（应用数学专业论文）一类亚纯函数的正规性.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已 经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：啦日期： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文井向国冢主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：白】乏虽导师签名：压孓打 日期：l q日期：- 啤 摘要 本文证明了如下结论：设莎为定义在d 上的一族亚纯函数，q ，吒，a 3 为三个互相判别的 有穷复数， 如对于任意的厂莎，厂( z ) = q 营厂似( z ) = q ，厂 q ，t 2 2 ) 。 口2 ，鸭) ，且厂一口l 的零点重级至少是后，那么莎在d 内正规 关键词：亚纯函数分担值正规族 6 a b s t i 己a c t l e t 伊b eaf a m il yo fm e r o m o r p h i cf u n c ti o n so nt h ep l a i nd o m a i nd ，口la n d 口2 ，a 3 a r et h r e ed i s t i n c t c o m p l e x n u m b e r s i ff o r e v e r yf 伊 i ( z ) - - o , of ( z ) = q ，厂 0 1 ) 0 2 ) f q ，a 2 ) ，a n d t h ez e r 。so f 厂一qa r e o fm u l t i p l i c i t ya tl e a s tk 。t h e n 伊i sn o r m a lo nd k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，n o r m a lf a m il y ，s h a r eas e t 7 第一节引言及主要结果 2 0t h = 纪初，p m o n t e l 引入了正规族的概念，正规族本质上是一族全纯函数或亚纯函数的 列紧性自p m o n t e l 引入了正规族的概念剑现在，正规族理论有了长足的发展 2 0 世纪2 0 年代n e v a n l i n n a 创立了值分布理论使函数族的正规性与函数导数的取值联 系起来成为可能，也使m o n t e l 正规定则的证明变得初等和简单，这期间出现了著名的m a r t y 正规定则 1 9 5 9 年，w k h a y m a n 建立的著名不等式启示人们提出如下问题：一个亚纯函数族在 m i r a n d a 定则的条件不变的情形下是否保持其正规性7 1 9 7 9 年，中国的数学工作者证实了这 个猜想到2 0 世纪8 0 年代中期，w k h a y m a n 所提出的猜想全部被证实但是上述大部分成果 都是采用直接计算的方法，通过判断函数族的球面导数是否一致有界来实现的 1 9 7 5 年，以色列数学家l z a l c m a n 在一篇小论文中另辟蹊径，从m a r r y 正规定则出发给 出了一族亚纯函数不正规的充要条件，由此导出一个有趣的正规定则并应用它证明了一些正 规定则然而他的这个结果对于与导数有关的正规定则却无能为力，所以他的这个结果没有 被广泛和深入地应用一直到2 0 世纪8 0 年代末，庞学诚教授创造性地改进了l z a l c m a n 的工 作，把l z a l c m a n 的结果和函数导数联系起来，这种方法使得正规族理论的研究进入了一个 新的天地，它被称作z a l c m a n p a n g 方法，这种方法不仅使得以往许多使用消去原始值的方法 所取得正规定则变得相当简单，而且建立了一系列新的正规定则 1 9 9 2 年，w s c h w i c k 开始把亚纯函数正规族与分担值结合起来考虑，之后国内外许多学 者对这方面的问题进行了深入的研究，取得了一系列的结果本文在以前数学工作者所取得 的成果的基础上对正规族与分担值的问题进行了进一步研究，得到了相应的成果 目无，找1 i j 给出本又涉及剑的概忿和记号： 设f 在c 上亚纯，定义 朋( 吖) = 去卜g + 沙( 矿) ( ，厂) ：r ! ! ( ! ! 半+ 刀( o ，厂) l 。g ， 其中刀( 厂，厂) 为亚纯函数厂在 z ：l z l ( ， 内的极点的个数( 计算重数) ，玎( o ，厂) 为。作为厂 的极点的重数( 如果。不是厂的极点，则以( o ，f ) = o ) 丙( 厂，厂) ：r 兰丛! 尘 学+ 荔( o ，厂) l 。g ， 其中二( ，) 为亚纯函数厂在 z ：l z lp ) 内的极点的个数( 不计重数) ，如果。不是厂的极点， 蛎( o ，) = o ，否蛎( o ，厂) = 1 定义1 r ( r ，厂) = m ( r ，厂) + ( ，f ) 为亚纯函数的特征函数，( ，f ) 为亚纯函数 8 f 的密指量，n ( r ，f ) 为厂的精简密指量 设s ( ，) 是在( ，o o ) 上定义的实函数，其中o ，若s ( ，- ) 在该区间内非负且非减，则它 的级定义为： 九：l - 盂ml o g + s ( r ) 7 。 l o g ， 定义2 设厂( z ) 在开平面c 上亚纯，厂( z ) 级的定义为丁( ，f ) 的级( 显然丁( ，厂) 是 非负且t b - 减的函数) ，即 名：而! 竺璺：! ( ! ：丛。 7 瑚 l o g ， 定义3 设莎是区域d 内的一族亚纯函数，如果从莎中任一函数序列 z ( z ) 均可以选 出一个子序列 厶( z ) ) 在区域d 上按球面距离内闭一致收敛，则称莎在区域d 内正规 定义4 设( z ) 在c 上亚纯，称厂。( z ) = i i f 瓣 ( z ) l 为厂的球面导数 定义5 设f 和g 是两个亚纯函数，a c ，如果f - a 和g - a 有相同的零点( 考虑 重数) ，则我们称f 和g c m 分担a ，如果f - a 和g - a 有相同的零点( 不考虑重数) ，则我们 称f 和gi m 分担a 从伊的任一函数序列 z ( z ) ) 均可以选出一个子序列 厶( z ) ) 有如下性质：对于d 内每一点 啪存在一个邻州水。州础) ) 或 南卜通常意义酬圹致憾 定理b设护是区域d 内的一族亚纯函数，则莎在区域d 内i f _ 规的充分必要条件是垆在 区域d 内每一点都正规 定理c 设莎是区域d 内的一族亚纯函数，伊在区域d 内正规的充分必要条件是对于任 一有界闭域gc d ，存在一正数m = m ( g ) ，使对于每个厂( z ) 瓦恒有 州= 器州乱 9 在文献 1 中，w s c h w i c k 证明了： 定理d 设莎为定义在区域d 内的一族亚纯函数，q a 2 a 3 为三个互相判别的有穷复 数，如果对于任意的f 瓦有 面- r ( q ) = 乏( q ) ，( j = 1 ，2 ，3 ) ，面，( ：) = z ：厂( z ) = 口) ，, i i i a $ 在d 内正规。 在文献 2 中，庞学诚教授和以色列数学家z a l c m a n 改进了w s c h w i c k 的结果，证明了 如下的结果： 定理e 设垆是定义在单位圆盘上的一族亚纯函数，口，b ，c ，d 是四个有穷复数且满足 口c ，b d 若对于任意的厂伊，厂( z ) = 口厂( z ) = 6 及厂( z ) = c f ( z ) = d ，则， 在内正规 方明亮从另外的角度对i v s c h w i c k 的结果加以推广，提出了分担集合的概念 定义6 设厂与g 为d 内的亚纯函数，口1 吒口3 为三个互相判别的有穷复数，我们称 与g 分担集合s = q ，a 2 ，a 3 ，如果 厂一( s ) = z d ：f ( z ) es = g 。1 ( s ) = z d ：g ( z ) es 他在文献 3 证明了： 定理f 设莎为定义在d 内的一族全纯函数，喁，a 2 a 3 为三个互相判别的有穷复数， 如果对于任意的f 字，厂和f7 分担集合s = 口l ，a 2 ，a 3 ) ，那么伊在d 内正规 最近，刘晓俊和庞学诚将方明亮的结果推广到亚纯函数的情况，他们证明了【射： 定理g 设伊为定义在d 内的一族亚纯函数，口l ，a 2 ，a 3 为三个互相相判别的有穷复数， 如果对于任意的厂矿，f s = q ，嘭，) 兮f7 s ，那么伊在d 内正规 我们自然希望把定理f ，定理g 中的7 改成f ( k ) ，本文证明了： 定理1 设伊为定义在d 内的一族亚纯函数，a t ，a 2 ，a 3 为三个互相判别的有穷复数，如 对于任意的厂莎，( z ) = q 厂( z ) = q ， 呸，吗 营 呸，口3 ) ，且厂一q 的 零点重级至少是k ，那么字在d 内正规 1 0 第二节一些引理 引理1 ”1 设，是c 上的非常数亚纯函数，q a 2 ，为q 个判别的有穷复数，则： ( q - 2 ) 嘶烈v = l ，击j1 h m v = l ，2 ，儿 一“， 其中 s ( ，厂) 2d 丁( ，) ) 对于除去一个对数测度为有穷的集合e 外成立 引理2m 设f ( z ) 是有穷级的亚纯函数，口l 。a 2 ，a 3 为三个判别的有穷复数， s = q ，a 2 。a 3 ，茬if ( z ) 的零点只有有限个，且厂( z ) s = 口1 a 2 a 3 号厂( z ) = 0 ， 贝uf ( z ) 为有理函数。 证明 由引理1 ，对厂他有： 2 机) 飒) + _ r ，击，走m ，走 + s ( ，广) = 丙p ，) + j 寸( ，手 + s ( 厂，厂( ) c ， 因为厂是有穷级亚纯函数，所以丁( ，f 七) ( 七+ 1 ) 丁( ，厂) + s ( ，厂) ，从而厂( 。) 也 是有穷级亚纯函数于是s ( ，f ) - - 0 0 。g r ) ，又f 只有有限个零点，所以 丙( ，手 = 。c - 。g ，) ，代入c ，有 2 丁( ，f 化) 丙( ，f ) + o o 。g ，) ， 所以 丁( ，f 扯) d ( 1 。g ，) 故f 是有理函数 引理3 盯1 设莎是单位圆盘d 上的一族亚纯函数，如果对任意厂伊，f 的零点重级至少 是七，及厂( z ) = o ，存在一个正数彳，使得i 厂忙( z ) i 么0 1 ) ，那么如果赃d 上不正规， 则对于任意的一1 a 七，存在： ( i ) 实数，0 厂 l ； ( i i ) 点列 乙) ，i 乙| ，； ( i i i ) 函数列z 莎； c ，正数列岛一。+ ，使得岛 ) = 掣在c 上按球面距离内闭一致收敛 于一个非常数的亚纯函数g g ) ，且9 4 9 ) 9 8 ( o ) = c 4 + i ，g g ) 的级至多是2 1 2 第三节定理的证明 若伊在d 上不正规，不妨设d 为单位圆盘，由p a n g z a l c m a n 引理，存在0 ， 1 ，点 列 乙) ，i z n i ， l ，z 伊，, o n o + ，使得g 。g ) = ( z 。+ 岛f ) 一口l 在复平面c 上按球 面距离内闭一致收敛于一非常数亚纯函g g ) ，因六一a 。的零点重级k ( 若正一口l 无零 点，记为) ，由h u r w i t z 定理知g 偌) 的零点重级k ，j 1 9 4 ( f ) 9 4 ( o ) = 朋+ 1 ，a 1 我们断言： ( i ) g ) o ，口：一a i 口。一a i ：，g o g ) = 0 ： ( i i ) g 留) = 0 有解 假设存在厶c ，使得g 瓴) o ，a ：一口。，口，一口2 ) ，不妨让g 瓴) = 0 ，由于 g ( f ) o ，故存在色，厶j 磊，使得g n 魄) = ( z 。+ 成色) 一口。，于是 六( z 。+ 成六) = 口。，由已知有( z 。+ 成色) = 口，又球( 厶) = 群七( 乙+ 岛) ，所以 g 瓴) = ! 骢g ，瓴) = 。l i m 2 ( z 一+ 岛厶) = ! 鳃口- = o ，当g 偌) 2 口2 一口l ， a 3 一q 时，g ( g ) = 0 所以断言( i ) 成立 下证断言( i i ) ，n n g ( g ) 可以取到o ，否则若g ( 。) g ) 0 ，n m 断- g ( i ) 有 g g ) o ，口2 一q ，a 3 一a l ，因为口l ，0 2 ，q 互不相等，所以o ，呸一喁，a s q 互不相等，从而 g g ) 兰常数，矛盾现设g ( 像) = o 存在氛的某个邻域u 像) = 眢：i f 一4 0 i 万 ，当刀 充分大时9 9 留) 一p ：口。一致收敛于g ( ) 留) ，又g 似) = o ，gg 2 ( f ) o ，f hh u r w i t z 定理，存在，六一厶，使得g 孑g ) 一q = o ，从而( 乙+ 岛) = q ，于是 无( z 。+ 成幺) = 口”i 而g ( ( o ) = 。l i ，m 。g ，娩) = ! 璁阮( z 。+ 岛) 一口。1 = o ，所以断言( i i ) 成立 现令： = 吃：刀= 1 ，2 ，3 ， ，其中 蚓= 学= 业等超 1 3 我们断言：日在g 留) 的零点处不正规 事实上，设厶是g g ) 的零点，如日在氛处正规，即在日中任取一个函数列 吃) ， 都有子列( 仍然记为 吃) ) 在内按球面距离内闭一致收敛于一个亚纯函数办g ) 所以 因为g ( f ) o ，所以，f 1 3 h u r w i t z 定理知，存在幺，厶专厶，使得邑纸) = 0 ， 蚓也九瓴) = 舰掣- o 由零点的孤立性，存在六的去心邻域7 ( c o ，艿) = 眢：o 阿一氛l 万) ，使得g g ) 在 7 ( 氛，万) 内没有零点 设卣：o z x ( 百o ，万) 内任意一点，则 蚓= ! 骢吃匕) = 舰掣一 故日在g g ) 的零点处不正规，所以日在氛的万领域( 氢，万) 内不正规，于是再一 次应用p a n g z a l c m a n 引理，存在点列n 。，l n 。i ， t k + 1 ) ，则当，一时，有 丁( 弘) = ( p 训l o g ， 再由引理2 有 2 ( p 一七) l o g r pl o g r + d ( 1 ) ， 于是 p 2 后 情形1 p = 2 k ，此时f ( 乏) = 乞七毛从+ c 2 毛2 “1 + + q 毛+ c o ， 于是 f 。( 毛) = 乞1 2 k ( 2 k 一1 ) ( 七+ 1 ) 亏+ c 2 ( 2 k 一2 ) 瞒+ + c k k ! 让f ( 毛) = a j , 不妨设f ( 毛。= a i ，由断言( 2 ) 知毛。是f ( 毛) 的零点，从而至少是七 重零点，同理，存在毛z ，毛。，使得f ( ( 毛2 = a 2 ，f ( ( 毛3 ) = 口3 ，毛：，毛。是f ( 毛) 至少 是后重零点，由于口1 a 2 ，a 3 互相判别，所以毛l ，毛2 ，毛3 互不相等，如此，( 毛) 至少有3 七个 零点( 计重级) ，矛盾 情形2 k p 2 k ， f ( 毛) = 号p + 一l 号，一1 + + c l 号+ ， 于是 f ( 毛) = c j 口p ( p 1 ) ( p 一后+ 1 ) 亏p - k + + q 后! 如同情形l 可以找到毛。， 写。，毛。 互不相等f ( 毛) 至少有3 七个零点( 计重级) ，矛盾 综e 所述伊在d 内正规 1 6 参考文献 1 w s c h w i c k ，s h a r i n gv a l u e sa n dn o r m a l i t y j a r c h ，m a t h ，5 9 ( 1 9 9 2 ) ，5 0 5 4 2 p a n gx u e c h e n g & z a l c m a n ，l ，s h a r i n gv a l u e sa n dn o r m a li t y j ，a r i k i vf o r m a t h e m a t i k ，3 8 ：1 ( 2 0 0 0 ) ，1 7 1 1 8 2 3 3 f a n gm i n g l i a n g & z a l c m a n ，l n o r m a lf a m i l i e sa n du n i q u e n e s st h e o r e m sf o r e n ti rf u n c ti o n s 4 l i ux j ，p a n g x c s h a r e dv a l u e sa n dn o r m a lf u n