（计算数学专业论文）基于积分方程的逆时热传导问题数值方法研究.pdf

中文摘要 。 中文摘要 这篇论文研究在一般二维区域dcr 2 上求解二维逆时热传导问题；这些问 题产生在许多工程领域中，如考古学和反应扩散进程等它的物理描述是从在时间 t 0 时温度场的测量值来确定初始温度场分布，数学问题归属于抛物方程的逆 问题本文研究了一般二维区域上的逆时热传导问题的数值方法，首先基于位势理 论把逆时热传导方程的求解转化为等价的积分方程的求解，然后利用一种改进的 t i k h o n o v 正则化方法求解此问题最后通过数值实验验证了所给方法的有效性 本文分为四个章节在第一章中给出了热传导问题及逆热传导问题的有关知 识；第二章介绍了不适定问题的基本概念，t i k h o n o v 正则化方法，改进的t i l 【h o n o v 正则化方法以及正则化参数的选取；第三章建立了二维热传导问题的数学模型，并 给出了基于积分方程的数值方法；第四章对二维逆时热传导问题进行了不适定性分 析，基于积分方程的正则化方法对该方程进行了求解，同时对该算法进行了数值模 拟 关键词：逆热传导问题；积分方程；不适定问题；正则化方法 a b s tr a c t t h ea i mo ft h i sp a p e ri st op r e s e n ta ni n v e r s i o ns c h e m ef o r2 db a c k w a r dh e a t p r o b l e mi ng e n e r a l2 一dd o m a i ndc 尺2 s u c hp r o b l e m sa r i s ei nm a n ye n g i n e e r i n g a r e a ss u c ha l sa r c h a e o l o g ) ra n dr e a c t i o n d i 肋s i o np r o c e s s t h ep h y s i c a ld e s c r i p t i o ni s t od e t e r i i l i n et h ei n i t i a lf i e l dd i s t r i b u t i o nf r o mi t sf i n a lm e a s u r e m e n tg i v e na ts o m e t i m et 0 m a t h e m a t i c a l l y ，t h i sp r o b l e mb e l o n 驴t ot h ec a t e g o r yo fi m r e r s ep r o b l e m sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o 璐t h i sp 印e rs t u d yt h en u m e r i c a lm e t h o do fb a c k 、眦d h e a tp r o b l e mi n g e n e r a l2 一dd o m a i n f i r s t l yb a 8 e do nt h ep o t e n t i a lt h e o r y w e t r a n s f o r mt h es o l u t i o no fb a c k w a r dh e a te q u a t i o n si n t ot h a to fe q u i v a l e n ti t e g r a l e q u a t i o n s ，t h e na ni m p r o v e dt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o dc a nb eu s e dt os o l v e t h ep r o b l e m f i n a u y ，肌m e r i c a lp e r f o m a n c e sa r e 百v e nt os h o wt h ev a l i d i t yo ft h i s r e g u l 龇i z i n gs c h e m e t h i sp a p e ri so r g a n i z e df o rf o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1w ei n t r o d u c es o m e k n o w l e d g eo fh e a 七c o n d u c t i o np r o b l e ma n di n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m ；i n c h a p t e r2 r ep r e s e i l tt h ef u n d a m e n t a ld e 丘n i t i o n sf b ri 1 1 p o s e dp r o b l e m ，t i k h o n o v r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，i m p r o v e dt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o da n dr e g u l a i 电i n g p a r a i n e t e rs e l e c t i o n ；t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo f2 一dh e a tc o n d u c t i o np r o b l e mi s e s t a b l i s h e di nc h a p t e r3 ，a n dp r o p o s et h en u m e r i c a lm e t h o db a s e do nt h ei n t e g r a l e q u a t i o n ；i nc h a p t e r4w ea n a l y z et h ei l l - p o s e dp r o p e r t yf b r2 db a c k w a r dh e a t c o n d u c t i o np r o b l e m ，b a s e do nt h ei n t e g 训e q u a t i o n sr e g u l a r i z i n gm e t h o d ，w es 0 1 u t e t h ee q u a t i o na n dg i v et h en u m e r i c a ls i n m l a t i o nf o rt h ea l g o r i t h m k e y w d r d s ： i n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m ；i n t e g r a le q u a t i o n ；i l l p o s e dp r o b l e m ； 王沁g u l a r i z a t i o nm e t h o d i i 黑龙江大学硕十学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名：多鹾与，薪 签字日期锄谚年| 月多7 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：瓣扬 签字日期够时月多7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 缪主蒙 电话： 邮编： 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 数学物理反问题是一个新兴的研究领域，它有别于传统数学物理方程的定解问 题反问题研究由解的部分已知信息来求定解问题中的某些未知量，在很多领域都 可以提出反问题【1 ，2 ，3 1 ，如微分方程中的系数，定解问题的区域或者是某些定解条 件用系统论的语言来讲，反问题是由输出结果的信息来反求系统的某些结构特征 反问题在医学成像，无损探伤，气象预报等领域都有着广泛的应用，对应于由介质 外部可测量的间接信息来确定介质内部结构的问题根据x 射线的投影来探测人体 内部结构的c t 成像问题，地质勘测部门在重力异常探矿中提出的地下波场的解析 延拓问题，无线电工程上由有限频率区域上的频域信号确定时域信号的问题，雷达 成像中由反射波信号确定散射体几何形状的问题，中长期数值天气预报的问题等， 都是典型的这类问题 和正问题相比，数学物理反问题的发展历史相对较短，一直到2 0 世纪6 0 年代 的中期才成为一个真正的研究领域，引起数学家和应用科学家的广泛重视和深入研 究产生这种现象的原因来源于反问题大都具有不适定性的特点，这个特点也是反 问题研究的难点所在作为不适定问题的一个重要的研究课题，数学物理反问题一 直和不适定问题联系在一起 本文所研究一般区域上逆时热传导问题的数值算法就归属于此范畴，考虑的模 型方程如下： i 让t = u ( z ，可，t ) q ( o ，t ) ， ui a q = oo 0 时的温度场分布u ( z ，t ) ：= ，( z ) 来求t 0 的算 子k ( 秒，q ) 为方程f z = 可在z = 矿( 矿为方程f z = 秒的一个解) 邻域内的正则算 子，假如它满足下述两个条件： ( 1 ) 存在6 1 o ，使算子k ( ，q ) 对于所有的q o 和满足条件恬一纠l 6 o ，存在6 ( ) 6 ，若 l i 可一y 6 l l 0 ( 1 ) ( q j + f + f ) 是有界可逆的，冗q ：= ( q j + f + f ) 。f ：y 斗x 是f z = 可的 一个正则化解算子，i i 如i l 丢老对应于近似的右端数据矿，f z = 3 ，的t i k h 。n o v 正则化解铲，5 = 忍。矿由 q z a ，占+ f + f z q ，j = f 矿 唯一确定正则化参数q = q ( 6 ) 只要在6 0 时满足 q 札晶一。 就是允许的取法 ( 2 ) 设z = f + z f + 可，l i z l i e 则取q ( 6 ) = c 6 e 时，有估计 彬n 6 叫i 丢( 去+ 以) 俪 ( 3 ) 设z = f + f z f + f ( x ) ，m l e ，则取q ( 6 ) = c ( 6 e ) 2 3 时，有估计 彬n 6 一z | l ( 壶+ c ) e 1 俐3 关于非线性算子f 在比较弱的条件限制下t i k h o n o v 正则化方法的收敛性可参 见文献f 5 3 1 一7 一 黑龙江大学硕十学位论文 2 2 2 改进的t i k h o n o v 正则化方法 考虑下面这个不适定算子方程 f ( z ) = ( 2 1 ) 这里f ：x y 是日i f 6 e r t 空间x 到日i f 6 e 7 t 空间y 的一个线性紧算子在实际 问题中，我们紧紧能给一个扰动数据矿和一个已知的误差水平6 一调l 6( 2 2 ) 由精确数据我们定义( 2 1 ) 的精确解为z 。我们的目的是由矿确定关于巩 对应的近似解为此，我们引入下面稳定泛函 西。( z ) = q i i f ( z ) 一! 6 1 1 2 十( 1 一q ) i i z z o i l 2 ，o q o 知 z n ) 为x 中的的c a u c h y 列，令l i 田z n = z ( q ) x ，由圣q ( z ) 的连续性得圣o ( z n ) 一面d ( z ( q ) ) ，即圣口( z ( q ) ) = 圣o ，从而圣d ( z ) 的极小元存在性证 毕 对比x ，直接计算得： 圣q ( z ) 一圣d ( z ( q ) ) = q i l f z 一可1 1 2 + ( 1 一q ) l i z i l 2 一q l l f z 。一可i | 2 一( 1 一q ) l i z ( 口) 1 1 2 = 2 冗( z z ( q ) ，q f + ( f z ( q ) 一可) + ( 1 一q ) z ( q ) ) + q i i f ( z z ( q ) ) 1 1 2 + ( 1 一口) i f z z ( q ) 1 1 2 由此等式求解泛函钆( z ) 的极小元与求解方程( 1 一口) z ( 口) + a p 凡r ( 口) = 口p 秒的 解是等价的 记t ：= ( 1 一q ) j + q p f ，对w x ，有估计 ( t 西，西) = ( 【( 1 一q ) j + q f + f 】西，圣) = ( 1 一a ) ( 圣，西) + q ( f 圣，f 西) = ( 1 一a ) i i 圣1 1 2 + q l l f 圣1 1 2 从而可得( 1 一q ) i | 圣jj 2 ( 1 一q ) l l 西i | 2 + q l i f 圣1 1 2 = ( t 圣，西) ，即丁是严格强制的 由l a x - m i l g r a m 定理知丁存在有界逆t _ ：x x ，从而知存在z ( 乜) x 是 ( 1 一q ) z + q f 4 f z = q f + y 的解 下面的定理指出当q _ 1 时z ( q ) 是z 。一个很好的近似 定理2 2 5 泛函圣o ( z ) 的极小值点若z ( q ) 存在，则有 咿( 啦) ) 叫l i 6 + 、等忙。一硼。 q 占的情 况由f ( x ) 在y 中稠密，k 是非空的寻找q o 使得( 1 一q ) z + q f + f z = q p y 的唯一解z ( q ) 满足： i l f z ( q ) 一训= 6 往证上述q 的存在性定义g ：( 0 ，+ ) - r ，g ( q ) ：= l l f z q 一训2 6 2 其中 z q 是方程( 1 一q ) z + q k + k z = q k + y 的唯一解因 g ( q ) = 2 ( f z ( q ) 一秒，f z ( q ) ) = 2 ( f 4 ( f z ( a ) 一可) ，z 7 ( q ) ) _ 2 ( 孚如) ，z = 一掣( 如) ，z o 由 慨g ( 口) = 2 6 2 ，姆g ( q ) = 忡( q ) 一训2 6 2 丁为二维热传导方 ，( z ，亡) = ：z 。帮( 可，丁) d s ( 秒) d ( 丁) 一丢( z ，t ) v ( z ，t ) a 。( 。，t 】 ( z ，亡) = z z 。帮咖( 箩，丁) d s ( 可) d ( 丁) ( z ，力。( 。，卅 t = 御，( z ，可，t ) d ( o ，t 】， ( z ，t ) = ，( z ，) ， ( z ，t ) a d 【o ，t 】， 钉( z ，0 ) = 0 ， z d 的解，此外【z ，o ) 丽足相蓊性条件 证明：对于双层位势口( z ，t ) 在( z ，t ) d ( o ，t 】上关于t 求一阶导数得： 驴z ，。蒜她d s ( 蜘 ( 删 关于z 求二阶导数得： 址z z 。嵩地一d s ( 舭 ( 3 - 4 ) 由( 3 3 ) 和( 3 4 ) 可得： u t 一钉= z 。z 。警咖( y ，丁) d s ( y ) d ( 丁) ( 3 - 5 ) 第3 章2 d 热传导问题 因g ( z ，t ；可，7 _ ) 为二维热传导方程的基本解，由基本解的性质可知g ( z ，；可，7 ) 满足： g t “肛一 ，= 悟甚：嚣 倍6 ， 6 ( z ，t ；可，丁) ( 夕，7 ) d 可d ( 丁) = 咖( z ，亡) ( 3 - 7 ) 而在( 3 5 ) 式中，( z ，) d ( o ，t 】，( 秒，7 - ) a d ( o ，t 】因此( z ，t ) ( 箩，7 ) ，从而 饥一 = 0 ，且pu = 当z - a d 时，由双层位势的跳跃性知： t ，( z ，t ) = z z 。掣咖( 可，丁) d s ( 秒) d ( 丁) 三咖( z ，t ) = ，( z ) 显然口( z ，o ) = 0 ，z d 因此，双层位势u ( z ，t ) 是热传导问题的解 定理3 1 2 方程( 3 - 1 ) 和( 3 2 ) 的解在亡= t 处满足： ( 秒，7 - ) d s ( 可) d ( 7 ) ( 可，7 ) d s ( 暑，) d ( 7 ) ( z ，可，t ) d ( o ，t 】， ( z ，亡) a d ( o ，t 】， z d ( 3 - 8 ) 证明：设二维热传导方程的解让( z ，亡) = u ( z ，t ) + 叫( z ，亡) ，其中u ( z ，亡) 是 i 仇2 血 ( z ，亡) = 一叫( z ，z ) ( 3 - 9 ) l u ( z ，o ) = o 的解叫( z ，t ) 是 k 亲纵z ， c ， 的解利用引理3 1 1 可知此定理成立 给定初始温度u o ，这个定理实际给出了求解一般二维区域正问题的一种可行的 数值方法这个方法的优点是在每一步我们只需要解一个二维问题，而一般的数值 方法，如有限差分法在空间d ( o ，卅上需要解决一个三维问题 下一节我们将介绍这个模型方程的解法 秒n n 一 矽盟，竖， b一皓如l，赶喏 二乱 m ! d与k i t l 一 正厅。州嗜f 研 + + e ) 飞， 扩d 功 j l 钆知嘶吣 = = = d 力 d 黑龙江大学硕十学位论文 3 2 基于积分方程的数值方法 由定理3 1 2 知为计算u ( z ，丁) 只需分别计算 咐) = 刍上e 计学h 咖 和 令 ：。重! 掣( ，丁) d s ( 可) d ( 丁) o a d 1 i i 矿9 l 可，1 j s 【可j a l 7j ( a ) ( z ) = 点上e 印( 一堕云进) 札。( 可) 白， v ( z 。( 。，t 】 ( b 。) ( z ) = 2z z 。帮( 秒，丁) d s ( 秒) 打，v ( z ，t ) a 。( 。，t 】 则方程( 3 8 ) 可简写为 a t 缸。( z ) + ? t ( z ) = 2 乱( z ，t ) ( z ，t ) d ， ( 3 - 1 1 ) i ，z ) 一b ( z ) 一a 。u o ( z ) = o ( z ，亡) a d ( o ，卅 、 7 下面分别离散b ，乱o ( z ) ，即离散算子和b ，我们首先来处理 对比，可a d ，z y 直接计算，我们有 a g ( z ，t ；秒，7 - )口( y ) ( z 一秒) 如( )4 丌( t 一丁) 2e 讣黟) ( 删垆z 。z 耕唧( 一黟m 渺d s ( 夕) ：竺垒辱掣砂( z ，秒，t ) d s ( ) 凹i z y 1 2 岬剀v 7 妒( z m t ) = l z 一卯z 石若孑e 印( 一妊 等) ( y ，丁) 打 妒( 灿，t ) = 将妒( 砌，t ) = 妻( 州)z + 掣7 r 这个证明在文献【5 5 】中能找到，这里省略 第3 章2 d 热传导问题 假设边界a d 的参数表达为a d ：= r ( p ) ：= ( r 1 ( p ) ，7 2 ( p ) ) ，p 【o ，2 7 r 】) ，这里 r ( p ) 是以2 7 r 为周期的光滑函数因为 口( 可) = ( r 2 7 ( p ) ，一r 1 ( p ) ) l r 7 ( p ) l ：= ( r 7 ( p ) ) 上i r ( p ) l 我们有 ( b ) ( z ) = 2 霄! ! j 翌苦警彩，口，z ) d g ，z 可 另一方面，由l h o s p i t a l 法则，我们有 将器高掣= 帮 由上面的分析，我们得到 定理3 2 1 对z = r ( p ) a d ，算子b 2 有表达式 ( b 2 ) ( z ) = 6 ，q ) 妒，口，t ) d g 其中 够，口，t ) = 善。斟e z p ( 一错) ( r ( 口) ，丁) d 丁p q ， 【妻( r ( g ) ，t ) p = g 地萨 【 ( r 0 ) ) 上 i r ( p ) ( r ，( 口) ) 上 2 l7 - ( 口) p ) 一r ( q ) ) r ( 口) 1 2 ( 口) p 口， p = 口 c b 丁纠c z ，= z 2 丌z 垡鼍兰掣e 印( 一与云垒警，c r ( g ) ，丁) 打d q 下面用矩形公式计算上面的积分在【o ，2 丌】，【o ，t 】，【o ，l r ( s ) | 】上网格剖分吼= i 2 7 r 1 ，k = m t 2 ，仇= 七l7 ( s ) l 3 ，其中江o ：1 1 ，m = 1 ：2 ，尼= 1 ：3 这里我们考虑区域为圆的模型问题z = r ( c d s 口，戚n g ) d = b ( o ，r ) 经过计算我们 有 c 删奶羔挚萎e 讣型一m ， c 删牡一罴篆卜酬州警e 讣骂矬产 黑龙江大学硕十学位论文 ( b 侪) ( z ) 一 ( a ”仳o ) ( z ) r 2 t 2 l 2 r 2 1 增 饰7 ，删胭一2 一击鲫，2 ) 1 1 伉一1 【1 一c 。s ( 俄一吼，) 】e 印 i = o m = l r 2 ( 1 一c d s ( 吼一吼，) ) 砸，m ) ) 巾m 一2 一击州，琉) 2 ( 佩一z m ) 塾要酬一丝学 求解( 3 1 1 ) 等价于求解下面的离散方程 ) 让o ( 七，t 7 ) 差薹州“灿( “) + 笺喜似洳m ) 饰 m ) 一击饰 2 ) ：2 u 眩t ) a ，( 克7 ，i ) u 。( 七，i 7 ) + a z ( i ，i ，m ) 州，m ) 一志抛2 ) = 2 u ( i ，t ) f = 1i = o 一= 0r n 2 l 一 3 1 1 l 一1 地m ) 一局( i ，m ，i ，尼) 乜。( 尼，i ) 一 詹7 = l 7 = 0i = o 其中 a ( 昆7 ，t 7 ) = 七r 2 t n l n b 1 ( t ，m ，七) = a 2 ( i ， ，m ) = 一 e 印( 一 七兄2 l 增 r 2 丁 2 1 2 b 2 ( i ，m ，f ，吼) = 一 薹蜘删i 川一枷啦。 r 2 + r ：，一2 r 仉c d s ( g 一 尤 一、吼，) e 印( 一 7 2 + r ：，一2 7 r j c ，c o s ( g 一俄)虑 、。 4 如 【1 一c o s ( 口i 一种) 】e 印( 一墨玉三云掣) ( t 一) 2 r 2 t 2 v 1 2 1 一c 。s ( 俄一吼，) 】e 印( 一生兰q 丢云掣) ( z 佩一亡m ) 2 由上即可求出缸( z ，t ) 在下一章将介绍有关二维逆时热传导问题的有关知识 一1 8 第4 章2 d 逆时热传导问题数值解法 第4 章2 d 逆时热传导问题数值解法 4 12 d 逆时热传导问题的数学模型 巨攀帅刃 洚1 ， 4 22 d 逆时热传导问题不适定性分析 三豪芗三兰。z ，t ，善三乏i z ( ：。， c 4 - 4 ， 逆问题等价于求叫( z ，t ) 使得 定义 u o ( z ) = 叫( z ，t ) 川，) 1 1 2 吣) 1 2 出 黑龙江大学硕十学位论文 直接计算，我们获得这是一个凸函数( 1 0 9 ( i l 山( t ) | 1 2 ) ”o ) 容易证明 i i ( 7 ) 1 1 2 i i 叫( o ) 1 1 2 e z p t ( i l 叫( o ) 1 1 2 ) i i 叫( o ) 1 1 2 ) 我们获得 l l 让o ( z ) 1 1 2 l l 钍( z ，丁) 1 1 2 e 印 2 丁| | v 乱( z ，t ) j 1 2 i | 让( z ，t ) ij ) 这个结果说明如果札( z ，t ) 在l 2 范数空间有一个小的改变，初始温度咖( z ) 将会很 大因此，逆时热传导方程是严重不适定的 下节我们将研究求解逆问题的方法 4 3 2 d 逆时热传导问题数值解法 ( a ) ( z ) = 熹上e 印( 一堕云止( 可) 咖 v ( z 。( 。，t 】， ( b 咖) ( z ) = 2z z 。帮西( 可，丁) d s ( 可) 打v ( z ，t ) a 。( 。，t 1 ( a t ) ( z ) + ( b t 帅) = 2 u ( z ，t ) 比d ， ( 4 5 ) i ( z ，) 一( b 。) ( z ) 一( a 钆o ) ( z ) = o v ( z ，亡) a d ( o ，t 】 。 l ( 1 一a ) u o ( z ) + q ( ( a t ) a t 让o ) 0 ) + q ( ( a t ) + b t ) ( z ) = 2 q ( a t ) + ，( z ) + ( 1 一q ) 云o v 2 d ，( 4 6 ) i ( z ，z ) 一( b ) ( z ) 一( a 。u o ) ( z ) = ov ( z ，t ) a d ( o ，t 】 c 州一罴篆卜c o s 州】薹e 讣与黜产 饰，m ) ) m 伉一2 一击饰，佩) 第4 章2 d 逆时热传导问题数值解法 ( ”让o ) ( z ) ( a t ，( z ) ( a t 钆o ) ( z ) ( 4 t b r ) ( z ) 1 1 七e 印( 一 i = 0 l 一1 尼7 e 印( 一 7 = o r 2 + 7 _ ：，一2 r ，c d s ( q 一吼，)尤 、17 4 m 7 2 + r ：，一2 7 r 七，c d s ( q g ，)尤 、4 淼冬董州t i t 2 嵋乞“色v 。 e z p r 2 + 2 7 ；+ r ：， 一2 r 七 r c d s ( 口 ) 乱o ( 七7 ，i ) ) ，( 后，i ) 一吼) + r 七，c d s ( 吼一吼，) 】 2 n n 2 n e 印 1 1 2 1 彬，m ) 7 = om = l 4 t ( 丁一) 2 r 2 + 7 ；一2 r 7 七c d s ( q 一吼) t n n 3 1 1 e 印 i = o 4 t ( 一 ) ) 飓1 1 七( w d s ( 吼一吼，) 一冗) _ i c = 1i = o 砰+ r 2 2 r “c d s ( 吼一吼，) r 2 + r 2 2 他r c d s ( 口 4 ( t 一) 型) 地2 ) 4 t 于是未知量u o ( 七，i ) ，( i ，2 ) ( t = o ，1 1 ，七= 1 ，3 ) 满足下面的方程组 l 一1 = 1i ，= o 1 1 2 1 q ( 认船) 让o ( 办) + q 【g ( 池，仇) 州，m ) ，= 0 m = 1 n 3n 1 1 岛( t ，七) 地2 ) 】2 a = o 七= 1i = o q ( 后7 ，) ，( ，f ) + ( 1 一q ) 缸o 31111佩一1 1 地m ) 一州，) 州，t ) 一d 2 ( i ，m ，t 佩) 她m ) 一袁地佩) = o 七：li = o 一= om = 1 1 其中 c 1 ( i ，后，f ，七7 ) = 岛( i ，七，f ，m ) = 岛( t ，后) = 兄4 ，r 2 哦n 1 1 e 印( 一 i = o 1 2 2 鹏( t 一) 2 t n 专n 3 d 1 ( ，尼) = e 印( 一 e 印( 一 忌砰 t m 1 鹏 r 2 + 2 r l + r ：，一2 n p c d s ( q 一吼) + r ，c d s ( 吼一 啦 31 1 忌( “c o s ( 吼一吼，) 一冗) 七= 1 = 0 7 2 + r 2 2 7 弦c d s ( g一仇) r 2 + 卑一 4 t 2 仉兄c d s ( 口一吼) e 印( 一 虹 r 2 + r ：，一2 r 7 c d s ( g r 2 + r l 一2 兄7 七c d s ( 吼一吼，) ) 吼，) 4 m 一2 1 4 ( t t m ) 帆阳 一增 堡mh 肌阳 条 一t 伽 七 盹 h 一 3 卜 r 一 2 卜 r 七 帆脚 黑龙江大学硕士学位论文 嘶哪刖一罴s 刊蛔( 一华群) ( 铲2 由上即可求出u o ( z ) ，其数值实验将在下节给出 在求解方程 ( 1 一q ) z 。+ q f + f z q = a f + 秒( 4 7 ) 时，我们也可以用多尺度1 5 6 】【6 0 】基底的方法导出离散方程组，在利用矩阵相应的 高低频分裂法构造快速的计算格式，这里简单介绍一下这种思想 为了数值求解方程( 4 7 ) ，取x 的有限维子空间 k ：几) ，黼：= o ，1 ，2 ) ， 满足西j 蕊= x 令r 为x 到x 。上的正交投影，a n ：= r ( p f ) r ，( 4 7 ) 的 投影近似问题为：求z ：( q ) 使得 【q a 疗十( 1 一a ) 刀z ：( q ) = q ( 4 8 ) 其中露= r ( f + 6 ) 假设子空间序列矗有如下的嵌套关系： kc 叉_ + l ，n 姚 定义子空间职。+ 1cx l + l 使得k + 1 为和v + 1 的正交直和，即 + 1 = ko 上+ 1 记号uo 上y 表示当珏以u y 时，( 乱，u ) = o 这样，对克n 和仇就有 如下的子空间多尺度分解： 托十m = 虬。上巩+ 1o 上o 上帆+ m 设子空间凰和睨( i n ) 的基底分别为 u o j ：歹玩( o ) 和 j ：j 瓦( t ) ) ， 其中u ( o ) ：= d i m 和u ( i ) ：= d i m 眦分别为其维数，对n ，记磊：= o ，1 ，一1 ) 则有 = s p o 佗 龇j ：( ，歹) 厶) 其中厶：= ( i ，歹) ：i 磊+ 1 ，歹乙( i ) ) 记厶：= d i m ，礼n o 用g a l e r k i n 方法并用上述基底，则方程( 垂8 ) 当 n = 克+ m 时的代数方程组形式为：求z + m ( o ) ：= 口毛( o 【) ：( t ，j ) + m 】t r d t 棚， 使得 最+ m + a ( 1 一口) 一1 a 七+ m 】z ：( q ) = q ( 1 一a ) 一1