 ( 1 3 ) s ( 0 ) = 厨 ( 1 4 ) 爷( f ) ) 脚称为系统( 1 2 ) 对应的解半群 全局解的存在性、正则性与稳定性以及全局吸引子的存在性、全局吸引子的分 析性质和几何拓扑性质是无穷维动力系统所要研究的主要内容，全局吸引子可以 反映系统解的极限状态以及系统的整体信息 一般可利用能量估计来证明有界吸收集或点吸收集的存在性，而判断全局吸 引子的存在性，算子半群 s ( f ) ) f 加必须具备以下三个要素： ( i ) 半群p ( f ) ) f 。在x 中存在如点耗散、有界耗散等某种耗散性 ( i i ) 半群爷( f ) ) 脚在x 中存在某种连续性文献r o s a 3 6 1 ，b a l l 3 5 1 ，c h o l e w a i l l 】， 协彪【12 1 ，r o b i n s o n 14 1 ，s e l l 15 1 ，t e m a m 8 1 ， b a b i n 9 1 ，z h o n g 4 0 1 ，s u n 4 1 】对不同的 连续性都有较为详细的阐述，特别是在s u n 4 1 1 中，作者得到了一个比较方便的半群 在强拓扑下是强弱连续的判断定理，使得半群的强弱连续性几乎自动满足 ( i i i ) 半群p ( f ) ) 御在x 中存在某种紧性，一般为一致紧4 16 1 、渐近紧9 _ 1 3 1 、 渐近光滑【9 , 1 3 】、缈极限紧【3 4 , 3 5 】，紧性是全局吸引子存在性的必要条件，如何用不 同的思想和方法来得到半群的紧性是我们工作的重点 1 2 2 半群紧性及验证方法 目前人们验证紧性的方法大致可以分为四类：渐近光滑、一致紧、渐近紧和缈一极限 紧前三者都须使用紧嵌入定理，而第四种则必须用到算子的谱 在利用渐近光滑的判定定理时，我们可利用算子分解定理，证得其中一个算子是 紧的，而另一个算子随t - - - o o 而趋于零；当系统的解存在高正则性时，利用s o b o l e v 紧嵌入我们可以得到系统的解存在一致紧性，即可以用一致紧的方法证明全局吸 引子的存在性；当系统缺乏紧嵌入定理的时候，我们可以利用渐近紧的方法来验 证全局吸引子的存在性但是以上三种方法都具有一定的局限性 讹【4 5 】结合非紧性测度的概念，提出了缈极限紧的概念及用缈极限紧方法来 研究全局吸引子存在性的定理，但是在估计非紧测度时，我们没有行之有效的较 好方法，进而讹【4 5 】建立了一种更为容易验证的方法，即条件( c ) ，通过验证条件 ( c ) ，则可以利用能量估计方法直接来估计非紧性测度，并且在m a 4 4 】中，作者给 出了相应的全局吸引子存在性定理 1 3 本文的难点及文章安排 本文主要克服两大难点：首先，空间区域是无界的，缺乏紧嵌入定理，因此 我们不能用一“，来提高解的j 下则性；其次，系统中含有一l a u ，项，因此不能采取平移局 部局部一致空间罩的方法来处理。所以我们发展了一些新的方法和技巧来处理这两个问 题 本文我们主要研究以下几个问题：整体弱解的存在唯一性以及解对初值的连 续依赖性；吸收集的存在性；全局吸引子的存在性及其正则性 论文共分四章，具体章节如下： 第一章，绪论简述了动力系统的发展以及国内外研究现状，介绍了本课题研 究所涉及的基本数学理论、方法及进展 第二章，预备知识给出相关基本概念和基本知识并给出了一些符号的约定 第三章，整体弱解的存在唯一性与稳定性我们得到了如下主要结论： 解的存在性定理： 引理3 1 3 设非线性项厂满足( 3 1 ) ( 3 4 ) ，“o ，u l h 1 ( r 3 ) ，g ( x ) l 2 ( 1 2 3 ) ， 那么方程( 1 1 ) 有下列意义的弱解：对于任意的t 0 “r ( o ，t ；h 1 ( 尺3 ) ) ：u t r ( o ，t ；h 1 ( r 3 ) ) ；u 。r ( 0 ，t ；h 1 ( 尺3 ) ) ； 4 对于任意的实验函数伊h 1 俾3 ) = 0 a e t 【o ，t 】 且 u l ，：。= “。( x ) ，u t | ，= o = “。( 石) ， i nh 1 ( r 3 ) 解的连续性与唯一性定理： 定理3 2 1 设非线性项满足( 3 1 ) 一( 3 4 ) 且有甜o ( x ) ，u i ( 石) ，v o ( 石) ，v i ( x ) h 1 ( 尺3 ) 则初值问题( 1 1 ) 有唯一的整体弱解，映射s ( t ) ：tju ( x ，t ) 是连续的，并且对任意的两 个解“v 存在p 0 ，使得对一切的t 0 有 - v l i p 。e 其中彳= l “。一v 。1 2 + 一l | 2 + 慨一v 。n 第四章，利用算子分解方法证明当初值属于日1 ( r 3 ) h 1 ( r 3 ) 时；全局弱 解的渐近正则性，设u ( x ，f ) 是系统( 1 1 ) 对应初值z o = ( “o ，“i ) h 1 ( 尺3 ) xh 1 ( 尺3 ) 的唯一解，全局弱解分解为 “( f ) = 1 ，( f ) + 0 9 ( 0 这里y ( f ) 和c o ( t ) 分别是下面两个初值问题的解 i 一a v f a v f l z l v u + f ( v ) = 0 1 叫，：。= ，v , i 瑚= “。 及 l 吼一q a c o l 哦x c o 盯+ f ( u ) 一f ( v ) = g l i ，：0 = ，i ，：。= o 定理4 2 1 对任意给定的r 0 ，存在m o = m o ( 尺) 0 和k o = k o ( 尺) 0 ，使得 当i z 0 | i o 0 ) ，使 得下面的估计式成立 2 + ，+ 已m 口 5 其中常数m 盯( o ) 依赖于乃在h 。( 尺3 ) 日4 ( r 3 ) 中的界 引理4 2 6 任给的仃0 1 ，设岛是日口( 尺3 ) h 口( 尺3 ) 中的有界集，那么存在常 数m 口( 0 ) ，使得下面的估计式成立 2 + 口+ u t 儿也 其中常数m p ( o ) 依赖于岛在h 口( 尺3 ) h 口( 尺3 ) 中的界 由此证得整体弱解的全局吸引子的存在性和正则性，其中非线性项厂满足临 界指数增长： 定理4 2 1 0 设满足( 3 1 ) ( 3 4 ) 式，则半群爷( f ) ) 脚在h 1 ( r 3 ) x h l ( 尺3 ) 中 存在全局吸引子，而且在h 2 ( 尺3 ) h 2 ( r 3 ) 中有界 6 第二章预备知识 弟一早 耿亩刘状 2 1基本概念 t e 朋a m 8 l ，b a b i n 9 1 ，c h o l e w 1 1 1 或s e l l 1 5 】等给出了无穷维动力系统全局吸引子 的相关理论概念及其存在判别定理 定义2 1 1 【1 4 】设】，是完备的度量空间，并且s ( f ) 是单参数族映射，定义为 s o ) ：y y ，t 0 ，且如果s o ) 满足下列条件： ( 1 ) s ( o ) = i d ； ( 2 ) s ( t ) s ( s ) = s ( t + s ) ， v t ，s 0 则称爷( f ) ) 脚是y 上的半群特别的，当映射s ( t ) ：t o ，+ o o rjy 关于( f ，x ) 是连续的， 则称 s ( f ) ) 脚为】，上的c o - 半群 定义2 1 2 14 1 若存在有界集b oc y ，对任意有界集b ，s ( t ) bcb o 当f 充分大时， 满足以下三个条件： ( i ) 具有某种紧性：a 在】，中紧； ( i i ) 具有不变性：a 是不变的，即v t 0 ，有s ( t ) aca ； ( i i i ) 存在吸引性：a 吸收y 中的任意有界集，即：对于】，中的任何有界集曰， l i m d i s t ( s ( t ) b ，a ) = 0 ，这罩d i s t 表示】，中的h a u s d o r f f 半距离即 如( b , a ) 2 骝如( y ，a ) - s 脚u p i 州n fs ( ) j ，- - x x y e dy e 届。 则称a 为全局吸引子 定义2 1 3 【14 1 设 s ( f ) ) 脚为】，上的半群，如果对y 中的任何有界集曰， jt = t ( 8 ) ，s t s ( t ) bc 玩， vt t 则称& 为 s ( f ) ) 脚的一个有界吸收集其中，时间r 依赖b 在y 中的界， 定义2 1 4 【14 1 设p ( f ) ) 舢是y 上的半群，对于y 中的任何有界集b ，称 缈 ) = n u s o 归 s o t s 为口的( 1 9 极限集，其中j 为彳在】，中的闭包 定义2 1 5 【1 5 1 设】，是完备的度量空间，彳为y 的有界子集， z c ( a ) = i n f 8 o i 彳的一个直径小于万的有穷开覆盖 则称盯( 彳) 为彳在】，中的非紧性测度 如果彳为】，中的非空无界子集，则定义x ( a ) = 0 0 7 定义2 1 6 t 14 1 设 s ( f ) ) 脚是曰以，l 口c 办空间y 上的半群，称 s ( f ) ) 舢是y 上渐近光滑 的，如果满足对】，上任何非空、闭、有界、j 下不变集b 都存在一个非空、紧子集jc b ， 使得，吸引曰 定义2 1 7 【4 1 设y 是度量空间，称半群 s ( f ) ) 脚是点耗散的当且仅当存在一个 非空、有界集bc y ，它吸引y 中的任何点，称半群 s ( f ) ) 脚是有界耗散的当且仅当 存在一个非空、有界集bcy ，它吸引y 中任何有界子集 2 2 符号约定 方便起见，在此对本文将经常使用的符号作如下约定： 记h 1 ( r 3 ) 相应的模与内积分别为 ( ( ) ) = l ，v “v v d xu i l 2 = l ，酬2 d x v u , veh 1 ( 尺3 ) 记r ( r 3 ) 及l e ( r 3 ) ( 3 p ， 兰6 1 d ( a2 ) 一p 之，s 【o ，丢) 积空间 e s = d ( a s 2 ) xd ( a s 2 ) v s r 3 ， 相应的模记为| | 1 1 2 并且，e o = h 1 ( 尺3 ) h 1 ( r 3 ) 令彳、b 为两个召口刀口幽空间，模分别为| | i l 一及l 矗，则 i l ( “，v ) 0 ：。占= 0 “i i j + 0 “0 ：，v ( u , v ) 彳b 用c 表示任意非负常数，在不同的行，甚至同一行中c 可能表示不同的常数 8 第三章整体弱解的适定性 对系统( 1 1 ) 整体弱解的适定性研究已经有很多的文献由于在多维情况下， 方程( 1 1 ) 中含有一肚“，项，所以需要进行高阶导数估计，但人们很难得到足够 高阶的导数估计有界域的情形下，对系统( 1 1 ) 的整体解的存在性的研究也有 了一些结果，尚【3 0 1 利用g a l e r k i n 方法，结合能量估计得到了系统( 1 1 ) 的整体弱 解的存在性与唯一性，并且讨论了系统( 1 1 ) 的整体强解的b l o w u p 问题；谢【5 2 】 利用g a l e r k i n 逼近得到了应变孤波存在性与唯一性，并得到孤波的解是连续依赖 于处置条件的；张3 1 1 利用位势井的方法研究了系统( 1 1 ) 的整体弱解的是定性问 题，得到了系统整体弱解的存在性与不存在性 3 1解的存在性定理 本节我们将研究初值问题( 1 1 ) 的整体弱解的存在性，对非线性函数 f c 1 ( 尺，r ) 作如下的约束： f ( s ) s 0 ，v s r ； ( 3 1 ) f ( 0 ) = 0 ，f ( s ) - c ，v s r ； ( 3 2 ) l 厂( s ) l c 0 + i s l p ) ，( o p 4 ) ，v s r ； ( 3 3 ) l 厂( ，) 一厂( s ) l c 卜一s 1 0 + i r l 4 + i s l 4 ) ，v s ，r ； ( 3 4 ) 记 f ( s ) = e 竹) d r , s r 仃= l i l i n 百1 ，半) ( 3 5 ) 设扣，) 为一在r ( 尺3 ) 中的一组标准特征函数，则有 ( q ，c o t ) = 岛，j ，k = 1 , 2 ， 对任意u h 1 ( r 3 ) 有 “( f ) = 口弘) 哆， ，= i 口，( f ) = ( “( f ) ，哆) ，衫( f ) = ( 哆( f ) ，哆) ，口；( f ) = ( ( f ) ，哆) ， j ，k = l ，2 ， 设系统( 1 1 ) 的近似解为 ( x ，f ) = ( f ) 哆( x ) 聆= 1 2 ， ，= l 9 ( 3 6 ) 令 记e 。= s p a n o l ，缈2 ，肋。) ，u 。e ，为e ( r 3 ) 到e 的正交投影， 只“= e ( “，q 川 由g a l e r k i n 方法，它应满足如下非线性常微分方程： 只“删一a u 。一a u 。，- u a u 。，+ 只，f ( u 。) = 只g ( x ) “。( o ) = 只u n t ( o ) = 只“i 引理3 1 1 ( 1 ) 假设( 3 1 ) ( 3 4 ) 成立； ( 2 ) u 0 ( 工) ，u l ( 石) h 1 ( 尺3 ) 则对任意丁 0 ，及式( 3 7 ) ，( 3 8 ) 的任意解“。( 工，f ) ，u n t ( z ，f ) 满足 0 “刖1 1 2 + 0 “。1 1 2 m 。，o t t 其中m 。为与n 无关的常数 证明：以u n t ( f ) 乘以( 3 7 ) 式两边，可得 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 互l 磊d ( 蚶+ i i “。1 1 2 + f l 1 2 + 2 l ，f ( “。) 一2 l ，g ( x ) “。) 也，| | 2 = 。 ( 3 9 ) h ( f ) = l u n t l 2 + 1 2 + 1 2 + 2 i r ，f ( u n ) 一2 丘，g ( x ) “。 ( 3 10 ) 由( 3 1 0 ) 及s o b o l e v 嵌入定理，则有 日( f ) c ( u0 2 + 1 1 2 ) 一| g f 2 对( 3 1 1 ) 从0 到t 积分，并用能量估计方法可得 则有 卜1 2 + 跏耵( 州d s 0 ，有 慨，1 1 2 + k 1 2 m ：， o t 0 ，在 o ，明上存在解“。( 工，t ) ，并由引理3 1 1 和3 2 2 知： 缸。( x ，f ) ) ，以w f ) ，伽。撑( z ，f ) ) 都在r ( 0 ，t ；h 1 ( r 3 ) ) 中有界所以由泛函分析知识可得， 存在伽。( z ，f ) ) 的子序列函，( 工，f ) ) 满足下列条件： “，( x ，t ) _ u ( x ，t ) 在r ( o ，t ；h 1 ( 尺3 ) ) 中是弱收敛的； “w ( 石，t ) ju t ( 五f ) 在l 2 ( o ，t ；h 1 ( r 3 ) ) 中是弱收敛的； “州( x ，t ) ju t t ( z ，f ) 在l 2 ( o ，t ；h 1 ( r 3 ) ) 中是弱收敛的； f ( u ，) 专z 在口( 尺3x o ，刀) 中也是弱收敛的； 并且 “，( x ，t ) 寸u ( x ，f ) 在口( r 3 “o ，邪) 中是强收敛的； “。( x ，t ) 一u ( x ，t ) 在r 3 0 ，t 】上是儿乎处处收敛的 以上知识，用到如下结论： 甜 一嘤些氅i r ( o ，f ；1 ( r i ) ) j “，：， “，t y 弱收敛于l 2 ( o ，t ；h 。1 ( 尺3 ) ) l 由厂( “) 的连续性及“。( x ，t ) 几乎处处收敛于u ( x ，t ) 有f ( u ，( x ，f ) ) 几乎处处收敛于 厂 ) 并且： l i 厂( “。) 0 薹，：，。，j ：l ，( i ( “，) i5 d x ) d t 驴( 0 t ；l 5 ( ，1 ( 足5 ) ) ) 一 c j ：枷+ 蚶) j d x ) d t c n ( 1 懒i 1 6 ) d x ) d t i g n 在r ( o ，t ；h 1 似3 ) ) 中是一致有界的，故( ) 在_ ( 啦：，f 封1 f 嚣3 ) ) 中关于嚣一致有界，且 有 “。一“在三2 ( o ，t ；h - 1 ( r 3 ) ) 中是弱术收敛的； a u wj 哎在r ( o ，t ；h - 1 ( 尺3 ) ) 中是弱叫殳敛的： a u 州一在r ( o ，t ；h 叫( 尺3 ) ) 中是弱木收敛的； 存在 觎。 的子序列 g u ，) 使得 g u , 一g u 于l 5 ( o ，t ；h 。( 只3 ) ) 中弱木收敛 其中g u 。= u 。f f - a u 肼- a u 。一“槲+ 厂( 甜。) 一g ( x ) 驭n = v - - o o ，注意到 q ( x ) ) 在日1 ( 尺3 ) 中稠密，即对任意的r ( o ，t ；h 1 ( 尺3 ) ) 有 r d t = o 在l 5 ( o ，t ；h 一( 尺3 ) ) 中成立 从而由、王，的任意性知，对任意的矽h 1 ( 霞) ，有 = 0 a e t o ，t 为7 i i e u ( x ，f ) 是系统( 1 1 ) 的弱解，必需验证初值条件“i 脚= “。( x ) ，“，i 瑚= ( x ) 在 h 1 ( 尺3 ) 中由上述估计式便很容易得到，在此我们不再重复，因此u ( x ，t ) 是问题( 1 1 ) 满足 初值条件u o ( 石) ，u l ( x ) h 1 ( 尺3 ) 的全局弱解 1 2 3 2解的唯一性定理 定理3 2 1 设非线性项厂满足( 3 1 ) ( 3 4 ) 且有“o ( z ) ，“i ( 石) ，v o ( x ) ，1 ，l ( z ) h 1 ( r 3 ) 则初值问题( 1 1 ) 的整体弱解是唯一的，映射s ( t ) ：t u ( x ，t ) 是连续的，并且对任意的 两个解u ，1 ，存在p 0 ，使得对一切的t 0 有 i u v l l p 。p ( 3 1 8 ) 其中 虏= l “。一v 。1 2 + 一j 1 2 + 慨一v 。0 2 ( 3 1 9 ) 证明：设“，y 分别是问题( 1 1 ) 对应于初边值条件( “。，u 。) ，( v 。) 的两个弱解，令 缮一，则缈满足 线“俨y 肚m ) 一m ) ( 3 2 0 ) l缈i ，= 0q l ，= 0 w w 对方程( 3 2 0 ) 的两边乘以c o t 再积分，整理得 吉和q 1 2 + l i 缈i | 2 + 地u 2 】也1 1 2 + l ， 厂( 小m ) h 出= o 由引理3 1 1 ，增长性条件( 3 3 ) 及s o b o l e v 嵌入定理对一切t 【0 ，t 】 ，f ( y ( f ) + 锄( f ) ) l j m r v f 【o ，明 其中常数m r 仅依赖于初粤及丁，o 秒1 ，故 “( “) 一厂( v ) h d x ( 上，i f ( v ( f ) + 铴( 晰) j ( l m ) 否( l ，g o t6 ) i c ( 2 + o j ，怖 其中c 为正常数 存在正常数r 使得 互1 以d ，t l , , , , 1 2 + 0 缈0 2 + | 彩，12 i 1 缈，1 2 + i i 国0 2 + i i q 0 2 】 于是有 i 缈。1 2 + 0 缈1 1 2 + i i 缈。1 1 2 ( i 缈，1 2 + 0 国。0 2 + l l 缈。0 2 ) p 2 n ， v ( x ，f ) 毒r 3 o ，r 】 其中= u o - - v 0 ，q = u l y l ，取p = 2 f ，则式成立若u o = ，o ，u l = 1 ，l ，由上式有国= 0 即= ， 1 3 第四章h ( r ，) h - ( 尺，) 的全局吸引子 在这一章中，我们来证明系统( 1 1 ) 对应解半群秘( f ) ) 脚在日1 ( r 3 ) x h l ( 尺3 ) 中 全局吸引子的存在性 对于耗散半线性双曲方程全剧吸引子的存在性研究已有很多的成果，如强耗 散半线性波方程 i “f f + h f 一晓“，- a u + 厂( “) = g i nr r + 【“( 石，o ) = “o ， u t ( x ，o ) = v o ( x ) i nr 在局部一致空间中的全局吸引子的存在性等 在本章中，我们取满足的条件与第三章相同，并令1 ，= 材，+ 统，万为待定的 足够小的j 下常数，则方程( 1 1 ) 转换为 u 一面+ 艿2 u 一( 1 一万+ 万2 ) “一u 一( 1 6 ) a v = f ( u ) ( 4 1 ) 4 1 日1 ( r ，) x h l ( 尺3 ) 的有界吸收集的存在性 由能量估计方法，我们有下列结论： 引理4 1 1 对于某个r 0 ，设有 忖。，“。) i l 0 有： ( i ) l b 川2 + 0 “1 1 2 + j ：| i u t ( s ) 1 1 2 d s 人。( 尺) ( 4 2 ) ( i i ) 1 2 + j ：| l u t t ( 哪d s _ a ：( r ) ( 4 3 ) 其中人，( r ) 和人2 ( 尺) 是依赖于r 的常数 证明：用u ，与( 1 1 ) 作内积并在尺3 上对x 积分 j l 瓦d ( 蚶制1 2 + 删| 2 + 2 正，( “) 一2 i r ，g ( 工) ”) + u t | 1 2 = 0 ( 4 4 ) 令 h ( t ) = u t l 2 + 2 + 0 u t 0 2 + 2 i r ，f ( “) - 2 i r ，g ( x m ( 4 5 ) 由( 4 5 ) 及s o b o l e v 嵌入定理，则有 h ( f ) c ( u l l 2 + i b ，0 2 ) 一i g l 2 ( 4 6 ) 对( 4 6 ) 从0 到t 积分，并用能量估计方法可得 l 缸，0 2 + 1 1 “0 2 + j ：i i i i t o ) 8 2 d s _ a 。( r ) 用u ，与( 1 1 ) 作内积并在尺3 上对生积分 1 4 l ”，1 2 + f i “。0 2 ，i v “0 v 甜，l + l ，i v u , v “i + 上，i ( “) 0 “，i + l ，i g ( x ) 0 “