（应用数学专业论文）三类发展方程渐近行为的研究.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 无穷维动力系统与自然科学有着密切的联系，因此对它的研究具有十分重要 的现实意义。在这篇论文中主要介绍了动力系统的研究现状，以及对无穷维动力 系统吸引子的一些相关问题进行了研究。通过对三类方程解的渐近行为的考察， 得到了全局吸引子、指数吸引子以及渐近吸引子存在的一些结果。 首先，考虑了如下一类非经典扩散方程指数吸引子的存在性问题 l “f 一虬一a u = 厂( “) + g ( 石) i nq r + u ( x ，f ) = 0 o na q l “( 五o ) = o nn 其中g r ( q ) ，f ( s ) 是一个光滑函数，且，( o ) = 0 。 当f ( s ) 满足下列条件时，全局吸引子在磁( q ) 中存在。 l i m s u p 丛盟 ( 耗散条件) ， - l 一 j l 厂( j ) l c ( 1 + l s r ) s r ， l ，( j ) | c ( 1 + i j l 7 )， 5 ，s r ， 在论文第二部分中通过改进这些条件，证明了指数吸引子的存在，得到了更好的 结果。 其次，本论文还讨论了另外一类推广的b b m 方程的渐近行为 u t l f 埘一y u = = ，( “) + ( ( “) ) ，+ g ( 并) ( 工，f ) q r + ( 工，0 ) = u o ( x ) x q q = 0 ，三】 lu ( x + l ，t ) = u ( x ，f ) “是q 周期的 运用能量方程方法证明了全局吸引子在疗：( q ) 中的存在性。 最后，证明了如下的一维周期边界条件下b b m 方程存在有限维渐近吸引子 i a t 一甜埘一+ 以+ 埘= 0 ( 工，f ) q r + u ( x ，o ) = u o ( x ) 石q q = o ，2 石】 l 甜0 + 2 7 c ，t ) = u ( x ，t ) 甜是q 周期的 关键词：非经典扩散方程，全局吸引子、指数吸引子、b b m 方程，渐近行为， 弱连续性，渐近吸引子 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t t h e r ei sac l o s er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m sa n d s c i e n c e s o ，t h es t u d ya b o u ti th a sa ni m p o r t a n tv a l u e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ei n t r o d u c e t h ed e v e l o p m e n td u r i n gt h e s ey e a r sa n dm a i n l yc o n s i d e rs o m er e l e v a n tp r o b l e m sa b o u t a t t r a c t o r si nt h i sf i e l d w ea c q u i r es o m er e s u l t so f 目o b a la t t r a c t o r s ，e x p o n e n t i a l a t t r a c t o r sa n da s y m p t o t i ca t t r a c t o r st h r o u g hs t u d y i n gt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r so f s o l u t i o n sf o rt h r e ek i n d so fe q u a t i o n s f i r s t ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fe x p o n e n t i a la t t r a c t o rf o rt h en o n c l a s s i c a l d i f f u s i o ne q u a t i o n 1 一屿一a u = ，( ) + g ( 工) 加 q r + “f ) = 0 o n 铀 j “( 五o ) = u o o nq g r ( r 的，( 曲i sas m o o t h f u n c t i o n , ，( o ) = 0 i f ，( s ) s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ，g l o b a la t t r a c t o ri se x i s ti nh 0 ( q ) 1 i m s u p 塑 0 对于u 。h ，有d i s t ( s ( t ) u o ，) 岛p 一 ，v t 0 ；( 3 ) 吸引子在上。由于惯性流 形包括了吸引子，所以它弥补了吸引子对扰动不稳定这一情况，惯性流形对扰动 是稳定的，特别重要的是惯性流形是有限维的。若将整个系统限制在惯性流形上， 将形成一个常微分方程的动力系统，称之为惯性系统。正是基于以上原因，惯性 流形在提出来之后就成为一个研究耗散系统有限维行为的新的工具。到目前为止， 已经有大量的文献讨论惯性流形【9 】【10 】【1 1 l 【1 2 l f l 3 】。 虽然惯性流形的出现给人们带来了很多的惊喜，但是惯性流形的存在依赖于 一个限制性非常强的条件：谱间隙条件。但这个条件太苛刻，如n a v i c r - s t o k e s 方 程不满足这个条件。因此许多方程惯性流形的存在与否目前还不为人们所知。即 便如此，经过许多人的努力，对惯性流形的研究还是取得了一些新进展，如在以 下几个方面：( 1 ) 方程的广泛性、谱间隙条件的精确性、惯性流形的完全渐近性 ( 粗略地说，是指系统的每一条轨道被指数吸引到在惯性流形上的某一轨道，两 2 重庆大学硕士学位论文 1 引言及预备知识 者具有相同的极限集，限制系统于正不变的惯性流形上称为惯性形式，因此具 有完全渐近性的惯性流形，其渐进行为完全由惯性形式所决定) ；( 2 ) 连续不变叶 片( f o l i a t i o n ) 的存在性，完全轨线的增长特征：“( f ) = o ( e “) ，o - 0 ，tj - - - 0 0 ；( 3 ) c 1 正则性和正规双曲性：( 4 ) c 4 正则性。对大量的耗散型方程，由于谱间隙条件 不能被满足，因此惯性流形的存在性问题一直未能解决，这样近似惯性流形的存 在性以及其构造问题就自然地被提了出来。所谓近似惯性流形1 0 】f 1 哪是指一类非线 性有限维且具有一定光滑性的充分逼近于整体吸引子的流形。它的研究对探讨耗 散型方程借的长时间行为和吸引子的结构具有重要意义。 另外在某些情况下，全局吸引子可能非常简单，以至于它不足以用来描述动 力系统的某些行为，而谱间隙条件的限制使得若干非线性发展方程惯性流形的存 在是至今尚未解决的问题，为了研究吸引子，人们转向指数型吸引轨道且关于流 正向不变的一类紧分形集的研究，所以又出现了指数吸引子的概念【1 0 1 1 5 】【1 6 1 7 1 1 舯。 所谓指数吸引子是指一个具有有限分形维数的紧的正不变集合，它对解的轨道是 指数阶吸引的。指数吸引子可能不象惯性流形那样光滑，但由于它对解的轨道是 指数阶吸引的，所以它比全局吸引子有更好的稳定性。同时对有限区域内满足一 定条件的耗散方程以及二维n a v i e r - s t o k e s 方程的周期初边值问题的指数吸引子的 存在性问题已经得到解决【”l 。在给出指数吸引子存在性的证明中，有两点是最基 本的：一是必须找到一个紧的正向不变集，其二是必须证明 s ( f ) ) 。的挤压性， 挤压性的证明是以对线性算子的直交谱分解为条件的，但是对无界区域上耗散发 展方程，由于紧嵌入性遇到困难且算子不具有离散谱，因此上述两点的证明都显 得十分的困难，1 9 9 5 年，b a b i n 和n i c o l a e n k o 修正了“紧正向不变集”条件，引入了 带权空间构造一类紧算子，从而解决了无界区域上指数吸引子存在性问题，得到 一类无界区域上反应扩散方程的指数吸引子。 虽然人们相继提出了全局吸引子、惯性流形、近似惯性流形、指数吸引子等 概念，可是利用它们所得的近似系统与原系统之间缺乏较严格的等价性，为解决 这一不足，王冠香、刘曾荣提出了有限维渐近吸引子的概念( 见文献 1 9 2 0 1 ) 。 本文主要工作： 在本论文中，主要对三类发展方程进行了研究。 ( 1 ) 非经典扩散方程，这类方程主要出现在流体力学、固体力学、以及热传导理 论中( 见文献 2 1 2 2 1 ) i u t 一嵋一a u = 厂 ) + g ( 力 i n q r + u ( x ，f ) = 0 o n 铀 【“o ) = t o o nq 通过对该方程解的渐近行为的考察，运用解的先验估计以及解的分解等方法， 3 重庆大学硕士学位论文 1 引言及预备知识 得到了指数吸引子的存在性。 b b m 方程的一般形式为：u ，一“。一u 。+ ( 厂 ) ) ，= g ) ( 2 ) 对于如下形式的b b m 方程初边值问题 i u t l l 埘一，。o = 厂( ”) + ( j j l ( “) ) ，+ g ( 曲 ( x ，f ) q r + u ( x ，o ) = u o ( x ) x q q = o l 】 ju ( x + l ，力= u f x ，f ) “是n 周期的 由于半群s ( f ) 在疗三盯f i t ) 中是非紧的，通常证明吸引子存在性的方法如 t e m a m l l l 中以及r o b i n s o n 【3 1 中的方法在此处不适用了，故在本论文中首先证明 疗( q ) 中存在弱全局吸引子，再说明这个弱全局吸引子实际上就是强全局吸引 子。 ( 3 ) 对下面特殊形式的b b m 方程的周期初边值问题 i u t 一“删一+ 心 4 - u u ，= 0( x ，f ) f 2 x r + u ( x ，o ) = u o ( x ) 工f 2 q = 0 ，2 x i u ( x + 2 x ，f ) = u ( x ，f ) u 是q 周期的 利用( 文献 1 9 】) 中的方法，构造了有限维解序列来说明其渐近吸引子的存在性， 并证明了它在长时间后无限趋于方程的整体吸引子。 本论文是建立在前人的工作基础之上，参考了大量的文献。例如，1 9 7 2 年 b e n j a m i n ，b o n a , m a h o n y 研究水波时，首先提出了此类问题( 见文献 2 3 】) ，b o n a 刎 解决了这类方程的初边值问题的解的存在唯一性等问题，此后许多作者研究这种 类型的方程，并且逐步演化成为上述方程的形式。王碧祥【2 5 1 1 2 6 1 1 2 7 对这类方程的一 般形式讨论了吸引子的存在性问题， k a l a n t a r o v ；【2 8 1 讨论了高维一般b b m 方程， 并构建了近似惯性流形，c e l e b i 和 并考虑了指数吸引子的存在性。 1 2 一些泛函知识的准备 这里列出泛函分析里面的一些结论，将在本论文的后面不加说明地直接引用， 关于这部分的内容( 见文献 2 9 3 8 】) 。 1 2 1p 空间的一些性质 定义1 1 若一个偏微分方程满足以下条件： 1 ) 此方程有一个解； 2 1 此解唯一； 3 ) 解连续依赖于已知条件： 则我们称此偏微分方程是适定的。 定义1 2 对1 p r ，厂可测且j 1 ( x ) j ，d x o o 。 4 重庆大学硕士学位论文 1 引言及预备知识 p ( q ) = p i ，：q 专尺，厂可测且存在c ，使得：i s ( x ) r c ，口砌q ， ( q ) = 厂f ，( 国) ，任意有界开集粗历c q ) 。 当p = 2 时，口( q ) 是h i l b e r t 空间，其内积与范数分别为： ( ) = l u ( x ) v ( 工) 出i “i = i i “，= 她“) 声 如果z 是b a n a c h 空间，1 p o o ，砌口 6 佃，$ l j l p ( a ，b ；x ) 是( 口，a ) 至f j x 的函数，且它的范数为： 脚= 厂( f ) 峰出) 。 当p = 0 0 时，俨( 口，b ；x ) 是( 以b ) 到x 的可测函数空间，它是本性有晃的，也是 b a n a e h 空间且范数为： i l s l l z = 。，。；r ) 2 ：e , ，。s 。s 。u ，p l l f ( r ) 0 x 。 若 4 6 佃，则c ( 【口，6 】；x ) 表示【a , b 】到x 的连续函数空间， c ( a ，6 】；) ，后表示 口，b l 至g x 的后阶连续可微函数空间，它们的范数分别 为： k 删，2 ，别巾) 帆非柳= 矧万d s f k 棚洲。 另外， h 1 ( q ) = 扣r ( q ) ，见“vc n ) ，1 f ”) ， 砩( q ) = t h e c l o s u r eo fc 彳( q ) nh ( q ) ， ( ( 叩) ) 础。1 = ( ) + ( 日d f v ) 。 命题1 1 对l p o o ，我们定义f ( n ) 在下面的范数下是一个b a n a c h 空间： f，三 圳帅，： 功i 叫9 小佃 l i n f c ，i f l c ，4 七q ，p = 佃 同时，当l p 时，v ( n ) 是可分的。 定义1 3 空间p ( o ，t ；x ) 是由满足 1 ) m 即删= “i i 出) m l p o o 2 ) i l u l ( 。删2e s 。s s u p l l “i i 1 ，存在常数c = c ( n ，k ，p ) 使得： 1 ) 如果“瞄( q ) ，n q ，p 1 有： 4 “0 ，a 帅) 皿c u 1 l 。，m ； 2 ) 如果“孵9 ( q ) ，捍 矽有：“c ( q ) 且 s u p 怍c i 足房 美( 讹聊( 足) 尸翔眺i i ，雀 + ( 锄( k ) ) 高小一剖i i o u l l ，。 其中k = s u p p u 为函数的支集。 引理1 1 ( g a g l i a r d o - n i r e n b c r g - s o b o l e v 不等式) 假设l p 0 使得对任 意的“w o 9 ( q ) ，有： j 1 甜f 凼cj 1 v “| p d x 。 其它的一些口空间性质可以查阅( 文献【2 5 】 3 0 】) 。下面给出一些常用的不等式： h 0 1 d e r 不等式：当g 1 ，三+ 一1 ：l 时，有 gg 叭x ) v ( x ) 刮( 小工) h i ( 肌刮矿出) 孑 更一般的h o l d e r 不等式： 岫咖) 出l 冉( w 出) ，其中纠，喜去乩 带占的柯西c a u c h y 不等式：对任何占 0 和任意非负的a 、b 成立 曲兰a z + 1 b 2 ， y o u n g 不等式：当三+ 1 1 ：1 ，毛 o 时，有 挑如) ，+ 刍( 矿 定理1 6 ( c , r o n w a l l 不等式) 设玎( ) 是 o ，r 】上的非负绝对连续函数，如果满足不等 式： 玎o ) 庐( f ) 叩( f ) + y ( f ) a e t ， 其中( f ) 、y ( f ) 在 o ，r 】上为非负可积函数，对于任意的f ，0 t o ， f + ，g ( s ) 凼q ，卜( s ) d s t o 其中，q ，a 2 ，吃为正常数，则有： y ( m ) ( 争+ 啦 e d l ，v r 2 f o 。 定理1 8 ( 嵌入定理) 假定有界域q c 掣，弛c ” ， 1 ) 当m 一o 时o “i i c , - , , - c l “i i 帅) ， = 脚一恻也o 。 当聊一号正整数时，l r o o , 口= 一b ； ，l rl 当m _ n ：正整数时，1 r ，o 口 l ， 瓤删料蚴细即时懒算子( 啦产( 啦完全 连续的，或嵌入是紧致的。 2 ) 当m l 一了n = o 时，恤i l 哆( q - c l l “i i ，尹( n ) ；l p o o ，l r 。 当m - l - 詈 。时，i 卜。砟c 。) cj 卜 1 w , - ( 0 ) ；l ，s ，l p j i n 当o l m - i 时，1 p 互n 磊 ( 肌一1 一詈o ) 时，町( q ) c 叼( q ) 是完 全连续的嵌入算予a 定理1 9 设q c r “是有界域，鲫c 1 ，设l r o o ，o k m ，则嵌入算子 矽( q ) c 叨( q ) 是紧致的，其中1 p o 。 托十一一， ， 定理1 1 0 设q 是c 1 的任意有界集，则：对于v 吼，1 q l 0 0 ，嵌入 w 1 t 9 ( q ) c 口 ) 是紧的；若p 疗，对于v g l ，1 q l g ，嵌入 形( q ) c p ( q ) 是紧的；若l p 行，嵌入( n ) c c o 栩) 是紧的，v 嘶 口= l 一丢。 定理1 1 1 设q c r 4 是有界区域，则： 如果印 0 ，u s ( t ) a 在h 中相对紧，则( 彳) f d n 是非空、紧的不变集。类似地，若集合s f f l - i a ，t 0 非空且存在t 0 使得 u s ( f ) 。a 是相对紧的，则口f 彳) 是非空、紧的不变集。 ，确 7 定义1 1 2 对于有界集风c e ，如果存在f 0 ( b ) 0 ，使得对任何有界集b c e ，有 s ( f ) 曰c s o ，v t t o ( b ) ，则称岛为e 中的有界吸收集。 定义1 1 3 如果爿是紧吸引子且吸引抒中的所有有界集，则称a c h 是半群 s ( r ) j ，0 的全局吸引子。 定义1 1 4 对于中的任意有界序列 黾) ，t k 一时， s ( “) t 。在h 中是列紧 的，则称半群f s f f l 是渐近紧的。 f ! u 注：全局吸引子存在蕴涵了吸收集存在；反之，由下面性质可看出，半群若存在 吸收集，并满足其它一些条件，其吸引子也存在。 现在给出两个假设条件： 1 ) 算子s ( f ) 对充分大的f 是一致紧的，即任意的有界集b 一存在t o ( b ) ，使得 u s ( t ) b 在日中相对紧；( 1 3 ) f 2 缶 2 ) s ( f ) = 墨( f ) + 芝( f ) ，其中s ( t ) 对充分大的f 一致紧，最( t ) 是日一日连续 映射且对任意有界集c c 7 h ， r o ( t ) = s 2 p l l a = ( t m i _ o t - - o o 。 ( 1 4 ) 引理1 3 假设半群 s ( f ) 。满足( 1 1 ) ，( 1 2 ) 和( 1 3 ) 或( 1 4 ) ，则对于任意的 有界集s oc h ，缈( 岛) 是非空紧不变的。 引理1 4 假设半群p ( f ) ，。连续而且满足上面的假设条件1 ) 、2 ) ，则对任意有界的h 中的有界集晚，( 风) 是非空紧的不变集。 引理1 5 若u 是开凸集且k c u 是吸收紧集的紧不变集，则足连通。 定理1 1 2 设日是度量空间，算子半群p ( f ) ，。连续而且满足上面的假设条件1 ) 、2 ) ， 设存在开集u 和【，中有界集b ，使得b 是u 中吸收集，则占的极限集彳= ( 占) 是紧吸收集，吸收【，中的有界集，它是【，中最大的有界吸引子。更进一步，若日是 b a n a c h 空间，u 是凸的，而且映射s ( f ) ：u 0 一s ( f ) 对每个日中连续，则a 是 连通的。 定理1 1 3 设e 为b a n a c h 空间， s ( o ，t 2 0 为半群算子，s ( f ) ：e 专e ， s ( t + r ) = s ( f ) s ( r ) ，f ，f 0 ，s ( o ) = j ，其中i 为恒等算子。设半群算子s ( f ) 满 足以下条件： 1 0 重庆大学硕士学位论文 l 引言及预备知识 ( 1 ) 半群算子s ( f ) 在e 中一致有界，即对一切r 0 ，存在常数c ( r ) ，使得当 r 时，有l i s , ) 组l l 。c ( 足) v t 0 ，o o ) ( 2 ) 存在e 中有界的吸收集风。 ( 3 ) 当t 0 时，s ( t 1 为全连续算子。 则半群s ( t 1 具有紧的全局吸引子a 。 注：1 如果将条件( 2 ) 中的有界吸收集风改换为存在紧的吸收集合风，则条件( 3 ) 中s ( t ) 的全连续性可改为s ( t ) 为连续算子，这时定理1 1 3 仍成立。 2 有很多偏微分方程决定的半群不具有一致紧性，对于这样的方程，现在人 们常用的是验证所谓的“渐近紧性”( a s y m p t o t i cc o m p a c m e s s ) ，这在处理无界区域上 的偏微分方程的渐近性质等问题上有很多应用。最近，钟成奎 4 l 】等人在总结前人 的基础上提出并证明了吸引子存在的一个充要条件：存在有界吸收集，同时半群 是0 3 极限紧的。 1 3 2 指数吸引子基础知识 定义1 1 5 我们称半群j ( f ) ：z 一石，t o 存在指数吸引子总是指有这样的紧子集以 满足： ( 1 ) 以岛( 其中岛c 石是半群s ( f ) 的有界吸收集) ( 2 ) s ( f ) 以以 ( 3 ) 以有有限分形维数 ( 4 ) 存在不依赖于x 的常数c l 和岛使得对v x b ，当t 0 时， d i s t ( s ( t ) x ，以) sc le x p 一c 2 t 定义1 1 6 如果存在不依赖于u ，v 的有界函数( f ) ，使得 0 s ( t ) u s ( t ) v l l 妒( f ) 0 u 一1 ，i i 对任意的u ，x 都成立，我们称半群s ( f ) 在x 中是l i p s c h i t z 连续的。 定义1 1 7 如果对任意小的j 0 ，存在秩为n 的正交投影昂，q = ，一昂使得对 任意的u ，x ，或者有： i i s ( t ) u s ( t ) v “h 万i f “一v i k 成立 或者有： i i q i ( s o ) “一s ( t ) v ) | | 。司l r ( s o ) ”- s ( t ) v ) 。成立 则称半群在x 中挤压性成立。 对无界区域上耗散发展方程，由于紧嵌入性遇到困难且算子不具有离散谱， 因此上述两点的证明都显得十分的困难，1 9 9 5 年，a v b a b i n 和n n i c o l a e n k o 修正 了“紧正向不变集”条件，引入了带权空间构造一类紧算子，从而解决了无界区域上 指数吸引子存在性问题，得到一类无界区域上反应扩散方程的指数吸引子。我们 有如下定理成立； 定理1 1 4 我们称m 为半群s ( f ) 在x 中的指数吸引子，如果满足： ( 1 ) m 工，有s ( t ) m 互m 重庆大学硕士学位论文1 引言及预备知识 ( 2 ) 存在x 中半径为1 的小球对m 有有限覆盖 ( 3 ) s ( f ) 在x 中有一个整体吸引子 ( 4 ) s ( t ) 在m 中有挤压性和一致地l i p s c h i t z 连续性成立 1 3 3 吸引子的维数 定义1 1 8 集合x 的豪斯道夫测度为： ，啊( x ，d ) = l i 珥，0 ( 石，d ，占) = s u p , u u ( x ，d ，占) 其中砌( 石，d ，s ) = i n f ，这里i n f 是对一切覆盖x 的半径s 的球所取。 存在一个数d = 如( x ) 【o ，4 - 0 0 】，使得，白( 石，d ) = 0d 如( z ) ，啊( x ，d ) = 0 0 ，d o ，z r ( x ，d ) = 0 ) 其中作( 石，d ) = 錾受s u p s 4 n x ( s ) ， 以及所皑，d ) 脚( j ，d ) 故如( z ) d r 僻) 1 3 4 惯性流形概念 考虑发展方程：石d u + a u - - 厂( ) 【甜( o ) = “。 定义1 2 0 方程的惯性流形指的是有限维l i p s c h i t z 流形满足以下条件： ( 1 ) 是不变的，即有s ( t ) l u c ( 2 ) 指数的吸引方程的所有解，即存在常数岛 0 ，屯 0 对于u o h ，有 d i s t ( s ( t ) u o ，) 毛p 一 ，v t 0 ( 3 ) 吸引子在上。 重庆大学硕士学位论文2 一类非经典扩散方程的指数吸引子 2 一类非经典扩散方程的指数吸引子 2 1 介绍及主要结果 设qcr 3 是一个有界光滑区域，考虑如下方程： i u t a u t a u = ，( “) + g ( x ) i n q r + “f ) = 0 o na q ( 2 1 ) j “( 五o ) = n o o r q 其中g r ( q ) ，f ( s ) 是一个光滑函数，且，( o ) = 0 。x i a oy 在( 文献 4 0 】) 中讨论 了这个方程解的渐近性质，证明了如果下列条件( 2 2 ) - ( 2 4 ) 满足： l i m s u p 丛生 ( 耗散条件) ， ( 2 2 ) p i 呻 j 其中 为算子a = 一的第一个特征值，d ( a ) = h 2 ( q ) n 司( q ) ， i 厂( j ) 巨c ( 1 + f s r )jr，(23) i ，( s ) 肾c ( 1 + l s r )， 0 和x 的有限维子空间墨，使得们p 。s ( t ) w i | 有界，而且0 ( ，一p k 弦( f h | | o ，可以覆盖舶q 半径釉有限集合 命题2 4 4 1 1 令x 是一个无穷维b a n a c h 空间，并且有如下分解： x = x l + x l ，d i m x l 令p ：石_ 置是正交投影，q = ，一p a 为x 有界子集，如果a i a m ( q a ) 占， 则 ，( 彳) 占。 2 2 全局吸引子的存在性 引理2 1 若，满足( 2 2 ) ，( 2 5 ) ，则半群s ( r ) 在v 中存在有界吸收集曰。 而且当t t l 时，0 “( f ) 1 1 2 置 以下均令b = “矿：0 u ( t ) 0 2 s 置 定理2 2 若厂满足( 2 2 ) ，( 2 5 ) ，则半群s ( f ) 在v 中存在全局吸引子。 证明由命题2 2 ，我们只需证明( c ) 条件满足。 令a ，是a = 一在v 中对应的特征值，是其对应特征向量， j = l 2 o a 如九斗，当m 专。时，同时q 也是h 中的正交基，令 巩= s p a n o q ，q ，一t o m l ，由于g r ( q ) ，显然可得l ( 1 - p m ) g 峰占。其中 p m ：v 斗巩是正交投影。u = p m u + ( 1 - - p m ) u = + 心。 由( 2 1 ) 方程两边与心做内积可得： 寺鼍( i 啦p + i l u ：1 1 2 ) + i i u 2 i i z = ( 厂 ) + g ，u 2 ) ( 厂o ) ，甜：) + 占i “：j ( 2 6 ) i f ( u ) u 2 d x hl 厂( 8 u ) u u z d x i _ c ( 1 + i “1 2 ) i “i | 屹l a x ( 2 7 ) c l l “o 陋+ c i “r i 屹陋 2 a ，f 一上l i l 率，便得l | 甜：( t ) i i ：占。 证毕。 注：正如前面所述，( 2 5 ) 实1 啄_ 2 l l ( 2 3 ) 和( 2 4 ) 强，因此用m 1 中的方法自然可以得到 全局吸引子的存在性。这里利用h 1 】的结果来证明，和【帅1 中的方法稍有不同。这样 用此方法其实同时得到了指数吸引子存在所需要的在v 中有半径为1 的小球对b 有有限覆盖这一条件。 2 3 指数吸引子的存在性 由定理2 2 知问题( 2 1 ) 在酬( q ) 中存在有界吸收集b 以及紧的全局吸引子 a ，由命题2 4 可知存在v 中半径为i 的小球对b 有有限覆盖这一条件显然成立。 故由命题2 3 知，只需要证明l i p s c h i t z 连续性与挤压性便可证明指数吸引子的存 在性。 引理2 2 若厂满足( 2 - 2 ) ，( 2 5 ) ，“( f ) ，o ( t ) 是问题( 2 1 ) 的两个解，初值分别为 o ，u o b ，贝0 1 u ( t ) - u ( t ) 0 e “0u o 一0 。 证明：令c o ( t ) = “( f ) - v ( t ) ，由( 2 1 ) 可得： 6 珥一c o , 一a m = 厂( “) 一厂( u ) ( 2 1 4 ) 等式两边与作内积可得： l a 。( ic o l 2 + i ic p i l 2 ) + 0 1 1 2 = ( ，( 甜) 一厂( u ) ，c o ) ( 2 1 5 ) i ( 厂 ) 一厂) ) c o a x i = 爿，( a u + ( 1 一目姐) c 0 2 a x l _ c 量( 1 + + 1 0 1 2 ) c 0 2 d x c p 2 出+ c i j ( i u b + l “| ) ( 2 1 6 ) 由于在n = 3 时，日；( q ) c l 4 ，故 i ( f ( u ) - f ( v ) ) c a d x l c s ( 1 + i l u0 2 + l l v l l 2 ) | i 1 1 2( 2 1 7 ) 由b 是有界吸收集，而g u 。，b 可得： l 盯 ) 一f ( v ) ) c o d x j c 6i | c o i l 2 ( 2 1 8 ) i 1i a ( i f + 1 1 a , 1 1 2 ) c , ( ic o l 2 + 1 1 1 1 2 ) ( 2 1 9 ) 运用g r o n w a l l 引理可得： 1 5 重庆大学硕士学位论文 2 一类非经典扩散方程的指数吸引子 0c o ( t ) 旷e 2 叫j ic o ( o ) 旷，命题得证。 引理2 3 若厂满足( 2 2 ) ，( 2 5 ) ，( f ) ，u ( f ) 是问题( 2 1 ) 的两个解，初值分别为 u 0 b ，则挤压性成立。 证明：同定理3 2 中所设一样，令乃是4 = 一在v 中对应的特征值，q 是其对应 特征向量，j = i 2 ，o 五丸- - 9 0 0 当所专时，同时哆也是h 中的 正交基， 令h n = s p a n a 】l ，c 0 2 ，矗鼠= p n + u p n ) c o = p + q 其中肌：矿寸巩是正交投影。 则在( 2 1 4 ) 两边与q 作内积可得： i l 石d ( ig 1 2 + 2 ) + i ig1 1 2 = ( 厂( ) 一厂( u ) ，g ) ( 2 2 0 ) l ( ，( “) 一f ( v ) ) q d x i ： ，( + ( 1 - 曰m ) c o q d x i c l ( 1 + i “1 2 + i o i 2 ) l c o q l d x ( 2 2 1 ) - c l a l l q l + c 上i “1 2id o l l q l d x + c 上i u h g i 出 ( 2 2 2 ) 如1 2la , i i g l 出( 小1 6 娴i 1 ( i 1 6 鳓；( 肌1 2 出) i i - 1 1u i l 2 f i q i( 由日：( q ) c f ( q ) ) ( 2 2 3 ) i ( ( 甜) 一f ( o ) ) q d x i 0 且满足： k 一口l i u i ，f ( u ) u k c 匕i u r( p 2 ) ，f ( “) ( 3 4 ) h ：r r 是c 函数， g ( 功毫( q ) ( 3 5 ) 由于半群s ( f ) 在膏( q ) 中是非紧的，故通常证明吸引子存在性的方法如 t e m a m 1 】中以及r o b i n s o n 3 1 中提到的s o b o l e v 嵌入定理在此处不适用了，但是可以 先证明疗乙( q ) 中存在弱全局吸引子，进而只要说明这个弱全局吸引子实际上就是 强全局吸引子便可。 3 2 一些基本结论 运用标准的g a l e r k i n 逼近方法，容易得到以下结论： 定理3 1 若u o 日：( q ) ，k = l ，2 条件( 3 4 ) ( 3 5 ) 被满足，则v t 0 ，( 1 ) 存在唯一解 甜r ( o ，r ；：，k ( q ) ) ，“，r ( o ，r ；疗名( q ) ) ，i ju ( t ) c ( o ，丁；h 麓( q ) ) ，故问题 ( 1 ) 产生了连续半群s ( f ) ：曰( q ) 寸疗( 回 引理3 1 若条件( 3 4 ) ( 3 5